MENENTUKAN POLINOMIAL MINIMAL ATAS GF p YANG MEMBANGUN GF p. Nunung Andriani 1 dan Bambang Irawanto 2

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MENENTUKAN POLINOMIAL MINIMAL ATAS GF p YANG MEMBANGUN GF p. Nunung Andriani 1 dan Bambang Irawanto 2"

Transkripsi

1 MENENTUKAN POLINOMIAL MINIMAL ATAS GF YANG MEMBANGUN GF Nuug Ara 1 a Bambag Irawato 1 Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Jl Pro H Soearto SH Tembalag Semarag Abstract Let F s te el wth elemets eote by GF I E be a exteso el o F a α E s the algebra elemet o F the olyomal o F o smallest egree such that ( α ) = 0 x calle mmal olyomal o F I α s rmtve elemet the ( ) whose calle rmtve olyomal s the mmal olyomal o F whose geerate the elemets o GF The mmal olyomal o F whose geerate the elemets o GF s the actor o x x = because the elemets o GF are the soluto o = 0 are kow we have = x x I we actorg t wll be obtae olyomal o F whose geerate the elemets o GF where F o egree that cota a rmtve elemet So a the mmal s some rreucble actor Keywor: te el exteso el rreucble olyomal mmal olyomal rmtve elemet 1 PENDAHULUAN Msalka F aalah laaga F hmua semua olomal alam x atas F a (x) F suatu olomal mok a tak tereuks Suatu hmua yag bagu oleh suatu olomal tak tereuks meruaka eal maksmal [4] Selajutya Galla juga meyataka suatu rg hasl bag R oleh eal maksmalya meruaka laaga Akbatya jka F laaga a aalah olomal yag tak tereuks F atas F maka aalah laaga Laaga yag elemeya berhgga sebut laaga berhgga Laaga berhgga ega eleme ega rma sebut juga Galos Fel a otaska ega GF Paag olomal ( x ) atas laaga F [6] megataka bahwa seta olomal bererajat ost atas F aat sajka sebaga ergaaa ar koese utama a sejumlah olomal mok yag tak tereuks atas F Dega emka olomal bererajat atas F blaga bulat ost memuya alg bayak akar yag berbea alam F Dalam tulsa bahas metoe atau lagkah-lagkah utuk memeroleh olomal mmal atas GF yag membagu GF LAPANGAN PEMISAH Suatu laaga yag memuat laaga yag la sebaga hmua bagaya sebut laaga erluasa Des 1 [5] Msalka E a F laaga E sebut laaga erluasa ar F jka F aalah laaga baga (subel) ar E tuls ega F E 65

2 Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 Dega emka jka E laaga erluasa ar F maka F aalah laaga baga ar E a jka F aalah laaga baga ar E maka E aat aag sebaga ruag vektor atas F Dmes ar ruag vektor E atas F atau E ( F ) sebut erajat ar laaga erluasa E atas F otaska ega [ E : F ] [ 7] Keberaaa laaga erluasa ar suatu laaga jam oleh teorema Kroecker berkut Teorema (Teorema Kroecker) Jka F aalah laaga a olomal yag tak kosta alam F maka teraat laaga erluasa E ar F maa teraat akar ar Artya teraat α E seemka sehgga ( α ) = 0 Semetara es a teorema megea laaga emsah (Slttg Fel) aalah sebaga berkut Des 3 [ 6] Jka E megaug semua akar ar F maa F E a tak aa laaga baga la ar E sela E tu ser yag memuat semua akar maka E sebut laaga emsah ar x ( ) Cotoh 1 1) Laaga emsah ar olomal = x + 1 R atas R aalah C sebab = ( x )( x + ) C a C = { R( ) = a + b a b R} ) Laaga emsah ar olomal x = x Q x atas Q aalah Q ( ) [ ] ( ) = { a + b ab Q} = x = ( x )( x + ) sebab Teorema 4 [5 ] Jka F suatu laaga a olomal yag tak kosta alam F maka teraat laaga emsah E utuk atas F Bukt: Aka buktka ega uks aa eg ( ) = Jka eg ( ) = 1 maka olomal lear a F = E Dasumska bear utuk olomalolomal yag bererajat lebh kecl ar aka buktka bear utuk eg ( ) = Msal F aalah aktor tak tereuks ar (meggat F suatu DFT) Meurut teorema F teraatlah laaga E yag meruaka laaga erluasa ar F a memlk akar α 1 E sehgga eroleh = ( x α1) q alam E a = ( x α1 ) q g Oleh karea q g memlk erajat 1 maka ega hotess uks teraatlah laaga emsah E utuk q g yag memuat akar-akar α α 3 α ar Sehgga teraktorsas lear E x a F( α α α α ) E alam [ ] 1 3 aalah laaga emsah ar atas F Jka F suatu laaga a S = { 1 } F maka E = meruaka laaga emsah E utuk S ega utuk E laaga emsah = 1 3 atas F Msalka F aalah laaga a F olomal yag tak tereuks atas F Jka α aalah akar ar alam erluasa E atas F maka F ( α) laaga yag bagu oleh α somors F ega [4 ] Msalka F laaga a E laaga emsah atau F E maka meurut [6] E meruaka erluasa aljabar (algebrac exteso) Artya 66

