PENGANTAR KALKULUS. Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Transkripsi

1 PENGANTAR KALKULUS Disampaika pada Diklat Istruktur/Pegembag Matematika SMA Jejag Dasar Taggal 6 s.d. 19 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKA YOGYAKARTA 004

2 BAGIAN III TURUNAN SUATU FUNGSI A. Turua Fugsi Aljabar Sesuatu yag bersifat tetap di duia ii adalah perubaha itu sediri, bayak kejadia-kejadia yag melibatka perubaha. Misalya gerak suatu obyek (kedaraa berjala, roket bergerak, laju pegisia air suatu tagki), pertumbuha bibit suatu taama, pertumbuha ekoomi, iflasi mata uag, berkembagbiakya bakteri, peluruha muata radioaktif da sebagaiya. Studi tetag garis siggug da peetua kecepata beda bergerak yag diritis oleh Archimedes (87 1 SM), Kepler ( ), Galileo ( ), Newto ( ) da Leibiz ( ) dapat dipadag sebagai peletak dasar dari kalkulus diferesial ii. Namu para ahli berpedapat bahwa Newto da Leibiz-lah dua orag yag palig bayak adilya pada pertumbuha kalkulus. Kosep dasar dari turua suatu fugsi adalah laju perubaha ilai fugsi. y f(+) f() A α C B y y f() Perhatika fugsi y f() pada domai (, + ) ilai fugsi berubah dari f() pada sampai dega f( + ) pada +. y + y f( + ) y f() y f( + ) f() 0 Gb..1 + y : disebut diferesi atara f( + ) dega f() : disebut diferesi y f ( + ) f () disebut hasil basi diferesi. Jika B bergerak sepajag kurva y f() medekati A, maka diperoleh limit : f( + ) - f() lim 0 Nilai limit ii disebut derivatif f (turua, laju perubaha ilai fugsi, hasil bagi dy dy diferesial) dari y f(), da biasa ditulis dega otasi atau y. (Notasi da dibaca dy iilah yag kita keal dega istilah otasi Leibiz) dy f( + ) f () Jadi : y lim. 0

3 y Secara geometris, kita lihat bahwa perbadiga diferesi adalah gradie tali busur AB ta α. Jika 0 maka tali busur AB aka mejadi garis siggug di A sehigga : dy f( + ) f () y f () lim adalah gradie garis siggug pada kurva 0 y f() di (, f()). Cotoh 1 Diketahui kurva dega persamaa y +. dy Tetuka da persamaa garis siggug kurva di 1. y + y + y ( + ) + ( + ) +. + () + + y ( + ) + y ( + ) + ( + ) + dy y ( + ) + lim lim 0 0 lim (( + ) + ) 0 + dy Utuk 1 gradie garis siggug m y titik siggug (1, ). Sehigga persamaa garis siggugya : y 4( 1) y 4 1 Cotoh Tetuka fugsi turua dari f() y y + y (+) y (+) 6. ( + ). -. ( +) (+). ( 6 ) ( + ) 4

4 Sehigga y 6 ( + ). dy y lim lim ( + ). Rumus-rumus turua (derivatif) fugsi y f(). 1) Fugsi kostata y f() c f() + ) - f() c - c f () lim lim f() c f () 0 ) Derivatif f() f () lim 0 lim 0 ( + ) ( + 1 ( 1). +! ( ) ( ) ) lim ( 1) + 1. ( 1)( ) ( ) 1 f() f () -1 ) Jika c suatu kostata da y c f(), maka dy cf( + ) - cf() lim 0 f( + ) - f() lim ( 0 dy c.f () c. Cotoh : y 4 5 dy y 4. ( ) y ) Jika u f() da v g(), maka turua fugsi y f() ± g() dapat dicari sebagai berikut : dy (f( + ) + g( + ) - (f() + g()) lim 0 5

