PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA KASUS OVERDISPERSI SKRIPSI WIDYA WAHYUNI

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA KASUS OVERDISPERSI SKRIPSI WIDYA WAHYUNI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JULI 0 Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA KASUS OVERDISPERSI SKRIPSI Skrps djuk sebg syrt utuk memperoleh gelr Srj Ss WIDYA WAHYUNI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JULI 0 Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skrps dlh hsl kry sy sedr, d semu sumber bk yg dkutp mupu drujuk telh sy ytk deg ber. Nm : Wdy Whyu NPM : Td Tg : Tggl : 4 Jul 0 Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

4 HALAMAN PENGESAHAN Skrps djuk oleh Nm : Wdy Whyu NPM : Progrm Stud : Mtemtk Judul Skrps : Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf pd Ksus Overdspers Telh berhsl dperthk d hdp Dew Peguj d dterm sebg bg persyrt yg dperluk utuk memperoleh gelr Srj Ss pd Progrm Stud Mtemtk, Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm, Uversts Idoes. DEWAN PENGUJI Pembmbg : Dr. Ssky Mry Soemrtojo, M.S ( ) Pembmbg : Dr. St Nurrohmh, M.S ( ) Peguj : Dr. Id Fthr, M.S ( ) Peguj : Fev Novkz, M.S ( ) Peguj : Sr Abdullh, S.S, M.Stts ( ) Dtetpk d : Depok Tggl : 5 Ju 0 Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

5 KATA PENGANTAR Alhmdulllh, puj d syukur peuls pjtk kepd Allh SWT yg telh memberk rhmt, tufk d hdyh-ny, sehgg peuls skrps deg judul Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf pd Ksus Overdspers dpt terselesk deg bk d tept wktu. Peuls skrps dselesk dlm rgk memeuh slh stu syrt utuk mecp gelr Srj Ss Jurus Mtemtk d Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm, Uversts Idoes. Peuls meydr bhw peyeles skrps tdk terleps dr btu d dukug dr berbg phk. Oleh kre tu, pd kesempt peuls megucpk term ksh kepd phk-phk yg telh berjs bk dlm peuls skrps mupu selm peuls kulh, ytu kepd:. Ibu Dr. Ssky Mry Soemrtojo, M.S d Dr. St Nurrohmh, M.S selku dose pembmbg. Term ksh sebesr-besry utuk semu btu, sr, krtk d dorog yg lur bs yg dberk kepd peuls dlm meyelesk skrps.. Ibu Dr. Id Fthr, M.S selku pembmbg kdems. Term ksh utuk btu, dorog, bmbg, d perht utuk peuls selm ms kulh d jug d dlm peyeles skrps. 3. Bpk Dr. Yud Str, M.T. selku ketu deprteme, Ibu Rhm Rus, S.S., M.Sc.Tech selku sekretrs deprteme, d Ibu Dr. D Lestr selku koordtor peddk yg telh membtu proses peyeles skrps. 4. Ibu Rt, Ibu Sr, Ibu Fev, Ibu Tt, Ibu Ml, Ibu Sr, d seluruh stf pegjr deprteme Mtemtk UI yg tp megurg rs hormt tdk dpt dsebutk my stu per stu, term ksh ts segl lmu yg telh dberk. Semog peuls dpt megguk lmu tersebut deg sebk-bky. 5. Mb St, Pk Slm, Ms Slm, Mb Rusm, Ms Iw, Pk Ashor, Mb F, d seluruh kryw deprteme Mtemtk UI, term ksh ts segl btu d kemudh yg telh dberk utuk peuls. v Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

6 6. Org tu peuls yg telh megsuh peuls smp st d sellu memberk dukug morl mupu mterl, sert tk perh berhet medok peuls. 7. Embh putr, Ms Imm, Tte Sr, d seluruh kelurg besr mm d pp, term ksh ts do d dukugy. 8. Shfrku, Nedku, Mdku, Hkmmhku, Adt (Ac), Nd, Hf (Dqu), d Dhr, term ksh utuk pershbt yg kl berk. Setp detk yg kt llu bersm tdk k perh terlupk. 9. Ashr yg sudh membtu peuls utuk meg mslh seputr Mtlb d kepd tem-tem mhssw Mtemtk UI gkt 007 yg l, Ad, Af, Ag, Ajr, Arf, Bobow, Cput, Ct, Dt, Frh, Fuz, Ferd, Gmgm, Ik, Los, Ddw, Nor, Mt, Petos, Putuwr, Rytoto, Shf, Sc, Ssk, Ttep, Teteh, Wd, Ww, Ww, As, Yos, d Zul. Term ksh utuk semu yg dllu dlm ms-ms perkulh. 0. Semu mhssw Mtemtk UI gkt 005, 006, 008, d 009, sert utuk dk suh peuls, Mf, term ksh utuk do d dukugy.. Semu phk yg telh membtu pegerj skrps, yg my tdk bs dsebutk stu per stu, peuls megucpk term ksh. Akhr kt, peuls meydr bhw msh terdpt byk kekurg pd skrps. Oleh kre tu, peuls meghrpk krtk d sr yg membgu utuk dpt membtu memperbk kekurg tersebut. Semog skrps dpt memberk mft bg yg membcy. Peuls 0 v Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebg svts kdemk Uversts Idoes, sy yg bertd tg d bwh : Nm : Wdy Whyu NPM : Progrm Stud : S Deprteme : Mtemtk Fkults : MIPA Jes kry : Skrps dem pegembg lmu pegethu, meyetuju utuk memberk kepd Uversts Idoes Hk Bebs Roylt Noeksklusf (No-exclusve Roylty Free Rght) ts kry lmh sy yg berjudul : Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf pd Ksus Overdspers besert pergkt yg d (jk dperluk). Deg Hk Bebs Roylt Noeksklusf Uversts Idoes berhk meymp, meglhmed/ formtk, megelol dlm betuk pgkl dt (dtbse), merwt, d memublksk skrps sy selm tetp mectumk m sy sebg peuls/pecpt d sebg pemlk Hk Cpt. Demk peryt sy but deg sebery. Dbut d : Depok Pd tggl : 4 Jul 0 Yg meytk (Wdy Whyu) v Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

