Solusi Reisner-Nordström dalam Teori Gravitasi f(r)

Transkripsi

1 JURNAL FISIKA DAN APLIKASINYA VOLUME 12, NOMOR 2 JUNI 2016 Solusi Reisne-Nodstöm dalam Teoi Gavitasi f(r) Abu Fadlol, Agus Puwanto, dan Bintoo A. Subagyo Juusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopembe (ITS), Kampus ITS Sukolilo, Suabaya Intisai Dalam atikel ini dipeoleh solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r). Menghitung tenso Ricci dan tenso enegi momentum yang besesuaian, didapatkan solusi untuk benda bemuatan dan bemassa masif. Solusi yang didapatkan meupakan peumuman dai solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi Einstein. Didapatkan empat buah nilai singulaitas untuk solusi ini. Abstact In this aticle we pesent solutions of Reisne-Nodstöm in f(r) theoy of gavity. We calculated coesponding Ricci and enegy-momentum tenso as well as thei geneal solutions fo chaged and massive matte field. The solution is a moe common fom of the Reisne-Nodstöm solution in Einstein theoy of gavity. We obtained fou singulaities fo this solution. KATA KUNCI: Reisne-Nodstöm solution, f(r) theoy of gavity, Einstein theoy of gavity, singulaity I. PENDAHULUAN Pada bebeapa dekade tekhi untuk menjelaskan pengamatan astofisika yang behubungan dengan kuva otasi dai galaksi spial kita memunculkan konsep tentang dak matte. Tak lama kemudian kembali kita dipaksa meneima konsep dak enegy untuk menjelaskan akseleasi dai ekspansi alam semesta yang didukung oleh pengamatan pegesean meah dai supenova [1]. Adanya indikasi matei gelap petama kali diamati oleh Fits Zwicky [2] dengan mengamati geak galaksi-galaksi anggota gugus galaksi Coma bedasakan kecepatan geak. Kemudian Vea Rubin [3], meneliti keceahan bintang dan gas yang begeak pada bebeapa galaksi di sekita galaksi Bima Sakti menggunakan spektogaf. Pengamatan yang tekenal adalah bullet cluste, tabakan anta dua kluste galaksi. Tabakan kedua kluste galaksi tesebut mengakibatkan pusat massa tiap kluste, yang sehausnya di pusat massa bayon, tenyata tidak beada di pusat bayon. Sehingga seolah ada massa tambahan yang tidak telihat tapi bisa dideteksi melalui pelensaan gavitasi. Adanya massa tambahan inilah teindikasi adanya matei gelap. Kebeadaan matei gelap ini besifat stabil, tidak beinteaksi elektomagnetik dan bisa dideteksi kebeadaannya melalui inteaksi gavitasi. Fenomena bullet cluste menunjukkan sifat inteaksi anta matei gelap sendii tenyata cukup lemah [4]. Saat ini, kebeadaan matei tampak pada alam semesta dipekiakan sekita 4% dai keseluuhan massa dan enegi. Sekita 23% disebut matei gelap (patikel-patikel yang beinteaksi hanya melalui inteaksi lemah dan gavitasi), dan 73% adalah enegi gelap. Kandidat enegi gelap tebaik memi- fadlol13@mhs.physics.its.id b\ anang@physics.its.ac.id liki konstanta kosmologi positif sangat kecil yang diidentifikasi pada enegi vakum dalam model standa [5]. Di sisi lain, kajian mengenai modifikasi pesamaan medan Einstein dilakukan dengan mengesampingkan asumsi indikasi kebeadaan matei gelap dan enegi