BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
|
|
- Iwan Sanjaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki banyak terapan sampai saat ini adalah teori graf. Teori graf dikenalkan sejak tahun 736 dan berkembang pesat pada tahun 90-an. Teori graf memiliki banyak terapan dalam bidang ilmu komputer, kimia, riset operasi dan tehnik kelistrikan (Johnsonbaugh, 00). Suatu graf menyatakan himpunan titik yang disebut vertex yang dihubungkan dengan garis yang disebut edge. Banyak sistem dapat dipandang sebagai graf dimana obyek dapat diangap sebagai vertex dan hubungan diantara obyek dinyatakan dengan edge. Oleh karena itu graf dapat digunakan untuk menyatakan jaringan komplek yang terdiri dari komponen-komponan yang berhubungan. Contoh sederhana dari graf adalah peta jalan raya. Kota-kota dalam peta tersebut digambarkan sebagai vertex dan jalan yang menghubungkan kotakota adalah edge (Chartrand dan Oellerman, 993). Teori extremal graph merupakan cabang dari teori graf. Dalam teori extremal graph yang menarik adalah relasi antara invariant graf, seperti order, size, connectivity, degree minimum, degree maksimum, chromatic number dan diameter, dan juga nilai dari invariant yang memastikan bahwa graf pasti mempunyai sifat (property) yang ditentukan. Permasalahan dalam teori extremal graph meliputi, jika diberikan sifat P dan invariant µ pada kelas graf H, ditentukan paling sedikit nilai m untuk setiap graf G di H dengan µ (G) > m memiliki sifat P. Graf G dalam H tanpa sifat P dengan µ (G) = m disebut extremal graph. Contoh sederhana extremal graph adalah setiap graf dengan order n dan size paling sedikit n memuat suatu cycle, maka extremal graphnya adalah tree dengan order n (Bollobás, 978).
2 Pada skripsi ini dibahas mengenai pembentukan extremal graph pada graf G dan struktur extremal graph pada subgraf lengkap.. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang penulisan skripsi ini, penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut. bagaimana membentuk extremal graph pada graf G?. bagaimana struktur extremal graph pada subgraf lengkap?.3 Batasan Masalah Batasan-batasan masalah dalam penulisaan skripsi ini adalah. kajian secara teori,. pada graf sederhana dan tak berarah dengan invariant graf adalah size..4 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah. memperkenalkan pembentukan extremal graph pada suatu graf G,. memperkenalkan struktur extremal graph pada subgraf lengkap..5 Manfaaat Penulisan Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah. menambah wawasan tentang teori graf khususnya teori extremal graph,. mengembangkan ilmu yang berhubungan dengan graf dan extremal graph, 3. mengetahui struktur extremal graph pada subgraf lengkap.
3 BAB II LANDASAN TEORI. Tinjauan Pustaka Untuk dapat menyelesaikan masalah yang telah dirumuskan, maka diperlukan teori-teori yang mendasari penulisan skripsi ini. Pada bab ini memuat beberapa definisi teori graf dan konsep dasar mengenai extremal graph... Graf Definisi.. (Johnsonbaugh, 00) Suatu graf G (atau graf tak berarah) terdiri dari himpunan vertex tidak kosong V(G) = {v, v,, v n } dan himpunan edge (boleh kosong) E(G) = {e, e,, e n } sedemikian sehingga setiap edge e E(G) menghubungkan pasangan vertex tak terurut dari anggota-anggota V(G). Jika edge e menghubungkan vertex v i dan v j, maka ditulis e = (v i, v j ) atau e = (v j, v i ). Gambar. adalah contoh graf G dengan 4 vertex dan 5 edge. Graf G terdiri dari himpunan vertex V(G) = {v, v, v 3, v 4 } dan himpunan edge E(G) = {e, e, e 3, e 4, e 5 }. v e e e 5 v v 3 e 4 e 3 v 4 Gambar. Graf G 3
4 Definisi.. (Johnsonbaugh, 00) Sebuah edge e = (v i, v j ) dalam sebuah graf G yang menghubungkan pasangan vertex v i dan v j dikatakan incident terhadap v i dan v j. Vertex v i dan v j juga dikatakan incident terhadap e, sedangkan v i, v j merupakan vertex-vertex yang adjacent. Gambar. merupakan contoh incident edge dan adjacent vertex dari graf G. Pada Gambar. edge e incident terhadap vertex v dan v, sedangkan vertex v adjacent dengan v. v e v Gambar. Contoh incident edge dan adjacent vertex dari graf G. Definisi..3 (Chartrand dan Oellerman, 993) Degree suatu vertex v i dari graf G atau deg G v adalah banyaknya vertex yang adjacent pada v i atau banyaknya edge-edge yang incident dengan v i, jika G mempunyai order n maka 0 deg G v n. Degree terbesar dari suatu vertex dalam suatu graf G disebut degree maksimum (G) dan degree terkecil suatu vertex dalam suatu graf G disebut degree minimum δ(g). Gambar.3 adalah contoh degree suatu vertex dari graf G dengan himpunan vertex V(G) = {v, v, v 3, v 4, v 5 }. deg G v = v v 3 deg G v = 3 deg G v 3 = v 5 deg G v 4 = deg G v 5 = 0 v v 4 (G) = 3 δ(g) = 0 Gambar.3 Degree vertex dari graf G 4
