INTEGRAL RIEMANN. a = x 0 x 1 x 2 x 3 x n-1 x n = b. Gambar Partisi dari,

Transkripsi

1 INTEGRAL RIEMANN 7.1. Integral Riemann Partisi dantanda Partisi Jika =, adalah interval tertutup terbatas pada R, maka sebuah partisi(bagian) dari I adalah terbatas, order himpunan = (,,,, ) dari titik-titik di I sedemikian hingga = <, < < = (Lihat gambar 7.1.1) Titik di Pdigunakan untuk membagi =, ke dalam interval-interval bagian yang tidak tumpang tindih sebagai berikut : =,, =,,, =, a = x 0 x 1 x 2 x 3 x n-1 x n = b Gambar Partisi dari, Biasanya kita akan menunjukkan partisi Pdengan notasi P=, mendefinisikan norma dari P: =,,, Sehingga aturan partisi hanya panjang dari interval bagian terbesar ke dalam bagian partisi,. Jelas bahwa banyak partisi memiliki aturan yang sama, maka partisi tersebut bukan fungsi dari suatu norma. Jika sebuah titik t i telah dipilih dari masing-masing interval bagian =,, untuk = 1,2,3,,, maka titik tersebut disebut tanda dari interval bagian I i. Sebuah pasangan himpunan P= (,, ) dari interval bagian dan sesuai tanda disebut tanda partisi dari I; lihat gambar (titik di atas Pmenunjukkan bahwa sebuah tanda telah dipilih untuk masing-masing interval bagian). Kita dapat memilih tanda di titik akhir kiri, atau titik akhir kanan atau di titik tengah dari interval bagian, dan sebagainya. Karena masing-masing tanda dapat dipilih 1 kita

2 dengan berbagai cara, maka masing-masing partisi dapat di tandai dalam berbagai cara. Aturan dalam menandai partisi didefinisikan untuk partisi biasa dan tidak bergantung pada pilihan tanda. t 1 t 2 t 3 t n x n = b a = x 0 x 1 x 2 x 3 x n-1 Gambar Penandaan partisi dari, JikaP adalah tanda partisi seperti yang diberikan, kita definisikan jumlah Riemann dari fungsi :, R sesuai pada Pmenjadi bilangan (1) (; ) = ( )( ) Kita juga akan menggunakan notasi ini ketika Pdinotasikan sebagai bagian dari partisi dan bukan keseluruhan partisi. Pembaca mungkin mengira bahwa jika fungsi f positif pada,, maka jumlah Riemann (2) adalah jumlah dari luas persegi m dimana alasnya adalah interval bagian =, dimana tingginya adalah ( ). (lihat gambar 7.1.3) Definisi Integral Riemann Gambar Jumlah Riemann 2

3 Sekarang kita akan mendefinisikan Integral Riemann dari fungsi f pada Interval, Definisi Sebuah fungsi :, R disebut Integral Riemann pada, jika terdapat bilangan L R dimana untuk setiap Ԑ > 0 terdapat Ԑ > 0 dimana jika P adalah tanda partisi dari, dengan < Ԑ, maka (; ) <Ԑ Himpunan dari semua fungsi Intergal Riemann pada, dinotasikan dengan R,. Catatan : Kadang dikatakan bahwa integral L adalah limit dari jumlah Riemann S(f ;P)sebagai norma 0. Bagaimanapun, karena S(f ; P) bukan fungsi dari, limit ini bukan seperti yang kita pelajari sebelumnya. Pertama kita akan menunjukkan bahwa jika f R,, maka bilangan Lditentukan secara tunggal. Ini kemudian disebut Integral Riemann dari fterhadap,. Untuk L, biasanya kita menuliskannya dengan atau = = () Dapat dipahami bahwa setiapnotasi selain x dapat digunakan untuk tampilan selanjutnya, selama hal itu tidak menimbulkan hasil tak tunggal Teorema Jika f R,, maka jumlah dari integral Riemann dapat dihasilkan secara tunggal. Bukti : Asumsikan bahwa L dan L" keduanya terdefinisi dan ambil Ԑ > 0. Maka terdapat Ԑ/ > 0 dimana jika P 1 adalah tanda partisi dengan < Ԑ/, maka (; ) <Ԑ/2. 3

4 Juga terdapat " Ԑ/ > 0 dimana jikap 2 adalah tanda partisi dengan < " Ԑ/, maka (; ) " <Ԑ/2 Sekarang ambil Ԑ = Ԑ/, " Ԑ/ > 0 dan ambil Psebagai tanda partisi dengan < Ԑ. Karena (; ) <Ԑ/2 dan (; ) " <Ԑ/2, maka akan mengikuti Pertidaksamaan Segitiga yaitu " = (; ) + (; ) " (; ) + (; ) " < Ԑ 2 + Ԑ 2 = Ԑ Karena Ԑ > 0, maka L = L". (Artinya, jumlah Integral Riemann dihasilkan secara tunggal) Beberapa Contoh (a) setiap fungsi konstan pada, berada dalam R,. Ambil () = untuk semua x,. Jika P = (,, ) tanda partisi dari,, maka jelas bahwa (; )= (, ) Untuk sembarang Ԑ > 0, kita pilih Ԑ = 1 maka jika < Ԑ, maka : (; P) ( ) = 0 < Ԑ Untuk Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa f R, dan = ( ) adalah = ( ). (b) Ambil g : 0,3 R didefinisikan sebagai g() = 2 untuk 0 1, dan g() = 3untuk 1 < 3. Sebuah pengamatan awal berdasarkan graf pada g (lihat gambar 7.1.4), anggap kita mungkin mengharapkan bahwa g = 8. 4

5 Gambar Graf g Misal Padalah tanda partisi dari 0,3 dengan norma < ; dapat kita tunjukkan bagaimana mencari dengan tujuan untuk menunjukkan bahwa (g ; ) 8 <Ԑ. Ambil P 1 sebagai himpunan bagian darip memiliki tanda di 0,1 dimana () = 2, dan ambil P 2 sebagai himpunan bagian dari P yang memiliki tanda di (1,3, dimana g() = 3. Maka kita peroleh S(g; P) = S(g; P 1 ) + S(g; P 2 ). Karena <, jika u 0,1 dan u, maka 1 sehingga < + 1, untuk tanda t i 0,1. Sehingga, interval 0, 1 terdapat di dalam gabungan seluruh himpunan bagian pada Pdengan tanda t i 0,1. Hal yang sama, gabungan ini berada dalam 0,1 +. Karena g(t i ) = 2 pada tanda ini, maka kita peroleh 2(1 ) S(g;P 1 ) 2(1 + ). Pendapat yang sama menunjukkan bahwa gabungan dari semua himpunan bagian dengan tanda t i 0,3 terdapat dalam interval 1 +, 3 dengan panjang 2 dan terdapat dalam 1, 3 dengan panjang 2 +. Sedemikian hingga 3(2 ) S(g;P 2 ) 3(2 + ). Jumlahkan pertaksamaan ini dan gunakan persamaan (3), kita dapatkan : 5

6 8 5 S(g;P) = S(g;P 1 ) + S(g;P 2 ) Sedemikian hingga diperoleh : (g; ) 8 = 0 5 Untuk mendapatkan hasil akhir <Ԑ, maka dapat kita ambil Ԑ < Ԑ/5. Buat beberapa pilihan (sebagai contoh, jika kita ambil Ԑ = Ԑ/10), kita dapat menelusuri argumen dan lihat bahwa (g; ) 8 <Ԑ untuk < Ԑ. Karena Ԑ > 0, kita telah membuktikan bahwa g R0,3dan bahwa g = 8, sesuai prediksi. (c) Ambil h() = 0,1, akan kita tunjukkan bahwa h R0,1. Kita akan tunjukkan suatu trick untuk memudahkan kita menebak nilai dari integral dengan mempertimbangkan pilihan tertentu dari titik tanda. Memang, jika ( ) adalah partisi dari 0,1dan kita pilih tanda dari interval =, sebagai titik tengah = ( + )maka kontribusi pada bagian ini kepada jumlah Riemann sesuai dengan tanda partisi = (, ) adalah : h( )( ) = 1 2 ( + )( ) = 1 2 ( ) Jika kita masukkan bagian ini dan catat jumlah teleskop, kita peroleh (h; ) = 1 2 ( ) = 1 2 (1 0 ) = 1 2 Sekarang ambil P =, menjadi tanda partisi dari 0,1 dengan < maka < untuk i = 1, 2,..., n. Begitupun, ambil Q titik partisi yang sama, tapi kita memilih tanda sebagai titik tengah dari interval I. Karena kedua dan di dalam interval, kita dapatkan <. Gunakan pertidaksamaan segitiga, dihasilkan (h; ) (h; ) = ( ) ( ) ( ) < = ( ) = 6

