BAB III STATISTIK INFERENSI PADA RANTAI MARKOV

Transkripsi

1 BAB III STATISTIK INFERENSI PADA RANTAI MARKOV 3. Pedahulua Pada Bab II elah dibahas megeai aai Makov beode- aau Ō() da maiks peluag asisiya. Pada bagia ii, aka dibahas bagaimaa meeuka ode aai Makov dai baisa hasil pegamaa. Pehaika baisa hasil pegamaa ehadap cuaca beiku sebagai cooh, Dikeahui baisa hasil pegamaa ehadap keadaa cuaca selama 0 hai sebagai beiku. Disii keadaa cuaca dibagi kedalam iga kaegoi yaiu huja (disimbolka dega agka ), beawa (), da ceah (3) Obs Tabel. Cooh Hasil Pegamaa Masalah disii ialah bagaimaa meeuka ode dai baisa pegamaa esebu, dega kaa lai bagaimaa meeuka apakah keadaa beawa di hai ke-0 begaug secaa lagsug haya kepada huja di hai ke-9, aau 8

2 begaug pula pada huja di hai ke-8, aau bahka begaug pada keadaa di hai ke-7, da seeusya. Dalam melakuka pegujia ehadap aai Makov, maiks peluag asisiya idak haus dikeahui, melaika cukup dega aksiaya. Peeua peaksi iik sebuah paamee dapa diempuh dega megguaka bebeapa meode sepei meode mome, meode kuada ekecil, da meode kemugkia maksimum (maximum likelihood). Dai keiga meode esebu, dalam meaksi peluag asisi yag aka diguaka disii adalah meode kemugkia maksimum kaea meode esebu meupaka meode yag palig bayak diguaka dibadigka kedua meode laiya. Gagasa dai meode ii ialah bahwa peaksi paamee yag waja yag bedasaka ifomasi sampel adalah ilai paamee yag meghasilka peluag ebesa uuk medapaka sampel esebu. 3. Esimasi Kemugkia Maksimum Uuk P Sebelumya pehaika caa membagu maiks yag meyaaka bayakya asisi aa keadaa sebagai beiku. Secaa umum defiisika maiks bayakya asisi M sebagai beiku, M m m m m m m m m m dega mij M( V j V i), i, j,,, Disii, m ij meyaaka bayakya asisi dai keadaa i ke j. Dai Tabel, asisi dai keadaa ke haya ejadi sau kali yaiu dai hai ke-3 ke hai ke- 4. Dega demikia, m. Dega caa yag sama, dipeoleh maiks M dai hasil obsevasi pada Tabel sebagai beiku, m m m3 M m m m m3 m3 m 33 (3..) (c 3.) 9

3 Kemudia dai maiks esebu dicai maiks peluag asisi uuk aai Makovya. Peluag asisi esebu diaksi dega megguaka meode kemugkia maksimum. Dudewicz da Misha [4] medefiisika fugsi kemugkia (likelihood) sebagai beiku, Defiisi (Fugsi Kemugkia) Adaika V, V,,V adalah buah peubah acak dega fugsi disibusi Fv (, v,..., v θ ) dega θ Θ meupaka paamee yag idak dikeahui, maka fugsi kemugkia ialah, ( θ ) (,,..., θ ) L f v v v Dega megambil V, V,,V sampel acak yag bedisibusi ideik da salig bebas, maka dipeoleh fugsi kemugkia sebagai beiku, L( θ) f( v, v,..., v θ) f( v θ ) f( v θ) f( v θ) Seiap θ θ( V, V,..., V ) Θ dimaa L( θ) sup{ L( θ): θ Θ }, disebu peaksi kemugkia maksimum dai θ. Peaksia θ dega megguaka meode kemugkia maksimum elah bayak dibahas dalam buku-buku saisika. Namu, secaa umum dalam pembahasaya fugsi disibusi Fv ( θ ) maupu fugsi kepadaa peluag f( v θ ) dai peubah acak V elah dikeahui sebelumya. Dudewicz da Misha [4] membeika sebuah cooh meaik eag bagaimaa melakuka peaksia kemugkia maksimum dega haya megeahui ilai-ilai peluag dai V uuk Ө eeu. Cooh (Peaksia Kemugkia Maksimum) Dikeahui abel peluag dai peubah acak V {0,,,3,4} ehadap paamee yag bebeda-beda yaiu θ, θ, θ 3 sebagai beiku, 30

