BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN

Transkripsi

1 BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN 4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal memprediksikan ragam dan bias dalam sampel berhingga secara akurat. Untuk menambah ketepatan aproksimasi pada ragam dan bias, kita tambahkan bentuk orde kedua dalam pengembangan yang diberikan pada persamaan sebelumnya. Pengembangan pada ragam dilakukan dengan menambahkan bentuk orde pada aproksimasi semula dari orde, sedangkan pengembangan pada bias dilakukan dengan menambahkan bentuk dari orde dan juga bentuk orde. Kita batasi perhatian kita pada kasus diketahui. Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), dan, maka ntuk asalkan s adalah titik Lebesgue dari, dimana adalah konstanta Euler. Bukti:

2 24 berdasarkan persamaan (31) pada bukti Teorema 2, suku pertama pada ruas kanan persamaan (44) dapat ditulis menjadi Suku pertama pada ruas kanan persamaan (45) adalah sama dengan (45)

3 25 Kita perhatikan bahwa. Karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi pada [-1, 1], dengan menggunakan persamaan (3) dan (47) suku pertama pada ruas kanan persamaan (46) sama dengan,. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (46) menjadi sama dengan. Suku kedua pada persamaan (45) dapat ditulis sebagai berikut

4 26 Dengan menggunakan persamaan (47) suku pertama pada persamaan (49) menjadi. Dengan menggunakan fakta bahwa suku kedua pada ruas kanan persamaan (49) menjadi

5 27 (52). Dengan menggabungkan persamaan (48), (50) dan (52), suku pertama pada persamaan (44) menjadi Dengan asumsi (K.3), maka Berdasarkan persamaan (37) pada bukti Teorema 2, suku kedua pada persamaan (44) adalah sama dengan. Suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan diatas adalah sama dengan Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz suku ketiga dari persamaan (44) adalah

6 28. Dengan menggabungkan persamaan (53), (54), dan (55) kita peroleh persamaan (43). Jadi terbukti Teorema 4. Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik Orde-2 bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3), dan, mempunyai turunan ke empat pada s, maka ntuk dimana adalah konstanta Euler, dan dan semua n. Bukti: Karena mempunyai turunan ke empat pada dan Teorema Taylor, kita peroleh

7 29 Berdasarkan persamaan (20) pada bukti Teorema 1, suku pertama pada ruas kanan persamaan (58) sama dengan Dengan mengganti variabel, suku pertama pada ruas kanan peersamaan (59) dapat ditulis menjadi Dengan menggunakan persamaan (51) dan (57), maka suku pertama pada persamaan di atas sama dengan Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka. Karena kernel simetrik, maka Sehingga persamaan di atas menjadi Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (59) menjadi sama dengan

8 30 Karena kernel simetrik, maka Sehingga suku pertama pada persamaan (61) sama dengan nol. Suku kedua pada persamaan (61) menjadi sama dengan. Sedangkan suku ketiga pada persamaan (61) dapat ditulis menjadi dengan mengganti variabel, persamaan di atas menjadi

9 31 dengan Suku kedua pada ruas kanan persamaan (58) adalah sama dengan Dengan menggabungkan persamaan (60), (62), (63),dan (64) maka diperoleh persamaan (56). Jadi terbukti Teorema 5.

10 Perumusan Penduga dengan Reduksi Bias dan Sifat-sifat Statistikanya Dari hasil simulasi pada Helmers dan mangku (2007) kasus kernel seragam, terlihat bahwa aproksimasi orde kedua pada ragam dan bias dari Teorema 4 dan Teorema 5 cukup bagus mendekati ragam dan bias, tetapi biasnya masih cukup besar sehingga perlu direduksi. Dari hasil simulasi pada paper yang sama, dengan menggunakan penduga yang biasnya telah dikoreksi ternyata berhasil mereduksi bias penduga sebelumnya secara substansial. Hal serupa diharapkan terjadi kasus kernel umum. Reduksi Bias : Bias dari pada Helmers dan mangku (2007) betul-betul besar. Meskipun demikian kita dapat reduksi bias ini dengan mengurangi dan menambahkan secara berurutan penduga dari bentuk kedua dan ketiga pada ruas kanan persamaan (56) pada Untuk mereduksi bias, kita rumuskan penduga dari dan secara berurutan sebagai berikut: dimana adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu, dan Penduga bagi telah didefinisikan pada persamaan (5). Selanjutnya ide dibalik konstruksi penduga dan nilai harapan dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2005). Maka kita peroleh bias dikoreksi dari penduga sebagai berikut: Berdasarkan Teorema 5, kita dapat rumuskan bias dikoreksi dari penduga sebagai berikut:

11 33 Teorema 6 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat ( 1), ( 2), ( 3),, maka asalkan, dimana adalah konstanta Euler. Bukti : Terlebih dahulu kita buktikan persamaan (69). Penduga bias dikoreksi yang diberikan pada (68) dapat ditulis sebagai berikut Dengan menggunakan persamaan (67) diperoleh Helmers dan Mangku (2005) dengan menggunakan persamaan (13), (43), dan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, ragam dari suku ketiga pada (70) dapat ditentukan sebagai berikut Misalkan dan,

12 34 Sehingga ragam dari suku ketiga pada persamaan (67) menjadi sama dengan dan kovarian dari suku tersebut dengan dua suku lainnya adalah Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ragam jumlah dua suku pertama pada persamaan (70) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Misalkan merupakan suku pertama pada persamaan (6) dan merupakan suku kedua persamaan (6), dengan kata lain, Dengan aljabar sederhana dapat ditunjukkan bahwa jumlah suku pertama dan suku kedua pada (70) dapat ditulis sebagai berikut

13 35 Dari bukti Teorema 4, diperoleh bahwa Dengan cara yang sama, dan fakta bahwa kontinu pada, dapat dilihat bahwa, dan adalah sama dengan Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa ragam dari suku terakhir persamaan (71) dan kovarian suku tersebut dengan suku lainnya adalah Dari bukti Teorema 4 diperoleh adalah Dengan argumen yang sama, dan sama dengan Karenanya, ragam pada suku terakhir (71) dan kovarian dari suku tersebut dengan suku lainnya pada (71) adalah Dapat disimpulkan bahwa ragam jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan ruas kanan persamaan (69). Untuk yang cukup besar, mudah diperiksa bahwa dan dan dan juga adalah saling bebas. Karenanya, ragam dari jumlah empat suku pertama pada (71) adalah sama dengan

14 36 jumlah ragam empat suku pertama pada (71) ditambah dua kali kovarian dari suku pertama dan ke empat. Dari persamaan (43), terlihat bahwa ragam dari suku pertama pada (71) adalah sama dengan Dengan mensubstitusikan persamaan (73) pada persamaan diatas, maka diperoleh Sedangkan dua kali kovarian dari suku pertama dan suku keempat pada persamaan (71) adalah sama dengan Dari persamaan (71), jumlah ragam suku kedua, ketiga, dan keempat adalah sama dengan Dengan menggabungkan persamaan (74), (75), dan (76), diperoleh ruas kanan persamaan (69). Jadi terbukti Teorema 6.

15 37 Teorema 7 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan) Andaikan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3), maka mempunyai turunan ke empat di sekitar s, Bukti : Karena dan mempunyai turunan keempat berhingga disekitar, dan Teorema Taylor, kita peroleh Sehingga nilai harapan dari dapat ditentukan sebagai berikut

16 38 dengan mensubstitusi persamaan (78) (83) ke persamaan (84), maka diperoleh Dengan menggunakan persamaan (66), diperoleh Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (68), nilai harapan dapat ditentukan sebagai berikut

17 39 Jadi Teorema 7 terbukti. Akibat 8 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel adalah simetrik dan memenuhi sifat ( 1), ( 2), dan ( 3), mempunyai turunan ke empat di sekitar s, maka ntuk dimana adalah konstanta Euler. Bukti : Dari persamaan (77) pada Teorema 7, diperoleh Dengan mensubstitusikan persamaan (69) dan (87) ke persamaan (41), maka diperoleh persamaan (86).