7 Karena (h; ) =, kita anggap bahwa Ptanda partisi dengan <, maka (h; ) <. Sehingga kita dapat mengambil Ԑ Ԑ. Jika kita pilih Ԑ = Ԑ, kita dapat menelusuri argumen untuk menyimpulkan bahwa h R0,1dan h =. (d) Ambil () = 1 untuk =,,,, dan () = 0selainnya pada 0,1. Akan kita tunjukkan bahwa F R0,1dan = 0. Terdapat empat titik dimana F tidak nol, masing-masing bisa terdapat pada dua interval bagian yang diberikan oleh tanda partisi P. Hanya term ini yang akan memberikan hasil tidak nol pada (; ). Artinya kita pilih Ԑ < Ԑ/8. Jika < Ԑ, ambil P 0 sebagai himpunan bagian dari Pdengan tanda yang berbeda,,,, dan ambil P 1 sebagai himpunan bagian dari P dengan tanda pada titiktitik ini. Karena (; )=0, akan terlihat bahwa (; ) = (; ) + (; ) = (; ). Karena terdapat paling banyak 8 bagian pada (; ) dan masing-masing < 1. Ԑ, kita simpulkan bahwa Sehingga, F R0,1dan = 0. 0 < (; ) = (; ) < 8. Ԑ = Ԑ (e) Ambil() = 1/ untuk = ( ) dan () = 0, untuk selainnya pada 0,1. Diberikan Ԑ > 0, ambil sebagai himpunan (berhingga) pada titik-titik dimana () Ԑ. Ambil n Ԑ sebagai bilangan pada titik di dan ambil Ԑ =Ԑ/(2 Ԑ ). Ambil Psebagai tanda partisi sedemikian hingga < Ԑ. Ambil P 0 sebagai himpunan bagian dari Pdengan tanda diluar dan ambil P 1 sebagai himpunan bagian dari Pdengan tanda di dalam. Sama halnya seperti (d), kita peroleh 0 S(G;P) = S(G;P 1 )< (2n Ԑ ) Ԑ = Ԑ Karena Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa G R0,1dan = 0. = 7

8 Beberapa Sifat dari Integral Kesulitan melibatkan dalam menentukan nilai intergal dan Ԑ anggap bahwa itu akan berguna untuk memperoleh teorema umum. Hasil pertama pada arah ini memungkinkan kita untuk mengkombinasi bentuk tertentu dari fungsi integral Teorema Anggap f dan g berada di R,. Maka : (a) Jika R, fungsi kf berada dalamr, dan =. (b) Fungsi f + g di dalam R, dan ( + ) = + (c) Jika () g() untuk semua x,, maka g Bukti : Jika P =., adalah tanda partisi dari,, maka akan mudah untuk ditunjukkan bahwa S(kf ;P) = ks( f ;P), (a) Kita akan membuktikan : S(f ;P) S(g;P) S( f + g ;P) = S( f ; P) + S( g ;P), Jika R, fungsi kf berada dalam R, maka = Bukti : Diberikan Ԑ > 0, kita dapat gunakan pernyataan pada pembuktian pada Teorema Ketunggalan untuk membangun nilai Ԑ > 0 8 sedemikian hingga jika P tanda partisi dengan < Ԑ, makadengan menggunakan S(kf ;P) = ks( f ;P) : Sehingga diperoleh = (b) Kita akan membuktikan : (; ) < Ԑ (; ) < Ԑ

9 Fungsi f + g di dalam R, dan ( + ) = + Bukti : Diberikan Ԑ > 0, Ԑ > 0 sedemikian hingga jika P tanda partisi dengan < Ԑ, maka keduanya (4) dan (; ) < Ԑ/2 (g; ) g < Ԑ/2 Kita gunakans( f + g ;P) = S( f ; P) + S( g ;P), sehingga : ( + g; ) + g Dengan pertidaksamaan segitiga, diperoleh : (; ) = (; ) + (g; ) + (g; ) g < Ԑ 2 + Ԑ 2 = Ԑ g Karena Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa f + g R, dan integral ini adalah jumlah dari integral f dan g, dapat ditulis ( + ) = + (c) Kita akan membuktikan : Jika () g() untuk semua x,, maka Ambil persamaan (4) di atas : g 9

10 (; ) < Ԑ (g; ) g < Ԑ 2 2 Ԑ 2 sehingga Ԑ/2 <S( f ;P ), < (; ) < Ԑ 2 dan S( g ;P ) < g +Ԑ/2. Jika kita gunakan fakta bahwa S( f ;P ) S( g ;P), Ԑ/2 g +Ԑ/2 Tapi karena Ԑ > 0, maka g g + Ԑ Ԑ 2 < (g; ) g kita peroleh < Ԑ 2 Teorema keterbatasan Sekarangakankita tunjukkan bahwa sebuah fungsi yang tidak terbatasan tidak dapat menjadi Integral Riemann Teorema Jika f R,, maka f terbatas pada, Bukti : Kita asumsikan bahwa f adalah fungsi yangtidak terbatas pada R, dengan integral L. Dan terdapat > 0, sedemikian hingga jika Padalah tanda partisi dari, dengan <, maka diperoleh (; ) < 1, yang menghasilkan (5) (; ) < + 1 Sekarang ambil =, sebagai partisi dari, dengan <. Karena tidak terbatas pada,, maka terdapat paling sedikit satu interval bagian di Q, disebut,, dimana tidak terbatas padanya. Jika terbatas pada tiap interval bagian, oleh M, maka akan terbatas pada, oleh (,,, ) 10

11 Sekarang akan kita ambil tanda untuk Q yang akan menghasilkan kontradiksi untuk (5). Kita tandai Q dengan = untuk dankita ambil,, sedemikian hingga ( )( ) > ( )( ) Dari pertidaksamaan Segitiga (dalam bentuk + ) kita peroleh (; ) ( )( ) ( )( ) > + 1 Yang kontradiksi dengan (5). Akan kita tutup pembahasan ini dengan contoh fungsi yang tidak kontinu pada setiap bilangan rasional dan tidak monoton, namun integral Riemannnya Contoh Kita anggap didefinisikan fungsi Thomaeh :0,1 R, sama seperti contoh 5.1.5(h), dengan h() = 0 jika 0,1 adalah rasional, h(0) = 1 dan dengan h() = 1/ jika 0,1 bilangan rasional = / untuk,, tidak memiliki faktor umum bilangan bulat kecuali 1. Akan terlihat pada 5.1.5(h) bahwa h kotinu pada setiap bilangan irrasional dan tidak kontinu pada setiap bilangan rasional di 0,1. Akan kita tunjukan bahwa h R0,1. Ambil Ԑ > 0 maka himpunan Ԑ = 0,1: h)0 Ԑ/2 adalah himpunan terbatas. Ambil Ԑ sebagai bilangan pada elemen Ԑ dan ambil Ԑ = Ԑ/(4 Ԑ ). Jika P adalah tanda partisi dengan < Ԑ, ambil P 1 sebagai himpunan bagian dari P memiliki tanda di Ԑ dan P 2 sebagai himpunan bagian daripmemiliki tanda selainnya di 0,1. Kita amati bahwa P 1 memiliki paling besar 2 Ԑ interval yang total panjangnya <2 Ԑ Ԑ = Ԑ/2 dan bahwa 0 < h( ) 1 untuk setiap tanda di P 1. Begitupun total panjang dari himpunan bagian di P 2 adalah 1 dan h( ) < Ԑ/2 untuk setiap tanda di P 2. Sehingga kita peroleh ( h ; ) = S( h;p 1 ) + S( g ;P 2 ) <1. 2 Ԑ Ԑ + (Ԑ/2). 1 = Ԑ Karena Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa h R0,1dengan integral 0. 11

