Diterbitkan secara mandiri melalui Nulisbuku.com

Transkripsi

1

2 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL UNTUK SAINS DAN TEKNIK Komputasi Metode Beda Hingga untuk Tipe Parabolik dan Hiperbolik Menggunakan FreeMat/MATLAB Dr. Putu Harry Gunawan 26 Diterbitkan secara mandiri melalui Nulisbuku.com Corresponding author. Tel Computational Sciences, School of Computing, Telkom University.

3 Pengantar Persamaan Diferensial Parsial untuk Sains dan Teknik Hak cipta c 26 oleh Dr. Putu Harry Gunawan Desain Cover: Dr. Putu Harry Gunawan Editor Tulisan: Friska Fristella, S.Si., M.Si., M.Sc. Penerbit: ILP Center Lt. 3S Jl. Raya Pasar Minggu No. 39A Pancoran, Jakarta Selatan 278

4 Kata Pengantar Puji syukur penulis panjatkan ke hadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat dan rahmat Beliau, buku ini dapat diselesaikan dan diterbitkan tepat waktu. Buku ini merupakan pengantar persamaan diferensial parsial (PDP) untuk level strata dan yang setara. Materi yang disampaikan pada buku ini merupakan bagian terkecil dari materi PDP keseluruhan. Hanya PDP tipe parabolik dan hiperbolik berdimensi satu (D) dan dua (2D) saja yang akan dibahas. Algoritma dan contoh program dengan bahasa pemrograman gratis FreeMat (mirip MATLAB) juga dibahas. Kode program Freemat mirip dengan MATLAB, sehingga pembaca dapat menjalankan kode program pada dua perangkat lunak yang berbeda. Penulis mengucapkan terima kasih banyak atas masukan dan saran yang sudah diberikan oleh beberapa kolega untuk memperbaiki dan meningkatkan kualitas isi dari buku ini. Terima kasih juga saya ucapkan kepada jurusan Ilmu Komputasi, Telkom University, karena memberikan kesempatan kepada penulis untuk dapat mengajar PDP sehingga muncul ide untuk membuat buku ini. Terakhir tapi bukan yang paling akhir, penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada orangtua dan saudara-saudara yang senantiasa memberikan doa yang tidak mungkin penulis dapat membalasnya. Penulis juga memberikan kesempatan kepada pembaca untuk memberikan masukan, pertanyaan atau ide jika ada yang perlu diperbaiki dari segala sisi buku ini. Silakan mengirimkan ke untuk saran dan pertanyaan. Dr. Putu Harry Gunawan 26

5 Bab : Dr. Putu Harry Gunawan ii

6 Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Algoritma Daftar Program FreeMat/MATLAB i iii vii xi xiii Tentang Buku. Motivasi Panduan Pembaca Catatan Pengantar PDP 5 2. Konsep Dasar PDP Kehomogenan Orde Kelinieran Klasifikasi PDP Aplikasi PDP Latihan Daftar Pustaka

7 Bab : Daftar Isi 3 Separasi Variabel 9 3. Masalah Nilai Eigen Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Koefisien Fourier Separasi Variabel untuk Persamaan Gelombang Latihan Daftar Pustaka Metode Beda Hingga untuk D Parabolik Masalah Persamaan Panas D Skema Numerik Program FreeMat/MATLAB Latihan Daftar Pustaka Metode Beda Hingga untuk D Hiperbolik 5 5. Masalah Persamaan Gelombang D Skema Numerik Program FreeMat/MATLAB Latihan Daftar Pustaka Metode Beda Hingga 2D Parabolik Masalah Persamaan Panas 2D Skema Numerik Program FreeMat/MATLAB Latihan Daftar Pustaka Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik Masalah Persamaan Gelombang 2D Skema Numerik Program FreeMat/MATLAB Batas Dirichlet Dr. Putu Harry Gunawan iv

8 Bab : Daftar Isi Batas Neumann Latihan Daftar Pustaka Implementasi PDP Aliran Air Tanah (Groundwater flow) Model Groundwater flow Program FreeMat/MATLAB Daftar Pustaka Gelombang Air Model SWE dan Gelombang Program FreeMat/MATLAB Daftar Pustaka Daftar Pustaka Lengkap 5 Tentang Penulis 2 Dr. Putu Harry Gunawan v

9 Bab : Daftar Isi Dr. Putu Harry Gunawan vi

10 Daftar Gambar. Flowchart pembahasan materi PDP Sketsa masalah difusi Gangguan vertikal senar Peregangan senar dengan sudut kecil Konfigurasi fisik sebuah batang besi dengan panjang L [Gun6] Solusi dari persamaan panas dengan f(x) = 3 sin(πx)+5 sin(4πx) untuk t =,. dan Solusi dari persamaan panas dengan f(x) = Solusi u(x, t) pada Contoh 3.4. untuk (x, t) ([, ] [, 3]) Solusi dari persamaan gelombang u(x, t) pada Contoh untuk (x, t) ([, ] [, 3]) Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi Bentuk jaring titik-titik diskrit domain waktu dan spasial Stencil untuk skema explicit FTCS (Forward Time Central Space) Perbandingan numerik persamaan panas stabil dan tidak stabil Hasil plot program untuk Contoh dengan waktu t = (atas) sebagai nilai awal dan t = 4 Δt (bawah) sebagai nilai akhir

