Metode Numerik 1. Imam Fachruddin (Departemen Fisika, Universitas Indonesia)
|
|
|
- Hamdani Iskandar
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Metode Numerk Imm Fchruddn (Deprtemen Fsk, Unversts Indones Dftr Pustk: P. L. DeVres, A Frst Course n Computtonl Physcs (John Wley & Sons, Inc., New York, 994 W. H. Press, et. l., Numercl Recpes n Fortrn 77, nd Ed. (Cmrdge Unversty Press, New York, 99 (onlne / free downlod:
2 Is kr fungs solus sstem persmn lner fttng dengn lest squre nterpols ntegrs persmn dfferensl
3 Akr Fungs f(? kr fungs f( Contoh: - dn (-( Pd du contoh d ts kr fungs dpt dcr secr nltk. / dn - Secr umum, tdk sellu egtu kednny.
4 Prolem: Seuh lmpu dpsng d pnggr seuh prngn erjr-jr cm. Seuh plt ercelh sempt dletkkn d dekt prngn tu. Tept d elkng celh tu dpsng seuh sensor chy yng menghdp tegk lurus ke celh. Prngn dputr konstn rd/s dn plt esert sensor dgeser lurus konstn cm/s. St n poss celh dn lmpu sepert pd gmr. Kpn sensor chy menerm chy ternyk? Sensor menerm chy ternyk pd st poss lmpu dn celh mementuk grs tegk lurus terhdp plt, sepert pd gmr. r cos (ωt vt r lmpu gmr gmr ω celh plt v sensor cos (t t?
5 Plot cos( dn : Grfk n menunjukkn hw cos( pd sedkt kurng dr.75. Bskh leh kurt lg? Cr secr numerk kr fungs dr f( cos( -
6 Bsecton Prnsp: Kurung kr fungs d ntr du ts, llu pruh ts tu terus menerus smp ts tu sedemkn sempt dn dengn demkn loks kr fungs dkethu dengn kekurtn tertentu. Lngkh:. Perkrkn kr fungs (s dengn cr memplot fungs. kr fungs. Tentukn ts wl yng mengurung kr fungs.. Belh du derh ers kr fungs tu. df e c 4. Tentukn derh yng ers kr fungs. 5. Ulng lngkh dn 4 smp dnggp cukup. 6. Tentukn kr fungs. Bts e, f tu nl d tenghny s dplh seg kr fungs.
7 Menentukn derh yng ers kr fungs: Jk z merupkn kr fungs, mk f( < z dn f( > z slng ered tnd. f(*f(c negtf, errt d ntr & c d kr fungs. f(*f(c postf, errt d ntr & c tdk d kr fungs f( c z Menentukn kpn proses pencrn kr fungs erhent: Proses pencrn kr fungs dhentkn setelh kekurtn yng dngnkn dcp, yng dpt dkethu dr keslhn reltf semu. keslhn reltf semu perkrn seelum - perkrn erkut perkrn erkut
8 Keslhn keslhn mutlk perkrn nl seenrny keslhn reltf perkrn nl seenrny nl seenrny Dlm perhtungn numerk, nl seenrny justru serng tdk dkethu, yng ddpt hny perkrn terk. Kren perkrn lngkh erkut dnggp leh kurt, ytu leh mendekt nl seenrny, mk keslhn yng dhtung ytu: keslhn mutlk semu perkrn seelum perkrn erkut keslhn reltf semu perkrn seelum - perkrn erkut perkrn erkut
9 Newton-Rphson Prnsp: But grs snggung kurv f( d ttk d sektr kr fungs. Ttk tempt grs snggung tu memotong grs nol dtentukn seg kr fungs. f( kr fungs yng dperoleh kr fungs seenrny p( grs snggung kurv f( d ttk f(
10 f( c p( Dperoleh: p( f( ( f'( (f ( turunn pertm f( pd p(c c f( f'(
11 Lngkh: f(. Perkrkn kr fungs.. But grs snggung pd ttk sesu kr fungs yng dperkrkn tu, llu cr ttk potongny dengn grs nol. kr fungs seenrny c. Ttk potong tu merupkn perkrn kr fungs ru. 4. Ulng lngkh dn smp dnggp cukup. f( 5. Ttk potong grs nol dn grs snggung kurv yng terkhr dnytkn seg kr fungs. c f( f'( c
12 Contoh perkrn kr fungs wl yng k perkrn kr fungs mkn mendekt kr fungs seenrny. f( Contoh perkrn kr fungs wl yng uruk perkrn kr fungs mkn menjuh kr fungs seenrny. f(
13 Menghtung kr fungs dengn metode Newton-Rphson: f( f'( (,,,...; keslhn reltf semu: rel Penghtungn dhentkn jk keslhn reltf semu sudh mencp / melmpu ts yng dngnkn.
14 Keceptn Konvergens Pencrn kr fungs dmul dengn perkrn kr fungs yng pertm, llu dkut oleh perkrn erkutny dn seterusny smp perkrn yng terkhr, yng kemudn dnytkn seg kr fungs hsl perhtungn terseut. Proses tu hrus ersft konvergen ytu, selsh perkrn seelum dr yng setelhny mkn lm mkn kecl. Setelh dnggp cukup, proses pencrn kr fungs erhent. > > 4... n n ε (ε lngn kecl Keceptn konvergens seuh proses ytu, keceptn proses tu untuk smp pd hsl khr.
15 Contoh pencrn kr fungs dengn metode Bsecton: kr fungs 4 Jk ε, mk dr gmr dperoleh: ε, ε, ε 4 ε ε, ε ε Keceptn konvergens ersft lner: ε ε
16 Pd metode Newton-Rphson: f( f'( ε f( f( ε? f'( f'( ekspns deret Tylor: f( f( ε f( εf'( ε f''(... f' ( f'( ε f'( εf''(... ε f( εf'( f''( ε f'( f( εf'( f'( ε f'( εf''(... ε f''(... f''( Keceptn konvergens pd metode Newton-Rphson ersft kurng leh kudrtk: ε f''( ε f'( Dengn egtu, metode Newton-Rphson leh cept dr metode Bsecton.
