2. Fungsi Bessel Persamaan Diferensial Bessel 2.2. Sifat-sifat Fungsi Bessel 2.3. Fungsi-fungsi Hankel, Bessel Orde-fraksional, Bessel Sferis

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "2. Fungsi Bessel Persamaan Diferensial Bessel 2.2. Sifat-sifat Fungsi Bessel 2.3. Fungsi-fungsi Hankel, Bessel Orde-fraksional, Bessel Sferis"

Surya Kusuma
7 tahun lalu
Tontonan:

1 . Fugi Beel.. Peramaa Difereial Beel.. Sifat-ifat Fugi Beel.3. Fugi-fugi Hakel, Beel Orde-frakioal, Beel Sferi

2 Pegguaa Fugi Beel Mecari olui eparai variabel dari peramaa Laplace da Helmholtz dalam koordiat ilider da feri Khuuya petig dalam berbagai problem eperti propagai gelombag, poteial tatik da ebagaiya. Cotoh dalam koordiat Silider: - Electromagetic wave i a cylidrical waveguide - Heat coductio i a cylidrical object. - Mode of vibratio of a thi circular or aular artificial membrae. - Diffuio problem o a lattice. Ueful propertie for other problem, uch a igal proceig e.g., ee FM ythei, Kaier widow, or Beel filter.

3 Peramaa Difereial Beel Fugi Beel, pertama kali didefiiika oleh eorag ahli Matematik Daiel Beroulli da diperlua oleh Friedrich Beel, merupaka olui peramaa difereial: utuk α real atau komplek. Kau palig umum apabila α adalah bilaga bulat..

4 Fugi geerator Lihat fugi dega variabel: g, t e / t/ t. Ekpaika berdaarka deret Lauret aka didapat: / t/ t e t.3 yag merupaka koefiie t adalah fugi Beel jei pertama dari orde bilaga bulat.

5 / / / /!! r r r t t t t t r t e e e!! t t Utuk uatu tertetu, kita dapatka t dari: Sehigga koefiie t mejadi: t t t e / /!!.4

6 Kalau < :!! Karea! kalau,,, -; maka:!! Sehigga dapat diimpulka: - - utuk bilaga bulat.5

8 Kembali ke fugi geerator: / t/ t g, t e Bila kita difereialka ecara parial terhadap t, maka: t g, t t t e / t/ t Digabug aka diperoleh mial utuk koefiie t - : - t.6

9 Peramaa - dega peramaa rekuri. diebut Diii apabila da diketahui maka dapat dicari, da eteruya. Hal ii agat bermafaat, khuuya kalau kita megguaka komputer digital.

10 Kalau fugi geerator kita difereialka terhadap, kita dapatka: g, t t e t / t/ t ' t Kita dapatka hubuga rekuri: -.7 Kau peial utuk hal ii: -

11 Gabuga per..6 da.7 meghailka: -.8 Kalika dega da diuu kembali meghailka buktika! : d [ ] d.9 Kuragi per..7 dega.6 bagi meghailka: - d d Lalu buktika: [ ]..

12 Peramaa.6.d.. merupaka hubuga rekuri fugi Beel. Selajutya kita aka kembali baha peramaa differeial Beel.

13 Hubuga rekuri.8 dapat dituli kembali, dega tidak haru bilaga bulat, ebut aja ν, fugi mejadi Z ν. Z' Z νz ν ν ν. Dt. lihat Arfke, maka aka diperoleh peramaa difereial orde- yag merupaka peramaa Beel: Z" ν Z' ν ν Zν.3

14 Repreetai Itegral Kita lihat kembali fugi geerator: / t/ t g, t e Subtituika t e iθ, aka diperoleh: e i i θ [ co θ 4 co 4θ..] i[ i θ 3 i 3θ..] t

15 Dalam otai umai dapat dituli: co iθ coθ.4 i iθ i[ θ ] Guaka ifat ortogoalita i & co, didapat: π utuk geap co iθ co θ dθ π utuk gajil π π i iθ i θ dθ utuk utuk geap gajil.5

16 Kombiaika, aka diperoleh: π [co iθ co θ i iθ i θ ] dθ π π co θ iθ dθ,,,,3, π Kau peial: π co iθ dθ π.7

17 Cotoh pegguaa di Fiika Difraki Frauhofer Tabug reoai ilidri

18 Difraki Frauhofer y r θ α

19 Dalam teori difraki melalui lubag ligkara kita dapatka itegral: a Φ e π ibr iθ rdrdθ diii: Φ: amplitudo gelombag terdifraki θ: udut azimuth a: radiu lubag π b i α λ Seuai dega repreetai itegral, maka dapat dituli: Φ π a br rdr

20 Guaka., diperoleh: Φ π λa πa ab iα b iα λ Iteita difraki: Φ λa πa iα i α λ Titik ol pertama terjadi pada 3,837, ehigga gelap pertama pola difraki pada: πa iα λ 3,837

21 Soal latiha. Tujukka bahwa:.co a.i b. Buktika bahwa: / co co i π θ θ θ d

22 3.Tujukka bahwa: co t dt π t 4. Turuka peramaa ii: d d petujuk: guaka iduki matematik

23 Pelajari ediri tetag ortogoalita fugi Beel Arfke p

24 Sekedar pegigat tetag fugi ortogoal It i commo to ue the followig ier product for two fuctio f ad g: Here we itroduce a oegative weight fuctio w i the defiitio of thi ier product. We ay that thoe fuctio are orthogoal if that ier product i zero:

25 We write the orm with repect to thi ier product ad the weight fuctio a The member of a equece { f i : i,, 3,... } are: - orthogoal if - orthoormal where i the Kroecker delta. I other word, ay two of them are orthogoal, ad the orm of each i i the cae of the orthoormal equece. See i particular orthogoal polyomial.