11 Bab : Daftar Gambar 5. Bentuk jaring titik-titik diskrit domain waktu dan spasial untuk (5.2.) Perbandingan hasil numerik persamaan gelombang stabil dan tidak stabil Hasil dari simulasi numerik dengan menggunakan Δt = 5 2 dari awal sampai waktu akhir t = 6Δt Contoh penyebaran panas pada wajan yang panaskan Daerah perhitungan dalam dua-dimensi. Daerah dalam dinotasikan dengan Ω dan daerah batas / boundary dengan Ω Daerah diskrit untuk spasial 2D yaitu x dan y Perbandingan hasil numerik 2D persaman panas stabil dan tidak stabil Hasil simulasi numerik 2D persamaan panas Posisi awal domain bentuk L Sebaran panas pada titik-titik diskrit domain bentuk L pada waktu akhir t =.25 (atas) dan t =.25 (bawah) Alat musik gendang menghasilkan suara dari vibrasi selaput gendang Daerah diskrit untuk spasial 2D yaitu x dan y Perbandingan hasil numerik 2D persamaan gelombang stabil dan tidak stabil Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang dengan syarat batas Dirichlet Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang dengan syarat batas Dirichlet Gelombang yang ditimbulkan oleh tetesan air Ilustrasi vektor normal n(x) pada daerah batas Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang batas Neumman Hasil simulasi numerik 2D persamaan gelombang batas Neumman Ilustrasi air tanah Dr. Putu Harry Gunawan viii

12 Bab : Daftar Gambar 8.2 Terjadi aliran air tanah karena turunnya ketinggian air sungai Hasil simulasi numerik pada model aliran air tanah Ilustrasi linier SWE Hasil simulasi numerik standing wave Hasil simulasi numerik dam-break Hasil simulasi numerik breaking wave Dr. Putu Harry Gunawan ix

13 Bab : Daftar Gambar Dr. Putu Harry Gunawan x

14 Daftar Algoritma Algoritma persamaan panas D Algoritma persamaan gelombang D Algoritma persamaan panas 2D Algoritma persamaan gelombang 2D

15 Bab : Daftar Algoritma Dr. Putu Harry Gunawan xii

16 Daftar Program 4. Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan panas D Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang D Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan panas 2D Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang 2D Kode FreeMat/MATLAB untuk model aliran air tanah Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang air kasus standing wave Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang air kasus dam-break Kode FreeMat/MATLAB untuk persamaan gelombang air kasus breaking wave

17 Bab : Daftar Program Dr. Putu Harry Gunawan xiv

18 Bab Tentang Buku. Motivasi Buku ini ditulis sebagai catatan kuliah Persamaan Differensial Parsial (PDP) di jurusan S Ilmu Komputasi, Telkom University. Dalam bab-bab selanjutnya, mulai dari konsep dasar PDP, pencarian solusi analitik dengan menggunakan separasi variabel, sampai solusi numerik dengan metode beda hingga (finite difference method) pada PDP tipe parabolik dan hiperbolik akan dijelaskan. Untuk tipe parabolik dan hiperbolik, Algoritma dan contoh program komputer menggunakan bahasa pemrograman FreeMat (open source) yang mirip dengan MATLAB (berbayar). Perlu diketahui bahwa MATLAB adalah perangkat lunak yang berbayar dan membutuhkan license. Sedangkan FreeMat adalah perangkat lunak open software yang bebas kita unduh tanpa menggunakan license. Untuk melihat FreeMat lebih jauh, silakan kunjungi webiste Tidak memungkiri bahwa buku ini merupakan bagian yang sangat kecil dari materi PDP yang sebenarnya. Beberapa hal menarik pada materi kuliah PDP lainnya seperti solusi PDP tipe Eliptik, pembahasan konservasi massa, metode karakteristik, dan lain sebagainya tidak dibahas dalam buku ini. Buku ini dirancang untuk mahasiswa s jurusan teknik dengan memperkenalkan

19 Bab : Tentang Buku notasi-notasi matematika yang biasanya digunakan untuk memodelkan PDP. Mengingat bahwa materi PDP sangat luas, maka penulis hanya memberikan beberapa materi khusus untuk tipe PDP. Pada PDP tipe parabolik, persamaan konduktivitas panas D dan 2D saja yang akan dibahas. Sedangkan pada tipe hiperbolik, hanya persamaan gelombang orde dua D dan 2D yang akan dikupas lebih detail. Gambar.: Alur atau flowchart materi yang akan dijelaskan pada buku ini. Panah bergaris tebal menyatakan materi yang akan dibahas pada buku. Sedangkan panah bergaris putus-putus menyatakan materi yang berkaitan dengan PDP, akan tetapi tidak dibahas dalam buku. Dr. Putu Harry Gunawan 2

