PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN PERSAMAAN POISSON DALAM PELAT PERSEGI PANJANG DAN PELAT CAKRAM DENGAN METODE BEDA-HINGGA SKRIPSI

Transkripsi

1 PENYELESAIAN NMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN PERSAMAAN POISSON DALAM PELAT PERSEGI PANJANG DAN PELAT CAKRAM DENGAN METODE BEDA-HINGGA SKRIPSI Diaka tk Memehi Salah Sat Saat Mempeoleh Gela Saaa Sais Pogam Stdi Matematika Oleh: ANTONIS SETYO HARTANTO NIM: 35 PROGRAM STDI MATEMATIKA JRSAN MATEMATIKA FAKLTAS SAINS DAN TEKNOLOGI NIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 8

2 THE NMERICAL SOLTIONS OF THE LAPLACE EQATION AND THE POISSON EQATION IN A RECTANGLAR PLATE AND A DISK PLATE BY FINITE-DIFFERENCE METHOD Thesis Peseted as Patial Flfillmet of the Reqiemets To Obtai the SARJANA SAINS Degee I Mathematics b: ANTONIS SETYO HARTANTO Stdet Nmbe: 35 MATHEMATICS DEPARTEMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACLTY SANATA DHARMA NIVERSITY YOGYAKARTA 8 ii

3 iii

4 iv

5 Semoga oag-oag lai lebih baak mempeoleh peghagaa dai pada ak Semoga meeka mapat ala ag laca sedagka ak tesisihka Semoga meeka betambah besa dimaa dia sedagka ak tebelakag Semoga meeka mapat pia sedagka ak diabaika Semoga meeka megatasi ak dalam segala hal: YESS beikalah dak ahmat tk meghaapkaa. [Kad. Ma de Val] Skipsi ii saa pesembahka kepada: Allah Bapa Yag Maha Kasa da Tha Yess Kists Roh Kds Roh hidpk da Bda Maia Bda hatik Keda oag tak da Mbakk tecita Malaikat hidpk Obel tekasih Sema sesama ag mkgk v

6 vi

7 ABSTRAK Pesamaa difeesial pasial adalah pesamaa-pesamaa ag memat sat ata lebih ta pasial. Pesamaa difeesial pasial dapat timbl pada masalah-masalah fisis cotoha adalah pesamaa Laplace da pesamaa Poisso ag timbl pada masalah alia paas da-dimesi dalam pelat pesegi paag da pelat cakam. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag da pelat cakam dapat diselesaika secaa eksak dega meggaka metode Pemisaha Vaiabel. Sedagka pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag da pelat cakam dapat diselesaika secaa eksak dega caa membagi ke dalam da masalah ait pesamaa Laplace dega saat batas ohomoge da pesamaa Poisso dega saat batas homoge. Dalam peelesaia secaa eksak dibthka kemampa aalitik dalam meelesaika pesamaa-pesamaa difeesial biasa ag dihasilka dai metode Pemisaha Vaiabel. Pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dapat ga diselesaika secaa meik dega metode Beda-Higga. Metode ii dilakka dega metp pemkaa pelat dega gid beda higga meetka pekata beda higga di titik-titik gid pada pemkaa pelat da meelesaika sistem pesamaa liea ag dihasilka dai pekata-pekata beda higga. Dalam skipsi i sistem pesamaa liea diselesaika dega metode iteasi Gass-Seidel. Peelesaia meik ii meghasilka sh pekata di titik-titik dalam pada pemkaa pelat. vii

8 ABSTRACT Patial diffeetial eqatios ae eqatios which cotai oe o moe patial deivatives. Patial diffeetial eqatios ca be fod o the phsical poblems fo eamples Laplace eqatio ad Poisso eqatio which occ o the two-dimesioal heat flow poblems i a ectagla plate ad a disk plate. Laplace eqatio i a ectagla plate ad a disk plate ca be solved eactl b the method of Sepaatio of Vaiable. While Poisso eqatio i a ectagla plate ad a disk plate ca be solved eactl b divide ito two poblems that ae Laplace eqatio with a ohomogeos boda coditio ad Poisso eqatio with a homogeos boda coditio. I the eactl soltio eqied aaltical abilit to solve odia diffeetial eqatios which obtaied fom the method of Sepaatio of Vaiable. Laplace eqatio ad Poisso eqatio ca be solved meicall b the fiite-diffeece method. This method eected b cove sface plate with the fiite diffeece gid detemie the fiite diffeece appoimatios at the gid poits i the sface plate ad solve the liea eqatio sstem which obtaied fom the fiite diffeece appoimatios. I this pape the sstem is solved b Gass-Seidel iteatio method. This meical soltio ields appoimatio tempeates at iteio poits of the sface plate. viii

9 i

10 KATA PENGANTAR Pi da sk kepada ALLAH Yag Maha Rahim atas segala bekat ahmat kesehata da mkizat sehigga pelis dapat meelesaika skipsi ii. Setelah sekia lama akhia bekat doa da dkga dai sema pihak pelis dapat meelesaika skipsi ii. Oleh kaea it melis megcapka baak teima kasih ag sedalam-dalama kepada:. Ib Lsia Kismiati Bdiasih S.Si. M.Si. selak dose pembimbig skipsi ag telah melagka wakt pikia kesabaa ketelatea asehat da dooga dalam membimbig pelis selama pesa skipsi ii.. Bapak Y.G Hatoo S. Si. M.Sc. atas segala maska da asehat selama megeaka skipsi ii. 3. Bapak St. Eko Hai Pemad S.Si. M.Kom. da Bapak He Pibawato S.Si. M.Si. selak tim peg atas segala maska bagi pelis dalam meevisi skipsi ii.. Romo I. Gegois Heliako S.J. S.S. BST. M.A. M.Sc. selak Deka Fakltas Sais da Tekolog ag telah membei dkga kepada pelis. 5. Bapak da Ib dose ag telah membeika bekal ilm kepada pelis. 6. Tema-tema sepeaga: Taim Maks Ba Aa Ip da Galih. 7. Tema-tema Matematika agkata semagat kalia hebat-hebat. Yogakata Apil 8 Pelis

11 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JDL. i HALAMAN JDL DALAM BAHASA INGGRIS. ii HALAMAN PERSETJAN PEMBIMBING. iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN PERSEMBAHAN v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi ABSTRAK. vii ABSTRACT... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETJAN PBLIKASI KARYA ILMIAH NTK KEPENTINGAN AKADEMIS... i KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI.. i DAFTAR GAMBAR. iii DAFTAR LAMPIRAN. vi BAB I. Pahla A. Lata Belakag Masalah. B. Pemsa Masalah C. Pembatasa Masalah.. D. Ta Masalah.. 3 E. Metode Pelisa... 3 F. Mafaat Pelisa.. 3 G. Sistematika Pelisa. 3 BAB II. Pesamaa Difeesial Pasial da Metode Gass-Seidel 5 A. Pesamaa Difeesial Pasial 5 B. Pesamaa Laplace da Pesamaa Poisso.. C. Peelesaia Pesamaa Laplace Secaa Eksak. D. Peelesaia Pesamaa Poisso Secaa Eksak. 39 E. Metode Iteasi Gass-Seidel i

12 BAB III. Peelesaia Pesamaa Laplace da Pesamaa Poissso Secaa Nmeik A. Metode Beda-Higga 57. Pekata Beda Higga Pekata Beda Higga tk Pesamaa Laplace 65 a. Pesamaa Laplace dalam Pelat Pesegi Paag 65 b. Pesamaa Laplace dalam Pelat cakam Pekata Beda Higga tk Pesamaa Poisso 8 a. Pesamaa Poisso dalam Pelat Pesegi Paag 8 b. Pesamaa Poisso dalam Pelat Cakam. 8. Kekosistea Ode da Kekovegea Pekata Beda Higga.. 9 a. Kekosistea. 9 b. Ode..... c. Kekovegea 9 96 B. Peelesaia Nmeik Pesamaa Laplace dega Metode Beda-Higga. 97. Pesamaa Laplace dalam Pelat Pesegi Paag Pesamaa Laplace dalam Pelat Cakam.. C. Peelesaia Nmeik Pesamaa Poisso dega Metode Beda-Higga.. Pesamaa Poisso dalam Pelat Pesegi Paag.... Pesamaa Poisso dalam Pelat Cakam.. BAB IV. Petp 8 A. Kesimpla. 8 B. Saa 9 DAFTAR PSTAKA LAMPIRAN... ii