5 f( + ) - f() g( + ) g() lim ( + 0 f () + g (). Dega jala yag sama dapat ditujukka bahwa y f() g() y f () - g () Jadi : y f() ± g() y f () ± g () 5) Jika u f() da v g() da y u.v maka y u.v f(). g() dy f( + ).g( + ) - f().g() y lim 0 f( + ).g( + ) - f().g( + ) + f().g( + ) - f().g() lim 0 f( + - f() g( + ) g() lim (.g( + ) + f ()( 0 f ().g() + f(). g () u v + uv Jadi y uv y u v + uv 6) Jika u f() da v g(), sedemikia higga g() 0 pada itervalya da y u f (), maka v g() f ( + ) f () ( ) g( + ) g() y lim f( + ).g() - f().g( + ) lim.g( + ).g() f( + ).g() - f().g() - f().g( + ) + f().g() y lim.g( + ).g() f( + ) - f() g( + ) g() ( ).g() f ()( lim g( + ).g() f ().g() f ().g () u v uv (g() v Jadi y u u v uv y v v Cotoh + Tetuka f () utuk f() 6

6 f() f() + maka megigat. ( + ). ( 4 ) u u v uv ( ) diperoleh v v B. Turua Fugsi Trigoometri si( + ) -si a. y si y lim si cos lim 0 si lim. cos cos( + 0) cos Aalog y cos y si. si u u v uv b. y ta y dega megigat ( ) cos v v cos - si (-si ) y (cos ) cos + si 1 sec cos cos Aalog y ta y sec 1 c. y sec y cos 0.cos -1.(-si ) si 1 y. cos cos cos ta. sec Aalog y cosec y cot cosec. Jadi : y si y cos y cot y cosec y cos y si y sec y sec ta y ta y sec y cosec y cosec cot. 7

7 C. Turua Fugsi Tersusu (Fugsi Komposisi) Misalka y f() dimaa u g(), meetuka fugsi tersusu y (fοg)() f(g()) da apabila g mempuyai turua di, da f mempuyai turua di u g() maka turua fugsi komposisi (fοg)() ditetuka dega rumus : (fοg) () f (g()).g () atau dega otasi Leibiz : dy dy. du du Rumus ii dikeal dega ama atura ratai. Cara yag mudah utuk megigat atura ratai adalah : Variabel kiri Variabel atara Variabel kaa y f(u) dy du da u g() dy. du du Turua variabel Turua variabel Turua variabel kiri terhadap kiri terhadap atara terhadap variabel kaa variabel atara variabel kaa Atura ratai tersebut dapat dibuktika sebagai berikut : Bukti : Misalka y f(u) da u g(); g mempuyai turua di da f mempuyai turua di u g(). Apabila variabel bertambah dega mejadi ( + ), maka u g() bertambah mejadi g( + bertambah mejadi f(g( + )), sebagaimaa diagram di bawah ii : yag berubah ) da y f(g()) g() f(g()) + g(+ ) f(g(+ )) ) g f 8

8 Pertambaha utuk u g() adalah g(+ ) g() + g(), da dari hubuga ii aka diperoleh g() 0 apabila 0 f (g()) f(g( + ) ) - f(g()) Berdasar defiisi umum turua fugsi, maka turua dari fugsi komposisi : (fοg) () (f οg)( + ) (f οg)()) lim 0 f (g( + ) f (g()) lim 0 f (g() g()) f (g()) lim 0 f (g() + g()) f (g()) g() lim 0 g() lim g() 0 f (g() g()) g( + ) g() lim g() 0 f (g()).g () (terbukti) Da apabila atura ratai di atas kita tulis dega otasi Leibiz aka diperoleh : Jika y f() da u g() maka dy dy du du Cotoh Tetuka turua fugsi f() ( 4) 7 Misal, u 4 u 6 f() u 7 f () 7u 6. u Jadi f() ( 4) 7 f () 7( 4) ( 4) 6. Dalil Ratai di atas dapat dikembagka lebih lajut. Jika y f(u), u g(v) da v h(), maka (fοg) () f (g()).g () dy dy. du Begitu da seterusya. d dv. dv 9

9 Cotoh 4 Jika f() si ( 5), maka tetuka f (). Misal u si( 5) da v 5, sehigga dv v 5 du u si v cos v dv y u dy u du df () df () du dv f ().. du dv. u. cos v. 6 si ( 5). cos( 5) D. Turua Fugsi Logaritma a. Padaglah fugsi f() l l( + ) - l f () lim 0 l( + ) lim lim l e Jadi f() l f () b. Jka f() a log, maka l 1 f() f () l a l a Jadi f() a 1 log f () l a E. Turua Fugsi Ekspoesial a. Jika f() e g(), maka l f() l e g() g(). l e l f() g() jika kedua ruas dituruka 1.f () g (), sehigga f () f(). g () e g(). g () f () Jadi f() e g() f () e g(). g () 0