3 Nuug Ara Bambag Irawato (Meetuka Polomal Mmal atas G P yag membagu G P N ) seta eleme E meruaka eleme aljabar atas F atau seta eleme E meruaka akar-akar ar olomal x x = Jka F laaga berhgga ega eleme a E aalah erluasa berhgga ar F seemka sehgga [ E : F] = maka E memlk eleme [7] AKAR-AKAR LAPANGAN PEMISAH Polomal (x) F maa (x) = 0 ega α F maka α sebut akar ar (x) = 0 Teorema 5 [7] Msalka F suatu sublaaga ar laaga E (x) F a (x) tak tereuks serta E memuat akar ar (x) maka (x) tak memuya akar-akar gaa alam E jka a haya jka '( x) 0 Teorema 6 [4] Msalka E suatu laaga ega eleme ega blaga rma yag termuat alam eutu aljabar Z ar Z maka eleme-eleme E aalah akar-akar Z atau ar olomal x x Z E = { a Z / a akar ar x x Z } Teorema 7[7] Msalka F olomal tak kosta atas F a E laaga erluasa ar F Eleme α E aalah akar berlat ar jka a haya jka α aalah ' x akar ersekutua ar Bukt: a ( ) ( ) Msalka α akar berlat ar a m aalah multlstas ar α ega m x = x α g x ega m maka ( ) ( ) ( ) g olomal atas E seemka hgga g ( α ) 0 ega emka ' m 1 m = m( x α ) g + ( x α ) g ' a karea m maka m 1 ' α = m α α g α + α α m ( ) ( ) ( ) ( ) g '( α ) = 0 Ja α aalah akar ersekutua ar a ' ( ) Msalka α aalah akar ersekutua ar a ' a aaka α buka akar gaa (akar berlat) ar alam hal = ( x α ) g ega g olomal atas E seemka sehgga g ( α ) 0 Utuk x = α maka '( x) = ( x α ) g'( x) + g( x) = ( α α ) g '( α ) + g( α) 0 Sehgga aat smulka bahwa α buka akar ersekutua ar a ' bertetaga ega yag ketahu Ja egaaa harus gkar x a α aalah akar berlat ar ( ) Teorema 8 [7] Jka F suatu laaga ega karakterstk rma 0 maka olomal x x F[ X ] memlk Bukt: = ega 1 akar-akar yag berbea Dketahu olomal x x = maka ' = x 1 1 Msalka F laaga ega karakterstk 0 karea 1 F maka = = 0 sehgga = 0 Karea = 0 maka ' = 1 Sehgga meurut teorema 5 a ' tak memuya akarakar yag sama lebh ar 1 Dega kata la jka F suatu laaga berhgga ega karakterstk 0 maka olomal x x F[ X ] memlk = 1 akar-akar yag berbea Teorema 9 [1] Msal blaga rma a blaga bulat 1 akar-akar olomal 67