12 7.2 Fungsi Integral Riemann Kita mulai dengan pentingnya Kriteria Cauchy. Kemudian akan kita buktikan Teorema Squeeze, yang akan berguna dalam menetapkan keintegralan Riemann untuk beberapa kelas fungsi (langkah fungsi, fungsi kontinu, dan fungsi monoton). Akhirya kita akan menetapkan Teorema Penjumlahan. Kita telah mengenal bahwa yang menggunakan langsung definisi kita tahu nilai integral. Kriteria Caauchy menghilangkan kebutuhan ini, tapi pada kebutuhan mempertimbangkan dua Jumlah Riemann, bukanhanya satu Kriteria Cauchy Sebuah fungsi, R, terintegral di R, jika dan hanya jika untuk setiap Ԑ > 0, terdapat ƞ Ԑ > 0sedemikian hinggap dan Qmerupakan tanda partisi dari, dengan <ƞ Ԑ dan <ƞ Ԑ, maka (; ) (; ) < Ԑ Bukti : ( ) Jika, dengan integral L, ambil ƞ Ԑ = Ԑ /2 > 0 sedemikian hingga jika P, Q adalah tanda partisi dimana <ƞ Ԑ dan <ƞ Ԑ, maka (; ) < Ԑ/2 dan (; ) < Ԑ/2 Sehingga diperoleh (; ) (; ) (; ) + (; ) (; ) + (; ) < Ԑ 2 + Ԑ 2 = Ԑ () Untuk masing-masing, ambil > 0 sedemikian hingga jika P dan Q adalah tanda partisi dengan norma <, maka (; ) (; ) < 1/ Dapat kita asumsikan bahwa untuk, di lain pihak, kita tempatkan dengan min,,. Untuk setiap, ambil P n sebagai tanda partisi dengan <. Jelas, jika m > n maka kedua P m dan P n memiliki norma <, sehingga (1) (; ) (; ) < 1/ untuk m > n Akibatnya, barisan (; ) adalah barisan Cauchy di R. Sehingga (dengan teorema 3.5.5) barisan ini konvergen di R dan kita ambil = (; ). 12

13 Berdasarkan pada limit di (1) sebagai m, kita peroleh (; ) 1/ untuk semua Untuk melihat bahwa A adalah Integral Riemann pada f, diberikan Ԑ > 0, ambil untuk K > 2/Ԑ. Jika Q tanda partisi dngan <, maka (; ) (; ) (; ) + (; ) < Ԑ Karena Ԑ > 0, maka, dengan integral A. Sekarang akan kita beri contoh yang menggunakan Kriteria Cauchy Contoh (a) Ambil g :0,3 R sebagai fungsi yang bersesuaian dengan contoh 7.1.3(b). Pada contoh tersebut kita lihat bahawa jika P adalah tanda partisi dari 0,3dengan norma <, maka 8 5 (g; ) Jika Q tanda partisi yang lain dengan <, maka 8 5 (g; ) Jika kita subtitusikan kedua pertidaksamaan ini, kita peroleh (g; ) (g; ) 10 Agar hasil akhirnya <Ԑ, maka kita diperbolehkan untuk mempergunakan Kriteria Cauchy dengan ƞ Ԑ = Ԑ/20. (b) Kriteria Cauchy dapat digunakan untuk menunjukkan fungsi f: 0,3 Rbukan integral Riemann. Untuk melakukan ini kita harus menunjukkan bahwa : Terdapat Ԑ 0 > 0 sedemikian hingga untuk setiapƞ > 0 terdapat tanda partisipdanqdengan <ƞdan <ƞsedemikian hingga: (; ) (; ) Ԑ Kita akan memberlakukan catatan untuk fungsi Dirichlet, berdasarkan 5.1.5(g) didefinisikan () = 1 jika 0,1 adalah rasional dan () = 0jika 0,1irrasional. 13

14 Kita ambil Ԑ = 1/2. Jika P adalah partisi dari semua tanda bilangan irrasional maka (; ) = 1, sedangkan jika Q adalah partisi dari semua tanda bilangan irrasional maka (; ) = 0. Karena kita dapat mengambil beberapa tanda partisi dengan secara tiba-tiba memiliki norma kecil, kita simpulkan bahwa fungsi Dirichlet bukan Integral Riemann. Teorema Squeeze Hasil berikutnya akan digunakan untuk menetapkan keintergalan Riemann untuk beberapa kelas fungsi yang penting Teorema Squezze Ambil, R. Maka, jika dan hanya jika untuk semua Ԑ > 0, terdapat fungsi Ԑ dan Ԑ di, dengan (2) Ԑ () Ԑ () untuk semua,. Dan dimana (3) ( Ԑ Ԑ ) < Ԑ Bukti ( ) Ambil Ԑ = Ԑ = untuk semua Ԑ > 0. Secaraa tak langsung sudah memenuhi (2), kemudian akan dibuktikan (3) : Ambil ( Ԑ Ԑ ) sehingga memenuhi ( Ԑ Ԑ ), karena Ԑ = Ԑ maka ( Ԑ Ԑ ) = 0 = < Ԑ 0 < Ԑ () Ambil Ԑ > 0. Karena Ԑ dan Ԑ berada di,, maka terdapat Ԑ > 0 sedemikian hingga jika P adalah tanda partisi dengan < Ԑ, maka ( Ԑ ; ) Ԑ < Ԑ dan ( Ԑ ; ) Ԑ < Ԑ ( Ԑ ; ) Ԑ < Ԑ ( Ԑ ; ) Ԑ < Ԑ sehingga Ԑ < ( Ԑ ; ) Ԑ < Ԑ Ԑ < ( Ԑ ; ) Ԑ < Ԑ Ԑ Ԑ < ( Ԑ ; ) dan ( Ԑ ; ) < Ԑ + Ԑ Dari pertidaksamaan (2), kita peroleh ( Ԑ ; ) (; ) ( Ԑ ; ), sehingga 14

15 Ԑ Ԑ < (; ) < Ԑ + Ԑ Jika tanda partisi yang lain dengan < Ԑ, maka kita peroleh juga Ԑ Ԑ < (; ) < Ԑ + Ԑ Kita subtitusikan kedua pertaksamaan ini dan gunakan (3), kita simpulkan bahwa (; ) < Ԑ + Ԑ Ԑ Ԑ < (; ) atau (; ) < Ԑ + Ԑ (; ) (; ) < Ԑ + Ԑ Ԑ + Ԑ (; ) (; ) < Ԑ Ԑ + 2Ԑ = ( Ԑ Ԑ ) + 2Ԑ < 3Ԑ Karena Ԑ > 0, Kriteria Cauchy menunjukkan bahwa,. Kelas Fungsi Integral Riemann Teorema Squezee sering digunakan dalam koneksi kelas dalam langkah fungsi. Perlu diingat dari Definisi fungsi :, R adalah langkah fungsi jika ia hanya memiliki bilangan berhingga dari nilai berbeda, masing-masing nilai berasal dari asumsi dari satu atau lebih interval bagian dari,. Sebagai ilustrasi dari langkah fungsi. Lihat gambar atau Lemma Jika J adalah interval bagian dari, memiliki titik akhir c<d dan jika () = 1 untuk dan () = 0 untuk selainnya di,, maka, dan =. Bukti : 15

16 Jika =, dengan dalam latihan da dapat kita pilih Ԑ = Ԑ/4. Pembuktian yang sama dapat diberian untuk tiga interval bagian lainnya yang memiliki titik akhir ini. Alternatif lain, kita amati bahwa dapat kita tulis (,) = (,) (,), (,) = (,) (,) dan (,) = (,) (,). Karena (,) = 0, keempat dari fungsi ini memiliki integral sama dengan d c. Hal ini fakta penting, bahwa setiap langkah fungsi adalah integral Riemann Teorema Jika, R adalah langkah fungsi, maka,. Bukti : Langkah fungsi dari tipe muncul dalamdari tipe disebut langkah fungsi elementary. Dalam latihan 5 hal ini ditunjukkan bahwa sebuah langkah fungsi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari beberapa langkah fungsi dasar : (4) = dimana memiliki titik akhir <. Lemma dan teorema (a,b) menunjukkan bahwa R, dan bahwa (5) = ( ) Sekarang akan kita gunakan teorema Squeeze untuk menunjukan terdapatnya fungsi kontinu sebagai integral Riemann Teorema Jika, R kontinu pada,, maka R, Bukti : 16

