Kajian Teoritis Persamaan Medan Gravitasi Einstein dengan Transformasi Metrik Schwarzschild dalam Sistem Dua Koordinat

Transkripsi

1 Kajian Teoitis Pesamaan Medan Gavitasi Einstein dengan Tansfomasi Metik Shwashild dalam Sistem Dua Koodinat ) Sabam P. Simbolon 2) Tenang Ginting 3) Tua aja Simbolon Juusan Fisika Teoitis Fakultas MIPA USU Mahasiswa FISIKA FMIPA 2 Dosen Pembimbing FISIKA FMIPA 3 Depatemen FISIKA FMIPA Jl. Bioteknologi No USU simbolonsabam@yahoo.om ABSTAK Telah dilakukan kajian teoitis mengenai tansfomasi metik Shwashild dalam sistem dua koodinat, pengkajian tansfomasi metik Shwashild dalam sistem dua koodinat ini, yaitu koodinat katesian dan uang- waktu dipeepat seagam dalam uang waktu data seta efek lokal suatu medan gavitasi pada uang lengkung. Medan gavitasi pada uang lengkung ini dipilih medan Shwashild yang biasanya dinyatakan dalam uang spasial bola. Melalui tansfomasi tesebut, metiknya mengandung dua suku : () suku yang behubungan dengan elemen gais dalam keangka dipeepat seagam, dan (2) suku yang behubungan dengan kelengkungan seta bekaitan dengan penyimpangan geodesik yang meupakan efek dai kelengkungan uang waktu. Sehingga dai hasil yang dipeoleh mempelihatkan adanya kesamaan antaa massa gavitasi dan massa inesial yang kaitannya dengan Teoi elativitas Umum dapat menjelaskan efek lokal dalam suatu medan gavitasi. Kata kuni : tansfomasi, koodinat, metik Shwashild ABSTACT Teoitial studies have been made egading the tansfomation of the Shwashild meti in two oodinates, the Shwashild meti tansfomation study in two oodinates: oodinates Catesian and aeleated time-spae unifom in no time flat spaes as well as loal effets of a gavitational field in uved spae. Gavitational field in uved spae is hosen the Shwashild field is usually epessed in spatial spae balls. Though these tansfomations, thei metis ontain two people: () the ates assoiated with elements within the famewok of the aeleated line unifom, and (2) the tibe assoiated with the uvatue and geodesi deviation with egad to the effet of the uvatue of spae time. So that the esults obtained fom the eistene of similaities between inetial mass and gavitational mass ae elation with the theoy of geneal elativity an eplain loal effet in the gavitational field. Key wods: Tansfomation, oodinates, Shwashild s meti. Lata Belakang Kal Shwashild adalah seoang ilmuan astonomi Jeman yang petama kali memeahkan pesamaan medan gavitasi Einstein seaa eksak pada tahun 96, yang dimaksud dengan pemeahan medan gavitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tenso metik dai kuadat metiknya uang waktu lengkung yang memenuhi hubungan antaa pesamaan medan Einstein. Metik yang didapat Shwashild ini dalam teoi keelatifanya disebut dengan metik Shwashild. Teoi elativitas Umum (TU) Einstein adalaah teoi yang menyatakan bahwa gavitasi bukan sepeti halnya gaya lain, namun gavitasi meupakan efek dai kelengkungan uangwaktu kaena adanya penyebaan massa dan enegi didalam uang waktu tesebut. Teoi elativitas Umum (TU) ini dibangun oleh dua asas, yaitu yang petama : Asas kesetaaan (Piniple of equivalene) dan yang kedua adalah kovaiansi umum (Geneal Covaine). Asas kesetaaan bebunyi, Tidak ada peobaan yang dapat dilakukan dalam daeah keil (Lokal) yang dapat membedakan medan gavitasi dengan sistem dipeepat yang setaa. Salah satu