13 DAFTAR GAMBAR Halama Gamba.. Vekto omal di setiap titik pada batas C... 9 Gamba.. Alia paas da-dimesi tetap dalam pelat pesegi paag 3 Gamba.. Domai peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag... 6 Gamba..3 Alia paas da-dimesi tetap dalam pelat cakam... 7 Gamba.. Koodiat ktb... 8 Gamba..5 Domai peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat cakam... Gamba.3. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet... Gamba.3. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema... 6 Gamba.3.3 Pesamaa Laplace dalam pelat cakam dega saat batas Diichlet... 3 Gamba.3. Pesamaa Laplace dalam pelat cakam dega saat batas Nema Gamba.. Pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet... Gamba.. Pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema... 7 Gamba 3.. Gid beda higga pada domai pesegi paag Gamba 3.. Stesil beda higga di titik dalam i tk pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag Gamba 3..3 Stesil-stesil beda higga di titik pada tepi batas tk pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag Gamba 3.. Gid beka 5 5 dimaa Δ Δ tk pesamaa Laplace dega saat batas Diichlet... 7 iii

14 Gamba 3..5 Gid beka 5 5 dimaa Δ Δ tk pesamaa Laplace dega saat batas Nema... 7 Gamba 3..6 Gid beda higga pada domai ligkaa Gamba 3..7 Stesil beda higga di titik dalam sampai dega 75 tk pesamaa Laplace dalam pelat cakam... Gamba 3..8 Stesil beda higga di titik dalam da titik pada batas tk pesamaa Laplace dalam pelat cakam Gamba 3..9 Gid beka 8 dimaa Δ 5 da Δ θ tk pesamaa Laplace dega saat batas Diichlet Gamba 3.. Gid beka 8 dimaa Δ 5 da Δ θ tk pesamaa Laplace dega saat batas Nema Gamba 3.. Pekata beda higga di titik dalam i tk pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag.. 8 Gamba 3.. Gid beka 5 5 dimaa Δ Δ tk pesamaa Poisso dega saat batas Diichlet... 8 Gamba 3..3 Gid beka 5 5 dimaa Δ Δ tk pesamaa Poisso dega saat batas Nema.. 8 Gamba 3.. Stesil beda higga di titik dalam sampai dega tk pesamaa Poisso dalam pelat cakam Gamba 3..5 Gid beka 8 dimaa Δ da Δ θ tk pesamaa Poisso dega saat batas Diichlet Gamba 3..6 Gid beka 8 dimaa Δ da Δ θ tk pesamaa Poisso dega saat batas Nema iv

15 Gamba 3.. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet... Gamba 3.. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema... 3 Gamba 3..3 Pesamaa Laplace dalam pelat cakam dega saat batas Diichlet... 9 Gamba 3.. Pesamaa Laplace dalam pelat cakam dega saat batas Nema... Gamba 3.3. Pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet... Gamba 3.3. Pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema... 3 Gamba Pesamaa Poisso dalam pelat cakam dega saat batas Diichlet... 5 Gamba 3.3. Pesamaa Poisso dalam pelat cakam dega saat batas Nema... 6 v

16 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampia.5. Pogam tk meelesaika sistem pesamaa liea dega metode iteasi Gass-Seidel. Lampia 3.. Pogam tk meelesaika pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet. Lampia 3.. Pogam tk meelesaika pesamaa Laplace dalam 6 pelat pesegi paag dega saat batas Nema Lampia 3..3 Pogam tk meelesaika pesamaa Laplace dalam 3 pelat cakam dega saat batas Diichlet... Lampia 3.. Pogam tk meelesaika pesamaa Laplace dalam 3 pelat cakam dega saat batas Nema. Lampia 3.3. Pogam tk meelesaika pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet pada Cotoh Lampia 3.3. Pogam tk meelesaika pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema pada Cotoh Lampia Pogam tk meelesaika pesamaa Poisso dalam pelat cakam dega saat batas Diichlet pada Cotoh Lampia 3.3. Pogam tk meelesaika pesamaa Poisso dalam pelat cakam dega saat batas Nema pada Cotoh vi

17 BAB I PENDAHLAN A. Lata Belakag Masalah Pesamaa difeesial pasial adalah pesamaa-pesamaa ag memat sat ata lebih ta pasial. Pesamaa difeesial pasial dapat timbl pada masalahmasalah fisis cotoha adalah pesamaa Laplace da pesamaa Poisso ag timbl pada masalah alia paas da-dimesi dalam zat padat sepeti dalam pelat pesegi paag da pelat cakam. Sebagai ilstasi kass tad pelat aka dipaaska secaa kosta pada tepi batasa dega sh tetet da disekat sempa pada keda sisi pemkaaaa aga tidak tepegah oleh sh dai la. Sehigga aka mcl pemasalaha bagaimaa peambata paas di titik-titik dalam pada pelat tesebt pada saat mecapai kesetimbaga? Peambata paas di titik-titik dalam tk pesamaa Laplace dapat diselesaika secaa eksak dega metode Pemisaha Vaiabel sedagka tk pesamaa Poisso dapat diselesaika dega caa membagi ke dalam da masalah ait pesamaa Laplace dega saat batas ohomoge da pesamaa Poisso dega saat batas homoge. Peambata paas di titik-titik dalam tk pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dapat diselesaika secaa meik dega metode Beda-Higga ag aka

18 meghasilka sat sistem pesamaa liea. Sistem pesamaa liea ag dihasilka dapat diselesaika dega metode-metode iteas sepeti metode iteasi Jacob Gass-Seidel Relaksasi Belebih Betta (SOR) Pea Tecam da Kogasi Gadie. B. Rmsa Masalah Pokok pemasalaha ag aka dibahas dalam skipsi ii adalah:. Ladasa teoi apa saa ag digaka tk meelesaika pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag da pelat cakam secaa meik?. Bagaimaakah caa meelesaika pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag da pelat cakam secaa meik dega metode Beda-Higga da dega bata pogam Matlab? C. Pembatasa Masalah Dalam skipsi ii pelis haa aka membahas pesamaa Laplace da pesamaa Poisso ag timbl pada masalah alia paas da-dimesi dalam pelat pesegi paag da pelat cakam. Saat batas ag digaka adalah saat batas Diichlet da Nema. Metode iteasi ag digaka dalam skipsi ii adalah metode iteasi Gass-Seidel. Ladasa teoi ag bekaita dega Alaba Liea tidak dibeika dalam pelisa ii.

19 D. Ta Masalah Pelisa ii beta tk megetahi caa peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso ag timbl pada masalah alia paas da-dimesi dalam pelat pesegi paag da pelat cakam secaa meik. E. Metode Pelisa Metode pelisa ag digaka adalah metode stdi pstaka ait dega meggaka bk-bk al-al da makalah-makalah ag telah dipblikasika sehigga tidak ditemka hal ag ba. F. Mafaat Pelisa Mafaat pelisa ii adalah tk memahami tekik peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso ag timbl pada masalah alia paas da-dimesi dalam pelat pesegi paag da pelat cakam secaa meik dega metode Beda- Higga da dega bata pogam Matlab. G. Sistematika Pelisa Bab I. Pahla A. Lata Balakag Masalah B. Pemsa Masalah C. Pembatasa Masalah D. Ta Pelisa 3

20 E. Metode Pelisa F. Mafaat Pelisa G. Sistematika Pelisa Bab II. Pesamaa Difeesial Pasial da Metode Iteasi Gass-Seidel A. Pesamaa Difeesial Pasial B. Pesamaa Laplace da Pesamaa Poisso C. Peelesaia Pesamaa Laplace Secaa Eksak D. Peelesaia Pesamaa Poisso Secaa Eksak E. Metode Iteasi Gass-Seidel Bab III. Peelesaia Pesamaa Laplace da pesamaa Poisso Secaa Nmeik A. Metode Beda-Higga B. Peelesaia Nmeik Pesamaa Laplace dega Metode Beda-Higga C. Peelesaia Nmeik Pesamaa Poisso dega Metode Beda-Higga Bab IV. Petp A. Kesimpla B. Saa

21 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL A. Pesamaa Difeesial Pasial Pesamaa difeesial pasial (PDP) adalah pesamaa-pesamaa ag memat sat ata lebih ta pasial. Pesamaa it has melibatka palig sedikit da vaiabel bebas. Ode pesamaa difeesial pasial adalah tigkat ta tetiggi pada pesamaa it. Defiisi.. Padaglah vaiabel bebas... ) da vaiabel teikat... ) ( ( adalah fgsi ag tidak diketah maka betk mm pesamaa difeesial pasial dapat ditlis sebagai beikt: f ( ). 3 (..) Defiisi.. Opeato liea L tk da fgsi da didefiisika oleh L + ) L( ) + L( ) da L c + c ) c L( ) + c L( ) (..) ( dimaa da c adalah kostata sebaag. c (

