Analisis Dinamik Pada Model Penyebaran Penyakit Campak Dengan Pengaruh Vaksin Permanen

Transkripsi

1 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : Analss Dnamk Pada Model Penyebaran Penyakt Campak Dengan Pengaruh Vaksn Permanen Dan Suand, a) Polteknk Pks Ganesha, Bandung a) emal: dan.suand@pks-ganesha-onlne.ac.d Abstrak Penyakt campak merupakan penyakt menular yang dsebabkan oleh vrus golongan Paramxovrus. Kasus campak d Indonesa serng terjad meskpun telah berhasl dreduks dar angka kejadan 8. kasus pada tahun 99 menjad sektar. kasus pada tahun. Pemberan vaksn campak kepada balta dan anak usa sekolah dasar merupakan salah satu program pemerntah dalam mencegah dan menanggulang kenakan angka kejadan penyakt campak. Pada paper n dkembangkan model matematka untuk penyebaran penyakt campak. Model merupakan sstem dnamk non lnear empat dmens yang menggambarkan pengaruh vaksn permanen terhadap penyebaran penyakt campak. Metode Routh Hurwth dgunakan untuk menganalss kestablan dar ttk ekulbrum endemk. Kta menggunakan basc roproducton number untuk menganlss keendemkan penyakt yang dperoleh dengan metode next generaton matrx. Hasl Analss dan Smulas numerk memberkan nformas bahwa laju vaksnas permanen berpengaruh sangat sgnfcant terhadap penurunan populas manusa yang ternveks penyakt campak. Kata kunc: Model dnamk, Kestablan ttk ekulbrum endemk, Basc reproducton number, next generaton matrx, penyakt campak. Abstract Measles s an nfectous dsease caused by Paramxovrus vrus. Measles cases n Indonesa often occur although t has been successfully reduced from the ncdence of 8, cases n 99 to about, cases n. Gvng measles vaccne to chldren under fve and elementary school age chldren s one of the government programs n preventng and overcomng the ncdence rate of dsease measles. In ths paper the mathematcal model for the spread of measles s developed. The model s a four-dmensonal nonlnear dynamc system that descrbes the effect of a permanent vaccne aganst the spread of measles. The routh hurwth method s used to analyze the stablty of the endemc equlbrum pont. The basc reproducton number for analyzng dsease endemc s obtaned by usng next generaton matrx method. Numercal and analyss result suggest that the rate of permanent vaccne has a very sgnfcant effect on the populaton decrease nfected wth measles. Keywords: Dynamc model, stablty of endemc equlbrum, basc reproducton number, next generaton matrx, measles dseases. Pendahuluan Penyakt campak merupakan penyakt menular yang dsebabkan oleh vrus dan dtularkan melalu batuk dan bersn. Penyakt n merupakan masalah kesehatan d berbaga negara d duna termasuk d Indonesa. Berdasarkan data tahun 6, d Indonesa jumlah kasus penyakt campak mencapa 6.89 kasus dengan ncdent rate,7 per. penduduk. Jumlah kasus pada anak - anak usa 5-9 tahun mencapa 888 kasus dan merupakan jumlah kasus tertngg dalam angka kejadan penyakt campak [].