4 V p(v I Ө ) 0,00 0,05 0,05 0,08 0,0 p(v I Ө ) 0,05 0,05 0,08 0,0 0,00 p(v I Ө 3 ) 0,9 0,08 0,0 0,00 0,00 Di sii θ (0) θ 3, θ() θ3, θ() θ, θ(3) θ, θ(4) θ. Adaika kia adaka sediki peubaha bahwa kia ahu θ Θ { θ, θ}, maka peaksia kemugkia maksimum idak lagi uggal kaea meskipu θ (0) θ, θ () θ, θ (3) θ, θ (4) θ ilai θ () memiliki dua kemugkia yaiu θ da θ. Hasil dai cooh diaas kosise dega defiisi kia semula yaiu aksia kemugkia maksimum dai θ adalah θ yag memaksimumka fugsi kemugkia L(θ ). Selai iu, hasil aksia esebu idak haus uggal. Secaa umum, uuk aai Makov beode dega keadaa fugsi kemugkiaya adalah, ( ) 0 L p P( V i, V i,, V i, V i ) i0 i0i i i mij pi 0 pij i, j,,, 0 PV ( V i ) PV ( i V i) PV ( i) p p p Uuk mecai p ˆ kl peama pesamaa (3..) diulis, (3..) mij mkw i0 ij kw i, j w i k L( p) p p p, k,,, (3..3) Kaea pada lagkah selajuya aka dicai uua peama pesamaa (3..3) ehadap P kl, maka uuk mempemudah fugsi kemugkiaya dilog-ka sehigga p ij da p kw elepas dai pagka m ij da m kw. Hal ii dapa dilakuka kaea fugsi log mempeahaka sifa kemoooa. Dega demikia, pesamaa (3..3) mejadi, 3

5 log L( p) log p p p mij mkw i0 ij kw i, j w i k mij mkw i0 ij kw i, j l i k log p + log p + log p log p + m log p + m log p dimaa k,,, i0 ij ij kw i, j l i k kw (3..4) Dai (..), maka dalam pesamaa (3..4) bagia diuliska sebagai beiku, w m kw log p kw dapa m log p m log p + m log p kw kw kl kl kw kw w w w l m log p + m log( p p ), k, l,,, sehigga pesamaa (3..4) mejadi, kl kl kw kl ks w s w l log Lp ( ) log p i m 0 ijlog pij mkllog pkl mkwlog( pkl pks) ij, w s i k w l dimaa k, l,,, (3..5) Bagia selai m log p + m log( p p ) kl kl kw kl ks w s w l idak megadug usu p ˆ kl sehigga uua peama (3..5) ehadap p ˆ kl adalah, 3

6 log L( p) log pi m log log log( ) 0 ij p ij mkl pkl mkw pkl p ks Pkl P kl i, j w s i k w l mkl log pkl + mkw log( pkl pks ) P kl w s w l mkl mkw pkl w ( p p ) w l kl ks s (3..6) Nilai aksia kemugkia maksimum dai dai P kl log Lp ( ) 0 m p kl kl m 0 ( ) kw w w l pkl pks s p kl adalah p ˆ kl yag mejadi solusi (3..7) mkl ( pkl pks ) mkw pkl ( pkl pkw pks ) w s q s w l q l s q 0 p ( p p ) kl kl ks w s w l mkl ( pkl pks) m kw pkl ( pkl pkw pks) 0 w s q s w l q l s q (3..8) Dega meyelesaika pesamaa (3..8) uuk k, l,,..., besea (..) maka dipeoleh peaksi kemugkia maksimum uuk p kl yaiu pˆ kl m j Dega demikia, maiks peluag asisi aksiaya adalah kl m kj (3..9) 33

