PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV. Oleh: DEWI NOVIYANTI SARI G

Transkripsi

1 PEMODELA ILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MEGGUAKA HIDDE MARKOV Oleh: DEWI OVIYATI SARI G5444 DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR 6

2 PEMODELA ILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MEGGUAKA HIDDE MARKOV Sps sebaga salah satu syaat untu mempeoleh gela Sajana Sans pada Faultas Matemata dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Petanan Bogo Oleh: DEWI OVIYATI SARI G5444 DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR 6

3 RIGKASA DEWI OVIYATI SARI. Pemodelan la Tua Rupah tehadap US Dolla Menggunaan Hdden Maov. Dbmbng oleh BERLIA SETIAWATY dan. K. KUTHA ARDAA. Suatu masalah poses stoast dengan seangaan data yang dbean namun penyebabnya tda damat secaa langsung, dapat dmodelan dengan model Hdden Maov (Hdden Maov model, HMM). Model Hdden Maov adalah model anta Maov yang meupaan pasangan penyebab suatu ejadan yang penyebabnya tda damat secaa langsung, seta ejadan tu send. Tulsan n mengaj metode pendugaan paamete model Hdden Maov da seangaan data pengamatan seta menentuan peluang ejadannya dengan menggunaan pemogaman Mathematca 5. Model HMM aya aan stutu matemats dan dapat beeja dengan ba d bebaga aplas pentng. Contohnya yang dbahas dalam aya lmah n yatu masalah peubahan nla tua mata uang. Dalam asus peubahan nla tua mata uang, tedapat bebaga hal yang dapat menyebaban peubahan nla tua. Dasumsan bahwa penyebab ejadan tesebut tda damat. Oleh aena tu masalah peubahan nla tua dapat dmodelan dengan model Hdden Maov. Data nla tua yang dgunaan dalam aya lmah n adalah data ataan nla tua mata uang Rupah tehadap US Dolla pe bulan yang besa antaa bulan Febua tahun 998 hngga bulan Desembe tahun 5. Data nla tua tesebut danalss besama nla awal yang telah detahu, dengan menggunaan algotma Expectaton Maxmzaton yang tecaup dalam pogam. Haslnya beupa paamete-paamete yang memasmuman nla peluang ejadannya.

4 Judul ama RP : Pemodelan la Tua Rupah tehadap US Dolla Menggunaan Hdden Maov : Dew ovyant Sa : G5444 Menyetuju: Pembmbng I, D. Belan Setawaty, MS. IP Pembmbng II, I.. K. Kutha Adana, M.Sc. IP Mengetahu: Dean Faultas Matemata dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Petanan Bogo D. I. Yonny Koesmayono, MS. IP Tanggal Lulus :..

5 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahan d Bogo pada tanggal ovembe 985 sebaga ana etga da empat besaudaa. Ayah benama Ahmad Husaen dan Ibu benama S Agustna Muzn. Penuls menyelesaan penddan Seolah Dasa pada tahun 996 d SD ege I Cgombong, Seolah Lanjutan Tngat Petama ege I Cjeu tahun 999, Seolah Menengah Umum ege 3 Bogo tahun, dan masu Insttut Petanan Bogo melalu jalu SPMB pada tahun yang sama. Selama mengut peulahan, penuls sempat menjad anggota atf dalam hmpunan pofes Gugus Mahasswa Matemata IPB sebaga anggota depatemen ewausahaan dan sosal masyaaat pada tahun 4 hngga 5.

6 PRAKATA Puj syuu penuls panjatan epada Allah SWT, atas ahmat dan hdayah-ya sehngga penuls dapat menyelesaan aya lmah n. Shalawat seta salam epada ab Muhammad SAW, sahabat dan eluaga, seta paa pengutnya hngga ah zaman. Ketebatasan dan etdasempunaan membuat penuls membutuhan bantuan, duungan dan semangat da oang-oang secaa langsung ataupun tda langsung beontbus besa dalam pembuatan aya lmah n. Oleh aena tu penuls ngn mengucapan asa tema ash yang sebesa-besanya epada :. Kedua oang tua (Mama dan Papa), yang selalu membean ash sayang, semangat dan doa. Teteh Lnda dan Aa Yunus yang banya membean motvas epada penuls, Aa Ed yang selalu membean masuan dalam pembuatan pogam dan ad-ad tesayang Rcad dan Ev.. Ibu Belan Setawaty dan Bapa. K. Kutha Adhana yang telah membmbng dan mengaahan selama penulsan aya lmah n. Seta Bapa I Wayan Mangu sebaga penguj dan untu masuan-masuannya yang bemanfaat. 3. Ea, Lutf, Azha, uahm, La, ely, Els, Des dan Tamtam atas ndahnya pesahabatan yang telah tejaln seta untu semangat dan doa yang telah dbean. 4. Rswan, untu semua bantuan yang telah dbean selama penyusunan aya lmah n. Ta, ta dan Azha yang telah beseda menjad pembahas. And Suyana, Teh Yana dan Teh Lnda atas masuan dan saannya. 5. Agus T Antoo, yang selalu meneman dsaat sua dan dua. 6. Seluuh Dosen Matemata IPB atas lmu yang telah dbean epada penuls. Staf TU Matemata IPB yang senantasa membantu dalam menyelesaan aya lmah n. Bu Sus yang banya membe masuan dan bantuan da seja awal hngga penyelesaan aya lmah n. 7. Matemata angatan 39 seta seluuh pha-pha yang tda dapat penuls sebutan satu pe satu. Semoga aya lmah n dapat bemanfaat. Bogo, Jun 6 Dew ovyant Sa

7 DAFTAR ISI Halaman I. PEDAHULUA..... Lata Belaang..... Tujuan penulsan... II. LADASA TEORI.... Ruang Contoh, Kejadan dan Peluang.... Peubah Aca dan Fungs Sebaan....3 Ranta Maov Ruang Pealan Dalam... 5 III. MODEL HIDDE MARKOV State dan Poses Obsevas la Haapan Besyaat Peubahan Uuan Pendugaan Reusf Penduga untu State Penduga Banyanya Lompatan Penduga untu Watu Kejadan Penduga untu Poses Obsevas... 9 IV. PEDUGAA PARAMETER Algotma Expectaton Maxmzaton Reestmas Paamete EM... V. PEMODELA ILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR Data Input la Tua Rupah Pemodelan la Tua Rupah Kasus la Tua Rupah untu Banyanya Penyebab Kejadan Kasus la Tua Rupah untu Banyanya Penyebab Kejadan SIMPULA... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRA...

8 DAFTAR GAMBAR Halaman Gamba.: Gaf peubahan nla tua Rupah tehadap US Dolla pe bulan... 4 Gamba.: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e Gamba.: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e Gamba.3: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e Gamba.4: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e Gamba 3.: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e Gamba 3.: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e Gamba 3.3: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e 3, ja detahu poses obsevas pada watu e Gamba 3.4: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e Gamba 3.5: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e Gamba 3.6: Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e 3, ja detahu poses obsevas hngga watu e

9 DAFTAR LAMPIRA Halaman Lampan A: Pogam utama... 3 Input untu asus banyanya penyebab ejadan... 6 Input untu asus banyanya penyebab ejadan Lampan B: Output Untu Kasus Banyanya Penyebab Kejadan... 7 Tabel (.). Paamete mats tanss A... 7 Tabel (.). Paamete agam... 3 Tabel (.3). Paamete nla ata-ata C Tabel (.4). la peluang penyebab ejadannya pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e- dan peluang penyebab ejadannya pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e Tabel (.5). la peluang poses obsevas untu satu bulan ( + ) dan dua bulan ( + ) yang aan datang, ja detahu poses obsevas hngga watu e-.. 4 Lampan C: Output Untu Kasus Banyanya Penyebab Kejadan Tabel (.). Paamete mats tanss A... 4 Tabel (.). Paamete agam... 4 Tabel (.3). Paamete nla ata-ata C... 5 Tabel (.4). la peluang penyebab ejadannya pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e- dan peluang penyebab ejadannya pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e Tabel (.5). la peluang poses obsevas untu satu bulan ( + ) dan dua bulan ( + ) yang aan datang, ja detahu poses obsevas hngga watu e-.. 6