gelap [1]. Hal ini mendoong telaah lebih jauh mengenai modifikasi gavitasi Einstein yang mengakomodasi ketidakhadian matei gelap dan enegi gelap [1]. Salah satu modifikasi yang paling sedehana pada teoi gavitasi Einstein adalah dengan menambah suku invaiant dengan ode yang lebih tinggi dalam aksi Einstein-Hilbet standa, yang disebut sebagai teoi gavitasi beode tinggi. Penambahan suku ini dimotivasi oleh pemasalahan dalam kosmologi dan astofisika[6]. Sebagai contoh, kasus yang mempetimbangkan pengauh ode tinggi dai kuvatu adalah apa yang disebut dengan teoi gavitasi f() (lihat [7],[6],[8] untuk eview). Pada teoi gavitasi f(), aksi meupakan sembaang fungsi dai kuvatu skala R. Ketika f(r) = R, teoi kembali menjadi gavitasi Einstein semula. Teoi gavitasi f(r) membentuk suatu pesamaan medan yang meupakan modifikasi dai teoi gavitasi Einstein. Dalam penelitian ini akan dicai solusi pesamaan medan gavitasi f(r) untuk benda bemuatan dan bemassa masif. II. TEORI GRAVITASI f(r) Teoi gavitasi f(r) meupakan salah satu jenis modifikasi teoi gavitasi Einstein, dengan R meupakan skala kelengkungan Ricci. Teoi gavitasi f(r) diusulkan petama kali oleh Hans Adolp Buchdahl pada tahun 1970 [9]. Teoi gavitasi f(r) ditinjau dengan pendekatan metik, untuk kepeluan kajian solusi yang mungkin dai teoi gavitasi f(r), kita mulai dai aksi I = I g + I m, (1) c Juusan Fisika FMIPA ITS -93

2 dengan I m meupakan aksi massa dan I g adalah aksi gavitasi: I g = 1 d 4 x g(r + f(r)). (2) 16πG Memvaiasi aksi Pes.(1) tesebut tehadap g µν, akan kita dapatkan pesamaan medan dalam bentuk metik: R µν (1 + F (R)) 1 2 g µν(r + f(r)) + ( µ ν g µν )F (R) = 8πGT µν, (3) dengan = α α ( adalah tuunan kovaian) dan F (R) = df(r)/dr. Pehitungan tace dai Pes. (3) menghasilkan : R(1 + F (R)) 2(R + f(r)) 3 F (R) + 8πG = 0. (4) Tidak sepeti dalam teoi gavitasi Einstein, solusi vakum (T = 0) tidak selalu mengimplikasikan nilai nol pada skala kuvatunya R = 0. Dai Pes.(3), dapat dipeoleh kondisi dengan konstanta vakum untuk skala kuvatu R = R 0 : dengan dω 2 = dθ 2 +sin 2 θdφ 2. Elemen gais Pes.(11), membeikan bentuk tenso metik kovaian g µν beikut e 2ν g µν = 0 e 2λ , (12) sin 2 θ dengan bentuk kontavaian dai tenso metik diatas yaitu e 2ν g µν = 0 e 2λ (13) sin 2 θ Nilai dai simbol Chistoffel jenis ke-2 dai tenso metik di atas adalah Γ ρ µν = g ρσ Γ σ,µν = 1 2 gρσ ( ν g µσ + µ g νσ σ g µν ) (14) R µν (1 + F (R)) 1 2 g µν(r 0 + f(r 0 )) = 0, (5) sehingga tenso Riccinya dapat dituliskan: R µν = R 0 + f(r 0 ) 2(1 + F (R 0 )) g µν, (6) dengan 1 + F (R 0 ) 0. Jika kita ambil tace dai Pes.