BAB II ELEKTRON DALAM STRUKTUR KUANTUM

Transkripsi

1 BAB II EEKTRON DAAM STRUKTUR KUANTUM Perilaku pembawa muata (elektro/hole pada devais berstruktur kuatum seperti quatum well quatum wire serta quatum dot sagat mearik utuk dikaji karea efek mekaika kuatum sagat berpera dalam meetuka sifat-sifat devais tersebut. Devais berstruktur kuatum dibetuk dari dua material ag memiliki pita eergi berbeda sehigga terbetuk bad gab discotiuit Δ E / Δ c E v. Agar mampu megurug pergeraka pembawa muata devais tersebut harus berukura 0 Α Α atau ekivale dega 0-00 lapis atom (jika diasumsika satu lapis atom memiliki tebal Α 0 sehigga ukura devais lebih kecil dibadigka pajag gelombag elektro Regime devais dega ukura haa beberapa lapis atom dikeal dega istilah mesoscopic regime (Borovitskaa E da Shur M.S 003. Gambar.: Semikoduktor padua AlGaAs da GaAs ag membetuk sumur potesial akibat perbedaa pita eergi. (Borovitskaa E da Shur M.S 003 Pada regime tersebut sifat kimia fisika optik maupu sifat elektroik bergatug pada ukura da betuk material. Khusus utuk material semikoduktor regime tersebut terkait dega pajag gelombag de Broglie. Uiversitas Sumatera Utara

2 Dimaa ukura semikoduktor peguruga harus lebih kecil dibadigka pajag gelombag de Broglie. (Borovitskaa E da Shur M.S 003 h λ = (. p dega p = m v adalah mometum elektro m adalah massa efektif elektro da v adalah kecepata elektro. Jika diasumsika dega v vth 3KT v th = (. m v th adalah kecepata thermal K adalah kostata Boltma da T adalah temperatur diperoleh [4] v th 6 = m (.3 m T m Sehigga ukura devais berstruktur kuatum harus lebih kecil dibadigka dega pajag gelombag de Broglie ag diberika oleh persamaa (.3. Pada bab ii aka dibahas secara detail megeai elektro dalam struktur quatum well quatum wire serta quatum dot ag melibatka aspek peguruga kuatum berturut-turut satu dimesi dua dimesi da tiga dimesi.. Quatum Well Quatum well difabrikasi dega meumbuhka satu lapis material A diatara dua buah lapisa material B dega sarat pita eergi material A lebih kecil dibadigka dega pita eergi material B seperti terlihat pada Gambar.a. Bad discotiuit atara material A da material B meediaka semacam sumur potesial pegurug utuk elektro/hole (Borovitskaa E da Shur M.S 003. Uiversitas Sumatera Utara

3 Gambar.: (a struktur da (b eergi potesial quatum well (Borovitskaa E da Shur M.S Fugsi Gelombag da Sub Eergi Utuk memudahka aalisa sumur potesial diaggab ideal berupa fugsi tagga berikut (Gambar.b (Borovitskaa E da Shur M.S 003: 0 utuk V ( = Vb utuk / / (.4 dega V b da berturut-turut adalah kedalama da ketebala sumur potesial. Karea fugsi potesial haa fugsi dari sumbu saja maka pergeraka elektro pada sumbu da bersifat bebas da dapat diataka dega sebuah fugsi gelombag bidag (plae wafe. Dega tekik separasi variabel fugsi gelombag elektro dapat ditulis mejadi: ( k + k ψ ( = e χ( (.5 Persamaa Schrödiger utuk fugsi gelombag χ( adalah v h h k + V ( χ = E χ (.6 m m k v = ( k k da kuatitas ( h k v / m adalah eergi kietik elektro pada sumbu da. jika didefeisika ε ag meataka eergi pada arah sumbu- v h k ε = E (.7 m Uiversitas Sumatera Utara

4 Maka persamaa (.6 dapat direduksi mejadi persamaa satu dimesi berikut h + V ( χ = εχ m Utuk kasus boud state dega sumur adalah (.8 ε Vb solusi persamaa Schrödiger di luar kb ( / Ae utuk / χ ( = (.9 kb ( / Be utuk / dega k b = m ( ε V b / h sedagka solusi persamaa Schrödiger di dalam sumur adalah kombiasi liier dari fugsi gelombag bidag berikut χ ( = C si k + D cos k (.0 w w dega k w = m ε / h da ABC serta D adalah kostata sembarag. Pada kasus ii solusi umum didapat dega megkombiasika solusi geap da gajil dega sarat A=B utuk solusi geap da A= -B utuk solusi gajil. Utuk solusi geap ± k ( / Ae b utuk / χ ( = (. D cos k w utuk / Utuk solusi gajil ± k ( / ± Ae b utuk / χ ( = (. C cos k w utuk / tahapa berikuta adalah matchig fuctio serta turuaa pada titik = ± / utuk solusi geap diperoleh D cos k Dk w w si k / = A w / = Ak utuk solusi gajil diperoleh C cos k Ck w w si k / = A w b / = Ak b (.3 (.4 Uiversitas Sumatera Utara

