ANALISIS MODEL SEIR (SUSCEPTIBLE, EXPOSED, INFECTIOUS, RECOVERED) UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS DI KABUPATEN BOGOR

Transkripsi

1 ANALII MODEL EIR (UCEPTIBLE, EXPOED, INFECTIOU, RECOVERED) UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOI DI KABUPATEN BOGOR, Rahayu Cipta Lestari Embay Rohaeti Ani Andriyati Program tudi Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pakuan Bogor ABTRAK Tuberkulosis merupakan salah satu jenis penyakit menular yang tergolong mematikan. Tuberkulosis disebabkan oleh infeksi bakteri tuberkulosis yaitu bakteri Mycobacterium tuberculosa. Hingga saat ini, penyakit tuberkulosis masih menjadi masalah kesehatan yang dihadapi masyarakat di Kabupaten Bogor. Kondisi pemukiman padat penduduk di Kabupaten Bogor yang berada di lingkungan yang lembab merupakan kondisi yang ideal bagi penyebaran penyakit tuberkulosis. ebagai salah satu big ilmu, matematika turut memberikan peranan penting dalam mencegah penyebarluasan penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bogor yaitu melalui model epidemik. alah satu model epidemik yang dapat digunakan untuk menggambarkan penyebaran penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bogor yaitu model EIR. Keterlibatan tahap exposed pada model EIR menjadikan model EIR lebih bisa menggambarkan penyebaran penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bogor. Penyelesaian analitik terhadap model EIR untuk penyebaran penyakit tuberkulosis menghasilkan dua titik tetap yaitu titik tetap pertama yang merupakan titik tetap bebas penyakit titik tetap kedua T T yang merupakan titik tetap endemik penyakit dengan f. Grafik dinamika populasi pada penyebaran t penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bogor menunjukkan bahwa pada akhirnya penyakit tuberkulosis tidak akan menjadi wabah di Kabupaten Bogor, hal ini ditandai dengan terjadinya penurunan jumlah penderita tuberkulosis, baik penderita tuberkulosis tidak aktif (exposed) maupun penderita tuberkulosis aktif (infectious) dari tahun ke tahun.,. Kata kunci: Tuberkulosis, Model EIR, Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar. Mahasiswa Program tudi Matematika, Universitas Pakuan Bogor taf Pengajar pada Program tudi Matematika, Universitas Pakuan Bogor

2 PENDAHULUAN Latar Belakang Tuberkulosis (TB) merupakan salah satu jenis penyakit menular yang tergolong mematikan. Tuberkulosis disebabkan oleh infeksi bakteri Mycobacterium tuberculosa. Hingga saat ini, penyakit TB masih menjadi masalah kesehatan di Kabupaten Bogor. Kondisi pemukiman padat penduduk di Kabupaten Bogor yang berada di lingkungan yang lembab merupakan kondisi yang ideal bagi penyebaran penyakit TB, hal ini dibuktikan oleh tingginya angka prevalensi kesakitan TB di wilayah Kabupaten Bogor yang mencapai orang per. orang (Komariah dkk, ). ebagai salah satu big ilmu, matematika turut memberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit TB yaitu melalui model epidemik. alah satu penelitian terdahulu yang menganalisis penggunaan model epidemik untuk menggambarkan penyebaran penyakit TB dilakukan oleh Fredlina dkk () yang memodelkan penyakit TB ke dalam model IR hasil bahwa penyebaran penyakit TB dapat dikendalikan dengan menurunkan laju penularan meningkatkan laju kesembuhan. Pada penelitian yang dilakukan oleh Fredlina dkk tersebut, periode exposed yang terjadi dalam penyebaran penyakit TB tidak dilibatkan. Periode exposed pada proses penyebaran penyakit TB terjadi ketika bakteri TB yang terdapat dalam tubuh seseorang berada dalam keadaan tidak aktif (dormant). Bakteri TB yang berada dalam keadaan tidak aktif tersebut tidak menular tidak dapat menyebabkan kerusakan pada tubuh, namun bakteri TB yang tidak aktif tersebut dapat menjadi aktif seiring melemahnya sistem pertahanan tubuh. Menurut Nainggolan dkk (), dari individu rentan TB yang terinfeksi bakteri TB hanya terdapat orang yang langsung dapat diketahui sebagai penderita TB aktif tanpa melalui periode exposed, sementara itu 99 orang lainnya akan memasuki periode exposed terlebih dahulu. Keberadaan periode exposed dalam proses penyebaran suatu penyakit menular tertentu menjadi alasan pembentukan model EIR, yakni dengan penambahan kelas exposed pada model IR. Penelitian terdahulu mengenai model EIR salah satunya dilakukan oleh Li Jin () yang mengasumsikan bahwa individu yang sembuh memiliki kekebalan terhadap penyakit sehingga tidak akan tertular penyakit kembali. Keterlibatan tahap exposed pada model EIR menjadikan model EIR lebih bisa menggambarkan penyebaran penyakit TB di Kabupaten Bogor. Tujuan Tujuan penelitian ini yaitu untuk menganalisis model EIR penyebaran penyakit TB menentukan dinamika populasi pada penyebaran penyakit TB di Kabupaten Bogor. METODOLOGI PENELITIAN Data Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data jumlah penderita TB di Kabupaten Bogor mulai bulan Januari sampai dengan Desember yang dari Rumah akit Paru Dr. M. Goenawan Partowidigdo. Data jumlah penderita TB tersebut dapat dilihat pada Tabel.