10 Cotoh 5 Jika y e, maka y e. 1 e Sehigga y e y e b. Utuk fugsi ekspoesial y a g(), maka l y l a g() l y g(). l a jika kedua ruas dituruka, maka 1.y g (). l a y y. g (). l a y a g(). g (). l a Jadi y a g() y a g(). g (). l a Cotoh 6 Jika y, maka y.6.l 6..l F. Turua Fugsi Implisit Jika y f(), maka turua fugsi implisit F(,y) c adalah dega memadag y fugsi dari. Cotoh 7 Tetuka y jika + y + y 4 d d ( + y + y ) (4) + y + y + y. y 0 ( + y)y y + y y. + y G. Turua Jeis Lebih Tiggi df () Adaika fugsi turua pertama f () atau dari suatu fugsi adalah suatu fugsi yag dapat didiferesialka pada, maka turua dari turua pertama ii, d f () disebut turua kedua, da ditulis dega otasi f (). 1

11 Demikia juga adaika turua kedua ii fugsi yag dapat didiferesialka, maka turua dari turua kedua ii disebut turua ketiga da ditulis dega otasi f () d f (). Begitu da seterusya turua dari turua ke -1 disebut turua ke- da ditulis dega otasi f () d f () (). Cotoh 8 d f () Tetuka jika f() 5 5 f() 5 5 f () f () 0 10 f () 60 Cotoh 9 d f () Tetuka jika f() si df () π f() si cos si( + 1. ) d f () π si si( +. ) d f () π cos si( +. ) σ d f () π si si( + σ. ) σ.. d f () π si( +. ). Latiha Utuk soal omor 1 sampai dega omor 10, tetuka f () dari 1. f() f() ( + ). f() ( ) f() ( + )( )

12 . f() ( ) f() f() 11. f() + 5. f() f() ( + )( ) 6 6. f() ( + 6)( - 1 ) 1. f() (5-1)( ) f() 14. f() Diketahui f() Tetuka gradie garis siggug kurva di 1, da persamaa garis siggugya. 17. Diketahui fugsi f : ( + ) a) Tetuka rumus utuk turua fugsi f () b) Tetuka laju perubaha fugsi pada -1 da pada Jarak s meter yag ditempuh oleh bola golf yag meggelidig pada waktu t detik diyataka dega s 15t t. a) Hitug kecepata bola golf pada t s b) Kapa bola golf tersebut berheti. 19. Tetuka persamaa garis siggug kurva dega persamaa y ( - ) di titik yag absisya. 0. Tetuka f () dari fugsi-fugsi di bawah ii a. f() 6 si + cos h. f() si + cos b. f() si cos i. F() si ( 5) si c. f) j. f() si 0 si + cos tg d. f() ( 0 radia dega megguaka kesamaa si - cos e. f() sec 180 o π radia), o radia f. f() k. f() ta( si ). cos 1. Jika y f(), maka tujukka bahwa y f (). + ε., di maa jika 0 maka ε 0 Catata : Sifat ii dapat diguaka utuk membuktika atura ratai : Jika y f(u) da u g() maka y f (). + ε., di maa lim ε 0 0 y dy u y. + ε. du y dy u u lim. lim + lim ε. 0 du 0 0

13 dy dy. du du. Tetuka f () jika f() 7 si( - 5)). Tetuka g () jika g() + 5 d y. Jika y si maka + y.... Jika y 5 si, maka tetuka d y 4. Tetuka d y y jika y e k d 5. Tetuka jika y 0 dy 6. Tetuka jika diketahui + y y. 7. Jika y + su y, maka tetukalah y. dy 8. Tetuka jika diketahui : a. y + y y b. + 1 c. y 8 d. - y + y 0 e. 6y 4 9. Tetuka turua fugsi-fugsi berikut : a. y e -4 b. y ( )e 5 c. y l d. y log ( + ) e. y si + 4

