PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS Sii Muyassaroh Mahasiswa Jurusa Maemaika Fakulas Sais da Tekologi UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag ABSTRAK Persamaa Fokker-Plack merupaka persamaa diferesial parsial yag meggambarka fugsi disribusi parikel dalam suau sisem yag berisi bayak parikel yag salig berumbuka. Diguaka meode garis uuk meyelesaika solusi umerik pada persamaa Fokker-Plack. Meode ii merepreseasika beuk persamaa diferesial parsial ke dalam beuk sisem persamaa diferesial biasa yag ekuivale pada beuk persamaa diferesial parsialya. lagkah perama yag dilakuka uuk meyelesaika persamaa Fokker-Plack dega meode garis yaiu meggai urua ruag dega meode beda higga pusa, sehigga diperoleh beuk sisem persamaa diferesial biasa. Lagkah kedua yaiu meyelesaika sisem persamaa diferesial biasa yag elah diperoleh pada lagkah perama dega meode peyelesaia yag berlaku pada persamaa diferesial biasa yaiu meode Ruga-Kua. Hasil solusi umerik dega meode garis kemudia dibadigka dega solusi eksak meghasilka gala yag saga kecil aau medekai ol. Sehigga dapa disimpulka bahwa meode garis merupaka meode yag baik uuk meyelesaika persamaa Fokker-Plack. Kaa kuci: persamaa Fokker-Plack, meode garis, meode Ruga-Kua. ABSTRACT Fokker-Plack equaio is parially differeial equaio ha describe disribuio fucio of paricles o sysem coai may paricles ha collide each oher. The mehod of lies is used o solve umerical soluio of Fokker-Plack equaio. This mehod represes form of parially differeial equaio io he form of ordiary differeial equaio ha equivale o he form of is parially differeial equaio. The firs sep o solve Fokker-Plack equaio usig lie mehod is replacig spaial derivaive wih ceer fiie differece, i order o obai sysem of ordiary differeial equaio. The secod sep is solvig he sysem of ordiary differeial equaio ha have bee obaied i he firs sep usig he mehod of lies usig he solvig mehod ha used a ordiary differeial equaio, ha is Ruga-Kua mehod of fourh order. The umerical soluio obaied by usig he mehod of lies is compared o he eac soluio ad produce error ha very small or ed o zero. Therefore, i ca be cocluded ha he mehod of lies is good mehod for solvig Fokker-Plack equaio. Keywords: Fokker-Plack equaio, Lie mehod, Ruge-Kua mehod. PENDAHULUAN Persamaa Fokker-Plack merupaka persamaa yag meggambarka fugsi disribusi parikel dalam suau sisem yag berisi bayak parikel yag salig berumbuka. Persamaa ii berisi kompoe difusi parikel da ieraksi aar parikel (Palupi, 2). Beuk umum persamaa Fokker-Plack adalah: v (, ) = Av (, ) + 2 Bv (, ) () dega v merupaka fugsi disribusi parikel, A disebu sebagai koefisie apug (drif coefficie) da B disebu sebagai koefisie diffusi (Zauderer, 26). Persamaa Fokker-Plack ermasuk persamaa diferesial parsial karea megadug urua parsial, yaiu urua dega dua variabel bebas da. Salah sau meode uuk meyelesaika persamaa diferesial parsial adalah dega meode garis (mehod of lies). Meode garis merupaka meode beda higga khusus yag meghasilka solusi umerik yag medekai solusi sebearya. Ide dasar meode ii yaiu megubah beuk persamaa diferesial parsial ke dalam beuk persamaa diferesial biasa. Meode garis elah bayak dierapka pada beberapa permasalaha persamaa diferesial parsial. Beberapa peeliia erdahulu yag membahas meode garis aara lai yaiu membahas solusi umerik persamaa Korewegde Vries dega meode garis (Ozdes & Aksa, 26). Peeliia lai membahas peerapa