5 Dari persamaa (.3 da (.4 dapat diperoleh ugkapa akhir tigkat eergi pada quatum well berikut h E ( k v = ε + k + k m (.5 h π dega ε =. Pegurugaelektro pada arah- ag diataka oleh ε m memuculka sub-sub eergi (subbads eerg ag mempegaruhi spektrum eergi sistem seperti terlihat pada Gambar.3. Keberadaa sub-sub eergi tersebut merubah beberapa karakteristik perilaku elektro dibadigka pada bulk material sebagai cotoh pada bulk material adaa impuritas (impurit meciptaka sedereta level eergi pada pita elektro semetara pada quatum well setiap sub eergi membagkitka sederajat level-level impuritas (Abraha Kamsul 007. Gambar.3: Spektrum eergi elektro dua-dimesi (Abraha Kamsul Rapat Keadaa Eergi Quatum Well Pada pejelasa sebeluma diketahui bahwa spektrum eergi quatum well agak kompleks da terdiri dari sub-sub eergi. Spektrum eergi masig-masig subbad tumpag tidih satu sama lai pada k tertetu. Karea Faktor tersebut terkadag lebih ama melihat Faktor peguruga elektro diataka dalam Uiversitas Sumatera Utara

6 rapat keadaa eergia. Rapat keadaa eergi g(e secara umum didefeisika (Jurge Hek 006 g( E = δ ( E (.6 v E v dega v da E v berturut-turut adalah bilaga kuatum da eergi pada bilaga kuatum v tertetu. Bilaga kuatum v melibatka bilaga kuatum bilaga kuatum spi s da vektor dua dimesi k v v. Sehigga v = { s k} da rapat keadaa eergi quatum well mejadi h ( k + k g E = δ ( E ε (.7 ( k k m Faktor meataka elektro dapat berada pada spi up maupu spi dow. Utuk meghitug ugkapa akhir rapat keadaa eergi quatum well terlebih dahulu didefeisika luas area quatum well: S = + dega da berturut-turut adalah ukura quatum well pada sumbu- da sumbu- da dari ilai k da k ag mugki jika diasumsika sarat batas siklika pada sumbu da sumbu- k π l / k = π l / l l = 0... (.8 = sehigga betuk somasi persamaa (.7 dirubah mejadi betuk itegral berikut (... = dk (... dk (π kk (.9 evaluasi persamaa (.7 megguaka betuk itegral persamaa (.9 dapat diperoleh rapat keadaa quatum well berikut g ( E = Θ( E ε π h (.0 dega Θ( adalah fugsi Heaviside step: Θ( = utuk 0 da Θ( = 0 utuk 0. Perbedaa atara bulk material da quatum well terletak pada beberapa sub eergi teredah karea utuk ag besar rapat keadaa eergi quatum well hampir berhimpita dega bulk material Uiversitas Sumatera Utara

7 Gambar.4: Rapat keadaa eergi quatum well da bulk material (garis putusputus (Jurge Hek 006. Quatum Wires Pada pembahasa sebeluma diketahui bahwa peguruga elektro pada satu dimesi saja telah berubah karakteristik spektrum eergi serta rapat keadaa eergi sistem elektro jika dibadigka dega karakteristik spektrum eergi serta rapat keadaa eergi sistem elektro pada bulk material. Pada bagia ii aka dibahas karekteristik elektro dalam peguruga dua-dimesi ag dikeal dega istilah quatum wires. Salah satu cara fabrikasi quatum wires adalah dega tekik etchig aki dega mereduksi lapisa material B da A seperti terlihat pada Gambar.5. (Abraha Kamsul 007 Uiversitas Sumatera Utara