17 Contoh hsl pencrn kr fungs untuk sol cos( : metode kr f(kr jumlh lngkh Bsecton E-6 Newton-Rphson E-9 4 Keterngn: Pencrn kr erhent jk keslhn reltf semu sm tu kurng dr.e-5. Bts wl kr dn knn untuk metode Bsecton.7 dn.75. Perkrn kr fungs pertm untuk metode Newton-Rphson.7.
18 Solus Sstem Persmn Lner Sstem persmn lner: n n n n n n nn n n n n n n uh persmn dengn n uh unknown j j dn dkethu, j,,, n j?
19 Sol: y z 6 y z y z ( ( ( persmn dn unknown Jw: y z 6.5y z.5y z ( ( ( elmns : pers. (.5 pers. ( pers. (.5 pers. ( y z 6.5y z 8z 8 ( ( ( elmns y: pers. ( 5 pers. ( z z y.5 6 y z susttus mundur: pers. ( mencr z pers. ( mencr y pers. ( mencr
20 Dlm entuk mtrks: Sol: Jw: 6 z y 6 z y z y 8.5 z y 6.5 z y z
21 Elmns Guss Metode Elmns Guss mencr solus seuh sstem persmn lner dengn cr sepert dtunjukkn pd contoh seelum n: n n nn n n n n n n k,...,n,...,n;j k ;,...,n (k, (k k (k- kk (k- k (k (k (k- kj (k- kk (k- k (k- j (k j ( j ( j (n- n ( ( ( n (n- nn ( n ( ( n ( ( ( n ( ( ( hlmn erkut j (m (m j,, pd lngkh ke m
22 ,...,n (j (n-j- n-j,n-j n n-j k k (n-j- n-j,k (n-j- n-j j n (n- nn (n- n n (n- n ( ( ( n (n- nn ( n ( ( n ( ( ( n ( ( ( Susttus mundur:
23 A X B tu AX B Jd, metode Elmns Guss terdr dr du thp:. trnguls: menguh mtrks A menjd mtrks segtg (mtrks B dengn egtu jug eruh. susttus mundur: menghtung mengkut urutn terlk, dr yng terkhr ( smp yng pertm ( n
24 Ksus Beerp Sstem Persmn Lner Pd ksus yng leh umum s sj terdpt eerp sstem persmn lner dengn nl B yng erlnn, nmun memlk nl A yng sm. Dlm entuk mtrks sstem sepert n dtulskn seg: A X B tu AX B Keterngn: A mtrks n n, X dn B mtrks n m, dengn m jumlh sstem persmn lner, n jumlh persmn / unknown dlm tp sstem persmn terseut Tp kolom mtrks X merupkn solus untuk kolom yng sm pd mtrks B. Lngkh dn rumus pd metode Elmns Guss erlku sm untuk ksus n. Hny sj, d sn mtrks X dn B terdr dr eerp kolom, ukn hny stu.
25 Contoh du sstem persmn lner yng memlk nl A sm tp B ered. n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n nn n n n n n n
26 Metode Elmns Guss:,...,m k,...,n;r j,...,n; k ;,...,n (k,...,m,...,n;r (,j, (k kr (k- kk (k- k (k r (k r (k- kj (k- kk (k- k (k- j (k j r ( r j ( j r j (m r (m j,, pd lngkh ke m rumus trnguls: rumus susttus mundur:,...,m ;r,...,n (j,...,m (r (n-j- n-j,n-j n n-j k kr (n-j- n-j,k (n-j- n-j,r j,r n (n- nn (n- nr nr
27 Cttn: Dlm rumus-rumus metode Elmns Guss terdpt pemgn oleh elemen dgonl mtrks ytu, oleh elemen dgonl mtrks A. Jk secr keetuln elemen dgonl tu nol, mk kn tmul error. Kren tu, pd setp lngkh dlm proses trnguls mtrks A perlu dlkukn pemerksn, pkh elemen mtrks A yng ersngkutn sm dengn nol. Jk ernl nol, mk rs ers elemen dgonl nol tu hrus dtukr dengn slh stu rs setelhny, sehngg elemen dgonl menjd ukn nol. Peruhn rs pd mtrks A hrus dsert peruhn rs yng sm pd mtrks B.
28 Sol: Jw: rs dtukr dengn rs
29 Dt Fttng dengn Metode Lest Squre f( Keterngn: p( f( mewkl dt;,, N; N jumlh dt p( merupkn fungs yng dcocokkn (ftted terhdp dt f( Sft fttng: tdk sellu p( f( untuk semu.
30 Prnsp penentun fungs p(: p( merupkn polnoml orde m: p( m m j... m j j (Secr umum, p( jug s merupkn polnoml entuk yng ln sepert, polnoml Legendre. Selsh ntr p( dn f( untuk ttk dt tertentu: j f( p( f( j m j (,...,N Jumlh kudrt selsh ntr p( dn f( untuk semu ttk dt: S N N ( f( p( f( N m j j j Fungs p( dtentukn dengn mencr nl S ernl mnmum. j (j,, m yng memut
31 Ttk Mnmum g( g( merupkn ttk mnmum jk: dg( d dg( d dn d g( d > Spesl: fungs kudrtk g( c dg( d d g( d g( memlk stu ttk mnmun jk > tu selkny stu ttk mksmum jk <.
32 S merupkn fungs kudrtk dlm j (j,, m: N m N m j j (,..., f( ( S... m j j f ( j j S (,..., k m N f( m j j j k ( k,...,m S (,..., k m N k > ( k,...,m S memlk stu ttk mnmum pd nl j (j,, m tertentu.