2 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : D negara maju, campak jarang berakbat fatal dan pemulhan penyakt campak memberkan kekebalan seumur hdup. D Indonesa, angka kesaktan dan kematan yang dsebabkan oleh penyakt campak sudah berangsur menurun dar tahun ke tahun serng dengan berjalannya program munsas yang dlakukan oleh pemerntah Indonesa. Program munsas n dtujukan untuk anak balta dan anak yang berusa kurang dar 5 tahun []. Model matematka yang menjelaskan penyebaran penyakt campak telah banyak dkonstruks dan ddskuskan dengan batasan - batasan masalah yang berbeda. Model penyebaran penyakt n dkonstruks melalu beberapa pendekatan. Sepert pada [3], [4] yang mengkonstruks model determnstk SEIVS dengan asums bahwa vaksn dberkan kepada orang yang sudah terkena penyakt. Selan tu ada pula yang menggunakan pendekatan model host - vektor [5], optmal control [6] [] dan bahkan pendekatan stokastk [3], [] [3]. Model Matematka Pada tulsan n dbangun model determnstk dengan asums bahwa vaksnas dlakukan sebelum terjadnya nfeks dan dberkan kepada manusa sehat. Propors vaksn v dan laju nfeks salng bebas sehngga laju nfeks akan berkurang sebesar propors populas manusa tervaksn yatu v, dengan v [,). Selan tu, dasumskan pula bahwa efektvtas vaksn bersfat permanen dalam art manusa yang sudah dvaksn tdak lag berpeluang untuk terkena penyakt. Kta juga mengasumskan bahwa kesembuhan dar penyakt campak dapat memberkan kekebalan secara permanen. Pada model n, populas manusa dkelompokan menjad empat kelompok, yatu manusa rentan (susceptble) S ( t ), manusa terjangkt penyakt (exposed) E( t ), manusa ternfeks (nfected) I ( t) dan populas manusa sembuh (recovered) R( t ). Dasumskan bahwa laju kematan pada setap kelompok adalah konstan. Manusa baru yang terlahr per satuan waktu merupakan ndvdu sehat. Dagram kompartemen yang menggambarkan penyebaran penyakt campak dengan pengaruh vaksn permanen dapat dlhat pada gambar (). vs ( v) SI E N S E I R I S E I R Gambar. Dagram kompartemen untuk model penyebaran penyakt campak Dar dagram kompartemen pada gambar (), dnamk penyebaran penyakt campak drepresentaskan oleh sstem persamaan dferensal non-lnear orde empat sebaga berkut:

3 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : ds ( v) SI ( v ) S () dt N de ( v) SI ( ) E () dt N di E ( ) I (3) dt dr I vs R (4) dt dengan N S E I R adalah total populas manusa, sedangkan laju transs dar keadaan exposed ke keadaan manusa ternfeks dan merupakan laju kesembuhan dengan,,,,. Saat t maka N( t) sehngga sstem ()-(4) terdefns pada doman yang mempunya art bologs 4 ( S, E, I, R) R : S E I R (5) yang sangat mudah terlhat bahwa doman merupakan hmpunan nvaran postf terhadap sstem ()-(4). Analss Model Dnamk Pada bagan n akan dcar bentuk Basc reproducton number ( ) dan analss kestablan ttk ekulbrum dar model dnamk ()-(4). Basc reproducton number adalah suatu nla batas tolerans dalam menentukan keendemkan suatu penyakt. Untuk menentukan nla ambang batas tersebut, dgunakan metode Next generaton matrx (NGM) sepert yang dperkenalkan pada [4] [6]. Defnskan vektor x x,.. n, dengan x adalah jumlah orang atau propors pada kompartemen ke -. Populas dnamk dar sub populas ke - dapat dtuls sebaga: x F ( x) V ( x), dengan F adalah matrks transms penyakt (non lnear) dan V adalah matrks transs yang menggambarkan perubahan kompartemen [5]. NGM dformulaskan oleh turunan parsal dar V x V x * ( ) dengan F dan V, yakn F x F x * ( ), * x adalah ttk ekulbrum bebas penyakt. Parameter ambang batas R dtentukan oleh radus spectral dar matrks FV. Pada masalah n dperoleh v F V v v v v v v sehngga basc reproducton number. v dan 3

4 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : Proposs. Eksstens Ttk Ekulbrum Sstem persamaan dferensal non lnear ()-(4) mempunya palng sedkt satu ttk ekulbrum E S E I R S E I R dengan * * * * S, E, I, R semuanya non negatf, eksstensnya : (,,, ) ( *, *, *, * ) dtentukan oleh parameter ambang batas. Eksstens E hanya terjad apabla. Bukt. Msalkan * * * * ( S, E, I, R ) adalah solus konstan dar model ()-(4). Kta dapat menulskan * * * * S, E, I, R dengan mudah dalam bentuk, yatu S E I R * * * * ( v) ( ) ( ) ( v)( )( )( ) ( )( )( v) v v v yang terlhat dengan jelas hanya pada saat nla * * * * S, E, I, R non negatf. Remark. Sstem persamaan dferensal ()-(4) mempunya dua ttk ekulbrum. Ttk ekulbrum kedua v dsebut ttk ekulbrum bebas penyakt yatu E : ( S, E, I, R),,,. v ( v) Proposs. Kestablan ttk ekulbrum bebas penyakt Ttk ekulbrum bebas penyakt E stabl asmtotk secara lokal jka. Lebh jauhnya, jka, ttk ekulbrum bebas penyakt E tdak stabl saddle. Bukt. Untuk memerksa kestablan ttk ekulbrum E secara lokal dlakukan lnearsas d sektar ttk ekulbrum E. Matrk Jacob dar sstem ()-(4) dperoleh J ( ) v H N v v S N N v H v S N N v Dengan substtus ttk ekulbrum bebas penyakt E dperoleh matrks pelnearan dsektar ttk E sebaga berkut (6) 4