20 Bab : Tentang Buku Penulis membuat buku ini ditujukan kepada semua kalangan pembaca, dalam hal ini, bisa dari kalangan praktisi dan ilmuwan. Secara khusus, target pembaca buku ini adalah mahasiswa atau peneliti yang bekerja dengan PDP di jurusan teknik maupun sains, khususnya Matematika dan Fisika. Tidak menutup kemungkinan buku ini juga dapat digunakan sebagai pegangan dosen dalam mengajar pengantar PDP di jurusan yang menyediakan mata kuliah ini. Bagan atau flowchart untuk memandu pembaca dalam menggunakan buku ini dapat dilihat pada Gambar...2 Panduan Pembaca Pada Bab 2, konsep dasar dari PDP seperti klasifikasi, orde, dan linierias akan diberikan. Beberapa apliaksi dari PDP juga diberikan untuk menambah pengetahuan pembaca dalam memodelkan fenomena alam menjadi persamaan PDP. Bab 3 bercerita tentang bagaimana mencari solusi analitik dengan menggunakan metode separasi variabel. Dalam hal ini, digunakan asumsi bahwa nilai awal diberikan oleh sebuah fungsi smooth yakni sinusoidal. Bab 4 membahas metode numerik untuk mencari solusi dari persamaan konduktivitas panas. Metode numerik yang diusulkan adalah metode beda hingga. Algoritma secara umum beserta contoh numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB juga diberikan. Metode numerik untuk persamaan gelombang dengan menggunakan metode beda hingga, beserta algoritma dan contoh kode program dalam FreeMat/MATLAB dipaparkan pada Bab 5. Metode numerik untuk PDP tentang persamaan panas dan gelombang dua-dimensi diberikan pada Bab 6 dan 7 secara berurutan. Terakhir, beberapa contoh proyek dalam pemodelan PDP dibahas pada Bab 8..3 Catatan Sebagian dari bab-bab yang ada di buku ini dibahas dengan sangat singkat. Mengingat buku ini tidak hanya diperuntukkan untuk matematikawan, Dr. Putu Harry Gunawan 3

21 Bab : Tentang Buku banyak beberapa lema tidak dibuktikan secara rinci. Untuk itu, penulis menyarankan untuk melihat beberapa pustaka yang penulis gunakan. Dalam pembahasan bab metode numerik, penulis menyertakan algoritma yang dapat diimplementasikan ke bahasa pemrograman yang pembaca kuasai atau pahami. Pada buku ini hanya diberikan contoh program komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB. Kode program yang ada pada buku ini dapat diunduh pada tautan berikut ini Akan tetapi, penulis menyarankan pembaca untuk mencoba menulis program FreeMat/MATLAB sendiri. Hal ini akan mempermudah pembaca untuk memahami keseluruhan kode program. Teknik mengkoding dalam semua program FreeMat/MATLAB yang ada di buku ini belum seluruhnya optimal dari sisi fungsi-fungsi yang dimiliki oleh FreeMat/MATLAB. Hal ini dikarenakan kode program disesuaikan dengan algoritma umum yang dapat diimplementasikan pada bahasa pemrograman lainnya seperti Fortran, C/C++, Python, dll. Sehingga, penulis memberikan kesempatan pembaca untuk dapat mengimprovisasi program yang ada pada buku ini, sesuai dengan teknik pemrograman atau penggunaan fungsi-fungsi yang ada atau pembaca kuasai. Dr. Putu Harry Gunawan 4

22 Bab 2 Pengantar PDP 2. Konsep Dasar PDP Definisi 2.. (PDP). Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang belum diketahui u(x, x 2,, x n ) berdimensi n 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya [TW4]. Bentuk umum dari PDP diberikan sebagai berikut: F ( x, x 2, x n, u, u x,, u x n, 2 u x x,, 2 ) u, =. x x n PDP biasanya memiliki variabel bebas untuk ruang dan/atau waktu. Variabel bebas untuk ruang biasanya dinotasikan sebagai (x, y, z) atau dengan tambahan variabel waktu menjadi (x, y, z, t). Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: 2 u 2 x + 2 u 2 =, (2..) y u t u α 2 2 =, (2..2) x

23 Bab 2: Pengantar PDP 2 u 2 t c2 2 u 2 =, (2..3) x dengan u/ t, 2 u/ x 2 menyatakan turunan partial terhadap variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan. Persamaan ( ) merupakan persamaan diferensial parsial satudimensi mengacu pada domain spasial. Persamaan (2..) secara umum dikenal dengan nama persamaan Laplace, persamaan (2..2) adalah persamaan difusi atau konduktivitas panas, dan persamaan (2..3) dikenal sebagai persamaan gelombang. singkat PDP dapat juga ditulis dalam bentuk: Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara u xx + u yy =, (2..4) u t αu xx =, (2..5) u tt c 2 u xx =, (2..6) dengan subscript menyatakan turunan parsial. yang terkenal selain tiga contoh diatas adalah Beberapa contoh lain PDP u t + u x =, persamaan transport (2..7) u t + u x αu xx =, persamaan reaksi-difusi (2..8) u t + uu x =, persamaan inviscid Burger (2..9) u xx + u yy = f(x, y), persamaan Poisson (2..) u t + uu x + u xxx =, persamaan KdV (2..) iu t + u xx =. persamaan Schrödinger (2..2) Selain contoh diatas, beberapa referensi di dalam buku atau jurnal saintifik, biasanya menggunakan notasi-notasi seperti berikut ini: Gradien grad(u) = u: Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u(x, x 2,, x n ) Dr. Putu Harry Gunawan 6