26 Cotoh: buktika! π π π i mi d co m co d πδ m, πδ, π m, m, m, m, m co mi d utuk emua m da bulat

27 Fugi Neuma, Fugi Beel jei kedua, N v Dari teori peramaa difereial, karea merupaka orde dua maka peramaa Beel mempuyai dua olui idepede. Utuk ν buka bilaga bulat kita mempuyai dua olui yaki ν da -ν yag alig idepede. Namu kalau ν bilaga bulat maka kedua olui terebut alig bergatug.

28 Solui kedua dicoba ebagai berikut kombiai liear dari ν da -ν : N ν coνπ ν iνπ ν.8 Ii yag diebut ebagai fugi Neuma. ela tampak bahwa utuk ν buka bilaga bulat, N ν memeuhi peramaa Beel.

29 Betuk itegral Fugi Neuma Sama eperti emua fugi Beel, N ν juga mempuyai repreetai itegral. Sebagai cotoh utuk N kita mempuyai: N co coh t π dt π co t t dt > /.9

30 Solui umum peramaa Beel y A ν BN ν.

31 Hubuga Rekuri Hubuga rekuri gabuga fugi Beel da fugi Neuma agat bayak, diataraya dapat diebut: ν ν iνπ ν ν ν π iνπ ν ν ν π ν N' ν ν Nν π Nν ν Nν π ν...3.4

32 Aplikai Fugi Neuma Coaial Wave Guide Arfke p

33 Fugi Hakel Defiii-defiii: Fugi Hakel jei : H ν ν in ν Fugi Hakel jei : H ν ν - in ν Hal ii aalog: ± θ e i coθ ± i iθ.5.6

34 Karea fugi Hakel merupaka kombiai liear ν da N ν maka memeuhi rekuri yag ama eperti: H H ν ν Hν Hν Hν H ' ν ν.7.8 Keduaya berlaku utuk H ν da H ν

35 Beberapa formula Wrokia dapat dikembagka: H ν H H ν H H ν ν H ν ν ν ν ν H H ν ν ν 4 iπ iπ iπ.9.3.3

36 Pelajari ediri Modified Beel Fuctio yag juga ditemui di berbagai kau Fiika

37 Fugi Beel Sferi Ketika peramaa Helmholtz pada koordiat feri dipiahka, peramaa radial mempuyai betuk: d R dr r r [ k r ] R.3 dr dr ela peramaa ii buka merupaka per. Beel, amu kalau kita ubtitui:.3 Z kr R kr / kr Peramaa mejadi: r d Z dr dz r [ k r ] Z dr.34

38 Tampak bahwa Z merupaka fugi Beel orde ½. Fugi emacam ii dilabelka ebagai fugi Beel feri dega defiii: i j H h i j H h N j π π π π

39 Dalam betuk deret dapat dibuktika:!!!!!! j.39.4

40 Spherical Beel fuctio of t kid, j, for,, Spherical Beel fuctio of d kid,, for,,

41 Kau khuu utuk j! uga utuk buktika!: i co Dega demikia fugi Hakel feri mejadi: i i h i i co e i i h i i co e

42 Hubuga rekuri: Dapat dituruka dari deret atau dari hubuga rekuri fugi Beel yag udah ada, diperoleh: ' f f f f f f Da juga: ] [ ] [ f f d d f f d d Diii f dapat berupa j,, h da h

43 Dari.48 ecara cepat dapat ditujukka buktika!: j j co 3 i 3 co i 3 i 3 co 3 i co da eteruya

44 Dega iduki matematik, dapat diperoleh formula Rayleigh:.5 d d d d j co i Serupa utuk fugi Hakel: e d d i h e d d i h i i.5

45 Pelajari ediri maalah ortogoalita utuk fugi Beel feri. Bayak bermafaat da diguaka pada ormaliai fugi gelombag.

46 Cotoh peerapa di Fiika: Partikel dalam bola Di Mekaika Kuatum erig dibaha problem partikel dalam bola berjari-jari r. Utuk mejelaka hal ii perlu fugi gelombag ψ yag memeuhi: h m ψ Eψ Dega yarat bata ψ memeuhi kodii: a. ψr a berilai tertetu b. ψr>a Hal ii berkorepodei dega poteial a. V utuk r a, da b. V utuk r>a

47 Bagia radial R fugi terebut: d R dr dr me R r dr h r Solui R utuk me me R Aj r B r h h Dapat dibuktika, bahwa: E π h ma

48 Latiha. Dari hubuga rekuri, tujukka fugi Beel feri memeuhi peramaa difereial:. Dari iduki Matematika Raleigh utuk fugi Beel da Neuma feri evaluai j, j, j,da j 3 erta,,,da 3 ] [ ' '' f f f d d d d j co i

49 Ke Bab 3

dokumen-dokumen yang mirip

Bab II Landasan Teori

Bab II Landasan Teori Bab II adaa eori Bab ii meyajika kajia item da teori-teori yag aka medaari da diguaka dalam mecari betuk model tereduki. Beberapa hal yag aka dikaji dalam bab ii adalah item PV da beberapa teori daar yag