33 Mencr j (j,, m: S (,..., k m N f( m j j j k ( k,...,m m N j N j k k j f( ( k,...,m Defnskn: c N N j k k kj k f( mk dperoleh seuh sstem persmn lner: c ( k,...,m m j kj j k dlm entuk mtrk: C A B tu CA B Jd, (j,, m dperoleh seg solus persmn lner CA B. j
34 Contoh: Terdpt tg dt f( ytu, f(, f( 7 dn f(. Cr fungs p( yng dpt melukskn dt tu. Dr dt tu jels p( ukn fungs lner. Jd, dco fungs kudrtk: p( Sstem persmn lner untuk mencr j : 7 f( p( Jd, p( 5( 5 Cek: p(, p( 7, p( OK!
35 Contoh: Kut medn lstrk E d sektr seuh end erentuk lempeng dukur pd jrk cm dr pust mssny dn rh yng ervrs. Arh dnytkn dlm sudut θ terhdp sumu y yng dtetpkn seelum pengukurn. Dperoleh dt seg erkut: θ [derjt] E [V/cm] y θ E Cr fungs p( yng dpt melukskn dt tu.
36 Dco eerp polnoml dengn orde ered, dperoleh: m : E - 5 m 5: E E E - S.9E E E E E E E - 8 S 8.57E -5 m 9: E E E E E E E E E E-4 S.758E - m 7: E E E E E E E E- S.69E-7
37
38 Interpols f( Keterngn: p( f( mewkl dt;,, N; N jumlh dt p( merupkn fungs nterpols erdsrkn dt f( Sft nterpols: p( f( untuk semu.
39 Interpols Lgrnge Dgunkn p(, sutu polnoml erorde m N, dengn N jumlh dt: p( N-... N- f( Nl dt: (,, N- dtetukn dengn menetpkn hw untuk semu ttk Jd, dperoleh persmn lner: p( p( p(... p( N p( f( N (,...,N... N N- N-... N- N- N- N- N- N- N f( f( f( f( N dn (,, N- dperoleh seg solus dr persmn lner tu.
40 N : f( f( f( f( f( p( f( p( f( f( p( N : f( p( f( p( f( p( ( ( ( f( ( f( ( f( ( ( ( ( f( ( f( ( f( ( ( ( ( f( ( f( ( f( ( f( f( f( p(
41 N l(, f( p( Secr umum, untuk N dt rumus nterpols Lgrnge: j j j l(, Untuk (k,, N: k k (, k (,, l( j k k j j j j j j k k f( p( δ, l( k k k k
42 Pd gn seelum n nterpols menggunkn seluruh N dt f( yng tersed, yng errt menggunkn polnoml p( erorde N-. Perlukh memk semu N dt yng d? Kn, msl N 4 dn erd d sektr, mk dperoleh: l(, l(, Dpt dlht hw, l(, l(, l(, l(, l(, l(, 4 < < < In errt, semkn juh dr pengruh dt f( semkn kecl dlm menentukn nl p(. Dt yng pentng ytu yng erd d sektr ttk. Kren tu, cukup dt-dt d sektr ttk yng dgunkn. Dengn kt ln, untuk nterpols cukup dgunkn polnoml p( erorde rendh, contoh erorde (fungs kuk.
43 Interpols Lgrnge Kuk Interpols Lgrnge Kuk menggunkn polnoml p( erorde seg fungs nterpols: p( f( j Untuk mencr nl (j,,, dperlukn 4 dt f( d sektr : ( ;,,, f(, f(, f(, f( - untuk mementuk sstem persmn lner: j j j f(j ( j,,, Lngkh pertm dengn egtu, menentukn j (j,,, dengn melht poss d ntr ttk dt (,, N. Dperoleh p( k l(, jf(j l(,j j k j j k
44 Interpols Multdmens Jk dt ergntung pd leh dr stu vrel, mk dlkukn nterpols multdmens. Metode nterpols yng telh dsmpkn s dpk untuk melkukn nterpols multdmens. Seg contoh d sn dtunjukkn nterpols dmens. Untuk dmens leh tngg erlku cr yng sm. p(, y n m S(, S(y,yjf(, yj j Pd contoh d ts, nterpols menggunkn (n m dt f(,y. Interpols dlkukn per dmens: Untuk stu ttk dt tertentu dlkukn nterpols d sepnjng sumu y, hl yng sm dlkukn untuk semu ttk dt yng ln. Prnsp yng sm erlku untuk nterpols erdmens leh tngg.
45 Contoh, nterpols Lgrnge kuk: j s s j s j k k k j j j y y y y y l(y, l(, y f(, y l(y, l(, y p(,
46 Keml ke contoh prolem lest squre: Kut medn lstrk E d sektr seuh end erentuk lempeng dukur pd jrk cm dr pust mssny dn rh yng ervrs. Arh dnytkn dlm sudut θ terhdp sumu y yng dtetpkn seelum pengukurn. Dperoleh dt seg erkut: θ [derjt] E [V/cm] y θ E Dengn nterpols, cr nl p( d sepnjng ttk dt.
47
48 Integrs Menghtung lus derh d wh kurv: f( f( nltk numerk f( d wf( I N f( d wf( Integrl numerk serng dseut jug seg qudrture; ntegrs numerk dseut seg ntegrs dgn menjumlh qudrture.