24 Bab 2: Pengantar PDP pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: u(x, x 2,, x n ) = (,,, x x 2 x n ) u. Misalkan terdapat persamaan u(x, y), maka u(x, y) = (u x, u y ). Divergent div(u) = u: Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi berdimensi n u(x, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya). Contohnya: u(x, x 2,, x n ) = ( x x 2 Misalkan terdapat persamaan u(x, y, z), maka didapat u(x, y, z) = ( u x + u y + u ). z x n ) u. Laplace operator Δu = 2 u = u: Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x, x 2,, x n ) pada n- dimensi ruang Euclidean. Contohnya: ( 2 Δu(x, x 2,, x n ) = x 2 ) + 2 x x 2 u. n Misalkan terdapat persamaan u(x, y, z), maka didapat Δu(x, y, z) = ( 2 ) u x u y u z 2. Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = e t x merupakan solusi dari persamaan gelombang (2..6), secara sederhananya fungsi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga Dr. Putu Harry Gunawan 7

25 Bab 3 Separasi Variabel 3. Masalah Nilai Eigen Dalam subbab ini, akan dibahas mengenai masalah nilai eigen berkaitan dengan operator kontinu L. Subbab ini hanya akan memberikan definisi dan lema sebagai senjata/alat yang dapat digunakan dalam mencari solusi PDP dengan metode separasi variabel. Bukti dari lema tidak akan dibahas dengan detail. Jika pembaca tertarik untuk melihat bukti dari lema-lema yang diberikan, pembaca disarankan untuk membaca pustaka yang dilampirkan pada catatan setelah lema dipaparkan. Definisi 3... Bilangan riil λ disebut nilai eigen berkaitan dengan masalah nilai batas u (x) = f(x), x (, L), u() = u(l) = (3..) jika Lu = λu (3..2) untuk fungsi tak nol u C 2 ((, )) dan Lu = u. Fungsi u selanjutnya disebut sebagai fungsi eigen.

26 Bab 3: Separasi Variabel Lema Nilai dan fungsi eigen dari masalah (3..2) diberikan sebagai berikut and λ k = ( ) 2 kπ for k =, 2,, (3..3) L ( ) kπx u k (x) = sin L (3..4) Bukti. Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku [TW4] untuk lebih lengkapnya. Lema Fungsi eigen {sin ( ) kπx L }k memenuhi persamaan berikut ( kπx < sin L ), sin ( mπx ) >= L dengan <, > menyatakan hasil kali dalam (inner product). k m,, (3..5) /2 k = m, Bukti. Bukti dari lema ini dapat ditemukan di [TW4] untuk lebih jelasnya. 3.2 Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi dipertahankan dalam suhu dingin yakni C (lihat Gambar 3.). Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan. Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [ : ] adalah sebagai berikut Dr. Putu Harry Gunawan 2

27 Bab 3: Separasi Variabel Lebih jelasnya, dari Lema 3..3,kita peroleh ( kπx < sin L ), sin ( mπx ) >= L k m, /2 k = m. (3.3.2) Dengan mengggunakan properti dasar di atas, kita dapat dengan mudah menentukan koefisien {A k } sehingga f(x) = ( ) kπx A k sin. (3.3.3) L k= Untuk setiap index m, kita ambil nilai hasil kali dalam m fungsi eigen dengan sin ( ) mπx L. Kemudian menggunakan (3.3.2) akan diperoleh < f(x), sin ( mπx ) >= A k < sin L ( kπx L ) ( mπx ), sin >= A m L 2. (3.3.4) Sehingga kita peroleh A k = 2 < f(x), sin ( mπx ) > dan k =, 2,. (3.3.5) L Koefisien inilah yang kita sebut sebagai koefisien Fourier (Fourier coefficient) dan deret yang bersesuaian disebut sebagai deret Fourier (Fourier series). Terakhir, solusi umumnya adalah u(x, t) = A k e k= kπx ( L )2t sin ( kπx L ), (3.3.6) dengan A k merupakan koefisien yang didapat dari (3.3.5). contoh sebelumnya pada kasus persamaan panas. Mari kita lihat Contoh Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f(x) = dengan panjang kawat L = m. Dengan Dr. Putu Harry Gunawan 27

28 Bab 3: Separasi Variabel menggunakan (3.3.5), kita peroleh A k = 2 () sin(kπx) dx = 2 ( cos(kπ)). (3.3.7) kπ Sehingga didapat 4 kπ for k =, 3, 5,, A k = for k = 2, 4, 6,, (3.3.8) dan = 4 π k= sin((2k )πx). (3.3.9) 2k Gambar 3.3: Solusi dari persamaan panas dengan f(x) = = 4 π k= 2k sin((2k )πx) untuk t =,. dan. dengan berhingga deret N =. Jadi solusi umumnya adalah u(x, t) = 4 π k= 2t 2k e ((2k )π) sin((2k )πx). (3.3.) Dr. Putu Harry Gunawan 28