8 Gambar.5: Struktur quatum wires (Abraha Kamsul Fugsi Gelombag da Sub Eergi Fugsi gelombag elektro dalam struktur quatum wires ag melibatka peguruga potesial dua dimesi V( dapat ditulis (Abraha Kamsul 007 ψ ( = e ik χ( (. Persamaa Schrödiger utuk fugsi gelombag χ ( h V ( ( ( χ = εχ m + + (. dega ε = E h k / m adalah eergi elektro pada sumbu- da sumbu-. Jika solusi χ i ( dapat ditemuka ag berkaita dega eergi ε i ag bersifat diskret maka aka didapat eergi total elektro berikut h k E = ε + (.3 m dega k adalah vektor satu dimesi. Fugsi gelombag χ ( berkaita dega tigkat eergi ε i ag terlokalisasi pada bidag (. Hal tersebut megadug arti bahwa elektro pada keadaa kuatum ke-i terkurug pada bidag ( dibawah pegaruh potesial pegurug V(. Pada kodisi tersebut elektro haa dapat bergerak dega bebas pada arah sumbu- saja. Ugkapa i Uiversitas Sumatera Utara

9 potesial V( ag sesuai da dapat diselesaika dega mudah adalah dega megambil betuk potesial berikut (Abraha Kamsul 007 = utuk utuk V ( (.4 dega da berturut-turut adalah dimesi quatum wires pada sumbu- da sumbu-. Fugsi gelombag elektro ( χ dapat diataka sebagai perkalia atara fugsi gelombag pada arah sumbu- da sumbu- berikut ( ( ( χ χ χ = (.5 sehigga solusi persamaa Schrödiger utuk masig-masig sumbu mejadi 3 si ( si ( = = = π χ π χ (.6 da eergi terkuatisasi i ε + = m π ε h (.7 Eergi total elektro + + = m m k E π h h (.8.. Rapat Keadaa Eergi Quatum Wires Dega merujuk kembali persamaa (.6 rapat keadaa eergi quatum wires ditulis (Abraha Kamsul 007 ( ( E g E g = (.9 kotribusi satu subbad terhadap rapat keadaa eergi quatum wires = k m k E E g ( h ε δ (.30 Uiversitas Sumatera Utara

10 Faktor pada persamaa (.30 berkaita dega spi elektro. Betuk somasi persamaa (.30 tersebut kemudia diubah mejadi betuk itegral terhadap seluruh ilai k ag mugki sehigga diperoleh ugkapa akhir rapat keadaa eergi quatum wires berikut (Abraha Kamsul 007 g( E = dk δ E ε π 0 = π m h E ε h k m Θ( E ε (.3 Gambar.6: Rapat keadaa quatum wires [6] Secara skematik rapat keadaa eergi quatum wires ditujukka pada Gambar.6. Jika dibadigka dega rapat keadaa eergi quatum well karakteristik kedua rapat keadaa tersebut sagat berbeda. Utuk kasus quatum well rapat keadaa eergia berupa fugsi tagga sedagka quatum wires memiliki rapat keadaa eergi ag ifiite pada titik teredah subbad-a da perlaha meuru seirig dega meigkata eergi kietik elektro (Jurge Hek Quatum Dot Pada pembahasa sebeluma telah dibahas perilaku elektro ag terkurug dalam semikoduktor heterosctructure pada satu da dua dimesi peguruga Uiversitas Sumatera Utara

11 ag meebabka terjadi kuatisasi spektrum eergi elektro sehigga meghasilka sub-sub eergi pada satu da dua dimesi. Pada struktur demikia masih meisaka derajat kebebasa elektro utuk bergerak pada dua da satu dimesi. Pada bagia ii aka dibahas perilaku elektro ag terkurug dalam tiga dimesi atau dega kata lai seluruh derajat kebebasa elektro mejadi terkuatisasi. Struktur semacam ii meujukka sifat seperti atom ag aka dibahas secara medetail di bagia ii (.P. Kouwehove C.Marcus Fugsi Gelombag da Tigkat-Tigkat Eergi Quatum Dot Ketika meijau spektrum eergi dari sebuah sistem berdimesi ol perlu dikaji persamaa Schrödiger bebas waktu (S.P Sigh M.K Badge Kamal Sigh 983 h m Ψ + VΨ = EΨ (.3 Dega potesial ag merupaka fugsi dari tiga koordiat da megurug elektro pada tiga arah. Betuk potesial ag palig sederhaa utuk memodelka quatum dot adalah potesial kotak: 0 di dalam kotak V ( = (.33 + di luar kotak Kotak ag dimaksud oleh potesial tersebut dibatasi kodisi Gambar.7: Model quatum bo (S.P Sigh M.K Badge Kamal Sigh 983 Uiversitas Sumatera Utara