8 ABSTRAK Nm Progrm Stud Judul : Wdy Whyu : Mtemtk : Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf pd Ksus Overdspers Dt cout dlh dt yg berup blg bult o-egtf. Alss regres yg bs dguk utuk vrbel respo yg berup dt cout dlh regres Posso. Regres Posso memerluk sums bhw me pd vrbel respo sm deg vrsy. Jk sums tersebut dlggr ytu pd st vrs lebh besr dbdg me tu dsebut kods overdspers, mk regres Posso tdk sesu utuk meglss dt tersebut. Overdspers pd regres Posso dpt membut stdrd error dr tksr prmeter regres cederug lebh redh dr sehrusy, sehgg meghslk kesmpul yg tdk vld. Model regres Boml Negtf merupk slh stu model yg dpt dguk st terjd overdspers pd dt cout. Tugs khr k membhs mege peksr prmeter model regres Boml Negtf deg metode mksmum lkelhood dm solus dr fugs lkelhood-y dselesk deg metode Newto-Rphso. Uj kesesu model yg dguk meckup sttstk pseudo-r, uj rso lkelhood, d uj Wld. Kt Kuc : overdspers, model regres Boml Negtf, pseudo-r, uj rso lkelhood, uj Wld x + 75 hlm ; 4 gmbr Dftr Pustk : 3 (99 0) v Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

9 ABSTRACT Nme Progrm Study Ttle : Wdy Whyu : Mthemtcs : Estmtg Prmeter of Negtve Boml Regresso Model o Overdsperso Cse Cout dt s the o-egtve teger dt. Regresso lyss s commoly used for cout depedet dt vrbel s Posso Regresso. Posso Regresso hs ssumpto tht me of respose vrble equl to ts vrce. If the ssumpto s volted, where the vrce s greter th me, clled overdsperso, the Posso regresso s coveet to lyze the dt. Overdsperso o Posso regresso my uderestmte the stdrd errors of regresso prmeters d cosequetly, gvg msledg ferece bout the regresso prmeters. Negtve Boml regresso model s oe of the models tht c be used whe there s evdece of overdsperso cout dt. Ths fl tsk wll dscuss bout estmtg prmeter of Negtve Boml regresso model by mxmum lkelhood methods, whch the mxmum lkelhood estmtes my be solved by usg the Newto-Rphso terto. Goodess of ft testg of ths model cludes pseudo-r sttstc, lkelhood rto, d Wld test. Keyword : overdsperso, Negtve Boml regresso model, pseudo- R, lkelhood rto test, Wld test x + 75 pges ; 4 pctures Bblogrphy : 3 (99 0) v Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... LEMBAR PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... v ABSTRAK... v DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... x BAB PENDAHULUAN.... Ltr Belkg.... Perumus Mslh....3 Tuju Peelt....4 Pembts Mslh Sstemtk Peuls... 3 BAB LANDASAN TEORI Vrbel Ack Vrbel Ack Dskrt Vrbel Ack Kotu Ekspekts dr Vrbel Ack Dstrbus Posso Dstrbus Gmm Dstrbus Boml Negtf Dstrbus Cmpur....7 Boml Negtf sebg Cmpur Posso-Gmm....8 Metode Mksmum Lkelhood Metode Numerk Newto-Rphso Uj Rso Lkelhood Uj Wld... 7 BAB 3 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF Overdspers d Regres Boml Negtf Boml Negtf sebg Kelurg Ekspoesl Model Regres Boml Negtf Peksr Prmeter Model Regres deg Metode Mksmum Lkelhood R d pseudo- R Uj Kesesu Model Regres Boml Negtf Uj Rso Lkelhood Uj Wld x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

11 3.7 Iterprets Tksr Prmeter Model Regres Boml Negtf Iterprets Tksr Prmeter st Vrbel Pejelsy Kotu Iterprets Tksr Prmeter st Vrbel Pejelsy Kotu BAB 4 APLIKASI DATA Ltr Belkg Dt Dt Tuju Alss Dt Pseudo-R Uj Kesesu Model Uj Rso Lkelhood Uj Wld Iterprets Prmeter Model Regres Boml Negtf BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpul Sr... 5 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