17 Mengikuti teorema dimana fkontinu seragam pada,. Diberikan Ԑ > 0 maka terdapat Ԑ > 0 sedemikian hingga jika,, dan < Ԑ, maka kita peroleh Ambil = () () < Ԑ/(b a). sebagai sebuah partisi sedemikian hingga < Ԑ, ambil sebagai titik dimana f mencapai nilai minimum pada, dan ambil sebagai titik dimana fmencapai nilai maksimum pada. Ambil Ԑ sebgai langkah fungsi didefinisikan sebagai Ԑ () = ( ) untuk, )( = 1,2,, 1) dan Ԑ () = ( ) untuk,. Ambil Ԑ dengan definisi yang sama menggunakan titik bukan. Maka satu menjadi Ԑ () () Ԑ () untuk semua,. Lebih lanjut, jelas bahwa 0 ( Ԑ Ԑ ) = ( ) ( )( ) < Ԑ ( ) = Ԑ Karena itu, dengan mengikuti teorema squeeze diperoleh, Fungsi monoton tidak selalu kontinu pada setiap titik, tapi fungsi monoton adalah juga integral riemann Teorema Jika, R monoton pada,, maka R,. Bukti : Anggap bahwa f meningkat(increasing) pada interval,, <. Jika diberikan Ԑ > 0, kita ambil sedemikian hingga h = () () < Ԑ Ambil = () + h untuk = 0,1,, dan sesuai himpunan = (, ) ) untuk = 1,, 1 dan =,. Himpunan yang diuraikan berpasangan dan memiliki gabungan,. Karakteristik dari Teorema menunjukkan bahwa setiap jika tidak (i) kosong, (ii) mengacu 17

18 pada satu titik atau (iii) berupa tidak menghasilkan interval (tidak selalu tertutup) di,. Kita buang himpunan yang sesuai dengan (i). Jika kita dampingkan titik akhir kepada interval sisa, kita peroleh interval tertutup. Jadikan latihan untuk menunjukkan bahwa interval sesuai_, hingga, = dan (), untuk. adalah diuraikanberpasangan Sekarang kita definisikan langkah fungsi Ԑ dan Ԑ pada, dengan mengatur Ԑ () = dan Ԑ () = untuk. Jelas bahwa Ԑ () () Ԑ () untuk semua, dan bahwa ( Ԑ Ԑ ) = ( )( ) = h. ( ) = h. ( ) < Ԑ Karena Ԑ > 0, maka teorema squeeze menyiratkan R, Teorema Penjumlahan Sekarang kita kembali ke fungsi integral Riemann. Hasil selanjutnya menunjukkan bahwa integral adalah sebuah fungsi penjumlahan dari interval dimana fungsi adalah terintegral. Sifat ini tidak lagi mengejutkan, tapi ini membuktikan bahwa sedikithalusdan dapatdihilangkanpadapembacaanpertama Teorema Penjumlahan Ambil, R dan ambil,. Maka, jika dan hanya jika ada pembatasan untuk, dan, keduanya adalah integral Riemann. Dalam hal ini (6) Bukti : = + () Anggap bahwa dibatasi kepada, dan dibatasi kepada, terintegral Riemann pada masing-masing dan. Dan diberikan Ԑ > 0, terdapat 18

19 > 0 sedemikian hingga jika P 1 adalah tanda partisi dari, dengan <, maka (; ) < Ԑ/3. Juga terdapat " > 0 sedemikian hingga jika adalah tanda partisi dari, dengan < " maka (; ) < Ԑ/3. Jika M adalah batas untuk, kita definisikan Ԑ =, ", Ԑ/6M dan ambil P sebagai tanda partisi dari, dengan <. Akan kita buktikan bahwa (7) (; ) ( ) < Ԑ (i) Jika c adalah titik partisi dari Q, kita pisahkan Q ke dalam sebuah partisi dari, dan sebuah partisi dari,. Karena (; ) = (; ) + (; ), dan karena memiliki norma< dan memiliki norma < ", maka pertidaksamaan (7) jelas. (ii) Jika c bukan titik partisi di = (, ) terdapat sedemikian hingga (, ). Kita ambil Q 1 sebagai tanda partisi dari, didefinisikan sebagai = (, ), (, ),, (, ), (,, ) Dan sebagai tanda partisi dari, didefinisikan sebagai = (,. )(, ),, (, ), Sebuah perhitungan sederhana menunjukkan bahwa (; ) (; ) (; ) = ( )( ) ()( ) Yang mengikuti = ( ) (). ( ) (; ) (; ) (; ) 2( ) < Ԑ/3. Tapi karena < dan < ", mengikuti (; ) < Ԑ/3 dan (; ) < Ԑ/3. Dari mana kita mendapatkan (7). Karena Ԑ > 0, kita nyatakan, dan memenuhi (6). ( ) Anggap, dan diberikan Ԑ > 0, ambil ƞ Ԑ > 0 mengikuti Kriteria Cauchy Ambil sebagai pembatas dari f pada,, dan ambil, sebagai tanda partisi dari, dengan <ƞ Ԑ dan <ƞ Ԑ. Dengan menambahkan partisi penjumlahan dan tanda dari, kita dapat memperpanjang dan kepada tanda partisi P dan Q dari, sedemikian 19

20 <ƞ Ԑ dan <ƞ Ԑ. Jika kita gunakan titik penjumlahan yang sama dan tanda di, untuk kedua P dan Q, maka ( ; ) ( ; ) = (; ) (; ) Karena kedua P dan Q memiliki norma <ƞ Ԑ, maka( ; ) ( ; ) < Ԑ. Sedemikian hingga Kondisi Cauchy menunjukkan pembatas dari kepada, yaitu dalam,. Dengan cara yang sama, kita lihat pembatas dari kepada, yaitu dalam,. Persamaan (6) sekarang mengikuti bagian pertama dari teorema Corollary Jika, dan jika,,, maka pembatas dari fpada, berada dalam,. Bukti : Karena, dan,, mengikuti teorema bahwa pembatas, berada dalam,.. Tapi jika, maka aplikasi lain dari teorema menunjukkan bahwa pembatas dari fpada, berada dalam, Corollary Jika, dan jika = < < < =, maka pembatas dari f pada masing-masing interval bagian, adalah integral Riemann dan = Hingga sekarang, kita telah mempertimbangkan bahwa Integral Riemann pada interval, dimana <. Mudah mendapatkan definisi integral lebih umum Definisi Jika, dan jika,, dengan <, kita definisikan dan = 20

21 Teorema = 0 Jika, dan jika,, sembarang bilangan di, maka (8) Dalam arti bahwa keberadaan = keberadaan integral ke tiga dan persamaan (8). Bukti : + untuk setiap dua integral ini menyiratkan Jika setiap dua bilangan,, adalah sama maka memenuhi persamaan (8). Selanjutnya kita anggap, bahwa ketiga bilangan tersebut berbeda. Berdasarkan simetri, kami memperkenalkan istilah (,, ) = + + Jelas bahwa (8) terpenuhi jika dan hanya jika (,, ) = 0. Sedemikian hingga, untuk membentuk pernyataan, kita harus menunjukkan bahwa = 0 untuk kedelapan pernyataan permutasi, dan. Kita catat bahwa Teorema Penjumlahan menunjukkan bahwa (,, ) = 0 di mana < <. Tapi dengan mudah dapat dilihat bahwa kedua (,, ) dan (,, )sama dengan (,, ). Sehingga bilangan (,, ), (,, ) dan (,, ) adalah sama dengan (,, ). Sedemikian hingga, hilang untuk semua konfigurasi yang mungkin dari ketiga titik ini. 7.3 Teorema Dasar Teorema Dasar (Formula Pertama) Pertama dari Teorema Fundamental menyediakan dasar teoritis untuk metode perhitungan yang integral yang pembaca pelajari dalam kalkulus. Hal ini menegaskan bahwa jika fungsi ƒ adalah turunan dari F fungsi dan jikaƒ milik integral ƒ R [a, b], maka dapat dihitung dengan cara evaluasi F = F (b) - F (a). Sebuah fungsi F sedemikian sehingga () = ƒ (x) untuk semua x [a, b] disebut anti turunan atau 21