10 I. PEDAHULUA Lata Belaang Tedapat banya ejadan dalam ehdupan seha-ha yang dapat dmodelan dengan suatu poses stoast. Setap ejadan tu teat eat dengan penyebab ejadannya. Ja penyebab ejadannya tda damat secaa langsung dan membentu anta Maov, maa pasangan ejadan dan penyebabnya dapat dmodelan dengan model Hdden Maov (Hdden Maov Model, HMM). Kaatest model Hdden Maov dcan oleh paamete-paametenya yatu mats tanss da penyebab ejadan, seta nla haapan dan agam da poses pengamatan. Paamete-paamete tesebut dduga melalu eestmas paamete dengan menggunaan algotma EM (Excpectaton Maxmzaton), sehngga dpeoleh paamete model dalam bentu pendugaan eusf. Pendugaan eusf n nantnya dapat devaluas embal dengan menggunaan paamete atau mungn data yang bau. Selan aya aan stutu matemats, HMM juga dapat memodelan dengan ba bebeapa aplas pentng. Contohnya dalam bdang eonom yatu masalah peubahan nla tua mata uang. Dalam aya lmah n masalah yang dbahas adalah masalah peubahan nla tua Rupah tehadap US Dolla da tahun 998 hngga tahun 5. Tedapat bebaga hal yang dapat menyebaban peubahan nla tua d antaanya adalah stuas eamanan, stuas polt, ss euangan seta ebjaan pementah. Dasumsan bahwa penyebab ejadan tesebut tda damat. Oleh aena tu masalah peubahan nla tua tesebut dapat dmodelan dengan model Hdden Maov. Dengan menggunaan data nla tua Rupah tehadap US Dolla yang besa antaa bulan Febua tahun 998 hngga bulan Desembe tahun 5, maa dapat dduga paamete modelnya. Sebelum melauan pendugaan paamete, telebh dahulu dlauan peubahan uuan peluang yang emudan dntepetasan embal dengan menggunaan peluang asal. Peubahan peluang n dbatas oleh tuunan Radon- yodm. Dalam uuan peluang bau, dlauan pendugaan paamete melalu eestmas paamete. Haslnya beupa pendugaan eusf d antaanya penduga untu state, penduga untu banyanya loncatan, penduga lamanya anta Maov beada pada suatu state tetentu dan penduga poses obsevas. Pendugaan eusf n emudan dgunaan untu menentuan paamete dengan menggunaan algotma EM. Dalam aya lmah n, telebh dahulu pada Bab II djelasan bebeapa defns seta teoema yang dgunaan pada pembahasan selanjutnya. Kemudan model Hdden Maov djelasan pada Bab III. Untu menduga paamete model maa dlauan eestmas paamete dengan menggunaan algotma EM yang dbahas pada Bab IV. Setelah tu pemodelan untu asus dua dan tga penyebab ejadan djelasan pada Bab V. Dalam peembangan lebh lanjut, dbuat suatu pogam omputas untu menyelesaan masalah HMM. Softwae yang dgunaan adalah Mathematca 5.. Keuntungan menggunaan pogam tesebut adalah watu eja yang lebh efsen seta mempemudah dalam analss data yang cuup banya. Dalam aya lmah n, pogam tesebut dgunaan untu membantu dalam penyelesaan masalah peubahan nla tua. Tujuan Tujuan da aya lmah n adalah:. Mempelaja model Hdden Maov dan pendugaan paametenya.. Mengmplementasan model Hdden Maov untu masalah peubahan nla tua Rupah tehadap US Dolla. II. LADASA TEORI Pada Bab n djelasan bebeapa defns seta teoema yang dgunaan dalam pembahasan selanjutnya.. Ruang Contoh, Kejadan dan Peluang Defns.. (Pecobaan Aca) Dalam suatu pecobaan sengal dlauan pengulangan yang basanya dlauan dalam

11 onds yang sama. Semua emungnan hasl yang aan muncul dapat detahu, tetap hasl pada pecobaan beutnya tda dapat dduga dengan tepat. Pecobaan semacam n, yang dapat dulang dalam onds yang sama dsebut pecobaan aca. [Hogg dan Cag, 995] Defns.. (Ruang Contoh dan Kejadan) Hmpunan da semua emungnan hasl da suatu pecobaan aca dsebut uang contoh, dnotasan dengan Ω. Suatu ejadan A adalah hmpunan bagan da Ω. [Gmett dan Stzae, 99] Defns..3 (Medan-) Medan-σ adalah suatu hmpunan yang anggotanya ted atas hmpunan bagan da Ω yang memenuh onds beut:. φ,. Ja A, A,... maa A t, t 3. Ja A maa A c. [Gmett dan Stzae, 99] Defns..4 (Uuan Peluang) Msalan adalah Medan-σ da uang contoh Ω. Uuan peluang adalah suatu fungs P : [,] pada ( Ω, ) yang memenuh:. P( φ ), P( Ω),. Ja A,,... adalah hmpunan yang A salng lepas yatu j setap pasangan j, maa P A P( A ). Ω,, P Pasangan ( ) A A φ untu dsebut uang peluang. [Gmett dan Stzae, 99] Teoema..5 (Teoema Bayes) Ω,, P adalah uang peluang Msalan ( ) dan C,,,.... Msalan ejadan C tejad hanya dengan salah satu ejadan C, maa peluang besyaat da C setelah detahu C adalah P( C C j ) P( C j ) P( C C j ) P( C j C). P( C) P C P C C j ( ) ( ) [but lhat Hogg dan Cag, 99] Teoema..6 (Kontnu Absolut) Ja ν dan µ meupaan dua uuan peluang pada ( Ω, ). Uuan peluang ν dataan ontnu absolut e uuan peluang µ ja µ A maa ν A, untu setap A. Dnotasan ν << µ. [Royden, 963] Teoema..7 (Radon odym) Ja P dan P meupaan dua uuan peluang Ω, sehngga untu setap B, pada ( ) P ( B) menyebaban ( B) P, maa tedapat peubah aca ta-negatf sehngga P C dp untu semua C. ( ) C Dnotasan dp dp [but lhat Wong dan Haje, 985]. Peubah Aca dan Fungs Sebaan Defns.. (Peubah Aca) Msalan adalah Medan-σ da uang contoh Ω. Suatu peubah aca X adalah suatu fungs X : Ω dengan sfat ( ω) { ω Ω; X x}, untu setap x.. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.. (Fungs Sebaan) Msalan ( Ω,, P) adalah uang peluang. Fungs sebaan da peubah aca X adalah F :, yang ddefnsan suatu fungs [ ] oleh FX ( x) P( X x). [Gmett dan Stzae, 99] Defns..3 (Peubah Aca Dset) Peubah aca X dataan dset ja nlanya hanya pada hmpunan bagan yang tehtung da. [Gmett dan Stzae, 99] Defns..4 (Fungs Keapatan Peluang) Msalan ( Ω,, P) adalah uang peluang. Fungs eapatan peluang da peubah aca p :, dset X adalah suatu fungs [ ] yang ddefnsan oleh px ( x) P( X x). [Gmett dan Stzae, 99]