12 DAFTAR GAMBAR Gmbr 4.. Plot dt cout (vrbel Y) Gmbr 4.. Nl tksr prmeter β 0, β, β, β 3, β 4, d, sert mtrks V Gmbr 4.3. Nl tksr fugs lkelhood Gmbr 4.4. Nl tksr fugs lkelhood tp vrbel pejels DAFTAR LAMPIRAN Lmpr. Turu Prsl Kedu dr Fugs Log-Lkelhood Lmpr. Meujukk Mtrks Hess utuk Model Regres Boml Negtf dlh Mtrks Deft Negtf Lmpr 3. Dt Byky Keptg Stelt yg Megerumu Keptg Tpl Kud Bet... 6 Lmpr 4. Algortm Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf Lmpr 5. Algortm Nl Fugs Lkelhood Model Boml Negtf utuk Uj Rso Lkelhood... 7 Lmpr 6. Algortm Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf deg Vrbel Pejels ke Lmpr 7. Fugs Ut Cumult x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

13 BAB PENDAHULUAN. Ltr Belkg Regres dlh sutu metode yg dguk utuk meglss hubug tr sutu vrbel respo deg stu tu lebh vrbel pejels. Pd umumy, regres dguk utuk meglss vrbel respo yg berjes kotu, mu serg jug dtemu vrbel respo yg berjes dskrt. Vrbel respo dskrt dpt berup dt cout ytu dt yg ly oegtf d meytk byky kejd dlm tervl wktu, rug, tu volume tertetu. Cotoh dt cout tr l byky derg telepo per jm d sutu ktor, byky kecelk mobl yg terjd d Jkrt selm stu mggu, tu byky tkus swh per hektr. Ketk vrbel respoy berup dt cout, lss regres yg bs dguk dlh lss regres Posso (Berk d McDold, 008). Pd lss regres Posso terdpt sums yg hrus terpeuh, ytu vrs dr vrbel respoy sm deg me. Pd keyty, kods sepert sgt jrg terjd kre bsy dt cout memlk vrs yg lebh besr dr me tu dsebut kods overdspers (Cmero d Trved, 998). Overdspers dpt megkbtk stdrd error dr tksr prmeter regres yg dhslk memlk kecederug utuk mejd lebh redh dr sehrusy sehgg jk model regres Posso tetp dguk dlm kods overdspers mk tksr prmeter-prmeter yg sehrusy belum tetu sgfk k mejd dggp sgfk (Isml d Jem, 007). Hl tu dpt megkbtk kesmpul yg k dhslk mejd tdk tept tu tdk sesu deg dt, sehgg meurut Osgood (000), Pteroster d Brme (997), model Boml Negtf dsrk sebg ltertf dr model Posso ketk ddksk dy overdspers (Berk d McDold, 008). Model regres Boml Negtf memlk kegu yg sm deg model regres Posso ytu utuk meglss hubug tr sutu vrbel Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

14 respo dt cout deg stu tu lebh vrbel pejels, tetp model regres Boml Negtf lebh fleksbel dbdgk deg model Posso kre sums me d vrs dr model Boml Negtf tdk hrus sm. Model jug memlk prmeter dspers yg bergu meggmbrk vrs dr dt yg bs dotsk deg. Model Boml Negtf yg k dguk dlh model Boml Negtf yg merupk model cmpur tr Posso d Gmm, dm dstrbus Gmm dguk utuk meyesuk kehdr overdspers dlm model Posso (Hlbe, 0). Dr du buh model regres yg bs dguk utuk dt cout, ytu Posso d Boml Negtf, model Boml Negtf memlk betuk yg lebh umum, kre model Posso dpt dytk dlm model Boml Negtf ketk prmeter dspersy medekt ol ( 0) tu dpt dktk dt dlm kods ekudspers. Jd, model Boml Negtf pd dsry dpt dguk utuk berbg ksus dt cout mu dlm peuls skrps kl k lebh dkhususk utuk mslh peksr prmeter model regres Boml Negtf pd ksus overdspers.. Perumus Mslh Perumus mslh dlm skrps dlh bgm meksr prmeter-prmeter pd model regres Boml Negtf..3 Tuju Peuls Tuju peuls skrps dlh utuk mejelsk d mempeljr tetg model regres Boml Negtf d peksr prmeter-prmetery. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

15 3.4 Pembts Mslh Pembts mslh dlm peuls skrps dlh:. Model Boml Negtf yg dguk dlh model cmpur Posso- Gmm utuk ksus overdspers.. Peksr prmeter-prmeter model regres dlm skrps megguk metode mksmum lkelhood. 3. Peetu solus dr fugs lkelhood dlm peksr prmeter-prmeter model regres Boml Negtf megguk pedekt umerk, ytu metode Newto-Rphso..5 Sstemtk Peuls BAB BAB BAB 3 : Pedhulu Bb mejelsk tetg ltr belkg, perumus mslh, tuju peuls, pembts mslh, d sstemtk peuls. : Lds Teor Bb mejelsk tetg lds teor yg dguk dlm peuls skrps. Lds teor meckup tetg vrbel ck, ekspekts vrbel ck, dstrbus Posso, dstrbus Gmm, dstrbus Boml Negtf, dstrbus cmpur, Boml Negtf sebg cmpur Posso d Gmm, metode mksmum lkelhood, metode Newto- Rphso, uj rso lkelhood, d uj Wld. : Peksr Prmeter Model Regres Boml Negtf Bb mejelsk tetg model regres Boml Negtf besert peksr prmeter model regresy deg megguk metode mksmum lkelhood. Sel tu terdpt jug pejels mege uj kesesu model. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