22 primitif dari f pada [a, b]. demikian, ketika f memiliki anti turunan, itu adalah hal yang sangat sederhana untuk menghitung integral. Dalam prakteknya, akan lebih mudah untuk memungkinkan beberapa poin yang luar biasa c di mana F '(c) tidak ada di R atau di mana tidak sama f (c). ternyata kita dapat mengizinkan sejumlah terbatas titik yang luar biasa tersebut Dasar Kalkulus (Formula Pertama) sehingga: Misalkan ada E diatur terbatas pada [a, b] dan fungsi f, F: [a, b] R sedemikian a. F kontinu pada [a, b] b. F '(x) = f (x) untuk semua x [a, b] \ E c. f Milik R [a, b] Lalu kami memiliki (1) ƒ = F(b) F(a) Bukti. Kami akan membuktikan teorema dalam kasus di mana E = {a, b}. kasus yang umum dapat diperoleh dengan melanggar/memutus interval ke dalam gabungan dari bilangan terbatas interval. Mari ε > 0 diberikan. Sejak ƒ R [a, b] dengan asumsi (c), terdapat δ ε > 0 sehingga P adalah setiap partisi dengan tag P < δ ε maka (2) S (ƒ ; P) - ƒ < ε Jika subinterval di P adalah { x i-1, x i } maka Teorema Nilai Rata-rata diterapkan untuk F pada {x i-1, x i } menyiratkan bahwa ada µ i ( x i-1, x i ) sehingga F (x i ) F( x i-1 ) = F (µ i ). (x i - x i-1 ) for i = 1,, n Jika kita menambahkan istilah-istilah ini, perhatikan telescoping dari jumlah dan menggunakan fakta bahwa F (µ i ) = ƒ(µ i ). kita mendapatkan F (b) F (a) = F (xi) F( xi 1) = ƒ (µ i ) (x i - x i-1 ). Sekarang mari P U = {([ x i - x i-1 ], µ i ) jadi jumlah yang sama di sebelah kanan δ (ƒ, P U). jika kita pengganti F (b) F (a) = S (ƒ, P U) ke (2), kami menyimpulkan bahwa F (b) F (a) - ƒ < ε 22

23 Tapi karena ε > 0 adalah sewenang-wenang, kami menduga bahwa persamaan (1) memegang QED Catatan Jika fungsi F terdiferensialkan pada setiap titik [a, b], maka (oleh Teorema 6.1.2) hipotesis (a) secara otomatis puas. Jika ƒ tidak ditentukan untuk beberapa titik c E, kita ambil ƒ(c) = 0, Bahkan jika F terdiferensialkan di setiap titik [a. b], kondisi (c) tidak secara otomatis puas karena terdapat fungsi seperti F yang tidak F' Riemann integrable (lihat contoh (e) Contoh (a) jika F (x) = ½ x 2 untuk semua x [a, b], maka F '(x) = x untuk semua x [a, b], selanjutnya ƒ = F 'kontinu sehingga dalam R [a, b]. maka Teorema Fundamental (dengan E = ) menyiratkan bahwa x dx = F (b) F (a) = ½ (b 2 - a 2 ) (b) jika G (x) = arctan x untuk x [a, b], maka G '(x) = 1 / (x 2 +1) untuk semua semua x [a, b], danjuga G adalah terus menerus, sehingga dalam R [a, b]. maka Teorema fundamental (dengan E = ) menyiratkan dx = Arctan b Arctan a (c) jika A (x) = x for x [-10,10], maka A '(x) = -1 if x [-10,0] dan A' (x) = +1 untuk x (0,10). Mengingat definisi fungsi signum (dalam (b)), kita memiliki A'(x) = sgn (x) for all x [-10,10] \ [0]. Karena fungsi signum adalah fungsi langkah, itu milik R [-10,10]. Oleh karena itu Teorema Fundamental (dengan E = [0]) menunjukkan bahwa () = (10) ( 10) = = 0 (d) jika H (x) 2 for x [0, b] maka H kontinu pada [0, b] dan H '(x) = 1 / untuk x [0, b]. karena h = H 'tidak dibatasi pada [0, b], itu bukan milik R [0, b] tidak peduli 23

24 bagaimana kita mendefinisikan h (0). Oleh karena itu Teorema Dasar tidak berlaku. (Namun, kita akan lihat Contoh (a) h yang umum Riemann terintegrasikan pada [0, b]). (e) membiarkan K (x) = x 2 cos (1 / x 2 ) untuk x [0,1] dan membiarkan K (0) = 0. Ini mengikuti dari Produk Aturan (c) dan Aturan Rantai bahwa K (x) = 2x cos (1/x 2 ) + (2/x) sin (1/x 2 ) for x [0,1] Selanjutnya, seperti dalam contoh (d), kita memiliki K '(0) = 0. Jadi K kontinu dan terdiferensialkan di setiap titik [0, 1]. Sejak semester pertama di K 'kontinu pada [0,1], itu milik R [0,1]. Namun istilah kedua K 'tidak dibatasi, sehingga tidak milik R [0,1] akibatnya K' R [0,1] dan Teorema Dasar tidak berlaku untuk K '. (Namun, kita akan melihat pada Contoh (b) bahwa K 'adalah Riemann umum integrable). Teorema Dasar (Formula Kedua) Kami kini giliran Teorema Fundamental (Formula Kedua) yang ingin membedakan integral yang melibatkan batas atas variabel Definisi Jika ƒ R [a, b] maka fungsi yang didefinisikan oleh (3) F(z) = ƒ dx untuk z [a, b] Disebut integral tak terbatas f dengan titik dasar a. (Kadang-kadang titik selain digunakan sebagai titik dasar, lihat latihan 6). Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa jika if ƒ R [a, b] maka F tidak terbatas ingtegral yang memenuhi kondisi Lipschitz, maka F kontinu pada [a, b] Teorema (1) F tidak terbatas didefinisikan oleh F(z) = ƒ dx untuk z [a, b] kontinu pada [a, b], pada kenyataannya, if ƒ(x) < M untuk semua kemudian F(w) < M z w untuk semua z, w [a, b] F(z)- 24

25 Bukti. Aditif Teorema menunjukkan bahwa jika z, w [a, b] dan w < z kemudian F (z) = ƒ = ƒ + ƒ = F(w) + ƒ Diperoleh Sekarang jika M < menunjukkan bahwa Mana hal berikut yang Seperti yang sudah ada F(z) F(w) = ƒ ƒ(x) < M untuk semua x [a, b], maka Teorema (c) - M ( z w) < ƒ < M ( z w) F(z) F(w) < ƒ < M z w Sekarang kita akan menunjukkan bahwa F integral tak tentu terdiferensialkan pada setiap titik di mana f kontinu Teorema Dasar Kalkulus (Formula Kedua) Biarkan ƒ R [a, b] dan membiarkan f menjadi kontinu di titik c [a, b]. maka integral tak terbatas, ditetapkan oleh (3) terdiferensialkan pada c dan F '(c) = f (c). Bukti. Kami akan menganggap bahwa c [a, b] dan mempertimbangkan tangan kanan turunan F pada c. karena f kontinu di c, ε > 0 diberikan η ε > 0 terdapat c < x < c + η ε (4) ƒ (c) - ε < ƒ (x) < (c) + ε Biarkan h memenuhi 0 < h < η ε.. The aditif Teorema menunjukkan bahwa f adalah terintegrasikan pada interval [a, c], [a, c + h] and [c, c + h] dan bahwa F (c + h ) F (c) = ƒ Sekarang pada interval [c, c + h] fungsi f memenuhi ketimpangan (4), sehingga (oleh Teorema 7.14 (c)) kita (ƒ (c) - ε). h < F (c + h ) F (c) = ƒ < (ƒ (c) + ε). h Jika kita membagi dengan h> 0 dan mengurangi f (c), kita memperoleh ( ) () ƒ (c) < ε 25

