BAB I PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA (PDB)

Transkripsi

1 BAB I PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA (PDB) Tujua Pebelajara Pada bab. ii, pebaca diperkealka kepada persaaa differesial (PD) da jeis-jeisa. Selai itu juga dijelaska cara-cara pebuata persaaa differesial, baik secara teritis aupu epiris (pedela), asalah sarat batas, da jeis jawaba persaaa differesial. Setelah epelajari bab. ii, diharapka para ahasiswa dapat egerjaka sal-sal ag disediaka pada akhir bab, sesuai dega cthcth sal ag telah dikeukaka. A. Pedahulua Persaaa differesial (PD) ucul karea adaa keigitahua ausia (para ilua) tetag feea ala seesta. Mausia selalu igi tahu tetag peristiwa prses fisik ag ada di bui. Misala tetag geraka beda, itraksi laju perubaha atar ariabel aktiitas bilgis dega waktu, cara egiterplasika gerak bitag da beda-beda di lagit sebagai kpas dala pelaara, da sebagaia. Peecaha asalah ag ata secara ateatik dilakuka dega cara erubah ariabel asalah ejadi bahasa ateatik. Prses seperti ii disebut sebagai pedela ateatik. Dala duia sais da teklgi, pedela ateatik diguaka utuk eahaai feea fisik. Mdel ag diguaka berbetuk persaaa ag berisika turua-turua fugsi dari suatu fugsi ag belu diketahui. Persaaa ag terbetuk diataka sebagai persaaa differesial. Sebagai cth, del ag serig dijupai dala kalkulus aitu gerak jatuh bebas. Partikel ag dijatuhka dari ketiggia tertetu (h), karea pegaruh graitasi bui (g), eurut Huku Newt II bahwa: assa bek () dikali dega

2 percepataa (a), seibag dega julah gaa (F) ag beraksi pada bek tersebut. Dala bahasa ateatis ditulis dega persaaa: h.g d. dh.a diaa : d h d h.g, atau,. a, percepatali t t.g d Gbr.. Beda Jatuh Bebas dh hasil itegrala adalah: g t h (t) g t t Dala hal ii da diataka sebagai kstata itegrasi, dapat dihitug jika diketahui sarat-sarat batas dari geraka, aitu: tiggi awal (h), kecepata awal ( ) pada saat t = diketahui, Ruus di atas diguaka (berlaku) utuk tiggi bek pada saat waktu t, sebagai slusi dari persaaa awal d h g. B. Pebuata Persaaa Differesial Persaaa differesial dapat dibuat dega dua cara, aitu secara teritis da secara pedela ateatis (epirik).. Pebuata PD Secara Teritis Secara teritis PD dapat dibuat dari suatu fugsi ag egadug kstata dega cara egeliiasi kstata tersebut ke dala betuk ariabel.

3 th: ) A A turuaa: atau :d d A d d atau: adalah PDrdsatu adalah PDrdsatu..d - ; juga erupaka PDrdsatu ) PD Ord Da Kefisie Variabel A B A B A B (. B ) B. B B. ( )B B. ( ). ( )( )B. ( )( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). X. ( ).., PD rd dua kefisie ariabel ) PD Ord Dua Kefisie Kstata A B A B A B

4 " e 5 Be Be Be Be e 6 6 Be B e e 5 6 adalah PDrd dua kefisie e Be e e kstata th-cth lai dapat dibuat sediri, apakah PD rd satu, rd dua, da seterusa. Persaaa differesial ag haa egadug satu ariabel bebas diataka sebagai PD biasa. Bila ariabel bebasa lebih dari satu diataka sebagai PD parsial.. Pebuata PD Secara Pedela Mateatis (Epiris) Pedela ateatika adalah prses frulasi feea ala ata (terutaa fisika) dala betuk ateatik, dega eafaatka persaaa differesial. Prsedur pedela asalah feea ala ata adalah sebagai berikut: a. Idetifikasi asalah, dega cara eetuka ariabel-ariabel ag terkea huku kausal (sebab-akibat), sehigga dapat dibuat frulasi del real, dala betuk bahasa ateatika. b. Megebagka asusi tetag ariabel ag beriteraksi pada feea tersebut. Secara uu kita tidak dapat eertaka seua ariabel (faktr) ag terlibat dala huku kausal pada feea ag sedag kita kaji (telaah). Dega deikia kita harus ebatasi del ateatisa ag dibuat, dega cara ereduksi faktr-faktr (ariabel) ag tidak terlalu epegaruhi bek, sehigga kpleksitas perasalaha bisa di reduksi dega egabil asusi, hubuga sederhaa atar ariabel (hubuga liier).