4 Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 = x x Z alam laaga emsah atas Z yag semuaya berbea membetuk laaga ega eleme Bukt: Dar olomal x x ' = x 1 1 blaga rma a Z 1 ' = 0 x 1 = 1 0 Teorema 8 = maka Selajutya karea maka a meurut memlk akar-akar yag berbea Polomal = x x bererajat a memlk akar-akar yag semuaya berbea sehgga jumlah akarakarya aalah Msal F hmua semua akar-akar ar atau F = { a Z a akar ar = x x} aka tujukka F aalah laaga atau b Ambl a b a a b F maka a = 0 = a begtu juga b b = 0 atau a + b a b = sehgga ( ) ( + ) = 0 a ( a b) = ( a + b) + selajutya aat 1 ( a b ) = a ( b ) 1 Dega emka F aalah laaga a karea jumlah akarya maka F aalah laaga ega eleme atau GF Selajutya meurut teorema 6 a teorema 8 eleme ar GF aalah akar- akar ar x x = Akhrya meurut teorema 7 a teorema 9 F laaga ega eleme atau GF jka a haya jka F aalah laaga emsah ar x x = 4 MENENTUKAN POLINOMIAL MINIMAL ATAS GF YANG MEMBANGUN GF Des 10 Jka E laaga erluasa atas F a α E eleme aljabar atas F maka x atas F ega olomal mok ( ) erajat terkecl yag memeuh ( α ) = 0 sebut olomal mmal atas F Jka erajat ar olomal mmal atas F tersebut sama ega maka α kataka sebaga eleme aljabar atas F yag bererajat Teorema 11 [] Msalka E laaga erluasa atas F a α E eleme aljabar atas F Msalka juga F aalah olomal ega erajat terkecl seemka hgga ( α ) = 0 maka () aalah olomal yag tak tereuks atas F () Jka g F seemka sehgga g ( α ) = 0 maka g () Teraat ega tuggal F ega erajat terkecl seemka α = sehgga ( ) 0 Bukt: () Aaka berlaku sebalkya yatu aalah olomal yag tereuks atas F maka = h q maa eg h a eg q kurag ar eg Maka ( α ) = h( α ) q( α ) = 0 berart h ( α ) = 0 atau q ( α ) = 0 Dega emka α memeuh sebuah oomal ega erajat kurag ar erajat I bertetaga ega kemmala ar sehgga egaaa harus gkar Ja aalah olomal yag tak tereuks atas F () Msalka g F a aalah olomal seert aa () Berasarka algortma embaga teraat olomal q a r F seemka hgga berlaku g = q + r r = 0 atau eg r < eg Karea g ( α ) = 0 maka 68

5 Nuug Ara Bambag Irawato (Meetuka Polomal Mmal atas G P yag membagu G P N ) ( α) = ( α) q( α) + r( α) = 0 r( α) = 0 Karea g aalah olomal ega erajat terkecl seemka hgga ( α ) = 0 maka maka r haruslah 0 Sehgga g = q yatu g x olomal mok ega erajat terkecl seemka hgga memeuh ( α ) = 0 maka ar embukta () eroleh a Karea a keua-uaya aalah olomal mok maka ar a eroleh = I memerlhatka x tuggal () Msalka ( ) bahwa olomal ( ) Teorema 1 [9] Msalka aalah blaga rma ega > 0 a N maka olomal x x meruaka hasl kal semua olomal mok yag tak tereuks Z x yag erajatya membag alam [ ] Bukt: Jka olomal mok x x aktorka Z x maka aka eroleh alam [ ] e x e e e x = 1 s 1 s e s maa 1 1 s aalah olomal olomal mok yag tak tereuks a Z x a e e e N berbea alam [ ] e 1 s Utuk membuktka teorema atas aka aka tujukka beberaa hal berkut (a) Tak aa aktor ar x x yag membag x x lebh ar sekal (b) Jka olomal mok yag tak Z x ega erajat tereuks alam [ ] yag membag maka aalah aktor ar x (ega kata la sama ega salah satu ar ) (c) Derajat ar seta aktor ar x x alam Z harus membag x (ega kata la seta erajat ar membag ) Bukt ar (a): Msalka F = Z laaga a = a0 + a1x + a x + + a x F maka turua ertama ar aalah 1 ' = a 1 + a x + + a x Perlu erhatka bahwa utuk seta olomal a g alam F a sebarag a F seatasa berlaku hal-hal berkut : ( + g) ' = ' + g ' ( g )' = ' g + g ' ( a )' = a ' Msalka = g h utuk utuk sebarag olomal g ega erajat 1 Dar ugs atas meghaslka ' = ggh ' + g h' = g(g' h+ gh') Sehgga a ' memuya aktor bersama yatu g ega erajat 1 Dalam kasus x P = x x sehgga 1 P ' = 1 0 Sesua teorema 3 P tak memuya akar berlat alam erluasa Z Itu artya bahwa P tak memuya aktor yag berulag atau P tak memuya aktor yag membag x x lebh ar sekal Bukt (b): Msalka suatu olomal mok yag tak tereuks alam Z ega erajat membag Aka tujukka membag x x Karea membag maka 1 membag 1 alam Z Dega emka 1 x 1 membag 1 1 x alam Z Da jka keua olomal atas kalka ega x eroleh membag x x alam Z x x 69

