MODEL PERAMBATAN PANAS SECARA MATEMATIKA PADA PROSES PEMANASAN KUE BAGEA KENARI

Transkripsi

1 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 MODE PERAMBATAN PANAS SECARA MATEMATIKA PADA PROSES PEMANASAN KUE BAGEA KENARI Hasa Hamid Pgam Sdi Pedidika Maemaika Jsa Pedidika MIPA FKIP Uivesias Khai hasa.hamid@ck .cm ABSTRAK Peeliia ii bea mempelaai da meelaska bagaimaa diamika peambaa paas yag eadi pada psa bagea keai yag bebek abg. Pses pegeiga/pemaasa dega sh iggi secaa maemaika dapa dimdelka ke dalam pesamaa difeesial pasial yai pesamaa paas dega syaa awal da syaa baas. Dai hasil kaia dipeleh slsi aaliik pesamaa paas k psa abg dibeika leh y 00 8 ep R 0 m m m J m R Selaya dega meggaka mede beda higga dipeleh bek khss sebagai z z v z dega syaa awal da sysa baas beik: z z z Kaa kci: Peambaa Paas Maemaika Ke Bagea Keai beik: z PENDAHUUAN Diliha dai pealaa seaah Ka Teae maka kia idak bisa megelak bahwa ka Teae adalah salah sa ka yag ekeal dega peghasil empahempah yag ckp kesh di dia. Disampig peghasil empah-empah Ka Teae ga ekeal dega cii khas pegaa makaa iga sepei Bagea Keai Bagea Teae. Bagea Keai ii dipdksi leh Kelaga sebagai sa saha yag meaika secaa em. Dalam idsi makaa sepei ii masalah yag saga peig yag has dihadapi da ga emask pses pdksi adalah masalah pemaasapegawea. Ke yag dikemas secaa besa-besaa i memiliki ilai al yag saga iggi apabila kaliasya mamp dipeahaka. Dega kaa lai secaa 3

2 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 higiees pemaasapegawea Bagea Keai dapa mecegah eadiya pses pembska leh mikgaisme. Ke Bagea Keai yag elah dikemas/dipses memiliki cia asa yag khas dega bekya sepei abg dalam ka yag kecil sea memiliki keika bek yag saga keas da ckp aha lama apabila disimpa diempa yag keig. Makaa bagea keai yag kami maksdka dalam peeliia disii diba dai sag da dicamp dega keai aa seig diseb Bagea Teae. Ke bagea keai ii biasaya diadika le-le bagi meeka yag bekg di Teae aap bagi sebagia ag Teae apabila bepegia kela Teae biasaya Bagea Keai diadika sebagai le-le. Bagea keai ii memiliki cii da bek yag khas dega keebalaya bevaiasi sea memiliki waa ckla keab-aba. Ke Bagea Keai ii memiliki ilai al yag saga meaika bagi paa pegsaha Bagea Keai di daeah ii apabila kaliasya mamp dipeahaka maka ilai al Bagea Keai aka saga sabil. Yag saga meaik k dielii adalah pses pegeiga/pemaasa Bagea Keai yag masih dipeahaka secaa -em. Pses pegeiga/pemaasa ii apabila dimaaeme/dikella dega epa maka aka medapaka kalias Bagea Keai yag baik dega ilai ekmisya ckp iggi. Pses pegeiga/pemaasa dega eklya sh paas secaa meaa sampai kepsa Bagea Keai pses ii aka meka kada ai dalam bagea keai ga dapa mecegah eadiya pses pembska leh mikgaisme. Pses pegeiga/pemaasa dega sh iggi secaa maemaika saga meaik k dielii hal ii disebabka kaea pses pemaasa dapa dimdelka ke dalam pesamaa difeesial pasial yai pesamaa paas dega syaa awal da syaa baas. Dalam pses pegeiga/pemaasa bagea keai yag bebek Tabg sh yag dibeika has seefekif mgki. Pegaa sh da lamaya pemaasa dipehaika k mecapai kdisi ideal kdisi dimaa Bagea Keai ebebas dai mikgaisme pesak da kadga za yag ekadg dalam Bagea Keai idak bayak bekag sea ka Bagea Keai idak bayak bebah. KAJIAN TEORI Pea Pesamaa Paas Pada sa beda paas aka megali dai daeah yag shya lebih iggi me ke daeah dega sh yag lebih edah. Ekspeime mekka bahwa la alia 4