2 impliksai asas kesetaaan adalah kesamaan massa gavitasi dan massa inesia. Sifat ini memungkinkan untuk menghilangkan efek gavitasi yang munul dengan menggunakan keangka auan yang sesuai. Hal ini meupakan konsekuensi dai medan gavitasi yaitu semua benda yang beada di dalamnya akan measakan peepatan yang sama seta tidak begantung pada ukuan maupun massanya. (into Anugaha, 2005) Salah satu fondasi teoi elativitas umum adalah pinsip kesetaaan (piniple of equivalene). Ohanian (977) menyatakan bahwa ada dua jenis pinsip kesetaaan. Jenis petama adalah pinsip kesetaaan lemah (weak piniple of equivalene) yang menyatakan bahwa dalam suatu medan gavitasi, seluuh patikel uji dengan keepatan awal yang sama akan jatuh dengan peepatan yang sama. Jenis yang kedua adalah pinsip kesetaaan kuat (stong piniple of equivalene) yang bebunyi, dalam seluuh laboatoium yang jatuh bebas seta tak beotasi, hasil- hasil dai sembaang peobaan lokal adalah sama, tidak tegantung dai medan gavitasi yang beada di sekita laboatoium tesebut.. Tujuan Penelitian. Untuk mengkaji pinsip Teoi elativitas Umum yang diteapkan di dalam tansfomasi metik Shwashild ke dalam sistem dua koodinat. 2. Untuk mengkaji pinsip kesetaaan pada kesamaan antaa Massa Gavitasi dan Massa Inesial. 3. Untuk mengkaji hubungan antaa keangka dipeepat seagam dalam uang waktu data seta efek lokal suatu Medan gavitasi pada uang lengkung..2 Manfaat Penelitian. Sebagai sumbe pustaka mengenai tansfomasi metik Shwashild 2. Sebagai penambahan wawasan bagi penulis maupun pembaa mengenai tansfomasi metik Shwashild. 3. Sebagai sumbe infomasi mengenai pinsip kesetaaan yang membawa konsekuensi pada kesamaan antaa massa gavitasi dan massa inesial..3 umusan Masalah Adapun umusan masalah dalam penulisan skipsi ini adalah bagaimana hubungan antaa keangka dipeepat seagam dalam uang waktu data seta efek lokal suatu medan gavitasi dengan menggunakan tansfomasi metik Shwashild..4 Batasan Masalah a. Penjelasan Teoi elativitas Umum (TU) tentang tansfomasi metik Shwashild dalam dua koodinat. b. Pinsip kesetaaan konsekuensi pada kesamaan antaa Massa Gavitasi (MG) dan Massa Inesial (MI).. Hubungan antaa keangka dipeepat seagam dalam uang waktu data seta efek lokal suatu medan gavitasi pada uang lengkung. II. Tinjauan Pustaka 2. Teoi elativitas Umum Einstein Tenso adalah besaan yang meupakan peluasan dai vekto, sepeti halnya vekto meupakan peluasan dai besaan skala. Tenso memiliki komponen-komponen sepeti halnya vekto. Besaan vekto sangat penting dalam fisika kaena ia menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun keangka auan yang dipilih beubahubah. Peubahan keangka auan memang menyebabkan nilai komponen tenso beubah pula, namun kaedah-kaedah yang belaku bagi komponen tenso tetap tidak beubah. Teoi elativitas umum adalah salah satu teoi fisika moden yang ukup besa peanannya dalam meneangkan stuktu uang waktu dan jagad aya. Teoi ini adalah teoi yang indah memiliki daya pikat amalan tehadap gejala alam yang ukup menaik, namun memiliki pesyaatan matematika beupa analisis tenso. Kaena itu akan disajikan analisis tenso sebagai jembatan untuk memahami teoi elativitas umum. 2.2 Pinsip Ekuivalensi Ketika Newton meumuskan hukum geak dan hukum gavitasinya, ia mendefenisikan massa inesial dan massa gavitasi. Massa inesial diuku bedasakan ukuan kelembaman suatu benda tehadap gaya doong atau gaya taik yang bekeja, sedangkan massa gavitasi diuku bedasakan pengauh gaya gavitasi pada benda tesebut. Paa ekspeimentalis sejak aman Newton hingga petengahan abad ke-20 telah beusaha membuktikan kesetaaan antaa kedua jenis massa tesebut. Dengan 2