14 H. Fugsi Naik da Fugsi Turu y α1 g 1 g y f() a g Misalka kurva disampig meyajika grafik fugsi y f(), sehigga terlihat bahwa utuk < a, diperoleh f () > 0, dikataka f aik pada iterval itu, karea gradie garisgaris siggug selalu positip di iterval tersebut. Utuk > 0, gradie garis siggug-garis siggug selalu egatif sehigga f () < 0 dikataka f turua pada iterval tersebut. Gb.. Sedag utuk a, gradie garis siggug dititik tersebut 0, garis siggugya sejajar sumbu, sehigga f () 0, dalam hal ii f tidak aik da tidak turu da dikataka f stasioer di a. Sehigga kurva y f() aka : (i) aik jika f () > 0 (ii) turu jika f () < 0 (iii) stasioer jika f () 0. Cotoh 1 4 Tetuka iteral dimaa fugsi f() aik atau turu. 1 4 f() + 7 f () 4 ( + )( ) Gb..4 ( + )( ) Melihat ilai positip da egatifya amsig-masig iterval, dapat disimpulka 1 4 bahwa pada fugsi f() + 7 kurvaya 4 aik pada iterval < < 0 atau > turu pada iterval < - atau 0 < <. 5

15 I. Nilai Stasioer Fugsi Misal grafik fugsi y f() seperti tersaji dalam diagram berikut : Pada ketiga titik A, B da C diperoleh f (a) y f (b) f (c) 0 ketiga garis siggugya sejajar sumbu, da f stasioer pada ketiga A titik tersebut. Utuk titik A, f () berubah tada dari positip ol egatif, dikataka f B mempuyai ilai balik maksimum y f() f(a) pada 0. C Utuk titik B, f () berubah tada dari egatif ol egatif, dikataka f mempuyai ilai 0 a b c belok hozotal f(b) pada b. Gb..5 Utuk titik C, f () berubah tada dari egatif ol positif, dikataka f mempuyai ilai balik egatif f(c) pada c. Kesimpula : Jika f (c) 0, maka f(c) disebut ilai stasioer (kritis) dari f pada c, da ilai stasioer mugki berupa ilai balik maksimum, ilai balik miimum atau ilai belok horizotal. Cotoh Tetuka ilai stasioer fugsi f() 5 5 da tetuka pula macamya. f () ( + 1)( 1) maksimum belok horizotal miimum Gb..6 Stasioer dicapai utuk f () 0 15 ( + 1)( 1) 0 0 atau -1 atau 1. Utuk 0 f(0) maka f(0) 0 adalah ilai belok horizotal. Utuk 1 f(1) maka f(1) - adalah ilai balik miimum. Utuk -1 f(-1).(-1) 5 5.(-1) maka f(-1) adalah ilai balik maksimum. Cotoh Dega megguaka kawat sepajag 00 meter aka dibagu suatu kadag ayam yag berbetuk persegipajag. Tetuka ukura kadag agar luas kadag ayam tersebut maksimum. 6

16 Gb R Misalka sisi pajag adalah da 100 maka luas kadagya. L() (100 ) 100 L () 100. Nilai stasioer dicapai jika L () Jadi agar luas kadag maksimum, ukuraya pajag satu sisi 50 m sedag sisi satuya (100 50) meter 50 meter. Sehigga betuk kadagya persegi. J. Peetua Maksimum da Miimum Dega Megguaka Turua Kedua y Misalka kurva y f() seperti pada gambar disampig, dikataka kurva y f() terbuka ke bawah utuk a < < c da kurva y f() terbuka y f() ke atas utuk c < < e. 0 a b c d e Utuk kurva yag terbuka ke atas, pada setiap titikya ilai f () atau gradie garis siggugya bertada sama da aik atau berubah tada dari egatif ke positif. Gb..8 Hal ii meujukka bahwa fugsi turua pertama f () adalah fugsi yag aik, yag berarti f () > 0. Sedagka utuk kurva yag terbuka ke bawah, pada setiap titikya ilai f () atau gradie garis siggugya bertada sama da turu atau berubah tada dari positif ke egatif. Hal ii meujukka bahwa fugsi turua pertama f () adalah fugsi yag turu, yag berarti f () < 0. Dari kecembuga atau kecekuga kurva di atas dapat ditarik kesimpula. Jika f(a) adalah ilai stasioer maka (i) f(a) adalah ilai balik maksimum bila f (a) 0 da f (a) < 0 (ii) f(a) adalah ilai balik miimum bila f (a) 0 da f (a) > 0. Cotoh Tetuka ilai maksimum da miimum dari f() (1 ) dega metoda derivatif kedua. f() (1 ) u f() ( )( 6) f() ( 4). Stasioer jika f () 0 1( )( 6) 0 atau 6 7