(5), R 0 (1 + F (R)) 2(R 0 + f(r 0 )) = 0, (7) Komponen- yang bejumlah sebanyak 64 komponen. komponen yang tidak benilai 0 adalah: Γ 0 01 = Γ 0 10 = ν Γ 1 00 = ν e (2ν 2λ) Γ 1 11 = λ Γ 1 22 Γ 1 33 = e 2λ = sin 2 θ e 2λ kita akan peoleh konstanta kuvatu solusi vakum III. R 0 = 2f(R 0) F (R 0 ) 1. (8) SOLUSI REISNER-NORDSTRÖM DALAM TEORI GRAVITASI f(r) Solusi Reisne-Nodstöm adalah solusi pesamaan medan untuk suatu benda bemuatan dan bemassa masif. Jika massa benda m bemuatan total q, maka nilai tenso enegi momentum dalam pesamaan medan adalah tenso enegi momentum untuk medan elekto magnetik yang disebabkan oleh muatan total q. Tenso enegi momentum dalam kasus ini adalah: T µν = F γ ν F µγ g µνf γλ F γλ, (9) dengan F µν meupakan tenso kuat medan F µν = µ A ν ν A µ. (10) Untuk mendapatkan solusi Reisne-Nodstöm, kita mulai dai elemen gais untuk kasus simeti bola ds 2 = e 2ν() dt 2 + e 2λ() d dω 2, (11) Tenso Ricci-nya: Γ 2 12 Γ 2 33 Γ 3 13 Γ 3 23 = Γ 2 21 = 1 = sin θ cos θ = Γ 3 31 = 1 = Γ 3 32 = cot θ R µν = ν Γ σ µσ σ Γ σ µν + Γ ρ µ ν Γ σ ρν Γ ρ µνγ σ ρσ. (15) Komponen-komponen simbol Cistoffel membeikan komponen-komponen tenso Ricci yang tidak nol sebagai beikut R 00 = ( ν + ν λ ν 2 2ν ) e 2ν 2λ R 11 = ν + ν 2 λ ν 2λ R 22 = (1 λ + ν )e 2λ 1 R 33 = sin 2 θr 22 (16) Solusi yang akan dicai adalah solusi dengan konstanta kuvatu pada keadaan vakum R 0 untuk sebuah objek bemassa masif. Pada kasus ini, Pes.(3) menjadi R µν (1 + f(r 0 )) 1 2 g µν(r 0 + F (R 0 )) = 8πGT µν (17) -94

3 R0 < R0= R0= R0= R0= R0= R0= Gamba 1: R 0 < 0 pada solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r) atau R µν = 1 (R 0 + f(r 0 )) 2 (1 + F (R 0 )) g µν + 8πGT µν (1 + F (R 0 )) = R 0 4 g µν + 8πGT µν (1 + F (R 0 )). (18) Nilai dai komponen tenso enegi momentum yang tidak nol T 00 T 11 T 22 = 1 2 k2 e 2λ = 1 2 k2 e 2ν = k 2 e 2λ 2ν T 33 = k 2 e 2λ 2ν sin 2 θ, (19) dengan k = q/4πɛ 0 2. Menggunakan Pes.(18) dan Pes.(16) akan dipeoleh λ = ν, sehingga bagian R 22 membeikan (1 + 2ν )e 2ν 1 = R 0 8πG 4 2 2(1 + F (R 0 )) 2 k 2, evaluasi lebih lanjut menghasilkan e 2ν = 1 + R m + Q 2 2 (1 + F (R 0 )), (20) dengan Q 2 = Gq 2 /4πɛ 2 0 yang menyatakan paamete muatan listik dan m menyatakan paamete massa. Subtitusikan Pes.(20) dalam Pes. (11) akan membei elemen gais ds 2 = 2 dt2 + 2 d2 + 2 dω 2, (21) dengan = 2 + R 0 Q m, (22) 1 + F (R 0 ) Elemen gais pada Pes.(21) dapat disebut sebagai solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r). Tidak sepeti dalam kasus teoi gavitasi Einstein, kontibusi muatan patikel dalam metik memiliki tambahan fakto koeksi (1 + F (R)) 1. Sebagai penyedehanaan, Q 2 (1 + F (R 0 )) 1 kita tuliskan sebagai Q 2. Metik Pes.(21) akan menjadi takhingga nilainya atau singulaitas jika dipenuhi = 2 + R m + Q 2 = 0. (23) IV. PEMBAHASAN Bentuk Pes.(23) akan membeikan empat nilai untuk yaitu, dalam, lua dan k. meupakan solusi yang selalu negatif sehingga kita abaikan. Dua titik pepotongan menyatakan dalam dalam, lua adalah solusi yang sebanding dengan solusi untuk di dalam dan lua benda sedangkan k adalah solusi bau yang belum kita ketahui dampaknya. Analisis hubungan antaa dan dilakukan dengan menganalisis gafik yang dipeoleh dai hubungan keduanya. Untuk kasus R 0 < 0 (Gamba 1) dapat dilihat ada bebeapa nilai R 0 yang menghasilkan tiga buah pepotongan pada sumbu, yaitu, dalam, lua dan k. Dai Gamba 1 telihat bahwa dalam < lua < k. (24) dalam dan lua meupakan cakawala peistiwa sepeti halnya di teoi elativitas Einstein untuk kasus benda statik bemuatan (Untuk solusi dalam elativitas Einstein lihat [10]). -95