49 Mesk tdk terlht pd rumus khr, pd ntegrs numerk ntegrnd f( dnterpols dengn sutu polnoml: I N f( d wf( f( p( polnoml Akn dhs: qudrture trpezod qudrture Smpson
50 Qudrture Trpezod Kurv ntegrnd f( dnterpols dengn seuh grs lurus (f( dnterpols dengn fungs lner / polnoml orde : I N f( d p(d wp(, p( r s f( Untuk menrk grs lurus dperlukn mnml ttk, dplh ttk f( dn f(: p( p( f(, p( f( p(d
51 Dengn dkethu hny p( dn p( (r dn s tdk dcr, mk ntegrs numerk dkerjkn untuk N : p( d wp( wp( wp( wp( wp( w,w? Mencr dn w : p( r w s r(- s( (r sd w (r s w r(w w s(w (r s w w w w w - ( w w ( Rumus qudrture trpezod: I h f( d ( f( f( (h lus trpezod (lht gmr
52 Qudrture Smpson & Boole Cr yng sm sepert pd qudrture trpezod s dpk untuk polnoml p( orde leh tngg. Contoh, qudrture Smpson memk p( fungs kudrtk / polnoml orde untuk mengnterpols ntegrnd f(: c c N f( d p( d I wp(, p( r s t f( Untuk memut kurv kudrtk dperlukn mnml ttk, dplh ttk f(, f( dn f(c: p( p( f(, p( f(, p(c f(c c dengn p( d c
53 (c w c w w (c cw w w c- w w w w c w w t( cw w s(w w w r(w t(c s(c r(c- tc sc (r w t s (r w t s w (r d t s (r c t s r p( (c w (c 6 w w Integrs numerk dkerjkn untuk N : w p(c p( w w p( wp( d p( c?,w,w w Mencr : w, w,w
54 Dperoleh Rumus qudrture Smpson: I f( d ( f( 4f( f(c c h c dengn h ytu jrk ntr ttk tempt f( dhtung: h c Dengn cr yng sm, menggunkn p( polnoml orde dperoleh rumus qudrture Smpson 8 : I d h 8 f( d ( f( f( f(c f(d d- h c d c dn dengn p( polnoml orde 4 rumus qudrture Boole: I e f( d h 45 ( 7f( f( f(c f(d 7f(e h e - 4 c d c e d
55 Integrs Kompost Polnoml orde rendh memd untuk mengnterpols seuh fungs dlm derh yng sempt. Untuk derh yng ler dperlukn orde yng leh tngg. Alterntf ln ytu, memg derh fungs yng ler tu dlm eerp derh yng sempt, llu d tp derh yng sempt tu dgunkn polnoml orde rendh untuk nterpols. Qudrture trpezod dn Smpson pd dsrny memd untuk derh ntegrs yng sempt, nmun dengn memg derh ntegrs dlm eerp derh yng sempt, mk qudrture trpezod dn Smpson s dpk jug untuk derh ntegrs yng ler. Integrl totl merupkn jumlh semu ntegrl untuk derh yng sempt. Integrs sepert n dseut ntegrs kompost. Bergntung pd ntegrnd f(, derh ntegrs yng ler s dg dlm eerp derh sempt yng sm tu ered pnjng. Jug, semu ntegrl untuk derh yng sempt s dhtung menurut rumus qudrture yng sm, msl semuny trpezod, tu ered-ed, sesu kurv d tp derh sempt tu. Ksus sederhn ytu, l derh ntegrs dg sm pnjng dn untuk tp derh dgunkn rumus qudrture yng sm.
56 Contoh, derh ntegrs [,] dg dlm N gn sm pnjng. I d d f( d f( d f( d... f( d f( d d -d -d -d d N ntegrs kompost menggunkn qudrture trpezod I f( d h [ ( f f f f... f ] h, f f( h,,...,n N N N ntegrs kompost menggunkn qudrture Smpson I f( d h [ ( f f ( f f... f f f... f ] N h, f f( h,,...,n N N 4 N
57 f( Integrs kompost trpezod untuk derh ntegrs [,] yng dg 8 sm pnjng: h ( [ ] f f f f f f f f f h f( d I
58 Integrs kompost yng menggunkn qudrture trpezod dn Smpson; derh ntegrs [,] yng dg : f( h h f( d h c c c h ( f f f ( f 4f f I trpezod Smpson c h h h
59 Integrs Monte Crlo Mungkn sj cr-cr ntegrs numerk yng sudh dsmpkn sult tu tdk s dterpkn untuk mengevlus sutu ntegrl. Pd kedn n, ntegrs Monte Crlo dpt dplh. Integrs Monte Crlo tdk menggunkn nterpols sepert pd cr-cr ntegrs numerk seelum n. Integrl dnggp seg stu perseg pnjng, dengn ler derh ntegrs dn tngg nl rt-rt ntegrnd f(, yng dperoleh mellu sttstk dengn memnftkn lngn ck: f( n < f( > f( n lngn ck : <f(> (-<f(> I n f(d (- n f(
60 Persmn Dfferensl Persmn dfferensl (PD yng dmksud ytu persmn dfferensl s, ukn persmn dfferensl prsl, untuk orde dn. Du mslh yng kn dhs ytu: PD dengn syrt wl PD dengn syrt ts
61 PD dengn Syrt Awl dy Bentuk umum PD orde : y' f(, y d Dkethu: y( y y(? Integrs: y dy y y( y f(, yd f(, yd Mslh persmn dfferensl eruh menjd mslh persmn ntegrl. Dcr y( pd ttk h : y( h y h f(, yd Setelh y( h ddpt, selnjutny dcr y( h. Demkn seterusny.
62 Metode Euler Menurut metode Euler: f(,y f(, y f(,y dnggp konstn dn dhtung pd. h Dperoleh: y( y( h yg dperoleh y( h y f(, y d y hf(, y h y h y( h seenrny
63 Metode Euler yng Dmodfks f(,y Modfks dlkukn dlm memlh nl f(,y yng dnggp konstn. Dplh f(,y pd ttk h : Dperoleh: f( h, y( h dengn y( h metode Euler: dhtung memk y( h y hf(, y y( h h f( h, y( h y( h yg dperoleh y( h y y hf( hf( h, y( h, y h hf(, y y h y( h seenrny h
64 Metode Euler yng Leh Bk (Improved Kl n dpk nl f(,y yng merupkn rt-rt dr du nl f(,y, msng-msng pd ttk dn h : [, y f( h, y( h ] f( In sm dengn menggunkn qudrture trpezod untuk mengevlus ntegrl: f(,y h [, y f( h, y( h ] f(, yd h f( h dengn y( h dhtung memk metode Euler: y( h y hf(, y Dperoleh: y( h y y [, y f( h, y( h ] [, y f( h, y hf(, y ] h f( h f(
65 PD Orde d y Bentuk umum PD orde : y' ' f(, y, y' d Dkethu: y( y, y'( y' y(? Defnskn fungs ru u: u y' u y' y' u(, y u' f(, y,u Mslh PD orde eruh menjd mslh PD orde.