12 Defns..5 (Peubah Aca Kontnu) Peubah aca X dataan ontnu ja fungs sebaannya dapat dnyataan sebaga X X dengan f : (, ) x F ( x) f ( u) du, x adalah fungs yang tentegalan. Fungs f X dataan fungs epeatan peluang da peubah aca X. [Gmett dan Stzae, 99] Defns..6 (Fungs Sebaan Besama Dua Peubah Aca) Fungs sebaan besama da dua peubah aca F :, X dan Y adalah suatu fungs [ ] yang ddefnsan oleh F( x, y) P( X x, Y y). [Gmett dan Stzae, 99] Defns..7 (Fungs Kepeatan Peluang Besama) Msalan X dan Y adalah peubah aca ontnu, maa fungs epeatan peluang besama da X dan Y adalah fungs yang ddefnsan oleh F( x, y) f XY x y dan f ( y) f ( x, y) dx Y XY adalah fungs epeatan peluang majnal da peubah aca Y. [Gmett dan Stzae, 99] Defns..8 (Fungs Kepeatan Peluang Besyaat) Msalan X dan Y adalah peubah aca ontnu, dengan fungs epeatan peluang majnal fy ( y ) > dan f XY ( x, y ) adalah fungs epeatan peluang besama da X dan Y, maa fungs eapatan peluang besyaat da X dengan syaat Y y adalah f X Y f XY ( x, y) ( x y). fy ( y) [Gmett dan Stzae, 99] Teoema..9 (Kejadan Salng Bebas ) Msalan ejadan C tda memengauh C dengan peluang ( ) ejadan P C > sedeman sehngga peluang besyaat C ja detahu C adalah P( C C ) P( C ) maa ejadan C dan C dataan salng bebas. Kemudan dapat dpeoleh peluang besamanya P( C C ) P( C ) P( C C ) P( C ) P( C ) dan untu P( C ) > peluang besyaat C ja detahu C adalah P( C C ) P( C C ) P( C ). P C ( ) [Hogg dan Cag, 995] Kejadan yang salng bebas dsebut sebaga bebas stoast. Defns.. (Bebas Stoast Ident) Msalan X, X,... X n adalah n peubah aca yang meml fungs epeatan yang sama yatu f(x) sehngga f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) fn( xn ) f ( xn ) Maa fungs epeatan besamanya adalah f ( x ) f ( x )... f ( x ). Dalam hal n, peubah aca X, X,..., X n dsebut bebas stoast dent. [Hogg dan Cag, 995] Defns.. (la Haapan) Ja X adalah peubah aca dset dengan fungs eapatan peluang px ( x) P( X x), maa nla haapan da X adalah [ X ] xp ( x). x X n [Hogg dan Cag, 995] Defns.. (la Haapan) Ja X adalah peubah aca ontnu dengan fungs epeatan peluang f ( x ), maa nla X haapan da X adalah [ X ] xf ( x) dx. [Hogg dan Cag, 995] Defns..3 (la Haapan Besyaat) Ja X dan Y adalah peubah aca ontnu dengan f ( x y ) adalah fungs epeatan X Y peluang besyaat da X dengan syaat Y y, maa nla haapan da X dengan syaat Y y adalah [ X Y y] x f ( x y) dx. X Y [Hogg dan Cag, 995] X 3

13 Defns..4 (Fungs Indato) Msalan A adalah suatu ejadan pada uang peluang ( Ω,, P). Fungs ndato da A adalah suatu fungs [ ] dbean oleh: I A ( ω).3 Ranta Maov I : Ω,, yang A, ja ω A., ja ω A [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3. (Ruang State) Msalan S meupaan hmpunan nla da basan peubah aca, maa S dsebut uang state. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3. (Poses Stoast) Poses stoast { X : } yang tedefns pada uang peluang ( Ω,, P) adalah suatu hmpunan da peubah aca yang memetaan uang contoh Ω e uang state S. [Ross, 996] Defns.3.3 (Ranta Maov dengan Watu Dset) Msalan ( Ω,, P) adalah uang peluang dan S uang state. Poses stoast { X : } dengan uang state S, dsebut anta Maov dengan watu dset ja untu setap {,,...} belau ( ) ( ) P X j X, X,..., X ) + P X j X + untu semua emungnan nla da,,...,, ; j S. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3.4 (Mats Tanss) Msalan { X : } adalah anta Maov dengan uang state S yang beuuan. Mats tanss P ( p j ) beuuan x adalah mats da peluang tanss. p P X j X ( ) j + untu j, S. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3.5 (Ranta Maov yang Homogen) Ranta Maov { X } dengan uang state S dsebut homogen ja ( ) P X j X P( X j X + ) p j untu j, S. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3.6 (Inemen Bebas dan Inemen Stasone) ) Suatu poses stoast { X : } dengan watu ontnu dsebut meml nemen bebas ja untu semua < < <... < t peubah aca X X,..., X X t t adalah bebas. ) Suatu poses stoast { X : } dengan watu ontnu dsebut meml nemen stasone ja X + X meml sebaan yang sama untu semua nla, t. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3.7 (Fltas) Msalan adalah suatu medan-σ dan {,,...} meupaan basan submedanσ da, dsebut fltas ja + untu semua. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3.8 (Measuable/ teuu) Msalan X adalah peubah aca yang tedefns pada uang peluang ( Ω,, P). Ja ( ω) { ω Ω; X x}, untu setap x, maa X dataan teuu -. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3.9 (Adapted) Msalan ( Ω,, P) adalah uang peluang. Basan peubah aca { X : } dataan adapted tehadap fltas ja X teuu - untu setap. [Gmett dan Stzae, 99] Defns.3. (Pedctable) Msalan adalah suatu medan-σ. Basan peubah aca { X : } dataan pedctable (teduga), ja X teuu - untu setap. [Ellott, 995] Teoema.3. (la Haapan Ranta Maov Homogen ) Msalan { X ; } adalah anta Maov homogen dengan uang state S dmana ( ) S e ;. e (,) t dan n S dan { } 4

14 e (,) t adalah veto unt d. Msalan A meupaan mats tanss beuuan, dengan A ( a j ),, j, dan a P( X e X e ) j + j maa nla haapan da X dnotasan π yang memenuh Aπ π adalah [ ] X π ( a ) /( a a ). [but lhat Hamlton, 99] ( a ) /( a a ) Defns.3. (Hmpunan Konves dan Fungs Konves) Msalan S adalah hmpunan veto. Maa S dsebut sebaga hmpunan onves t ja untu semua x, x S tedapat λ [,] maa t ( λ) x + λx S. Msalan f meupaan fungs dengan peubah x yang tedefns pada hmpunan onves S. Maa f dsebut sebaga fungs onves ja f memenuh pesamaan ( ) t t f λ x + λx ( λ) f x + λ f x. ( ) ( ) ( ) Ja f meml tuunan edua, maa f dsebut sebaga fungs onves ja dan hanya ja f ( x), x S dan meupaan stctly convex ja f ( x) >, x S. [Osbone, 997] Teoema.3.3 (Ketasamaan Jensen) Msalan X adalah peubah aca dengan X behngga dan ( ) onves. Maa g ( X ) g ( [ X ]) g X adalah fungs. [but lhat Wessten, 999].4 Ruang Pealan Dalam Defns 4. (Hasl Kal Tt) Untu setap dua veto β α a dan b β n α n d, hasl al tt veto a dan b adalah a b αβ + αβ αnβn. Dengan memandang veto d sebaga veto olom, hasl al tt a dan b d dapat dtulsan sebaga t t a b a b b a t dengan a menyataan tanspos da a. [Afn, ] Defns 4. (Hasl Kal Dalam) Hasl al dalam pada uang veto Real V adalah pemetaan V V dengan pengatan ( x, y) x, y. Untu setap veto x, y dan z d V seta blangan γ d belau:. x, y y, x,. γ x, y γ x, y, 3. x + y,z x,z + y,z, 4. x, x, dan x, x ja dan hanya ja x. Hasl al tt d dalam. [Afn, ] meupaan hasl al III. MODEL HIDDE MARKOV Pada Bab n aan dbahas mengena model Hdden Maov. Model n ted atas pasangan state penyebab ejadan yang tda damat secaa langsung dan poses obsevasnya. Dengan menggunaan model n, aan dduga penyebab ejadan seta ejadan yang aan datang. Untu tu pelu dtentuan suatu nla haapan besyaat dengan nfomas data poses obsevas dan paamete yang detahu. Sebelum menduga paamete-paamete model Hdden Maov, telebh dahulu dlauan peubahan uuan peluang untu mendapatan vaas bentu obje secaa matemat yang aan dntepetasan embal menggunaan peluang asal. Peubahannya dbatas oleh tuunan Radon- yodm. Dalam uuan peluang bau dlauan pendugaan paamete model Hdden Maov melalu eestmas paamete. Abatnya dhaslan pendugaan eusf d antaanya penduga untu state, penduga untu banyanya loncatan, penduga lamanya anta Maov beada pada suatu state tetentu dan penduga poses obsevas. Pendugaan eusf 5