16 4 BAB 4 BAB 5 : Cotoh Peggu Model Regres Boml Negtf Bb membhs cotoh dt cout yg k dlss deg model regres Boml Negtf yg telh djelsk dr Bb sebelumy. Dt yg dguk dlh dt Keptg Tpl Kud. : Peutup Bb bers kesmpul d sr yg dpt dmbl dr peuls skrps. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

17 BAB LANDASAN TEORI Dlm bb k djelsk mege teor-teor yg melds peksr prmeter model regres Boml Negtf ytu vrbel ck, ekspekts vrbel ck, dstrbus Posso, dstrbus Gmm, dstrbus Boml Negtf, dstrbus cmpur, Boml Negtf sebg cmpur Posso d Gmm, metode mksmum lkelhood, metode Newto-Rphso, uj rso lkelhood, d uj Wld.. Vrbel Ack Rug smpel merupk hmpu semu kemugk hsl dr sutu percob ck yg bs dotsk deg C. Hsl percob ck dpt berup blg-blg, sepert jumlh mt ddu yg mucul, bert bd by, d l-l, tetp hsl percob dpt merupk sutu yg buk blg. Sebg cotoh, mslk dlkuk percob ck ytu pelempr ko, mk rug smpely dlh C = {c : c dlh ekor tu kepl}. Jd, dbutuhk sutu tur utuk merepresetsk eleme c dr C ke dlm sutu blg. Berdsrk Hogg d Crg (995), jk terdpt sutu percob ck deg rug smpel C, mk fugs X yg memetk setp eleme c dlm dom rug smpel C ke dlm rug l A yg merupk hmpu blg rl dm A = {x : x = X(c), c C } dsebut vrbel ck. Nl dr X bsy dotsk deg huruf kecl, tu dlm hl dlh x. Dr cotoh percob pelempr ko dts, mslk terdpt sutu fugs X yg meytk jumlh kepl yg mucul. Dr pedefs fugs X tersebut k dperoleh X(c) = 0 jk mucul ekor d X(c) = jk yg mucul dlh kepl. Jd, X dlh vrbel ck yg memetk eleme dr rug smpel C = {c : c dlh ekor tu kepl} ke rug smpel blg rl 5 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

18 6 deg rug l A = {0, }. Vrbel ck terdr dr du jes, ytu vrbel ck dskrt d vrbel ck kotu... Vrbel Ack Dskrt Mslk X dlh sutu vrbel ck deg rug l A yg merupk sutu hmpu yg bers ttk yg berhgg tu dpt dkorespodesk stu-stu deg blg bult postf. Rug l A deg sft dts dsebut hmpu dskrt. Jk dmslk sutu fugs f (x) sedemk sehgg. f (x) > 0, x A. f( x) A 3. P(A) = Pr (X A) = f( x ), dm P(A) merupk fugs hmpu A probblts d A A mk X dsebut vrbel ck dskrt deg f (x) sebg fugs probblts dr X (Hogg d Crg, 995). Fugs probblts dsebut jug probblty desty fucto tu dsgkt deg p.d.f... Vrbel Ack Kotu Mslk X dlh sutu vrbel ck deg rug l A yg merupk rug berdmes stu. A dpt berup sebuh tervl tu gbug dr beberp tervl. Jk dmslk sutu fugs f (x) sedemk sehgg. f (x) > 0, x A. f ( x) dx A 3. Fugs hmpu probblts P (A), A A dpt dytk dlm betuk P (A) = Pr (X A) = f ( x) dx, A Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

19 7 mk X dsebut vrbel ck kotu deg f (x) sebg fugs probblts dr X (Hogg d Crg, 995).. Ekspekts dr Vrbel Ack Mslk X dlh sutu vrbel ck yg memlk fugs probblts f(x) sedemk sehgg utuk ksus dskrt, x x f ( x) koverge mutlk ke lmt yg berhgg sedgk utuk ksus kotu, x f ( x) dx koverge mutlk ke lmt yg berhgg. Berdsrk Hogg d Crg (995), defs ekspekts utuk vrbel ck dskrt dlh E( X ) x f ( x ) (.) x sedgk ekspekts utuk vrbel ck kotu dlh E( X ) x f ( x) dx (.) Beberp sft ekspekts, ytu: Jk k kostt, mk E(k) = k. Jk k kostt d v dlh sutu fugs, mk E(kv) = k E(v). Jk k, k,, k m kostt d v, v,, v m dlh fugs-fugs, mk E(k v + k v + + k m v m ) = k E(v ) + k E(v )+ + k m E(v m ) Beberp ekspekts khusus, ytu: Nl me dr vrbel ck X (l me dr sutu dstrbus) ytu: µ = E(X) Nl vrs dr vrbel ck X (l vrs dr sutu dstrbus) ytu: ζ = E[(X - µ) ] = E(X - µx + µ ) = E(X ) - µe(x) + µ Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