6 Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 Sekarag tak tereuks alam Z ega erajat sehgga K = Z [ X ] aalah laaga ega eleme Selajutya olomal mmal ar α = x + ( ) K atas Z aalah Karea K* aalah gru ega 1 eleme 1 maka uya α 1 a jka betuk kalka ega α eroleh α α = 0 yatu α aalah akar ar olomal x x Z [x] karea olomal mmal α atas Z aalah maka harus membag x Semetara olomal terakhr membag x x x Ja juga membag x x Bukt (c): Msalka olomal mok yag Z x yag membag tak tereuks alam [ ] x a bererajat Sebagamaa aa embukta (b) aat lhat bahwa x aalah aktor ar x Dega x megasumska juga aktor ar x maka aalah aktor ar gc( x x x x ) Sehgga eroleh x GCD( ) gc( 1 1) gc( x 1 x 1) = x = x 1 Dar s eroleh x rma relat terhaa semua olomal yag tujukka megalka ega x eroleh D = gc( x x x x) = x x Sebagamaa aa embukta (b) ega K = Z[ x] a α = x + ( ) maka K = Z [α] Kta ketahu bahwa K memuya GCD ( ) eleme a seta eleme ar K aalah akar ar x Dberka e = gc( ) ar uraa atas x x e x x aalah aktor ar x ja x e x memuya akar yag berbea alam K Akar-akar tersebut membetuk sebuah laaga baga L ar K Teta membag x e x ja α L Lagula Z termuat alam L Oleh karea tu K = Z [α] termuat alam L sehgga e L = K karea tu = ja e = Sehgga terbukt membag Dar egerta olomal mmal a uraa sebelumya ketahu bahwa olmmal yag aka tetuka aalah aktor (yag meruaka olomal tak tereuks) ar = x x Sehgga utuk meaatka olmal mmal atas GF yag membagu GF ega a ketahu terlebh ahulu betuk olmal = x x Polomal aktorka ega meetuka kosetkoset sklotomkya a megguaka metoe aktor ersekutua terbesar (gc) Des 13 [8] Msalka suatu blaga bulat tertetu 0 m 1 Koset-koset sklotomk ( moulo m) yag memuat blaga rma a m blaga bulat ost yataka sebaga berkut: { s C = 1 } ega eleme-eleme hmua ambl ar mo m a s blaga bulat terkecl semka sehgga s ( mo m) = { C / 0 m 1} C aalah hmua koset-koset sklotomk ar moulo m Teorema 14 [8] Jka suatu olomal mok bererajat m atas F = GF a g suatu olomal atas F ega eg g x m serta memeuh ( ) 1 [ g ] g ( mo ) r = = gc( g s) maka 1 Bukt: Msalka gc ( g s) membag habs utuk seta s F Selajutya karea 70

7 Nuug Ara Bambag Irawato (Meetuka Polomal Mmal atas G P yag membagu G P N ) gc gc ( a b) = gc( a b a) ( g s g t) = ( g s s t) = 1 1 a gc utuk s t ega t F maka gc ( gc( g s) gc( g t) ) = 1 utuk s t Dega emka gc x g x s membag habs ( ( ) ( ) ) Dar eesa g membag habs [ g ] g Sehgga aat y = ( y s) maka y [ g ] g = g s a membag habs emka ( g s) g s Dega membag habs gc Terakhr karea a ( g s) gc keuaya olomal mok aat smulka x = gc x g x s ( ) ( ( ) ( ) ) Dar teorema 1 ketahu bahwa aktor atau olomal yag car aalah olomal yag bererajat Kemua satu cr lag ar olomal yag aat megkostruks GF secara mlst aat lhat aa rooss a es eleme rmt berkut Prooss 15 [10] Msalka F laaga berhgga ega eleme Msalka θ eleme rmt ar F a M olomal mmal atas Z Maka F somors ega Z x M x Dalam hal eg M = [ ] ( ) Des 16 [] Msalka θ 0 θ GF a memeuh 1 = ersamaa θ 1 maka θ kataka eleme rmt ar GF jka hasl eragkata θ ega agkat kurag ar 1 ( θ 0 < 1 ) semuaya berbea Dega emka jka θ aalah eleme rmt maka 0 3 θ ( = 1) θ θ θ θ kesemuaya berbea a semua eleme tersebut alam GF serta θ 1 utuk 0 < < 1 Cotoh Msal berka GF ega = 3 maka aat kostruks laaga GF ar 3 olomal x + x + yag meruaka olomal yag tak tereuks atas GF 3 Daat lhat bahwa kelas resu x ar x + x + memuya eleme rmt x = x = x + 1 Kelas-kelas resu tersebut aalah 0 x = [ x ] 5 = x [ ] [ x ] = x [ x ] = x + 7 [ x ] = x + 1 [ x ] = x [ x ] = x + 1 [ x ] = 1 4 [ x ] = Karea θ 0 < 1 semuaya berbea maka kelas resu x memuya eleme rmt Jka yag guaka aalah x + 1 yag juga tak tereuks atas GF 3 maka mash aka aatka sebuah laaga ega 9 eleme Namu x + 1 tak memuya eleme rmt sebab akar ar x + 1 haya memuya orer 4 sebagamaa yag tujukka berkut Dar x = 1 = eroleh 0 x = [ x ] 3 = x [ ] 1 [ x ] 1 = x [ ] 4 x = [ ] 1 x = Karea θ aalah eleme ar yatu θ meruaka akar ar salah GF satu olomal tak tereuks yag meruaka aktor ar x x = 71

