BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)

Transkripsi

1 PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu integrasi fungsi trigonometri, integral dengan menggunakan substitusi (aljabar, trigonomerti), integral fungsi pecah rasional, integral fungsi irasional. Manfaat Materi yang disampaikan di sini, masih merupakan dasar perhitungan integral. Yang dibicarakan masih terbatas pada cara memecahkan persoalan-persoalan integral, dengan berbagai metode integrasi yang diberikan. Untuk selanjutnya, setelah menerapkan batas-batas integrasi, materi ini digunakan dalam banyak hal, yaitu di Mata kuliah Matematika II. Relevansi Integral dalam prakteknya banyak digunakan di berbagai bidang. Setelah integral tak tentu ini dipahami, penggunaan selanjutnya misalnya untuk menghitung luas bidang datar, menentukan titik berat, momen inersia, volume dan lainnya. Di bidang fisika, termodinamika, hitung integral ini juga sangat diperlukan, Learning Outcomes Mahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menyelesaikan persoalan integral tak tentu ini dengan baik, serta dapat menerapkannya di bidang lain. s. johanes, dtm sv ugm 73

2 PENYAJIAN Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang interval I, jika pada interval I, yakni jika untuk semua x dalam interval I. maka: Tanda integral (notasi dari Leibniz) integrant Gambar 6-1 carilah suatu anti turunan dari fungsi pada selang (-, )? Penyelesaian: dicari suatu fungsi F yang memenuhi, untuk semua x riil. y x Gambar 6-2 Fungsi F yang memenuhi adalah:,,. Secara umum dinyatakan:, dengan c = konstanta. Famili tersebut di atas disebut anti turunan. Teorema : kelinieran dari Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k adalah suatu konstanta, maka: i. ii. s. johanes, dtm sv ugm 74

3 Contoh, carilah integral berikut: 6.1. Rumus-rumus interal tak tentu s. johanes, dtm sv ugm 75

4 Carilah integral tak tentu berikut: ? subtitusikan, maka, atau 4., substitusikan,,, maka: 5., substitusikan, 6., substitusikan,,, maka: 7., substitusikan &,, atau maka:, A & B dicari dulu 8., dicari hasil baginya terlebih dahulu, sebagai berikut: s. johanes, dtm sv ugm 76

5 , maka: 9., substitusikan,, atau s. johanes, dtm sv ugm 77

6 12., komponen penyebut ditulis menjadi bentuk lain sebagai berikut:, maka:, substitusikan,, atau, maka: 13., jika akar dari penyebut integran diturunkan maka, selanjutnya pembilang dari integran, ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka;, atau, sehingga Contoh , substitusikan,, atau, maka: 15., jika penyebut integran diturunkan maka:, selanjutnya pembilang dari integran, ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka: atau, sehingga s. johanes, dtm sv ugm 78

7 16., substitusikan,, atau, maka: 6.2. Integrasi parsial Jika diturunkan, maka :, atau Persamaan di atas diintegralkan, maka menjadi:, atau menjadi Persamaan Integral parsial : Contoh 1. Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut, atau Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh : Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka s. johanes, dtm sv ugm 79

8 2. Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut, atau Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh : Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka Jika diturunkan,, maka Dengan mensubtitusikan lagi ke persamaan terakhir, maka: kemudian diterapkan lagi Persamaan Integral parsial, maka:, atau Suku terakhir dibawa ke ruas kiri, maka:, atau, atau 6.3. Metode Integrasi A. Integrasi Fungsi Trigonometri 1. Bentuk, dengan m dan n bulat positif. a. m = ganjil dan n = genap s. johanes, dtm sv ugm 80

9 b. m = genap dan n = ganjil c. m = genap dan n = genap s. johanes, dtm sv ugm 81

10 2. Bentuk atau Sifat: a. m = ganjil, n = ganjil, sama bila m = ganjil, n = genap Maka: b. m = genap, n = genap Maka: c. m = genap, n = ganjil Maka: s. johanes, dtm sv ugm 82

11 Bentuk : a) b) c) A. Integral dengan menggunakan substitusi 1. Substitusi Fungsi Aljabar s. johanes, dtm sv ugm 83

12 a. Bila inttegran memuat bentuk (a+bx) dengan pangkat pecahan:, maka menggunakan substitusi: 1., substitusi: 2., subst.: b. Bila inttegran memuat bentuk, mengunakan substitusi:, subst:, maka: s. johanes, dtm sv ugm 84

13 2. Substitusi Fungsi Trigonometri Bila integran memuat bentuk: a., dengan substitusi b., dengan substitusi c., dengan substitusi 1., substitusi: u 5 4x Gambar , substitusi: 3., substitusi: s. johanes, dtm sv ugm 85

14 X+3 2 Gambar 6-4 B. Integral Fungsi Pecah Rasional 1. Fungsi Aljabar, dimana f(x) dan g(x) berbentuk polinomial, n = bulat positif a. Bila f(x) berpangkat lebih tinggi daripada pangkat g(x) Maka:, berarti dan b. Bila f(x) berpangkat lebih rendah daripada pangkat g(x) Andaikan Dengan dan A 1, A 2, A 3,....A n harus dicari. Mengambil harga-harga untuk x: x = 1 9 = -2A A = 9/2 x = 2 11 = -B B = -11 x = 3 13 = 2C C = 13/2 Identitas Koefisien x 2 : A + B + C = 0 s. johanes, dtm sv ugm 86

15 Koefisien x 1 : -5A 4B 3C = 2 Koefisien x 0 : 6A + 3B + 2C = 7 Bila g(x) memuat faktor linier berulang A, B 1, B 2,.,, Bp, C 1, C 2, C 3,...., C q dicari. x = = 25 A A = 3 x = 3-20 = 5 B B = -4 A + C = 3 C = 0 Bila g(x) memuat faktor kuadratis s. johanes, dtm sv ugm 87

16 1 = A + C 1 = B + D 1 = 2A + C 2 = 2B + D A = 0 B = 1 C = 1 D = 0 2. Fungsi Pecah Rasional Menggunakan substitusi: u x/2 1 Gambar 6-5 substitusi:, s. johanes, dtm sv ugm 88

17 C. Integral Fungsi Irasional 1. Bentuk, substitusi:, Misal: 2. Bentuk, menggunakan substitusi:, misal: s. johanes, dtm sv ugm 89

18 3. Bentuk, menggunakan substitusi: atau Bentuk: menggunakan trigonometri, menggunakan substitusi: s. johanes, dtm sv ugm 90

19 Tugas pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut Latihan untuk pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut Petunjuk. 1. Untuk menjawab soal, misalkan, maka dan. jawabnya: 2. Untuk menjawab soal, gunakan rumus integrasi parsiil. Jawabnya: Soal-soal Cari integral tak tentu berikut : s. johanes, dtm sv ugm 91

20 PENUTUP Tes formatif dan kunci tes formatif Tentukan integral berikut: 1., kunci jawaban: 2., kunci jawaban: 3., kunci jawaban: 4., kunci jawaban: Petunjuk penilaian dan umpan balik Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100. Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan nilai. Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan selanjutnya diuji lagi. s. johanes, dtm sv ugm 92