7 m m m m m m pˆ pˆ pˆ m m m ˆ pˆ pˆ pˆ P pˆ pˆ pˆ m m m m m m j j j j j j m j m j m j j j j j j j j j j (3..0) Jadi, uuk baisa obsevasi pada abel maiks peluag asisiya adalah pˆ pˆ pˆ3 ˆ 4 4 P pˆ pˆ pˆ pˆ3 pˆ3 pˆ (c 3.) Secaa umum maiks M uuk Ō() adalah, m m m m m m m m m m m m m m m M m m m m m m m m m m m m (3..) 34

8 Disii m ij kl meyaaka bayakya asisi dai keadaa i ke l dalam lagkah melalui keadaa j pada sau lagkah peama da seeusya higga melalui k di lagkah ke - sebelum ke l. Secaa maemais dapa diulis, m M( V l V k,, V j, V i), i, j, k, l,,, ij kl ( ) (3..) Semeaa iu maiks peluag asisi aksiaya adalah, dimaa pˆ pˆ pˆ ˆ ˆ ˆ p p p pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ P ˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ ˆ ˆ 0 p p (3..3) da p PV l V k V jv i ij kl (,, ( ), ) pˆ ij kl m h ij kl m ij kh Bedasaka (3..) da (3..3), uuk abel maka maiks bayak asisi M (3..4) (3..5) da maiks peluag asisi aksia ˆP Ō() adalah, 35

9 da m m m3 0 0 m m m 3 0 m3 m3 m 33 0 m m m3 0 M m m m 3 0 m3 m3 m m m m m m m m33 m33 m pˆ pˆ pˆ3 pˆ pˆ pˆ 0 3 pˆ ˆ ˆ 3 p3 p 33 ˆ ˆ ˆ 0 p p p P ˆ pˆ ˆ ˆ p p 3 0 pˆ ˆ ˆ 3 p3 p 33 pˆ ˆ ˆ p3 p 33 pˆ ˆ ˆ p3 p33 pˆ ˆ ˆ 33 p33 p Meeuka beapa ode dai baisa pegamaa pada abel sama dega meeuka maiks peluag asisi maa yag aka diguaka, yaiu apakah (c 3.) aau (c 3.4). Disisi lai, bisa saja ke-0 hasil pegamaa esebu eyaa salig bebas. Dalam hal ii, p PV l V k V jv i PV l p ij kl (,, ( ), ) ( ) l Uuk kasus dimaa ke-0 hasil pegamaa salig bebas, maiks bayak asisi da maiks peluag asisi aksiaya adalah, da [ m m m ] [ ] M [ p p p ] P ˆ ˆ ˆ ˆ (c 3.3) (c 3.4) (c 3.5) (c 3.6) 36

10 Dega adaya (c3.6), aleaif maiks peluag asisi uuk baisa hasil pegamaa pada abel beambah. Sebelum memeiksa maiks peluag asisi besea ode yag bepadaa maa yag sesuai, ada baikya peiksa elebih dahulu maa maiks peluag asisi yag idak dapa diguaka uuk daa yag dimiliki. Pehaika jika baisa pegamaa pada abel dipelakuka sebagai Ō(3). Maiks M-ya adalah, m m m m m m M (c 3.7) m333 m333 m Bais peama da kedua dai M beilai 0. Oleh kaea iu, maiks peluag asisi aksiaya adalah, Pˆ pˆ pˆ ˆ p pˆ pˆ pˆ pˆ ˆ ˆ 333 p333 p Pehaika bahwa ada bais dimaa jumlah seluuh elemeya idak sama dega, yaiu bais da. Oleh kaea iu, bedasaka (..) dapa disimpulka bahwa maiks pada (c.3.8) buka meupaka maiks peluag asisi suau aai Makov. Jadi, daa pegamaa pada abel idak dapa dimodelka sebagai Ō() dega >. (c 3.8) Sau hal yag dapa disimpulka dai ilusasi diaas ialah, peeua ode pada Ō() juga dipegauhi oleh daa baisa pegamaa yag dimiliki. Semaki iggi ode, peulaga yag ejadi semaki sediki. Hal ii eliha dai maiks bayakya asisi dimaa pada cooh diaas, semaki iggi ode yag diguaka, semaki kecil eleme-eleme maiks bayak asisiya. Oleh kaea iu, semaki iggi ode yag aka diguaka, semaki bayak pula daa yag 37