5 Asusi ag dikebagka adalah: Klasifikasi Variabel Variabel aa ag diaggap salig beriteraksi palig kuat. Hal ii diataka sebagai ariabel terikat da ariabel bebas. Variabel (faktr) laia diabaika. Sehigga dapat dikebagka ksep laju perubaha atar ariabel. Meetuka Iteraksi ag terjadi atar ariabel ag terseleksi, Utuk dikaji lebih lajut. Utuk persala ag kpleks, itraksi da relasi atar ariabel tidak dapat dilihat secara lagsug pada awal pegaata. Pada kasus ii, perlu dibuat atau dikebagka sub del, ag egadug beberapa ariabel bebas secara terpisah. Sub del ii teritegral terhadap asusi dasap ag dikebagka pada del utaa. Aalisis ii dikeal dega Aalisis Jalur. c. Meelesaika atau Iterpretasi Mdel Bila del ag di buat telah slid, aka del tersebut harus dapat di selesaika secara ateatika (slusi persaaa differesial), dega eafaatka sarat-sarat batas ag diketahui, isala kdisi awal, batas kritis ataupu kdisi etree da hasil-hasil percbaa. d. Verifikasi Mdel Utuk eataka apakah del ag di kebagka telah alid, perlu diuji dega cara egeukaka pertaaa sebagai berikut: Apakah del telah euat asalah ag diidetifikasika Apakah del sejala dega akal ag sehat Apakah del dapat diuji dega cara egupulka data (diuji secara epirik) Apakah del asih dapat dikebagka (difikasi da iasi pegebaga del).

6 th: pelepara partikel secara ertikal keatas sapai ketiggia h. ) Idetifikasi asalah: laju perubaha ketiggia partikel (h), terhadap waktu (t), faktr-faktr laia; kecepata awal, assa, graitasi g da gaa F. ) Asusi ag dikebagka h F d h. F.g Gbr.. Huku Keseibaga Gaa. Gaa ag epegaruhi haa gaa graitasi g.. Gaa gesek udara diabaika, selaa geraka partikel.. Ada gaa luar lai ag bekerja pada partikel da diabaika. 4. Adaa kecepata awal. Dega egabil asusi (), aka eurut huku Newt II, tetag keseibaga gaa (lihat gabar) ag beraksi pada bek adalah sebagai berikut: d h..g (del ateatika ) ) Peelesaia del PD rd dua ii adalah dega itegral lagsug sebaak dua kali. Didapat:

7 t dh dh Sarat batas : jadi, dh g.t g.t g.t Hasil itegral selajuta: h (t).t g t Sarat batas: t h..g () Jadi persaaa gerak beda adalah: h (t) Adalah del gerak ertikal beda dega kecepata awal. 4) Verifikasi del: Tiggi aksiu dicapai bila t h t g. t a.. g.( ). g t g g g Ruus-ruus dala geraka pada fisika dasar. Pebahasa lebih lajut pada bab 6..t g t. Klasifikasi Persaaa Differesial Persaaa ag egadug turua fugsi atau differesial dari suatu fugsi ag tidak diketahui dala betuk ariabel terikat diataka sebagai persaaa differesial (PD). Bila PD haa egadug satu ariabel bebas, diataka sebagai persaaa differesial biasa (PDB). Bila PD berisika turua

8 parsial (karea ariabel bebasa lebih dari satu) disebut sebagai Persaaa Differesial Parsial (PDP). Ord dari persaaa differesial diataka leh turua tertiggi ag ebetuk PD. Misala: d d a d e d b c d si adalah PDrdsatu adalah PDrddua cs adalah PDrdtiga Derajat dari PD diataka leh pagkat tertiggi ag diiliki leh rd turua tertiggi ag ada pada PD tersebut. th : d 4 d adalah PD rd tiga berderajat dua karea: d d 8 Secara uu PDB berrd diataka dala betuk: F,,,,..., atau : d - d f()... g () d h ()g Q() Disii F eataka fugsi ariabel bebas da ariabel terikat da erupaka turua terhadap. Suatu PD diataka liier apabila eiliki tada-tada sebagai berikut:. Variabel da turuaa haa berderajat satu.. Tidak egadug perkalia dega turuaa serta atar turua dega turuaa ag lai.. Variabel terikat buka fugsi trasede.