22 Defiisi..3 Dega melis pesamaa difeesial pasial ke dalam betk L ata L g dega L adalah opeato. Maka pesamaa L (..3) disebt liea ika L adalah opeato liea. Pesamaa (..3) disebt pesamaa difeesial pasial liea homoge. Pesamaa L g (..) dimaa L adalah opeato liea da g adalah fgsi dai vaiabel-vaiabel bebas disebt pesamaa difeesial pasial liea ohomoge. Cotoh.. Cotoh pesamaa difeesial pasial adalah:. mepaka PDP ode- dega vaiabel bebas adalah da + vaiabel teikata adalah ( kaea tk ( ) ( ) + ( + ) da ) ( + ) ( ) + ( memehi pesamaa (..) maka pesamaa ii adalah pesamaa difeesial liea homoge; mepaka PDP ode- dega vaiabel bebas adalah t da tt vaiabel teikata adalah ( t) kaea tk ) ( tidak memehi pesamaa (..) maka pesamaa ii adalah pesamaa difeesial oliea homoge. 6

23 Teoema.. Pisip Speposisi Jika... memehi pesamaa liea homoge da ika c... c c adalah kostata sebaag maka kombiasi liea c + c + L + c adalah ga memehi pesamaa liea homoge ag sama. Bkti: Misalka... adalah peelesaia-peelesaia pesamaa liea homoge maka ii beati bahwa L ( ) L ( )... L( ). Selata meghitg L c + c + L + c ). Dai defiisi opeato liea maka ( L c + c + L + c ) c L( ) + c L( ) + L + c L( ). ( Kaea... adalah peelesaia homoge maka L ( c + c + L + c ) c + c + L + c. Jadi tebkti bahwa c + + c + L c memehi pesamaa liea homoge L ( ) ika... memehi pesamaa liea homoge ag sama. Pesamaa difeesial pasial dapat ga timbl pada masalah-masalah fisis sepeti dalam masalah alia paas peebaa zat da getaa sea. 7

24 Saat Awal da Saat Batas Pesamaa difeesial pasial ag timbl dalam masalah fisis mempai baak peelesaia maka aka dipilih sat peelesaia dega meetapka saatsaat bat. Saat-saat bat aka dimska tk meetka peelesaia tggal. Saat-saat ii teadi secaa fisis dalam da pebah ait saat awal da saat batas. Saat awal meetka keadaa fisis pada wakt t. Betk pesamaa saat awal adalah ( t ) φ () dimaa ( da φ () φ ( adalah fgsi ag dibeika. Sebagai cotoh tk masalah alia paas φ () adalah sh awal da tk masalah peebaa zat φ () adalah kosetasi awal. tk masalah getaa sea tedapat sepasag saat awal ait ( t ) φ () da ( t ) ψ () dimaa φ () adalah posisi awal da ψ () adalah kecepata awal. t Pesamaa difeesial pasial ag timbl dalam masalah-masalah fisis aka mempai domai D. Sebagai cotoh tk masalah alia paas D adalah daeah bidag dega batas D adalah kva tettp tk masalah peebaa zat D adalah lbag wadah zat cai dega batas D adalah pemkaa wadah adi batasa adalah pemkaa S ag disebt bd D. Sedagka tk masalah getaa sea D adalah iteval < < l dega batas D adalah da titik g ait da l. Saat batas meetka keadaa fisis di pada domai D. Tedapat tiga macam saat batas ag ckp petig ait: 8

25 . Saat batas Diichlet ait ika diketahi. Saat batas Diichlet dapat ditlis sebagai ( t) g( t) dimaa g( t) adalah fgsi ag dibeika ag biasaa disebt data batas.. Saat batas Nema ait ika ta omal Nema dapat ditlis sebagai ( t) g( t) diketahi. Saat batas dimaa g( t) adalah fgsi ag dibeika. Misalka ( ) meotasika vekto omal sata dalam bd D di setiap titik pada batas C. Sedagka ( ( meotasika ta beaah dai ( dalam aah omal pada batas C. batas C D Gamba.. Vekto omal di setiap titik pada batas C 3. Saat batas Rob ait ika + a diketah dimaa a adalah fgsi dalam t ag dibeika. Saat batas Robi ditlis meadi pesamaa 9

26 ( t) + a( t) g( t) dimaa g( t) adalah fgsi ag dibeika da a adalah fgsi dalam t ag dibeika. Masig-masig belak pada sema t da ( ag beada dalam bd D. Pesamaa Difeesial Pasial Ode-Da Disii pelis haa aka membahas pesamaa difeesial pasial liea ode- dega da vaiabel bebas. Defiisi.. Betk mm pesamaa difeesial pasial liea ode- dega da vaiabel bebas adalah: A + B + C + D + E + F S (..5) dega da adalah vaiabel bebas adalah vaiabel teikat da A B C D E F S adalah fgsi dalam da. Ta da koti pada doma sehigga. Bedasaka ilai koefisie A B da C dai pesamaa (..5) maka pesamaa difeesial pasial liea ode- dega da vaiabel bebas dapat diklasifikasika meadi tiga betk beikt:

27 . Jika B AC < dalam domai D maka disebt PDP eliptik. Jika B AC dalam domai D maka disebt PDP paabolik 3. Jika B AC > dalam domai D maka disebt PDP hipebolik. Cotoh.. tk mempeelas dalam membedaka PDP eliptik paabolik da hipebolik dibeika cotoh PDP ag timbl dalam masalah-masalah fisis beikt ii:. Pesamaa Laplace da pesamaa Poisso + + f ( ag timbl dalam masalah alia paas dega vaiabel bebas da vaiabel teikat (. Nilai koefisie A C da B maka B AC ( ) <. Jadi keda pesamaa ii mepaka PDP eliptik;. Pesamaa Difsi k ag timbl dalam masalah peebaa zat t dega vaiabel bebas t vaiabel teikat ( t) da k adalah koefisie difsi temal. Nilai koefisie A k da B C maka B AC ( ( k) ). Jadi pesamaa ii mepaka PDP paabolik; 3. Pesamaa Gelombag c ag timbl dalam masalah getaa tt sea dega vaiabel bebas t vaiabel teikat ( t) da c adalah kecepata gelombag. Nilai koefisie A c B da C maka

28 B AC ( c ) c >. Jadi pesamaa ii mepaka PDP ( ) hipebolik. Dalam skipsi i pelis haa aka membahas pesamaa Laplace da pesamaa Poisso. B. Pesamaa Laplace da Pesamaa Poisso Pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dapat timbl pada masalahmasalah fisis sepeti pada alia paas dalam zat padat difsi massa alia gas ideal da elektostatika. Dalam skipsi ii pelis haa aka membahas pesamaa Laplace da pesamaa Poisso ag timbl pada masalah alia paas da-dimesi dalam zat padat ait dalam pelat pesegi paag da pelat cakam. Pesamaa Laplace da Pesamaa Poisso dalam Pelat Pesegi paag Misalka sat pelat baa pesegi paag dega paag p leba l da tebal γ dipaaska da sha diaga kosta pada bagia-bagia tepia. Pada keda sisi pemkaa pelat disekat sempa sehigga tidak ada alia paas ke aah ketebala γ. Jadi diasmsika bahwa didapatka sat bidag pelat ( dega alia paas ke aah da saa ag ditkka pada Gamba...