20 8 = E(X ) - µ + µ = E(X ) - µ Momet Geertg Fucto (MGF) Mslk X dlh vrbel ck sedemk sehgg utuk sutu l h yg postf, E(e tx ) d utuk -h < t < h. MGF dr X ddefsk sebg fugs M(t) = E(e tx ), utuk -h < t < h. MGF utuk vrbel kotu X dlh M(t) = E(e tx tx ) = e f ( x) dx (.3) sedgk utuk vrbel dskrt X dlh M(t) = E(e tx tx ) = e f ( x ) (.4) x Turu pertm dr MGF ytu: Utuk vrbel kotu, dm () t dt tx M ( t) xe f ( x) dx Utuk vrbel dskrt, dm () t dt tx M ( t) xe f ( x) Berdsrk turu pertm dr MGF d ts, utuk t = 0, dperoleh M (0) E( X ). x Turu kedu dr MGF ytu: Utuk vrbel kotu, Utuk vrbel dskrt, dmt () dt d M t () dt M ( t) x e tx f ( x) dx M t x e f x tx ( ) ( ) x Berdsrk turu kedu dr MGF d ts, utuk t = 0, dperoleh M (0) E( X ), sehgg ζ = E(X ) - µ = M (0) [ M (0)]. Turu ke-m dr ( MGF utuk t = 0 ytu m) m M (0) E( X ) yg dsebut momet ke-m dr vrbel ck X. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

21 9.3 Dstrbus Posso Berdsrk Hogg d Crg (995), sutu vrbel ck, mslk X, dktk mempuy dstrbus Posso jk vrbel ck tersebut mempuy fugs probblts sebg berkut. x e f( x), x = 0,,, (.5) x! = 0, x yg ly dm λ > 0. MGF dr dstrbus Posso dlh t ( e ) M () t e (.6) utuk setp blg rl t. Berdsrk MGF pd persm (.6) dts mk dperoleh me d vrs utuk dstrbus Posso sebg berkut. M (0) M (0) Dstrbus Posso memlk me d vrs yg sm ytu µ = ζ = λ > 0, sehgg pbl X berdstrbus Posso deg prmeter λ mk dpt dtuls deg X ~ P(λ)..4 Dstrbus Gmm Berdsrk Hogg d Crg (995), sutu vrbel ck kotu X dktk berdstrbus Gmm deg prmeter α d β jk vrbel tersebut mempuy fugs probblts sebg berkut. ( ) x/ f ( x) x e, 0 < x < (.7) = 0, x yg ly Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

22 0 dm α, β > 0. Defs fugs Gmm dr α tu Γ(α) pd persm (.7) ytu ( ) y y e dy (.8) 0 utuk α > 0 d l dr tegrl tersebut dlh blg postf. Beberp l dr fugs Gmm lh Jk α =, mk y () e dy. 0 Jk α dlh sutu blg bult postf yg lebh besr dr stu, mk dperoleh ( ) ( )!. Jk α >, mk y ( ) ( ) ( ) 0 y e dy. Utuk c > 0, MGF dr dstrbus Gmm dlh M ( t), t ( t) ( c) ( c )( c ) ( c ) c ( c) ( c) ( c) ( c )( c ) ( c ) c sehgg me d vrs dr dstrbus Gmm berdsrk MGF pd persm (.9) dlh M (0) M (0) (.9).5 Dstrbus Boml Negtf Dstrbus Boml Negtf merupk dstrbus yg memlk byk sekl cr dlm hl pedekty. Boswell d Ptl (970) meujukk bhw terdpt du bels cr pedekt dstrbus Boml Negtf, dtry ytu dpt ddekt sebg dstrbus cmpur Posso-Gmm, sebg dstrbus Compud Posso, sebg brs percob Beroull, sebg Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

23 model Poly Eggeberger ur, tu sebg vers dr dstrbus Boml (Hlbe, 0). Pedekt klsk dr dstrbus Boml Negtf yg serg dguk dlh dstrbus Boml Negtf sebg brs percob Beroull, ytu jumlh percob Beroull yg dbutuhk smp terjd k buh sukses, dm setp pegulg slg bebs, d probblts sukses pd setp percob kost ytu p sedgk probblts ggl ytu p. Mslk vrbel ck X meytk jumlh percob yg dbutuhk smp terjd k buh sukses, mk X berdstrbus Boml Negtf deg fugs probblts sebg berkut x k f ( x) p ( p) k x k, x = k, k+, k+, (.0) = 0, x yg ly. Fugs probblts dr vrbel ck X dpt dotsk ke dlm betuk l. Mslk terdpt sejumlh y keggl sebelum sukses ke-k, mk x merupk jumlh dr y keggl deg k buh sukses tu x = y + k. Jd, k dbetuk sebuh vrbel ck bru, ytu Y, yg meytk jumlh keggl sebelum terjd k buh sukses deg metode trsforms vrbel dm fugs trsformsy dlh Y = X k. Vrbel ck Y memlk fugs probblts, g(y), sebg berkut y k k g( y) p ( p) k = 0, y yg ly. y, y = 0,,, (.).6 Dstrbus Cmpur Mslk X dlh vrbel ck yg bergtug pd prmeter λ deg fugs probblts bersyrt fx ( x ). λ merupk l dr sutu vrbel ck Λ deg fugs probblts u ( ), mk dstrbus cmpur (mxture dstrbuto) ddefsk deg fugs probblts mrgl sebg berkut: Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