26 Tapi, karena ε > 0 adalah sewenang-wenang, kita menyimpulkan bahwa batas tangan kanan diberikan oleh lim ( ) () = ƒ (c) Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama bahwa tangan kiri batas bagi perbedaan ini juga sama f (c) ketika c [a, b], mana pernyataan berikut. QED Jika f kontinu pada semua [a, b], kami memperoleh hasil sebagai berikut Teorema Jika f kontinu pada semua [a, b], maka F integral tidak terbatas, yang didefinisikan oleh (3) terdiferensialkan pada [a, b] dan F (x) = ƒ (x) untuk semua x [a, b]. Teorema dapat disimpulkan: Jika f kontinu pada semua [a, b], maka integral tak tentu adalah antiturunan dari f. Kita sekarang akan melihat bahwa, secara umum integral waktu yang tidak terbatas tidak perlu menjadi seorang antidervative (baik karena derivatif dari integral tak tentu tidak ada atau tidak sama f (x)) Contoh (a) jika ƒ (x) = sgn x pada [-1, 1] kemudian ƒ r [-1,1] dan memiliki F integral waktu yang tidak terbatas (x) = x - 1 dengan basepoint -1. Namun, karena F '(0) tidak ada, F bukan antiturunan dari f pada [-1, 1] Teorema Substitusi Biarkan J = [α, β] dan membiarkan ϕ : J R memiliki turunan kontinu pada J. jika F: Saya à R kontinu pada suatu interval I yang mengandung ϕ (J), maka (5) Bukti Teorema ini didasarkan pada Aturan Rantai dan akan garis besar dalam latihan 15. Hipotesis bahwa f dan ϕ adalah terus menerus membatasi, tetapi digunakan untuk memastikan keberadaan Riemann integral di sisi kiri (5) Contoh 26

27 (a) Pertimbangkan integral. Di sini kita pengganti ϕ (t) = for t [1, 4] sehingga ϕ'(t = 1 / (2) kontinu pada [1, 4]. Jika kita membiarkan f (x) = 2 sin x, maka integran memiliki bentuk form (ƒ o ϕ). ϕ dan substitusi teorema Mengimplikasikan bahwa integral 2 sin = 2 cos =2 (cos1 cos2). (b) mempertimbangkan integral. Sejak ϕ(t) = tidak memiliki turunan kontinu pada [0, 4], Teorema Substitusi tidak berlaku, setidaknya dengan substitusi ini. (Pada kenyataannya, tidak jelas bahwa ini ada yang tidak terpisahkan, namun kita dapat menerapkan latihan untuk mendapatkan kesimpulan ini 0. Bisa Kami kemudian menerapkan Fundamental Teorema untuk F (t) = - 2 cos dengan E = [0]. Lebesgue's integrability Kriteria Sekarang kita akan menyajikan laporan iuran teorema definitif untuk Henri Lebesgue ( ) dan cukup memberikan kondisi yang diperlukan untuk fungsi yang akan Riemann integrable, dan akan memberikan beberapa aplikasi dari teorema ini. Untuk negara hasil ini, kita perlu untuk memperkenalkan gagasan penting untuk satu set null. Peringatan Beberapa orang menggunakan istilah "null" ditetapkan sebagai sinonim untuk istilah "kosong" mengatur atau "void set" mengacu pada (= kelompok yang tidak memiliki unsur-unsur). Namun kami akan selalu menggunakan istilah "null" diatur sesuai dengan definisi berikutnya kami seperti adat dalam teori integrasi Definisi (a) Satu set Z R saya dikatakan sebagai null ditetapkan jika untuk setiap ε > 0 terdapat koleksi dapat dihitung {(a k, b k )} interval terbuka seperti yang 27

28 (6) (b) jika Q (x) adalah pernyataan tentang titik x I saya, kita katakan bahwa Q (x) memegang hampir di mana-mana di I (atau untuk hampir setiap x I), jika terdapat set null Z I seperti bahwa Q (x) berlaku untuk semua x I \ z. dalam hal ini kita dapat menulis Q(x) for a. e. x I Hal ini sepele bahwa setiap subset dari himpunan null juga satu set null dan mudah untuk melihat bahwa persatuan dua set null adalah satu set null. Kita sekarang akan memberikan contoh yang mungkin sangat mengejutkan Contoh Q 1 dari bilangan rasional dalam [0, 1] adalah satu set null. Kami menghitung Q 1 = [r 1, r 2,..]. diberikan ε > 0, diketahui bahwa interval terbuka J 1 = (r 1 - ε / 4, r 1 + ε / 4) mengandung r 1 dan memiliki panjang ε/2; juga interval terbuka J 2 = (r 2 - ε / 8, r 2 +ε / 8) berisi r 2 dan memiliki panjang ε/ 4. Secara umum, interval terbuka. Berisi r k dan memiliki panjang ε/2 k. Oleh karena itu, persatuan ini berisi interval terbuka setiap titik Q 1, apalagi, jumlah panjang adalah (/2 ) = ε..sejak ε > 0 adalah sewenang-wenang, Q 1 adalah satu set null. Argumen yang diberikan hanya dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa: setiap set dapat dihitung adalah satu set null. Namun, dapat ditunjukkan bahwa terdapat set null terhitung dalam R, misalnya, set penyanyi yang akan diperkenalkan di definisi. Kita sekarang negara integrability kriteria's Lebesgue. Hal ini menegaskan bahwa fungsi dibatasi pada interval adalah integrable Riemann jika dan hanya jika poin atas diskontinuitas dari satu set null Lebesgue's integrability Kriteria. 28

29 Fungsi dibatasi f : [a, b] R adalah integrable Riemann jika dan hanya jika terus menerus hampir setiap di mana-mana pada [a, b]. Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran C. Namun, kami akan menerapkan Legesgue Teorema di sini untuk beberapa fungsi tertentu dan menunjukkan bahwa beberapa hasil sebelumnya kita mengikuti langsung dari itu. Kami juga akan menggunakan teorema ini untuk mendapatkan komposisi yang penting dan teorema produk Contoh (a) fungsi langkah g pada contoh (b) kontinu di setiap titik kecuali titik x = 1. Oleh karena itu mengikuti dari Lebesgue Integrabilitiy Kriteria yang g Riemann integrable. Bahkan, karena setiap fungsi step memiliki paling banyak satu set hingga titiktitik diskontinuitas, maka: setiap fungsi step pada [a, b] adalah Riemann integrable. (b) karena terlihat di Teorema bahwa himpunan titik diskontinuitas sebuah fungsi monoton adalah dihitung, kita menyimpulkan bahwa: Setiap fungsi monoton pada [a, b] adalah Riemann integrable. (c) Fungsi G pada contoh (e) terputus tepatnya di titik-titik D = {1, ½,.., 1/n}. karena ini adalah satu set dihitung, itu adalah satu set null dan Lebesgue's Kriteria menyiratkan bahwa G adalah Riemann integrable (d) Fungsi Dirichlet ditunjukkan pada contoh (b) tidak menjadi Riemann integrable. Perhatikan bahwa terputus di setiap titik [0, 1]. Karena dapat ditunjukkan bahwa interval [0, 1] adalah bukan null set, Lebesgue's Kriteria menghasilkan kesimpulan yang sama. (e) Mari h: [0, 1] R fungsi Thomaes, yang didefinisikan pada contoh (h) dan kontinu di setiap bilangan rasional dalam [0, 1]. Dengan contoh , itu terputus pada satu set null, jadi Lebesgue's Kriteria menyiratkan itu fungsi Thomae adalah Riemann terintegrasikan pada [0,1] seperti yang kita lihat dalam contoh Kita sekarang memperoleh hasil yang akan memungkinkan kita untuk mengambil kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann. Komposisi Teorema ƒ R [a, b] dengan ƒ [a, b] [c, d] and let ϕ: [c, d] R terus menerus. Kemudian komposisi ϕ o ƒ milik R [a, b]. 29