29 γ p Q() Q( + Δ) Q( + Δ Q( D A Δ C Q( + Δ) Δ Q() B peekat peekat Q ( Q( +Δ l gambaa dai depa gambaa dai sampig Gamba.. Alia paas da-dimesi tetap dalam pelat pesegi paag Dai Gamba.. tampak bahwa eleme segi empat ABCD beka Δ Δ da la alia paas dalam aah da secaa bett-tt adalah Q () da Q( melitasi tepi-tepi eleme dalam aah sepeti ag ditkka pada Gamba... Pada saat teadi kesetimbaga alia paas ag mask ke eleme pelat dalam selag wakt Δt has sama dega alia paas ag kela dai eleme pelat ait [alia paas ag mask dalam aah hoizotal] + [alia paas ag mask dalam aah vetikal] [alia paas ag kela dalam aah hoizotal] + [alia paas ag kela dalam aah vetikal] ag dapat ditlis meadi [ Q( ) Δ γ Δt] + [ Q( Δγ Δt] [ Q( + Δ) Δ γ Δt] + [ Q( + Δ Δγ Δt]. (..) 3

30 Dega megalika pesamaa (..) dega kembal maka dipeoleh ΔΔγ Δt da mesa Q( ) Q( Δ + Δ) Q( + Q( Δ + Δ. (..) Dega megambil limita da memadag ta petama fgsi dega sat vaiabel maka pesamaa (..) dapat ditlis meadi Q( ) Q(. (..3) Bedasaka hkm kodksi paas Foie bahwa la alia paas Q() pe-it eleme dalam aah ( kal ( cm s ) adalah sebadig tehadap gadie tempeat ( t) maka dipeoleh dimaa k adalah koefisie difsi paas ( s) da C adalah kapasitas paas dai massa ( kal ( g C ) Q( ) kρc (..) 3 cm ρ adalah keapata massa ( cm ). g Aalog dalam aah aka dipeoleh Q( kρc. (..5) Dega mesbstitsika pesamaa (..) da (..5) ke dalam pesamaa (..3) maka dihasilka

31 + (..6) dimaa ( kaea dalam keadaa setimbag tidak dipegahi oleh wakt. Pesamaa (..6) disebt pesamaa Laplace dalam betk da dimesi. Jika ada smbe paas ag timbl dalam pelat (sepeti: petkaa paas) ag didiskipsika oleh fgsi la hilaga paas pe it volme f ( kρc dimaa k adalah koefisie difsi paas ρ adalah keapata massa da C adalah kapasitas paas dai massa. Aalog dega caa dipeoleha pesamaa Laplace maka aka dipeoleh pesamaa Poisso dalam betk da dimesi beikt: ( + ( f (. (..7) Pesamaa Laplace (..6) da Poisso (..7) dapat ditlis dalam betk: da f ( dimaa +. Pesamaa Laplace da pesamaa Poisso behbga dega masalah kesetimbaga ait dalam keadaa fisis tidak dipegahi oleh wakt t. Dalam kass i peelesaia di titik dalam ( dalam domai pada bidag- begatg pada peelesaia di sema titik ag lai dalam domai it ag disebt domai ketegatga. Sebalika pebaha peelesaia di titik dalam ( aka mempegahi titik ag lai dalam domai it ag disebt age 5

32 pegah. Domai ketegatga da age pegah di titik P dalam domai pesegi paag D diilstasika dalam Gamba... D P batas tettp domai ketegatga da age pegah Gamba.. Domai peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag Peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso adalah fgsi ( fgsi ii has memehi saat batas ag ditetka. Da tipe saat batas ag seig digaka adalah:. Saat batas Diichlet Saat batas Diichlet tk pesamaa Laplace da pesamaa Poisso secaa bett-tt adalah dalam domai D da ( g( pada batas C da f ( dalam domai D da ( g( pada batas C dimaa g( adalah sh ag ditetka. Pada tipe saat batas i sh di setiap titik pada batas diketahi.. Saat batas Nema Saat batas Nema tk pesamaa Laplace da pesamaa Poisso secaa bett-tt adalah 6

33 ( dalam domai D da g( pada batas C da ( f ( dalam domai D da g( pada batas C. Pada tipe saat batas i ada sh di titik pada batas ag tidak diketahi. Pesamaa Laplace da Pesamaa Poisso dalam Pelat Cakam Misalka sat pelat baa cakam dega ai-ai ligkaaa da tebal γ dipaaska da sha diaga kosta pada tepi batasa. Pada keda sisi pemkaa pelat disekat sempa sehigga tidak ada alia paas ke aah ketebala γ. Jadi diasmsika bahwa didapatka sat domai bidag ligkaa pelat ( θ ) dega alia paas ke aah da θ saa ag ditkka pada Gamba..3. γ Q(θ) C Q( θ + Δθ) Q( + Δ) Q() D Δθ Q() Δ o Q ( + Δ) A B Q(θ ) Q( θ + Δθ) peekat peekat ( θ) gambaa dai depa gambaa dai sampig Gamba..3 Alia paas da-dimesi tetap dalam pelat cakam 7

34 Kaea domai dai pesamaa Laplace bebetk ligkaa maka pesamaa Laplace ditasfomasika dega fgsi koti ke dalam sistem koodiat ktb (Gamba..) dega meggaka tasfomasi sehigga dipeoleh ( θ ) ( cosθ siθ ). cos θ da si θ (..8) ( θ ) θ Gamba.. Koodiat ktb Dega meka pesamaa (.3.8) aka didapatka d cos θ d siθ d θ da d siθ d + cosθ d θ ag aka membeika d siθ cosθ cosθ d + siθ d da d θ d + d Meggaka ata atai tk pifeesiala aka dipeoleh. d θ θ d + d dθ d + d dimaa 8

35 cosθ θ si θ siθ θ cosθ da + θ θ θ θ θ si cos + + θ θ θ θ θ cos si. Kemdia si cos si cos θ θ θ θ θ θ + θ θ θ θ + + cos si si (..9) cos cos si si θ θ θ θ θ θ + + θ θ θ θ + cos si cos. (..) Dega mesbstitsika pesama (.3.9) da (.3.) ke dalam pesamaa Laplace (..6) aka didapatka pesamaa Laplace dalam betk ktb da dimesi beikt: + + θ dimaa ) si cos ( ) ( θ θ θ. Jika ada smbe paas ag timbl dalam pelat cakam (sepeti: petkaa paas) ag didiskipsika oleh fgsi ) ( θ f maka aka timbl pesamaa Poisso dalam betk ktb da dimesi beikt: ). ( θ θ f PLAGIAT MERPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPJI

36 Domai ketegatga da age pegah di titik Q dalam domai ligkaa D diilstasika dalam Gamba..5 di bawah ii. D o Q batas tettp domai ketegatga da age pegah Gamba..5 Domai peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat cakam Peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat cakam adalah fgsi ( θ) fgsi ii has memehi saat batas ag ditetka. Saat batas ag digaka sepa dega ag digaka dalam pelat pesegi paag. C. Peelesaia Pesamaa Laplace Secaa Eksak Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag da pelat cakam dapat diselesaika secaa eksak dega meggaka metode Pemisaha Vaiabel. Metode Pemisaha Vaiabel Metode Pemisaha Vaiabel dapat digaka ika pesamaa difeesial pasial adalah liea da homoge. Secaa mm lagkah-lagkah tk meelesaika pesamaa Laplace ag memehi saat batas ag ditetka adalah sebagai beikt:

37 . Memisahka da vaiabel bebas dalam pesamaa Laplace sehigga aka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa.. Meetka peelesaia tk keda pesamaa ag telah dipeoleh ag memehi saat batas ag ditetka. 3. Peelesaia-peelesaia it dikombiasika secaa liea dega Pisip Speposisi sehigga hasila mepaka peelesaia ag memehi saat batas ag ditetka. Peelesaia Eksak Pesamaa Laplace dalam Pelat Pesegi Paag Pesamaa Laplace dalam betk sik adalah liea da homoge sehigga dapat diselesaika dega metode Pemisaha Vaiabel. Cotoh.3. Cailah peelesaia pesamaa Laplace + dalam < < a da < < b (.3.) dega saat batas Diichlet beikt ( ) ( b) g( ) pada < < a da (.3.) ( ( a pada < < b (.3.3) ag dapat diilstasika pada Gamba.3. di bawah ii.

38 b g() + a Gamba.3. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet Peelesaia: Misalka peelesaiaa bebetk ( X ( ) Y ( (.3.) dimaa ( adalah peelesaia tak tivial. Ta pasial tigkat da pesamaa (.3.) tehadap da secaa bett-tt " " adalah ( X ( ) Y ( da ( X ( ) Y (. Bila disbstitsika ke pesamaa (.3.) da mesa kembali dapat ditlis meadi Y"( Y ( X "( ). X ( ) Misalka ilai pebadigaa adalah λ maka Y"( Y ( X "( ) X ( ) λ. Selata aka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa X" ( ) + λ X ( ) (.3.5) Y" ( λ Y( (.3.6)

39 Aka dicai peelesaia pesamaa (.3.5) telebih dahl. Pesamaa bat tk pesamaa (.3.5) adalah m + λ ag dapat ditlis meadi m λ ata m ± λ. Aka dipeoleh aka-aka kompleks ait m ±i λ sehigga peelesaia mma adalah X i λ i λ ( ) ce + ce. (.3.7) θ Dega memadag bahwa e i cos θ + isiθ maka pesamaa (.3.7) meadi X ( λ ) d si( λ ) ) d cos ( + dimaa d c + da d i c ). c ( c Dega saat batas pesamaa (.3.3) maka pesamaa (.3.) meadi ( X () Y( da ( a X ( a) Y (. Beati dapat dipeoleh X() da X(a). d cos d ata d. Kaea X() maka didapatka ( λ ) + si( λ ) Kaea X(a) da telah didapatka d maka aka didapatka d si ( a λ ) ata λ dega 3 K. a Nilai λ disebt ilai eige ait ilai ag membat peelesaia tak tivial. Dega megambil d aka dipeoleh peelesaia tak tivial ag disebt fgsi eige tk pesamaa (.3.5) beikt X ( ) si dega 3 K. (.3.8) a 3