5 Definisi..4 (Johnsonbaugh, 00) Suatu graf dikatakan sebagai graf sederhana (simple graph) jika tidak terdapat loop atau parallel edge. Loop adalah edge yang incident ke vertex tunggal. Dua edge atau lebih yang terhubung dengan pasangan vertex yang sama disebut parallel edge (edge ganda). Pada Gambar.4 di bawah ini graf G merupakan contoh dari graf yang memuat parallel edge dan loop sedangkan graf G merupakan graf sederhana. e 3 v v 3 G : v G : e e v 3 v v v 4 Gambar.4 Graf sederhana dan graf tidak sederhana Gambar.4 memperlihatkan graf G bukan graf sederhana karena memuat loop seperti edge e 3 = (v, v ) dan parallel edge yaitu edge e dan e keduanya menghubungkan pasangan vertex v, v. Graf G merupakan graf sederhana, karena tidak memuat parallel edge atau loop. Definisi..5 (Bollobás, 978) Banyaknya vertex dalam graf G disebut order G, sedangkan banyaknya edge dalam graf G disebut size G. Dalam suatu graf G, order dinotasikan dengan V(G), υ(g) atau G dan size dinotasikan dengan E(G), ε(g) atau e(g). Gambar.5 menunjukkan graf G dengan himpunan vertex V(G) = {v, v, v 3, v 4 } dan himpunan edge E(G) = {e, e, e 3, e 4 } mempunyai order 4 dan size 4. 5
6 v e v e 4 V(G) = 4 e e 3 v 4 E(G) = 4 v 3 Gambar.5 Order dan size dari graf G Definisi..6 (Chartrand dan Oellerman, 993) Walk dalam graf G adalah deret bergantian vertex dan edge, v 0, e, v, e,..., v n, e n, v n (n 0), yang dimulai dan diakhiri dengan vertex, dimana e i = (v i, v i ) untuk i =,,..., n. Walk dalam graf G dapat dinotasikan dengan v 0, v,..., v n, v n, karena setiap vertex yang muncul dalam walk menentukan edge dalam walk. Trail adalah walk yang edgenya tidak diulang. Path adalah walk dimana tidak ada vertex yang diulang. Gambar.6 merupakan contoh graf G dengan himpunan vertex V(G) = {v, v, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan edge E(G) = {e, e, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } yang memuat walk, trail dan path. Salah satu contoh walk, trail dan path dari Gambar.6 adalah walk : v, v, v 5, v 3, v, v,, v 4, trail : v 3, v 5, v, v, v 5, v 4, path : v, v 3, v 5, v, v 4. v e v e e 3 e 4 v 5 e 5 e 6 e 7 v 3 v 4 Gambar.6 Graf G yang memuat walk, trail dan path 6
7 Definisi..7 (Chartrand dan Oellerman, 993) Graf G disebut graf terhubung (connected graph) jika terdapat paling tidak satu path antara sembarang vertex v i dan v j. Jika tidak demikian, maka graf G dikatakan tidak terhubung (disconnected graph). Gambar.7 graf G merupakan contoh graf terhubung sedangkan graf G adalah graf tidak terhubung. G : G : Gambar.7 Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung Definisi..8 (Chartrand dan Oellerman, 993) Sebuah cycle adalah walk v 0, v,..., v n dengan n 3, v 0 = v n dan vertex v, v,..., v n berbeda. Cycle dengan order n dinotasikan dengan C n. Cycle dengan order 3 atau C 3 disebut dengan triangle. Gambar.8 merupakan contoh cycle dengan 3 n 5. Gambar.8 Cycle C n, 3 n 5 Definisi..9 (Bollobás, 978) Tree adalah graf terhubung yang tidak memuat cycle. 7
8 Tree dinotasikan dengan T. Gambar.9 merupakan dua contoh tree yaitu T dengan himpunan vartex V(T ) = {v, v, v 3, v 4 } dan T dengan himpunan vertex V(T ) = {v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 }. v v v T : T : v 5 v v 4 v 3 v 4 v 3 v 6 Gambar.9 Tree Definisi..0 (Bollobás, 978) Graf lengkap (complete graph) adalah graf G dengan order r yang setiap vertexnya adjacent dengan vertex yang lain. Dengan r kata lain graf lengkap adalah graf dengan order r dan size. Graf lengkap dengan order r dinotasikan dengan K r. Gambar.0 merupakan contoh graf lengkap dengan r 5. K K K 3 K 4 K 5 Gambar.0 Graf lengkap K r, r 5 8