17 Utuk maka f() (1 ) 18 da f () 4( 4) -48 (egatif) Utuk 6 maka f(6) 6(1.6) 0 f (6) 4(6 4) 48 (positif). Jadi f() 18 adalah ilai balik maksimum utuk da f(6) 0 adalah ilai balik miimum utuk 6. Latiha 4 1. Tetuka iterval dimaa fugsi-fugsi di bawah ii aik ataukah turu. a. f() b. f() c. f() 1 d. f() ( + ) e. f( Tetuka ilai stasioer da jeisya dari fugsi-fugsi di bawah ii a. f() 9 b. f() ( + ) 9 c. f() + d. f() e. f() cos + 7. Jumlah dua buah bilaga adalah 0. Tetuka masig-masig bilaga tersebut agar hasil kaliya maksimum. 4. Dega megambil tembok sebagai salah satu sisi, aka dibuat kadag ayam berbetuk persegipajag dari pagar kawat sepajag 0 m. tetuka ukura kadag agar luas kadag maksimal. 5. Suatu bak peampug air yag direcaaka dibuat dari pelat alumiium yag cukup tebal yag harus meampug 64 dm. Tetuka ukura tabug agar luas seluruh permukaaya miimum, jika a. tabug itu tapa tutup b. tabug itu dega tutup Diketahui parabol y 5, y 0. Suatu titik P(, y) terletak pada parabol tersebut. Tetuka jarak OP terpedek jika O pagkal koordiat. 7. Suatu kotak tapa tutup yag alasya berbetuk persegi, jumlah luas kelima sisiya 4 dm. Tetuka ukura kotak tersebut agar volumya maksimum. 8

18 8. Diketahui kurva dega persamaa y. Tetuka jarak terpedek titik A(, 0) ke kurva tersebut. 9. Suatu persegipajag mempuyai luas 900 cm. Tetuka ukura persegipajag agar keliligya miimum. 10. Suatu proyek direcaaka selesai dalam hari yag aka meela biaya 100 ( + 60 ) ribu rupiah. Berapa harikah proyek tersebut harus selesai, agar biaya miimum? K. Peerapa Diferesial dalam Bidag Ekoomi Bayak masalah-masalah hubuga perekoomia merupaka hubuga fugsi, oleh karea itu pediferesiala fugsi juga bayak diterapka dalam bidag perekoomia. Berikut adalah beberapa pegguaa diferesial dalam bidag perekoomia yag bersifat sederhaa. 1. Elastisitas Permitaa. Seperti diketahui di dalam hukum permitaa bahwa aik/turuya harga mempegaruhi aik/turuya permitaa. Jika harga suatu barag berubah, maka permitaa aka barag tersebut juga berubah. Yag dimaksud dega elastisitas permitaa suatu barag terhadap harga adalah rasio atara perubaha relatif barag yag dimita terhadap perubaha relatif harga barag tersebut. Misalya harga suat barag turu a% da megakibatka aikya permitaa b%, maka elastisitas permitaa aka barag tersebut adalah Secara matematis : Jika fugsi permitaa adalah Q D f (P) maka b %. a% e D E E QD P lim P 0 QD QD dq P dp P di maa : e D elastisitas permitaa D P Q D 9

19 E Q D persetase perubaha permitaa E P persetase perubaha harga. Secara umum : Ey Elastisitas fugsi y f() adalah e di maa : E Cotoh e E y y dy Ey lim [ ]. 0 y Fugsi permitaa aka suatu barag adalah : Hituglah elastisitas barag pada tigka harga P 5 Q D 40 P Q D 4P Q D 40 p dqd P P QD. 4P. dp Q D 40 P Elastisitas permitaa pada tigkat harga : P 5 adalah : e D 10 Dega cara yag sama kita dapat meetuka elastisitas peawara da elastisitas produkai dega megguaka rumus : Jika fugsi peawara : Q S f (P) maka e S % QS % P E QS E P Qs Q S lim. P P P 0 dq dp S. P Q S Jika fugsi produksi : P f(), P out put da iput 40