11 dipeluka. Dalam pakek, pada keyaaaya ode esebu secaa umum idak lebih dai lima. Dalam aplikasi, peeua ode suau aai Makov seigkali besifa subjekif egaug pemakai. Meskipu besaya ode dapa meigkaka kecocoka model ehadap keyaaa sebeaya, demi kemudaha pehiuga juga saa membagu model ode dihaapka seedah mugki (pasimoi). Meski demikia, bebeapa baasa dapa dipeimbagka misalya, (i) Kemudaha dalam mempeoleh daa. (ii) Jika ideks paamee bekaia dega waku, pehaika ideks daaya. Jika daa yag diambil meupaka daa bulaa, maka ideks paameeya juga dalam bula. Masalah beikuya adalah bagaimaa meeuka ode aai Makov yag epa. Dalam ugas akhi ii, peeua ode esebu dilakuka buka dega meaksi, melaika dega caa memeiksa aau membadigka ode maa yag palig sesuai dai bebeapa aleaif piliha ode yag memugkika. Sebagai cooh, uuk abel aka dibadigka aaa Ō(0), Ō(), da Ō(). 3.3 Sudi Deskipif Ō() Dalam melakuka pegujia ehadap ode aai Makov, pelu dipahami elebih dahulu bagaimaa pegauh ode pada suau aai Makov. Dai hal esebu, dapa dipeoleh kaakeisik yag membedaka ode yag sau dega laiya. Selajuya, kaakeisik esebu dapa dijadika dasa dalam pegujia ode aai Makov. Sebagai cooh, beiku ii adalah plo dai Ō(0) da Ō() dega iga keadaa da 00, 38

12 V Gamba. Plo Ō(0) 3 V Gamba. Plo Ō() Secaa deskipif, eliha pebedaa yag meaik aa aai Makov dega ode yag bebeda. Dai Gamba, pehaika pola asisi bebeuk (c 3.9) da (c 3.0) yag mucul secaa beulag. Semeaa iu, pehaika pula pada Gamba pola asisi yag bebeuk, (c 3.) da 39

13 3 (c 3.) yag juga mucul bebeapa kali. Pola-pola esebu meupaka pola-pola asisi yag domia dai kedua plo aai Makov di aas. Dai ilusasi esebu dapa dibua suau dugaa bahwa semaki iggi ode aai Makov, maka semaki leba pola asisiya. Hal ii saga masuk akal kaea kemucula suau keadaa begaug secaa lagsug kepada -keadaa sebelumya dimaa besa meyaaka ode dai aai Makov yag ekai. Secaa maemais, pola-pola asisi esebu dapa diyaaka sebagai eleme dai maiks bayak asisi M. Pola asisi (c 3.9) dapa diulis sebagai m 3, (c 3.0) m 33, (c 4.) m 333, da (c.3.) m 33. Dega demikia, beuk plo suau aai Makov dapa digambaka oleh maiks bayak asisiya. 3.4 Uji Kesesuaia Suau Raai Makov Sepei yag elah diuaaka sebelumya, ode aai Makov dieuka dega caa memilih ode yag palig sesuai dai bebeapa aleaif piliha ode yag memugkika. Kemudia, yag pelu dipehaika adalah saga dihaapka bahwa ode beilai seedah mugki. Dai sii dipeoleh gambaa megeai kieia ode yag epa yaiu, (i) Semaki besa ode, semaki cocok model yag dimiliki dega keyaaa sebeaya. (ii) Ode aai Makov yag edah lebih dihaapka daipada ode yag lebih iggi kaea aka membua model yag dihasilka lebih sedehaa. Dai kedua poi diaas dapa dikaaka bahwa lebih baik memilih ode yag lebih edah bila gambaa megeai aai makov yag diepeseasikaya idak bebeda elalu sigifika jika dibadigka dega ode yag lebih iggi. Dai paagaf diaas, dipeoleh lagkah awal dalam melakuka uji kesesuaia. Peama, asumsika elebih dahulu bahwa aai Makov esebu Ō() dimaa meyaaka ode maksimum yag dikehedaki oleh peelii aau ode yag masih dapa dioleasi oleh daa. Uuk daa pada abel, kaea uuk 3, 40