66 Contoh penyelesn dengn metode Euler yng leh k (mproved: u' f(, y,u y' u(, y u( h f f u f( f(, y ( f y( h y h( u u h f,u h, y hu,u u u u y' hf Alur perhtungn: y, u f u f, y( h, u( h h, u( h u, y( h y
67 PD dengn Syrt Bts Contoh, gelomng yng mermt d sepnjng tl s dgmrkn dengn PD orde. Jk ujung-ujung tl tu dkt sehngg tdk s ergerk, mk kt temu ksus PD dengn syrt ts. terkt terkt Bentuk umum PD orde & lner: ( ( y' f(, y d( e(y y'' g(, y, y' ( (y c(y' Dkethu: y( y( y n y n n y(? n Dcr y y( pd ttk h (,...,n dengn h. n
68 Metode Fnte Dfferences ( ( y' e(y d( y'' c(y' (y ( ( ( y' ey d y'' y'' cy' y y' y y y h y h y ( ( y y y h h y e y y d c y y h y Jd, pd khrny dtemu mslh sstem persmn lner: ( ( y ehy ch y y dh ch ( h y y h yng dpt dseleskn menggunkn metode, contoh, Elmns Guss. Nmun, sstem persmn lner jug dpt dseleskn dengn cr ln ytu, ters. Contoh: ters Jco dn ters Guss-Sedel.
69 Iters Jco sstem persmn lner: n j j j (,...,n solus: n j j j Pencrn solus dmul dengn nl wl (,, n hsl perkrn / ( tekn. Dengn nl tek wl n dperoleh nl perkrn erkut mellu: Pencrn dhentkn setelh ddpt nl yng konvergen ytu, yng tdk tu sedkt eruh dr nl yng dperoleh pd lngkh seelumny: ( n ( ( j j (,...,n j Demkn seterusny erulng-ulng, nl perkrn pd lngkh ke k dperoleh dr nl perkrn pd lngkh ke k-: n (k (k- j j (,...,n j (k- < ε, ε lngn (k kecl
70 Iters Guss-Sedel Rumus ters Jco dpt dtuls: (k (k- jj j< j> j (k- j Jk pd tp lngkh pencrn dlkukn dengn urutn yng mkn esr, (k (k mk semu sudh dperoleh ketk mencr. j < Selkny, jk dlkukn dengn urutn yng mkn kecl, mk semu (k sudh dperoleh ketk mencr. (k < (k > (k Kren tu, nl j tu j tu s lngsung dpk untuk mencr, sehngg ters mencp nl konvergen menjd leh cept: (k j > (k (k j< j< j j (k j (k- j j> j> j j (k- j (k j (,,...,n ( n,...,, Iters sepert n dseut ters Guss-Sedel.
71 Seelum n dkenl metode Elmns Guss dn LU Decomposton untuk mencr solus seuh sstem persmn lner. Pd metode n terdpt susttus mundur dn mju. Pd susttus mundur (mju, nl dhtung dr nl (, sehngg keslhn j > j < (ketdkkurtn pd j > ( j < terkumuls pd. Dengn kt ln, terjd permtn keslhn. Pd metode ters tdk terdpt permtn keslhn sepert tu. Semu elemen dlht secr sm. Pd tp lngkh dlkukn pemerksn konvergens untuk semu elemen. Jd, untuk tp elemen terdpt kesemptn yng sm untuk mencp kekurtn yng dngnkn. Nmun, pd metode ters d kehrusn menentukn nl wl, yng s sj sult dlkukn tu menmulkn mslh, mslny memut ters terllu lm mencp konvergens.
72 Aplks Iters Jco dn Guss-Sedel pd PD dengn Syrt Bts PD orde : PD orde : ( ( Iters Jco: y' d( e(y y'' ( (y c(y' ( ( y y (k (k eh y (k- (k- ( dh y y - h ehy ch y ch y (k- y ch ( h y y h dh ch y ( - h Iters Guss-Sedel (contoh untuk memesr,,, n-: (k- ( ( y y (k (k eh (k (k- ( dh y y - h ch y ch y (k- ( - h (k Cttn, sesu syrt ts: y (k (k y yn yn
Metode Numerik 1. Imam Fachruddin Departemen Fisika, Universitas Indonesia
Metode Numerk Imm Fchruddn Deprtemen Fsk, Unversts Indones Untuk dpk dlm kulh Komputs Fsk Dpt dunduh dr http://stff.fsk.u.c.d/mmf/ Metode Numerk Imm Fchruddn Deprtemen Fsk, Unversts Indones Dftr Pustk:
BAB 6 FITTING DATA ˆ (6.1) (6.2) (6.3) =. Nilai akan. akan minimum jika. minimum. Misal. 0. Jika ini dikerjakan maka akan diperoleh nilai
BAB 6 FITTIG DATA Atu dseut dengn penookn dt tu menentukn kurv terk ng mellu set dt (sekumpuln dt) dengn keslhn mnmum. Ukurn keslhn dlh E (root men squre, kr kudrt rt-rt). Ad eerp mm pol fttng dt: menurut
MATEMATIKA TEKNIK 2 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS Integrl Fungs Kompleks 4 INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Sepert hlny dlm fungs rl, dlm fungs kompleks jug dkenl stlh ntegrl fungs kompleks sert sft-sftny Sft kenltkn
Metode Numerik. Regresi. Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2008 PENS-ITS
Metode Numerk Regres Um S dh Polteknk Elektronk Neger Surb 008 PENS-ITS 1 Metode Numerk Topk Regres Lner Regres Non Lner PENS-ITS Metode Numerk Metode Numerk Regres vs Interpols REGRESI KUADRAT TERKECIL
