BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Teor-teor Umum 2.. Mtemtk Pengertn terhdp konsep dferensl tu turunn dn ntegrl dperlukn untuk memhm persmn meknk. Bgn ln dr mtemtk yng pentng dhubungkn dengn knemtk dlh perkln mtrks dn vektor. Vektor Menurut Anton Howrd [Aljbr Lner Elementer, 5 th ed. Jkrt : Penerbt Erlngg, (997), pge 2], Vektor dlh besrn yng memlk rh, umumny dtunjukkn dengn gmbr nk pnh. D dlm sstem koordnt 2 dmens tu 3 dmens, sutu vektor bs dpech ke dlm komponen yng serh dengn sumbu-sumbu koordnt. Mslny: V (pd gmbr 2.) dlh sebuh vektor yng dpech terhdp sumbu x n sumbu y, msng-msng sebesr Vx dn Vy. Vx dn Vy sendr, msng-msng dlh vektor. Anton et l., mengtkn, Vektor cross product tu hsl kl slng dlh slh stu opers vektor yng mengklkn vektor dengn vektor dn menghslkn vektor bru, opers n dsmbolkn dengn tnd tu cross. Hsl kl slng tu cross product ntr vektor dn vektor b, yng menghslkn vektor c, dsmbolkn dengn c b. besr vektor c dlh: 8

2 c.b.sn (2-) Gmbr 2. Vx dn Vy dlh komponen Vektor V. Gmbr 2.2 c b. dmn dlh sudut ntr dn b yng kurng tu sm dengn 8. Sedngkn rh dr c dlh tegk lurus terhdp bdng yng dbentuk oleh vektor dn b, dengn rh yng dtentukn oleh turn tngn knn. Berkut dlh tentng cross product, dmbl dr Anton Howrd, et l : Jk u (u,u 2,u 3 ) dn v (v,v 2,v 3 ) dlh vektor d rung-3, mk hsl kl slng u v dlh vektor yng ddefnskn oleh s u v ( u v u v, u v u v u v u v ) (2-2) , Penjelsn mengen dferensl, ntegrl, mtrks dn vektor dpt dpeljr dr buku-buku mtemtk umum

3 Mtrks Berdsrkn (Hdley, 992, p5-52), berkut n dlh bgn-bgn yng pentng tentng mtrks: Mtrks ddefnskn sebg susunn pereg pnjng dr blngnblngn yng dtur dlm brs dn kolom. Mtrks druls sebg berkut: M m M m2 L L L L n 2n M mn (2-3) Susunn d ts dsebut sebuh mtrks m kl n (dtuls dengn m x n) kren memlk m brs dn n kolom. Sebg turn, kurung sku [ ], kurung bs ( ), tu bentuk dgunkn sebg btsn dr blngn-blngn yng terdpt dlm sutu mtrks. Kren mtrks pd umumny merupkn susunn blngn-blngn yng berdemens du, mk dperlukn du subskrp untuk menytkn setp elemenny. Dengn perjnjn, subskrp pertm berktn dengn brs, dn yng kedu dengn kolom Opers Mtrks Perkln mtrks dengn sklr dl bl dberkn sebuh mtrks A dn sebuh sklr λ, hsl perkln λ, dn A, dtuls λ A, ddefnskn sebg λ λ λa M λ 2 m L L L L λ λ M λ n 2n mn (2-4)