14 idak edapa maiks peluag asisiya. Selajuya, badigka dega apa yag ejadi jika aai Makov esebu Ō(-). Dega demikia, hipoesisya adalah, H 0 : pegguaa Ō() idak bebeda dega Ō(-). H : pegguaa Ō() bebeda dega Ō(-). Bedasaka defiisi ode aai Makov, hipoesis esebu dapa diulis sebagai, H : P( V l V k,, V j, V i) P( V l V k,, V ) j) 0 ( ) ( H : p p 0 ij... kl j... kl (3.3.) da H : P( V l V k,, V j, V i) P( V l V k,, V j) ( ) ( ) H : p p ij... kl j... kl (3.3.) Bedasaka Ō(), asisi dai keadaa i ke l dalam lagkah melalui keadaa j pada sau lagkah peama da seeusya higga melalui k di lagkah ke - sebelum ke l ejadi sebayak m ij kl kali dimaa m ij kl meupaka eleme dai maiks bayakya asisi M uuk Ō(). Semeaa iu, megacu kepada (3..5), bedasaka Ō(-) asisi esebu ejadi sebayak, ˆ ij kl ij k j kl m m p dimaa mij k mv ( k, V ( ) j, V i), pj kl pv ( lv k,, V ( ) j), da mij k mij kl. l Pada paagaf sebelumya, elah dibahas bahwa dalam melakuka pemiliha aaa Ō() dega Ō(-), bila gambaa megeai aai makov yag diepeseasikaya idak bebeda elalu sigifika, ode yag lebih edah dipilih. Semeaa iu, gambaa megeai aai Makov dapa diepeseasika oleh bayakya peluag asisi m. Dega demikia, hipoesis H 0 : pegguaa 4

15 Ō() idak bebeda dega Ō(-), aka didukug bila selisih bayakya asisi aaa Ō() da Ō(-) kecil yaiu, m mˆ m ( m p ) c ij kl ij kl ij kl ij k j kl i j k l i j k l (3.4.) uuk suau kosaa c. Masalah beikuya adalah meeuka sebeapa besa c sehigga selisih pada (3.4.) dapa diaggap kecil. Sebelumya, pehaika sebuah Pecobaa Beoulli dega dua kemugkia keluaa, yaiu A da A dega peluagya masig-masig adalah P(A ) p da P(A ) p -p. Suau sampel acak dai m kali pecobaa diamai dimaa m da m m - m masig-masig meyaaka bayakya keluaa dai jeis A da A. Bedasaka eoema limi pusa uuk m, Z Tulis Y Z, maka ( m mp) N(0,) mp ( p ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gy PY y PZ y P y Z y 0 y < 0 F( y) F( y) y 0 Dai, (3.4.) uuk y 0 fugsi kepadaa peluag Y, ( F( y) F( y) ) G( y) g( y) f( y) + f( y) y y y ( ) e + e e + e e y π π πy πy Dai defiisi fugsi bea dimaa y y y y y (3.4.) (3.4.3) uuk p q da w x- maka, sehigga uuk p 0.5 belaku p q Γ( p) Γ( q) B( p, q) x ( x) dx Γ ( p + q) 0 p p Γ ( p) ( y ) d Γ( p) y 0 4

16 Γ Γ dy y 0 π ac(si y) 0 π Bedasaka (3.4.4) maka fugsi kepadaa peluag Y pada (3.4.3) dapa diulis, (3.4.4) y y g( y) e y e πy π 0 y Γ y e y < 0 y 0 yag meupaka fugsi kepadaa peluag disibusi khi kuada dega deaja kebebasa. Jadi, ( m mp) Y mp ( p ) χ () Dega sediki maipulasi aljaba, (3.4.5) dapa diubah mejadi, ( m mp ) ( m mp ) ( m mp ) + mp ( p ) mp m( p ) + + i (( m m) m( p) ) ( m mp ) mp m( p ) ( m mp ) mp ( m mp ) ( mi mpi) χ mp i mp () (3.4.5) (3.4.6) Dega meliha (3.4.6), pehaika bahwa selisih bayakya asisi pada (3.4.) dapa diuliska sebagai, ( m ( )) ij kl mij k pj kl m i j k l ij k j kl dega c * uuk suau kosaa eal sembaag. Uuk memuuska sebeapa besa c * sehigga selisih esebu dapa dikaaka kecil, pelu dkeahui elebih p c (3.4.7) 43