Koefisien Regresi / persamaan regresi linier digunakan untuk meramalkan / mengetahui besarnya pengaruh variabel X terhadap variabel Y
REGRESI Koefsen Regres / persmn regres lner dgunkn untuk mermlkn / mengethu esrny pengruh vrel terhdp vrel Vrel yng mempengruh ddlm nlss regres dseut vrel predktor ( ) Vrel yng dpengruh dseut vrel krterum
Metode Numerik. Imam Fachruddin (Departemen Fisika, Universitas Indonesia)
Metode Numerk Imm Fchruddn (Deprtemen Fsk, Unversts Indones Dftr Pustk: P. L. DeVres, A Frst Course n Computton Phscs (John We & Sons, Inc., New York, 994 W. H. Press, et.., Numerc Recpes n Fortrn 77,
7. APLIKASI INTEGRAL. 7.1 Menghitung Luas Daerah. a.misalkan daerah D = {( x, Luas D =? f(x) Langkah : Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh
7. APLIKASI INTEGRAL MA KALKULUS I 7. Menghtung Lus erh.mslkn erh {(,, f ( ) Lus? f() Lngkh :. Irs menj n gn n lus stu uh rsn hmpr oleh lus perseg pnjng engn tngg f() ls(ler) A f ( ). Lus hmpr oleh jumlh
Metode Numerik. Imam Fachruddin Departemen Fisika, Universitas Indonesia
Metode Numerk Imm Fchruddn Deprtemen Fsk, Unversts Indones Untuk dpk dm kuh Anss Numerk Dpt dunduh dr http://stff.fsk.u.c.d/mmf/ Metode Numerk Imm Fchruddn Deprtemen Fsk, Unversts Indones Dftr Pustk:
Aljabar Linear dan Matriks (Transformasi Linier dan Matriks) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
ljr Lner dn Mtrks (Trnsforms Lner dn Mtrks) Instruktur : Ferry Whyu Wowo SS MCs Penjumlhn Perkln Sklr dn Perkln Mtrks j : unsur dr mtrks d rs dn kolom j Defns Du mtrks dlh sm jk keduny mempuny ukurn yng
KALKULUS BUKAN SEKEDAR KALKULASI. Hendra Gunawan Kampus UNJ, 21 November 2015
KALKULUS BUKAN SEKEDAR KALKULASI Hendr Gunwn Kmpus UNJ, 21 Novemer 2015 MENGAPA KALKULUS? APA YANG DIGARAP? c) Hendr Gunwn 2015) 2 Isc Newton 1643 1727) & Keceptn Sest Mslkn seuh prtkel ergerk sepnjng
Pemain P 1. Teorema 4.1 (Teorema minimax). Untuk setiap matriks pembayaran (pay off matrix), terdapat strategi optimal x* dan y* sedemikian sehingga
Rset Opers Probblstk Teor Permnn (Gme Theor) Deprtement of Mthemtcs FMIPA UNS Lecture 4: Med Strteg A. Metode Cmpurn (Med Strteg) D dlm permnn d mn permnn tersebut tdk mempun ttk peln, mk pr pemn kn bersndr
LUAS DENGAN PARTISI SEGITIGA UNTUK FUNGSI CEKUNG
Posdng Semt05 dng MIPA BKS-PTN Bt Unvests Tnjungpu Pontnk Hl 7 - LUAS DENGAN PARTISI SEGITIGA UNTUK FUNGSI CEKUNG Jun Lest Nengsh *, Symsudhuh, Lel Deswt Juusn Mtemtk Unvests Ru, Ru jun.lest@gml.om, Kmpus
12 Langkah Penyelesaian Pendekatan
Meto Elemen Hngg Dlm Hrulk B 4 Dsr eu: Lngkh Penyelesn Penektn Ir. Djoko Luknnto, M.S., Ph.D. mlto:luknnto@ugm.. Revew (hl.96) Anlss yng utuhkn: Û(;) hrus r Integrs Resul rter Optms p R(;) untuk menentukn
BAB VI ANALISIS REGRESI
BAB VI ANALISIS REGRESI A. Pedhulu Alss regres merupk slh stu lss yg ertuju utuk megethu pegruh sutu vrel terhdp vrel l. Vrel yg mempegruh dseut depedet vrle/vrel es () d vrel yg dpegruh dseut depedet
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
FISIKA. Sesi INDUKSI MAGNETIK A. KAWAT LURUS BERARUS
FISIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 07 Ses NGAN INDUKSI MAGNETIK Pd bd kesembln bels, Hns Chrstn Oersted (777-85) membuktkn keterktn ntr gejl lstrk dn gejl kemgnetn. Oersted mengmt st jrum kmps dtempelkn
BAB IV METODA ANALISIS RANGKAIAN
6 BAB METODA ANALSS RANGKAAN Metod nlss rngkn sebenrny merupkn slh stu lt bntu untuk menyeleskn sutu permslhn yng muncul dlm mengnlss sutu rngkn, blmn konsep dsr tu hukum-hukum dsr sepert Hukum Ohm dn
IV PEMBAHASAN DAN HASIL
5 mngs erkurng seesr r untuk setp K ertmhny stu nvu mngs kren ny ketertsn y ukung lngkungn n seesr c kt mngs oleh pemngs. Besrny tngkt pemngsn pengruh oleh tngkt kepusn pemngs seesr m. erkhr erkurng seesr
BAB 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ORDE TINGGI
BAB 5 PESAMAAN DIFEENSIA HOMOGEN ODE TINGGI 5. Pendhulun Metode penyelesn persmn dferensl orde stu dn du yng telh dbhs dpt dpergunkn untuk persmn dferensl homogen untuk orde n dengn persmn krkterstk sepert