30 Bukti. Jika f kontinu di titik point µ [a, b], kemudian ϕ o ƒ juga kontinu di µ. Karena D titik diskontinuitas set f adalah satu set null. Oleh karena itu, D 1 D titik diskontinuitas ϕ o ƒ juga satu set null. Oleh karena itu komposisi ϕ o ƒ juga milik R [a, b]. Akan terlihat latihan 22 bahwa hipotesis yang ϕ kontinu tidak dapat dijatuhkan. Hasil berikutnya adalah akibat wajar dari teorema komposisi Corollary Misalkan ƒ R [a, b]. maka nya nilai absolut f adalah dalam R [a, b] dan Dimana f (x) <M untuk semua x [a, b] Bukti. Kita telah melihat dalam Teorema bahwa jika adalah integrable, maka ada pintu keluar M seperti yang f (x) <M untuk semua x [a, b]. Biarkan ϕ (t) = t untuk t {-M, M}, kemudian teorema komposisi menyiratkan bahwa that ƒ = ϕ o ƒ R [a, b]. ketidaksetaraan pertama berikut dari kenyataan bahwa - ƒ < ƒ < ƒ dan (c) dan yang kedua dari kenyataan bahwa f (x) <M Teorema Produk/Hasil Jika f dan g milik R [a, b], maka produk f g milik R [a, b], Bukti. Jika ϕ (t) = t 2 untuk t [-M, M]. mengikuti dari teorema komposisi yang f 2 = ϕ o f milik R [a, b]. sama, (f + g) 2 dan g 2 milik R [a, b]. tapi karena kita dapat menulis produk sebagai g = ½ [(ƒ + g) 2 - ƒ 2 - g 2 Oleh karena itu, ƒ g R [a, b], Bagian Integrasi Biarkan F, G terdiferensialkan pada [a, b] dan f = F 'dan g = G' milik R [a, b], maka (7) 30

31 Bukti. Dengan Teorema (c), derivatif (FG) 'ada di [a, b] dan (FG) '= F'G + FG' = G + g G Sejak F, G adalah kontinu dan f g milik R [a, b].,, Teorema produk menyiratkan G dan F g adalah integrable. Oleh karena itu teorema Fundamental menunjukkan bahwa khusus namun bermanfaat ini, kasus dari teorema ini adalah ketika f dan g kontinu pada [a, b] dan F, G tak terbatas mereka integral F (x) = ƒ and G(x) = g Kami tutup bagian dengan versi Teorema Taylor untuk Integral Riemann Teorema Taylor dengan Remainder Misalkan f ',.., f (n), f (n +1) ada di [a, b] dan bahwa ƒ (n+1) R [a, b] maka kita harus (8) Dimana sisanya diberikan oleh Bukti. Terapkan integrasi Part untuk persamaan (9) F(t) = ƒ (n) (t) dan G(t) = (b-t) n /n!, jadi g(t) = -(b - t) n-1 /(n 1)!, untuk mendapatkan Jika kita terus mengintegrasikan dengan bagian dalam cara ini, kita memperoleh (8) 7.4. Perkiraan Integrasi Teorema dasar kalkulus menghasilkan metode yang efektif untuk mengevaluasi integral ƒ asalkan kita dapat menemukan antiderivate F sehingga F '(x) = f (x) ketika x [a, b]. Namun, ketika kita tidak dapat menemukan seperti F, kami mungkin tidak dapat menggunakan Teorema Dasar. Namun demikian, ketika ƒ adalah 31

32 terus-menerus, ada sejumlah teknik untuk mendekati Riemann integral ƒ menggunakan jumlah yang menyerupai jumlah Riemann. dengan Salah satu dasar prosedur yang sangat untuk mendapatkan perkiraan cepat ƒ berdasarkan Teorema (c), adalah untuk dicatat bahwa jika g (x) f (x) h (x) untuk semua x [a, b] maka Jika integral dari g dan h dapat dihitung, maka kita memiliki batasan untuk ƒ seringkali batas ini adalah akurat cukup untuk kebutuhan kita. Sebagai contoh, misalkan kita ingin memperkirakan nilai dx. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa 1 untuk [0, 1] sehingga Akibatnya, kami telah 1 1/e dx. 1. Jika kita menggunakan rata-rata nilai tanda kurung. Kami memperoleh estimasi 1-1/2e 0,186 untuk integral dengan kesalahan kurang dari 1/2e <0,184. perkiraan ini kasar, tetapi diperoleh dengan cepat dan dapat cukup memuaskan untuk kebutuhan kita. Jika pendekatan yang lebih baik adalah yang diinginkan, kita dapat mencoba untuk menemukan fungsi yang kurang lebih dekat g dan h Teorema Taylor dapat digunakan untuk perkiraan oleh polynomial. Dalam menggunakan Teorema Taylor, kita harus mendapatkan batas pada istilah sisanya untuk perhitungan kami untuk memiliki signifikansi. Sebagai contoh, jika kita menerapkan Teorema Taylor ke e -y untuk 0 y 1,, kita mendapatkan Dimana R 3 = y 4 e -c /24 di mana c adalah beberapa nomor dengan 0 c 1. Karena kita tidak memiliki informasi yang lebih baik sebagai ke lokasi c, kita harus puas dengan estimasi 0 R 3 = y 4 e -c /24. Oleh karena itu kami telah Dimana 0 x 8 / 24 untuk x [0, 1]. Oleh karena itu, kita memperoleh 32

33 Karena kita memiliki 0 3 dx = < itu berikut yang. Dengan kesalahan kurang dari 0,005 Persamaan Partisi Jika ƒ : [a, b] R adalah terus menerus, kita tahu bahwa perusahaan integral Riemann ada. Untuk menemukan nilai perkiraan ini tidak terpisahkan dengan jumlah minimum perhitungan, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan P n partisi P dari [a, b] menjadi n selang bagian yang sama memiliki panjang h n = (b-a) / n. maka P n adalah partisi: Jika kita mengambil poin tag kami untuk menjadi titik-titik ujung kiri dan kanan titik akhir subinterval, kita mendapatkan ke-n kiri pendekatan yang diberikan oleh: Dan hak pendekatan ke n yang diberikan oleh Perlu dicatat bahwa hampir semudah untuk mengevaluasi kedua pendekatan sebagai hanya salah satu dari mereka, karena mereka berbeda hanya dalam persyaratan f (a) dan f (b). Kecuali kita punya alasan untuk percaya bahwa salah satu L n (ƒ) atau R n (ƒ) lebih dekat dengan nilai sebenarnya dari integral dari yang lain, kita biasanya mengambil mereka berarti: Yang mudah terlihat sama 33

34 (1) Sebagai pendekatan yang wajar untuk Namun, kami mencatat bahwa jika f adalah peningkatan pada [a, b], maka jelas dari sketsa grafik f yang (2) Dalam hal ini, kita mudah melihat bahwa Perkiraan kesalahan seperti ini bermanfaat, karena memberikan batas atas untuk kesalahan pendekatan dalam hal kuantitas yang diketahui sejak awal. Secara khusus, dapat digunakan untuk menentukan seberapa besar kita harus memilih n dalam rangka untuk memiliki sebuah pendekatan yang akan tepat untuk dalam kesalahan tertentu ε > 0. Diskusi di atas berlaku untuk kasus yang f meningkat pada [a, b]. jika f adalah menurun, maka ketidaksetaraan dalam (2) harus dibalik. Kita dapat meringkas kedua kasus dalam pernyataan berikut Teorema Jika f :[a, b] R adalah monoton dan jika T n (f) diberikan oleh (1), maka (3) Contoh Jika f (x) = pada [0, 1] maka f adalah menurun. Ini mengikuti dari (3) bahwa jika n = 8, maka - Tg(f) (1 e -1 )/16 < 0.04 dan jika n = 16, maka 34