3 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 paas ppsial ehadap gadie sh. Semaki besa gadie sh yai beda paas aaa da iik maka semaki besa pla la alia paasya. Misalka kecepaa alia paas maka K gad U. dega U yz adalah sh pada iik P yz adalah wak da K adalah ksaa kdkivias emal dai beda. S P Pyz T Gamba. Paas yag megali melali pemkaa baha Misalka T adalah sa daeah pada beda da S adalah baas dai daeah eseb gamba. Jmlah paas yag meiggalka T iap saa wak adalah dega v da. S v adalah kmpe dai pada aah vec mal ela dai S. Bedasaka eema divegesi Gass maka kia pyai v da K div gad U ddydz K U ddydz S T T.3 dega U U U adalah pea aplace dai U. yy zz Disisi lai mlah al paas H pada daeah T adalah H Uddydz.4 T dega adalah ksaa paas spesifik baha da adalah massa eis baha. Sehigga la pea H ehadap wak adalah H U ddydz.5 T da ii has sama dega mlah paas yag meiggalka T sehigga U ddydz K U ddydz.6 T T 5

4 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 U aa K Uddydz0.7 T Kaea pesamaa.7 dipehi k sebaag daeah T da kia haya mempehaika fgsi iega yag ki maka iegaya has beilai l dimaap sehigga dipeleh bek pesamaa paas beik dimaa U c U dega c K.8 c diseb sebagai difsivias emal baha aa kemampa baha meghaaka paas Keyszig 994. Pesamaa Paas bek Sada Uk megaalisa disibsi sh paas pada Bagea Keai kia aka meeapka pesamaa.8 dega elebih dahl memaskka ilai-ilai c k eis Bagea Keai eseb. Dalam peeliia ii kia idak aka melakka hal yag demikia kia ckp meelaska salah sa bek khss pesamaa paas yag diseb bek sada. Nam k ilai c yag bebeda kia dapa megaalisa dega meggaka sa asfmasi. Bek saada dai mdel peambaa paas pada iga dimesi dai sa baha yag ka paag leba da iggi be- yaki a b da c adalah Slsi Aaliik 0 a 0 y b0 z c 0.9 yy zz Salah sa ehik meyelesaika pesamaa difeesial pasial dega syaa awal da syaa baas secaa aaliik adalah ehik pemisaha vaiabel. Tehik ii dieapka k masalah-masalah dimaa i. Pesamaa difeesial pasialya PDP bebek liea da hmge ii. Syaa baasya adalah bebek dega a a 0 da adalah ksaa da 0 a Tehik pemisaha vaiabel yai mecai slsi sedehaa dai PDP beek X T.0 dega X adalah fgsi dai da T adalah fgsi ehadap. 6

5 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 Secaa mm ehik ii memgkika k mecai sebayak ak higga slsi-slsi dai PDP yag ga memehi syaa baas. Fgsi-fgsi sedehaa dai X T diseb sebagai slsi ama. Sedagka slsi yag aka dicai dieka dega memlahka slsi-slsi ama adi. Sepei halya iap-iap slsi ama memehi syaa baas hasil pemlaha A X T. ga has memehi syaa awal. Dega demikia ika pemlaha ii memehi syaa baas da syaa awal maka kia mempeleh slsi dai masalah yag dihadapi. Slsi Nmeik Pedekaa Beda Higga Pehaika dee Tayl beik ii. Sema fgsi aaliik dapa diliska dalam bek dee plymial yag dikeal dega dee Tayl yaki ; fz zz fz! ' f z z z z z! '' f z... Dega meggaka dee eseb da memisalka! f z R z z z aiya ilai-ilai dai z beada dalam sa pesekiaa dega bek beik fz ' z '' z z fz zf z f z... f z Rz!! z z z. saga kecil yag maka dipeleh.3 Bedasaka pesamaa.3 dipeleh sa pedekaa k a peama dega caa pemga yai ' f z z f z f z.4 z Dega megambil ilai z yag egaif - z dipeleh bek beda md ' f z f z z f z.5 z Jika pesamaa.4 da.5 dieapka sekali lagi maka didapaka bek pedekaa k a keda yai '' f z z f z f z z f z.6 z 7

