Gambar 1.1 Nilai tukar Rupiah terhadap $US dari tahun 1998 s/ d 2005 (Sumber: Bank of Canada 21 Agustus 2005)

Transkripsi

1 JMA, VOL 4, O2, DESEMBER, 25, PEMODELA ILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP $US MEGGUAKA HIDDE MARKOV* BERLIA SETIAWATY dan DEWI OVIYATI SARI Depatemen Matemata Faultas Matemata dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Petanan Bogo Jl Meant, Kampus IPB Damaga, Bogo 668 Indonesa ABSTRAK Pelau nla tua Rupah tehadap $US da tahun 998 sampa dengan 25 dcoba dmodelan dengan menggunaan Hdden Maov (Ellott, et al 995) Pendugaan paamete model dlauan mengunaan Metode Maxmum Lelhood dan pendugaan ulang menggunaan metode Expectaton Maxmzaton yang melbatan peubahan uuan Hasl yang dpeoleh uang ba aena galat antaa nla haapan dengan nla sebenanya cuup besa Kata unc: Ranta Maov, model Hdden Maov, metode Expectaton Maxmzaton, peubahan uuan PEDAHULUA la tua Rupah telah mengalam peubahan yang beflutuas Bahan pada saat ss eonom pada tahun 998 flutuas tesebut sangat besa dan tda beatuan (Gamba ) Hal n tda saja dpengauh oleh fato eonom, tetap juga oleh stuas polt dalam nege yang tda stabl, pegantan pementahan yang tda bejalan dengan semestnya dan stuas eamanan yang uang tejamn la Tua Kus US Dolla Tehadap Rupah Rp5, Rp4, Rp3, Rupah Rp2, Rp, Rp, Rp9, Rp8, Rp7, Rp6, Rp5, Rp4, Feb-98 Ma-98 Ap-98 May-98 Jun-98 Jul-98 Aug-98 Sep-98 Oct-98 ov-98 Dec-98 Jan-99 Feb-99 Ma-99 Ap-99 May-99 Jun-99 Jul-99 Aug-99 Sep-99 Oct-99 ov-99 Dec-99 Jan- Feb- Ma- Ap- May- Jun- Jul- Aug- Sep- Oct- ov- Dec- Jan- Feb- Ma- Ap- May- Jun- Jul- Aug- Sep- Oct- Bulan-Tahun ov- Dec- Jan-2 Feb-2 Ma-2 Ap-2 May-2 Jun-2 Jul-2 Aug-2 Sep-2 Oct-2 ov-2 Dec-2 Jan-3 Feb-3 Ma-3 Ap-3 May-3 Jun-3 Jul-3 Aug-3 Sep-3 Oct-3 ov-3 Dec-3 Jan-4 Feb-4 Ma-4 Ap-4 May-4 Jun-4 Jul-4 Aug-4 Sep-4 Oct-4 ov-4 Dec-4 Jan-5 Feb-5 Ma-5 Ap-5 May-5 Gamba la tua Rupah tehadap $US da tahun 998 s/ d 25 (Sumbe: Ban of Canada 2 Agustus 25)