40 Selata aka dicai peelesaiaa pesamaa (.3.6). Dega ilai λ ag telah dipeoleh maka pesamaa (.3.6) meadi Y"( a Y (. (.3.9) Aalog dega caa peelesaia pesamaa (.3.5) aka dipeoleh peelesaia mm pesamaa (.3.6) beikt a a Y ( C e + D e (.3.) dimaa C da D adalah kostata sebaag. Dega saat batas ( ) maka dai pesamaa (.3.) dipeoleh ( ). Kemdia dai pesamaa (.3.) didapatka Y ( ) C + D ata D C. Sehigga dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.6) beikt a Y a ( C e e e e dega memadag sih ( ) maka dapat ditlis meadi betk Y ( C sih. (.3.) a Dega mesbstitsika pesamaa (.3.8) da (.3.) ke dalam pesamaa (.3.) maka dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.) beikt ( A si sih dimaa A C. a a Pesamaa (.3.) adalah liea da homoge maka met pisip speposisi Y

41 sih si ) ( ) ( a a A (.3.) ga mepaka peelesaia bagi pesamaa (.3.). Peelesaia (.3.) ga memehi saat batas ) ( ) ( g b maka pesamaa (.3.) meadi ) ( si ) ( g a b b dimaa. sih a b A b (..3) Pesamaa (..3) adalah deet sis Foie. Sehigga met deet sis Foie. )si ( d a g a b a Sehigga aka dipeoleh. )si ( sih sih d a g a b a a b b A a (.3.) Sehigga dipeoleh peelesaia dai pesamaa (.3.) dega saat-saat batas (.3.) da (.3.3) beikt sih si ) ( a a A dega d a g a b a A a )si ( sih. 5 PLAGIAT MERPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPJI

42 Cotoh.3. Cailah peelesaia pesamaa Laplace + dalam < < a da < < b (.3.5) dega saat batas Nema beikt ( ) ( b) pada a da (.3.6) ( ( a g( pada b (.3.7) ag dapat diilstasika pada gamba.3. di bawah ii. b + g( a Gamba.3. Pesamaa Laplace dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema Peelesaia: Misalka peelesaiaa bebetk ( X ( ) Y (. (.3.8) Secaa aalog dega pesamaa Laplace (.3.) maka aka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa X" ( ) + λ X ( ) da (.3.9) Y" ( λ Y(. (.3.) 6

43 ' ' Dai saat batas (.3.6) aka dipeoleh ( ) X ( ) Y () ata Y () ' ' da ( b) X ( ) Y ( b) ata Y ( b). ' ' Dai saat batas (.3.7) aka dipeoleh ( X () Y ( ata X (). Aka dicai peelesaia pesamaa (.3.) telebih dahl. Pesamaa (.3.) sepa dega pesamaa (.3.5) ait dega X ( ) Y( da λ λ sehigga dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.) beikt Y ( λ ) + d si( λ ) d cos (.3.) ( dimaa d c + da d i c ). c ( c Ta petama pesamaa (.3.) tehadap adalah Kaea Y ( λ ) + d λ cos( λ ) d λ si ' ( ' () maka dipeoleh Y ) d λ si + d λ cos ata d. ' Y ( ( ) ( ) ' Kaea Y ( b) da maka d d λ si ( b λ ) ata si ( λ ) sehigga aka dipeoleh λ ata λ dega 3 K. b b. b Dega megambil d aka dipeoleh peelesaia tak tivial tk pesamaa (.3.) beikt Y ( cos dega 3 K. (.3.) b Selata aka dicai peelesaia pesamaa (.3.9). 7

44 Dega ilai λ ag telah dipeoleh maka pesamaa (.3.9) meadi. ) ( ) "( X b X (.3.3) Pesamaa (.3.3) sepa dega pesamaa (.3.9) ait dega da sehigga dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.3) beikt ) ( ) ( X Y b a b b e D e C X + ) ( (.3.) dimaa da adalah kostata sebaag. C D Ta petama pesamaa (.3.) tehadap adalah b b e D b e C b X ) ( '. Kaea maka didapatka () ' X () ' e D b C e b X ata D C. Sehigga dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.9) beikt + b b e e C X ) ( dega memadag ) cosh ( e e + maka dapat ditlis meadi betk b C X cosh ) (. (.3.5) Dega mesbstitsika pesamaa (.3.) da (.3.5) ke dalam pesamaa (.3.8) maka dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.5) beikt 8 PLAGIAT MERPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPJI

45 b b A cos cosh ) ( dimaa. C A Met pisip speposis maka + cos cosh ) ( ) ( b b A A (.3.6) ga mepaka peelesaia bagi pesamaa (.3.5). Ta petama pesamaa (.3.6) tehadap adalah cos sih ) ( b b A b. Kaea maka dipeoleh ) ( ) ( g a ) ( cos sih ) ( g b b a A b a ag dapat ditlis meadi ) ( cos g b a dimaa. sih b a A b a (..7) Pesamaa (..7) disebt deet kosis Foie. Sehigga met deet kosis Foie b d b g b a )cos (. Sehigga aka dipeoleh. )cos ( sih sih d b g b a b a b a A b (..8) 9 PLAGIAT MERPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPJI

46 Sehigga dega mesbstitsika pesamaa (..8) ke dalam pesamaa (.3.6) maka aka dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.5) dega saat-saat batas (.3.6) da (.3.7) beikt ( A + A cosh cos (..9) b b dimaa A adalah kostata sisa da A b g d a ( )cos. b sih b A tidak dapat ditetka kaea ta omal pada saat batas. A telah meghilag dalam pifeesiala Peelesaia Eksak Pesamaa Laplace dalam Pelat Cakam Pesamaa Laplace dalam betk ktb adalah + + θ (.3.3) ag dapat ditlis meadi + +. θθ (.3.3) Pesamaa Laplace (.3.3) dapat ditlis meadi betk ( ) + θθ. (.3.3) 3

47 Pesamaa Laplace dalam betk ktb adalah liea da homoge sehigga dapat diselesaika dega metode Pemisaha Vaiabel. Cotoh 3..3 Cailah peelesaia pesamaa Laplace ( ) + θθ dalam < < A da θ < (.3.33) dega saat batas ( A θ ) g( θ ) pada θ < (.3.3) Masalah diatas dapat diilstasika dalam Gamba.3.3 di bawah ii. g(θ) θ o ( ) + θθ Gamba.3.3 Pesamaa Laplace dalam pelat cakam dega saat batas Diichlet Peelesaia: Misalka peelesaiaa bebetk ( θ ) R( ) Θ( θ ) (.3.35) dimaa ( θ) adalah peelesaia tak tivial. 3

48 Pesamaa (.3.35) dicai ta-ta pasiala tehadap da θ kemdia disbstitsika ke pesamaa (.3.33) da mesa kembal maka dipeoleh " Θ ( θ ) Θ( θ ) ' ' ( R( ) ) R( ). Misalka ilai pebadigaa adalah μ maka " Θ ( θ ) Θ( θ ) ' ' ( R( ) ) R( ) μ. Selata aka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa " Θ ( θ ) + μ Θ( θ ) da (.3.36) " ' R ( ) + R ( ) μ R( ) (.3.37) Aka dicai peelesaia pesamaa (.3.36) telebih dahl. Pesamaa (.3.36) sepa dega pesamaa (.3.5) ait X ( ) Θ( θ) da λ μ sehigga peelesaia mma adalah θ iθ μ iθ μ Θ( ) ce + ce. (.3.38) θ Dega memadag bahwa e i cos θ + i siθ maka pesamaa (.3.38) meadi ( θ μ ) si( θ μ ) Θ θ ) d cos + (.3.39) ( d dimaa d c + da d i c ). c ( c Ta petama dai pesamaa (.3.39) adalah ( θ μ ) d μ cos( θ μ ) ' Θ ( θ ) d μ si +. (.3.) Dalam peiodik- ilai dai 3