3 peobaan yang paling tekenal adalah peobaan Eotvos yang membuktikan bahwa kedua massa tesebut setaa. Bedasakan bukti ekspeimen tesebut, akhinya Einstein menyimpulkan dalam postulatnya yang tekenal dengan nama Pinsip Ekuivalensi Massa bahwa, Gaya gavitasi dan gaya inesial yang bekeja pada benda tunggal adalah sama dan tidak tebedakan (indistinguisable) satu sama lain. Konsekuensinya adalah bahwa tidak ada lagi keangka auan inesial. 2.3 Pinsip Kovaiansi Umum Akibat pinsip ekuivalensi massa yang menyebabkan tidak adanya keangka auan inesial, maka pinsip elativitas khusus menyatakan bahwa hukum-hukum fisika belaku sama pada keangka auan inesial tidaklah belaku umum. Oleh kaena itu, Einstein meumuskan postulat keduanya yang tekenal dengan nama Pinsip Kovaiansi Umum yang menyatakan bahwa, Semua hukum-hukum fisika belaku sama pada semua keangka auan tanpa keuali. Konsekuensinya adalah setiap besaan fisika hauslah dinyatakan dalam bentuk umum dan tidak begantung pada koodinat dimana ia didefenisikan. Atinya semua besaan fisika haus dinyatakan dalam bentuk tenso. Sepeti di dalam elativitas khusus, hukum-hukum geak dinyatakan dalam bentuk yang invaian tehadap tansfomasi Loent dengan konsekuensi dipekenalkannya konsep uang dan waktu dimensi 4 dengan metik Minkowski. Genealisasinya, teoi elativitas umum menyatakan bahwa hukum-hukum fisika haus invaian tehadap tansfomasi umum dengan konsep uang-waktu 4 dimensi. 2.4 Asas Kesetaaan Dalam teoi keelativan umum Albet Einstein mengemukakan asas kesetaaan, yang meintis jalan penetusan teoi keelativan umum lima tahun kemudian. Teoi ini pada dasanya menyatakan, bahwa semua hukum fisika besifat mutlak atau tak ubah tehadap setiap pengamat, temasuk yang begeak dengan peepatan. Salah satu hukum fisika sedehana untuk menyatakan ini, yakni hukum kelembaman. Menuut hukum ini, apabila semua gaya yang bekeja pada semua benda yang meniadakan pengauh, maka benda tesebut akan beada pada keadaan diam atau begeak dengan keepatan yang aah atau besanya tetap. Einstein mengemukakan asas kesetaaan pada tahun 9 yang mengatakan bahwa: dalam sistem pengamatan yang jatuh bebas dalam gaya beat (sistem ketaklemabaman), hukum fisika tetap belaku sepeti halnya dalam sistem pengamatan tanpa medan gaya beat (Sistem kelembaman) dan bahwa gaya kelembaman (atau khayal) setaa dengan gaya beat. Kaena gaya kelembaman begantung pada massa ukuan dan gaya beat begantung pada massa ukuan beat, maka asas kesetaaan diatas mengungkapkan bahwa kedua jenis massa ini sebenanya adalah setaa, atau lebih tegas lagi sama besa. Dalam teoi keelativan umum Albet Einstein mengemukakan asas kesetaaan, yang meintis jalan penetusan teoi keelativan umum lima tahun kemudian. Teoi ini pada dasanya menyatakan, bahwa semua hukum fisika besifat mutlak atau tak ubah tehadap setiap pengamat, temasuk yang begeak dengan peepatan. Salah satu hukum fisika sedehana untuk menyatakan ini, yakni hukum kelembaman. Menuut hukum ini, apabila semua gaya yang bekeja pada semua benda yang meniadakan pengauh, maka benda tesebut akan beada pada keadaan diam atau begeak dengan keepatan yang aah atau besanya tetap. 