9 Defnisi.. (Chartrand dan Lesniak, 979) Dua buah graf G dan G adalah isomorfik jika terdapat pemetaan satu-satu φ dari V(G ) dipetakan ke V(G ) sedemikian sehingga (v i,v j ) E(G ) jika dan hanya jika (φ(v i ),φ(v j )) E(G ). Jika graf G dan G adalah isomorfik, maka ditulis G G. Gambar. merupakan contoh graf isomorfik dan graf yang tidak isomorfik. Graf G dan G pada Gambar. adalah isomorfik ketika fungsi φ :V(G ) V(G ) didefinisikan dengan φ(v ) = v 5, φ(v ) = v 6, φ(v 3 ) = v 7, φ(v 4 ) = v 8 adalah isomorphism. Graf G dan G 3 tidak isomorfik, karena vertex-vertex di G 3 mempunyai degree dua, sedangkan vertex-vertex di G mempunyai degree tiga. v 3 v 8 v 7 v v G : G : G 3 : v 4 v v v 5 v 6 v 9 v 0 Gambar. Contoh graf isomorfik dan graf tidak isomorfik Definisi.. (Chartrand dan Oellerman, 993) Graf H adalah subgraf dari graf G jikav(h) V(G) dan E(H) E(G). Gambar. adalah contoh subgraf G. Graf H adalah subgraf dari graf G karena V(H) V (G) dan E(H) E(G). v e v v G : e 3 v 8 H : e e 9 v 5 e 0 e e 0 e e 7 e 6 e 4 v 3 e 8 v 4 v 6 e 5 v 7 v 6 e 5 v 7 Gambar. Contoh subgraf dari graf G 9
10 Definisi..3 (Chartrand dan Oellerman, 993) Jika V adalah himpunan tidak kosong dari vertex G, maka subgraph induced by V adalah maksimal subgraph dari G dengan himpunan vertex V. Subgraph induced by V terdiri dari semua edge dari graf G yang terhubung dengan vertex di V. Jika V adalah himpunan tidak kosong dari vertex G, subgraph induced by V dinotaskan dengan <V > atau G[V ]. Gambar.3 merupakan contoh induced subgraph dari graf G. Graf G dan G pada Gambar.3 adalah subgraf dari graf G. Graf G adalah induced subgraph dari graf G tetapi G bukan induced subgraph dari graf G karena edge (v, v 4 ) E(G) tetapi (v, v 4 ) E(G ). Jadi G = G[{v, v, v 3, v 5 }]. v v v 3 v v v 3 v v v 3 G : G : G : v 4 v 5 v 6 v 5 v 4 v 5 Gambar.3 Contoh induced subgraph dan bukan induced subgraph dari graf G Definisi..4 (Stechkin dan Baranov, 995) Selisih dari dua himpunan X dan Y adalah himpunan dari semua anggota X yang bukan anggota Y. Dinotasikan X\Y, berarti X\Y = {x: x X dan x Y}. Misal V adalah himpunan vertex dari graf G dengan V = {v, v, v 3, v 4, v 5 } dan V = {v, v }, maka V\V = {v 3, v 4, v 5 }. 0
11 Definisi..5 (Chartrand dan Oellerman, 993) Graf G adalah r partite graph jika graf G dengan r dan himpunan vertex V(G) dapat dipartisi ke r subhimpunan tak kosong V, V,...,V r sedemikian sehingga tidak ada edge dalam graf G yang menghubungkan vertex di dalam himpunan yang sama. Himpuan V, V,...,V r disebut himpunan partisi dari G. Gambar.4 adalah 3 partite graph dengan himpunan partisi V = {v, v }, V = {v 3 }, V 3 = {v 4, v 5, v 6 }. v v v 3 v 4 v 5 v 6 Gambar.4 3 partite graph Definisi..6 (Chartrand dan Oellerman, 993) Complete r partite graph adalah r partite graph dengan himpunan partisi V, V,...,V r, sedemikian sehingga setiap vertex dari V i terhubung ke setiap vertex V j, dengan i< j r. Jika V i = n i, untuk i =,,..., r, maka G dinotasikan dengan K(n, n,..., n r ). Gambar.5 merupakan contoh complete r partite graph dengan r = 3 dan r = 4.
12 v v v v K,,3 : v 3 K,,, : v 4 v 5 v 6 v 4 v 3 Gambar.5 Contoh complete r partite graph, r = 3, 4 Pada Gambar.5 K,, 3 adalah complete 3 partite graph dengan kelas vertex V = {v }, V = {v, v 3 } dan V 3 = {v 4, v 5, v 6 }. K,,, adalah complete 4 partite graph dengan kelas vertex V = {v }, V = {v }, V 3 = {v 3 }, V 4 = {v 4 }. Definisi..7 (Bollobás, 978) Jarak antara dua vertex v i dan v j yang dinotasikan dengan d(v i, v j ) adalah minimum panjang path antara v i dan v j. Diameter dari graf G adalah maksimum jarak antara dua vertex v i dan v j dalam graf G. Diameter dari graf G dinotasikan dengan diam G, berarti diam G = maks{d(v i, v j ): v i, v j G}. Gambar.6 adalah graf G dengan himpunan vertex V(G)= {v, v, v 3 } dan diameter dari graf G adalah satu. v d(v, v ) = d(v, v 3 ) = d(v, v 3 ) = diam G = v v 3 Gambar.6 Contoh graf G dengan diameter satu
13 Definisi..8 (Bollobás, 978) Pewarnaan vertex pada graf G adalah pemberian warna pada vertex sedemikian sehingga vertex yang adjacent diberi warna yang berbeda. Jika warna yang digunakan sebanyak k maka pewarnaannya disebut k-coloring. Jika terdapat k-coloring pada graf G maka graf G adalalah k-colorable. Chromatic number dari G adalah χ(g) = min{k : G adalah k-colorable}. Gambar.7 adalah gambar graf G dengan himpunan vertex V(G)={v, v, v 3, v 4 }. Chromatic number dari graf G adalah tiga, karena minimal warna yang digunakan pada graf G adalah 3 yaitu vertex v diwarnai merah, vertex v, v 3 diwarnai biru dan v 4 diwarnai hijau. v v v 3 v 4 Gambar.7 Contoh graf G dengan chromatic number tiga Definisi..9 (Harary, 969) Invariant dari suatu graf adalah nilai yang berhubungan dengan graf G yang mempunyai nilai yang sama untuk graf apapun yang isomorfik dengan graf G. Invariant dari graf G dinotasikan dengan µ (G). Contoh invariant graf G adalah order, size, degree maksimum, degree minimum, chromatic number dan diameter. 3
