WEIBULL TWO PARAMETER

Transkripsi

1 WEIBULL TWO PARAMETER Dalam teor probabltas dan statstk, dstrbus webull merupakan dstrbus probabltas yang berkelanjutan atau kontnyu. Dgambarkan secara detal oleh Walodd Webull pada tahun 1951 meskpun pertama kal ddentfkas oleh Frechet (1927) dan dterapkan pertama kal oleh Rosn dan Rammler (1933) untuk menggambarkan ukuran dstrbus dar partkel. Terdapat dua macam dstrbus webull yang dapat dgunakan, yatu dstrbus webull dua parameter dan dstrbus webull tga parameter. Sesua dengan namanya dstrbus webull dua paramater mempunya dua buah parameter: Parameter bentuk (k) Merupakan parameter yang menggambarkan bentuk dar dstrbus. Parameter skala (λ) Merupakan parameter yang menggambarkan umur karakterstk dar alat atau komponen. Defns Fungs Kepadatan probabltas atau probablty densty functon (pdf) dar varabel acak x Webull adalah: Dmana k > 0 adalah parameter bentuk dan λ >0 adalah parameter skala dar dstrbus. Fungs dstrbus kumulatf yang salng melengkap merupakan fungs eksponensal yang dregangkan. Dstrbus webull dhubungkan dengan sejumlah dstrbus probabltas yang lan, dalam keadaan tertentu, n merupakan nterpolas antara dstrbus eksponensal (k = 1) dan dstrbus Raylegh (k = 2). Jka banyaknya x adalah "tme-to-falure", dstrbus webull memberkan dstrbus untuk tngkat kegagalan yang sebandng dengan kekuatan waktu. Parameter bentuk, k, dapat dartkan secara langsung sebaga berkut: Nla k <1 menunjukkan bahwa tngkat kegagalan menurun dar waktu ke waktu. In terjad jka ada yang sgnfkan "nfant mortalty", atau barang cacat gagal d awal dan laju kegagalan mengalam penurunan dar waktu ke waktu sebaga tem cacat yang keluar dar populas. Nla k = 1 menunjukkan bahwa tngkat kegagalan konstan dar waktu ke waktu. Hal n mungkn menunjukkan adanya random external events menyebabkan kematan atau kegagalan. Nla k> 1 menunjukkan bahwa laju kegagalan menngkat serng dengan waktu. Hal n terjad jka ada proses "agng", atau bagan yang lebh cenderung gagal serng dengan berjalannya waktu. Propertes Densty Functon (Fungs kepadatan) Fungs kepadatan dar perubahan karakter dstrbus webull secara radkal sebaga k, bervaras antara 0 dan 3, terutama dalam hal

2 perlakunya dekat x = 0. Untuk k <1 kepadatan (denstas) mendekat karena x mendekat nol dan kepadatan berbentuk J. Untuk k = 1 kepadatan memlk nla postf yang terbatas pada x = 0. Untuk 1 <k <2 kepadatan mendekat nol, memlk kemrngan yang tak terbatas pada x = 0 dan unmodal. Untuk k = 2 kepadatan memlk slope postf terbatas pada x = 0. Untuk k> 2 kepadatan adalah nol dan memlk kemrngan nol pada x = 0 dan kepadatan yang unmodal. Karena k tak terbatas, dstrbus webull menyebar ke dstrbus Drac Delta berpusat pada x = λ. Gambar 1. Grafk Probablty Densty Functon (pdf) (Sumber: ) Dstrbuton functon (Fungs Dstrbus) Fungs dstrbus kumulatf untuk dstrbus webull untuk x 0, dan F (x; k; λ) = 0 untuk x < 0. Falure Rate h (atau hazard rate) dberkan oleh persamaan

3 Gambar 2. Grafk Cumulatve Dstrbuton Functon (cdf) (Sumber: ) Falure Rate Functon (Fungs Laju Kegagalan) Merupakan gambaran laju kerusakan atau kegagalan dalam selang waktu tertentu r(t) k t = λ k k 1 Gambar 3. Gambar Fungs Laju kerusakan (Sumber : Jardne, 1973) Relablty Functon (Fungs Keandalan) Merupakan probabltas suatu alat atau komponen dapat berfungs sampa suatu perode t R(t) = e k t λ