12 Solusi persamaa Schrödiger dega demikia aka berbetuk (S.P Sigh M.K Badge Kamal Sigh π π π = ( si si si ( ψ E 3 h π = m (.35 dega 3 = 3 bilaga bulat positif. Uika solusi persamaa Schrödiger utuk kotak kuatum sebagai model quatum dot ii terletak pada kemucula tiga bilaga kuatum diskret ag berasal dari tiga arah kuatisasi. Keadaa ii berarti telah diperoleh tigkat-tigkat eergi ag bercabag tiga da fugsi gelombag elektro terlokalisasi pada seluruh tiga dimesi di dalam kotak. Secara umum seluruh eergi memiliki ilai ag berbeda atau tidak ada degeerasi. Aka tetapi jika dua atau seluruh ukura dimesi kotak ( memiliki ilai ag sama atau perbadigaa bilaga bulat maka aka ada tigkat-tigkat eergi ag sama. Situasi ii meghasilka keadaa degeerasi: satu tigkat eergi bercabag dua jika dua dimesi kotak berilai sama da bercabag eam jika kotak bear-bear berbetuk kubus. Spektrum eergi diskret iilah ag membedaka kotak kuatum (sebagai model quatum dot terhadap betuk-betuk laia (quatum well da quatum wires. Dega pemecaha persamaa Schrödiger ag telah diuraika sebeluma tampak jelas kemucula sifat tigkat eergi pada quatum dot ag pada awala haa teramati utuk atom biasa. Jadi sagatlah wajar para ilmuwa meebut quatum dot sebagai artificial atom. Kemiripa sifat atara quatum dot dega atom juga dapat dega mudah dilihat pada kasus spherical dot dega betuk potesial V(r berikut (S.P Sigh M.K Badge Kamal Sigh r R V ( r = (.36 V b r R dega r adalah besar dari suatu vektor berarah radial da R adalah jari-jari quatum dot. Solusi persamaa Schrödiger utuk kasus potesial di atas ag melibatka simetri bola dapat diselesaika dega metode sparasi variabel Uiversitas Sumatera Utara

13 dimaa solusi umum dari kasus di atas merupaka perkalia dari fugsi gelombag arah radial da fugsi gelombag arah aimutal berikut ψ ( r θ ϕ = R( r ( θ φ (.37 Y l m Besara l m berkaita dega bilaga kuatum magetik da proeksia terhadap sumbu-. utuk fugsi berarah radial persamaa Schrödigera mejadi: dega h m χ( r + V r eff ( r χ( r = Eχ( r (.38 h l( l χ ( r = rr( r Veff ( r = V ( r + (.39 r Terlihat bahwa persoala utuk kasus di atas dapat direduksi mejadi persoala satu dimesi aki pada arah radial saja. Potesial efektif di atas haa bergatug pada variable l saja tetapi tidak bergatug pada bilaga kuatum m. Dega demikia tigkat-tigkat eergi pada quatum dot terdegeerasi oleh bilaga kuatum m (dega m=l+. Tigkat-tigkat eergi merupaka fugsi dari bilaga kuatum utama da bilaga kuatum l. Dalam quatum dot elektro terkurug dalam sumur potesial ag memiliki kedalama sagat besar sehigga dapat diasumsika bahwa arah radial mejadi V b. Sehigga fugsi gelombag pada Dega πk R( r = J l+ / ( k wr r m E J l (r adalah fugsi Bessel speris da k w = h speris ag di defeisika sebagai π jl ( = J l+ / ( (.40. Fugsi Bessel (.4 Uiversitas Sumatera Utara

14 dega megguaka fugsi duplikasi egedre (S.P Sigh M.K Badge Kamal Sigh 983!( + /! = π / ( +! (.4 diperoleh j ( = l π l = l s= 0 s= 0 s+ l+ ( ( s +! / π (s + l +! s! ( ( s + l! s!(s + l +! utuk kasus khusus = 0 diperoleh j ( s s 0 = s 0 (s +! = = si s s+ l+ / (.43 (.44 Selajuta fugsi Bessel speris utuk orde lebih tiggi dapat diperoleh melalui rumus rekursi berikut: l d jl+ ( = jl ( jl ( (.45 d Gambar.8: Fugsi Bessel sperik (l=0-4 utuk mecari tigkat-tigkat eergi pada quatum dot (S.P Sigh M.K Badge Kamal Sigh 983 Uiversitas Sumatera Utara

