Contoh klasik dari persamaan hiperbolik adalah persamaan gelombang yang dinyatakan oleh

Transkripsi

1 APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan geometris bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan differensial parsial. Yang sesungguhnya, kisaran penerapan persamaan diferensial parsial sangatlah besar, dibandingkan dengan kisaran penerapan persamaan diferensial biasa. Aplikasi Persamaan Diferensial Parsial yang paling sering dijumpai di teknik mesin adalah pada persamaan gelombang (Wave equation), persamaan panas (Heat Equation) dan persamaan laplace (Laplace Equation). WAVE EQUATION Contoh klasik dari persamaan hiperbolik adalah persamaan gelombang yang dinyatakan oleh Persamaan ini muncul dalam berbagai masalah dari elastisitas dan akustik sampai hidraulika. Oleh sebab itu, dari tiga bentuk persamaan diferensial parsial yang kita ketahui, persamaan hiperbolik merupakan persamaan yang paling banyak dikaji oleh ilmuwan komputasi. Jika persamaan gelombang diatas didekati menggunakan pendekatan beda hingga, maka dapat dituliskan sebagai dengan

2 Dengan Menyelesaikan dan memecahkan variabelnya, maka diperoleh Persamaan ini menjelaskan kepada kita bahwa apabila kita mengetahui u pada seluruh xi pada saat-saat tj dan tj-1 maka kita dapat menentukan harga u pada seluruh xi pada langkah waktu berikutnya. Hal ini disebut dengan metode eksplisit. Tetapi, ada sedikit masalah pada permulaan perhitungan, karena secara umum kita tidak mengetahui harga u pada dua waktu berturut-turut. Sedangkan, kita harus mengetahui harga u(xi,0) dan derivatif di seluruh harga xi. Oleh sebab itu, dengan mengetahui ungkapan atau bisa juga dengan Maka dengan persamaan diatas kita dapat menyatakan bahwa Jika seutas tali (benang, senar gitar dan sebagainya) yang panjangnya L direntang sampai mencapai tegangan maksimum dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap di x=0 dan x = L, kemudian digetarkan, maka posisi tali akan menyimpang dari posisi setimbang.

3 Untuk merumuskan persamaan dari getaran tali, digunakan asumsi sebagai berikut : 1. Massa persatuan panjang dari tali konstan (tali homogen). 2. Tali elastis sempurna, sehingga tidak ada gaya luar yang mempengaruhi getaran tali (tali bergetar semata-mata karena keelastisannya) 3. Karena tegangan tali maksimum, maka tali maksimum, maka nilai gaya grafitasi bisa diabaikan 4. Setiap partikel tali hanya bergerak secara vertical secara koefisien Karena partikel tali hanya bergerak secara vertikel, maka T cosα = T cosβ = T = 1 2 konstan Sehingga resultan gaya yang bekerja adalah :T cosβ T sin α 2 1. menurut hukum Newton II : F =ma

4 Persamaan gelombang dimensi 1. dengan : T = tegangan tali ñ =densitas massa tali (massa persatuan panjang) Syarat batas persamaan gelombang 1 dimensi adalah : Karena ujung-ujung tali diikat pada x = 0 dan x = L, maka kondisi batasnya adalah y(0,t) = y(l,t) = 0 Gerakan tali tergantung pada simpangan/defleksi awal juga kecepatan awalnya, maka kondisi awalnya adalah : Persamaan getaran tali satu dimensi diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel.

5 HEAT EQUATION Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin. Temperatur batang merupakan fungsi waktu dan ruang Terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama Terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua Langkah hitungan pada FDA T pada waktu t+δt dihitung berdasarkan T pada waktu t T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T yang mana yang dipakai? jika T pada waktu t dinamai skema eksplisit jika T pada waktu t+δt dinamai skema implisit

6 Misalkan bila ada batang yang dapat menghantarkan panas. Batang tersebut homogeny dengan panjang L dengan luas potongan melintang A. Batang di balut dengan bahan penyekat (insulator) sehingga tidak ada energy panas penyekat mengalir ke luar dalam arah Y & Z. Bila diketahui temperatur awal sepanjang batang, Bagaimana temperatur pada setiap posisi x bila t>0 Karena temperatur adalah fungsi dari dua variabel bebas, maka dibutuhkan persamaan diferensial parsial untuk mendekati perilakunya. Perbedaan temperatur sepanjang batang menyebabkan panas mengalir dari daerah yang panas ke dingin. Bila kita definisikan fungsi aliran panas sebagai : = jumlah energy panas persatu satuan waktu yang mengalir melalui batang pada posisi x, saat waktu t. Membuat Modal Konduksi Panas u(x,t) = temperatur pada posisi x saat waktu t Bila diketahui temperatur awal sepanjang batang,. Bagaimana temperatur pada setiap posisi x bila t>0 Karena temperatur adalah fungsi dari dua variabel bebas, maka dibutuhkan persamaan diferensial parsial untuk mendekati perilakunya. Perbedaan temperatur sepanjang batang menyebabkan panas mengalir dari daerah yang panas ke dingin. Bila kita definisikan fungsi aliran panas sebagai : q(x, t) = jumlah energy panas persatu satuan waktu yang mengalir melalui batang pada posisi x, saat waktu t.

7 Prinsip diatas secara matematik dapat dinyatakan sebagai :

8 LAPLACE EQUATION Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks. Bila persamaan aljabar dalam dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial(transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace.

9 Suatu kelebihan metode transformasi Lapalace adalah bahwa metode ini memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak. Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah: Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace. Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace. Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu. Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu. Sebuah plat logam persegi tipis kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas sisi-sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai (steady-state condition) Persamaan Laplace dan Temperatur Keadaan Tetap (Steady-state) Bila pelat 2 dimensi persegi panjang sbb :

10 Bila kita asumsikan bagian atas dan bawah pelat benar-benar tersekat (terisolasi), sehingga panas hanya bisa merambat pada arah x dan y. karena posisi x dan y berubah terhadap waktu t, maka U=u(x,y,t) Kondisi Batas

11

12 Sumber : fadlibae.files.wordpress.com/2010/04/transformasi-laplace.pdf