15 n emudan dgunaan untu menentuan paamete bau dengan menggunaan algotma EM. 3. State dan Poses Obsevas Model yang dgunaan dalam aya lmah n adalah model Hdden Maov. Model n ted atas pasangan { X, y }. X { X, } adalah anta Maov yang besfat homogen dan tda damat secaa langsung sedangan y { y, } meupaan poses obsevasnya. Dalam aya lmah n y danggap benla sala dan semua poses ddefnsan dalam uang Ω,, P. peluang ( ) Msalan σ{ X,... X } adalah medan-σ yang dbangtan oleh { X, X..., X } dan { } adalah fltas lengap yang dbangun oleh. Sedangan { }, adalah fltas lengap yang dbangun oleh y dan { }, meupaan fltas lengap yang dbangun oleh X dan y. Ruang state da X adalah hmpunan veto unt e d. Ruang state X dapat dtulsan sebaga beut S { e, e,..., e } x dengan e {,...,,,...,} t. Kaena X anta Maov homogen maa bedasaan sfat Maov dpeoleh P( X e ) P( X e X ). + j + j Msalan a P( X e X e ) j + j meupaan peluang tanss dan A ( a j ) adalah mats tanss yang memenuh j a j, maa [ ] [ ] X X X AX. Ddefnsan dengan dan + + V : X AX (3..) + + [ ] AX X AX [ V ] [ X AX X ] + + AX AX. Da (3..) dpeoleh X + AX + + V + (3..) yang dsebut sebaga pesamaan state. Msalan seta X, e e, e P( X e ) j j P( X e ) j π P( X e ) (3..3) j t maa veto π ( π, π,... π ) meupaan nla haapan da X yatu π [ X ] dan memenuh Aπ π. Poses state X tda damat secaa langsung, namun tedapat poses obsevas y c( X ) + σ ( X ) ω,. (3..4) + + d mana { ω + } adalah basan peubah aca da sebaan nomal dengan ataan nol dan agam satu (,) yang besfat bebas stoast dent, dan aena X Sx, maa fungs c dan σ ddefnsan sebaga c ( c, c,... c ) t dan σ ( σ, σ,... σ ) t d seta c( X ) c, X dan σ ( X ) σ, X dengan σ >,. Jad bedasaan (3..) dan (3..4) maa bentu model Hdden Maov yang dgunaan pada aya lmah n adalah X AX + V + + y c( X ) + σ ( X ) ω la Haapan Besyaat j (3..5) ω, adalah peubah aca dengan sebaan nomal (,) yang bebas stoast dent, aenanya ω bebas tehadap dan. Sebaan besyaat poses obsevas y + dengan detahu { { adalah P( y t ) P( y t, X e ) + + P( y t X e, ) + P( X e ) P( σ ω t c ) } + } P( X e ). Msalan nla haapan penyebab ejadan ja detahu maa adalah Xˆ [ X ] X 6

16 ( ) ( X ), e P( X e ) X, e Xˆ, e dan msalan / φ ( x) ( πσ ) exp( x / σ ) untu fungs epeatan peluang (, σ ) maa peluang besyaat poses obsevas untu satu satuan watu yang aan datang dengan syaat adalah t c ˆ + P( y t ) X, e φ ( x) dx.(3..) Jad fungs epeatan da y + setelah detahu adalah Xˆ, e j φ j ( t c j ). j Sedangan fungs epeatan da poses obsevas untu dua satuan watu yang aan datang setelah detahu, dapat dca dengan caa yang sama yatu P( y t ) + P( y t, X e ) j j { j + + j P( y t, X e, X e ) + + j P( X e ) { j j j P( y t, X e X e, ) { { + + j P( X e ) P( X e X e, ) + j P( y t X e, X e, ) Xˆ, e a + + j j P( σ ω t c ) + } t c Xˆ, e a φ ( x ) dx j dengan a j adalah mats tanss da state X e e state X + e j. Jad fungs epeatan peluang da y + setelah detahu adalah P( y t ) + j t c Xˆ, e a φ ( x ) dx. (3..) j } } 3.3 Peubahan Uuan Untu mempemudah dalam pehtungan secaa matemats, dpeluan suatu uuan peluang bau yang emudan aan dntepetasan embal e dalam peluang asalnya. Msalan P adalah uuan peluang bau yang ontnu absolut seta bepadanan dengan P dan meml epeatan λ. Abatnya d P dp λ dan d bawah P, peubah aca y mempunya fungs epeatan φ t P( y t) φ( y) dy (3.3.) _ t c ω σ t I { y t} Ω I { y t} Ω + I d P λ dp ( ) ( ) λ ω φ ω dω dy λ ( ω) φ ( ω), (3.3.) σ dengan I adalah fungs ndato. Da pesamaan (3.3.) dan (3.3.) dpeoleh σφ( y) λ( ω). φ( ω) Dalam uang peluang ( Ω,, P), poses obsevas { y}, mempunya bentu y c, X + σ, X ω + + dengan ω meupaan peubah aca (,) yang bebas stoast dent. Msalan φ( ) adalah fungs epeatan (,) dan σ, X l φ( yl ) λl, l φ( ω ) seta Λ l Λ λl,. l Ddefnsan uuan peluang bau P dengan batasan tuunan Radon odym tehadap yatu d P dp Lema 3. D bawah P, y adalah (,) yang bebas stoast dent. (But: Lhat Kstna hal.9, 6). 7

17 Kemudan aan dtentuan uuan peluang P sehngga d bawah P y + c, X ω + :, σ, X adalah basan peubah aca (,) yang bebas stoast dent. Untu menentuan nla P da P ddefnsan λ l dan meupaan nves da λl dan Λ l λ l λ dan Λ λ l,. l φ( ωl ) σ, X φ( y ) l Ddefnsan P dengan batasan dp d P Λ., yatu: l Λ yang Untu menentuan nla P dgunaan fato λ dengan syaat σ,. X Lema 3. D bawah P, { ω}, adalah basan peubah aca (,) yang bebas stoast dent. (But: Lhat Kstna hal.9-, 6). 3.4 Pendugaan Reusf Untu meeestmas paamete bau, maa dbentu suatu pendugaan eusf da state, banyanya lompatan, lamanya watu ejadan, dan poses obsevas. amun telebh dahulu dnotasan suatu nla haapan ta tenomalan da H ja detahu. otas 4. Ja { H }, meupaan basan adapted e { }, notasan γ ( H ) [ Λ H ]. (3.4.) Dengan menggunaan teoema Bayes dan pesamaan (3.4.) maa Hˆ : [ H ] [ Λ H ] [ Λ ] γ ( H ) γ () dan (3.4.) γ ( X ) [ X ] sebaga nla awal. Msalan meupaan veto da (,,...,) t maa γ ( H X ), γ ( H X, ) γ ( H X, ) γ ( H ). (3.4.3) Ja H maa dengan (3.4.3) ddapatan ( X ) γ () γ, γ ( X ), [ Λ ]. Sehngga da (3.4.), ja γ ( X ) detahu maa fato penomalan dapat dca dengan menjumlahan semua omponen penduga ta tenomalan γ ( X ). otas (4.) otasan Lema 4.3 Msalan y + c( ) φ σ ( ) ( ) ( ). ( ) Γ y e σ ( ) φ( y ) H adalah poses benla sala yang mempunya bentu: H meupaan teuu-, -adapted yang ( ) H H + α + β, V + δ f y, , dengan V + X + AX, f sala dan α, β, δ adalah poses pedctable ( β meupaan veto bedmens ). Maa γ ( H X ) γ +, + + ( H ) { γ ( H X ), ( y + ) a γ ( α + X, Γ ( y + ) ) a + γ ( δ + X, Γ ( y + ) ) f ( y + ) a + ( dag ( a ) aa ') γ ( β + X, Γ ( y + ) )} Γ + dengan a Ae. (But: Lhat Kstna hal., 6). Dengan menggunaan Lema dan notas tesebut, dapat dtentuan pendugaan eusf sepet yang dtunjuan pada 3.4. hngga