4 Perkln ntr mtrks dlh bl dberkn mtrks m x n A dn mtrks n x rb, mk hsl kl AB ddefnskn sebg mtrks m x r C, yng elemen-elemenny dhutung dr elemen-elemen dr A,B menurut c j n k k b kj,,..., m, j,..., r. (2-5) dlm hsl kl mtrks AB, A dsebut sebg pengl depn dn B pengl belkng. Hsl kl AB dtentukn hny klu jumlh kolom d A sm dengn jumlh brs d B. Perkln mtrks tdk memenuh semu turn perkln dr blngn-blngn bs slh stu perbedn yng plng pentng dlh kenytn bhw pd umumny perkln mtrks dlh tdk komuttf, ytu: AB dn BA tdk sm. Trnpose Mtrks Berdsrkn (Hdley,992,p65), trnpose dr mtrks A j dlh mtrks yng dbentuk dr A dengn mempertukrkn brs-brs dn kolom-kolom sehngg brs dr mtrks A menjd kolom dr mtrks trnspose dnotskn dengn A T. T A j jk j A (2-6) Penjelsn mengen vektor, mtrks dn trgonometr dpt dpeljr dr bukubuku mtemtk umum. 2.2 Teor-teor Khusus 2.2. Knemtk Fu, K. S., R. C. Gonzles,C. S. G. Lee (987). Robotcs: Control, Sensng, Vson, nd Intellgence, st ed. Sngpore : Penerbt McGrw-Hll, Book Co., pge 6 mengtkn bhw, Knemtk dlh lmu tentng gerk

5 tnp memperhtkn penyebbny slh stuny dlh gy yng mempengruhny, berhubungn dengn geometr dr gerkn. Dlm mengkj knemtk perlu dlkukn deskrps nlss dr penemptn poss secr spsl dr lengn robot sebg sebuh fungs wktu. Secr grs besr, knemtk n membhs tentng hubungn ntr derjt kebebsn msngmsng jont, poss, sert orents dr end effector pd lengn robot. Terdpt du topk pembhsn mendsr pd knemtk lengn robot. Yng pertm dlh Drect (tu forwrd) Knemtcs. Dn yng kedu dlh Inverse Knemtcs (tu rm soluton). Inverse knemtcs kn lebh serng dgunkn dlm pembutn lengn robot kren pd penggunn robot secr rel, pengturn jont-jont tdk lg dutmkn. Yng menjd fokus utm dlh bgmn end effector mencp poss objek dengn bk berdsrkn peletkn referens koordnt frme yng sudh dtentukn. Denvt dn Hrtenberg [995] memperkenlkn pendektn sstemtk dn pendektn umum menggunkn mtrks lgebr untuk menytkn dn menunjukkn geometr spsl pd lnk pd lengn robot dengn frme yng fx. Metode n menggunkn mtrks homogeneous trnsformton 4 x 4 untuk menytkn hubungn spsl ntr du lnk yng berhubungn sert menyederhnkn mslh drect knemtcs pd mtrks trnsforms homogeneous yng berhubungn dengn penemptn spsl dr frme koordnt lengn terhdp frme koordnt referens. Mtrks trnsforms homogeneous jug bergun untuk mencr turunn dr persmn dnmk gerkn lengn robot. 2

6 Secr umum, mslh dlm nverse knemtk dpt dseleskn dengn beberp tehnk. Metode yng plng serng dgunkn dlh mtrx lgebrc, pendektn numerk, dn pendektn geometr. Knemtk sehubungn dengn robotk, yng pertm perlu mendptkn perhtn dlh mtrks rots dn mtrk trnsforms. Mtrks rots dlh mtrks yng memetkn sebuh vektor tu poss pd stu sstem koordnt ke sstem koordnt yng ln dlm gerkn rots. Mtrks trnsforms dlh mtrks yng memetkn sebuh vektor tu poss pd stu sstem koordnt ke sstem koordnt yng ln dengn memperhtkn rots, trnsls, penskln dn perspektf / sudut pndng. Berkutny jug perlu dperhtkn dlh konvens Denvt-Hrtenberg, dkutp dr Fu, K. S. et l., pge 37: dlh sudut pndng pd jont dr sumbu x dengn sumbu z sebg porosny (perputrnny menggunkn turn tngn knn). d dlh jrk dr pust koordnt kerngk/sumbu koordnt ke-( ) ke perpotongn sumbu z dengn sumbu z dengn sumbu x sepnjng sumbu z. dlh jrk/pnjng perpotongn sumbu z dengn sumbu x ke pust kerngk/sumbu koordnt ke- sepnjng sumbu x (tu jrk terpendek ntr sumbu z dn sumbu z ). (lph) dlh sumbu dr sumbu z ke sumbu z dengn poros sumbu x (perputrnny dengn menggunkn turn tngn knn). 3