2 4 BERLIA SETIAWATY DA DEWI OVIYATI SARI Untu menjelasan pelau nla tua Rupah tesebut dbangun suatu model matemats Pada peneltan n model Hdden Maov Ellott, et al (995) dplh aena model n mempeenanan tejadnya peubahan paamete pada setap state, sehngga dhaapan lebh flesbel dalam menggambaan peubahan-peubahan yang damats sepet yang tejad pada nla tua Rupah tehadap $US Pendugaan paamete model dlauan menggunaan metode Maxmum lelhood dan metode expectaton maxmzaton seta data hstoes nla tua Rupah Dengan detahunya seluuh paamete, model Hdden Maov emudan dpaa untu menjelasan pelau nla tua Rupah selama n Tulsan n dmula dengan pemodelan nla tua Rupah menggunaan Hdden Maov Pada bagan 3 dbahas Pendugaan Paamete model Pada bagan 4 dbahas ntepetas model nla tua Rupah Sebaga penutup dsetaan pula esmpulan dan saan 2 MODEL HIDDE MARKOV Pada bagan n ta memodelan pelau nla tua Rupah tehadap $US dalam uun watu da Febua 998 sampa dengan Me 25, menggunaan model Hdden Maov Ellott, et al (995) Fato-fato yang menyebaban tejadnya peubahan nla tua Rupah tehadap Msalan banyanya $US dasumsan sebaga state da suatu anta Maov { X } fato tesebut adalah Pada setap state, data nla tua Rupah dbangtan oleh peubah aca Y yang menyeba dengan sebaan tetentu pada uang peluang (, F, P) Msalan bahwa hubungan antaa { X } dan { } d mana X AX V Y dtentuan oleh pesamaan: Y c, X, X X adalah anta Maov dengan mats tanss A ( aj ) = P(X = e j X - = e ),, j =, 2,, V adalah matngale ncements adalah peubah aca yang bebas stoast dent menyeba (,) c c, c2,, c,,2,,, d mana a j Asumsan bahwa penyebab peubahan nla tua Rupah tda detahu atau tda X tesembuny (hdden) d bal data pengamatan nla damat Sehngga poses { } tua Rupah { } Ellott et al (995) Y Jad pasangan, X Y meupaan model Hdden Maov Paamete model d atas bebentu ( a ),, j ; c, ;, j Menggunaan data pengamatan nla tua Rupah Y pada uun watu da Febua 998 sampa dengan Me 25 paamete model aan dduga Poses pendugaan paamete menggunaan metode maxmum lelhood dan metode expectaton

3 JMA, VOL 4, O2, DESEMBER, 25, maxmzaton yang algotmanya dambl da Setawaty dan Kstna (25) Dalam poses pendugaan paamete model, dambl = 2 Data nla tua Rupah yang dpeoleh da Ban of Canada (2 Agustus 25) adalah ataan nla tua Rupah haan Untu dsetsas watu dan untu menguang banyanya data, dambl ataan pebulan da data haan tesebut Sehngga menyataan ataan nla tua Rupah tehadap $US pada bulan e,, dengan adalah bulan Febua 998 Sehngga dalam uun watu Febua 998 sampa dengan Me 25 dpeoleh 88 buah data Y 3 PEDUGAA PARAMETER MODEL 3 Metode Expectaton Maxmzaton (Metode EM) Metode EM dembangan oleh Baum and Pete (966) dengan de dasa sebaga beut Msalan P : adalah oles uuan peluang yang tedefns pada uang (, G ) dan ontnu absolut tehadap P Msalan Y G Defnsan fungs lelhood untu menentuan penduga paamete bedasaan nfomas Y sebaga dp L( ) E Y dp dan penduga masmum lelhood ddefnsan sebaga ˆ ag max L( ) Secaa umum penduga masmum lelhood ˆ sult dhtung secaa langsung Algotma EM membean suatu metode teatf untu mengaposmas ˆ, dengan posedu sebaga beut Langah : Set p dan plh Langah 2: [Langah-E] Langah 3: Set ˆp dan htung Q [Langah-M] Tentuan ˆ ag max, p Q ˆ, E log dp dp Langah 4: p p Ulang langah 2 sampa tea behent dpenuh Catatan 33 ˆ : p Basan p membean basan L p 2 Menuut etasamaan Jensen, Q ˆ, ˆ log L( ˆ ) log L( ˆ ) 3 Q, p p p p dsebut pseudo-loglelhood besyaat Y ˆ : p yang ta tuun

4 6 BERLIA SETIAWATY DA DEWI OVIYATI SARI 32 Algotma untu menduga paamete Detahu paamete model bebentu ( a ),, j ; c, ;, j Aan dtentuan paamete ˆ ( ) ( aˆ ( )),, j ; cˆ ( ), ; ˆ ( ), j yang memasmuman pseudo-loglelhood besyaat sepet pada bagan 3 Algotma untu mempeoleh paamete tesebut yang dpeoleh da Setawaty dan Kstna (25) adalah sebaga beut Algotma untu menentuan paamete ˆ( ) Langah : Tetapan = 2 (banyanya state), M = 88 (banyanya data) y Input data { } Langah 2: Tetapan la awal ( ) A ( a ) c ( c ) j ( ) Catatan: EX dan memenuh A Langah 3: Lauan untu l sampa dengan M Tetapan a Ae, d mana e veto unt d X ss J O ( y) 2 ( y ) 2 Lauan untu sampa dengan l