2.5 Teoi elativitas Umum dalam Metik Shwashild Peneapan Teoi elativitas Umum dalam pesamaan gavitasi Einstein yang mengabaikan tetapan kosmologi yang diumuskan sebagai beikut : = ( 8πG 2 ) T (2.) Dengan pesamaan diatas akan diteapkan untuk menelaah bebeapa gejala alam. Petama kali akan dituunkan solusi pesaam gavitasi Einstein untuk objek statik bemassa M yang diletakkan pada pusat koodinat dengan pemilihan koodinat empat dimensi beupa tiga dimensi koodinat uang pola (, θ, φ ) dan satu dimensi koodinat waktu (t), yang dikenal sebagai solusi Shwashild. Beikut ini akan dituunkan metik yang mendiskipsikan medan gavitasi isotopik statik. Aga lebih mudah dipeoleh, metik uang waktu 4 dimensi ( 3 dimensi uang dan dimensi waktu ) akan diumuskan dalam wakilan koodinat bola. Dalam koodinat bola, 3 koodinatnya adalah = (,, ) = (, θ, φ ) (2.2) Metik uang waktu data dalam wakilan koodinat bola dibeikan oleh = t + + θ + in θ φ (2.3) 3

4 Dalam mengikuti penulisan Weinbeg, nilai sementaa diisikan sama dengan sehingga metik diatas menjadi = t + + θ + in θ φ (2.4) Selanjutnya akan ditinjau metik untuk medan gavitasi isotopik statik. Tenso metik untuk medan tesebut, yang dalam hal ini untuk komponen dan hanya meupakan fungsi adial. Bentuk metiknya menjadi = B() t + A() + ( θ + in θ φ ) (2.5) Dimana metik diatas akan kembali ke metik Minkowski jika sumbe medan gavitasi dilenyapkan. Dai metik diatas, komponen tenso metik kovaian yang tak lenyap adalah = B(), = A(), = = in θ (2.6) Mengingat besifat diagonal, komponen tenso metik kontavaian benilai = B(), = A(), = = in θ (2.7) Selanjutnya deteminan matiks yang menyajikan komponen tenso metik adalah g yang benilai = A()B() in θ (2.8) 3. Konsekuensi Pinsip Kesetaaan Pinsip kesetaaan yang membawa konsekuensi pada kesamaan antaa massa gavitasi (m G ) dan massa inesial (m I ) (Wospakik, 987). Misalnya sebuah benda bemassa m jatuh di dalam medan gavitasi dengan peepatan gavitasi sebesa g. Dengan memilih koodinat (, t), menuut Newton pesamaan geak benda tesebut adalah m t = m (3.) Melalui tansfomasi = 2 t an t = t (3.2) Pada koodinat (, t ), pesamaan (3.2) diatas menjadi m + m = m (3.3) t Kaena massa inesial sama dengan massa gavitasi maka, m t = 0 (3.4) Jadi kita dapat memilih keangka auan inesial (',t') untuk menghilangkan efek gavitasi pada keangka (,t). Atau dengan kata lain, keangka (,t) adalah keangka dipeepat dengan peepatan sebesa g tehadap keangka inesial (',t') pada daeah tanpa medan gavitasi. Salah satu aplikasi pinsip ini adalah keadaan oang yang melempakan sebuah benda yang beada dalam lift yang putus talinya. Ketika lift tesebut jatuh bebas (demikian pula dengan oang tesebut), oang tesebut di keangka lokalnya akan melihat bahwa benda yang ia lepaskan akan diam (inesial) tehadap diinya. Kesimpulannya adalah hukum geak pada keangka inesial dalam daeah tanpa medan gavitasi sama dengan hukum geak pada keangka jatuh bebas di dalam medan gavitasi. Hal ini membawa kita pada asas kovaiansi umum yang bebunyi, Hukum alam haus memiliki bentuk yang tetap tehadap sebaang pemilihan tansfomasi koodinat. Implikasi dai peneapan kedua asas ini akan menuntun kita pada bebeapa amalan yang mengubah aa pandang kita tentang uang waktu. Dengan konsep yang bau, Teoi elativitas Umum bena-bena membeikan pandangan yang bau sama sekali mengenai uang-waktu. Konsep