14 Teorema. (Chartrand dan Oellerman, 993) Jika G adalah graf dengan order n dan size p dengan V(G) = {v, v,..., v n }, maka n i= deg G v i = p Teorema. (Chartrand dan Oellerman, 993) Tree dengan order n mempunyai size n... Extremal Graph Definisi..0 (Bollobás, 978) jika diberikan sifat P dan invariant µ pada kelas graf H, ditentukan paling sedikit nilai m untuk setiap graf G dalam H dengan µ (G) > m memiliki sifat P. Graf G dalam H tanpa sifat P dengan µ (G) = m disebut extremal graph. Setiap graf dengan order 4 dan size paling tidak 5 harus memuat K 3. Extremal graphnya adalah graf dengan order 4 vertex dan size 4 dan tidak memuat K 3. Jadi extremal graphnya adalah C 4. Gambar.8 merupakan extremal graph pada graf yang memuat subgraf K 3. v v v 4 v 3 Gambar.8 Extremal graph (4, K 3 ) 4
15 Definisi.. (Bollobás, 978) Turán graph T r (n) adalah complete r partite graph order n dengan size maksimal, dinotasikan size maksimal dengan t r (n). Kelas vertex dan size dari Turán graph adalah n t r n =, n r n n + =,..., n r r n 0 i< j n + r = vertex, r n + i n + j r r i ( n) = =. r < r Gambar.9 adalah contoh Turán graph T 3 (7) dengan n = 7 dan r = 3. Kelas vertex T 3 (7) adalah V = {v, v }, V = {v 3, v 4 } dan V 3 = {v 5, v 6, v 7 }dan t 3 (7) = 6. v v 3 v v 4 v 5 v 6 v 7 Gambar.9 Turán graph T 3 (7). Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka di atas dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk mengenalkan extremal graph. Dikenalkan extremal graph pada subgraf lengkap yaitu membentuk extremal graph tanpa memuat subgraf lengkap K r, dengan menunjukkan bahwa setiap graf dengan n vertex dan size lebih besar dari t r (n) harus memuat K r subgraf lengkap dengan order r dan graf dengan n vertex dan size t r (n) tidak memuat K r adalah graf T r (n). Dalam penulisan skripsi ini, penulis memperkenalkan extremal graph pada subgraf lengkap dengan menggunakan pengertian yang dikenalkan oleh Bollobás [978]. 5
16 BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur, yaitu metode penulisan dengan semua bahan diambil dari buku referensi, jurnal dan artikel. Definisi dan teorema yang terdapat di referensi dikaji ulang, kemudian digunakan dalam pembahasan yang telah dirumuskan. Langkah-langkah penulisan ini dimulai dengan mengenalkan extremal graph pada graf G, kemudian menggunakan pengertian extremal graph untuk membahas extremal graph pada subgraf lengkap. Untuk lebih jelasnya disajikan dalam bagan di bawah ini. Buku referensi, jurnal dan artikel dikaji Konsep dasar dan pengertian extremal graph Pengertian Turán graph Extremal graph pada subgraf lengkap Gambar 3. Langkah-langkah penulisan 6
17 BAB IV PEMBAHASAN Dalam pembahasan ini dikenalkan mengenai pembentukan extremal graph pada graf G dengan invariant graf adalah size. Selanjutnya dikenalkan juga struktur extremal graph pada graf lengkap. 4.. Extremal Graph Dalam bagian ini dibahas mengenai extremal graph yang dibatasi pada graf sederhana G yang memuat subgraf G, dan invariant graf adalah size. Permasalahan extremal merupakan satu pokok bahasan dalam teori extremal graph. Permasalahan extremal dalam masalah ini dimulai dengan permasalahan extremal klasik yang telah dikenalkan oleh Turán. Permasalahan extremal tersebut adalah jika diberikan graf G, ditentukan size maksimum ex(n; G ) pada graf G dengan order n yang tidak memuat G sebagai subgrafnya. Extremal graph pada graf G adalah suatu graf dengan order n dan size maksimum ex(n; G ) yang tidak memuat G sebagai subgrafnya. Setiap graf dengan order n dan size paling sedikit n memuat cycle, maka extremal graphnya adalah tree dengan order n. Gambar 4. merupakan extremal graph pada graf dengan order 5 yang memuat sebuah cycle. Gambar 4. Extremal Graph (5, C) 7