15 Pada r = a (jari-jari dot haruslah dipeuhi R(a=0. Sehigga akar-akar dari persamaa j ( k a = 0 aka meataka tigkat-tigkat eergi pada quatum dot. l w Dalam teori spektum atom bilaga kuatum l = meataka orbital s p d Dega megurutka ilai akar-akar persamaa ag bersesuaia dega ilai eige eergi diperoleh deret tigkat-tigkat eergi pada quatum dot s( p(6 d(0 s( f(4 p(6 Agka dalam kurug meujukka jumlah elekro ag terdapat pada tiap tigkat eergi (Stephaie M. Reima Matti Maie Rapat Keadaa Quatum Dot Terkuruga elektro dalam tiga sumbu koordiat pada kasus quatum dot berbetuk kotak meebabka rapat keadaa eergia pu berupa sekumpula fugsi delta (Fatirahma Tri 00 g ( E = δ ( E (.46 v E v dega v=( 3. Pada kodisi ideal pucak-pucaka sagat sempit da tak berhigga seperti terlihat pada Gambar.9 Gambar.9: Rapat keadaa eergi quatum dot (Fatirahma Tri 00 Utuk keadaa ata iteraksi atara elektro-elektro da ketidakmuria material aka meebabka pelebara tigkat-tigkat eergi diskret. Sebagai hasila pucak-pucak rapat keadaa memiliki amplitudo ag berhigga da lebar tertetu. Aka tetapi semaki kecila ukura baha (sekitar orde Uiversitas Sumatera Utara

16 aometer da temperatur ag redah justru dapat meebabka rapat keadaa quatum dot meuju sistem ideal. Dega megguaka beberapa pedekata jumlah keadaa pada volume keadaa. Hasila adalah Δ ΔΔ dapat dituruka dari rumusa rapat 3 k ΔΔΔ Δ ρ = 3π (.47 dega v k ( r = m V ( r v / h (.48 dega megitegrasika pada seluruh koordiat klasik utuk medapatka jumlah keadaa eergi dalam sebuah quatum dot aitu (Alhassid Y 000 3/ ( m v 3 / N t = ( 3 dddv r (.49 π h Sebagai cotoh utuk sebuah kotak dega kedalam potesial berhigga V b dapat diperoleh 3 / m N = ( 3 / t Vb 3π h (.50 Adaika seseorag membuat quatum dot dega = = =0 m V b =0 ev da massa efektif elektro pada material quatum dot adalah m =0067m elektro maka didapatka jumlah total keadaa eergi di dalam kotak adalah N t = 75. Jumlah elektro sebeara ag terperagkap dalam quatum dot seharusa kurag dari N t terkait reduksi oleh ketidakmuria material. Tekologi saat ii bahka sudah memugkika utuk megotrol jumlah pembawa muata terlokalisasi dega pemberia tegaga luar (Wahu Tri Cahato Kamsul Abraha Pekik Nurwatoro Eksito Dalam Struktur Kuatum Eksito adalah ikata pasaga elektro-hole ag disebabka peerapa photo pada semikoduktor. Secara khusus dapat dikataka bahwa terdapat elektro di pita koduksi da hole dipita valesi semikoduktor da keduaa salig beriteraksi melalui iteraksi Coulomb. Eksito sediri bermuata etral. Uiversitas Sumatera Utara

17 Terdapat dua jeis eksito aki eksito Mott-Waier da eksito Frakel. Iteraksi elektro-hole pada eksito Mot-Waier lemah dega eergi ikata berada pada orde 0meV sehigga pasaga elektro-hole tersebut relatif terpisah jauh. Berbeda dega eksito Frakel dega eergi ikat berada pada orde 00meV iteraksi Coulomb atara elektro da hole kuat (Jurge Hek 006 Gambar.0: Jeis-jeis eksito (Jurge Hek Cakupa Peguruga Terdapat tiga cakupa peguruga ag terkait dega struktur ag telah dibahas aki cakupa peguruga kuat peguruga meegah peguruga lemah. Ketiga cakupa tersebut bergatug pada jari-jari Bohr eksito (Fatirahma Tri 00 Peguruga kuat Jeis peguruga ii dapat dijumpai pada material ao berukura kecil. Ukura material lebih kecil dibadigka dega jari-jari Bohr elektro da jari-jari Bohr hole. Pada kodisi ii sifat optic material sagat di domiasi oleh efek peguruga kuatum dari elektro da hole. Peguruga meegah Pada kasus ii ukura material lebih besar dibadigka dega jari-jari Bohr salah satu pembawa muata da lebih kecil dibadigka dega jari-jari Bohr pembawa muata laia. Karea massa efektif elektro lebih kecil dibadigka dega massa efektif hole. Uiversitas Sumatera Utara

18 Peguruga emah Pada kasus ii eergi ikat eksito lebih besar dibadigka dega eergi peguruga elektro da hole. Eergi trasisi optika adalah selisih atara eergi gab da eergi ikat eksito. Uiversitas Sumatera Utara