3 Tabel. Jumlah penderita TB di Kabupaten Bogor pada bulan Januari sampai dengan Desember Bulan E I R Bulan E I R Jan Jul Feb Agu Mar ep Apr Okt Mei Nov- 7 7 Jun Des Juli Jan Agu Feb ep Mar Okt Apr Nov- 5 9 Mei Des Jun Jan- 8 7 Juli Feb- 8 7 Agu Mar ep Apr Okt Mei Nov Jun Des Berdasarkan Tabel, jumlah penderita TB di Kabupaten Bogor mengalami penurunan dari tahun ke tahun. Berdasarkan data Dinas Kesehatan Kabupaten Bogor, rata-rata terdapat orang penduduk Kabupaten Bogor yang meninggal dunia akibat infeksi bakteri TB setiap tahunnya. Data mutasi penduduk Kabupaten Bogor pada tahun - yang dari Dinas Kependudukan Pencatatan ipil Kabupaten Bogor dapat dilihat pada Tabel. Tabel. Mutasi Penduduk Kabupaten Bogor pada tahun - Tahun Jumlah Penduduk (orang) Jumlah Kelahiran (orang) Jumlah Kematian (orang) Berdasarkan Tabel, jumlah penduduk jumlah kelahiran mengalami peningkatan dari tahun ke, namun mengalami penurunan dari tahun ke, segkan jumlah kematian terus mengalami peningkatan dari tahun ke tahun. Tahapan Analisis Analisis penelitian ini dilakukan melalui tahapan sebagai berikut:. Data jumlah penderita TB yang disortir dilakukan pengelompokkan individu ke dalam kelompok susceptible (), exposed (E), infectious (I), recovered (R).. Tahap rekonstruksi model diawali dengan penetepan asumsi parameter yang digunakan, kemudian dibentuk model EIR dalam bentuk kompartemen sistem persamaan diferensial.. Mencari titik tetap Menurut Tu (99), misal diberikan sistem persamaan diferensial (PD) sebagai berikut: dx x f ( x), xr n

4 Jika titik berada di big x dengan maka titik disebut titik tetap. Penentuan titik tetap dilakukan dengan langkah sebagai berikut: a. etiap persamaan diferensial pada model EIR dibuat sama dengan nol. b. Dilakukan penyederhanaan sistem x f x persamaan diferensial model EIR dengan x I, sehingga didapatkan titik tetap R, E,, T. pertama yaitu c. Dilakukan penyederhanaan sistem persamaan diferensial model EIR dengan sehingga,, I, E I, T. R, didapatkan titik tetap kedua. Menurut Hethcote (), bilangan reproduksi dasar ditentukan berdasarkan persamaan berikut: A B () Keterangan: = bilangan reproduksi dasar A B ( ) = jumlah individu pada kondisi I = jumlah individu pada kondisi I Menurut Giesecke (99), terdapat tiga kondisi yang ditimbulkan oleh suatu bilangan reproduksi dasar ( ), yaitu a. jika maka penyakit akan menghilang (bebas penyakit), b. jika maka penyakit akan menetap, c. jika maka penyakit akan meningkat menjadi wabah (endemik penyakit). 5. Analisis kestabilan titik tetap diawali dengan pelinearan terhadap sistem persamaan model EIR menggunakan matriks Jacobian (J) didasarkan pada kriteria Routh- Hurwitz. Menurut Merkin (997), kriteria kestabilan Routh-Hurwitz untuk n =,, yaitu: a. n : a, a b. n : a, a, aa a c. n : a, a, a, dengan a aa a a a a j merupakan koefisien persamaan karakteristik det ( J I). 6. Dilakukan perhitungan nilai parameter yang digunakan untuk memperoleh grafik dinamika populasi pada penyebaran penyakit TB berdasarkan data yang telah. 7. Dilakukan penyusunan program pada software Mathematica 7. untuk memperoleh grafik dinamika populasi pada penyebaran penyakit TB. 8. Dilakukan proses interpretasi grafik yang menggambarkan dinamika populasi pada penyebaran penyakit TB. HAIL DAN PEMBAHAAN Rekonstruksi Model EIR Penyebaran Penyakit TB Model EIR untuk penyebaran penyakit TB dibentuk dengan membagi individu dalam populasi (N) ke dalam empat kelompok yaitu kelompok individu rentan atau susceptible (), kelompok individu exposed (E), kelompok individu yang terinfeksi bakteri TB aktif atau infectious (I), kelompok individu sembuh atau recovered (R).