2 Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack dega Meode Garis meode garis pada persamaa Laplace (Sadiku & Obiozor, 997). Meode garis memiliki beberapa keuggula aara lai meode ii saga efisie dalam perhiuga karea meghasilka solusi yag akura dega sediki waku yag diempuh. Selai iu meode ii juga mudah dalam meeuka kesabilaya dega memisahka aara variabel ruag da waku (Sadiku & Obiozor, 997). KAJIAN TEORI Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack Persamaa Fokker-Plack merupaka persamaa yag meggambarka fugsi disribusi parikel dalam suau sisem yag berisi bayak parikel yag salig berumbuka (Palupi, 2). Persamaa ii perama kali dikealka oleh Fokker da Plack. Beberapa peerapa persamaa Fokker-Plack aara lai pada geraka idak meeu parikel kecil yag diredam dalam suau caira, flukuasi iesias siar laser, da disribusi kecepaa parikel caira dalam alira urbule. Secara umum persamaa Fokker-Plack dapa diaplikasika pada sisem keseimbaga maupu keakseimbaga (Frak, 24). Awal erbeukya persamaa oliier Fokker-Plack merupaka akiba erjadiya umbuka aara parikel, sehigga megalami perubaha arah gerak secara acak (Browia Moio). Parikel yag disebu sebagai parikel Browia ersebu megalami proses diffusi. Geraka parikel bersifa acak da geraka parikel idak dipegaruhi oleh geraka parikel sebelumya (Palupi, 2). Persamaa Fokker-Plack ermasuk persamaa diferesial parsial (PDP) karea persamaa ii meggambarka laju perubaha erhadap dua variabel bebas yaiu waku da jarak (ruag). Jika diliha dari persamaa (), maka persamaa Fokker-Plack merupaka PDP orde sau erhadap variabel bebas da orde dua erhadap variabel bebas. Persamaa Fokker- Plack merupaka PDP ipe parabolik. Meode Beda Higga Persamaa Fokker- Plack Uuk persamaa Fokker-Plack yag megadug variabel da, perkiraa beda higga dilakuka dega membua jariga iik hiuga pada bidag - yag dibagi dalam sejumlah pias dega ierval ruag da waku adalah Δ da Δ. Turua parsial pada seiap iik grid didekai dari ilai-ilai eagga dega megguaka dere Taylor. Beriku merupaka urua perama da kedua variabel dega meode beda higga pusa: v ( i, ) v i+ v i (2) v ( i, ) v i+ 2v i + v i (3) Sedagka uuk urua pada variabel dilakuka dega cara yag sama seperi di aas. Meode Garis Meode garis merupaka salah sau dari meode umerik yag palig efisie uuk meyelesaika persamaa diferesial parsial. Meode ii bayak diaplikasika pada beberapa masalah di bidag fisika eori. Meode garis perama kali dikealka oleh maemaikawa asal Jerma berama Erich Rohe pada ahu 93 (Pregla, 28). Ide dasar meode garis adalah meggai urua ruag (ilai baas) pada persamaa diferesial parsial dega pedekaa aljabar. Seelah ii dilakuka, urua ruag idak lagi diyaaka secara eksplisi dalam variabel bebas ruag. Dega demikia, haya ada variabel ilai awal saja ariya dega adaya sau variabel bebas yag ersisa maka diperoleh sisem persamaa diferesial biasa (PDB) yag medekai persamaa diferesial parsial yag asli. Kemudia selajuya adalah merumuska pedekaa sisem persamaa diferesial biasa. Seelah ii dilakuka maka bisa dierapka beberapa pedekaa uuk ilai awal persamaa diferesial biasa gua meghiug solusi umerik dari persamaa diferesial parsial (Hamdi, Schiesser, & Griffihs, 29). Meode Ruga-Kua Peyelesaia PDB dega meode dere Taylor idak prakis, karea meode ersebu membuuhka perhiuga urua f(, y). Disampig iu, idak semua fugsi mudah dihiug uruaya, eruama bagi fugsi yag beukya rumi. Oleh karea iu meode Ruga- Kua merupaka aleraif dari meode dere Taylor yag memberika keeliia hasil yag lebih besar da idak memerluka urua fugsi (Triamodjo, 22). Beuk umum meode Ruga-Kua: v r+ = v r + hθ( r, v r, h) (4) dega θ( r, y r, h) adalah fugsi perambaha yag meggambarka kemiriga pada ierval. Ada beberapa ipe meode Ruga-Kua yaiu meode Ruga-Kua orde sau, dua, iga da empa. Meode Ruga-Kua orde empa bayak diguaka karea mempuyai keeliia CAUCHY ISSN:

3 Sii Muyassaroh yag lebih iggi (Chapra & Caale, 22). Beriku merupaka beuk meode Ruga-Kua orde empa: v r+ = v r + 6 (k + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )h (5) dega: k = f( r, v r ) k 2 = f ( r + 2 h, v r + 2 k ) k 3 = f ( r + 2 h, v r + 2 k 2) k 4 = f( r + h, v r + k 3 ) PEMBAHASAN. Peerapa Meode Garis pada Peyelesaia Persamaa Fokker-Plack Ide dasar meode garis erdiri dari dua lagkah, perama meggai urua ruag dega megguaka meode beda higga sehigga diperoleh sisem persamaa diferesial biasa. Kemudia meyelesaika sisem persamaa diferesial biasa yag sudah diperoleh dega megguaka meode peyelesaia pada persamaa diferesial biasa, seperi meode Euler, meode Ruga-Kua da lai-lai. Meode ii diamaka meode garis karea solusi dieuka pada seiap garis = i dimaa daerah solusi dibagi mejadi beberapa garis lurus yag sejajar dega sumbu-y pada baas ereu (Sadiku & Obiozor, 997). Beriku merupaka model persamaa yag aka diselesaika dega meode garis: v e 3 v v = 2e 2 e 2 (6) Dega ilai awal yag diberika yaiu v(, ) =, uuk (,) da ilai baas v(, ) =, v(, ) = e 2. Daerah solusi dibaasi pada da (Hussai & Alwa, 23). Lagkah perama yag harus dilakuka pada meode garis adalah meggai urua ruag pada persamaa diferesial parsial dega megguaka meode beda higga pusa. Trasformasi beda pusa uuk urua perama da kedua variabel ruag: v ( i, ) v i+ v i (7) v ( i, ) v i+ 2v i + v i (8) subiusi pada persamaa (6) sehigga aka diperoleh beuk beriku: v ( i, ) = i e 3 ( v i+ 2vi +vi ) + v i+ vi + 2 i e 2 e 2 (9) Keika urua variabel ruag sudah digai dega beda higga, maka urua ruag ersebu idak lagi diyaaka secara eksplisi dalam variabel bebas ruag. Sehigga ersisa variabel ilai awal saja yaiu variabel. Dega demikia karea ersisa sau variabel bebas saja maka diperoleh sisem persamaa diferesial biasa (PDB) yag medekai PDP asliya (Hamdi, Schiesser, & Griffihs, 29). Maka persamaa diferesial parsial di aas berubah mejadi beuk persamaa diferesial biasa beriku: dv ( d i, ) = i e 3 ( v i+ 2vi +vi ) + v i+ vi + 2 i e 2 e 2 () Jika dipilih =,25 maka daerah solusi erdiri dari i, dega i =,,2,3,4 da =, aau =,,2,,. Sehigga aka diperoleh sisem persamaa diferesial biasa sebagai beriku: dv d = e 3 ( v e 2 dv d = e 3 ( v 2 e 2 dv 2 d = 2e 3 ( v 3 e 2 dv 3 d = 3e 3 ( v 4 e 2 dv 4 d = 4e 3 ( v 5 e 2 2v +v ) + v 2v +v ) + v 2 2v2 +v ) + v 3 2v3 +v2 ) + v 4 2v4 +v3 ) + v 5 v v v v2 v3 + 2 e e e e e 2 Lagkah kedua seelah diperoleh sisem PDB adalah meyelesaika PDB ersebu dega meode Ruga-Kua orde empa. Beuk umum meode Ruga-Kua orde empa yaiu sebagaimaa pada persamaa (5). Hasil perhiuga solusi meode garis digambarka dalam abel beriku. Tabel. Solusi Meode Garis Persamaa Fokker-Plack (6) Ierasi 2 3 4,25,5,75 2,,2549,5,765,22 3,2,26,522,784,48 4,3,2652,536,796,68 5,4,274,542,82,833,89 3,92 5,894 7,389 7 Volume 3 No. 3 November 24

4 Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack dega Meode Garis 2. Perbadiga Solusi Aaliik da Solusi Numerik Meode Garis pada Persamaa Fokker-Plack Solusi eksak (aaliik) persamaa Fokker-Plack (6) adalah sebagai beriku (Hussai & Alwa, 23): v(, ) = e 2 Berujua uuk meujukka bahwa solusi dega meode garis adalah medekai solusi aaliik maka keduaya digambarka dalam beuk plo. Solusi aaliik persamaa Fokker-Plack (6) sebagai beriku: SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN FOKKER-PLANCK v(, ) v(, ),25,,2549,255,2,25,2,26,262,2,25,3,2652,2655,3,25,4,274,278,4,25,5,2758,2763,5,75 5,894 5,548,3524 v(,) Gambar. Solusi aaliik persamaa Fokker-Plack (6) Sedagka plo solusi umerik dega meode garis sebagai beriku: v(,) Gambar 2. Solusi umerik persamaa Fokker-Plack (6) Peyelesaia secara umerik haya meghasilka ilai yag medekai pada solusi aaliikya. Berujua uuk megeahui besarya error meode garis erhadap solusi eksakya, dapa dilakuka dega meghiug selisih aara ilai eksak da ilai pedekaa dega meode garis. Besarya error digambarka pada abel beriku. Tabel 2. Perbadiga Solusi Numerik da Aaliik Solusi Numerik.2 Solusi Numerik Meode Garis Solusi Eksak.8.8 Nilai error Sedagka uuk megeahui error pemooga yag dihasilka