8 Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 maka olomal mmal atas GF yag membagu GF haruslah memuya akar yag meruaka eleme rmt Dega erkataa la olomal tersebut harus megaug eleme rmt 5 KESIMPULAN Dar uraa atas aat smulka bahwa olomal mmal atas GF yag membagu GF aat eroleh ega roseur berkut : Msal berka GF ega a ketahu maka aat betuk olomal = x x yag memuya aktor-aktor berua olomal mok yag tak tereuks atas GF Dega meetuka koset-koset sklotomk ar olomal tersebut a megguaka metoe aktor ersekutua terbesar (gc) aka eroleh aktor-aktor yag tak tereuks ar maa erajat ar ast membag utuk seta maa meujukka aktor yag ke- a semuaya berbea Polomal mmal yag maksu aalah yag bererajat a memuya eleme rmt [] Bhattacharya P B (1984) Basc Abstract Algebra Cambrge Uversty Press New York [3] Fralegh J B (1994) A Frst Course Abstract Algebra Aso-Wesley Publshg Comay USA [4] Galla Joseh (1990) A Cotemorary Abstract Algebra Seco Eto DC Heath a Comay Massachuetts [5] Glbert Jmm & La (1998) Elemets o Moer Algebra : Seco eto PWS-KENT Publshg Co Bosto [6] Rasghaa MD a RS Aggarwal (1980) Moer Algebra S Cha a Comay Lt New Delh [7] Subyo (001) Faktorsas Polomal x 1 atas Laaga Berhgga Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Doegoro Semarag [8] O Fte Fels wwwmathuregaca/~szecht/te els Dakses: 8 Me WIB [9] Commutatve Rgs a Fte Fels wwwrohassueu/~mosullv/courses/co g04/ff Dakses : 8 Me WIB 6 DAFTAR PUSTAKA [1] Bambag Irawato (001) Galos Fel Program Stu Matematka Jurusa Ilmu-lmu Matematka a Pegetahua Alam Uverstas Gajah Maa Yogyakarta 7

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 1, 41-45, April 2001, ISSN : KETERHUBUNGAN GALOIS FIELD DAN LAPANGAN PEMISAH

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 1, 41-45, April 2001, ISSN : KETERHUBUNGAN GALOIS FIELD DAN LAPANGAN PEMISAH Vol. 4. No. 1, 41-45, Aril 2001, ISSN : 1410-8518 KETERHUBUNGAN GALOIS FIELD DAN LAPANGAN PEMISAH Bambag Irawato Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstact I this aer, it was leared of the ecessary ad sufficiet

Lebih terperinci

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,

Lebih terperinci

BAB III ISI. x 2. 2πσ

BAB III ISI. x 2. 2πσ BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-)

Lebih terperinci

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real. BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks

Lebih terperinci

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Program Stud S1 Tekk Iformatka Fakultas Iformatka, Telkom Uversty SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematka Dskrt (MUG2A3) Halama 1 dar 6 Soal 1 Tetukalah eleme-eleme dar hmpua berkut! 2 x x adalah blaga real

Lebih terperinci

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag

Lebih terperinci

FINITE FIELD (LAPANGAN BERHINGGA)

FINITE FIELD (LAPANGAN BERHINGGA) INITE IELD (LAPANGAN BERHINGGA) Muhamad Zak Ryao NIM: /5679/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd h://zakmahwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sujaa, MSc Jka suau laaga (feld) memua eleme yag bayakya berhgga, maka laaga

Lebih terperinci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari: 5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut

Lebih terperinci

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh

Lebih terperinci

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu

Lebih terperinci

FORMULA BINET DAN JUMLAH n SUKU PERTAMA PADA GENERALISASI BILANGAN FIBONACCI DENGAN METODE MATRIKS. Purnamayanti 1 Thresye 2 Na imah Hijriati 3

FORMULA BINET DAN JUMLAH n SUKU PERTAMA PADA GENERALISASI BILANGAN FIBONACCI DENGAN METODE MATRIKS. Purnamayanti 1 Thresye 2 Na imah Hijriati 3 Jural Matematka Mur a eraa ol 6 No Ju : 38-46 ORMULA BINE AN JUMLAH SUKU PERAMA PAA GENERALISASI BILANGAN IBONACCI ENGAN MEOE MARIKS Puramayat hresye Na mah Hrat 3 [] Alum Mahasswa PS Matematka MIPA Uverstas