49 ' ' Θ ( ) Θ( ) da Θ ( ) Θ ( ) (.3.) Dega mesbstitsika pesamaa (.3.39) da (.3.) ke dalam pesamaa (.3.) maka aka dipeoleh d ( μ ) + d si( μ ) d cos( μ ) + si( μ ) d cos d da ( μ ) + d μ cos( μ ) d μ si( μ ) + μ cos( μ ) μ si d. Dega memadag bahwa kosis adalah fgsi geap ait cos( ) cos( ) da sis adalah fgsi gasal ait si( ) si( ) maka meghasilka si( μ ) ata μ dega 3 K. Sehigga dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.36) beikt ( θ ) b si( θ ) Θ ( θ ) a cos + (.3.) dimaa a da b adalah kostata sebaag. Selata aka dicai peelesaia pesamaa (.3.37). Dega ilai μ ag telah dipeoleh maka pesamaa (.3.37) meadi R " ' ( ) + R ( ) R ( ) (.3.3) Pesamaa (.3.3) mepaka pesamaa difeesial Ele ode-da bebetk a + a a " ' + dimaa a a a adalah kostata da a. Jika > maka caa peelesaiaa dipetaka dega t e. Sedagka Jika < maka aka t dipetaka dega e. 33

50 Pesamaa difeesial Ele ode-da aka dibah meadi pesamaa difeesial.. a + ( a a ) + a. dimaa titik diatas vaiabel meataka ta met t. Sehigga peelesaiaa adalah sebagai beikt: t Kaea > maka meggaka pemetaa e da pesamaa (.3.3) meadi.. R R. (.3.) Pesamaa (.3.) adalah pesamaa difeesial biasa liea homoge maka pesamaa bata adalah m. Yag mempai aka-aka eal bebeda ait m da m sehigga peelesaia mma adalah R t c e d t t ( ) +. e Tetapi t e maka aka meadi R c d ( ) + dimaa c da d adalah kostata sebaag. Kaea di titik psat ligkaa maka ditetka d aga R () koti. Dega d da megambil c maka dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.3) beikt R ( ). (.3.5) Dega mesbstitsika pesamaa (.3.) da (.3.5) ke dalam pesamaa (.3.35) dipeoleh peelesaia pesamaa (.3.33) dega saat batas (.3.3): 3

51 a ( θ ) ( A cos( θ ) + B si( θ )) ika ika 3 K. Kaea pesamaa (.3.33) adalah liea da homoge maka met pisip speposisi ( θ ) ( θ ) a + ) ( a cos( θ ) + b si( θ ) (.3.6) ga mepaka peelesaia bagi pesamaa (.3.33). Peelesaia (.3.6) memehi saat batas ( A θ ) g( θ ) maka pesamaa (.3.6) meadi g( θ ) a ( A a cos( θ ) + A b si( θ ). (.3.7) + ) Aka dicai ilai a telebih dahl. Dega megitegalka as kii da kaa pesamaa (.3.7) dega batas bawah da batas atas maka aka dipeoleh ag meghasilka g( θ ) dθ a dθ + A a cos( θ ) dθ + A b si( θ ) dθ g ( θ ) dθ [ ] a + A a [ si( )] + A b [ cos( )] kaea si( ) da [ cos( )] tk 3... maka dipeoleh a θ dθ g ( ). (.3.8) 35

52 Selata aka dicai ilai a. Dega megalika pesamaa (..7) dega cos ( θ ) maka aalog dega caa mecai ilai a aka dipeoleh a g( θ )cos( θ ) dθ (.3.9) A Selata dicai ilai dai b. Dega megalika pesamaa (..7) dega si ( θ ) maka aalog dega caa mecai ilai a aka dipeoleh b g( θ )si( θ ) dθ (.3.5) A Kostata-kostata ag didefiisika oleh pesamaa (.3.7) sampai dega (.3.5) disebt koefisie-koefisie Foie. Sehigga dipeoleh peelesaia dai pesamaa (.3.33) dega saat batas (.3.3) beikt dega ( θ ) a ( a cos( θ ) + b si( θ ) + ) a θ dθ g ( ) a g θ θ dθ A ( )cos( ) da b A g( θ )si( θ ) dθ. 36

53 Cotoh.3. Misalka dicai peelesaia pesamaa Laplace ( ) + θθ dalam < < A da θ < (.3.5) dega saat batas ( A θ) g( θ) pada θ < (.3.5) Masalah diatas dapat diilstasika dalam Gamba.3. di bawah ii. g(θ) θ o ( ) + θθ Gamba.3. Pesamaa Laplace dalam pelat cakam dega saat batas Nema Peelesaia: Misalka peelesaiaa bebetk ( θ ) R( ) Θ( θ ). (.3.53) Secaa aalog dega pesamaa Laplace dalam betk ktb (.3.33) maka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa " Θ ( θ ) + μ Θ( θ ) da (.3.5) " ' R ( ) + R ( ) μ R( ). (.3.55) 37

54 Aka dicai peelesaia pesamaa (.3.5) da (.3.55). Pesamaa (.3.5) da (.3.55) secaa bett-tt sepa dega pesamaa (.3.36) da (.3.37) maka peelesaiaa adalah ( θ ) ( θ ) a + ) Ta petama pesamaa (.3.56) tehadap adalah ( a cos( θ ) + b si( θ ). (.3.56) ( θ ) ( a cos( θ ) + b si( θ )). Kaea ( A θ) g( θ) maka dipeoleh Aka dicai ilai a. g( θ ) A ( a cos( θ ) + b si( θ )). (.3.57) Dega megalika pesamaa (..57) dega cos ( θ ) da megitegalka as kii da kaa dega batas bawah da batas atas maka aka dipeoleh g ( θ )cos( θ ) dθ A a cos ( θ ) dθ + A b si( θ )cos( θ ) dθ ag meghasilka ( A a [ ] g θ )cos( θ ) dθ θ + A b si ( θ ). Kaea si( ) si( ) tk 3... maka dipeoleh a g( θ )cos( θ ) A dθ (.3.58) 38

55 Selata dicai ilai dai b. Dega megalika pesamaa (..58) dega si ( θ ) maka aalog dega caa mecai ilai a aka dipeoleh b g( θ )si( θ ) A dθ (.3.59) Sehigga dipeoleh peelesaia dai pesamaa (.3.5) dega saat-saat batas (.3.5) beikt dimaa ( θ ) a a adalah kostata sisa a ( a cos( θ ) + b si( θ ) + ) ) A g( θ)cos( θ dθ da b g( θ)si( θ) dθ. A D. Peelesaia Pesamaa Poisso Secaa Eksak Jika dalam pelat tedapat smbe paas ag diketah maka pesamaa Laplace aka meadi pesamaa ag ohomoge beikt f ( (..) dimaa f( adalah fgsi ag miskipsika smbe paas tesebt. Pesamaa (..) disebt pesamaa Poisso. Pesamaa Poisso adalah ohomoge maka tidak dapat diselesaika dega metode Pemisaha Vaiabel. 39

56 Caa peelesaiaa adalah dega membagi pesamaa Poisso dega saat batas dalam da masalah ait:. Megbah pesamaa Poisso meadi pesamaa homoge ait pesamaa Laplace dega saat batas ohomoge;. Pesamaa Poisso dega saat batas ag homoge. Sehigga peelesaia legkapa adalah gabga dai peelesaia dai da masalah tadi. Cotoh.. Cailah peelesaia pesamaa Poisso ( f ( dalam < < a da < < b dega saat batas Diichlet beikt (..) ( ( a ( ) da ( b) g( ) ag dapat diilstasika dalam Gamba.. di bawah ii. g() b + f ( ) a Gamba.. Pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Diichlet Peelesaia: Caa peelesaiaa adalah dega membagi masalah (..) meadi da masalah:

57 . Pesamaa Laplace ( dalam < < a da < < b dega saat batas (..3) ( ( a ( ) da ( b) g( ) ag peelesaiaa diotasika dega ( ; L. Pesamaa Poisso ( f ( dalam < < a da < < b dega saat batas (..) ( ( a ( ) ( b) ag peelesaiaa diotasika dega (. Sehigga peelesaia legkapa adalah ( ( (. (..5) L + Aka dicai peelesaia masalah (..3) telebih dahl. Caa peelesaia masalah (..3) aalog dega peelesaia pesamaa Laplace (.3.) dega saat batas (.3.) da (.3.3) sehigga peelesaiaa adalah P P ( L A si sih (..6) a a dega A a g d b ( )si. a a sih a Selata aka dicai peelesaia masalah (..)