18 Setiap graf G dengan order n yang memuat triangle (K 3 ) sebagai subgrafnya, maka extremal graphnya adalah complete bipartite graph ( ) n n, K. Complete bipartite graph merupakan bipartite graph yang memiliki size maksimum, dimana setiap vertex dalam kelas vertex yang berbeda terhubung. Gambar 4. berikut ini merupakan ilustrasi dari extremal graph pada graf G dengan order n = 8 dan size ex(8; K 3 ) =. Gambar 4. Extremal graph (8, K 3 ) Teorema 4.. berikut menunjukan bahwa size maksimum dari graf tanpa memuat triangle (K 3 ) adalah. Toerema 4.. Size maksimum dari semua graf dengan n vertex tanpa memuat n triangle (K 3 ) adalah. 4 Bukti : Dibuktikan dengan induksi pada n.. Untuk n genap. Untuk n =, Teorema 4. benar. Diasumsikan benar untuk graf G dengan n p vertex, berarti size maksimum dari graf G mempunyai paling banyak p edge. Akan dibuktikan benar untuk graf G dengan n = p + vertex dan tidak memuat triangle. 8
19 Ketika G tidak memuat K 3, maka ada vertex v i dan v j yang adjacent dan tidak memuat vertex v yang adjacent ke v i dan v j. Misalkan G = G {v i, v j }, maka G mempunyai p vertex dan tidak memuat triangle. Dengan hipotesa induksi, G mempunyai paling banyak p edge. Sehingga tidak ada vertex v sedemikian sehingga v i dan v j keduanya adjacent ke v yang mengakibatkan v i, v j, v membentuk triangle pada graf G. Jika v i adjacent ke k vertex di G, v j adjacent ke paling banyak p k vertex, maka graf G mempunyai paling banyak n ( p k) + = p + p + = ( p + ) p + k + = 4. Untuk n ganjil. Untuk n = 3, Teorema 4. benar. Diasumsikan benar untuk graf G dengan n p vertex, berarti jumlah edge maksimum dari graf G mempunyai paling banyak (4 p 4 p + ) edge. 4 Akan dibuktikan benar untuk graf G dengan n = p + vertex dan tidak memuat triangle. Ketika graf G tidak memuat K 3, maka ada vertex v i dan v j yang adjacent dan tidak memuat vertex v yang adjacent ke v i dan v j. Misalkan G = G {v i, v j }, maka G mempunyai (p ) vertex dan tidak memuat triangle. Dengan hipotesa induksi, G mempunyai paling banyak (4 p 4 p + ) edge. 4 Sehingga tidak ada vertex v sedemikian sehingga v i dan v j keduanya adjacent ke v yang mengakibatkan v i, v j, v membentuk triangle pada graf G. Jadi jika v i adjacent ke k vertex G, v j adjacent ke paling banyak (p ) k vertex. Oleh karena itu, graf G mempunyai paling banyak ( 4 p 4 p + ) ( p + ) 4 + k + ( p k) + = 4 n = 4 9
20 Jadi size maksimum dari semua graf dengan n vertex tanpa memuat triangle (K 3 ) n adalah. 4 Graf G adalah graf dengan order 5 yang memuat triangle sebagai subgrafnya, maka extremal graph pada graf G adalah complete bipartite graph K, 3 dengan size ex(5; K 3 ) = 6. Gambar 4.3 adalah extremal graph dengan order 5 dan size ex(5; K 3 ). v v v 3 v 3 v 4 Gambar 4.3 Extremal graph dengan ex(3, K 3 ) 0
21 4.. Extremal Graph pada Subgraf Lengkap Extremal graph pada subgraf lengkap adalah suatu graf dengan order n dan size maksimum ex(n; K r ) yang tidak memuat K r sebagai subgrafnya. Graf yang tidak memuat K r adalah (r ) partite graph, sedangkan (r ) partite graph yang mempunyai size maksimum adalah complete (r ) partite graph (Michaelmas, 003). Dari definisi, Turàn graph T r (n) adalah complete r partite graph dengan order n dan size maksimum t r (n) dengan kelas vertex adalah. n t r n =, n r n n + =,..., n r r n 0 i< j n + r = vertex, r n + i n + j r r i ( n) = =. r < r Teorema 4.. berikut dikaji oleh Turán yang menunjukkan bahwa graf G dengan n vertex dan size maksimum yang tidak memuat K r sebagai subgrafnya adalah T r (n). Dengan kata lain, extremal graph pada subgraf lengkap adalah T r (n). Teorema 4.. Misal r dan n bilangan asli r, maka setiap graf dengan order n dan size lebih besar dari t r (n) memuat K r sebagai subgrafnya. Selanjutnya T r (n) adalah satu-satunya graf dengan order n dan size t r (n) yang tidak memuat K r sebagai subgrafnya. Bukti : Dibuktikan dengan induksi pada n. Untuk n r (r = ), maka t () = 0. Setiap graf dengan order dan size memuat K. Jadi T () adalah graf dengan order dan size t () tidak memuat K. Jadi Teorema 4. benar untuk n r. Diasumsikan benar untuk 3 r < n, bahwa setiap graf dengan order m lebih kecil dari n dan size lebih besar dari t r (m) memuat K r, T r (m) adalah satu-satunya graf dengan order m dan size t r (m) yang tidak memuat K r sebagai subgrafnya.