24 f ( x) f ( x ) u ( ) d (.) X X dm dstrbus dr Λ dsebut sebg dstrbus pecmpur tu mxg dstrbuto (Johso, Kotz, d Kemp, 99)..7 Boml Negtf sebg Cmpur Posso-Gmm Slh stu cr terbetuky dstrbus Boml Negtf ytu ddsr deg terjdy overdspers pd st megguk dstrbus Posso. Mslk Y dlh vrbel ck dr sutu populs yg berdstrbus Posso dm me E(Y) = Vr(Y) = λ. Kods dt sepert dsebut deg kods ekudspers. Pd keyty, jrg sekl dtemuk dt cout dlm kods ekudspers. Dt cout bsy memlk vrs yg lebh besr dr me, tu yg bs dsebut deg kods overdspers. Pd dstrbus Posso terdpt sums me (λ) kost utuk setp l dr Y, mu dlm kods overdspers, λ tdk lg kost tu bervrs tr observs pd populs. Hl meujukk bhw populs tersebut bergtug pd λ, sehgg dpt dktk bhw λ merupk l dr sutu vrbel ck Λ yg memlk dstrbus tertetu. Dstrbus Gmm deg prmeter α d β dplh sebg dstrbus dr Λ kre dstrbus Gmm merupk pror turl cojugte dr dstrbus Posso (Shfr, 0). Kre Λ berdstrbus Gmm deg prmeter α d β, mk me tu l ekspekts dr Λ tu E(Λ) dlh αβ. Pd umumy me dr sutu dstrbus dotsk deg µ, sehgg dlm hl me dr Λ dlh µ = αβ tu dpt dtuls kembl bhw prmeter β = µ/α. Msl dotsk /α =, mk dpt dktk bhw Λ berdstrbus Gmm deg prmeter (/) d µ. Sepert yg telh djelsk sebelumy, mslk Y dlh vrbel ck berdstrbus Posso yg bergtug pd prmeter λ deg fugs probblts bersyrt f (y λ). St terjd overdspers, λ merupk l dr sutu vrbel ck Λ yg berdstrbus Gmm deg prmeter / d µ Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

25 3 deg fugs probblts h (λ). Berdsrk persm (.) fugs probblts mrgl dr Y dlh f ( y) f ( y ) h( ) d 0 f ( y ) h( ) d 0 Pr( Y y ) h( ) d e y y! ( )( ) y ( )( ) y! exp exp d berdsrk Shfr (0) k dhslk fugs probblts mrgl sebg berkut: Pr( Y y) y y ( y ) ( )! (.3) Persm dts memlk betuk yg smlr deg betuk fugs probblts dr dstrbus Boml Negtf pd persm (.) dm k =/ d p, deg l k =/ yg merupk sutu blg postf, sehgg dpt dsmpulk bhw dstrbus mrgl dr Y dlh dstrbus Boml Negtf. Dstrbus Boml Negtf deg fugs probblts pd persm (.3) dsebut sebg dstrbus cmpur Posso-Gmm. Peuru dstrbus Boml Negtf dts tdk berhubug deg peuru klsk sebg brs dr percob Beroull yg djelsk pd subbb.5 (Jog & Heller, 008). Dstrbus Boml Negtf deg fugs probblts sepert pd persm (.0) megsumsk bhw k dlh sutu blg bult postf, dm defs vrbel ck dr dstrbus Boml Negtf dlh jumlh keggl yg terjd sebelum k buh sukses. Pd dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus cmpur Posso-Gmm, l dr prmeter k = / buk merupk sutu blg bult postf, melk sutu blg rl postf, Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

26 4 sehgg defs vrbel ck dr dstrbus Boml Negtf sebelumy tdk dpt dguk (Hlbe, 0). Defs vrbel ck yg dguk pd dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus cmpur Posso-Gmm dlh jumlh kejd deg dspers pd dt sebesr / (Johso, Kotz, d Kemp, 99). Defs tersebut memlk kesm deg defs vrbel ck pd dstrbus Posso, mu pd dstrbus Boml Negtf terdpt prmeter tmbh yg mejelsk mege dspers dr dt..8 Metode Mksmum Lkelhood Mslk terdpt smpel ck Y, Y,, Y dr sutu populs yg memlk fugs probblts f( y ; ): yg tdk dkethu d, Y dlh dlh rug prmeter., dm θ merupk sutu prmeter Kre Y, Y,, Y dlh smpel ck, mk p.d.f. bersm dr Y, Y, f ( y, y,..., y ; ) f ( y ; ) f ( y ; )... f ( y ; ) (.4) Berdsrk Hogg d Crg (995), fugs lkelhood ddefsk sebg p.d.f. bersm dr Y, Y,, Y yg dpt dggp sebg fugs dr θ. Mslk fugs lkelhood dotsk sebg L( ; y, y,..., y) L ( ), mk L( ) f ( y, y,..., y ; ) f ( y ; ) f ( y ; )... f ( y ; ) f( y ; ) (.5) Dlm metode peksr mksmum lkelhood, tksr dr θ dperoleh deg meemuk l θ tu sedr yg memksmumk fugs lkelhood. Mslk dpt dtemuk sutu fugs otrvl dr y, y,, y, mslk dsebut u(y, y,, y ), sedemk sehgg ketk θ dgt deg u(y, y,, y ) fugs lkelhood L(θ) k berl mksmum, mk sttstk u(y, Y,, Y ) merupk tksr mksmum lkelhood (mxmum lkelhood Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