bahwa uang waktu dapat melengkung jika di dalamnya tedapat matei massif membeikan bebeapa implikasi bau. Salah satunya adalah jika ahaya bintang melewati sebuah benda langit massif sepeti matahai, maka amalan teoi elativitas umum adalah ahaya bintang tesebut akan dibelokan di sekita matahai tesebut. Membeloknya ahaya bintang tesebut bukan disebabkan oleh tetaiknya ahaya bintang kaena pengauh gaya gavitasi matahai, melainkan uang waktu di sekita matahai tesebut melengkung. Pada pasal beikut akan disinggung hubungan antaa keangka dipeepat seagam dalam uangwaktu data seta efek loal suatu medan gavitasi pada uang lengkung. Medan gavitasi pada uang lengkung ini dipilih medan Shwashild yang biasanya dinyatakan dalam uang spatial bekoodinat bola. Dai uang bekoodinat bola tesebut dilakukan tansfomasi ke dalam koodinat katesan dengan titik awal di koodinat (0,0,). Selanjutnya akan 4

5 ditunjukkan bahwa ungkapan metik Shwashild tesebut mengandung dua suku : () suku petama bekoespondensi dengan elemen gais dalam keangka dipeepat beatuan dalam uang- waktu data (flat spae- time) (2) suku kedua mengandung unsu kelengkungan (uvatue) yang dihubungkan dengan penyimpangan geodesik. 3.2 Penyelesaian metik Shwashild dan Tansfomasi Metiknya Dengan hubungan affine (affine onnetion) atau lambang Chistoffel dapat dihitung dengan menggunakan fomula : Γ = 2, + - (3.5) Dengan pesamaan diatas dan metik yang dibeikan oleh pesamaan (2.6) dan (2.7), komponen lambang Chistoffel yang tak lenyap benilai Dan Γ = 2A() Γ A() Γ = A() = in θ A() Γ = 2A() B() Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = inθo θ Γ = Γ = otθ Γ = Γ = 2B() B() Lebih lanjut, dibutuhkan besaan tenso ii yang diumuskan sebagai = Γ Γ + Γ Γ Γ Γ (3.6) Dai lambang-lambang Chistoffel diatas, komponenkomponen tenso ii dibeikan sebagai Dan = B"() 2B() B () 4 B() (A () A() + B () B() ) A () A() = + 2A() ( A () A() + B () B() ) + A() = in θ = B () 2A() + B () 4 A() (A () A() + B () B() ) B () A() = 0 untuk μ v (3.7) Pada pesamaan-pesamaan diatas, tanda aksen beati tuunan/deivative ke. Dai hasil diatas, komponen,, an lenyap, seta = in θ yang menunjukkan konsekuensi dai invainasi tehadap tansfomasi otasi pada metik tesebut. Sementaa itu lenyap akibat konsekuensi adanya invaiasni bentuk metik ketika dilakukan tansfomasi pembalikan waktu t t. Selanjutnya pesamaan medan gavitasi Einstein akan diteapkan untuk metik isotopik statik tesebut. Pesamaan medan gavitasi Einstein untuk uang kosong tesebut bebentuk = 0 Hubungan dai pesamaan antaa dan dapat ditulis menjadi A + B = A (A A + B B ) (3.8) Dengan meneapkan pesamaan pesamaan diatas menjadi Atau A A = B B = 0, maka (3.9) A()B() = kon tan (3.0) Selanjutnya syaat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk, bentuk metik isotopik statik tesebut haus kembali kebentuk metik Minkowski dalam koodinat bola, yang beati lim A() = lim B() = (3.) Dengan syaat batas ini hubungan antaa A() dan B() dapat dituliskan seaa lebih eksplisit dalam bentuk 5