22 Misal graf G adalah graf dengan order n dan size maksimum tanpa memuat K r. Oleh karena itu graf G memuat K r. Misal H = K r - G. Dengan hipotesis induksi diperoleh r q = E(H) =, q = size antara graf H dan V H (n r + )(r ), q 3 = E(V H) t r (n r+). Oleh karena itu, E(G) = q + q + q 3 r E(G) + (n r + )(r )+ t r (n r + ) t r (n) Karena G mempunyai size maksimum, maka q = (n r + )(r ). Dengan demikian himpunan vertex V(G) dapat dipartisi menjadi (r ) kelas vertex V, V,..., V r dengan setiap vertexnya adjacent ke (r ) vertex di H. Jadi G adalah complete (r ) partite graph dengan kelas vertex V, V,..., V r. Oleh karena itu, graf G adalah T r (n). Graf yang mengilustrasikan Teorema 4. diperlihatkan pada Gambar 4.4. Pada Gambar 4.4 graf T 3 (6) tidak memuat K 4 sebagai subgrafnya dengan size t 3 (6) =. v v v 3 v 6 v 4 v 5 Gambar 4.4 T 3 (6)
23 Bardasarkan Teorema 4.. jelas bahwa extremal graph pada subgraf lengkap adalah T r (n) dan juga setiap graf G dengan n vertex dan size lebih besar dari t r (n) memuat K r. Selanjutnya, Teorema 4.3 barikut menunjukkan bahwa setiap graf G dengan n vertex dan size t r (n) + memuat K r + dengan menghilangkan satu edge. Teorema 4.3. Jika n r +, maka setiap G = (n, t r (n)+) memuat K r+ e. Bukti : Untuk n = r +, maka graf G = (r +, t r (r + ) + ). Size graf G adalah t r (r + ) +, dengan t r + + r + r = ni + r + = + r + =. ( r ) Karena graf G mempunyai size tersebut, maka graf G = K r + e. Jadi benar untuk n = r + maka setiap G = (n, t r (n) + ) memuat K r+ e. Diasumsikan benar untuk setiap graf dengan order lebih kecil n dengan mengingat graf G = (n, t r (n)+). Dibuktikan benar untuk setiap graf G = (n, t r (n)+) dengan n > r+. Vertex v di T r (n) dengan degree minimum berada di kelas vertex dengan order terbesar, dengan mengambil vertex tersebut maka diperoleh T r (n ), berarti t r (n) δ(t r (n)) = t r (n ) (4.) ( T r (n)) δ(t r (n)) (4.) Misal jumlah vertex dengan degree minimum di T r (n) adalah k. Karena n > r +, maka k >. 3
24 Sehingga, nδ(g) e(g) = t r (n) + t r (n) = kδ(t r (n)) + (n k) (T r (n)), k > Dengan persamaan (4.), maka diperoleh t r (n) nδ(t r (n)) + n k nδ(g) nδ(t r (n)) + n k + (4.3) Akan ditunjukan bahwa δ(g) δ(t r (n)). Diandaikan δ(g) > δ(t r (n)). Misal δ(t r (n)) = x, berarti δ(g) x +. Menurut persamaan (4.3), maka nδ(g) nδ(t r (n)) + n k +, k > < n(δ(t r (n)) + ) < n(x + ) δ(g) < x +. Karena kontradiksi dengan pengandaian, maka δ(g) δ(t r (n). Ambil vertex v G adalah vertex dengan degree minimum, maka deg G (v) = δ(g) E(G v) = e(g) δ(g) = t r (n) + δ (G) t r (n ) δ (T r (n)) + t r (n ) +. Jadi E(G v) t r (n ) +. Dengan hipotesis induksi di atas, maka G v memuat K r + e. Jadi jika n r + maka setiap graf G = (n, t r (n)+) memuat K r + e. Bukti dari Teorema 4.3 di atas dapat diilustrasikan dengan contoh graf G pada Gambar 4.5. Graf G dengan himpunan vertex V(G) = {v, v, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 } dan size t 3 (8) + = memuat K 5 e. 4
25 v v v 6 v 3 v 4 v 7 v 5 v 8 Gambar 4.5 graf G = (n, t r (n)+) v v v 4 v 6 v 7 Gambar 4.6 Graf K 5 e Teorema 4.4. berikut menyatakan karakteristik barisan degree maksimal dari graf G tanpa memuat K r. 5
26 Terema 4.4. Misal G adalah graf dengan himpunan vertex V = {v, v,..., v n }. Jika G tidak memuat K r maka terdapat (r ) partite graph H dengan himpunan vertex V sedemikian sehingga: deg H (v) deg G (v) untuk ν V. Bukti : Dibuktikan dengan induksi pada r. Untuk r = berarti terdapat partite graph H yaitu graf dengan n vertex dengan degree nya nol, sehingga Teorema 4.4 benar. Diasumsikan benar untuk r. Berarti Graf G adalah graf dengan himpunan vertex V yang tidak memuat K r, maka terdapat (r ) partite graph H dengan himpunan vertex V sedemikian sehingga deg H (v) deg G (v), ν V. Akan dibuktikan benar untuk r. Diambil vertex x V(G) dengan deg G (x) = (G). Misal G = G[Γ(x)] maka G adalah graf yang tidak memuat K r. Misal V = Γ(x). Dengan hipotesa induksi maka terdapat (r ) partite graph H dengan himpunan vertex V sedemikian sehingga deg H (v) deg G (v) ν V. Dibentuk H dengan menghubungkan setiap vertex di V\V ke H. Dikontruksikan H dengan menghubungkan setiap vertex di V\V ke H, maka H adalah (r ) partite graph dengan himpunan vertex V. Selanjutnya ditunjukkan bahwa deg H (v) deg G (v), ν V. Jika v V\V, maka deg H (v) = V = deg G (x). Karena deg G (x) deg G (v), ν V, maka deg H (v) deg G (v) untuk v V\V. Jika tidak, ν V maka deg H (v) = V\V + deg H (v). Karena deg H (v) deg G (v), ν V, maka deg G (v) deg G (v) + V\V deg H (v) + V\V = deg H (v) Jadi deg H (v) deg G (v), untuk ν V 6
27 Gambar 4.7 berikut mengilustrasikan Teorema 4.4 di atas adalah graf G C 5 dimana tidak memuat K 3 sebagai subgrafnya. v v v 5 v 3 v 4 Gambar 4.7 G C 5 tidak memuat K 3 sebagai subgrafnya Pada Gambar 4.6 graf G C 5 tidak memuat K 3, menurut Teorema 4.4. maka terdapat partite graph H dengan himpunan vertex V sedemikian sehingga deg H (v) deg G (v),untuk ν V. v v v 5 v 3 v 4 Gambar 4.8 Graf H 7