4 R0 > R0=100 R0=8 R0=1 2 R0= Gamba 2: R 0 > 0 pada solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r) R0 = Gamba 3: R 0 = 0 pada solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r) Singulaitas k meupakan sumbangsih dai suku R 0, singulaitas ini bekaitan dengan singulaitas kosmik. Untuk nilai R 0 > 0, Gamba 2 menunjukkan adanya dua pepotongan gafik pada sumbu. Hal ini menunjukkan nilai k pada R 0 > 0 akan menghilang. Jika R 0 = 0 atau limit teoi gavitasi Einstein, maka akan menjadi = 2 + R m + Q 2, = 2 2m + Q 2 yang hanya mempunyai dua singulaitas yaitu di dalam dan lua sepeti ditunjukkan Gamba 3, untuk nilai R 0 = 0 atau kasus limit teoi gavitasi Einstein akan dipeoleh pepotongan pada dua titik di sumbu. Hal ini sesuai dugaan bahwa untuk R 0 = 0, maka kasus dalam teoi gavitasi f(r) akan kembali solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi elatifitas umum [10],[11]. V. SIMPULAN Solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r) ditunjukkan oleh Pes.(21). Solusi ini akan mencapai singulaitas jika Pes.(23) dipenuhi. Singulaitas yang dipeoleh untuk kasus R 0 0 adalah, dalam, lua dan k. Pada kasus R 0 < 0, dipeoleh tiga buah solusi yaitu dalam, lua dan k. Sedangkan untuk R 0 > 0 dipeoleh dua singulaitas yaitu di dalam dan lua. Pada saat limit R 0 menuju 0, singulaitas solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi f(r) akan menjadi singulaitas solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi Einstein. Hal ini membeikan simpulan -96

5 bahwa solusi Pes.(21) meupakan bentuk yang lebih umum dai solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi Einstein. Singulaitas dalam dan lua sama halnya dengan dua singulaitas dai solusi Reisne-Nodstöm dalam teoi gavitasi Einstein. Singulaitas k yang nilainya dalam < lua < k membei tafsian bahwa ada tambahan singulaitas untuk solusi Reisne-Nodstöm yang ukuannya lebih besa dai singulaitas yang dihasilkan dalam teoi elativitas Einstein. [1] T.P. Sotiiou, and V. Faaoni, Rev. Mod. Phys. 82, (2010). doi: /revmodphys [axiv: [g-qc]]. [2] W. Baade, F. Zwicky, On Supe Novae, Poc Natl Acad Sci USA,20(20), (1934). [3] V.C. Rubin, and W.K. Fod, J., Astophys. J. 159, (1970). doi: / [4] D. Clowe, et al., ApJ, 648, L109-L113 (2006),. [5] L. Fatibene, and S. Gauto, Extended Gavity, axiv: v1 [g-qc] 27 Ma [6] C.A. Spoea, Note on f(r) Theoies of Gavity, axive: v2[g-qc] [7] A. De Felice, and S. Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13, 3 (2010). doi: /l [axiv: [g-qc]]. [8] S. Capozziello, and V. Faaoni, Beyond Einstein Gavity; A Suvei of Gavitational Theoies fo Cosmology And Astophysics (Spinge,Napoli, 2011). [9] H.A. Buchdahl, Mon. Not. Roy. Aston. Soc. 150, 1-8 (1970). [10] S.M. Caoll, Spacetime and geomety: An intoduction to geneal elativity (San Fancisco, USA: Addison-Wesley, 2004). [11] L. Ryde, Intoduction to geneal elativity (Cambidge, UK: Cambidge Univ. P., 2009). -97