7. APLIKASI INTEGRAL. 7.1 Menghitung Luas Daerah. a.misalkan daerah D = {( x, Luas D =? f(x) Langkah : Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh

Transkripsi

1 7. APLIKASI INTEGRAL MA KALKULUS I 7. Menghtung Lus erh.mslkn erh {(,, f ( ) Lus? f() Lngkh :. Irs menj n gn n lus stu uh rsn hmpr oleh lus perseg pnjng engn tngg f() ls(ler) A f ( ). Lus hmpr oleh jumlh lus perseg pnjng. engn mengml lmtn peroleh: Lus A f ( ) MA KALKULUS I Contoh : Htung lus erh ng ts oleh kurv, sumu, n. Lus rsn A Lus erh A 8 MA KALKULUS I

2 ) Mslkn erh {(,, g( ) h( ) h() h()-g() g() Lus? Lngkh :. Irs menj n gn n lus stu uh rsn hmpr oleh lus perseg pnjng engn tngg h()-g() ls(ler) A ( h( ) g( )). Lus hmpr oleh jumlh lus perseg pnjng. engn mengml lmtn peroleh: Lus A ( h ( ) g( )) MA KALKULUS I Contoh : Htung lus erh ng ts oleh grs + n prol Ttk potong ntr grs n prol + ( + ) ( ) ( )( + ) -, Lus rsn A (( + ) ( )) MA KALKULUS I Sehngg lus erh : A Ctt : (( + ) ( )) ( + + 6) Jk rsn ut tegk lurus terhp sumu mk tngg rsn lh kurv ng terletk seelh ts kurng kurv ng er seelh wh. Jk ts ts n wh rsn eruh untuk semrng rsn mk erh hrus g u tu leh MA KALKULUS I 6

3 Contoh : Htung lus erh ng ts oleh sumu, Jw n - + Ttk potong + + ( + )( ) -, -+ Jk ut rsn tegk, mk erh hrus g menj u gn Lus rsn I A Lus rsn II A ( + ) MA KALKULUS I 7 Lus erh I A Lus erh II + A + ( + ) ( Sehngg lus erh A A A ) 6 MA KALKULUS I 8 ). Mslkn erh {(,, g( h( g( h( h(-g( Lus? Lngkh :. Irs menj n gn n lus stu uh rsn hmpr oleh lus perseg pnjng engn tngg h(-g( ls(ler) A ( h( g( ). Lus hmpr oleh jumlh lus perseg pnjng. engn mengml lmtn peroleh: Lus A ( h ( g( ) MA KALKULUS I 9

4 Contoh: Htung lus erh ng ts oleh n Jw : Ttk potong ntr grs n prol + + ( + )( ) ( ) ( + ) - n Lus rsn - A (( ) ( + )) MA KALKULUS I Sehngg lus erh : L Ctt : (( ) ( + )) + 9. ( + ) Jk rsn sejjr engn sumu mk tngg rsn lh kurv ng terletk seelh knn kurng kurv ng er seelh kr. Jk ts knn n kr rsn eruh untuk semrng rsn mk erh hrus g u tu leh MA KALKULUS I 7. Menghtung volume en putr 7.. Meto Ckrm {(,, f ( ). erh putr terhp sumu f() erh Ben putr? Volume en putr MA KALKULUS I

5 Untuk menghtung volume en putr gunkn penektn Irs, hmpr, jumlhkn n ml lmtn. f() Jk rsn erentuk perseg pnjng engn tngg f() n ls putr terhp sumu kn peroleh sutu krm lngkrn engn tel n jr-jr f(). sehngg V π f ( ) f() V π f ( ) MA KALKULUS I Contoh: Tentukn volume en putr ng terj jk erh ng ts oleh, sumu, n grs putr terhp sumu Jk rsn putr terhp sumu kn peroleh krm engn jr-jr n tel Sehngg V π ( ) π Volume en putr π V π π MA KALKULUS I. erh {(,, g( putr terhp sumu g( erh Ben putr? Volume en putr MA KALKULUS I

6 Untuk menghtung volume en putr gunkn penektn Irs, hmpr, jumlhkn n ml lmtn. g( Jk rsn erentuk perseg pnjng engn tngg g( n ls putr terhp sumu kn peroleh sutu krm lngkrn engn tel n Jr-jr g(. sehngg V π g ( g( V π g ( MA KALKULUS I 6 Contoh : Tentukn volume en putr ng terj jk erh ng ts oleh grs, n sumu putr terhp sumu Jk rsn engn tngg n tel putr terhp sumu kn peroleh krm engn jr-jr n tel Sehngg V π ( π Volume en putr π V π 8π MA KALKULUS I Meto Cnn. erh {(,, g( ) h( ) putr terhp sumu h() g() erh? Volume en putr Ben putr MA KALKULUS I 8 6

7 Untuk menghtung volume en putr gunkn penektn Irs, hmpr, jumlhkn n ml lmtn. h() g() Jk rsn erentuk perseg pnjng engn tngg h()-g() n ls putr terhp sumu kn peroleh sutu nn engn tel n jr jr lur h() n jr-jr lm g(). sehngg h() V π ( h ( ) g ( )) g() V π ( h ( ) g ( )) MA KALKULUS I 9 Contoh: Tentukn volume en putr ng terj jk erh ng ts oleh, sumu, n grs putr terhp grs - Jk rsn putr terhp grs Akn peroleh sutu nn engn Jr-jr lm n jr-jr lur + Sehngg + Volume en putr : - V π (( + ) ) π ( + + ) π ( + ) 6 86 V π + π ( + ) π ( + ) π MA KALKULUS I 7.. Meto Kult Tung kethu {(,, f ( ) Jk putr terhp sumu peroleh en putr f() erh Volume en putr? Ben putr MA KALKULUS I 7