28 Contoh Contoh Penyelesaian Soal Dari pembahasan tentang extremal graph pada subgraf lengkap, untuk lebih jelasnya diberikan contoh dan penyelesaian soal sebagai berikut. Contoh Temukan extemal graph pada subgraf lengkap K 4! Penyelesaian : Telah dibahas bahwa extremal graph pada subgraf lengkap K r adalah complete (r ) partite graph, maka extremal graph pada subgraf lengkap K 4 adalah complete 3 partite graph dengan size maksimum ex(n;k 4 )= t 3 (n). Contoh Untuk 3 r < n dan n = t(r ) + k, 0 k< r. Tunjukkan bahwa size graf K(n, n,...,n r ) dengan kelas vertex V, V,..., V r dimana kelas vertex V, V,..., V k mempunyai n i = t +, dan kelas vertex V k+, V k+,..., V r mempunyai n i = t adalah ) ( k r n t n + +! Penyelesaian : K(n, n,...,n r ) adalah complete (r ) partite graph dimana memiliki size t r (n) maka = ) ( r i r n n n t + = + k r k n i n i n ( ) + + = t k r t k n. + + = k r n t n
29 BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :. Extremal graph adalah graf dengan order n dengan size maksimum ex(n; G ) dan tidak memuat graf G sebagai subgrafnya.. Extremal graph pada graf lengkap adalah complete (r ) partite graph dengan extremal graph T r (n) dan ex(n; K n ) = t r (n). 3. Jika n r +, maka setiap graf G = G(n, t r (n) + ) memuat K r+ e. 4. Graf G dengan himpunan vertex V tidak memuat K r sebagai subgrafnya, maka terdapat (r ) partite graph H dengan himpunan vertex V(G) sedemikan sehingga d H (v) d G (v) untuk v V. 5. Saran Saran yang dapat diberikan penulis mengenai extremal graph adalah dapat dikembangkan secara khusus tentang extremal graph misalnya extremal graph pada cycle, mengenai connectivitynya atau degree minimum. 9
MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelaskelas graf, dan dimensi metrik pada
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan dasar bagi berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciKonsep Dasar dan Tinjauan Pustaka
Bab II Konsep Dasar dan Tinjauan Pustaka Pembahasan bilangan Ramsey pada bab-bab berikutnya menggunakan definisi, notasi, dan konsep dasar teori graf yang sesuai dengan rujukan Chartrand dan Lesniak (1996),
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciDIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL
DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Rido Oktosa 4150406504 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari tiga subbab. Subbab pertama adalah tinjauan pustaka yang memuat hasil penelitian yang dilakukan oleh peneliti sebelumnya dalam bidang dimensi metrik. Subbab kedua
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciPENGERTIAN GRAPH. G 1 adalah graph dengan V(G) = { 1, 2, 3, 4 } E(G) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } Graph 2
PENGERTIAN GRAPH 1. DEFINISI GRAPH Graph G adalah pasangan terurut dua himpunan (V(G), E(G)), V(G) himpunan berhingga dan tak kosong dari obyek-obyek yang disebut himpunan titik (vertex) dan E(G) himpunan
Lebih terperinciPewarnaan Total Pada Graf Outerplanar
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 Pewarnaan Total Pada Graf Outerplanar Prihasto.B Sumarno Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Lebih terperinciMisalkan dipunyai graf G, H, dan K berikut.
. Pewarnaan Graf a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring) Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
Lebih terperinciTEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperincimerupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)
dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap
Lebih terperinciLOGIKA DAN ALGORITMA
LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar
Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinci7. PENGANTAR TEORI GRAF
Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. Sebuah garf G terdiri dari: 1. Sebuah himpunan V=V(G) yang memiliki elemen2 yg dinamakan verteks/titik/node. 2. Sebuah kumpulan E=E(G) merupakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dari suatu graf G disebut himpunan titik G, dinotasikan dengan V(G) dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang bahasan matematika yang mempelajari tentang himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan sisi. Suatu Graf G terdiri atas himpunan
Lebih terperinciMatematik tika Di Disk i r t it 2
Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel Teori Dasar Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex
Lebih terperinciBagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E
Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciTHREE HOUSES AND THREE UTILITIES PROBLEM
THREE HOUSES AND THREE UTILITIES PROBLEM (Karyanti M010801, Susi Ranangga M0108067, Evy Dwi Astuti M0108087) 1. LATAR BELAKANG MASALAH Berdasarkan permasalahan yang melibatkan three houses and three utilities,
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN Reni Tri Damayanti Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Email: si_cerdazzz@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu topik yang menarik untuk
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 90 96 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP AFIFAH DWI PUTRI, NARWEN Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciGRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).
GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya
Lebih terperinciSIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS ALL CYCLES Nur Rohmah Oktaviani Putri
SIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciOPERASI PADA GRAF FUZZY
OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email: b_diset@yahoo.com,
Lebih terperinciBILANGAN DOMINASI LOKASI PERSEKITARAN TERBUKA PADA GRAF TREE
BILANGAN DOMINASI LOKASI PERSEKITARAN TERBUKA PADA GRAF TREE Riko Andrian 1, Lucia Ratnasari 2, R. Heru Tjahjana 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H.
Lebih terperinciPENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR
TESIS - SM 142501 PENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR ROBIATUL ADAWIYAH NRP 1214 201 019 DOSEN PEMBIMBING Dr. Darmaji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 23 31 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF YULI ERITA Program Studi Matematika, Pascasarjana Fakultas
Lebih terperinciKARAKTERISASI GRAF POHON DENGAN BILANGAN KROMATIK LOKASI 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 71 77 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KARAKTERISASI GRAF POHON DENGAN BILANGAN KROMATIK LOKASI 3 FAIZAH, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperincix 6 x 5 x 3 x 2 x 4 V 3 x 1 V 1
. PENGANTAR TEORI GRAF Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. NET terdiri atas : 1. Himpunan titik (tidak boleh kosong) 2. Himpunan garis (directed line) 3. Setiap directed line menentukan
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n), UNTUK n 3
PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(, n), UNTUK n 3 SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH : YUNIZAR BP. 914336 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS 13 DAFTAR
Lebih terperinciMULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS
MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS SKRIPSI Oleh : NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciMINIMAL EDGE DARI GRAF 2-CONNECTED DENGAN CIRCUMFERENCE TERTENTU (On Edge Minimal 2-Connected Graphs with Prescribed Circumference)
MINIMAL EDGE DARI GRAF 2-CONNECTED DENGAN CIRCUMFERENCE TERTENTU (On Edge Minimal 2-Connected Graphs with Prescribed Circumference) Tri Atmojo Kusmayadi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciINTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE 2
INTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE Operasi-Operasi Pada Graph Union Misal G dan H adalah dua graph yang saling asing. Union G H adalah graph dengan V(G H)=V(G) V(H) dan E(G H)=E(G) E(H). Join Join dari
Lebih terperinciBAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH
BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciMizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. 1.
DIMENSI PARTISI PADA GRAF C m K n, GRAF C m [P n ], DAN GRAF t-fold WHEEL Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi yang akan dihasilkan pada penelitian ini. 2.1 Beberapa Definisi dan Istilah 1. Graf (
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF C n K m, DENGAN n 3 DAN m 1
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 37 41 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF C n K m, DENGAN n 3 DAN m 1 MERY ANGGRAINI, NARWEN Program Studi Matematika,
Lebih terperinciNILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG
PROSIDING ISSN: 50-656 NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG RiaWahyu Wijayanti 1), DwiMaryono, S.Si., M.Kom ) MahasiswaPascaSarjana UNS 1), Dosen FKIP UNS ) riaa.ww@gmail.com 1), dwimarus@yahoo.com
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciDAN DIAMETER. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
JIMT Vol. 13 No. 2 Desember 2016 (Hal 11-16) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 2450 766X KELAS GRAF RAMSEY MINIMAL R(3K 2, F 5 ) YANG TERBATAS PADA ORDE DAN DIAMETER K. Saleh 1, I W. Sudarsana
Lebih terperinciDAFTAR ISI. LEMBAR JUDUL... i. LEMBAR PERSEMBAHAN... ii. LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv. ABSTRAK...v. ABSTRACT... vi. KATA PENGANTAR...
DAFTAR ISI LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERSEMBAHAN... ii LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv ABSTRAK...v ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR...x DAFTAR LAMBANG DAN ISTILAH...
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang mempelajari
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang mempelajari himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan garis. Suatu graf adalah himpunan tidak kosong yang
Lebih terperinci`BAB II LANDASAN TEORI
`BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori yang digunakan sebagai materi pendukung untuk menyelesaikan permasalahan yang dibahas dalam Bab IV adalah teori graf, subgraf, subgraf komplit, graf terhubung, graf
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 PLANARITAS-1 HASIL KALI LEKSIKOGRAFIK GRAF Novi Dwi Pratiwi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciPenerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit
Penerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit Ivan Saputra 13505091 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha
Lebih terperinciGRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF
GRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF Andika Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 6031 Email: rizalandika90@yahoo.co.id Dwi Juniati Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciEksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, dan Graf Komplit Bipartit
Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, dan Graf Komplit Bipartit Charles Hariyadi Jurusan Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Bandung if15105@students.if.itb.ac.id(13505105) Abstrak
Lebih terperinciEdge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir
Jurnal Saintika (ISSN 1693-640X) Edisis Khusus Dies Natalis UIN Malang, Juni 005. Halaman -7 Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir Abstrak Pelabelan total sisi
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n. Oleh : Yogi Sindy Prakoso ( ) JURUSAN MATEMATIKA. Company
DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n Oleh : Yogi Sindy Prakoso (1206100015) JURUSAN MATEMATIKA Company FAKULTAS MATEMATIKA Click to DAN add ILMU subtitle PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI
Lebih terperinciBILANGAN DOMINASI EKSENTRIK TERHUBUNG pada GRAF
BILANGAN DOMINASI EKSENTRIK TERHUBUNG pada GRAF Tito Sumarsono 1, R. Heri Soelistyo 2, Y.D. Sumanto 3 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S. H. Tembalang Semarang titosumarsono69@gmail.com
Lebih terperinci