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka

Lebih terperinci

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah

Lebih terperinci

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Masalah Norm Mmum (Karat) MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Karat da Dhorva Urwatul Wutsqa Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogakarta Abstract I ths paper, wll be dscussed

Lebih terperinci

Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4 Pengantar Teori Modul Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka

Lebih terperinci

π ( ) menyatakan peluang bahwa

π ( ) menyatakan peluang bahwa GRF RN SNY D SSTE ERSN CHN- OOGOROV u Nugrahe Jurusa eddka atematka F Uverstas uhammadyah uroreo Jala H.. Dahla uroreo e-mal: u_r@telkom.et bstrak Tuua dar eulsa adalah megetahu kostruks betuk graf alra

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Codg Theory KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Muhamad Zak Ryato NIM: 2/56792/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd http://zakmathwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sutjaa, MSc Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear

Lebih terperinci

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut

Lebih terperinci

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)

Lebih terperinci

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE RISI IKLUSI- EKSKLUSI ICLUSIO- EXCLUSIO RICILE rsp Iklus-Eksklus Ada berapa aggota dalam gabuga dua hmpua hgga? A A = A A - A A Cotoh Ada berapa blaga bulat postf lebh kecl atau sama dega 00 yag habs dbag

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah

Lebih terperinci

PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN BELANDA DAN GABUNGAN GRAF KINCIR ANGIN BELANDA

PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN BELANDA DAN GABUNGAN GRAF KINCIR ANGIN BELANDA PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINIR ANGIN BELANDA DAN GABUNGAN GRAF KINIR ANGIN BELANDA Fery Frmasah ), Kk Aryat Sugeg ) Abstrak : Gra G V G, EG dega V G adalah hmpua smpul da G hmpua busur dsebut

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA

Lebih terperinci

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL Rzky Maulaa Nugraha Tekk Iformatka Isttut Tekolog Badug Blok Sumurwed I RT/RW 4/, Haurgeuls, Idramayu, 4564 e-mal: laa_cfre@yahoo.com ABSTRAK

Lebih terperinci

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi.

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi. Mea utuk Data Tuggal Des. Jka suatu sampel berukura dega aggota x1, x, x3,, x, maka mea sampel ddesska : 1... N 1 Mea utuk Data Kelompok Des Mea dar data yag dkelompoka adalah : x x 1 1 1 dega : x = ttk

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema

Lebih terperinci

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag

Lebih terperinci

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc & Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,

Lebih terperinci

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES * PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka

Lebih terperinci

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk

Lebih terperinci

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal. 3-39 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d

Lebih terperinci

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua

Lebih terperinci

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah

Lebih terperinci

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi) Syawaluddin H 1)

Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi) Syawaluddin H 1) Hutahaea Vol. No. Aprl 006 ural TEKNIK SIPIL Peyelesaa Persamaa Dfferesal ega Megguaka Polomal Lagrage Ser I ( Dmes Syawalu H Abstrak Paa paper sajka pegguaa polomal Lagrage utuk meyelesaka suatu persamaa

Lebih terperinci

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi)

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi) B. Meghtug ukura pemusata, ukura letak da ukura peyebara data serta peafsraya A. Ukura Pemusata Data Msalka kumpula data berkut meujukka hasl pegukura tgg bada dar orag sswa. 0 cm 30 cm 5 cm 5 cm 35 cm

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

STATISTIKA A. Definisi Umum B. Tabel Distribusi Frekuensi

STATISTIKA A. Definisi Umum B. Tabel Distribusi Frekuensi STATISTIKA A. Des Umum. Pegerta statstk Statstk adalah kumpula akta yag berbetuk agka da dsusu dalam datar atau tabel yag meggambarka suatu persoala. Cotoh: statstk kurs dolar Amerka, statstk pertumbuha

Lebih terperinci

TAKSIRAN YANG LEBIH EFISIEN UNTUK PARAMETER PADA DISTRUSI WEIBULL. Erma Kusuma Wati 1), Sigit Sugiarto 2), Bustami 2)

TAKSIRAN YANG LEBIH EFISIEN UNTUK PARAMETER PADA DISTRUSI WEIBULL. Erma Kusuma Wati 1), Sigit Sugiarto 2), Bustami 2) TAKSIRAN YANG LEBIH EFISIEN UNTUK PARAMETER PADA DISTRUSI WEIBULL Erma Kusuma Wat, Sgt Sugarto, Bustam emakusumawat7@yahooco Mahasswa Program S Matematka Dose Matematka, Jurusa Matematka Fakultas Matematka

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu. BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas

Lebih terperinci

Pembayaran pertama yang dilakukan pada setiap akhir tahun selama n tahun

Pembayaran pertama yang dilakukan pada setiap akhir tahun selama n tahun Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. ANUITAS DASAR 3. Peahulua Autas aalah seragkaa pembayara yag lakuka paa terval waktu yag sama (per tahu atau sebalkya). Pembayara utuk jagka waktu

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Peahulua Dalam bab aka membahas megea teor-teor tetag statstka oparametrk, korelas parsal tau Keall a korelas parsal meurut Ebuh GU a Oeka ICA.. Statstka Noparametrk Istlah oparametrk

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH BAB ENDAHULUAN. LATAR BELAKANG MASALAH Dalam kehidua yata, sejumlah feomea daat diikirka sebagai ercobaa yag mecaku sederata egamata yag berturut-turut da buka satu kali egamata. Umumya, tia egamata dalam

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab bers defs-defs da sfat-sfat yag petg yag berhubuga dega modul. Hal-hal tersebut dperlua dalam pembahasa megea modul jetf pada Bab III. 2.1. Modul Mata ulah Aljabar Ler membahas

Lebih terperinci

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Mayag Novhta Sar *, Bustam, Sgt Sugarto Mahasswa Program Stud S Matematka FMIPA Uverstas Rau Dose Fakultas

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

INTERPOLASI. FTI-Universitas Yarsi

INTERPOLASI. FTI-Universitas Yarsi BAB VI INTERPOLASI FTI-Uverstas Yars Pedahulua Bla dketahu taulas ttk-ttk (y seaga erkut (yag dalam hal rumus ugs y ( tdak dketahu secara eksplst: Htug taksra la y utuk 3.8! FTI-Uverstas Yars Persoala

Lebih terperinci

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd Galer Soal Dragkum Oleh: ag Wbowo, S.P www.matkzoe.worress.com Jauar Semoga sekt cotoh soal-soal aat membatu sswa alam memelajar Matematka khususya ab Statstka. Kam megusahaka agar soal-soal yag kam bahas

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal

Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal Vol 5, No, 9-98, Jauar 9 But Teorema Ssa Cha dega egguaa deal asmal Abstra Sstem perogruea yag dapat dcar peyelesaaya secara teor blaga dasar teryata dapat dbuta melalu teor-teor strutur aljabar hususya

Lebih terperinci

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain Dalam ubbab 3., kta aka mempelaar alah atu fat petg dar kode wa-dual geap. Sfat terebut dberka oleh Teorema 3.(Teorema Gleao), Teorema ecara megeaka telah meetuka betuk

Lebih terperinci

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit) Jural Sas Matematka da Statstka, Vol., No. I, Jauar ISSN - Peyelesaa Sstem Persamaa Ler Kompleks Dega Ivers Matrks Megguaka Metode Faddev Cotoh Kasus: SPL Kompleks da Hermt F. rya da Tka Rzka, Jurusa Matematka,

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup:

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup: PENDAULUAN D dalam modul Ada aka mempelajar teor gaggua bebas waktu yag mecakup: teor gaggua tak degeeras bebas waktu, teor gaggua degeeras bebas waktu, da efek Stark. Oleh karea tu, sebelum mempelajar

Lebih terperinci

Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance

Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance Peaksra Parameter Model Regres Polomal Berkso Megguaka Metode Mmum Dstace Da Kurawat Dearteme Matematka, FMIPA UI, Kamus UI Deok 16 da61@gmal.com Abstrak Berkso Measuremet Error Model meruaka model regres

Lebih terperinci

DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT

DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT 4.6 Meaksr Asums-asums Keormala Paa embahasa tekk-tekk statstk multvarat, aka bayak asumska bahwa seta vektor observas X berstrbus ormal multvarat. Dketahu ula aa saat ukura

Lebih terperinci

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal

Lebih terperinci

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1 HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBA LINIER HIMPUNAN RENTANGAN Defs (Kombas Ler) Msala V suatu ruag etor atas feld F. w etor d V, da, 1, juga etoretor d V. Vetor w dataa sebaga ombas ler dar etor-etor, 1, ja w

Lebih terperinci

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu

Lebih terperinci

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN Idah Vltr, Harso, Haposa Srat Mahassa Program S Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data //203 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas Ukura

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres

Lebih terperinci

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed

Lebih terperinci

Orbit Fraktal Himpunan Julia

Orbit Fraktal Himpunan Julia Vol. 3, No., 6-7, Jauar 7 Orbt Fraktal Hmpua Jula Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa Abstrak Makalah membahas kumpula ttk-ttk yag berada dalam daerah hmpua Jula d ruag kompleks da memperlhatka sebuah algortma