29 Bab 5 Metode Beda Hingga untuk D Hiperbolik 5. Masalah Persamaan Gelombang D Mengingat kembali persamaan (2.3.8) yang ada pada Subbab 2.3, jika gaya badan (body forces) per unit massa hanya merupakan gaya gravitasi, maka Q(x, t) = g pada persamaan (2.3.8). Seringkali, gaya ini sangat kecil jika dibandingkan dengan gaya tarik senar (ρ q << T 2 u/ x 2 ) dan dapat diabaikan. Sehingga menurut [Hab2], gaya badan diberikan Q(x, t) =, atau dapat ditulis sebagai 2 u(x, t) t 2 = T ρ 2 u(x, t) x 2, (5..) 2 u(x, t) t 2 = c 2 2 u(x, t) x 2, (5..2)

30 Bab 5: Metode Beda Hingga untuk D Hiperbolik n = dengan v k = f(x k ), k M + {, M}. (5.2.3) Sedangkan, untuk mencari nilai pada level waktu n =, kita dapat menggunakan expansi Taylor orde dua terhadap waktu dan persamaan u t = g(x) pada (5..5) yaitu u(x, Δt) = u(x, ) + (Δt)u t (x, ) + Δt2 2 u tt(x, ) + O ( (Δt) 3) = f(x) + (Δt)g(x) + Δt2 2 f (x) + O ( (Δt) 3). dengan f (x) dapat dicari melalui persamaan (5..3) yaitu u tt (x, ) = u xx (x, ) = f (x). Sehingga kita dapat menghitung nilai v k untuk menghampiri u(x k, Δt) dengan v k v k Δt = g(x j ) + Δt 2Δx 2 (v k 2v k + v n k ), k M. (5.2.4) Jadi, dapat kita urutkan langkah-langkah pengerjaan skema eksplisit untuk menghampiri persamaan gelombang ( ) sebagai berikut:. Hitung (5.2.3) untuk mencari nilai v pada level waktu. 2. Hitung (5.2.4) untuk mencari nilai v pada level waktu. 3. Hitung (5.2.) untuk mencari nilai v pada daerah dalam perhitungan dan level waktu n Hitung (4.2.2) untuk mencari nilai batas. Algoritma dari skema eksplisit beda hingga persamaan gelombang dapat dilihat pada Algoritma (2) di subbab berikutnya. Lema Skema numerik eksplisit ( ) untuk menghampiri solusi persaman panas ( ) akan stabil jika dan hanya jika memenuhi cδt Δx. (5.2.5) Dr. Putu Harry Gunawan 54

31 Bab 5: Metode Beda Hingga untuk D Hiperbolik.8 t=.8 t= t=7 xδ t.4 t=7 xδ t v(x,t) t= xδ t t=3 xδ t t=6 xδ t x v(x,t) t= xδ t t=3 xδ t t=6 xδ t x Gambar 5.2: Perbandingan hasil numerik dengan menggunakan Δt = 5 2 (kiri) dan Δt = (kanan). kiri skema numerik eksplisit stabil dengan menggunakan Δt = 5 2 sedangkan di kanan, skema numerik menghasilkan osilasi yang artinya skema numerik tidak stabil dengan Δt = cδt Δx Sesuai dengan Lema 5.2.5, dengan Δt = 5 2 dan Δx = /2, maka = sehingga skema stabil. Sebaliknya, dengan Δt = dan Δx = /2, maka cδt Δx =.8 > sehingga skema pastinya tidak stabil. 5.3 Program FreeMat/MATLAB Berikut akan diberikan algoritma untuk menghitung solusi persamaan gelombang dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Algoritma 2, dibentuk agar sesuai dengan bahasa pemrograman yang pembaca kuasai (contoh Fortran, C/C++, Python, FreeMat/MATLAB dll). Berikut diberikan kode dari program komputer sesuai dengan Algoritma 2 menggunakan bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB. Catatan bahwa, pada Algoritma 2 indeks untuk larik/arrays dimulai dari k = sampai dengan k = M. Akan tetapi, bahasa pemrograman FreeMat/MATLAB tidak mendukung adanya indeks, indeks dimulai dari. Sehingga perlu dilakukan pengaturan untuk menyamakan program FreeMat/MATLAB dengan Algoritma 2. Dr. Putu Harry Gunawan 57

32 Bab 5: Metode Beda Hingga untuk D Hiperbolik Algoritma 2 Algoritma persamaan gelombang D. : procedure WaveD(f(x), g(x), M, L, c, T, Δt, a = b = ) 2: Start 3: Define dx = L/M, r = c 2 Δt2 (Δx) 2 4: For k = : M do 5: x[k] = k dx, v old2 [k] = f(x[k]), n= 6: EndFor 7: For k = : M do 8: v old [k] = v old2 [k] + Δtg(x[k]) + r 2 (v old2[k + ] 2v old2 [k] + v old2 [k ]) n= 9: EndFor : time= : while time < T do 2: time = time + Δt 3: For k = : M do 4: v[k] = 2v old [k] v old2 [k] + r (v old [k + ] 2v old [k] + v old [k ]) 5: EndFor 6: v[] = = v[m] 7: For k = : M do 8: v old2 [k] = v old [k] update nilai v n k 9: v old [k] = v[k] update nilai vk n 2: EndFor 2: end while 22: OUTPUT v[ : M]; Plot(x, v) 23: End 24: end procedure Dr. Putu Harry Gunawan 58