5 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : Nla egen dar E J E v v v v v v J dperoleh dengan menyelesakan persamaan J E I det. Dengan menggunakan ekspans kofaktor sepanjang kolom ke-4 dperoleh det J E I M 44 dengan M 44 adalah matrks mnor. Selanjutnya untuk menentukan nla M 44 dgunakan ekspans kofaktor sepanjang kolom pertama, sehngga dperoleh nla egen, v sedangkan dua nla egen yang terssa dapat dtentukan dar persamaan polnomal berkut: Akar akar persamaan kuadrat (7) merupakan nla egen 3 dan 4 dar matrks jakob mempunya bagan real yang bernla negatf apabla, Sebalknya apabla terdapat salah satu akar persamaan kuadrat (7) yang bagan realnya bernla postf. Jad Terbukt bahwa jka maka ttk ekulbrum bebas penyakt E stabl asmtotk secara lokal, namun apabla ttk ekulbrum bebas penyakt E tdak stabl saddle. (7) J E dan Proposs 3. Kestablan Ttk Ekulbrum Endemk Ttk ekulbrum endemk E stabl asmtotk secara lokal jka. Lebh jauhnya, jka, ttk ekulbrum endemk E tdak stabl saddle. Bukt Matrks jakob untuk daerah sektar ttk ekulbrum endemk E adalah J E v v v a v a v dengan a a v v v v v v v v v 5

6 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : Untuk memperoleh nla egen dar J E, kta menyelesakan det( J I). Dengan menggunakan ekspans kofaktor terhadap kolom ke-4 dperoleh nla egen, sementara tga nla egen yang lannya,, 3 dan 4 dtentukan oleh polnom berderajat 3 berkut dengan b b b b v v v 3 b b b b 3 3 E (8) Akan dtunjukkan bahwa ketka, semua akar-akar polnom yang berkorespondens dengan nla egen dar J E mempunya bagan real negatf. Dar persamaan polnom (8) jelas terlhat bahwa b, b, b dan b3 jka. Berdasarkan krtera Routz Hurwtz [7], [8] kta perlu menunjukkan bahwa bb b3. Perhatkan bahwa c c v v v bb b3 dengan c c c 3 c 3 v v v Oleh karena tu, semua akar pada polnom (8) merupakan akar-akar dengan bagan real negatf, akbatnya semua nla egen dar J E mempunya bagan real negatf pada saat. Sebalknya apabla akan terdapat mnmal satu akar polnom (8) bernla postf. Berdasarkan hasl analss dar krtera Routh Hurwtz terbukt bahwa ttk ekulbrum endemk E stabl asmtotk secara lokal ketka dan E tdak stabl saddle pada saat. Analss Senstvtas dan Smulas Numerk Sebelum melhat pengaruh vaksnas terhadap dnamka nfeks, terlebh dahulu kta akan melhat keterkatan antara laju nfeks, propors vaksnas v terhadap parameter treshold. Hubungan antara ketgannya dapat dlhat pada gambar (). 6

7 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : Gambar : Analss senstvtas antara laju vaksnas dan nfeks terhadap nla ambang batas Berdasarkan pada gambar, kta dapat melhat bahwa menurunnya laju nfeks dan dserta dengan kenakan jumlah propors orang yang dkena vaksn akan dapat menurunkan nla parameter ambang batas. Hal n berart apabla nla laju nfeks telah dketahu, kta akan dapat menentukan besaran propors vaksnas sedemkan sehngga konds endemk tdak tercapa. Sebalknya apabla propors vaksnas dlakukan secara konstan kta dapat melhat konds parameter treshold yang menunjukan kejadan endemk atau tdak endemk pada laju nfeks tertentu. Untuk memperjelas konds n, dlakukan smulas numerk dengan varas propors vaksnas. a. Populas rentan penyakt b. Populas eksposed c. Populas ternfeks d. Populas Recovery Gambar 3. Dnamk populas manusa saat 7