5 Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model, yaitu a. jumlah populasi tertutup, b. penularan TB terjadi jika terdapat kontak antara I dengan, c. individu yang terinfeksi bakteri TB dapat langsung masuk ke dalam kelompok I atau masuk ke dalam kelompok E terlebih dahulu, d. individu yang memiliki bakteri TB yang tidak aktif dalam tubuhnya tergabung dalam kelompok E, e. individu yang memiliki bakteri TB aktif dalam tubuhnya tergabung dalam kelompok individu I, f. terdapat individu I yang masuk kelompok individu R, g. tidak ada individu E yang langsung masuk kelompok R, ( f ) h. kematian individu akibat infeksi TB hanya terjadi pada kelompok individu I, i. individu dalam kelompok R dapat menjadi penderita TB aktif kembali. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka parameter-parameter yang terlibat dalam model EIR penyebaran penyakit TB yaitu menyatakan laju kelahiran, menyatakan laju kematian alami, menyatakan laju kematian akibat infeksi bakteri TB aktif, menyatakan laju kontak, menyatakan laju aktivasi bakteri TB, menyatakan laju kesembuhan dari penyakit TB, menyatakan laju reaktivasi bakteri TB. Kompartemen model EIR untuk penyebaran penyakit TB dapat dilihat pada Gambar. t f E I R t Gambar. Kompartemen Model EIR untuk Penyebaran Penyakit TB Gambar menunjukkan bahwa jumlah individu bertambah karena aya kelahiran, berkurang karena aya individu yang terinfeksi bakteri TB, baik yang tidak aktif maupun yang aktif, serta berkurang karena kematian alami. Jumlah individu pada kelompok E bertambah karena terdapat individu yang terinfeksi bakteri TB yang tidak aktif, berkurang karena terdapat individu E yang menjadi penderita TB aktif, berkurang karena kematian alami. Jumlah individu pada kelompok I bertambah karena terdapat individu yang terinfeksi bakteri TB aktif, bertambah karena terdapat individu E yang menjadi penderita TB aktif, bertambah karena aya reaktivasi bakteri TB, berkurang karena aya kesembuhan, serta berkurang karena kematian alami kematian akibat infeksi TB. Jumlah individu pada kelompok R bertambah karena 5

6 terdapat individu I yang sembuh, berkurang karena aya reaktivasi bakteri TB karena kematian alami. Model EIR untuk penyebaran penyakit TB dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial sebagai berikut: d de f E E () di ( f ) E R I I ti dr I R R dengan N E I R. Keterangan: = kelompok individu susceptible = kelompok individu exposed = kelompok individu infectious = kelompok individu recovered E I R I N = jumlah populasi keseluruhan = laju kelahiran = laju kematian alami t = laju kematian akibat infeksi TB f = peluang seorang individu akan memasuki periode exposed = laju infeksi = laju kontak = laju aktivasi bakteri TB = laju kesembuhan = laju reaktivasi bakteri TB Titik Tetap Model EIR Penyebaran Penyakit TB Titik tetap model EIR penyebaran penyakit TB dengan menetapkan persamaanpersamaan pada sistem persamaan () menjadi konstan terhadap waktu atau d de di ditulis,,, dr. Titik Tetap Pertama Dilakukan penyederhanaan sistem persamaan diferensial model EIR dengan R,, I, sehingga E, dengan demikian didapatkan titik tetap pertama yaitu T,,, () Titik Tetap Kedua Dilakukan penyederhanaan sistem persamaan diferensial model EIR dengan sehingga dengan demikian didapatkan titik tetap kedua yaitu T, E, I, R () dengan W YZ, XZ f XZ W YZ E, βwxz R, I R I, E,, XZ W YZ, W YZ XZ W YZ WZ YZ Titik tetap kedua yang ditunjukkan oleh persamaan () telah disederhanakan dengan memisalkan beberapa variabel yaitu W, X f, Y t, Z. Bilangan Reproduksi Dasar ( ) Berdasarkan persamaan () dapat ditentukan bilangan reproduksi dasar atau yaitu ( f) ( ) ( ) ( ) ( ) t 6