6 A() = B() (3.2) Bentuk 2GM/ seing disingkat menjadi m (besatuan panjang), sehingga metik diatas menjadi Adapun komponen tenso ii yang lain pada pesamaan an dapat dituliskan menjadi Dan = + B () + B() (3.3) = B 2B + B B = 2B Yang dengan mengingat bahwa = 0 maka (3.4) B + B = (B) = (3.5) Solusi pesamaan difeensial diatas adalah B() = + tetapan (3.6) Untuk menentukan nilai tetapan integasi diatas, kita mengetahui bahwa untuk jaak yang ukup jauh dai pusat massa M yang teletak dipusat koodinat O, komponen = B haus benilai mendekati (+2U) dengan U adalah potensial Newton benda bemassa M pada jaak yang benilai U = GM/. Jadi nilai tetapan integasi diatas adalah -2GM, sehingga B() = ( 2GM ) (3.7) Dan A() = ( 2GM ) (3.8) Akhinya bentuk metik isotopik statik untuk uang waktu 4 dimensi bekoodinat bola adalah = ( 2GM ) t ( 2GM ) + ( θ + in θ φ ) (3.9) Bentuk metik ini petama kali dituunkan oleh K.Shwashild pada tahun 96. Kaena itu, metik ini seing disebut metik Shwashild. Bentuk metik tesebut masih mengisikan nilai =. Apabila nilai diisikan, bentuk metik Shwashild menjadi = ( 2GM ) t ( 2GM ) + ( θ + in θ φ ) (3.20) = ( 2m ) t ( 2m ) + ( θ + in θ φ ) (3.2) Metik Shwashild ini besifat simeti bola dan meepesentasikan medan gavitasi dilua suatu patikel besimeti bola dengan pusat patikel teletak pada pusat koodinat bola. Solusi pesamaan gavitasi Einstein untuk patikel simeti bola statik, tak beotasi, tak bemuatan dibeikan dalam bentuk metik Shwashild. Metik tesebut dalam koodinat 4 =(t,, θ, φ ) dinyatakan dalam bentuk = ( 2m ) t + ( 2m ) Dengan + ( θ + in θ φ ) (3.22) m = GM (3.23) dan M adalah massa patikel statik besimeti bola di O. Jika massa patikel tesebut dilenyapkan (M = 0), metik (3.22) akan kembali ke bentuk metik uangwaktu Minkowski. Metik Minkowski ini meupakan metik uang-waktu data kaena dengan melakukan tansfomasi dai koodinat bola ke koodinat Katesian akan dipeoleh metik dengan tenso metik sama dengan delta Koneke. Selanjutnya dilakukan tansfomasi ke koodinat katesian (, y, ) dengan pusat di sumbu pada jaak dai O yang diumuskan sebagai X Ф ө Z (,ө,ф) Gamba 3. Koodinat Bola = inθ o φ, y = sinθ inφ = o θ (3.24) Pesamaan (3.24) diatas dapat ditulis menjadi = ( + y ) + ( + ) (3.25) Y 6

7 Dengan mengambil difeensialnya pesamaan (3.25), sehingga dipeoleh = + y + y + (3.26) Yang jika dikuadatkan menghasilkan = d +y dy +(+) d + yddy+ +y +(+) 2( + ) + 2y( + ) y + y + ( + ) (3.27) Dengan mendifeensialkan pesamaan (3.24) maka dipeoleh = inθo φ + o θo φ θ inθ inφ φ y = inθ inφ + o θ inφ θ + inθo φ φ = o θ inθ θ (3.28) Dengan mengkuadatkan jumlah pesamaan (3.28.) dipeoleh + y + = ( θ + in θ φ )(3.29) Dengan mensubstitusikan pesamaan (3.25), (3.27) dan (3.29) ke dalam pes. (3.22) dipeoleh = ( +y +(+) ) t + 2m * + y + ( + ) + + y y + + y + ( + ) (+) d + yddy+ (+)dd+ y(+)dyd + + +y +(+) y + = ( +y +(+) ) t + 2m * + y + ( + ) + + y y + + y + ( + ) ( + ) + 2y y + 2( + ) + 2y( + ) y + y + ( + ) + y y + ( + ) + 2y y + + y + ( + ) 2( + ) + 2y( + ) y + + y + + y + ( + ) = ( +y +(+) ) t + 2m ( + * + y + ( + ) + ) + y y + ( + ) + 2y y y + ( + ) ( + ) + 2y( + ) y + y + ( + ) + y + (3.30) Jika pada peahan dalam bentuk pesamaan (3.30) masing-masing pembilang dan penyebut dibagi dengan, maka bentuk di atas dapat dituliskan menjadi [ + [ = ( 2m/ + ( 2 ) + ( + y + )/ ) t + + y + + ( y + ) ( + y 2m/ + ( 2 ) + ( + y + )/ ) ] y + ( + ) + 2y y + 2 ( + 2y ) + ( + ] ) y (3.3) Selanjutnya ditinjau daeah keil (lokal) di sekita pusat seta diasumsikan bahwa ukup besa sehingga /, y/ dan / <<. Namun dalam hal ini tidak diasumsikan m/ << sehingga tidak digunakan pendekatan medan lemah. Dengan mengabaikan suku ode kedua dalam /, y/ dan / pada pes. (3.3), dipeoleh ungkapan ode petama metik Shwashild sebagai = ( 2m + 2m ) + 4m ( 2m + 2m ) ( + y t + + y y ) + ( 2m + 2m ) (3.32) Dai metik pesamaan (3.32) di atas, tampak bahwa metik tesebut mengandung dua bagian yaitu bagian tenso metik diagonal yang nantinya akan ditunjukkan sama dengan elemen gais keangka dipeepat seagam. 7