8 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : Gambar 3 menunjukkan dnamk populas manusa susceptble, exposed, nfected dan recovery pada saat laju nfeks telah dketahu secara konstan dengan konds nla ambang batas. Dapat dlhat bahwa populas manusa ternfeks dan manusa exposed menurun serng dengan berjalannya waktu. Selan tu, menurunnya populas manusa rentan penyakt berrngan dengan kenakan populas manusa sembuh. Hal n yang menunjukkan bahwa kekebalan penyakt campak selan dar pengaruh vaksnas dpengaruh pula oleh kesembuhan dar penyakt campak tersebut. Dapat dlhat pula pengaruh vaksnas terhadap populas manusa. Gambar 3.c menunjukkan bahwa semakn besar propors vaksnas yang dlakukan maka populas manusa ternfeks campak akan menurun semakn cepat. Akbatnya populas manusa kebal terhadap penyakt campak juga semakn nak. Dar sn kta dapat melhat pengaruh vaksnas terhadap kekebalan penyakt secara permanen. Penggunaan vaksn juga akan berdampak pada manusa sehat, yatu semakn besar pors manusa sehat yang dberkan vaksn maka manusa sehat tanpa vaksn akan semakn sedkt populasnya sehngga populas manusa kebal terhadap penyakt campak akan semakn besar. Smulas n mengkonfrmas hasl dar perhtungan analtk bahwa pada saat orbt akan menuju ttk ekulbrum bebas penyakt E. a. Populas rentan penyakt b. Populas eksposed c. Populas ternfeks d. Populas Recovery Gambar 4. Dnamk populas manusa saat dengan v bervaras Pada gambar 4, pada saat konds blangan ambang batas populas manusa terkonsentras d state manusa terjangkt (exposed) dan manusa ternfeks (gambar 4.b dan 4.c). Selan tu juga manusa yang sembuh dar penyakt (recovery) mengkut trend manusa ternfeks secara konstan (gambar 4.d). Hal n karena manusa yang terkena nfeks kemudan sembuh dengan laju konstan tdak berpeluang untuk terkena penyakt kembal sehngga trend-nya akan mengkut trend dar orbt populas manusa ternfeks. Berbeda dengan populas manusa rentan, konds manusa rentan n semakn 8