33 Bab 7 Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik 7. Masalah Persamaan Gelombang 2D Gambar 7.: Alat musik gendang menghasilkan suara dari vibrasi selaput gendang. Gendang merupakan salah satu alat musik yang banyak ditemukan di berbagai daerah di Indonesia. Gendang sendiri memiliki bentuk, ukuran dan bahan yang sangat beragam sesuai dengan kebudayaan yang ada pada daerah masing-masing (lihat Gambar 7.). Bagaimana gendang dimainkan? dengan memberikan gangguan pada kulit/selaput gendang, maka selaput gendang

34 Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik akan bervibrasi sehingga suara akan terdengar. Vibrasi dari selaput gendang dapat dimodelkan dengan PDP yaitu persamaan gelombang. Misalkan notasi untuk seluruh daerah perhitungan Ω = ( Ω Ω ) [, Lx ] [, L y ], dengan Ω = (, L x ) (, L y ) menyatakan daerah dalam dan Ω menyatakan daerah batas (lihat Gambar 6.2). Persamaan konduktivitas panas dua-dimensi diberikan sebagai berikut: 2 ( u(x, y, t) t 2 = c 2 2 ) u(x, y, t) x u(x, y, t) y 2, (x, y) Ω, t > (7..) u(x, y, ) = f(x, y), u t (x, y, ) = g(x, y), (x, y) Ω (7..2) u(x, y, t) =, (x, y) Ω, t (7..3) dengan u(x, y, t) menyatakan ketinggian gelombang pada posisi (x, y) dan waktu t. Kecepatan gelombang dinotasikan sebagai suatu konstanta c. Solusi analitik dari persamaan diatas dapat ditemukan pada pustaka [Asm5], dan [Hab2]. 7.2 Skema Numerik Sejalan dengan skema numerik untuk persamaan panas 2D pada Bab 6, maka penggunaan notasi akan disamakan. Untuk membentuk skema numerik dengan menggunakan metode beda hingga, tentu saja kita harus membentuk daerah diskrit dari masalah PDP ( ). Untuk daerah spasial, andaikan kita memiliki daerah seperti pada Gambar 6.2, maka dengan membentuk daerah diskrit, daerah dibagi-bagi menjadi persegi-persegi yang memiliki ukuran Δx Δy, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.2. Andaikan kita membagi daerah spasial perhitungan arah x sebanyak M x partisi dan arah y sebanyak M y partisi dengan (M x, M y ) Z +, maka diskrit domain dalam dapat kita notasikan dengan M x =, 2, M x dan M y =, 2, M y. Ingat bahwa, grid batas dan M x atau M y tidak termasuk dalam diskrit domain dalam, jadi untuk diskrit keseluruhan domain (dalam + batas) didefinisikan sebagai M = ( M x + {, M x } ) ( M y + {, M y } ). Se- Dr. Putu Harry Gunawan 8

35 Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik diurutkan menjadi:. Hitung (7.2.3) untuk n =. 2. Hitung (7.2.4) untuk n =. 3. Hitung (7.2.2) untuk n 2. Berikut akan diberikan contoh masalah gelombang dengan menggunakan skema numerik beda hingga serta menggunakan dua nilai Δt yang berbeda. Contoh Misalkan diberikan masalah gelombang pada domain Ω = [, ] [, ] seperti berikut 2 ( u(x, y, t) t 2 = c 2 2 ) u(x, y, t) x u(x, y, t) y 2, (x, y) Ω, t > (7.2.5) u(x, y, ) = f(x, y), u t (x, y, ) = g(x, y), (x, y) Ω (7.2.6) u(x, y, t) = h(x, y), (x, y) Ω, t (7.2.7) dengan c =, f(x, y) = max(, 2((x.5) 2 + (y.5) 2 )) dan g(x, y) = h(x, y) =. Menggunakan M x = M y = 2 sebagai partisi spasial, maka hasil plot menggunakan dua langkah waktu berbeda Δt = ds/ 2 dan Δt = ds/.5 dengan Δs = Δx = Δy, dapat dilihat pada Gambar 7.3. time= 3 x Δ t time= 3 x Δ t v(x,y,t).5 v(x,y,t) y.2.4 x y.2.4 x.6.8 Gambar 7.3: Perbandingan hasil numerik dengan menggunakan Δt = Δs/ 2 (kiri) dan Δt = Δs/.5 (kanan). Dr. Putu Harry Gunawan 83