PRAKTIKUM 10 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Seidel
Prktkum 0 Peyeles Persm Ler Smult - Metode Elms Guss Sedel PRAKTIKUM 0 Peyeles Persm Ler Smult Metode Elms Guss Sedel Tuu : ler smult Mempelr metode Elms Guss Sedel utuk peyeles persm Dsr Teor : Metode
7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
CATATAN KULIAH Pertemuan XIII: Analisis Dinamik dan Integral (1)
CATATAN KULIAH Pertemu XIII: Alss Dmk d Itegrl () A. Dmk d Itegrs Model Stts : mecr l vrel edoge yg memeuh kods ekulrum tertetu. Model Optms : mecr l vrel plh yg megoptms fugs tuju tertetu. Model Dmk :
f 1 f 2 f 3 η(t) α(f 2 ) a(f 1 ) 2a(f) Metode Least Square untuk Analisis Harmonik
Meode Les Squre unuk nlss Hrmonk Secr umum meode Les Squre mencr koefsen seuh rumus yng dhrpkn dp mendek suu gel d lpngn semksml mungkn. Dengn demkn meode n sellu erpsngn dengn seuh model persmn yng dusulkn
Bab 4 ANALISIS REGRESI dan INTERPOLASI
Als Numerk Bh Mtrkuls B 4 ANALISIS RGRSI d INTRPOLASI 4 Pedhulu Pd kulh k dpeljr eerp metde utuk mempredks d megestms dt dskret Dr sutu peelt serg dlkuk peglh dt utuk megethu pl dt tu etuk kurv g dggp
x 1 M = x 1 m 1 + x 2 m x n m n = x i
Iterl Tertetu..6 oe d ust ss Ttk Bert slk d du ed s-s elk ss sesr d y dletkk pd pp er de jrk erturut-turut d d d dr ttk pey pd - y ered. Ked terseut k se jk dpeuh d d. d d Sutu odel tets y k dperoleh pl
Solusi Sistem Persamaan Linear
Sos Sstem Persm Ler Sstem persm er: h persm deg h kow j d dketh, j,,, j? So: z 6 z z () () () persm d kow Jw: z 6.5 z.5 z () () () ems : pers. ().5 pers. () pers. ().5 pers. () z 6.5 z 8z 8 () () () ems
SIMULASI TINGGI HIDRAULIK PADA ALIRAN AIR DALAM TANAH DUA DIMENSI MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA. BAYU CAHAYA NUGRAHA
ISSN : 407-65 SIMULASI TINGGI HIDRAULIK PADA ALIRAN AIR DALAM TANAH DUA DIMENSI MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA BAYU CAHAYA NUGRAHA quetzlcotl@gml.com ABSTRAK Peneltn n merepresentskn smuls tngg hdrulk
Matematika EBTANAS Tahun 1992
Mtemtik EBTANAS Thun 99 EBT-SMA-9-0 Grfik fungsi kudrt yng persmnny y = x 5x memotong sumu x. Slh stu titik potongny dlh (, 0), mk nili sm dengn EBT-SMA-9-0 Persmn x px + 5 = 0 kr-krny sm. Nili p 0 tu
Teorema Gauss. Garis Gaya oleh muatan negatip. Garis gaya listrik. Garis gaya oleh sebuah muatan titik. Sebuah muatan negatip
Gs Gy Lstk Konsep fluks Teoem Guss Teoem Guss Penggunn Teoem Guss Medn oleh mutn ttk Medn oleh kwt pnjng tk behngg Medn lstk oleh plt lus tk behngg Medn lstk oleh bol solto dn kondukto Medn lstk oleh slnde
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
SOAL UN MATEMATIKA IPA 2014
SOAL UN MATEMATIKA IPA 2014 1. Dkethu prems-prems berkut : Prems 1 : Jk hr hujn, mk tnmn pd subur. Prems 2 : Jk pnen tdk melmph, mk tnmn pd tdk subur. Prems 3 : Pnen tdk melmph Kesmpuln yng sh dr prems-prems
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Integral Pertemuan - 6
home se to ecellece Mt Kulh : Klkulus Kode : TSP 0 SKS : SKS Itegrl Pertemu - 6 home se to ecellece TIU : Mhssw dpt memhm tegrl fugs d plksy TIK : Mhssw mmpu mecr tegrl fugs Mhssw mmpu megguk tegrl utuk
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI
Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
5. INDUKSI MAGNETIK. A. Medan Magnetik
5. INDUKSI MAGNETIK Setelh mempeljr modul n, dhrpkn And dpt memhm konsep nduks mgnetk secr umum. Secr lebh khusus, And dhrpkn dpt : Mendeskrpskn hsl percobn Hns Chrstn Oersted tentng pengertn nduks mgnetk.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
MATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
PRAKTIKUM 6 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Jordan
Prtum 6 Penyelesn Persmn Lner Smultn - Metode Elmns Guss Jordn PRAKTIKUM 6 Penyelesn Persmn Lner Smultn Metode Elmns Guss Jordn. Tujun : Mempeljr metode Elmns Guss Jordn untu penyelesn persmn lner smultn.