7 4 Dkutp dr Wlker, M. W., D. E. Orn (982). Effcent Dynmc Computer Smulton Of Robotc Mechnsms. Journl Of Dynmc System, Mesurement, nd control 4, pge 42: Dlm menetpkn koordnt setp lnk, konvens Denvt-Hrtenberg dgunkn. Konvens n menjelskn empt prmeter,, d,,, jont dpt drotskn tu dtrnslskn. Jk jont tu berots,, d,, konstn dn, merupkn vrbel. Jk jont tu bertrnsls,,, konstn dn d merupkn vrbel. Dengn memperhtkn konvers Denvt-Hrtenberg, mtrks trnsforms Denvt-Hrtenberg untuk sstem koordnt yng berdektn A, ytu sstem koordnt dn sstem koordnt, jont rots:,,,, x x z d z T T T A T sn sn sn sn d sn sn sn sn sn sn sn d (2-7) Knemtcs pd perhtungn pergerkn lengn robot sngt dperlukn seln dlht dr ss dnmkny kren knemtcs merupkn dsr pembutn controller / drve unt dr robot. Dengn mempeljr knemtcs mk rncngn model robot dpt dbut sesu dengn perhtungn knemtcs gr

8 ddptkn referens sudut, poss, dn orents yng sesu. Hl yng pentng lnny dlh jug pengruhny terhdp kurs dn keteptn peletkkn end effector pd robot sert orentsny. Dengn menggerkkn msng-msng jont pd sudut tertentu mk kn ddptkn end effector dengn poss dn orents tertentu. Pd drect knemtcs, secr umum yng kn dlkukn dlh menggerkkn sudut pd jont spce dmn kn menghslkn poss dn orents end effector pd Crtesn spce. Sedngkn untuk nverse knemtcs, dr poss yng sudh dtentukn berup Crtesn spce, kn menghslkn output berup pergerkn sudut jont-jont pd lengn robot. Pd bgn wl dsebutkn bhw sptl nformton sert penggmbrn mtemts berup mtrks homogeneous 4 x 4 sngt pentng dlm knemtks. Sptl nformton dlh nforms yng kn dhdp oleh lengn robot berup poss dn orents wl, poss dn orents tujun, sert nforms dr perngkt tmbhn sepert cmer yng memntu kedn sektr sert ktfts pergerkn lengn robot. Informs-nforms nlh yng kn dhdp dlm perncngn sebuh sstem lengn robot, dpndng dr seg knemtcs. Coordnte frme dgunkn untuk menggmbrkn poss reltf dn orents dr objek. Sebuh ttk pd workspce dpt dgmbrkn dlm sebuh frme tu lebh, pd frme 3 dmens {x, y, z} terdpt ttk orgn dn rh sumbu dmn tp bgn lnk dr robot msng-msng memlk frme. Perubhn poss dn orents dr sebuh frme terhdp frme lnny merupkn sebuh pergerkn robot. 5

9 Pergerkn robot merupkn sebuh gbungn pergerkn tp jont yng mempengruhny. Bl gerkn beberp jont tersebut dpndng dr ss end effector sj, mk berdsrkn nforms spsl pergerkn yng dlkukn dlm kenytnny dlh trnsforms, dmn trnsforms yng dlkukn pd umumny dlh gbungn gerk trnsls dn rots. Contoh pd gmbr 2.3 memberkn gmbrn jels perbedn ntr poss dn orents, yng dgmbrkn dlm bentuk 2 dmens. Gmbr 2.3 Poss dn Orents Poss memberkn nforms tentng letk dr objek, kren objek tdk berup sebuh ttk mk penentun poss dlkukn berdsrkn centre of mss dr objek. Poss sebuh objek terhdp objek lnny bl dgmbrkn dlm bentuk 3 dmens mk dwklkn dengn vektor poss mtrks 3 x. 6

10 Z { A} Pz Px P v Py Pz Py Y Px X Gmbr 2.4 Vektor poss Orents dlh nforms tentng rh dr objek. Orents stu objek terhdp objek lnny dpt dgmbrkn dengn mtrks rots 3 x 3. Pd pergerkn rots, sumbu putr dpech menjd 3 bgn, ytu berputr terhdp sumbu z, sumbu x, dn sumbu y. Dlm penerpnny, objek berputr berorents pd ketg sumbu koordnt tg dmens tersebut. 7