36 Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik 7.3 Program FreeMat/MATLAB Untuk membuat program menggunakan bahasa pemrograman komputer, perhatikan Algoritma 4 berikut ini. Algoritma 4 dapat diaplikasikan sesuai dengan bahasa pemrograman yang ada seperti Fortran, C/C++, Python, dll, untuk mengerjakan Contoh Pada Algoritma 4, baris (4-9) menyatakan definisi dari x k dan y l. Baris (-4) digunakan untuk mendefinisikan nilai awal yaitu pada persamaan Di sini, v k,l dinotasikan dengan v old2[k][l] yang selanjutnya akan digunakan untuk menyatakan level waktu n. Baris (5-2) mempresentasikan persamaan (7.2.4) untuk menghitung level waktu n = yaitu v old [k][l] yang berikutnya akan digunakan untuk menyatakan level waktu n. Selanjutnya baris (22-4) menyatakan perulangan waktu untuk menyelesaikan masalah sampai waktu akhir T yang ditentukan. Dalam perulangan waktu, baris (23) digunakan untuk memperbarui nilai waktu, baris (24-28) ditujukan untuk menghitung nilai v n+ k,l, dan baris (3-35) digunakan untuk menghitung nilai batas. Prosedur update untuk level waktu n dan n diberikan pada baris (36-4). % % Program FreeMat for the 2D wave problem by PHN % % u_tt = c^2 (u_xx + u_yy), (x,y) \in (,)^2 % u(x,y,)=f(x,y), u_t(x,y,)=g(x,y) % u(x,,t)=u(x,l_y,t)= % u(,y,t)=u(l_x,y,t)= % clc; clear all; % clear all variables in memory close all; max(,-2*((x-.5)^2 + (y-.5)^2));% fungsi f(x,y) ; ; %Batas Dirichlet Lx = ; Ly = ; Mx = 2; My = 2; dx = Lx/ Mx; dy = Ly/ My; ds = dx; % set panjang domain x % set panjang domain y % set titik grid x % set titik grid y % set spasial step dx % set spasial step dy % set ds=dx=dy Dr. Putu Harry Gunawan 85

37 Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik 7.3. Batas Dirichlet Untuk syarat batas Dirichlet, nilai batas diberikan dengan sebuah fungsi h(x, y). Sebagai contoh sebelumnya, PDP yang diberikan adalah PDP dengan syarat batas Dirichlet yaitu h(x, y) = sehingga u(x, y, t) =, (x, y) Ω, t. time= x Δ t time= 3 x Δ t v(x,y,t).5 v(x,y,t) y.2.4 x y.2.4 x.6.8 time= 6 x Δ t time= 9 x Δ t v(x,y,t).5 v(x,y,t) y.2.4 x y.2.4 x.6.8 Gambar 7.4: Plot hasil simulasi persamaan panas 2D dengan deret waktu t = Δt sampai dengan t = 9 Δt, dengan kenaikan t = 3 Δt untuk tiap gambarnya. Hasil simulasi numerik dengan syarat batas Dirichlet dapat dilihat pada Gambar 7.4. Dengan menggunakan syarat batas h(x, y) =, terlihat bahwa vibrasi hanya terjadi pada daerah dalam setelah gangguan diberikan. Simulasi di atas analogi dengan alat musik gendang yang diberikan gangguan pada daerah tengah. Sedangkan daerah pinggir gendang, kulit atau selaput yang menghasilkan suara pada gendang terikat dengan kencang. Ilustrasi dapat Dr. Putu Harry Gunawan 89

38 Bab 7: Metode Beda Hingga 2D Hiperbolik time= 2 x Δ t time= 5 x Δ t v(x,y,t).5 v(x,y,t) ].5 y.2 time= 8 x Δ t.4 x y.2 time= 2 x Δ t.4 x.6.8 v(x,y,t).5 v(x,y,t) y.2.4 x y.2.4 x.6.8 Gambar 7.5: Plot hasil simulasi persamaan panas 2D dengan deret waktu t = 2 Δt sampai dengan t = 2 Δt, dengan kelipatan t = 3 Δt untuk tiap gambarnya. Dr. Putu Harry Gunawan 9

39 Bab 8 Implementasi PDP 8. Aliran Air Tanah (Groundwater flow) 8.. Model Groundwater flow Bab ini akan membahas model sederhana berupa model aliran air tanah beserta metode numerik untuk menghampiri solusi model. Misalkan terdapat aliran air tanah pada lapisan dalam tanah seperti pada Gambar 8.. Sesuai dengan sumber acuan di buku [Vre2], persamaan massa pada kolom tanah sama dengan persamaan massa untuk suatu aliran sungai, sehingga persamaan massa dapat ditulis sebagai berikut: h t + (hu) x = w p (8..) dengan h = ketebalan air tanah, u = kecepatan rata-rata aliran air tanah, w = air hujan dalam volum per luas area, p = porositas tanah. Asumsi tambahan pada model yang akan kita kembangkan adalah air huj-

40 Bab 8: Implementasi PDP dengan D adalah konstanta difusi berdimensi m 2 /s. Persamaan ini mirip dengan persamaan konduktivitas panas seperti yang sudah dibahas pada Subbab 2.3. Persamaan (8..4) merupakan PDP orde satu terhadap waktu t dan orde dua terhadap spasial x. Gambar 8.2: Terjadi aliran air tanah karena turunnya ketinggian air sungai. Berikut akan diberikan satu contoh kasus, yang diambil dari buku [Vre2]. Contoh 8... Andaikan lapisan air tanah berada di dekat sebuah sungai. Pada keadaan awal, semuanya dianggap setimbang (tidak ada hujan, permukaan air tanah lurus horisontal). Pada sesuatu keadaan, permukaan air sungai tiba-tiba menjadi rendah (yang pada akhirnya akan segera mempengaruhi permukaan air tanah) dan pada ketinggian yang rendah tersebut air sungai menjadi konstan lagi. Sehingga akan terjadi aliran air tanah menuju sungai sebagaimana diakibatkan oleh kemiringan permukaan air (Pers. 8..2), lihat Gambar 8.2. Selanjutnya, kita misalkan panjang domain air tanah sebelah kanan sungai adalah L = 2 m. Level air sungai pada awalnya terletak di m, lalu tiba-tiba jatuh ke level m. Dan tetap berada di level sampai pada waktu tertentu. Misalkan besaran difusi diberikan konstan D = 3. Dengan mem- Dr. Putu Harry Gunawan 99