27 5 estmtor / MLE) dr θ d dotsk deg u(y, Y,, Y ) = ˆ (Hogg d Crg, 995). Mecr l θ yg memksmumk fugs L(θ), k memberk hsl yg sm deg mecr l θ yg memksmumk fugs l L(θ), sebut l(θ), sehgg bk L(θ) mupu l(θ) dpt dguk utuk mecr l ˆ. Jd, l θ yg memksmumk l(θ) dpt dperoleh deg mecr solus L( ) l( ) dr persm 0 tu 0..9 Metode Numerk Newto-Rphso Peksr prmeter model regres Boml Negtf dlkuk deg metode mksmum lkelhood. Proses utuk meemuk solus dr turu fugs log-lkelhood tdk dpt dlkuk secr lgsug kre fugs loglkelhood tdk ler dlm prmeter yg g dtksr sehgg membutuhk metode umerk Newto-Rphso utuk meyelesky. Metode Newto-Rphso dlh metode yg dguk utuk mecr kr-kr persm dr sutu fugs o-ler (f (x) = 0) deg megguk stu ttk wl d kemud medekty deg memperhtk slope tu kemrg dr fugs d ttk tersebut. Sel utuk mecr kr-kr persm dr sutu fugs, metode jug berfugs utuk mecr l mksmum tu mmum dr sutu fugs, dm sutu fugs f (x) k mksmum tu mmum jk f ( x ) 0. Lgkh-lgkh dr metode Newto-Rphso ytu dmul deg meetuk proksms wl p 0 d membgu brs{ p } 0, dm p p f p f ( p ) ( ), utuk (.6) Metode merupk slh stu metode pecr kr yg serg dguk d cukup bk kre deg metode kekoverge lebh cept tercp. Berdsrk Burde d Fres (997) terdpt teorem berkut : Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

28 6 Teorem Mslk f C [, b ], dm C [, b] merupk hmpu semu fugs yg memlk turu kedu yg kotu pd tervl tutup [, b]. Jk p [, b ] sedemk sehgg f( p) 0d f ( p ) 0, mk terdpt δ > 0 sedemk sehgg metode Newto-Rphso membgu brs{ p k } k 0 yg ddefsk deg ters f( pk ) pk g( pk ) pk, k 0,,... f '( p ) k k koverge ke p utuk setp proksms wl p0 [ p, p ]..0 Uj Rso Lkelhood Berdsrk Hogg d Crg (995), secr umum uj rso lkelhood memlk proses sebg berkut. Mslk X, X,, X meytk vrbel ck yg slg bebs d msg-msg mempuy fugs probblts f (x ; θ, θ,, θ m ), =,,,. Hmpu yg terdr dr semu ttk prmeter (θ, θ,, θ m ) dotsk deg Ω yg dsebut rug prmeter. Mslk ω dlh subset dr rug prmeter Ω, mk k dlkuk peguj hpotess (sederh tu mjemuk) H 0 : (θ, θ,, θ m ) Ddefsk fugs lkelhood ω terhdp semu hpotess ltertf. L( ) f ( x ;,,, ), (,,, ), d m m L( ) f ( x ;,,, ), (,,, ). m m Mslk L( ˆ) d L( ˆ ) dlh l mksmum yg dsumsk d utuk kedu fugs lkelhood tersebut. Rso dr L( ˆ) terhdp L( ˆ ) dsebut rso lkelhood d dotsk deg L( ˆ) ( x, x,, x ) (.7) L( ˆ ) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

29 7 Mslk δ 0 dlh sutu fugs yg ly postf. Prsp uj rso lkelhood meytk bhw hpotess H 0 : (θ, θ,, θ m ) ω dtolk jk d hy jk ( x, x,, x ) 0. Fugs δ medefsk sutu vrbel ck δ (X, X,, X ) d tgkt sgfks dr uj dlh Pr[ ( X, X,, X ) 0; H0].. Uj Wld Mslk β meytk sembrg prmeter. Pdg peguj sgfks dr hpotess H 0 : β = β 0 (tu H 0 : β = 0, dm β 0 = 0). Sttstk uj sederh yg dguk utuk peguj tersebut megguk sft dr tksr mksmum lkelhood, dm utuk smpel besr tksr mksmum lkelhood, yg dlm hl dlh ˆ, k medekt dstrbus Norml (Agrest, 007). Mslk se( ˆ ) meytk tksr stdrd error dr ˆ, mk dbwh sums H 0 ber, sttstk uj ( ˆ 0) z se( ˆ) (.8) k medekt dstrbus Norml stdrd. Secr ekuvle, z jug k medekt dstrbus ch-squre deg derjt bebs. Sttstk uj yg sepert dsebut deg sttstk Wld sedgk peguj yg megguk sttstk Wld dsebut deg uj Wld. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

30 BAB 3 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF Dlm bb k djelsk mege model regres Boml Negtf besert peksr prmeter model regresy deg megguk metode mksmum lkelhood. Sel tu terdpt jug pejels mege uj kesesu model. 3. Overdspers d Regres Boml Negtf Vrbel respo yg berup dt cout bsy dlss deg megguk regres Posso yg memlk sums me d vrs sm. Pd keyty, kods sepert sgt jrg terjd kre bsy dt cout memlk vrs yg lebh besr dr me tu dsebut deg kods overdspers (Cmero d Trved, 998). Overdspers dlm regres Posso dpt megkbtk stdrd error dr tksr prmeter regres yg dhslk memlk kecederug utuk mejd lebh redh dr sehrusy sehgg meghslk kesmpul yg tdk sesu deg dt (Isml d Jem, 007). Meurut Osgood (000), Pteroster d Brme (997), model Boml Negtf merupk ltertf yg serg dguk utuk ksus overdspers pd regres (Berk d McDold, 008). Model regres Boml Negtf memlk kegu yg sm deg model regres Posso ytu utuk meglss hubug tr sutu vrbel respo dt cout deg stu tu lebh vrbel ck pejels, tetp model regres Boml Negtf lebh fleksbel dbdgk deg model Posso kre me d vrs dr model Boml Negtf tdk hrus sm. Model jug memlk prmeter dspers yg bergu utuk meggmbrk vrs dr dt d bs dotsk deg. Model Boml Negtf yg k dguk dlh model Boml Negtf yg merupk model cmpur tr Posso d Gmm, dm 8 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