11 Rots terhdp sumbu Z R Z sn Gmbr 2.5 Rots terhdp sumbu Z sn, Rots terhdp sumbu X R X, Gmbr 2.6 Rots terhdp sumbu X sn sn 8

12 Rots terhdp sumbu Y Z W φ X φ O U φ snφ R Y, φ sn φ φ Gmbr 2.7 Rots terhdp sumbu Y Pd knemtk lengn robot khususny yng dbhs dlm skrps n bnyk membhs mslh trnsforms, dmn terdr ts pergerkn trnsls dn rots, kedu pergerkn n dtungkn dlm bentuk mtrks yng terpsh ytu mtrks 3x untuk pergerkn trnsls dn mtrks 3x3 untuk pergerkn rots. Untuk mempermudh dlm perhtungn trnsforms, kedu mtrks tersebut perlu dgbungkn, mk dgunkn mtrks trnsforms homogenus 4x4 (2-8). mtrks n terdr dr poss, rots, perspectve dn scle. Dlm perhtungn knemtk yng dbhs dlm skrps n komponen perspectve dn scle dbkn, kren hny menggunkn stu sudut pndng dengn skl yng tetp. 9

13 Homogenous Trnsformton (Fu, K. S. et l., pge 28) T R3x fx 3 3 P3 x rotton S x Perspectve poston Scle (2-8) Pre Multply dlh cr menghtung perkln mtrks untuk mencr poss dn orents dr object dpndng dr sttonry frme tu bse frme, mksudny dlh poss dn orents dr bend tu berdsrkn pd bseny, sehngg jk terjd rots mk perputrn yng terjd dlh perputrn dengn pust perputrn pd koordnt,,. Post Multply dlh cr menghtung pekln mtrks untuk mencr poss dn orents dr object dpndng terhdp own frme, mksudny poss dn orents bend tersebut berdsrkn pd drny sendr, jk bend bukn merupkn ttk mk d lht dr center of mss bend tersebut, sehngg jk terjd rots mk perputrn yng terjd dlh perputrn dengn pust perputrn center of mss dr bend tu sendr Invers Knemtk Knemtk dlh proses menghtung poss pd spce dr end-effector berdsrkn sudut-sudut dr kesemu jont. Cr tersebut dsebut jug drect knemtcs, dn perhtungnny lebh mudh kren hny menghslkn stu solus. Inverse knemtcs dlh seblkny, dberkn poss end-effector, dn yng kn dcr dlh berp besr sudut yng hrus dubh untuk tp jontny untuk dpt mencp poss end-effector tersebut. Hl n kn menjd lebh 2

14 sult., dn d bnyk cr tu bnyk solus untuk mencr besr sudut tersebut. Proses n sngt bergun dlm robotk. Dengn sebuh lengn robot yng sederhn seklpun, jk dr sebuh smuls softwre kt mendpt poss reltf objek terhdp bse, mk dengn perhtungn nvers knemtcs dpt dkethu pergerkn sudut msng-msng jont secr lngsung untuk dpt mencpny. Objek yng kn dmnpuls bsny dgmbrkn dlm rung koordnt 3 dmens berup poss (world coordnte), sedngkn pd lengn robot, koordnt untuk tp jont dgmbrkn dlm rung koordnt jontvrble berup sudut-sudut. Penetpn poss dn orents end-effector pd lengn robot enm xs dpndng dr bse frme dsmbolkn dengn T 6 (2-9). Dengn nvers knemtk dpt menentukn sudut-sudut dr tp jont dr poss end-effector yng dpt dletkkn sesu dengn kengnn pemrogrm robot. T n n x s s x p p y y y y A6 A. A2. A3. A4. A5. A6 (2-9) n z s z z p z x x Dlm bnyk ksus, sngt memungknkn sebuh struktur lengn robot untuk tdk dpt mencp ke objek tujun tu trgetny. Mslkn dlm kehdupn sehr-hr, mnus tdk dpt menyentuh sku dengn jr-jrny, dn mnus tdk mmpu merh dun d pucuk sebuh pohon yng tngg dr 2