18 3.4. Penduga untu State Dengan menggunaan Lema 4.3 dan nla H + H, α, β, δ, maa penduga untu state ddefnsan sebaga beut γ + ( X + ) γ ( X ), Γ ( y + ) a. (3.4..) 3.4. Penduga Banyanya Lompatan Ja anta Maov melompat da state e pada watu e state es pada watu +,, s, maa X, e X +, es. Banyanya lompatan da e e es pada watu + adalah + s + X n, e X n, es n + X, e X, e s + s ( + ) s + X, e AX, e + V, e s s + X, e a + X, e V, e. s s + s Dengan menggunaan Lema 4.3 dan nla s ' H, H, δ, β X, e e, s α + X, e as, maa penduga untu banyanya lompatan dapat ddefnsan sebaga beut s γ ( ) +, + + γ ( ), Γ ( y ) a + s, + γ ( X ), Γ ( y ) a e. (3.4..) + s s Penduga untu Watu Kejadan Msalan adalah lamanya watu sampa watu e-, X tejad d state e, maa + + X n, e n + X, e. Dengan menggunaan Lema 4.3 dan nla H, H, α X, e, β, δ +, maa penduga untu lamanya watu ejadan dapat ddefnsan sebaga beut γ ( ) +, + + { γ ( ), Γ ( y ) a +, + + } γ ( X ), Γ ( y ) a. (3.4.3.) Penduga untu Poses Obsevas Untu menentuan embal veto agam σ ( σ, σ,..., σ ) t seta veto c ( c, c,..., c ) t pada poses obsevas y + c( X ) + σ ( X ) ω + haus dtentuan penduga untu poses obsevas dalam bentu + + l l l ( f ) X, e f ( y ), ( f ) + X, e f ( y ) + untu f ( y) y atau f ( y) y. Dengan menggunaan Lema 4.3 dan nla H ( f ), H, α, β, X, e δ +, maa penduga untu poses obsevas ddefnsan sebaga beut γ ( ( f )) +, + + γ ( ( f )), Γ ( y ) a +, + γ ( X ), Γ ( y ) f ( y ) a. (3.4.4.) + + IV. PEDUGAA PARAMETER Sepet yang telah dbahas pada Bab sebelumnya, pendugaan paamete model Hdden Maov dlauan dengan eestmas paamete. Metode yang dgunaan adalah algotma EM. Haslnya beupa paamete dalam bentu pendugaan eusf. Beut n aan dbahas mengena algoma EM. Kemudan aan dlanjutan dengan eestmas paamete EM. 4. Algotma Expectaton Maxmzaton Msalan { P θ, θ Θ } adalah hmpunan uuan peluang yang tedefns pada ( Ω, ) dan ontnu absolut tehadap P. Msalan. Fungs Lelhood yang dgunaan 9

19 untu menghtung penduga paamete θ bedasaan nfomas adalah dp θ L( θ ). dp Penduga Maxmum Lelhood (MLE) ddefnsan oleh ˆ θ ag max L( θ ). θ Θ Umumnya MLE sult dhtung secaa langsung, oleh aena tu algotma Expectaton Maxmzaton (EM) membean suatu metode aposmas beulang. Langahlangah dalam metode tesebut adalah:. Set nla awal paamete ˆ θ dengan.. * Set θ ˆ θ dan htung * Q(, θ ) dengan * dp θ Q( θ, θ ) * log θ. dp * θ 3. Ca θ ag max (, * Q θ θ ). + θ Θ 4. Gant dengan + dan ulang langah sampa 4 hngga tea hentnya tecapa, yatu eta selsh ˆ θ + dan ˆ θ uang da suatu blangan yang sangat ecl. Blangan tesebut dapat dtentuan sesua dengan sebeapa besa eteltan yang dngnan. Msalan g( x) log. Kaena tuunan x edua da g( x ) selalu postf g( x) log x >, x > x maa g( x ) meupaan fungs onves. Bedasaan etasamaan Jensen, aena log meupaan fungs onves maa x ˆ θ,, yang dapat dhaslan basan { } meupaan fungs lelhood yang ta tuun yatu ( ˆ θ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ + θ θ + θ ) log L log L Q, (4..3) But: Kaena Λ l λ, l dengan maa atau Λ dp λl dp p l θl θl λ, λ. λ... λ dpθ dp dp θ.... dp dp dp dp dp θ l dp dp θ θ θ θ Dengan caa seupa maa dpθ + + dp seta Sehngga log L dp θ+ λ + dpθ ( ˆ θ ) log ( ˆ + L θ ). + dp log log dp log log ˆ θ ˆ + θ dp dp [ + ] [ ] [ λ ] log log + log ˆ θ + [ λ ] dpˆ θ+ log ˆ. θ dpˆ θ Bedasaan Teoema etasamaan Jensen maa dpˆ dpˆ θ+ θ+ log ˆ ˆ log θ θ dpˆ dp θ ˆ θ atau dpˆ log ( ˆ ) log ( ˆ θ+ L θ + L θ ) ˆ log. θ dpˆ θ Hasl edua uas pada pesamaan (4..3) aan benla sama ja dan hanya ja ˆ θ ˆ + θ. Bentu Q( θ, θ ) dsebut Pseudo Lelhood besyaat.

20 4. Reestmas Paamete EM Pada model (3..5), hmpunan paamete yang dgunaan adalah θ {( as ), s,, c,, σ, }. Dengan menggunaan algotma EM aan dtentuan hmpunan paamete bau, ˆ θ a ˆ, s,, c ˆ,, ˆ σ, {( s ) } yang memasmuman fungs lelhood besyaatnya. Dmula dengan menggant paamete a j yang mendefnsan peluang tanss pada anta Maov, dengan paamete a ˆ j. Untu tu ddefnsan fungs Lelhood ( X, y ) * * λ l l l l Λ aˆ s ( ) l, s as Xl, es Xl, e Msalan uuan peluang bau adalah ddefnsan * dp dp. * P, Λ sebaga tuunan * dp Radon-yodm pada. Abatnya dp dapat dpeoleh fungs Log-lelhoodnya yatu * * dp log Λ log dp, s l, s X, e X, e l s l [ log aˆ ( ) log a ] log aˆ ( ) + R( a) dengan R ( a ) bebas tehadap â dan nla haapan besyaatnya sebaga beut ˆ log log ˆ ( ) ˆ Λ as + R( a)., s Kemudan aena aˆ s ( ) adalah peluang tanss, maa jumlah peluang da semua emungnan state asal untu bepndah e suatu state atau jumlah peluang setap olom mats tanss, haus benla dan dapat dtuls sebaga beut s s s aˆ s ( ). Hal n belau untu setap tanss e state X e, < l <, < < pada setap l watu e-l, < l <. Abatnya pesamaan s tesebut dapat dtuls dalam bentu dnam sebaga beut X, e aˆ ( ) X, e aˆ ( ) l s l s l, s l s l l ( ) X, e l X, e l. (4..) Dapat dlhat bahwa pesamaan (4..) sama bentunya dengan penduga lamanya watu ejadan yatu, ˆ X l e l. Jad pesamaan (4..) dapat dtuls dalam bentu besyaat s, s ˆ aˆ ( ). (4..) Dengan menggunaan algotma EM dan nla haapan tesebut maa dapat dca paamete aˆ s ( ) yang memenuh bentu besyaat (4..). Untu tu dnotasan λ sebaga pengal Lagange sehngga ˆ L( aˆ, λ) log aˆ ( ) + Rˆ ( a) +, s ˆ λ aˆ s ( )., s Kemudan tuunan pesamaan d atas tehadap a ˆs. Sehngga dhaslan pesamaan beut ˆ + λ ˆ aˆ ( ) s Sedangan ja dtuunan tehadap λ, aan dpeoleh ˆ ˆ as ( )., s Dengan menyamaan edua tuunan d atas dengan nol, maa ddapatan ˆ s ˆ + λ (4..3) ˆ dan a s, s s ˆ aˆ ( ). (4..4) s Da edua pesamaan tesebut, dhaslan ˆ s aˆ s ( ). (4..5). ˆ λ Kemudan subttusan (4..5) e (4..4)