4 Gambar 4. Fungs Keandalan (Sumber : Ebelng, 1997) Moments Fungs pembangkt momen (mgf) dar logartma dar varabel acak terdstrbus webull dberkan oleh persamaan dmana Γ adalah fungs gamma. Demkan pula, fungs karakterstk dar log X dberkan oleh Secara khusus, raw moment n-th dar X dberkan oleh persamaan: Rata-rata dan varas dar suatu varabel acak webull dapat dnyatakan sebaga: dan Kemrngan dtunjukkan oleh : Kelebhan kurtoss dtunjukkan oleh: Dmana Γ = Γ (1 + / k). Kelebhan kurtoss juga dapat dtuls sebaga:

5 Moment Generatng Functon Berbaga persamaan terseda untuk fungs pembangkt momen dar X tu sendr. Sebaga rangkaan daya, karena raw moment yang sudah dketahu, maka: Sebaga alternatf, dapat mencoba untuk berhubungan langsung dengan ntegral Jka parameter k dasumskan menjad blangan rasonal, dnyatakan sebaga k = p / q, dmana p dan q adalah blangan bulat, maka ntegral n dapat devaluas secara analts. Dengan t dgant dengan-t, sepert berkut: d mana G adalah G-fungs Mejer. Informaton Entropy Informas Entrop dtunjukkann oleh dmana γ adalah konstanta Euler-Mascheron Webull Plot Goodness-of-ft dar data untuk dstrbus webull dapat dnla secara vsual menggunakan plot webull. Webull Plot adalah plot dar fungs dstrbus emprs kumulatf dar data pada sumbu khusus dalam jens plot Q-Q. Sumbunya adalah terhadap ln(x). Alasan dar perubahan varabel adalah fungs dstrbus kumulatf dapat dlnerkan menjad: yang dapat dlhat dalam bentuk standar dar gars lurus. Oleh karena tu jka data berasal dar dstrbus webull maka gars lurus dharapkan ddapatkan plot webull.

6 Ada berbaga pendekatan untuk mendapatkan fungs dstrbus emprs dar data: satu metode adalah untuk mendapatkan koordnat vertkal untuk setap ttk menggunakan Dmana adalah pangkat dar ttk data dan n adalah jumlah ttk data. Regres lner juga dapat dgunakan untuk penlaan secara numerk goodness of ft dan estmas parameter dstrbus webull. Graden mengnformaskan secara langsung tentang parameter bentuk (k) dan parameter skala λ juga dapat dsmpulkan. Kegunaan Dstrbus Webull dapat dgunakan: Dalam analss survval Dalam teknk keandalan dan analss kegagalan Dalam teknk ndustr untuk merepresentaskan waktu manufaktur dan pengrman Dalam extreme value theory Dalam ramalan cuaca untuk menggambarkan wnd speed dstrbutons Dalam menggambarkan ukuran partkel dar proses grndng, mllng, crushng, dll. Related Dstrbutons Dstrbus webull memlk parameter tambahan yatu fungs kepadatan probabltas (probablty densty functon) Untuk dan f(x; k, λ, θ) = 0 untuk x < θ, dmana k > 0 merupakan parameter bentuk,, λ > 0 merupakan parameter skala dan θ merupakan parameter lokas dar dstrbus. Ketka θ=0, hal n akan mengurang menjad 2 parameter dstrbus. Dstrbus webull dapat dkarakterstkkan sebaga dstrbus dar varable acak X Standard dstrbus eksponensal dengan ntenstas 1. Dstrbus webull mengnterpolas antara dstrbus eksponensal dengan ntenstas 1/λ dmana k = 1 dan Dstrbus Raylegh dar mode dmana k = 2. Dstrbus webull juga dapat dgolongkan dalam termnolog dstrbus unform: jka X secara unform ddstrbuskan pada (0,1), kemudan varabel random merupakan webull yang ddstrbuskan dengan parameter k dan λ. Hal n dapat menyebabkan mplementas yang mudah untuk mensmulaskan dstrbus webull.