35 T 16 (f) (1 e -1 )/32 < Sebenarnya, pendekatan ini cukup baik seperti yang akan kita lihat dalam contoh Aturan Trapezoidal Metode numerik yang disebut "Aturan Trapezoidal" didasarkan pada kurang lebih sama dengan fungsi kontinu f : [a, b] oleh fungsi linear kontinu sesepenggal. Misalkan n N dan seperti sebelumnya, biarkan let h n = (b-a)/n dan mempertimbangkan P n partisi. Kami perkiraan f oleh fungsi linier sesepenggal g n yang melewati titik-titik (a + kh a, f (a + kh a )), dimana k = 0,1,..., n. yang tampaknya masuk akal bahwa integral "kira-kira sama dengan" integral bila n cukup besar (asalkan f cukup halus). akan Karena luas trapesium dengan h dasar horisontal dan vertikal sisi I 1 dan I 2 dikenal menjadi ½ h (l 1 + l 2 ), kita memiliki Untuk k = 0,1,..., n-1. Menjumlahkan syarat dan suara, yang setiap partisi di P n kecuali a dan b milik dua subinterval berdekatan kita peroleh. Tapi istilah di sebelah kanan justru T n (f), ditemukan dalam (1) sebagai ol L n mean (f) dan R n (f), kita sebut T n (f) Trapezoidal n Perkiraan dari f. Dalam teorema kami memperoleh perkiraan kesalahan dalam kasus di mana f adalah monoton, kita sekarang negara satu tanpa pembatasan ini f, namun dari segi turunan kedua f "dari f Teorema / Dalil Biarkan f, f 'dan f "kontinu pada [a, b] dan biarkan T n (f) menjadi Trapezoidal n Aproksimasi (1). Lalu terdapat c [a, b] seperti itu. 35

36 (4) Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran D, itu tergantung pada sejumlah hasil kami telah memperoleh dalam bab 5 dan 6. Persamaan (4) bunga karena dapat memberikan baik batas atas dan batas bawah untuk T n perbedaan T n (f) - Sebagai contoh, jika f "(x) A> 0 untuk semua x [a, b], maka (4) menunjukkan bahwa perbedaan ini selalu melebihi 1 / 12 A (b - a) h n. jika kita hanya memiliki f "(x) 0 untuk x [a, b], yang terjadi ketika f adalah cembung, mereka Aproksimasi Trapezoidal selalu terlalu besar. Pembaca harus menggambar sosok untuk memvisualisasikan ini. Namun, biasanya batas atas yang lebih menarik Corollary Biarkan f, f 'dan f "akan terus-menerus, dan membiarkan f" (x) B 2 untuk semua x [a, b] maka (5) Ketika sebuah B 2 batas atas dapat ditemukan (5) dapat digunakan untuk menentukan seberapa besar n dapat dipilih untuk menjadi tertentu akurasi yang diinginkan. Aturan Midpoint Salah satu metode yang hampir sama dengan integral f adalah jumlah Riemann dievaluasi pada titik tengah subinterval. Jadi jika P n adalah spasi partisi yang sama diberikan sebelumnya, Midpoint Aproksimasi dari f diberikan oleh (6) Metode lainnya mungkin menggunakan sepenggal fungsi linear yang bersinggungan dengan grafik dari f pada titik tengah dari subinterval. Pada pandangan pertama, tampaknya seolah-olah kita akan perlu untuk mengetahui kemiringan dari garis singgung 36

37 grafik f pada setiap titik-titik tengah a + (k ½ h n ) (k = 1, 2,..., n). Namun, itu adalah latihan dalam geometri untuk menunjukkan bahwa daerah trapesium yang puncaknya ini garis singgung di titik-titik tengah sebuah a + (k ½ h n ) adalah sama dengan luas persegi panjang yang tingginya adalah f a + (k ½ h n ) (Lihat gambar 7.4.1). demikian, daerah ini diberikan oleh (6) dan "Tangent Aturan Trapesium" berubah menjadi sama seperti "aturan titik-titik tengah". Kita sekarang negara teorema menunjukkan bahwa aturan titik tengah memberikan akurasi yang lebih baik daripada Aturan Trapezoidal dengan faktor 2. Teorema Misalkan f, f ', dan f "kontinu pada [a, b] dan biarkan Mn (f) menjadi n Aproksimasi titik tengah (6). Maka terdapat y [a, b] sedemikian sehingga (7) ()= ( ) " () Bukti dari hasil ini adalah pada Lampiran D. Seperti dalam kasus dengan Teorema 7.4.3, rumus (7) dapat digunakan untuk memberikan baik upper terikat dan batas bawah untuk perbedaan () meskipun itu adalah batas atas yang biasanya kepentingan yang lebih besar. Berbeda dengan Aturan Trapezoidal, jika fungsi tersebut cembung, maka Aproksimasi Titik Tengah selalu terlalu kecil. Hasil berikutnya adalah sejajar dengan Corollary Corollary Letf, f ', and f "terus menerus, dan biarkan " () untuk 37

38 semua x ε [a, b]. Kemudian (8) () ( )h = ( )h Aturan Simpson Prosedur pendekatan terakhir yang kita akan mempertimbangkan biasanya memberikan perkiraan yang lebih baik daripada baik Trapezoidal atau Aturan Titik Tengah dan memerlukan perhitungan tambahan pada dasarnya tidak ada. Namun, sifat busung (atau cekung) dari f tidak memberikan informasi tentang kesalahan untuk metode ini. Bahwa Aturan Trapezoidal dan Titik Tengah didasarkan pada pendekatan dari f oleh fungsi linier piecewise, 'Aturan Simpson mendekati grafik dari f dengan busur parabola. Untuk membantu memotivasi formula, pembaca dapat menunjukkan bahwa jika tiga poin ( h, ),(0, ) (h, ) diberikan, maka fungsi kuadrat q(x) := Ax 2 poin memiliki properti yang = + Bx + C yang melewati ini h ( +4 + Sekarang mari f menjadi fungsi kontinu pada [a, b] dan biarkan ε n N bahkan, dan biarkan let h n = (b - a)/n. Pada setiap "subinterval ganda" [ a, a + 2h n ], [a+ 2h n, a + 4h n ],..., [b - 2h n, b], kami perkiraan f oleh n / 2 fungsi kuadrat yang setuju dengan f di titik-titik Yo = f(a), Y 1 = f(a + h n ), Y 2 = f(a + 2h n ),.... y n = f(b). Ini ke Aproksimasi Simpson n, definisinya (9) S n (f) := 1/3h n (f(a) + 4f(a + h n ) + 2f(a + 2h n ) + 4f(a + 3h n ) +2f(a + 4h n ) f(b - 2h n ) + 4f(b h n ) + f(b) ) Perhatikan bahwa koefisien dari nilai-nilai dari f di + n 1 poin partisi mengikuti pola 1, 4, 2, 4, 2,....., 4, 2, 4, 1. Kita sekarang negara Teorema yang memberikan perkiraan tentang akurasi Simpson pendekatan, melibatkan turunan keempat f. Teorema Misalkan f, t, f ", f (3) dan f (4) kontinu pada [a, b] dan membiarkan n ε N akan bahkan. Jika Sn (f) adalah Aproksimasi Simpson n (9), maka ada c ε [a, b] seperti bahwa 38

39 (10) () = ( ) () Sebuah bukti dari hasil ini diberikan dalam Lampiran D. Hasil berikutnya adalah sejajar dengan kololari dan Korolari Misalkan f, f ', f ", f (3) dan f (4) kontinu pada [a, b] dan biarkan Jika (4) (x) 1 ; B4 untuk semua x ε [a, b]. Kemudian (11) () ( )h 180 ( ) = 180 Keberhasilan penggunaan memperkirakan (11) tergantung pada kemampuan untuk menemukan batas atas untuk turunan keempat Contoh Jika ()= 4 pada [0, 1] maka perhitungan menunjukkan bahwa () ()= 4 ( dari mana ia berikut bahwa (4) () 20 untuk x ε [0, 1], sehingga kita bisa mengambil B 4 = 20. Maka dari (11) bahwa jika n = 8 maka dan bahwa jika n = 16 maka (1 1) 1 1 ().20= ,864 <0, () 589,824 <0, Catatan Pada Titik Tengah Aproksimasi Mn nth (f) dapat digunakan untuk "melangkah" ke th (2n) Trapezoidal dan Simpson Aproksimasi dengan menggunakan rumus Dan yang diberikan dalam Latihan. Jadi setelah Aproksimasi Trapezoidal awal T 1 = T 1 (f) telah dihitung, hanya Aproksimasi Titik Tengah Mn = Mn (f) perlu ditemukan. Artinya, kita menggunakan urutan berikut perhitungan: = ( )( ()+ () = ( )( (+), T 2 = ½ M 1 + ½ T 1, S 2 = 2/3 M 1 + 1/3T 1 39

40 T 4 = ½ M 2 + ½ T 2, S 4 = 2/3 M 2 + 1/3T 2 T 8 = ½ M 4 + ½ T 4, S 8 = 2/3 M 4 + 1/3T 4 40