9 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : menurun (gambar 4.a) serng dengan pengaruh laju nfeks dan laju vaksnas yang dapat mengurang populas manusa rentan terhadap penyakt. Propors vaksnas yang semakn besar, dapat menekan angka populas manusa ternfeks penyakt. Propors vaksn sebesar v.5 dar total populas manusa sehat dapat menurunkan angka manusa ternfeks % darpada penggunaan propors vaksn sebesar v. dar total populas manusa sehat. Pengaruh vaksn n pula dapat terlhat dar populas manusa kebal terhadap penyakt yang jumlahnya semakn nak serng dengan penngkatan propors penggunaan vaksn. Penngkatan propors penggunaan vaksn n pula lah yang menyebabkan populas manusa rentan terhadap penyakt menurun dengan cepat. Smulas n mengkonfrmas hasl analtk yang menjelaskan bahwa ttk ekulbrum endemk E stabl apabla. Kesmpulan Pengendalan populas manusa ternfeks dapat dkontrol dengan cara pemberan vaksn terhadap manusa yang sehat. Berdasarkan hasl analss dan dkonfrmas melalu smulas numerk, penggunaan vaksn dapat menurunkan jumlah populas manusa ternfeks dan menngkatkan jumlah populas manusa yang kebal terhadap penyakt, khususnya penyakt campak. Selan tu pula, kesembuhan alam dar penyakt campak n (tanpa vaksn) juga memberkan sumbangshnya dalam menngkatkan jumlah populas manusa yang kebal terhadap penyakt campak. Namun perlu dketahu bahwa propors manusa yang dber vaksn n dapat dtentukan apabla kta sudah mengetahu laju nfeks dar penyakt campak. Pada dasarnya kta dapat menentukan propors manusa sehat yang dber vaksn sebesar-besarnya untuk menekan jumlah populas manusa ternfeks setngg - tnggnya, namun hal tu tdaklah efektf karena penggunaan vaksn n berbandng lurus dengan baya yang dperlukan. Sehngga alangkah lebh bak apabla kta mengetahu atau menganalsa seberapa besar laju nfeks dar penyakt campak terlebh dahulu untuk menentukan keputusan seberapa besar propors manusa sehat yang perlu dberkan vaksn. Tentunya dsetap daerah, laju nfeks penyakt campak n akan berbeda beda sehngga propors manusa yang dberkan vaksn juga akan berbeda. Referens [] D. Ddk Budjanto, B. Hardhana, M. Yudanto, and Dkk, Propl Kesehatan Indonesa 6, 7. [] Depkes RI, Kementeran kesehatan republk ndonesa, 6. [3] Y. Zhou, W. Zhang, S. Yuan, and H. Hu, Persstence and extncton n stochastc srs models wth general nonlnear ncdence rate, Electron. J. Dffer. Equatons, vol. 4, 4. [4] X. Wang, Y. Tao, and X. Song, Analyss of pulse vaccnaton strategy n SIRVS epdemc model, Commun. Nonlnear Sc. Numer. Smul., vol. 4, no. 6, pp , 9. [5] J. M. Heffernan and M. J. Keelng, An n-host model of acute nfecton: Measles as a case study, Theor. Popul. Bol., vol. 73, no., pp , 8. [6] G. Zaman, Y. Han Kang, and I. H. Jung, Stablty analyss and optmal vaccnaton of an SIR epdemc model, BoSystems, vol. 93, no. 3, pp. 4 49, 8. [7] G. Zaman, Y. H. Kang, G. Cho, and I. H. Jung, Optmal strategy of vaccnaton & treatment n an SIR epdemc model, Math. Comput. Smul., vol. 36, pp , 7. [8] T. K. Kar and A. Batabyal, Stablty analyss and optmal control of an SIR epdemc model wth vaccnaton, BoSystems, vol. 4, no. 3, pp. 7 35,. [9] A. A. Lashar, Optmal control of an SIR epdemc model wth a saturated treatment, Appl. Math. Inf. Sc., vol., no., pp. 85 9, 6. [] H. Laarab, A. Abta, M. Rachk, J. Bouyaghroumn, and E. H. Labrj, Stablty Analyss and Optmal Vaccnaton Strateges for an SIR Epdemc Model wth a Nonlnear Incdence Rate, ISSN Int. J. Nonlnear Sc., vol. 6, no. 4, pp , 3. 9

10 Jurnal Kubk, Volume No. ISSN : [] Y. Zhao and D. Jang, The threshold of a stochastc SIRS epdemc model wth saturated ncdence, Appl. Math. Lett., vol. 34, no., pp. 9 93, 4. [] Y. Ca, X. Wang, W. Wang, and M. Zhao, Stochastc dynamcs of an SIRS epdemc model wth rato-dependent ncdence rate, Abstr. Appl. Anal., vol. 3, 3. [3] Q. Lu and Q. Chen, Analyss of the determnstc and stochastc SIRS epdemc models wth nonlnear ncdence, Phys. A Stat. Mech. ts Appl., vol. 48, pp. 4 53, 5. [4] O. Dekmann, J. a P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, The constructon of next-generaton matrces for compartmental epdemc models., J. R. Soc. Interface, vol. 7, no. 47, pp ,. [5] J. A. P. Heesterbeek, Mathematcal Epdemology of Infectous Dseases: Model Buldng, Analyss and Interpretaton, vol. 6 Suppl 4.. [6] P. Van Den Dressche and J. Watmough, Reproducton numbers and sub-threshold endemc equlbra for compartmental models of dsease transmsson, Math. Bosc., vol. 8, pp. 9 48,. [7] J. J. Anagnost and C. A. Desoer, An elementary proof of the Routh-Hurwtz stablty crteron, Crcuts Syst. Sgnal Process., vol., no., pp. 4, 99. [8] X. Yang, Generalzed form of Hurwtz-Routh crteron and Hopf bfurcaton of hgher order, Appl. Math. Lett., vol. 5, no. 5, pp. 65 6,.