21 , s n, s ˆ aˆ ( ) s ˆ s ˆ ˆ, s λ ˆ s λ, s X n, e X n, es λ sehngga ddapatan nla λ dan dpeoleh plhan optmum untu aˆ ( ) yatu s ( ) ( ) ˆ s γ aˆ s ( ). ˆ γ Kn untu menggant paamete c dengan c ˆ, ddefnsan fungs lelhood * * Λ λ (, ) l l X l y l dengan fato * λ + ( X, y + ) exp { c, X σ, X ˆ + + cˆ, X y c, X + y c, X. Msalan uuan peluang bau adalah * dp maa tuunan Radon-yodm dp pada dbean oleh D bawah * dp dp Λ *. s P *, { l l } }) * P, y cˆ, X, l, adalah basan peubah aca yang menyeba omal (, σ ) dan bebas stoast dent. Kemudan dapat dpeoleh fungs Loglelhood nya yatu * * dp log Λ log dp l ( ˆ l l l l c, X c, X y c, X + y cˆ, X / σ, X ) l l l X l, e c c l ( ˆ ( ) y ˆ lc + ylc ( )) / σ ) ( y) cˆ ( ) cˆ ( ) R( c) + σ dengan R ( c ) bebas tehadap ĉ dan nla haapan besyaatnya adalah, * [log Λ ] ( ) ( ) ˆ y cˆ cˆ ( ) ˆ + Rˆ c σ ( ) Dengan menggunaan algotma EM dan nla haapan tesebut maa dapat dca paamete cˆ ( ). Hal n dlauan dengan menuunan pesamaan d atas tehadap cˆ ( ) dan menyamaan tuunannya dengan nol sebaga beut ( y) c ( ) ˆ ˆ ˆ σ ( y) c ( ) ˆ ˆ ˆ ( y) ˆ cˆ ( ). ˆ Abatnya dapat dpeoleh plhan optmum da cˆ ( ), ja detahu obsevas hngga watu e-, sebaga beut cˆ ( ) ( y ) ( ) ˆ ( ) ( ) y γ ˆ γ Kemudan untu menggant paamete σ dengan ˆ σ ( ) (dengan nla c tetap), ddefnsan fungs lelhood * * Λ λ (, ) l l X l y l dengan fato ( X, y ) λ l + exp ( y, ), ˆ, c X σ X σ X +. ˆ, σ X exp ( y c, X ) σ, X + Msalan uuan peluang bau adalah maa tuunan Radon-yodm dbean oleh * dp dp Λ *. P *, * dp dp pada Abatnya dapat dpeoleh fungs Loglelhood nya yatu.

22 * dp log Λ log dp log ˆ σ, X l l ˆ σ, X ( yl c, X l ) ) + R( c, σ ) l dengan R ( c, ) bebas tehadap σ dan nla haapan besyaatnya adalah [log Λ ] l X ˆ l, e log σ ( ) l ˆ σ ( ) ^ ( yl c yl + c ) + R c, ˆ log ˆ σ ( ) + ˆ σ ( ) ( ˆ ( σ ) ( y ), e ˆ ( ) ˆ c )} ˆ y + c + R( c, σ ). Dengan menggunaan algotma EM dan nla haapan tesebut maa dapat dca paamete ˆ σ ( ). Hal n dlauan dengan menuunan pesamaan d atas tehadap ˆ σ ( ) dan menyamaan tuunannya dengan nol sebaga beut ˆ ( ˆ ( y ) ˆ σ ( ) ˆ σ ( ) ˆ ( ) ˆ c y + c ) ˆ ( ) ˆ σ ( ˆ ( y ) ( ) ˆ ) ˆ c y + c ( ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ y c y + c ) ˆ X ˆ σ ( ). Abatnya dapat dpeoleh plhan optmum da ˆ σ ( ), ja detahu obsevas hngga watu e- sebaga beut ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( ) σ ( ) ( ) ˆ y c y + c. Jad umusan yang dhaslan untu paamete bau bedasaan obsevas hngga watu e-, adalah: ˆ σ ( ) s ( ) ( ) ˆ s γ aˆ s ( ) (4..6) ˆ γ ( ) ( ) ˆ ( y) γ cˆ ( ) (4..7) ˆ γ ( ) ( γ ( ) ) γ ( ( y )) cγ ( y ) + c γ ( ) ( y ) c ( y) c ˆ ˆ ˆ + ˆ ( ). (4..8) yang ddefnsan pada hmpunan paamete ˆ θ a ˆ, s,, c ˆ,, ˆ σ,. {( s ) } la dan ( X ) γ dapat devaluas embal dengan menggunaan paamete bau dan memungnan juga untu selanjutnya devaluas dengan menggunaan data bau. V. PEMODELA ILAI ILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR Pada Bab n dmodelan masalah nla tua Rupah tehadap US Dolla. Beut n telebh dahulu djelasan mengena data nput yang dgunaan sebaga data obsevas pada model. Kemudan dlanjutan dengan pemodelan masalah seta aplas untu asus banyanya penyebab ejadan dan Data Input la Tua Rupah Dalam aya lmah n, data nput yang dgunaan meupaan data nla tua Rupah tehadap US Dolla pe bulan yang dambl da Data besa antaa bulan Febua tahun 998 hngga bulan Desembe tahun 5. Atnya ada sebanya 95 data poses obsevas ( y ) yang dgunaan dalam asus peubahan nla tua Rupah tesebut. Gaf data dapat dlhat pada Gamba.. Pada Gamba., telhat data d awal menngat cuup tngg hngga mencapa puncanya pada bulan Jul tahun 998. Kemudan pada bulan beutnya, data menuun secaa pelahan. Poss teendah dcapa pada bulan Jul tahun 999. Kemudan 3

23 Gaf peubahan nla tua Rupah tehadap US Dolla pe bulan la US Dolla (Rupah) Feb-998 Feb-999 Feb- Feb- Feb- Feb-3 Feb-4 Feb-5 Tahun Gamba. Gaf peubahan nla tua Rupah tehadap US Dolla pe bulan data mengalam enaan seta penuunan lag d bulan-bulan selanjutnya. 5. Pemodelan Kasus la Tua Rupah la tua Rupah dapat beubah setap watunya. Banya hal yang dapat menyebaban peubahan tesebut, d antaanya pegantan sstem pementahan, stuas eamanan yang uang ba dan sebaganya. Penyebab-penyebab tesebut dapat membentu pola tetentu. Msalnya, ja d watu sebelumnya tejad pegantan sstem pementahan maa basanya aan dut dengan munculnya mos tda pecaya da masyaaat tehadap pementahan bau yang menyebaban stuas eamanan d Indonesa saat tu menjad uang ondusf. Hal tu membuat banya nvesto asng taut mengnvestasan Dolla d Indonesa sehngga tejad enaan nla tua Rupah tehadap Dolla. Kejadan n bsa beulang namun tda dapat dpastan uun watunya. Abatnya besa emungnan d watu yang aan datang penyebab ejadannya adalah ejadan yang sama ja sebelumnya detahu tejad pegantan sstem pementahan, aan meml nla peluang yang tda jauh bebeda dengan nla peluangnya saat tu. Hal n menunjuan bahwa penyebab ejadan nla tua besfat homogen. Selan tu, penyebab ejadan nla tua dasumsan besfat Maov. Atnya mes d watu yang lalu penah tejad bebaga hal yang memengauh nla tua, namun penyebab peubahan nla tua saat n cuup dpengauh oleh penyebab ejadan sebelumnya saja. Jad aena penyebab ejadan nla tua Rupah membentu anta Maov yang homogen dan dasumsan tda damat secaa langsung, maa masalah nla tua Rupah tehadap US Dolla dapat dmodelan dengan model Hdden Maov. Poses obsevas { y, } yang dgunaan pada model adalah nla tua Rupah tehadap US Dolla pe bulan dan benla sala. Banyanya data adalah 95, sedangan penyebab ejadan yang tda damat secaa langsung { X, } pada model adalah penyebab tejadnya peubahan nla tua tesebut. Bedasaan banyanya penyebab ejadan, maa asus yang dbahas dalam aya lmah n tebag atas dua macam. Kasus petama untu dan asus edua untu 3. Dengan menggunaan algotma EM dan pendugaan eusf pada edua asus tesebut, maa dapat dtentuan paamete yang dapat memasmuman peluang ejadannya sehngga dapat dduga penyebab tejadnya peubahan nla tua tesebut. Kemudan dapat dtentuan peluang obsevas untu satu bulan dan dua bulan yang aan datang ja detahu data poses obsevas sebelumnya. Secaa eseluuhan algotma yang dgunaan untu memposes data tesebut adalah sebaga beut: Algotma:. Msalan detahu nla haapan penyebab ejadan awal, sama dengan 4