7 Model EIR Penyebaran Penyakit TB Analisis kestabilan dilakukan terhadap titik tetap pertama yang ditunjukkan oleh persamaan () titik tetap kedua yang ditunjukkan oleh persamaan () pada kondisi yang diawali dengan pelinearan terhadap sistem persamaan () menggunakan matriks Jacobian (J) berikut: I fi f J ( f ) I ( f ) t Pertama Titik tetap pertama disubstitusikan ke dalam matriks J sehingga matriks J T elanjutnya dilakukan penyelesaian persamaan det J T I sehingga (5) karena maka, selain itu a a a dengan a W Y Z f a X f Z YZ W Y Z XZ W YZ a etelah a, a, a, maka dapat ditentukan aa a. Berdasarkan persamaan (5) diketahui bahwa, titik tetap pertama T bersifat stabil asimtotik jika,, juga bertanda negatif. Berdasarkan kriteria Routh- Hurwitz,,, bertanda. negatif jika a, a, a a a. Pertama pada Berdasarkan hasil perhitungan bahwa a, aa a jika, dengan demikian titik tetap pertama stabil a asimtotik pada saat yaitu pada kondisi bebas penyakit TB. Hal tersebut menunjukkan bahwa titik tetap pertama merupakan titik tetap bebas penyakit. Pertama pada Berdasarkan hasil perhitungan bahwa pada kondisi T a yang menyebabkan tidak terpenuhinya kriteria Routh- Hurwitz, sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat nilai eigen matriks yang bernilai positif, dengan J T demikian titik tetap pertama tidak stabil pada saat yaitu pada kondisi penyakit TB telah meningkat menjadi wabah (endemik penyakit). Hal tersebut menunjukkan bahwa titik tetap pertama merupakan titik tetap bebas penyakit. Kedua Titik tetap kedua disubstitusikan ke dalam matriks J matriks J T bahwa T sehingga. Diketahui I a a a a det J T dengan XZ a W Y Z f W YZ W YZ XZ 7

8 XZ Y Z W W YZ YZ f YZ XZ a Y Z YZ W YZ W YZ Z XZ W f X XZ XZ Y Z W YZ a W YZ Z f W YZ X a XZ W YZ etelah, maka dapat ditentukan a a a a a. a, a, a a a Titik tetap kedua T bersifat stabil asimtotik jika keempat nilai eigen matriks yaitu J T,, bernilai negatif. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz,,,, memiliki bagian real yang bertanda negatif jika a, a, a a a a a a. a, Kedua pada Berdasarkan hasil perhitungan bahwa pada kondisi a yang menyebabkan tidak terpenuhinya kriteria Routh- Hurwitz, sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat nilai eigen matriks yang bernilai positif, dengan J T demikian titik tetap kedua tidak stabil pada saat yaitu pada kondisi bebas penyakit TB. Hal tersebut menunjukkan bahwa titik tetap kedua merupakan titik tetap endemik penyakit. Kedua pada Berdasarkan hasil perhitungan bahwa a, a, a, aaa a a a jika, dengan demikian titik tetap kedua stabil asimtotik pada saat yaitu pada kondisi penyakit TB telah menjadi wabah (endemik penyakit). Hal tersebut menunjukkan bahwa titik tetap kedua merupakan titik tetap endemik penyakit. T Dinamika Populasi pada Penyebaran Penyakit TB saat Berdasarkan data jumlah penderita TB di Kabupaten Bogor pada bulan Januari sampai dengan Desember yang terdapat pada Tabel, data jumlah penduduk, jumlah kelahiran, jumlah kematian penduduk di Kabupaten Bogor pada tahun - yang terdapat pada Tabel, serta berdasarkan data jumlah kematian penduduk Kabupaten Bogor akibat infeksi TB yang telah, diketahui.,., t.6,.67,.,.85,.85, f.99, sehingga gafik dinamika populasi pada penyebaran penyakit TB saat yang ditunjukkan oleh Gambar. Gambar. Grafik Dinamika Populasi pada Penyebaran Penyakit TB saat Berdasarkan Gambar dapat dilihat bahwa jumlah individu susceptible yang ditunjukkan oleh garis berwarna jingga, jumlah E I R 8