41 Daftar Pustaka Lengkap [Asm5] [CY98] [DD9] [DG4] [GR3] [Gun6] N.H. Asmar. Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems. Pearson Prentice Hall, 25. isbn: Yong-Sik Cho and SUNG BUM YOON. A modified leap-frog scheme for linear shallow-water equations. In: Coastal Engineering Journal 4.2 (998), pp R.G. Dean and R.A. Dalrymple. Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists. Advanced series on ocean engineering. World Scientific, 99. isbn: David Doyen and Putu Harry Gunawan. An explicit staggered finite volume scheme for the shallow water equations. In: Finite Volumes for Complex Applications VII-Methods and Theoretical Aspects. Springer, 24, pp Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart. Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws. Vol. 8. Springer Science & Business Media, 23. P.H. Gunawan. Scientific Parallel Computing for D Heat Diffusion Problem Based on OpenMP. In: Information and Communication Technology (ICoICT ), 26 4th International Conference on. IEEE. 26.

42 Bab 8: Daftar Pustaka Lengkap [Hab2] [Han+5] [HF] [Käm9] [Käm] [LC8] [LeV2] [LL92] [LY9] [MQS99] [MRTB5] [Str92] Richard Haberman. Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Valve Problems. Pearson Higher Ed, 22. Emmanuel Hanert et al. An efficient Eulerian finite element method for the shallow water equations. In: Ocean Modelling. (25), pp Joe D Hoffman and Steven Frankel. Numerical methods for engineers and scientists. CRC press, 2. Jochen Kämpf. Ocean Modelling for Beginners: Using Open-Source Software. Springer Science & Business Media, 29. Jochen Kämpf. Advanced Ocean Modelling: Using Open-source Software. Springer Science & Business Media, 2. Jichun Li and Yi-Tung Chen. Computational partial differential equations using MATLAB. Crc Press, 28. Randall J LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems. Vol. 3. Cambridge university press, 22. Randall J LeVeque and Randall J Leveque. Numerical methods for conservation laws. Vol. 32. Springer, 992. Randall J LeVeque and Helen C Yee. A study of numerical methods for hyperbolic conservation laws with stiff source terms. In: Journal of computational physics 86. (99), pp Edie Miglio, Alfio Quarteroni, and Fausto Saleri. Finite element approximation of quasi-3d shallow water equations. In: Computer methods in applied mechanics and engineering 74.3 (999), pp Robert MM Mattheij, Sjoerd W Rienstra, and Jan HM ten Thije Boonkkamp. Partial differential equations: modeling, analysis, computation. Siam, 25. Walter A Strauss. Partial differential equations. Vol. 92. Wiley New York, 992. Dr. Putu Harry Gunawan 8

43 Bab 8: Daftar Pustaka Lengkap [Tho3] [TRA5] [TTI97] [TW4] [Vre2] [Vre3] [WA95] James William Thomas. Numerical partial differential equations: finite difference methods. Vol. 22. Springer Science & Business Media, 23. A Tokgozlu, M Rasulov, and Z Aslan. Modeling and Classification of Mountain Waves. In: Technical Soaring 29. (25), pp Mark Taylor, Joseph Tribbia, and Mohamed Iskandarani. The spectral element method for the shallow water equations on the sphere. In: Journal of Computational Physics 3. (997), pp Aslak Tveito and Ragnar Winther. Introduction to partial differential equations: a computational approach. Vol. 29. Springer Science & Business Media, 24. Cornelis B Vreugdenhil. Computational hydraulics: an introduction. Springer Science & Business Media, 22. Cornelis Boudewijn Vreugdenhil. Numerical methods for shallowwater flow. Vol. 3. Springer Science & Business Media, 23. Herbert F Wang and Mary P Anderson. Introduction to groundwater modeling: finite difference and finite element methods. Academic Press, 995. Dr. Putu Harry Gunawan 9

44 Bab 8: Daftar Pustaka Lengkap Dr. Putu Harry Gunawan 2

45 Tentang Penulis Dr. Putu Harry Gunawan, S.Si., M.Si., M.Sc., lahir di Singaraja - Bali merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Mengenyam pendidikan S jurusan Matematika Komputasi di Univeritas Udayana dan mendapatkan beasiswa double degree program S2 jurusan Sains Komputasi ITB dan Kanazawa University, Jepang. Lanjut studi S3, beasiswa double degree Indonesia Prancis diraih dengan mengambil jurusan Applied Mathematics, ITB dan Universite Paris-est, France. Penulis kini aktif sebagai pengajar dan peneliti di jurusan Computational Sciences, School of Computing, Telkom University. Penulis tertarik pada penelitian di bidang Computational Fluid Dynamics, pemodelan dan simulasi Matematika & Fisika.

46