8 = ( 2m + 2m ) t + + y + ( 2m + 2m ) Seta bagian tenso metik tak diagonal yang menyumbang pada kelengkungan. 4m ( 2m + 2m ) ( + y y ) 3.3 KEANGKA DIPECEPAT SEAGAM Ditinjau keangka dipeepat (aeleating fame) untuk dilakukan pebandingan dengan pendekatan petama metik Shwashild (3.32). Untuk tujuan tesebut, ada dua pesyaatan yang haus dipenuhi :. Sebuah patikel bebas di keangka dipeepat haus memiliki peepatan yang sama dengan geak patikel seaa adial pada uji pada metik Shwashild. 2.Waktu koodinat haus sama dengan waktu koodinat Shwashild. Untuk geakan muni adial dalam metik Shwashild, peepatan sebuah patikel bebas pada uji = dibeikan sebagai = m (3.33) untuk 0 < < seta tak begantung pada keepatan patikel. Oleh kaena itu, dengan sumbu sebagai aah peepatan, sebuah patikel yang begeak bebas sepanjang sumbu dalam keangka dipeepat akan memiliki peepatan = m (3.34) Dan tak gayut keepatan patikel. Misalkan sebuah metik memiliki bentuk = () t + + y + () (3.35) dengan fungsi () dan () ditentukan oleh pesyaatan pada pes. (3.34). Pemilihan bentuk (3.35) ini tentu saja sedemikian upa aga dapat kita dapat memanfaatkan pinsip kesetaaan untuk menghubungkan kedua metik. Metik (3.35) dapat dituliskan menjadi = () t ( + y + () ) (3.36) Ditinjau geakan patikel bebas yang memenuhi pesamaan geodesik 2 ( ) = (3.37) Patikel yang begeak jatuh bebas ini adalah patikel uji, dengan massa yang amat keil sehingga efeknya pada kelengkungan uang akibat kebeadaannya dapat diabaikan. Ditinjau geakan pada sumbu (d = dy = 0), sehingga metik (3.35) menjadi = t (3.38) yang jika masing-masing uas dibagi dengan kemudian diatu, dapat dituliskan dalam bentuk = ( t ) ( ) = ( t ) ( ) ( t ) = ( ) ( t ) = + ( ) ( t ) = + ( ) (3.39) Dengan komponen tenso metik dai pesamaan (3.38) adalah = = dan = = Dengan menggunakan pesamaan (3.37), sehingga pesamaan geodesik untuk dapat dihitung. Maka pesamaan geodesik untuk adalah 2 ( ) = 2 ( 2 ( 2 ( ) = ) = ( ) t t ( ) ) = 2 ( t ) + 2 ( ) (3.40) 8

9 Dengan mensubstitusikan pesamaan (3.39) ke dalam (3.40) akhinya dipeoleh = ( ( = = ) = ( t ) + ( ) ) = * + ( ) + + ( ) [ + + ( ) + ( ) ( ) ( ) ] ( ) (3.4) Dengan mensubstitusikan pesamaan (3.34) dan (3.4), dipeoleh m = [ + ] ( ) Dan dengan mengasumsikan bahwa * d 0, sehingga dipeoleh Seta m = d + d d + = = m (3.42) + = 0 (3.43) Pesamaan (3.43) dapat disedehanakan menjadi Atau ln = 0 ( 3.44) = (3.45) Dengan mensubstitusikan pesamaan (3.45) kedalam pesamaan (3.42) sehingga dipeoleh = m = m = m = m Dengan mengintegalkan pesamaan teakhi diatas Dengan 2K = K Maka = m 2 = m + K = 2m + 2K = + K = K + 2m (3.46) dengan K adalah tetapan integasi. Dengan substitusi pesamaan (3.46) ke dalam pesamaan (3.36) dipeoleh metik = (K + 2m ) t. + y + (K + 2m ) = (K + 2m ) t + + y / + (K + 2m ) (3.47) Selanjutnya dipilih untuk tetapan integasi K adalah K = 2m Sehingga pesamaan (3.47) menjadi = ( + ) (3.48) t + + y + ( + ) (3.49) Jika kita lihat, tampak bahwa pesamaan metik (3.49) di atas sama dengan bagian diagonal dai metik (3.32). Ini menunjukkan bahwa bagian diagonal metik (3.32) bekoespondensi dengan elemen gais dalam keangka dipeepat beatuan 9