15 bwh. Hl n jug terjd pd btsn gerkn lengn robot tu workspce. Trget yng berd d lur rnge lengn robot tentu tdk dpt dcp oleh end effector. Bl lengn robot dpks untuk mencp trget yng tdk mungkn drhny, mk kn berkbt hng tu menjd unstble. Gmbr 2.8 Stu solus Sumber : Jk terdpt du solus, cr n kn mencr gerkn terdekt dr struktur lengn sebelumny. Gmbr 2.9 Du solus Sumber : Bl d lebh dr du jont, kn memungknkn menghslkn bnyk solus untuk mencp trget. Tetp dr sekn bnyk solus yng dhslkn, hny d beberp solus yng terbk untuk dlkukn. Bl struktur lengn sepert pd gmbr 2., untuk mencp poss trget lnny kn d bnyk cr. Tetp kn d beberp cr yng bk, efsen dn cukup cept untuk dlkukn. Tdk d solus yng pst dn optml untuk kedn struktur lengn yng berbed. 22

16 Gmbr 2. Bnyk solus Sumber : Pendektn Geometrs Berdsrkn Fu, Gonzlez dn Lee (987, p6-69), pd cr geometrs, solus dcr dengn menerpkn lmu-lmu geometr dn hukum-hukum trgonometr. Sebg contoh: Gmbr 2. sudut jont Untuk mencr, bs dgunkn lmu-lmu trgonometr, sehngg ddptkn: 23

17 Pz sn (2-) Px + Py + Pz 2 2 Px + Py (2-) Px + Py + Pz sn tn (2-2) Pendektn Algebrc Berdsrkn (Crg, 989, p3-36), pd cr lgebrc, solus dcr dengn cr melkukn penurunn persmn-persmn knemtk dr mtrks trnsforms homogeneous sehngg ddptkn sudut-sudut jont yng dbutuhkn. Sebg contoh, loks dn frme {3} reltve terhdp bse frme {} dlh: T 3 T T 2 2 T 3 (2-3) dmn: T A T 2 A 2 2 T 3 2 A 3 Untuk mencr besrny persmn sudut pd setp jont, bs dlkukn dengn memndhkn elemen dr bgn knn ke bgn kr, sehngg menjd: ( T ) - T 3 T 2 2 T 3 (2-4) ( T ) - T 3 T 3 (2-5) Dengn menggunkn persmn dts, mk bs dcr besrny sudut-sudut jont yng dbutuhkn untuk mencp sutu poss. 24

18 Apbl msh d sudut jont ln yng belum ddptkn, mk pndhkn lg elemen dbgn knn ke kr, sehngg menjd: ( T ) -. ( T 2 ) -. T 3 2 T 3 (2-6) ( T 2 ) -. T 3 2 T 3 (2-7) Dengn bntun persmn dts, mk solus untuk nverse knemtcs bs ddptkn. Pendektn Numerk Pd umumny pendektn numerc tdk mengutmkn dperoleh solus yng tept, tetp mengushkn perumusn metode yng menghslkn solus pendektn yng berbed dr solus yng tept sebesr sutu nl yng dpt dterm berdsrkn pertmbngn prkts, tetp cukup memberkn penghytn pd persoln yng dhdp (Hrjono Djojodhrjo, 2, p3). Pendektn numerk memnftkn komponen Komputer untuk melkukn perhtungn secr berulng-ulng d dlm mendptkn solus nverse knemtcs computer kn menghtung semu kemungknn solus secr berulng-ulng smp ddptkn sutu solus yng sesu untuk sudut-sudut jont yng dbutuhkn gr bs mencp poss dn orents yng dngnkn. Cr numerc memng lebh mudh, nmun menghbskn lebh bnyk wktu kren sftny penggulngnny. Umumy pd solus numerc lgortm dkembngkn untuk mendptkn solus dengn tngkt konvergens yng bk. Apbl cr numerc menghbskn wktu terllu bnyk, mk perlu dpertmbngkn penggunn cr nltk (Crg,989, p9-2). 25