Lebih terperinci

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma

Lebih terperinci

STATISTIKA. A. Tabel Langkah untuk mengelompokkan data ke dalam tabel distribusi frekuensi data berkelompok/berinterval: a. Rentang/Jangkauan (J)

STATISTIKA. A. Tabel Langkah untuk mengelompokkan data ke dalam tabel distribusi frekuensi data berkelompok/berinterval: a. Rentang/Jangkauan (J) STATISTIKA A. Tabel Lagkah utuk megelompokka data ke dalam tabel dstrbus frekues data berkelompok/berterval: a. Retag/Jagkaua (J) J X maks X m b. Bayak kelas (k) Megguaka atura Sturgess, yatu k,. log c.

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract:

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

BAB 2. Tinjauan Teoritis

BAB 2. Tinjauan Teoritis BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,

Lebih terperinci

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI Tujua utama aalss regres adalah mecar ada tdakya hubuga ler atara dua varabel: Varabel bebas (X), yatu varabel yag mempegaruh Varabel terkat (Y), yatu varabel yag dpegaruh

Lebih terperinci

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka

Lebih terperinci

3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut

3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut 3/9/202 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas

Lebih terperinci

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK BAB ERROR PERHITUNGAN NUMERIK A. Tujua a. Memaham galat da hampra b. Mampu meghtug galat da hampra c. Mampu membuat program utuk meelesaka perhtuga galat da hampra dega Matlab B. Peragkat da Mater a. Software

Lebih terperinci

BAB III ESTIMASI MODEL PROBIT TERURUT

BAB III ESTIMASI MODEL PROBIT TERURUT BAB III ESTIMASI MODEL PROBIT TERURUT 3. Pedahulua Model eurua kods embata destmas dega model robt terurut. Estmas terhada arameter model robt terurut yatu koefse model da threshold dlakuka dega metode

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk

Lebih terperinci

"8, Iurusan r""#iff;mil1ffi$$;i?m"* pontianak APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM.

8, Iurusan r#iff;mil1ffi$$;i?m* pontianak APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM. Kusumastut,N Dsajka ada Semr da Rryat Tahuam BKS-PTN Wlayah Bard ke-21 Uverstas Rau l0 - ll Me 2010,,* G "8, tt'- APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM Iurusa r""#ff;ml1ff$$;i?m"*

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game

Lebih terperinci

BAB 1 STATISTIKA RINGKASAN MATERI

BAB 1 STATISTIKA RINGKASAN MATERI BAB STATISTIKA A RINGKASAN MATERI. Pegerta Data adalah kumpula keteraga-keteraga atau catata-catata megea suatu kejada, dapat berupa blaga, smbol, sat atau kategor. Masg-masg keteraga dar data dsebut datum.

Lebih terperinci

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

Edge Anti-Magic Total Labeling dari Edge At-Magc Total Labelg dar Charul Imro da Suhud Wahyud Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya mro-ts@matematka.ts.ac.d, suhud@matematka.ts.ac.d C Abstract We wll fd edge at-magc total

Lebih terperinci

ANALISIS STABILITAS PADA MODEL EPIDEMIK MULTI GRUP DENGAN LAJU PENULARAN TAK LINEAR

ANALISIS STABILITAS PADA MODEL EPIDEMIK MULTI GRUP DENGAN LAJU PENULARAN TAK LINEAR ANAL TABLTA PADA MODEL EPDEMK MULT GRUP DENGAN LAJU PENULARAN TAK LNEAR Nama : Dy Tr War NRP : 748 Jurusa : Matematka FMPA T Dose Pembmbg : Drs. M. etjo Warko, M. Drs. uhud Wahyud,M. Abstrak Dalam suatu

Lebih terperinci

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka

Lebih terperinci

Regresi & Korelasi Linier Sederhana. Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton ( )

Regresi & Korelasi Linier Sederhana. Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton ( ) Regres & Korelas Ler Sederhaa 1. Pedahulua Gagasa perhtuga dtetapka oleh Sr Fracs Galto (18-1911) Persamaa regres :Persamaa matematk yag memugkka peramala la suatu peubah takbebas (depedet varable) dar

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Persamaa Diferesial Liier Tigkat Satu Betuk umum ersamaa diferesial liier tigkat satu adalah sebagai berikut: P( ) y Q( ) d atau y P( ) y Q( ) Rumus eyelesaia umum utuk ersamaa

Lebih terperinci

KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA

KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA Ibu Hadi Program Studi Matematika, Uiversitas Negeri Jakarta, Idoesia ibu_hadi@uj.ac.id, ibu_uj@yahoo.co.id

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1).

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres

Lebih terperinci