oleh persamaa Fokker-Plack, dilakuka diskriisasi dega meode beda higga pusa, sehigga erbeuk skema beriku: v i + v i 2 + A ( v i+ 2v i +v i ) 2 B (v i+ v i ) () = f(, ) Kosisesi dapa dicari dega megguaka ekspasi dere Taylor pada masig-masig sukuya. Kemudia suku-suku sejeis dikelompokka, sehigga diperoleh persamaa beriku: ( v + A v B v 2 ) i v i + ( A v 6 B v 24 ) i v (2) i + 4 ( A v 2 ) = f(, ) i Dari persamaa (2) dapa dikeahui bahwa error pemooga yag dihasilka mempuyai orde dua yaiu O( 2, ). Persamaa (2) dikaaka kosise jika lim (, ) 6 2 v i + 2 ( A 6 v B 24 v ) i = Jika da saga kecil maka jumlah dari limi ersebu aka semaki kecil, karea berapapu ilai v, v, v jika dikalika dega ilai dari da aka iku megecil. Error pemooga yag dihasilka aka meuju ol uuk da. 3. Ierpreasi Hasil Meode garis merupaka meode umerik yag lebih akura dibadigka meode beda higga biasa karea meghasilka solusi yag akura dega waku perhiuga yag dibuuhka lebih efisie. Peyelesaia dega meode garis erdiri dari dua ahap, yaiu meggai urua variabel ruag dega meode beda higga sehigga diperoleh sisem PDB yag medekai beuk PDP asli, kemudia lagkah kedua yaiu meyelesaika sisem PDB CAUCHY ISSN:

5 Sii Muyassaroh dega meode peyelesaia PDB. Beuk meode beda higga yag diguaka yaiu beda higga pusa karea iik-iik yag dihiug dipegaruhi oleh iik-iik disekiarya sehigga beda higga pusa diaggap lebih baik daripada beda higga maju da mudur. Kemudia peyelesaia PDB megguaka meode Ruga- Kua orde empa karea meode ii mempuyai keeliia yag lebih iggi Berujua uuk megeahui perbadiga solusi aaliik da solusi meode garis, maka keduaya digambarka dalam beuk plo di aas. Hasil plo meujukka bahwa solusi aaliik da solusi meode garis pada persamaa (6) hampir sama aau dapa dikaaka bahwa solusi meode garis medekai solusi aaliikya. Hasil perhiuga meghasilka ilai error yag saga kecil meujukka bahwa solusi meode garis hampir medekai solusi aaliik. Error pemooga pada persamaa Fokker- Plack diliha dega cara ekspasi dere Taylor pada iap suku-sukuya sehigga dihasilka error pemooga yag mempuyai orde dua yaiu O( 2, ). PENUTUP Berdasarka pembahasa di aas, diperoleh kesimpula bahwa lagkah perama uuk meyelesaika persamaa Fokker-Plack dega meode garis adalah meggai urua variabel ruag dega meode beda higga, sehigga diperoleh beuk sisem persamaa diferesial biasa. Lagkah kedua yaiu meyelesaika sisem PDB yag erbeuk dega meode Ruga-Kua orde empa. Solusi yag dihasilka dega meode garis medekai ilai eksakya. Jadi dapa disimpulka bahwa meode garis merupaka meode yag baik uuk meyelesaika permasalaha solusi umerik pada persamaa Fokker-Plack. DAFTAR PUSTAKA Sofware ad Programig Applicaios. Fourh Ediio. New York: The Mc Graw-Hill Compaies, Ic. [2] Frak, T. (24). Noliear Fokker-Plack Equaio. Muser: Spriger-Berli. [3] Hamdi S., William E. Schiesser, Graham W. Griffihs. (29). Mehod of Lies. Scholarpedia, 5. [4] Hussai, E. d. (23). The Fiie Volume Mehod for Solvig Sysems of No-liear Iiial-Boudary Value Problems for PDE's. Applied Mahemaical Sciece, [5] Ozdes A. da Aksa E.N. (26). The Mehod of Lies Soluio of he Koreweg-de Vries Equaio for Small Times. I. J. Coemp. Mah. Sciece, [6] Palupi, D. (2). Persamaa Fokker-Plack da Aplikasiya dalam Asrofisika. Jural Berkala Fisika, A-A6. [7] Pregla, R. (28). Aalysis of Elegromageic Fields ad Waves: The Mehod of Lies. Briish: Joh Wiley & Sos, Ld. [8] Sadiku, M.N.O da Obiozor, C.N. (997). A Simple Iroducio o he Mehod of Lies. Ieraioal Joural of Elecrical Egieerig Educaio, [9] Triamodjo, B. (22). Meode Numerik Dilegkapi dega Program Kompuer. Yogyakara: Bea Offse. [] Zauderer, E. (26). Parial Differeial Equaios of Applied Mahemaich. New York: Wiley-Iersciece. [] Chapra, S.C. da Caale, R.P. (22). Numerical Mehods for Egieers wih 73 Volume 3 No. 3 November 24