Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 Kalkulus Vektor: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014

2 Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p) dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n. Contoh yang khas dalam ruang berdimensi dua adalah F(p) = F(x, y) = 1 2 yi xj

3 Berdasarkan sejarahnya, kita menyebut fungsi seperti ini sebagai medan vektor. Bayangkan setiap titik p pada sebuah daerah ruang dikenai sebuah vektor F(p) yang memancar dari p. Kita tidak dapat menggambar seluruh vektor ini, tetapi sebuah contoh yang cukup mewakili dapat memberikan gambaran pemahaman yang baik tentang medan vektor. Gambar 3.1 merupakan gambaran untuk medan vektor F(x, y) = 1 2 yi xj.

4 Medan vektor ini merupakan medan kecepatan dari putaran roda pada laju konstan sebesar 1 2 radian per satuan waktu (lihat Contoh).

5 Contoh: Tunjukkan bahwa setiap vektor dari medan vektor F (x, y) = 1 2 yi xj menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan mempunyai panjang setengah jari-jari lingkaran tersebut.

6 Penyelesaian: Jika r = xi + yj adalah vektor posisi dari titik (x, y), maka r.f(x, y) = 1 2 xy xy = 0 Jadi, F(x, y) tegak lurus terhadap r, dan dengan demikian menyinggung lingkaran yang berjari-jari r tersebut. Maka F(x, y) = ( 1 ) 2 ( ) y + 2 x = 1 r 2

7 Gradien dari Medan Skalar Gradien dari Medan Skalar Misalkan f (x, y, z) menentukan sebuah medan skalar dan andaikan f dapat didiferensialkan. Maka gradien dari f, dilambangkan dengan f, adalah medan vektor yang dinyatakan dengan F(x, y, z) = f (x, y, z) = f x i + f y j + f z k Sebuah medan vektor F yang merupakan gradien dari medan skalar f disebut medan vektor konservatif, dan f adalah fungsi potensial-nya.

8 Gradien dari Medan Skalar Contoh: Misalkan F adalah gaya yang dihasilkan dari hukum kuadrat invers, yakni, misalkan F(x, y, z) = c r r 3 = c xi + yj + zk (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 di mana c adalah konstanta. Tunjukkan bahwa f (x, y, z) = c (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = c(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 adalah fungsi potensial untuk F, dan oleh karenanya F bersifat konservatif (untuk r 0).

9 Gradien dari Medan Skalar Penyelesaian: f (x, y, z) = f x i + f y j + f z k = c 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (2xi + 2yj + 2zk) = F(x, y, z)

10 Latihan Latihan 1. Tentukan f a. f (x, y, z) = x 2 3xy + 2z b. f (x, y, z) = sin(xyz) c. f (x, y, z) = y 2 e 2z

11 Latihan 2. Sebuah benda dengan massa m, yang berputar dalam orbit melingkar dengan kecepatan sudut yang konstan ω, dikenai gaya sentrifugal yang dinyatakan dengan Tunjukkan bahwa F(x, y, z) = mω 2 r = mω 2 (xi + yj + zk) f (x, y, z) = 1 2 mω2 (x 2 + y 2 + z 2 ) adalah sebuah fungsi potensial untuk F.

12 Pustaka Pustaka Purcell, E. J & D. Vanberg, Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, Terjemahan, Kalkulus, Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, Schaum s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.