17 dahulu disibusi dai (3.4.7). Dega megacu kepada (3.4.6) eu waja jika ada dugaa bahwa (3.4.7) juga bedisibusi khi kuada dega deaja kebebasa eeu, sebu saja u. Teuya hal ii pelu dibukika secaa maemais. Aka eapi, pembukia disii idak aka disajika secaa medeail kaea dipeluka dasa-dasa aljaba yag kua dalam peuuaya. Peama, misalka di seiap obsevasi dai obsevasi yag meghasilka iik hasil pegamaa dalam sampel, edapa peluag p i bahwa hasil yag dipeoleh beasal dai himpua S i. Uuk seiap himpua dai bilaga bula o-egaif v,..., v dimaa i v, peluag dimaa dai obsevasi edapa epa vi hasil i obsevasi yag beasal dai S i uuk i,...,, dibeika oleh,! p v! v! p v v yag meupaka beuk umum dai (p p ). Jadi, disibusi dai gup fekuesi v,..., v adalah peumuma dai disibusi biomial yag dikeal sebagai disibusi muliomial. Fugsi kaakeisik gabugaya adalah, Tulis x i v p Eexpijxj pe + + pe j i i ( ) i i, maka fugsi kaakeisik gabuga dai x i adalah, p i vj p j ϕ(,, ) Eexpijxj Eexpi j j j p j j Eexp i vj ij p j Ee e j p j j i j pj j i i p p pe + + pe e Dega uaia MacLaui, uuk,..., kosa, j i vj i j p j j p j j (3.4.8) 44

18 i 3 log ϕ(,, ) i j pj + log + j pj j + O( ) j j j j j pj O j j + + Bedasaka (3.4.9) maka (3.4.8) mejadi, ϕ(,, ) e ( ) ( j j j ) + p + O j j (3.4.9) (3.4.0) Selajuya uuk, j j p j j j Q (,, ) lim ϕ (,, ) e e (3.4.) Beuk kuadaik Q (,, ) j j pj (3.4.) j j dapa diulis sebagai pekalia maiks da veko Λ dimaa ( ) da, Λ I pp 0 0 p pp pp 0 0 pp p pp 0 0 pp pp p Disii Q(,,..., ) adalah o-egaif dega ak - (Came [6] hal 09-0) da maiks Λ memiliki - ilai kaakeisik beilai da ilai kaakeisik ke beilai ol. (3.4.3) Seiig dega, fugsi kaakeisik gabuga x, x,..., x meuju beuk (3.4.) yag meupaka fugsi kaakeisik gabuga disibusi omal sigula dega ak - da oal massa yag eleak pada hypeplae xj p j 0. Dega demikia, secaa limi, x, x,..., x edisibusi omal sigula dega mea ol da maiks mome Λ sepei pada (3.3.3). 45

19 Selajuya, uuk x, x,..., x bedisibusi omal dega mea ol da maiks mome Λ, maka edapa asfomasi oogoal y Cx yag meggaika vaiabel lama x {x, x,..., x } dega vaiabel bau y {y, y,..., y } dimaa maiks mome asfomasiya, B CΛC adalah maiks diagoal dega - elema diagoal beilai da sau eleme laiya beilai ol. Aiya, vaiabel y, y,..., y - bedisibusi omal baku da y bedisibusi omal dega mea da vaiasi 0 (Came [6] hal 33). Dega demikia bedasaka (3.4.5) maka, i i i i i i x y y χ Dega demikia, bedasaka (3.4.4) saisik uji (3.4.7) bedisibusi khi kuada dega deaja kebebasa + yaiu, ( mij kl ( mij k pj kl )) i j k l ij k j kl m p χ + Selajuya, pada bab beikuya aka dipapaka lagkah-lagkah dalam megguaka saisik uji (3.4.5) dalam meguji ode baisa basa ukleoida dai spesies Homo Sapies. (3.4.4) (3.4.5) 46