9 Bila sarat-sarat ii tidak terpeuhi, aka persaaa tersebut diataka sebagai PDB rd ke tak liier. Selajuta PDL diataka hge (PDLH) apabila Q.tha: a b c ; PDL H rd dua. Bila a, b, da c erupaka kstata, aka PDL diataka sebagai PDL dega kefisie kstata. Bila a, b, da c sebagai fugsi atau a(), b(), da c() aka PDL diataka sebagai PDL dega kefisie ariabel. th:. 5d 6 adalah PDL rd dua kefisie kstata.. d d d 4 e adalah PDLNH rd epat kefisie ariabel adalah PD tak liier 4. ( ) d d adalah PD tak liier adalah PD tak liier adalah PDP Betuk lai PDB dapat ditulis f,, sebagai PD ariabel terpisah dala betuk M, N, d. Dega sarat M, da N, dapat diataka sebagai perkalia fugsi dari da fugsi dari saja. th: d dapat ditulis dala betuk - d D. Jawaba Persaaa Differesial (Slusi) Setelah eahai betuk PD, selajuta perlu dipahai betuk-betuk slusi dari PD tersebut pada bagia ii aka dibahas pegertia tetag slusi PD. Ada dua jeis slusi ag perlu dipahai aitu: () slusi uu (hipua slusi) da () slusi khusus.

10 Slusi uu adalah jawaba PD ag asih egadug kstata sebarag. Slusi khusus adalah jawaba PD tidak lagi egadug kstata sebarag. Kstata sebarag dapat dicari ilaia dega cara egguaka sarat- sarat batas ag diketahui. Misala f ;f ;f ;f, kdisi lai pada saat percbaa da lai-lai. Selai kedua jeis slusi di atas, slusi PD dapat juga disajika secara grafik geetri. Misala: Slusi keluarga dari PD, d adalah ligkara-ligkara dega persaaa. Betuk grafisa seperti gabar.. Gbr.. Keluarga Ligkara d Slusi keluarga PD 4 adalah

11 , erupaka keluarga hiperbla seperti berikut: Gbr..4 Keluarga Hiperbla E. Masalah Sarat Batas (SB) Utuk edapatka slusi khusus suatu PD diperluka ilai-ilai fugsi atau turuaa pada suatu titik atau iteral I. Nilai-ilai tersebut diguaka utuk eetuka ilai-ilai kstata ag terkadug dala slusi uu suatu PD. Pada slusi uu suatu PD, selalu didapatka kstata. Seluruh kstata ii dapat dihitug jika diketahui ilai-ilai ( ), ( ), ( ),... - ( ),. Nilai-ilai,,,... disebut sebagai Sarat Batas (SB), ilai ii terkadag kali dapat berupa Nilai Awal (NA) atau Nilai Eksperie (NE). th:. Buktika bahwa f() = si cs adalah slusi NA dari + =, utuk () = - da () = Bukti; dari: f() si cs () si cs f () cs si () cs si f () si cs

12 substitusika ke persaaa si cs si cs,, eghasilka utuk seuailai Karea seua sarat terpeuhi aka terbukti bahwa f() adalah slusi NA ag diberika.. Buktika bahwa f() adalah slusi - -, utuk.. seberag kstata da, sehigga eeuhi sarat awal (SA), () = da () =. - Bukti: f().. f() f f () () f () asuka kedala perasaa :. 4.. karea seua sarat terpeuhi, aka terbukti bahwa f() adalah slusi dari SA ag diberika.. Dari NA ag diberika utuk PD rd satu, d. f(, ), utuk. ( ), d diasusika f da ktiu R (, ): a b,c d, ag euat titik (, ), aka NA epuai slusi tuggal g() pada beberapa iteral h<, ( + h) dega h bilaga psitif. th:. Apakah NA; d, utuk () = 6 epuai slusi ag tuggal? Jawab: F(, ) da ; F erupaka fugsi ag ktiu dala segi epat ag eiliki titik (,6). Berarti hiptesis terea di atas terpeuhi. Akibata NA epuai slusi tuggal dala suatu iteral disekitar = dega betuk ( h, + h) diaa h bilaga psitif

13 d. Apakah NA, utuk () =, eeuhi slusi ag tuggal. Jawab: F Dari f(, ) da karea F disktiu da tidak didefiisika di =, akibat tidak ada segi epat ag euat titik (,) diaa f da terea di atas tidak terpeuhi, aka NA tidak eiliki slusi. df keduaa ktiu, karea d F. Sal-sal Latiha A. Tetuka jeis PD berikut:. d e d d. d d d d. 4 5 cs 4. d 4 d d B. Buatlah PD dari fugsi berikut:. Ae Be. Ae B 4. Asi Bcs 4. A B 5. A. Buktika bahwa:

14 . si slusidari. cs t si t slusidari. Acs Bsi slusidari - 4. e - e slusidari 5. c slusidari D. Selidikilah, apakah NA epuai slusi ag tuggal. d,utuk () 6. d si : 5 d. si cs: d 4.,utuk () 5. d,utuk () 4