24 peluang da penyebab ejadannya yatu ejadan e- atau state e [ X ] P( X e ), adalah π yang memenuh A π π sehngga bsa ddapatan nla awal penduga state γ ( X ) dan mats tanss A. Selan tu dbean nla awal ataan C dan agam σ. Jad nla paamete awal detahu yatu θ {( a j ),, j, c,, σ, }. Mula dengan detahu data awal dan aan dca data e- h. 3. Untu, set nla awal penduga eusf γ, yatu penduga banyanya lompatan, penduga lamanya watu ejadan d state- e, dan penduga poses obsevas ( f ) untu f y dan f y. Abatnya ddapatan nla penduga ta tenomalan untu uuan peluang bau P yatu: penduga banyanya lompatan γ,, penduga lamanya watu ( ) ejadan d state e ( ) γ,, dan penduga poses obsevas γ, ( f ) untu f y dan f ( ) y. 4. Dengan nla paamete awal θ dan nla awal penduga detahu, maa dapat dca nla penduga eusf untu watu e-( + ) dalam uuan peluang P yatu: γ, γ, dan ( ) ( ) ( ) +, + + +, + + γ +, + + f f ( ) untu f y dan y. Rumus yang dgunaan sepet pada pesamaan (3.4..), (3.4.3.) dan (3.4.4.). 5. Tentuan penduga eusf da banyanya lompatan, lama watu ejadan dan poses obsevas setelah detahu data poses obsevas hngga watu e- ( ), dengan umus sebaga beut: γ γ s s ( ) γ ( ) ( ) γ ( ), + + +, , + +, γ ( f ) γ ( f ) ( ) ( ), + + +, + + dengan (,,..., ) t. 6. Dengan nfomas data e-, dapat dca paamete bau ˆ θ aˆ,, j, {( j ) cˆ,, ˆ σ, Untu poses n dgunaan Algotma Expectaton Maxmzaton. Langahlangahnya sepet pada Bab IV sehngga dhaslan umus untu menca paamete sepet pada pesamaan (4..6), (4..7) dan (4..8). Dengan menggunaan umus tesebut, tentuan nla-nla paamete bau ˆ θ. 7. Dengan paamete yang dhaslan, dapat dca penduga eusf untu state pada watu e-( + ) sepet pada pesamaan (3.4..). 8. Gant nla awal penduga eusf γ untu banyanya lompatan, lama watu ejadan, poses obsevas dan penduga untu state dengan data yang bau. Sedangan nla awal paamete θ benla tetap. Kemudan gant nla menjad Ulang langah 4 hngga 9 sebanya h al atau sampa nla sama dengan h.. Paamete yang dhaslan pada teas teah atau eta sama dengan h, djadan paamete awal θ untu teas e-( h + ). Gant nla awal penduga state γ ( X ) atau π, dengan data yang bau yang memenuh pesamaan Aπ π, dengan A adalah paamete mats tanss yang bau. Kemudan tentuan nla haapan besyaat da X + ja dbean dengan umus Xˆ : [ X ] + + } Λ X + Λ γ ( X + ) γ ( ) γ ( X ) γ ( X ), Gant h dengan h +. Kemudan ulang langah 3 hngga sampa data y h yang teah. 5

25 . Tentuan nla peluang besyaat untu penyebab ejadan X t e ja detahu data poses obsevas e- ( )dengan umus P( X e y ) π ( y c ) exp πσ σ. π j ( y c j ) exp j πσ j σ j Kemudan tentuan nla peluang besyaat untu penyebab ejadan X t e ja detahu data poses obsevas hngga watu e- dengan umus ( ) ˆ P X e X, e Lalu dapat dgambaan gaf da peluang besyaat tesebut. 3. Tentuan nla peluang besyaat untu data poses obsevas satu bulan dan dua bulan yang aan datang, + dan + dengan detahu data poses obsevas hngga bulan e-,. la atau batas Rupah yang dgunaan besa antaa 7-6. Rumus yang dgunaan sepet pada pesamaan (3..) dan (3..). Kemudan dapat dgambaan gaf da peluang besyaat tesebut. 5.. Kasus la Tua Rupah untu Banyanya Penyebab Kejadan Untu asus banyanya penyebab ejadan, tedapat dua nla ata-ata c dan agam σ yang dduga meupaan ataan dan agam ejadan. Selan tu uuan mats peluang tanssnya A adalah. Dalam aya lmah n dmsalan ataan yang dabatan oleh state e adalah dan untu state e adalah 8 atau C. Sedangan agam untu 8 penyebab ejadan e adalah dan untu e adalah atau σ. Msalan nla haapan penyebab ejadan awal, sama dengan peluang da penyebab ejadannya adalah ejadan e- atau state e, detahu 49 /7 yatu π sehngga bsa dpeoleh 78/7 49 /7 / 7 7 /3 γ ( X ) dan A 78/7. 6 / 7 6 /3 Atnya peluang tanss da state e e state e adalah /7, peluang tanss da state e e state e adalah 6/7, peluang tanss da state e e state e adalah 7/3 dan peluang tanss da state e e state e adalah 6/3. Da mats tesebut dapat telhat bahwa peluang pepndahan da state e e state e lebh besa dbandngan peluang tanss yang lan. Atnya ja penyebab ejadannya e dengan ataan maa peluangnya cuup besa untu bepndah menjad e dengan ataan 8. Sedangan untu ejadan sebalnya, peluangnya sangat ecl. Dengan menggunaan algotma sepet pada pembahasan 5., maa ddapatan hasl beupa paamete-paamete sepet yang dtunjuan pada lampan dalam tabel paamete.. Selan tu dhaslan peluang besyaat sepet yang dtunjuan pada lampan dalam Tabel.,.3,.4, dan.5. Adapun gaf yang dhaslan oleh data tesebut dtunjuan pada Gamba.,.,.3 dan.4. Gaf pada Gamba. menunjuan peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah ejadan e- atau e, ja detahu poses obsevas pada watu e. Dapat dlhat pada gaf bahwa peluangnya tuun da.64 menjad.385 pada watu atau pada bulan Maet tahun 998. Kemudan elatf stabl pada bulan-bulan selanjutnya PX e Y Gamba. Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e. Sedangan untu nla peluang penyebab ejadannya pada watu e- adalah ejadan e- atau e, ja detahu poses obsevas pada watu e-, dtunjuan pada Gamba.. Dapat dlhat pada gamba tesebut, 6