10 dalam uang- waktu data sepeti yang tedapat pada metik (3.49). Adapun bagian tak diagonal dai metik (3.32) yaitu suku 4m ( 2m + 2m ) ( + y y ) (3.50) behubungan dengan kelengkungan uang yang beimplikasi pada penyimpangan geodesik. Dai pesamaan (3.49) dan (3.32) dalam tansfomasi metik Shwashild yang menghasilkan dua suku yang membentuk pesamaan medan gavitasi Einstein lemah dan statik teoi gavitasi Einstein yang teeduksi didalam adanya kesamaan antaa massa gavitasi dan massa inesial yang memandang konsep Teoi elativitas Umum. Didalam Teoi elativitas Umum, kalau benda begeak mendekati keepatan ahaya maka uang akan melengkung dan kaena ahaya tidak memiliki massa dan ahaya begeak dengan keepatan konstan sehingga ahaya beegeak dengan lintasan gais luus. IV. Kesimpulan Dai hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:. Teoi elativitas Umum Einstein memandang konsep metik Shwashild dan massa gavitasi sebagai suatu kesatuan dan memiliki komponen tenso metik. 2. Didalam pinsip kesetaaan yang telah dibahas dengan adanya konsekuensi pinsip kesetaaan yaitu kesamaan antaa massa gavitasi dengan massa inesial. Dai pinsip kesetaaan inilah disinggung hubungan antaa efek lokal gavitasi dai metik Shwashild pada uang lengkung yang ditansfomasi dai koodinat spasial pola ke koodinat tegak luus dengan keangka dipeepat seagam dalam uang waktu data yang memilki hubungan didalam pesamaan (3.32) dan (3.50). 3. Hubungan antaa tansfomasi metik Shwashild dan keangka dipeepat seagam adalah dapat dipilih suatu metik sebagai solusi pesamaan geodesik pada keangka dipeepat seagam sedemikian yang memiliki bentuk yang sama pada bagian diagonal metik tansfomasi Shwashild di koodinat XYZ. Namun demikian, bagian tak diagonal pada metik Shwashild yang tidak memiliki padanan pada metik keangka dipeepat. Hal ini yang menunjukkan bahwa bagian tak diagonal keangka dipeepat seagam memiliki kontibusi pada penyimpangan geodesik. 4. Didalam tenso metik pada pesamaan (3.49) yang meupakan fungsi, maka koodinat tidak menguku jaak pibadi pada aah dalam uangwaktu data. Dan juga, sebuah foton (dt = 0 ) yang begeak sepanjang sumbu tidak memiliki keepatan konstan namun meupakan fungsi. Kedua metik akan kembali ke metik Minkowski jika m = Tenso metik Shwashild membuktikan kebenaan Teoi elativitas Umum dan adanya kesetaaan antaa massa gavitasi dan massa inesial yang ditujukan oleh suku petama dan kedua dai hasil tansfomasi pada pesamaan (3.49) dan (3.50). Dafta Pustaka Anugaha, Penganta Teoi elativitas dan Kosmologi. Yogyakata: Gajah Mada Univesity Pess. Anugaha, Tansfomasi Metik. Junal Fisika FMIPA UGM. Lawden, D. F, 982, An Intodution to Tenso, elativity and Cosmology, 3-d Edition, John Wiley and Sons.Ltd., New Yok. Ohanian, H.C Gavitation and Spae Time. New Yok: W.W. Noton & Company. amadhan S. D Pendekatan Geometi Diffeensial dalam Teoi elativitas Umum dan Solusi 2 Soliton Pesamaan Medan Einstein Aisimetik. Skipsi. Depok : UI. ussel, B Teoi elativitas Einstein. Yogyakata: Pustaka Pelaja. Weinbeg, Steven Gavitation and Cosmology: Piniples and Apliations of The Geneal Theoy elativity. USA: John Wiley & Sons. Wospakik, Hans J Bekenalan dengan Teoi Keelatifan Umum Einstein & Biogafi Albet Einstein. Bandung: ITB. Wospakik, Hans J Dasa-Dasa Matematika Untuk Fisika. Bandung: ITB. 0