58 tk meelesaika masalah (..) diasmsika bahwa peelesaiaa sepa dega peelesaia pesamaa Helmholtz φ( + λφ( dalam < < a da < < b (..7) dega saat batas φ ( φ( a φ( ) φ( b). Misalka peelesaia pesamaa Helmholzt bebetk φ ( X ( ) Y(. (..8) Pesamaa (..8) dicai ta pasial tigkat da tehadap da kemdia disbstitsika ke pesamaa (..7) da mesa kembal maka dipeoleh X"( ) X ( ) " Y ( Y ( λ. Misalka ilai pebadigaa adalah μ maka X"( ) X ( ) " Y ( Y( λ μ Selata aka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa X" ( ) + μ X ( ) X ( ) X ( a) da (..9) Y" ( + ( λ μ) Y ( Y ( ) Y( b). (..) Aka dicai peelesaia pesamaa (..9) telebih dahl. Pesamaa (.3.9) sepa dega pesamaa (.3.5) ait dega λ μ sehigga aka dipeoleh m μ m dega m 3 K. a

59 da peelesaia pesamaa (..9) dega megambil d Am beikt X m m ( ) Am si dimaa m 3 K. (..) a Selata aka dicai peelesaia pesamaa (..). Pesamaa (.3.) ga sepa dega pesamaa (.3.5) ait dega λ ( λ μ) sehigga aka dipeoleh λ μm dega 3 K b da peelesaia pesamaa (..) dega megambil d A beikt Y ( ) A si dimaa 3 K. (..) b Sehigga dipeoleh ilai λ pada pesamaa Helmholtz (..8) beikt m λ λm + m 3 K. (..3) a b Dega mesbstitsika peelesaia (..) da (..) ke dalam pesamaa (..8) maka dipeoleh peelesaia pesamaa Helmholtz (..7) beikt m φm ( Am si si dimaa A m Am A. a b Dega meggaka pisip speposis maka m φ m( Am si si (..) m a b ga mepaka peelesaia pesamaa Helmholzt (..8). 3

60 Sehigga peelesaia masalah (..) adalah ( P m φ m( Am si si. (..5) m a b Aka dicai ilai A m. Dega mesbstitsika peelesaia pesamaa Helmholzt (..) ke dalam pesamaa Poisso (..) aka dipeoleh m φm ( f ( Dai pesamaa Helmholzt (..8) dipeoleh elasi φ ( λ φ ( maka pesamaa di atas dapat ditlis meadi m m m m λm φm( f ( dega mesbstitsika pesamaa (..) aka meadi Misalka m A m λ m si si f (. (..6) a b m E ( m B m si dega Bm A m λm. (..7) b Dega messtitsika pesamaa (..7) ke dalam pesamaa (..6) dipeoleh m E m m ( si a f (. (..8)

61 Pesamaa (..8) mepaka deet sis Foie ag sepa dega pesamaa (.3.3) ait dega m b Em( da g ( ) f ( sehigga dipeoleh a m Em( f ( si d m 3 K. (..9) a a Pesamaa (..9) ga mepaka deet sis Foie ag sepa dega pesamaa (.3.3) ait dega a b b B da g( ) E ( sehigga m m dipeoleh B m b Em( si d 3 K b b kaea B λ maka dihasilka m A m m A m Bm E bλ λm m b m ( si d. (..) b Dega mesbstitsika ilai λ (..3) da pesamaa (..9) ke dalam pesamaa (..) maka dipeoleh A m b a m f ( si si d d. (..) m a b ab + a b Dega mesbstitsika pesamaa (..) ke dalam pesamaa (..5) aka dipeoleh peelesaia tk masalah (..) beikt ( P m A m m si si (..) a b dimaa 5

62 A m b a m f ( si si d d. m a b ab + a b Sehigga dai peelesaia (..6) da (..) aka dipeoleh peelesaia legkap tk masalah (..) beikt ( ( ( dimaa L + P A si sih a a + m A m m si si (..3) a b A A m a g d b ( )si da a a sih a b a m f ( si si d d. m a b ab + a b Cotoh.. Cailah peelesaia pesamaa Poisso ( f ( dalam < < a da < < b dega saat batas beikt (..) ( ) ( b) pada a da ( ( a g( pada b ag dapat diilstasika dalam Gamba.. di bawah ii. 6

63 b + f ( g( a Gamba.. Pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag dega saat batas Nema Peelesaia: Caa peelesaiaa adalah dega membagi masalah (..) meadi da masalah beikt:. Pesamaa ( dalam < < a da < < b dega saat batas ( ) ( b) pada a da (..5) ( ( a g( pada b.. Pesamaa ( f ( dalam < < a da < < b dega saat batas (..6) ( ) ( b) pada a da ( ( a pada b. Aka dicai peelesaia masalah (..5) telebih dahl. Masalah (..5) sepa dega pesamaa (.3.5) dega saat batas (.3.6) da (.3.7) sehigga peelesaiaa adalah ( L A + A cosh cos (..7) b b 7

64 dega A adalah kostata sisa da A b g d a ( )cos. b sih b Selata aka dicai peelesaia masalah (..6) tk meelesaika masalah (..6) diasmsika ga bahwa peelesaiaa sepa dega peelesaia pesamaa Helmholtz dega saat batas ( ) ( b) pada a da ( ( a pada b. Aalog dega pesamaa Helmholtz (..8) maka dipeoleh da pesamaa difeesial biasa X" ( ) + μ X ( ) ' ' X () X ( a) (..8) Y" ( + ( λ μ) Y ( ' ' Y () Y ( b). (..9) Aka dicai peelesaia pesamaa (.3.8) telebih dahl. Pesamaa (..8) sepa dega pesamaa (.3.9) ait dega λ μ sehigga aka dipeoleh m μ m K a da peelesaia pesamaa (..8) dega megambil d A beikt m X ( ) Am cos. (..3) a Kemdia aka dicai peelesaia pesamaa (..9). 8

65 Pesamaa (..9) ga sepa dega pesamaa (.3.9) ait dega λ ( λ μ) sehigga aka dipeoleh λ μm dega K b da peelesaia pesamaa (..33) dega megambil d Am beikt Y ( A cos. (..3) b Sehigga dipeoleh ilai λ pada pesamaa Helmholtz beikt m λ λm + m K. (..3) a b Sehigga aka dipeoleh peelesaia pesamaa Helmholtz beikt m φm ( Am cos cos. a b Met pisip speposis maka m φ m( A + Am cos cos (.3.33) m a b adalah ga mepaka peelesaia pesamaa Helmholtz. Sehigga peelesaia masalah (..6) adalah ( P m φ m( A + Am cos cos (..3) m a b Aka dicai ilai A da A. m 9

66 Dega mesbstitsika peelesaia pesamaa Helmholzt (..33) ke dalam pesamaa Poisso (..6) aka dipeoleh m φm ( f ( Dai pesamaa Helmholzt dipeoleh elasi pesamaa di atas dapat ditlis meadi φ ( λ m m φ ( m maka m λm φm( f ( dega mesbstitsika pesamaa (..33) aka meadi A m λ m cos cos f ( ). a b + Am m Dega B λ maka pesamaa diatas dapat ditlis meadi m A m m m A + Bm cos cos f (. (..35) m a b Aka dicai ilai A telebih dahl. Dega megitegalka agkap as kii da kaa pesamaa (..35) dega batas bawah da batas atas a da b maka aka dipeoleh b a A d d + B b a m m m cos cos d d a b b a f ( d d ag meghasilka A [ ] ab + Bm si( m )si( ) m m ab b a f ( d d 5

67 kaea dega memadag bahwa si( ) tk 3 K maka aka dihasilka A b a f ( d d. (..36) ab Kemdia aka dicai ilai A m. Dega magalika pesamaa (..35) dega m cos cos da a b megitegalka agkap as kii da kaa dega batas bawah da batas atas a da b maka aka dipeoleh b a f ( m cos cos d d a b b a m A cos cos a b d d b a + m B m m cos cos d d a b ag meghasilka ba f ( m cos cos dd a b ab A si( m )si( ) m + ab B m m dega memadag bahwa si( ) tk 3 K maka dipeoleh B m b a m f ( cos cos d d. ab a b Kaea B λ maka dihasilka m A m m A m B λ m m b a m f ( cos cos d d. (..37) abλ a b m 5

68 Dega mesbstitsika ilai λ (..3) ke dalam pesamaa (..37) maka dipeoleh A m b a m f ( cos cos d d. (..38) m a b ab + a b Sehigga dega mesbstitsika pesamaa (..36) da (..38) ke dalam pesamaa (3..3) aka dipeoleh peelesaia tk masalah (..6) beikt ( P m A + Am cos cos (..39) m a b dimaa A ba f ( dd ab ba m f ( cos cos m a b ab + a b A m dd. Sehigga dai peelesaia (..7) da (..39) aka dipeoleh peelesaia legkap tk masalah (..) beikt ( A + A cosh cos b b m Am cos cos m a b + A + dimaa A adalah kostata sisa A b g d a ( )cos b sih b A ba f ( dd ab ba m f ( cos cos m a b ab + a b A m dd. 5