6 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 Selaya kia aka mempelas pedekaa beda higga k a pasial. Pada da vaiabel dipeleh pelasa dee Tayl beik : y y y y y y y! y! Bedasaka pesamaa.7 dipeleh yy y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Mede Beda Higga Pada Pesamaa Paas Falw Misalka bek sada dai pesamaa paas sa dimesi dega syaa baas Diichle dibeika sebagai beik : ; 00 ; 0 ;0.9 Uk medekai pesamaa.9 dega meggaka mede beda higga kia membagi dmai 0 0 F dega gais-gais pada smb da membek kisi-kisi gid. Gais-gais eseb membek pesegi paag dega sisi-sisi sea iik-iik pg iik gid N sebagai iik-iik sd pesegi paag eseb dega. J da Selaya aka dicai pedekaa dai slsi pesamaa.9 eseb pada iik-iik gid ii. Nilai pedekaa aka diasika sebagai U.0 Dega meggaka mede Ele pedekaa a peama ehadap dai pesamaa.0 adalah 8

7 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 9. Pedekaa a peama ehadap pesamaa. adalah. Sedagka pedekaa a keda ehadap yaki.3 Jika pesamaa. da.3 disbsisi kedalam pesamaa.9 dipeleh yag secaa eksplisi ehadap U pesamaa ii mempyai bek U U v U U U.4 dega v Pehaika bahwa k meghig U dipelka U U da U. METODE PENEITIAN Mede yag digaka dalam peeliia ii adalah sdi liea yaki megmplka bebeapa efeesi yag medkg a peeliia ii kemdia diaalisis da dikai k medapaka pemdela maemaika.

8 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 PEMBAHASAN Mdel Opea aplace dalam Kdia Kb da abg Pada peeliia ii pelis aka meelaska peilak paas yag eadi pada pses pegeiga bagea eae. Kaea bagea eae bebek abg maka kdia abg adalah saga epa. Peambaa paas pada psa bagea aka lebih cepa ika aak aaa sisi yag beseha dega paas ehadap psa begea semaki kecil. Apabila bagea memiliki ka iggi yag ah lebih besa dibadigka diamee ligkaa alasya maka pegaalisaa kia ckp pada peampag meligka bagea eseb. Dega kaa lai peambaa paas sepaag iggi bagea diabaika. Sepei gamba beik : y R R Ke : Aah Peambaa Paas Hbga aaa kdia kaesis dega kdia kb disaika sebagai beik: cs y si 4. Apabila asfmasi di aas dika secaa pasial maka dipeleh sebagai beik : y cs si y si cs Jika sa fgsi yag edifeesial da kali pada da y maka sesai dega aa aai dipeleh : y y cs si y Selaya dika lagi ehadap maka cs si y 4. 0

9 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 kaea hasil mesbsisi da y dapa dipeleh dai pesamaa 4. dega aa meggaika. Sehigga dipeleh cs y si y y cs yy si y Kaea sifa kekia dai fgsi maka akibaya y y cs y si y cs yy si cs y dega caa yag sama dipeleh si si cs y yy si si cs yy cs cs y si da kaea cs y si maka dipeleh 4.3 Uk meeka pea aplace pada Kdia Tabg pehaika hbga aaa Kdia Kb da Kdia Tabg yai dega meambah sa asfmasi z = z sehigga dipeleh iga bek asfmasi pada keiga smb y da z sebagai beik : cs ysi z z dega demikia dipeleh dega meambah zz pada pesamaa 4.3 yaki : z 4.4

10 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 Pesamaa Paas Pada Kdia Kb da Tabg Bedasaka hasil pesamaa 4.3 dega demikia pesamaa paas c dalam bek kdia kb adalah c c 4.5 Kaea sifaya yag simeis da bila pada baas ligkaa dibei sh yag sama maka disibsi sh idak begag pada. Sehigga pesamaa paas eedksi meadi c dega syaa awal da syaa baas sebagai beik : R k sema Pesamaa Paas Pada Kdia Tabg R Bedasaka hasil 4.4 maka pesamaa paas pada kdia abg meadi dega z c 4.7 z R 0 R da z dimaa R adalah ai-ai Bagea bebek abg da adalah iggi Bagea. Selaya pehaika syaa baas da syaa awal sebagai beik : z0 z R z 0 R z z 0 0 R 0 0 R dai syaa awal da syaa baas yag dibeika ampak bahwa disibsi sh di iik psa abg k seiap wak dilambagka dega 00 aiya secaa gemei iik dimaksd beada pada iik asal smb kdia. Seah maa peilak paas pada iik psa abg ii yag mepaka fks aa a dai peeliia ii.

