ANALISIS VEKTOR MAT MMM sks

Transkripsi

1 Syllabus : NLISIS VEKTOR MT MMM sks Vector lgebra:vector addition and scalar multiplication, Scalar and vector products. Vector Differentiation: Differentiation of vector valued functions with respect to a scalar. Geometry of curves. Scalar and vector fields. Gradient of a scalar field, and divergence and curl of a vector field. Sum and product rules for these differentiation operators. Second order vector operators. Directional derivatives. Normal and tangent plane to a surface.solenoidal and irrotational fields. Vector Integration: Curvilinear line integrals, Surface integrals. The divergence theorem, Green s theorem and Stoke s theorem. (10 lectures) Curvilinear Coordinate Systems: Coordinate free vector derivatives. Vector derivatives in curvilinear coordinates. Spherical, polar and cylindrical coordinates uku cuan : Davis H F, 1961, Introduction to Vector nalysis, llyn and acon Inc, oston Max Stein, 1963, Introduction to Vector nalysis, Harper & Row PULISHER, New York. Murray R S, 1959, Vector nalysis amd an introduction to Tensor nalysis, Schaum s outline series Mc Graw Hill, New York. NLISIS VEKTOR Silahkan KLIK KIRI Hal 1 dari 11 Review Definisi : esaran Vektor dan Skalar 1. Vector adalah suatu kuantitas yang mempunyai nilai magnitude/besaran dan arah, biasa dinyatakan dengan PQ, P disebut pangkal vector dan Q ujung vector, atau dengan, atau P Q Magnitude atau panjang vector disimbolisir dengan PQ atau, atau Contoh besaran vektor : gaya (N, kecepatan( m/dt). percepatan (m/dt 2 ) NLISIS VEKTOR Hal 2 dari 11 Hal 1 dari 6

2 2. Skalar adalah suatu kuantitas yang hanya mempunyai nilai magnitude/besaran saja (tidak mempunyai arah) Contoh besaran skalar : massa(kg, waktu (dt ), volume (m 3 ), energi (J) Vector dipergunakan untuk menyatakan antara lain kuantitas gaya, kecepetan, percepatan. Scalar dipergunakan untuk menyatakan antara lain masa, panjang, waktu, temperature. NLISIS VEKTOR Hal 3 dari 11 Definisi : lajabar Vektor Sifat Vektor : Dapat digeser ke mana saja, asal besar dan arahnya tetap 1. Dua buah vector dan dikatakan sama apabila maginitud sama dengan magnitude dan arah sama dengan arah - 2 Suatu vector mempunyai magnitude sama dengan vector tetapi dengan arah berlawanan disimbolisir dengan NLISIS VEKTOR Hal 4 dari 11 Hal 2 dari 6

3 3. Jumlah dua buah vector dan adalah suatu vector C dengan pangkal vektor berimpit dengan pangkal vector dan ujung vector berimpit dengan ujung vector, dimana pangkal vector diimpitkan dengan ujung vector, disajikan dengan C = + C C NLISIS VEKTOR - 4. Selisih dua buah vector dan adalah suatu vector C yang merupakan jumlahan vector dengan vector, dan disajikan dengan C = Hal 5 dari Pergandaan suatu vector dengan scalar m, adalah vector m dengan magnitude m dan arah sama dengan arah vector bila m scalar positif atau berlawanan arah vector bila m scalar negative. m m = m NLISIS VEKTOR Hal 6 dari 11 Hal 3 dari 6

4 Hukum aljabar vector : pabila, dan C vector dan m, n scalar, maka berlaku : 1. + = + Komutatif terhadap jumlahan 2. + ( + C) = ( + ) + C sosiatif terhadap jumlahan 3. m (n ) = (mn) = n (m ) sosiatif terhadap multiplikasi 4. (m + n) = m + n Disrtributif terhadap multiplikasi 5. m ( + ) = m + m Disrtributif terhadap multiplikasi Catatan : mengingat pada analisa vector dikenal pengertian ganda scalar dua vector, dan ganda vector dua vector, maka pergandaan scalar dengan vector digunakan istilah multiplikasi. NLISIS VEKTOR Hal 7 dari 11 Definisi : Vektor Satuan Vector satuan adalah suatu vector dengan magnitude 1 (satu). pabila suatu vector dengan > 1, maka vector merupakan vector satuan dan = a a Definisi : Vektor Satuan pada Ruang Dimensi Tiga Pada ruang dimensi tiga, ditentukan sumbu koordinat-x, -y dan z, dengan titik pangkal (0,0,0). z Vector satuan pada ruang dimensi tiga adalah vector-vektor satuan pada ketiga sumbu koordiant arah positif dengan masing-masing titik pangkal (0,0,0), berturut-turut disimbolisir dengan i, j dan k. (0,0,0) j y k i x NLISIS VEKTOR Hal 8 dari 11 Hal 4 dari 6

5 Komponen vector Suatu vector pada ruang tiga dimensi dengan pangkal vektor di titik pangkal system koordinat tegak, O(0,0,0), dan ujung vector ( 1, 2, 3 ) dapat disajikan sebagai = 1 i + 2 j + 3 k dengan vector-vektor x = 1 i y = 2 j z = 3 k y z ( 1, 2, 3 ) z O y x x disebut vector komponen dari vector, dan diperoleh hubungan = NLISIS VEKTOR Hal 9 dari 11 Soal untuk latihan 1. Diberikan vektor,, C dan D. Konstruksikan vektor V = (C 3 D) C D P 2. Pada obyek P bekerja tiga buah gaya sebagaimana disajikan pada gambar. Tentukan resultan gaya tersebut. 150 lb 50 o 200 lb 250 lb 3. pabila pada soal no 2, diambil P adalah pangkal sumbu koordinat, arah gaya sebesar 250 lb sejajar dengan sumbu-z, maka tentukan komponen vektor resoltan gaya yang bekerja pada obyek P. NLISIS VEKTOR Hal 10 dari 11 Hal 5 dari 6

6 Medan Skalar pabila setiap titik (x,y,z) pada suatu region di ruang dimensi tiga terkorespondensi dinyatakan dengan fungsi Φ(x,y,z) maka bidang luasan Φ(x,y,z) disebut medan-skalar terdefinisi pada region Contoh : Distribusi temperature pada suatu region disajikan dengan fungsi Φ(x,y,z) = 3 x 2 y + z 3, dalam hal ini Φ(x,y,z) disebut medan scalar. Medan Vektor pabila setiap titik (x,y,z) pada region menyatakan ujung vector dengan pangkal vector di titik pangkal koordinat O(0,0,0), dan (x,y,z) terkorespodensi dinyatakan dengan V(x,y,z), maka V(x,y,z) disebut medan vektor Contoh : V(x,y,z) = x 2 y i + 5 x y 2 z j + x z 3 k disebut medan vektor NLISIS VEKTOR Hal 11 dari 11 Hal 6 dari 6