5 JMA, VOL 4, O2, DESEMBER, 25, a Htung penduga eusf ( X ) ( X ), ( y ) a s s, ( J ), ( J ), ( y ) a ( X ), ( y ) ases ( J ) ( J ), s s,, ( O ), ( O ), ( y ) a ( X ), ( y ) a ( O ) ( O ),,, ( ( y)), ( ( y)), ( y ) a ( X ), ( y ) y a ( ( y)) ( ( y)),, 2 2 2, ( ( y )), ( ( y )), ( y ) a ( X ), ( y ) y a ( ( y )) ( ( y )), 2 2, d mana: y y : c e y () adalah fungs epadatan peluang (,) H X : H, (,,,,,,) a Htung penduga paamete s J aˆ s ( ) O cˆ ( ) ( y) O 2 2 ( y ) 2 c ( y) c O O ˆ ( ) b Tulsan Aˆ ( ) aˆ ( ) cˆ( ) cˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) s d Tentuan ˆ ( ) da pesamaan Aˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) e Ulang langah a sampa dengan d untu beutnya 3 Be nla

6 8 BERLIA SETIAWATY DA DEWI OVIYATI SARI A Aˆ( ) c cˆ( ) ˆ( ) 4 Ulang langah sampa dengan 3 untu l beutnya Langah 4: Untu sampa dengan M, ceta Aˆ ( ), ˆ (), cˆ ( ), ˆ ( ), ( X ) 4 ITERPRETASI MODEL Da algotma d atas dbuat pogamnya menggunaan Mathematca 52 Da hasl un pogam pada bagan 3 untu 2 dpeoleh paamete model sebaga beut ˆ 7 52 A, cˆ , ˆ (4) Pada state-, nla tua Rupah tehadap $US mempunya ataan cˆ dan smpangan ˆ Pada state-2, nla tua Rupah tehadap $US mempunya ataan cˆ dan smpangan ˆ ,84,8 Peluang,76,72 Gamba 4 Gaf Peluang P X 2 y, y,, y Da Gaf 4 telhat bahwa ja P X 2 y, y,, y 2 2 mendeat maa nla Rupah mengalam lonjaan yang cuup beat Hal n menunjuan bahwa nla P X 2 y, y,, y dapat djadan ndato untu melhat tejad lonjaan = = 2 = 4 = 6 = 8 Feb-98 Sep-99 Me- Jan-3 Sep-4 Bulan-Tahun 2 dasts pada nla tua Rupah

7 JMA, VOL 4, O2, DESEMBER, 25, Pebandngan nla tua Rupah dengan nla haapannya yang dtunjuan oleh Gaf 42 beut Kaena galat antaa nla tua Rupah dengan nla haapannya cuup besa, maa nla haapan da model Ellott n tda dapat dpaa sebaga alat untu memodelan pelau nla tua Rupah tehadap US Dolla upah ellot Gamba 42 Gaf nla tua Rupah tehadap US Dolla menggunaan model Ellot 6 KESIMPULA DA SARA Da uaan d atas telhat bahwa menggunaan model Ellott etal (995), pemodelan nla tua Rupah tngat auasnya tda telalu ba, oleh sebab tu pelu peneltan lanjutan menggunaan model lan, msalnya dengan mempehtungan nla tua sebelumnya sehngga meupaan suatu deet watu sepet model Hamlton (994) DAFTAR PUSTAKA [] Baum,LE and Pete, T 966 Statstcal nfeence fo pobablstc functons of fnte state Maov chans Annals of the Insttute of Statstcal Mathematcs, 37: [2] Ellot, R J, Aggoun, L dan Mooe, J B 995 Hdden Maov models, Spnge Velag, ew Yo [3] Hamlton, J D 994 Tme Sees Analyss Pnceton Unvesty Pess, ew Jesey [4] Setawaty, B dan Kstna, L 25 Pendugaan paamete model Hdden Maov Junal Matemata dan Aplasnya, Vol: 4, o