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN-SNMPTN 2006
www.purwntowhyudi.com Hl- Sol-sol dn Pemhsn Mtemtik Dsr SBMPTN-SNMPTN 006. Jik > 0, > 0 dn mk A. C. E. B. D. Jw:. Jwnny dlh A. Jik p - dn q -, mk q p. A. C. E. B. D. Jw: q p Jwnny dlh A . Grfik y terletk
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI
PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) Iterpols : Iterpols er Iterpols Kudrtk Iterpols Poloml Iterpols grge Regres : Regres er Regres Ekspoesl Regres Poloml INTERPOASI Iterpols dguk utuk meksr l tr (termedte
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
INTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. n 1. x x. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser ltk. INTEGRASI
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
INTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Pertemu ke-7 Persm Ler Smult Oktober 0 Metode Iters Guss-Sedel Dr.Eg. Agus S. Mutohr Deprtmet of Cvl Egeerg Metode Guss-Sedel Merupk metode ters. Prosedur umum: - Selesk ser lbr vrbel tdk dkethu msg-msg
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
CATATAN KULIAH Pertemuan XI: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Variabel 2 atau Lebih) II. = dx
CATATAN KULIA ertemun XI: Optms Tnp Kendl dn Aplksny (Fungs dengn Vrel tu Leh) II A. Fungs Tujun dengn Leh dr Du Vrel Bentuk Umum Fungs Vrel : z( ) Derensl Totl Orde Stu: Derensl Totl Orde Du: Derensl
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
TEORI DEFINITE INTEGRAL
definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI DEFINITE INTEGRAL Definisi : Jik y = f(x) dlh fungsi kontinu dn terdefinisi dlm intervl tertutup [,] sehingg lim n n i= f ( xi). Δxi d (mempunyi nili), mk definite
4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
4.. Vetor dlm Rng Dmens Tg Seenrny pengertn etor pd dng dmens d sm hlny pengertn etor dlm rng dmens tg, etor pd sng mempny d omponen, m etor dlm rng mempny tg omponen. Yt ;,,,, Dmn merpn etor stn t etor
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Persmn Smultn Persmn smultn tmbul hmpr dsetp cbng mtemtk, dlm beberp hl, persmn n tmbul lngsung dr perumusn mul dr persolnny, ddlm hl ln penyelesn dr persmn merupkn bgn dr pengerjn
. = Arah induksi magnet tegak lurus bidang gambar menuju pembaca x = Arah induksi magnet tegak lurus bidang gambar menjauhi pembaca
7.7 MEDAN MAGNET INDUKSI Gejl Kemgnetn : Medn Mgnet dlh rungn yng memberkn gy mgnet kepd bend-bend dn mutn lstrk yng bergerk dsektrny. Adny medn mgnet dnytkn dengn grs-grs gy mgnet ( grs nduks ) Apbl membentuk
Hendra Gunawan. 15 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()
A. Pusat Massa Suatu Batang
Perteu 7 Pust ss sutu Kepg, Setrod, d Teore Pppus A. Pust ss Sutu Btg Dskusk!. slk ss,,..., terletk pd tg pdt sgsg d ttk,...,,, d = jrk errh tr ss ke sutu ttk tetp 0 pd tg,,,...,. ss prtkel, oe prtkel
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNHB4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT PENCOCOKAN KURVA Pedhulu Dt g bersl dr hsl pegmt lpg pegukur tu tbel g dmbl dr buku-buku cu. Nl tr turu tegrl mudh dcr utuk
PRAKTIKUM 9 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Jordan
Prtum 9 Penyelesn Persmn Lner Smultn - Metode Elmns Guss Jordn PRAKTIKUM 9 Penyelesn Persmn Lner Smultn Metode Elmns Guss Jordn Tujun : lner smultn Mempeljr metode Elmns Guss Jordn untu penyelesn persmn
INTEGRASI NUMERIK C 1. n ax. ax e. cos( 1 1. n 1. x x. 0 Fungsi yang dapat dihitung integralnya : 0 Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser ltk. INTEGRASI
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr
HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1
HITUNG INTEGRA BAB.Integrl tk tentu (tnp ts). Rumus-rumus ) ) n n n d c, n ) d c n n n. d c, n ). Sift-sift Integrl Contoh :... ) k. f ( ) d k. f ( ) d d d ln c ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d c ( ) ( ) d ( ) d
ANALISIS OPTIMASI. Oleh Muhiddin Sirat*)
ANALISIS OPTIMASI Oleh Muhddn Srt*) I. PENDAHULUAN D tnju dr seg ekonom, sumber terjdny mslh ekonom yng dhdp msyrkt berwl dr kebutuhn mnus yng tdk terbts, dln phk sumber-sumber ekonom sngt terbts. Untuk
INTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. a 1. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN - Mt Peljrn Progrm : Mtemtik (MA) : IPA Petunjuk : Pilihlh slh stu jwn yng pling tept!. Dikethui: 5. Dikethui log = dn log = y. Nili log P : Hri tidk hujn tu Rudi
Y y=f(x) LEMBAR KERJA SISWA. x=a. x=b
LEMBAR KERJA SISWA. Judul (Mteri Pokok) : Penggunn Integrl Tentu Untuk Menghitung Volume Bend Putr. Mt Peljrn : Mtemtik 3. Kels / Semester : II /. Wktu : 5 menit 5. Stndr Kompetensi :. Menggunkn konsep
Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)
Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6
INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
BAB VI PEWARNAAN GRAF
85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.
Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik ii Drpulic BAB Mononom dn Polinom Mononom dlh perntn tunggl ng erentuk k n, dengn k dlh tetpn dn n dlh ilngn ult termsuk nol. Fungsi polinom merupkn jumlh terts
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN. Rancangan ini dibuat dan dites pada konfigurasi hardware sebagai berikut :
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN 4.1 Spesifiksi Hrdwre dn Softwre Rncngn ini diut dn dites pd konfigursi hrdwre segi erikut : Processor : AMD Athlon XP 1,4 Gytes. Memory : 18 Mytes. Hrddisk : 0 Gytes.
BAB 3 APLIKASI TAGUCHI LOSS FUNCTION
BB III PIKSI TGUHI OSS FUNTION 6 BB 3 PIKSI TGUHI OSS FUNTION 3. Kitn Tguchi oss Function dengn indeks kpilits proses p Tguchi oss Function erkitn dengn indeks kpilits proses p. Rsio rt rt loss cost seelum
KAJIAN TENTANG SKEMA BEDA HINGGA KOMPAK ORDE-4
KAJIA TETAG SKEA BEDA HIGGA KOPAK ORDE-4 Eko Prsety Budn Abstrct : Fourth order compct fnte-dfference scheme s bsed on low-storge Runge-Kutt schemes for temporl dscretzton nd fourth order compct fnte-dfference
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c
Integrl Tk Tentu INTEGRAL. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k x n k n +. ( x + n ( n +. x ln x + x n + + ; n - n+ (x+ + ; dn 4. ( f ( x ± g( x f ( x ± g ( x n - n. os (x+sin(x+ ( n + n+ os (x+ + ( + (. sin x
PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO]
![PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO]](/thumbs/65/53261057.jpg "PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO]")
PERTEMUAN 4 TEORI BAHASA DAN OTOMATA [TBO] Jenis FSA Deterministic Finite Automt (DFA) Dri sutu stte d tept stu stte erikutny untuk setip simol msukn yng diterim Non-deterministic Finite Automt (NFA) Dri
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.