8 Untuk menghtung volume en putr gunkn penektn Irs, hmpr, jumlhkn n ml lmtn. f() Jk rsn erentuk perseg pnjng engn tngg f() n ls sert erjrk r sumu putr terhp sumu kn peroleh sutu kult tung engn tngg f(), jr-jr, n tel sehngg V π f ( ) f() V π f ( ) MA KALKULUS I Contoh: Tentukn volume en putr ng terj jk erh ng ts oleh, sumu, n grs putr terhp sumu Jk rsn engn tngg,tel n erjrk r sumu putr terhp sumu kn peroleh kult tung engn tngg, tel n jr jr Sehngg V π π Volume en putr π V π 8π MA KALKULUS I Cttn : -Meto krm/nn Irsn ut tegk lurus terhp sumu putr - Meto kult tung Irsn ut sejjr engn sumu putr Jk erh n sumu putrn sm mk perhtungn engn menggunkn meto krm/nn n meto kult tung kn menghslkn hsl ng sm Contoh Tentukn en putr ng terj jk erh ng ts Oleh prol,grs, n sumu putr terhp. Grs. Grs MA KALKULUS I 8

9 . Sumu putr () Meto nn ( ) Jk rsn putr terhp grs kn peroleh nn engn Jr-jr lm r ( ) Jr-jr lur r l Sehngg V π (() ( ) ) π (8 ) Volume en putr 6 V π ( 8 ) π ( 8 ) π ( ) π MA KALKULUS I () Meto kult tung Volume en putr Jk rsn putr terhp grs kn peroleh kult tung engn Jr-jr r Tngg h Tel Sehngg V π ( ( π (8 + V π (8 + ) 8 / / π (8 + ) π MA KALKULUS I 6. Sumu putr () Meto nn Jk rsn putr terhp grs peroleh nn engn Jr-jr lm r Jr-jr lur r l Sehngg V π (( () ) π (8 6 + Volume en putr V π (8 6 + π (8 / + 8 ) 8π MA KALKULUS I 7 9

10 () Meto kult tung - Volume en putr Jk rsn putr terhp grs peroleh kult tung engn Tngg h Jr-jr r - Tel Sehngg V π ( ) π ( ) V π ( ) π ( ) π (8 ) 8π MA KALKULUS I 8 7. Pnjng Kurv Persmn prmeter kurv ng f(t), t g(t) () Ttk A(f(),g()) seut ttk pngkl kurv n ttk B(f(),g()) seut ttk ujung r kurv. efns : Sutu kurv lm entuk prmeter sepert () seut mulus jk () f ' n g' kontnu p [,] Kurv tk eruh sekonong-konong () f ' n g' tk ser ersmn nol p (,) MA KALKULUS I 9 Msl erkn kurv lm entuk prmeter (), kn htung pnjng kurv Lngkh. Prts [,] menj n gn, engn ttk-ttk pemgn to < t < t <... < tn t t t n t Prts p [,] Q o Q Q Q Q n Prts p kurv MA KALKULUS I

11 . Hmpr pnjng kurv Q s w Q pnjng usur Q Q s pnjng tl usur Q Q w Pnjng usur hmpr engn pnjng tl usur s w ( ) + ( ) [ f ( t ) f ( t )] + [ g( t ) g( t )] engn menggunkn teorem nl rt-rt untuk turunn, terpt tˆ, t ( t, t ) sehngg f t ) f ( t ) f '( t ) t ( g t ) g( t ) g'(ˆ t ) t ( MA KALKULUS I engn t t t sehngg w [ f '( t) t ] + [ g t ) t ] '(ˆ [ f '( t )] + [ g'(ˆ t )] t Pnjng kurv hmpr oleh jumlh pnjng tl usur L n [ f '( t )] + [ g'(ˆ t )] t engn mengml pnjng prts( P ) menuju nol peroleh L [ f '( t)] + [ g'( t)] t MA KALKULUS I Ctt: Jk persmn kurv f(), L [ f '( t)] + [ g'( t)] t [ ] + [ ] t t t ( ) ( + ) t t + Jk persmn kurv g(, L [ f '( t)] + [ g'( t)] t [ ] + [ ] t t t ( ) + t t + MA KALKULUS I

12 Contoh : Htung pnjng kurv. t, t ; t '( t) t, '( t) t Pnjng kurv L (t ) + (t) t t 9t + t / 8 ( 9 + ) t(9t 9t + t t t ( 9t + ) t + ) / (9t + ) 8t t 8) (8 8) 7 ( 7 MA KALKULUS I. / ntr / n 7 Jw : / 7 7 / + ( ) + / L 9 9 ( + 9 ) ( + 9 ) / 7 ( + 9) ( 8) 7 / 7 / / 7 7 / MA KALKULUS I Sol Lthn A. Gmrkn n htung lus erh ng ts oleh. n +.,, n 8.,, - +. sn, os,, π. MA KALKULUS I 6

13 B. Htung volume en putr ng terj jk erh ng ts oleh grfk fungs-fungs erkut putr terhp sumu.,, n. 9 n. n. sn, os,, π/. n, kurn MA KALKULUS I 7 C. erh ts oleh kurv n grs. Htung volume en putr, jk putr terhp : () sumu () sumu () grs - () grs - () grs (6) grs. erh ts oleh prol n grs +. Htung volume en putr, jk putr terhp : () sumu () sumu () grs 6 () grs - MA KALKULUS I 8 E. Htung pnjng kurv erkut.... sn t, os t ; t π t +, t / ; t / ( + ), ln,. ln( ), / 6. ( ), 9 MA KALKULUS I 9