Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Transkripsi

1 Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 10: Finite Dierence Method for PDE Heat Eqs Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

2 1 Masalah Persamaan Panas 1D 2 Skema Numerik 3 Latihan 4 Algorithm 5 Next

3 Masalah Persamaan Panas 1D Persamaan Panas Persamaan pengantur dari persamaan konduksi panas pada domain [0, L] diberikan sebagai berikut: u(x, t) = µ 2 u(x, t), t x 2 x (0, L), t > 0 (1.1) u(x, 0) = f (x), x [0, L] (1.2) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. t 0 (1.3) dengan u(x, t) menyatakan nilai temperatur pada posisi x dan waktu t. Koesien konduktivitas dinotasikan sebagai suatu konstanta µ.

4 Skema Numerik Discrete space Bentuk diskrit dari persamaan panas ( ) dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit akan diberikan sbb: Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi.

5 Skema Numerik Discrete space Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkan domain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1 dan domain waktu [0, T ]. Tahap pertama, diskrit dari domain spasial M = {1, 2, 3,, M 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M Z + (lihat Gambar 4). Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi.

6 Skema Numerik Discrete space Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkan domain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1 dan domain waktu [0, T ]. Tahap pertama, diskrit dari domain spasial M = {1, 2, 3,, M 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M Z + (lihat Gambar 4). Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi. Untuk grid batas hanya ada dua yakni {0, M}, jadi diskrit domain keseluruhan dapat ditulis sebagai M + {0, M}.

7 Skema Numerik Discrete space Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkan domain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1 dan domain waktu [0, T ]. Tahap pertama, diskrit dari domain spasial M = {1, 2, 3,, M 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M Z + (lihat Gambar 4). Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi. Untuk grid batas hanya ada dua yakni {0, M}, jadi diskrit domain keseluruhan dapat ditulis sebagai M + {0, M}.

8 Skema Numerik Time space Tahap kedua, diskrit domain waktu didenisikan sebagai T = {0, 1, 2, 3,, T n }, dengan T n Z + adalah banyaknya partisi waktu. Jika ukuran partisi/grid untuk spasial dan waktu seragam, maka ukuran grid dapat kita notasikan dengan x dan t berurutan.

9 Skema Numerik Discrete space and time Sehingga titik grid (x k, t n ) dapat dipilih sebagai: x k = k x, k M, x = 1 M, t n = n t, n T t = T,. T n

10 Skema Numerik Forward time central space (FTCS) scheme Ganti notasi u(t, x) pada persamaan ( ) dengan notasi v(x k, t n ) = v n k untuk solusi numerik, sehingga diskritisasi menggunakan beda maju (forward dierence) untuk turunan pertama terhadap waktu dan beda tengah (central dierence) untuk turunan kedua terhadap spasial diberikan sebagai berikut: v n+1 k t v n k v 0 k = µ v n k+1 2v n k + v n k 1, x 2 k M, n T (2.1) = f (k x), k M + {0, M} (2.2) v n+1 0 = 0, v n+1 M = 0. n T (2.3)

11 Skema Numerik Forward time central space (FTCS) scheme v n+1 k = v n k + r(v n k+1 2v n k + v n k 1 ), k M, n T, (2.4) dengan r = µ t. Skema ( ) dapat digambarkan berupa x 2 stencil seperti pada Gambar 7

12 Latihan Contoh Problem 1D heat Latihan 1D heat (Thomas, et al., Chapter 1.2) Diberikan masalah nilai awal dan batas untuk persamaan panas seperti berikut: u t = u µ 2, x 2 x (0, 1), t > 0 u(x, 0) = f (x), x [0, 1] u(0, t) = a(t), u(1, t) = b(t), t 0 dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0). 1. Tentukan nilai v(k x, n t) untuk n = 0, 1, 2, 5, dengan f (x) = sin(2πx), a = b = 0, M = 10, µ = 1/6, dan t = 0.05! 2. Sama dengan pertanyaan (a), akan tetapi gunakan t = 0.01!

13 Problem 1D heat Latihan 1D heat kerjakan pakai Excel Latihan

14 Problem 1D heat Latihan 1D heat dt=0.05 Latihan

15 Problem 1D heat Latihan 1D heat dt=0.01 Latihan

16 Algorithm Problem 1D heat Question! Bagaimana jika diminta untuk melakukan simulasi sampai n = 100? Tentu saja dengan menggunakan kalkulator akan sangat tidak esien. Sehingga diperlukan alat bantu bahasa pemrograman untuk mempercepat perhitungan. Dalam hal ini dapat menggunakan bahasa pemrograman MATLAB/Octave. Akan tetapi, sebelum menggunakan MATLAB/Octave, ada baiknya kita bahas mengenai Algoritma dari persamaan panas 1D yang sudah di bahas sebelumnya.

17 Problem 1D heat Algorithm Algorithm

18 Algorithm Problem 1D heat Demo Buatlah program dari Algoritma 1 menggunakan MATLAB/Octave! Gunakan nilai dan parameter pada masalah PDP dalam contoh sebelumnya!

19 Results Algorithm

20 Algorithm Problem 1D heat Home Work! Diberikan PDP dengan nilai awal dan batas seperti berikut: u t = u µ 2, x 2 x (0, 1), t > 0 u(x, 0) = f (x), x [0, 1] u(0, t) = a(t), u(1, t) = b(t), t 0 dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0). 1. Tentukan nilai v(k x, n t) untuk n = 0, 1, 2, 5, dengan f (x) = sin πx, a = b = 0, M = 20, µ = 1, dan 2 t = menggunakan program komputer! 2. Sama dengan pertanyaan (a), akan tetapi gunakan t = !

21 Next Next Next, QUIZ III, and then the Finite Dierence Method (FDM), explicit scheme will be given in order to approximate the solution of 1D wave problem. Good Luck

22 End of presentation!