11 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 Meskip demikia kia idak megabaika peilak paas yag eadi pada iikiik lai. Beik ii aka dipekealka bek sada dai pesamaa paas pada kdia kb da abg yaki sedagka pada kdia abg adalah zz pada pesamaa 4.9 da 4.0 fak c 3 diaggap beilai sa. Bek saada ii memiliki kelebiha yaki dega meyelesaika bek ii sekaligs dapa meelaska pesamaa 4.6 da 4.7 k ilai elaksaa dega dega meggaka sa asfmasi. Slsi Pesamaa Paas pada Kdia Tabg Slsi Aaliik c yag bebeda. Hal ii dapa Mdel pesamaa paas bek sada pada kdia abg adalah z 4. Jika diselh pemkaa abg dibeika sh yag sama pada pemkaa maka dipeleh syaa awal da syaa baas z0 z 0 R z 0 0 R z z 0 R 0 R 4. Secaa aaliik masalah ii belm bisa diselesaika dega meggaka ehik pemisaha vaiabel kaea syaa baas ak hmge memba masalah eseb ska k diselesaika. Nam bisa dilakka dega meggaka megbah masalah di aas meadi masalah dega syaa baas hmge. Dega megasmsika bahwa k asfmasi yag disibsi sh keadaa ak seady di aas meadi disibsi sh keadaa seady. Dega kaa lai bahwa disibsi sh eseb adalah pemlaha dai z v z w z 4.3 dega vz adalah slsi akhi k wak yag akhigga da diyaaka sebagai

12 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 v z lim v z 4.4 sedagka w z adalah bagia dai slsi begag pada syaa awal da pada akhiya me l. Dai disibsi v z yag seady dipeleh v v v zz dega syaa baas beik R z. 4.6 Uk mecai slsi dai masalah PDP hmge di aas digaka ekik pemisaha vaiabel misalka slsiya bepa vz RZz 4.7 dega R adalah fgsi da Zz adalah fgsi z. Dega mesbsisi pesamaa 4.6 ke pesamaa 4.7 da kemdia keda as dibagi dega R da Z sehigga R R d R d d R d dr R d Z d Z 0 aa dz dr d Z R d Z dz 4.8 as kii mepaka fgsi ehadap R semeaa as kaa mepaka fgsi ehadap Z. Uk memehi pesamaa 4.8 maka pemlaha as kii map as kaa has ksa misalka q 0 sehigga dipeleh R Z d Z q dz d R d q 4.9 dr q 4.0 R d pesamaa 4.0 ekivale dega d R dr q R 0 4. d d yag maa slsiya adalah fgsi Bessel eis peama J da eis keda Y. Kaea Y idak edefiisika pada = 0 maka slsiya adalah 4

13 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 R AqJ q dimaa q / J q dega A q! sa ksaa yag begag pada ilai q. Ksaa ii dapa dicai bedasaka keyaaa bahwa fgsi Bessel memiliki sifa kegala. Dega caa yag sama as kaa dai pesamaa 4.8 dapa dipisah meadi d Z q Z0 dz dega slsi sebagai beik :: d R Misalka s d s q 0 s q s sq q q R B q C q q Dega caa yag sama d Z q Z dz d Z q 0 Z dz d Z Zq 0 dz slsiya adalah qz Zz B q C q qz dega demikia slsi mm dai pesamaa 4.8 adalah z q0 A q J q B qz qz q Cq 4. Bedasaka iga syaa baas yag dibeika dipeleh q = 0. sehigga slsi bepa fgsi ksa. Oleh kaea i syaa baas meyaaka bahwa k seiap ilai da z disibsi sh aka eap maka z 4.3 5