20 maka : e P % Q % P p E E dp e P. P P P P lim 0 dp P Cotoh Fugsi produksi suatu komoditi adalah P - Hituglah elastisitas produksiya pada tigkat pegguaa iput sebayak 4 uit da 9 uit. P - P - 6 dp ep. ( 6). P 4 Pada 4 ep ( 6.4) e P., 40 6 Pada 9 ep ( 6.9). (.6.6 ) 6 5., Aalisis Margial Dalam ekoomi istilah margial adalah istilah yag diguaka pada laju perubaha atau turua fugsi. Jika C() biaya total utuk memproduksi uit suatu produk. R() pedapata total dari pejuala uit produk P() keutuga total yag diperoleh dari pejuala uit produk. Dari sii kita dapatka hubuga : P() R() - C() sehigga : P () R () - C () 41

21 P (), R () da C () berturut-turut meujukka laju perubaha dari keutuga, pedapata da biaya dari produksi da pejuala uit produksi. Dalam istilah ekoomi : P () disebut keutuga margial. (suatu keutuga tambaha berkeaa dega tambaha satu uit output) R ( ) disebut peerimaa margial (keutuga tambaha berkeaa satu uit berkeaa dega adaya satu uit tambaha output yag diproduksi atau dijual) C () disebut biaya margial (biaya tambaha yag dikeluarka utuk meghasilka satu uit out put) Catata : Jika biaya total c f(), maka biaya margial c MC f"(), da rata-rata C c MC f () da biaya rata-rata (ACD) X Cotoh 1 Jika diketahui bahwa fugsi biaya total utuk memproduksi suatu barag komoditi adalah c Tetuka : a. Biaya margial b. Biaya rata-rata, da biaya rata-rata margial. a. C C + b. Biaya rata-rata (AC) C AC AC

22 Cotoh Suatu perusahaa pharmasi memproduksi suatu jeis obat dega harga Rp 00,00 per uit. Jika biaya totalya adalah : C() ,00 da kapasitas produksi adalah uit, berapakah uit produk yag harus dijual agar medapatka keutuga yag sebesar-besarya? Bayakya produk yag terjual misalya buah, maka R() 00. Keutuga P() R() - C() 00 - ( ,00 ). Karea kapasitas produksi adalah 0.000, maka iterval : (0, 0.000). dp 00 - (80 + 0,006) 10-0,006 dp Keutuga maksimum diperoleh utuk 0, 10-0, P() Keutuga maksimum diperoleh ketika barag produksiya terjual uit. Latiha 4 1. Fugsi biaya total sebuah perusahaa elektroik adalah C() 0,04-0, da fugsi permitaaya : D,5-0,5. Berapakah harga da kwatitas barag sehigga memberika laba maksimum?. Diketahui fugsi permitaa D 4 - da biaya rata-rata AC 5. Tetuka keutuga maksimum yag diperoleh perusahaa tersebut!. Diketahui fugsi permitaa D 6 - da fugsi biaya total : C() Berapa jumlah barag yag harus dijual da harga peruit barag agar diperoleh laba yag maksimum da gambarlah grafikya. 4. Fugsi biaya total C() Tetuka biaya margial ketika 10; 400;

23 5. Jika fugsi permitaa D 5 -, carilah elastisitas permitaa terhadap harga jika barag yag diterima adalah 10 uit; 5 uit; uit. 6. Fugsi pejuala terhadap suatu produk idustri adalah R da fugsi biaya totalya C Tetuka besarya hasil pejuala, biaya margial da jumlah barag yag terjual ketika laba maksimum. 7. Bila C() dola adalah biaya total memproduksi pelidug kertas da 50 C() Tetuka : 5 a. tetuka fugsi biaya margial. b. fugsi margial utuk 10 c. biaya sebearya memproduksi pelidug kertas yag ke sebelas. 8. Bila C() dolar meyataka biaya total memproduksi satua barag da C() Tetuka :. a. fugsi biaya rata-rata. b. fugsi biaya margial. c. tetuka miimum mutlakya biaya rata-rata Fugsi biaya total C diberika oleh C() + 5. Tetuka : a. jelajah C b. fugsi biaya margial c. selag di maa biaya turu da di maa aik. 10. Bila R() meyataka pedapata total yag diterima dari pejuala buah televisi da R() Tetuka : a. fugsi pedapata margial b. pedapata margial utuk 0 c. pedapata sebearya dari pejuala televisi ke duapuluh satu. 44