7 Dstrbus webull (basanya dalam rekayasa keandalan) merupakan specal case dar dstrbus Three-parameter Exponentated Webull dmana eksponen tambahan sama dengan 1. Dstrbus Exponentated webull mengakomodas unmodal, kurva berbentuk bathup dan tngkat kegagalan monoton. Dstrbus webull merupakan specal case dar dstrbus Generalzed extreme value. Dalam hubungan n webull pertama kal ddentfkas oleh Maurce Fréchet pada tahun Dstrbus Fréchet terkat erat memlk fungs kepadatan probabltas. Dstrbus webull juga dapat dgeneralsas untuk dstrbus 3 parameter exponentated Webull. Model n terjad ketka tngkat kegagalan system berkatan dengan kombnas faktor, dan dapat menngkatkan untuk suatu waktu dan menurun untuk waktu yang lan (lhat kurva bathup). Poly-Webull Dstrbuton adalah dstrbus varabel acak yang ddefnskan sebaga beberapa varabel acak mnmum dmana masng-masng memlk dstrbus webull berbeda. Pengujan Webull 2 Parameter Pengujan dstrbus webul dua parameter dgunakan untuk mengetahu data yang ada mengkut pola dstrbus webull atau tdak. Salah satu metode pengujan yang dgunakan adalah dengan metode Mann s test (Ebelng;1997). Langkah-langkah dalam metode Mann s test untuk pengujan dstrbus webull dua parameter adalah sebaga berkut: a. Menentukan hpotess : Ho : Data kerusakan berdstrbus webull 2 parameter H 1 : Data kerusakan tdak berdstrbus webull 2 parameter b. Htung selang waktu antar kerusakan (t ) c. Tentukan nla α (tngkat kesalahan), n (banyaknya data pengamatan), dan r (banyaknya data pengamatan yang tdak tersensor). d. Menghtung nla k 1 dan k 2 dengan menggunakan rumus : k 1 = 2 r k 2 = r 1 2 e. Menghtung nla Z masng-masng dengan menggunakan rumus: Z 0,5 = ln ln 1 n + 0,25 f. Menghtung nla Mann (M ) masng-masng dengan menggunakan rumus:

8 M = Z + 1 Z g. Menghtung nla Mann (M) dengan menggunakan rumus : r 1 (ln t+ 1 - ln t ) k1 = k + 1 = 1 M M k 1 (ln t+ 1 - ln t ) k 2 M = 1 h. Membandngkan nla M dengan nla F tabel yang dsesuakan dengan derajat kebebasan.apabla nla M < F α;v1;v2 maka Ho dterma. Estmas Parameter Webull 2 Parameter Setelah dketahu data mengkut dstrbus webull 2 parameter, maka dlakukan estmas parameter, yatu mencar estmas nla λ (parameter skala) dan k (parameter bentuk). Untuk perhtungan estmas parameter, metode yang dgunakan adalah dengan pendekatan regres lner. Msalkan t 1,t 2,...,t n adalah sejumlah data waktu antar kerusakan sstem yang telah dsusun menurut urutan terkecl, untuk setap t (=1,2,3,...,n) berlaku hubungan sebaga berkut : F ( ) t + 0,3 = n + 0,4 x = ln (t ) y 1 = ln ln 1 F(t ) Langkah selanjutnya adalah menghtung nla ntercept (a) dan slope (b), kemudan menghtung nla λ dan nla k dengan cara berkut : b = n x n y 2 x x y ( x ) 2 a y = n b x n k = b λ k =exp a / Perhtungan Mean Tme To Falure (MTTF) Untuk Dstrbus Webull 2 Parameter Setelah parameter dar dstrbus webull 2 parameter dketahu, maka nla MTTF dapat dhtung. Nla MTTF merupakan nla yang menunjukkan selang waktu dar waktu part atau komponen mula dgunakan sampa part atau komponen mengalam kerusakan. Oleh

9 karena tu, nla MTTF dapat dgunakan sebaga perkraan umur hdup part atau komponen. Perhtungan untuk nla MTTF yatu MTTF = λ 1 Γ 1 + k

10 DAFTAR PUSTAKA dakses pada tanggal 8 November adylhamsa-3305-bab-2-t-a.doc dakses pada tanggal 8 November %20Peluang%20Kontnu%20II%20.pdf dakses pada tanggal 8 November 2011