9 individu exposed yang ditunjukkan oleh garis berwarna biru, jumlah individu infectious yang ditunjukkan oleh garis putus-putus berwarna merah mengalami penurunan dari tahun ke tahun, segkan jumlah individu recovered yang ditunjukkan oleh garis berwarna hijau terus mengalami peningkatan dari tahun ke tahun, dengan demikian bahwa pada saat penyakit TB tidak akan menjadi wabah di Kabupaten Bogor., Dinamika Populasi pada Penyebaran Penyakit TB saat Pada kasus nilai parameter., t.6,.,.,.5,.9, peluang seorang individu rentan TB akan memasuki periode exposed yaitu f.99, sehingga grafik dinamika populasi pada penyebaran diberikan.9, penyakit TB saat ditunjukkan oleh Gambar. yang Gambar. Grafik Dinamika Populasi pada Penyebaran Penyakit TB saat Berdasarkan Gambar dapat dilihat bahwa jumlah individu susceptible yang ditunjukkan oleh garis berwarna jingga terus mengalami penurunan, segkan jumlah individu exposed yang ditunjukkan oleh garis berwarna biru jumlah individu infectious yang ditunjukkan oleh garis putus-putus E I R berwarna merah terus mengalami peningkatan dari tahun ke tahun. Berdasarkan Gambar juga dapat dilihat bahwa jumlah individu recovered yang ditunjukkan oleh garis berwarna hijau mengalami penurunan dari tahun ke tahun. Penurunan tersebut terjadi beriringan dengan peningkatan jumlah individu infectious, dengan demikian bahwa pada saat penyakit TB akan menjadi wabah atau dengan kata lain terjadi endemik penyakit TB., PENUTUP Kesimpulan Analisis model EIR untuk penyebaran penyakit tuberkulosis menghasilkan dua titik tetap yaitu titik tetap pertama yang merupakan titik tetap bebas penyakit titik tetap kedua yang merupakan titik tetap endemik penyakit dengan bilangan reproduksi dasar yaitu f t Grafik dinamika populasi pada penyebaran penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bogor menunjukkan bahwa pada akhirnya penyakit tuberkulosis tidak akan menjadi wabah di Kabupaten Bogor, hal ini ditandai dengan terjadinya penurunan jumlah penderita tuberkulosis, baik penderita tuberkulosis yang tidak aktif (exposed) maupun penderita tuberkulosis aktif (infectious) dari tahun ke tahun. T aran Disarankan kepada peneliti selanjutnya yang ingin menganalisis penyebaran penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bogor untuk dapat menambahkan variabel vaksinasi ke dalam model penyebaran penyakit tuberkulosis. T 9

10 DAFTAR PUTAKA Fredlina, K.Q., Oka, T.B., Dwipayana, I.M.E.. Model IR (uspectible, Infectious, Recovered) untuk Penyebaran Penyakit Tuberkulosis. E-jurnal Matematika, vol., no., Giesecke, J. 99. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York: Oxford University Press. Hethcote, H.W.. The Mathematic of Infectious Diseases. IAM Review vol., no., Komariah, dkk.. Pola Komunikasi dalam Pelayanan Pemberian Informasi Mengenai Penyakit TBC pada Puskesmas di Kabupaten Bogor. Jurnal Kajian Komunikasi, vol., no., Li, G Jin, Z.. Global tability of a EIR Epidemic Model with Infectious Force in Latent, Infected and Immune Period. Chaos, olitons and Fractals, 5:77-8. Merkin, D.R Introduction to the Theory of tability. New York: pringer. Tu PNV. 99. Dynamical ystem, An Introduction with Applications in Economics and Biology. Heidelberg Germany: pringer-verlag.