26 bahwa peluangnya na da.538 menjad.64 pada watu atau pada bulan Maet tahun 998. Kemudan elatf stabl pada bulan-bulan selanjutnya PX e Y t Gamba. Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e-. Da Gamba. dan Gamba. dapat dsmpulan bahwa ja hanya detahu poses obsevas pada watu e-, maa penyebab ejadan e dengan ataan 8, palng memengauh peubahan nla tua pada watu. Hal n sesua dengan peubahan nla tua Rupah yang tejad pada bulan Maet tahun 998. Da gaf peubahan nla tua dapat dlhat bahwa tejad penuunan da Rp 9.649,9 menjad Rp. 8.36,55 pada watu tesebut. Sedangan ja detahu poses obsevas hngga watu e-, maa nla peluang penyebab ejadannya pada watu e- adalah e dapat dtunjuan pada Gamba.3. Da gaf tesebut dapat dlhat bahwa nla peluang mengalam lonjaan hngga pada watu 7 atau pada bulan Janua tahun 4. Kemudan mengalam enaan lag dan stabl d saan, hngga watu teah. P(Xe y,y,...y), , , , , , , , Gamba.3 Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e-. Untu nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah ejadan e- atau e, ja detahu poses obsevas hngga watu e-, dtunjuan pada Gamba.4. Dapat dlhat pada gamba tesebut bahwa nla peluangnya mengalam penuunan yang cuup tajam hngga pada watu 7 atau bulan Janua tahun 4. Kemudan mengalam penuunan lag dan stabl d saan, hngga watu teah. P(Xe y,y,...y),647384,647383,64738,64738,64738,647379, Gamba.4 Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e-. Da edua gaf pada Gamba.3 dan.4 dapat dsmpulan bahwa penyebab ejadan e lebh memengauh tejadnya nla tua pada watu 7. Da gaf peubahan nla tua Rupah, dapat dlhat bahwa tejad enaan da Rp 8.389,33 menjad Rp 8.345, pada watu tesebut. Mes deman, penyebab ejadan e, tetap mungn bepengauh pada peubahan nla tua aena nla peluangnya selalu d atas.5. Untu peluang poses obsevas ejadan nla tua satu bulan dan dua bulan yang aan datang, ja detahu poses obsevas hngga watu e 95 atau data yang teah, dapat dlhat pada Tabel.5. Da tabel tesebut dapat detahu bahwa nla edua peluang seman menngat seng dengan enaan atau batas nla Rupahnya. Kenaan peluang mencapa.55 setelah. Seman tngg nla, maa peluangnya seman tngg pula. Bahan eta 6 peluangnya mencapa,99. Atnya peluang untu poses obsevas seman besa pada nteval yang seman leba. Ja dbandngan dengan data atual pada bulan Janua tahun 6 yatu Rp dan data bulan Febua tahun 6 yatu Rp maa dapat dlhat eauatannya. Poses obsevas pada ejadan sebenanya mendeat nla. Hal n sesua dengan peluang yang telah dpeoleh, yatu d atas.5 setelah. Jad peluang besyaat 7

27 sepet pada pesamaan (3..) dan (3..) cuup ba untu menduga peluang obsevas yang aan datang Kasus la Tua Rupah untu Banyanya Penyebab Kejadan 3 Untu asus banyanya penyebab ejadan 3, tedapat tga nla ata-ata c dan agam σ yang dduga meupaan ataan dan agam ejadan. Selan tu uuan mats peluang tanssnya A adalah 3 3. Dalam aya lmah n dmsalan ataan yang dabatan oleh state e adalah, untu state e adalah 9 dan untu state e 3 adalah 8 atau C 9. Sedangan agam 8 untu penyebab ejadan e adalah 3, untu state eadalah dan untu state e 3 3 adalah atau σ. Untu asus n telebh dulu detahu nla mats / 3 / 9 4 / 9 tanss yatu A 4 / 9 / 3 / 3. / 9 4 / 9 / 9 Kemudan dapat dca nla haapan penyebab ejadan awal, sama dengan peluang da penyebab ejadannya adalah ejadan e- atau state e, yatu, π, ,, sehngga bsa ddapatan γ ( X ) dengan nla yang sama. Da mats tanssnya dapat telhat bahwa peluang tanss da state e e state e seta peluang tanss state e e state e 3 dan peluang tanss state e 3 e state e lebh besa dbandngan peluang tanss yang lan. Atnya ja penyebab ejadannya e dengan ataan maa peluangnya cuup besa untu bepndah menjad e dengan ataan 9. Begtupun ja penyebab ejadannya e dengan ataan 9 maa peluangnya cuup besa untu bepndah menjad e 3 dengan ataan 8. Dan ja penyebab ejadannya e 3 dengan ataan 8 maa peluangnya cuup besa untu bepndah menjad e dengan ataan. Dengan menggunaan algotma sepet pada pembahasan 5., maa ddapatan hasl beupa paamete-paamete sepet yang dtunjuan pada lampan dalam Tabel paamete.. Selan tu dhaslan peluang besyaat sepet yang dtunjuan pada lampan dalam Tabel.,.3,.4 dan.5. Adapun gaf yang dhaslan oleh data tesebut dtunjuan pada Gamba 3., 3., 3.3, 3.4, 3.5 dan 3.6. Gaf pada gamba 3. menunjuan peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah ejadan e- atau e, ja detahu poses obsevas pada watu e-. Dapat dlhat da gaf tesebut bahwa peluangnya na da.4 menjad.36 pada watu atau pada bulan Maet tahun 998. Kemudan elatf stabl pada bulan-bulan selanjutnya PX e Y Gamba 3. Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e-. Sedangan untu nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah ejadan e- atau e, ja detahu poses obsevas pada watu e-, dtunjuan pada gaf d bawah PX e Y Gamba 3. Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas pada watu e-. Dapat dlhat pada Gamba 3., bahwa peluangnya tuun da.7869 menjad.369 pada watu atau pada bulan Maet tahun 8

28 998. Kemudan elatf stabl pada bulanbulan selanjutnya. Untu nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah ejadan e-3 atau e 3, ja detahu poses obsevas pada watu e-, dtunjuan pada pada gamba 3.3. Dapat dlhat pada gamba tesebut bahwa gaf peluangnya na da.865 menjad.34 pada watu atau pada bulan Maet tahun 998. Kemudan elatf stabl pada bulan-bulan selanjutnya PX e 3Y Gamba 3.3 Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e 3, ja detahu poses obsevas pada watu e-. Da Gamba 3., Gamba 3. dan Gamba 3.3 dapat dsmpulan bahwa pada watu penyebab ejadan e 3 cuup memengauh tejadnya nla tua. Da gaf peubahan nla tua Rupah, dapat dlhat bahwa tejad penuunan da Rp 9.649,9 menjad Rp. 8.36,55 pada watu tesebut. Mes deman, emungnan penyebab ejadan nla tua adalah e atau e 3 juga bsa bepengauh aena nla peluang etganya tda jauh bebeda. Sedangan ja detahu poses obsevas hngga watu e-, maa nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e dapat dtunjuan pada gaf d bawah., , , , , , P(X e y,y,...y) Gamba 3.4 Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e-. Dapat dlhat pada Gamba 3.4, bahwa nla peluang na pelahan d awal namun mengalam penuunan yang cuup tajam pada watu 7 atau pada bulan Desembe tahun 4. Setelah tu, nla peluang mengalam enaan dan stabl d saan, hngga watu teah. Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah ejadan e- atau e, ja detahu poses obsevas hngga watu e-, dtunjuan pada Gamba 3.5. Telhat pada gamba bahwa gaf peluangnya mengalam penuunan yang cuup tajam hngga pada watu 7 atau pada bulan Janua tahun 4. Kemudan mengalam lonjaan hngga mencapa poss pada watu 73 atau pada bulan Febua tahun 4. Setelah tu, nla peluang mengalam enaan lag dan stabl d saan hngga watu teah., , , , , , , Gamba 3.5 Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e, ja detahu poses obsevas hngga watu e-. P(X e y,y,...y) 3, , , , P(X e y,y,...y) Gamba 3.6 Gaf peubahan nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e 3, ja detahu poses obsevas hngga watu e-. Sedangan untu nla peluang penyebab ejadan pada watu e- adalah e 3 ja detahu poses obsevas hngga watu e- dtunjuan pada Gamba 3.6. Dapat dlhat pada gamba tesebut, nla peluang mengalam lonjaan hngga