14 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 Bealih pada disibsi asie dipeleh w w w w zz dega syaa awal da syaa baas bepa wr z 0 w w 0 0 w z0 4.4 Me ei sysem dimesi akhigga misalka a adalah kdisi saa wak a v z maka a memehi pesamaa difeesial a d Aa B d a0 a 4.6 dimaa a a Aa a z da d B d. d d disii didefiisika sebagai fgsi pada himpa sema fgsi yag ek da eiegal lipa da di dmai dai z da slsiya adalah dimaa a Ta T. 0 d d d 4.7 Ta lim N M a NM 0 m0 m T m sehigga slsi dai dibeika sebagai beik : z a 0 m d d d m m ep m T T..0 T. 4.8 apabila disbsisi 0 da maka dai pesamaa 4.8 didapa z T.z m m ep m 0 m 0 z J dzd R / cs m 0 m 0 / R J R m 6

15 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 R J cs R z J ep m m m z J 8 ep m cs R m J R 0m m m Uk psa abg dibeika leh y 00 8 R 0m ep m m J R m. Mede Beda Higga Uk Kdia Tabg Pses pada mede beda higga pada kdia abg idak ah bebeda pada kdia kaesis maka k pea aplace pada kdia abg secaa apksimasiya adalah z z z z z z z z z z z z z z selaya kia ba gais-gais paallel pada smb z da dega membek spasi z da sea iik-iik pg zm mz dega 0... k dega demikia skema eksplisi mede beda higgaya meadi z dega z v z z z z z v z z z v z z da v z z z z dai 4.9 dipeleh bek khssya sebagai beik : 4.9 7

16 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 z z v z z z z z 4.30 pesamaa 4.30 meyaaka bahwa peambaa paas sepaag iggi abg diabaika. Meski keyaaaya idak sesedehaa demikia am secaa gafis kedaya aka memiliki bek kva skema eksplisi yag ideik. Haya saa fak z pada pesamaa 4.30 dapa mempecepa ambaa sh di dalam abg. Kia pehaika pla syaa awal da sysa baas beik Kedala ama dai syaa baas k mdel ii adalah kia idak mempyai daa awal megeai sh pada baas 0 k seiap wakya. Bebeda dega mdel kdia kaesis dimaa sh baas dibeika k ilai 0. Aga pses ieasi dai skema eksplisi dapa beala maka peea sh pada iik eseb didekai dega 0... KESIMPUAN Bedasaka hasil pembahasa da ei-ei pedkg yag diaika sebelmya maka dapa disimpla sebagai beik :. Peilak peambaa paas pada bagea keai dapa dimdelka bedasaka pedekaa melali kdia abg.. Pses pemaasa pada seilisasi bagea keai aka beakiba pada peea kalias hasil pegeiga bagea keai dega cia asa yag saga gih. 3. Peambaa paas yag dimdelka dalam bek pesamaa difeesial pasial dega syaa awal da syaa baas. Syaa awal da syaa baas ii meggambaka keadaa sh sebelm pses pemaasa dilakka. 4. Dega meyelesaika mdel pesamaa paas peilak paas yag eadi diseiap iik dalam pada bagea keai yag bebek abg dapa dipediksi. DAFTAR PUSTAKA Bas M Mahemaical Mehd i he Physical Sciece Jh Wiley & Ss Caada. 8

17 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 Falw S.J. 98. Paial Diffeeial Eqais f Scieis ad Egiees Jh Wiley & Ss Caada. Hlma J.P. 99. Pepidaha Kal eemaha: Jasifi E. Jakaa : Elagga Keyszig E Advaced Egieeig Mahemaics Jh Wiley & Ss Sigape. M KW & Mayes D.F Nmeical Sli Of Paial Diffeeial Eqai. Cambige Uivesiy Pess Cambidge. N. Piskv. 98.Diffeeial ad Iegal Calcls Vl II. Mi Pblishes Mskw Pcell Edwi J & Vabeg Dale Kalkls da Gemei Aaliis Jilid da Teemaha: I Nyma Ssila Kaasasmia Baa Jakaa : Elagga. 9

18 Dela-Pi: Jal Maemaika da Pedidika Maemaika ISSN X Vl. N. Okbe 0 30