69 E. Metode Iteasi Gass-Seidel Metode iteasi Gass-Seidel digaka tk meelesaika sistem pesamaa liea dega pesamaa liea o-homoge da vaiabel... ag tidak diketahi beikt: a a a + a + a + a + a 3 + a + a a a M a c c c (.5.) dimaa a adalah koefisie-koefisie vaiabel da c c... c adalah kostata. Metode iteasi adalah metode hampia beta ag dimlai dai hampia awal ag dipilih sembaag biasaa hampia awala adalah ol. Hampia ke-k ( k ) ( k ) ( k ) tk peelesaia... aka diotasika oleh... dega k. Lagkah awala adalah dega meelesaika pesamaa petama tk ag keda tk da setesa higga dihasilka: c a a33... a (.5.) a 3 c a a33... a (.5.3) a c3 a3 a3... a3 (.5.) a M 33 c a a33... a (.5.5) a 53

70 () () () Poses iteasia dapat dimlai dega ilai awal bagi... sama dega ol. Nilai awal ol ii disbstitsika ke pesamaa (.5.) tk mapatka ilai ba c () (). Nilai ba disbstitsika ke pesamaa a () () () (.5.3) besama ilai awal lai... tk mapatka ilai 3 () () ba. Demikia setesa higga mapatka ilai ba. Posed tadi dilagi lagi dai awal dega ilai-ilai ba ag didapatka. Iteasi dihetika setelah teadi kekovegea. Kiteia kekovegea ait ε < ε (.5.6) i ( k ) i ( k ) i s dimaa i 3... (k ) ε adalah ilai kesalaha elatif adalah ilai i i i i ( ) pada iteasi sekaag k adalah ilai i pada iteasi sebelma da ε s adalah i ilai batas toleasi ( ε ). tk meami kekovegea maka sistem s pesamaa liea has domia secaa diagoal. Defiisi.5. Sistem pesamaa liea disebt domia secaa diagoal ika ilai mtlak dai koefisie diagoal pada setiap pesamaa lebih besa ata sama dega ilai mtlak dai mlah koefisie laia dalam pesamaa ata dapat ditlis dalam betk: 5

71 i ; i a i a dimaa a i adalah koefisie pesamaa-pesamaa adalah mlah pesamaa da mlah vaiabel da i 3 K. Algoitma peelesaia sistem pesamaa liea dega metode iteasi Gass- Seidel Lahkah. Maskka koefisie-koefisie pesamaa (5..) sampai dega (5..5) ke dalam matiks (A) mlah vaiabel () da toleasi (TOL). Lagkah. Tetka ilai awal tk sema vaiabel. tk i K hitg ( ) w( ) dimaa w() adalah hasil peelesaia sebelma. Lagkah 3. Sslah peelesaia pesamaa tk tk i da K hitg ( ) A( ) da ( ) ( ) + [A( ) ( )]. Sslah peelesaia pesamaa tk 3 K tk i 3 K da K hitg: ( ) A( ) ( ) ( ) + [ A( + ) ( )] m + da ika i tidak sama dega maka tk k K hitg ( ) ( ) + [A( m+k) (m+k )]. Lagkah. Hitg kesalaha elatif da kesalaha elatif tetiggi (M). tk i K hitg C( ) abs( ( ) w( ) ). Hitg M maks C( ). 55

72 Lagkah 5. Aalisislah kekovegea. Jika M < TOL maka latka ke lagkah 8. Jika tidak maka latka ke lagkah 6. Lagkah 6. Simpa hasil peelesaia ke dalam matiks w( ). tk i K hitg w ( ) ( ). Lagkah 7. Kembali ke lagkah 3. Lagkah 8. Stop. Cotoh.5. Selesaikalah sistem pesamaa liea beikt dega metode iteasi Gass-Seidel: da Peelesaia: Mes kembali tiga pesamaa liea diatas meadi betk peelesaia beikt: da Dega bata pogam Matlab pada Lampia.5. maka dipeoleh peelesaia: >> A[5/ -/ -/;/3 -/3 /3;-3/5 -/5 /5]; >> GassSeidel(A3.) Peelesaia sistem pesamaa liea adalah Jadi peelesaiaa adalah 3 da

73 BAB III PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE DAN PERSAMAAN POISSON SECARA NMERIK Dalam bab ii aka dibahas tetag peelesaia pesamaa Laplace da pesamaa Poisso dalam pelat pesegi paag da pelat cakam secaa meik dega metode Beda-Higga. Telebih dahl aka dipekealka tetag metode Beda-Higga dega pekata beda higga tk pesamaa Laplace da pesamaa Poisso. A. Metode Beda-Higga Metode beda higga tedii dai gid beda higga diskit tk mekka domai peelesaia koti da pekata-pekata beda higga ag digaka tk mekka ta-ta pasial eksak dalam PDP. Telebih dahl aka dibahas bebeapa kaakteistik mm gid-gid beda higga da pekata-pekata beda higga dai ta-ta eksak ag mcl dalam PDP sepeti da.. Pekata Beda Higga Domai D( dalam bidag tk masalah alia paas da-dimesi dalam pelat pesegi paag ditkka pada Gamba 3...

74 Domai peelesaia dittp dega gais-gais kisi seagam ag disebt gid beda higga. Titik-titik potog dai gais-gais gid ii disebt titik-titik gid di titiktitik iilah peelesaia pekata tk PDP aka dipeoleh. Jaak dai da titik ag seaa smb da smb secaa bett-tt diotasika dega Δ da Δ. Gais-gais kisi tegak ls smb da smb secaa bett-tt mempai ilai Δ da Δ ag seagam dega Δ da Δ tidak has sama. Didefiisika titik gid ( ) dega i da secaa bett-tt mekka padaa gais tk ilai kosta da. Jmlah gais-gais gid da secaa bett-tt adalah da m dega ka gid adalah m. m batas + domai Δ Δ D( i i i + Gamba 3.. Gid beda higga pada domai pesegi paag Fgsi ( di titik gid ( ) ditkka oleh ( ) (3..) i dega i da secaa bett-tt mekka posisi da. 58

75 Ta petama da keda tk ( i ) tehadap da secaa bett-tt diotasika oleh: ( i ) ( ) i da ( i ) ( i ). Telah didefiisika gid beda higga selata aka ditetka pekata-pekata beda higga dai ta-ta pasial eksak ag mcl dalam PDP sepeti da. Has dibedaka dega seksama ataa peelesaia eksak da peelesaia pekata dai PDP. Peelesaia eksak ditkka dega gais di atas simbol vaiabel teikat (cotoh: ( ) da peelesaia pekata ditkka tapa gais di atas simbol vaiabel teikat (cotoh: ( ). Ta-ta pasial sepeti dapat didekati dega ilai sk-sk ( ) pada titik gid ( ) it sii da pada titik-titik gid sekitaa dalam bilaga beaah. Padag ta pasial da telebih dahl. Ekspasi Deet Talo tk fgsi ( ag dipelas dalam aah di ( + Δ) da ( Δ) secaa bett-tt adalah 59

76 ( ( Δ)! 3 + Δ + Δ + + ) ( ) ( Δ) 3! ( Δ) + + (3..)! ( Δ ( Δ + ( Δ)! ( Δ) 3! 3 ( Δ) + (3..3)! Pesamaa (3..) da (3..3) dapat ditlis sebagai (Δ)! (Δ) 3! 3 i + + Δ + + i ( Δ) + + (3..)! ( Δ) i Δ + i! (Δ) 3! 3 ( Δ) + +. (3..5)! Pesamaa (3..) da (3..5) dapat diataka meadi ms-ms Talo dega sk-sk sisa beikt (Δ)! i + + Δ + + i (Δ) 3! 3 ( Δ) ( ) + ξ i +! K R (3..6) ( Δ) i Δ + i! (Δ ) 3! 3 ( Δ) ( ) + ξ i! K R (3..7) dimaa sk sisa R + dibeika oleh R ( Δ) ( ξ ) ( + )! + dimaa 3 ξ da i ξ i i + i +. Jika deet Talo tak higga dipeggal setelah ta ke- tk mempeoleh pekata i + da i maka sk sisa R + adalah galat ag dihbgka dega deet Talo tepeggal ag disebt dega galat pemeggala. 6