31 9 dstrbus Gmm dguk utuk meyesuk kehdr overdspers dlm model Posso (Hlbe, 0). Berdsrk hl tersebut d pejels pd subbb.7, fugs probblts dr sutu vrbel ck Y yg berdstrbus Boml Negtf dlh sebg berkut. f( y) y ( y ) ( )! y, y = 0,,, (3.) = 0, y yg ly utuk, µ > 0. Prmeter dstrbusy ytu µ d, dm µ merupk prmeter loks d merupk prmeter dspers. 3. Boml Negtf sebg Kelurg Ekspoesl Slh stu kelurg dr beberp dstrbus probblts yg serg djump dlh kelurg ekspoesl. Keutug dr sutu dstrbus probblts yg termsuk ggot kelurg ekspoesl dlh kemudh dlm megdetfks beberp ukur dstrbus, slh stuy dlh me sebg prmeter loks d vrs sebg prmeter pegggu (usce). Berkut dlh defs dr sutu dstrbus yg merupk ggot kelurg ekspoesl. Mslk vrbel ck Y memlk dstrbus probblts yg bergtug pd prmeter θ yg dggp sebg prmeter loks d terdpt prmeter l ytu yg dsebut prmeter peggggu. Berdsrk Hlbe (0), dstrbus dr Y merupk ggot dr kelurg ekspoesl jk fugs probbltsy memlk betuk sebg berkut. y b( ) f ( y;, ) exp c( y ; ) (3.) ( ) dm θ merupk prmeter kok, ( )merupk prmeter skl, d b(θ) dlh fugs ut cumult dm pejelsy terdpt pd Lmpr 7. Berkut k dtujukk bhw dstrbus Boml Negtf merupk slh stu ggot dr kelurg ekspoesl. Mslk Y dlh sutu vrbel ck yg berdstrbus Boml Negtf deg prmeter d µ Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

32 0 deg fugs probblts pd persm (3.). Deg megggp µ sebg prmeter loks d sebg prmeter pegggu (usce), mk k dperoleh: f ( y;, ) y ( y ) ( )! y exp l y ( y ) ( )! y ( y ) y ( )! exp l l l y ( y ) exp y l l l ( ) y! (3.3) Deg meyesuk persm (3.3) deg (3.) dperoleh l ( )= c(y;θ) = l ( y ) ( ) y! b(θ) = l sehgg terbukt bhw dstrbus Boml Negtf merupk ggot dr kelurg ekspoesl. Telh dsebutk sebelumy bhw slh stu keutug dr ggot kelurg ekspoesl dlh me d vrs dr dstrbus tersebut dpt ddetfks deg mudh, sehgg berdsrk Hlbe (0) ytu b ( ) k meghslk me b ( ) ( ) k meghslk vrs Jd, k dcr me d vrs dr vrbel ck yg berdstrbus Boml Negtf deg megguk slh stu sft dr kelurg ekspoesl tersebut. Sebelum memperoleh me d vrs dr dstrbus Boml Negtf, dpt ddefsk bhw Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

33 g( ) l l sehgg l e e ( e ) d dperoleh g ( ) [ ( e )] e ( ) Fugs cumult ytu b(θ) = l l( ), sehgg k dperoleh me d vrs dr Boml Negtf sebg berkut: Me b b e e ( ) ( )( ) ( ) ( e ) ( e ) kre [ ] e mk e sehgg dperoleh b ( ) ( ) ( ) Vrs Kre ( )=, mk vrs dr Y hy turu kedu dr cumult terhdp θ ytu sebg berkut: b ( ) b b Sebelumy k dcr b d. b ( ) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

34 ( ) ( ) ( e ) ( e ) ( ) ( e ) ( e ) sehgg dperoleh [( e ) ( e ) ] ( e ) ( e ) ( )( e 3 ) ( e ) ( e ) ( e ) ( )( e 3 ) ( e ) ( e )[( e ) ( )( e 3 ) ] ( )( 3 ) ( ) ( ) ( )( ) sehgg turu kedu dr b(θ) terhdp θ dlh b ( ) b b ( ) ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) Jd, me d vrs dr Boml Negtf secr berturut-turut dlh µ d µ + µ. 3.3 Model Regres Boml Negtf Setelh dperoleh me d vrs dr vrbel ck yg berdstrbus Boml Negtf, mk seljuty dpt djelsk mege model regres deg vrbel respo yg berup dt cout d berdstrbus Boml Negtf. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

35 3 Mslk g dkethu hubug tr sutu vrbel respo Y deg k buh vrbel pejels X, X,, X k. Vrbel respo Y berup dt cout d meytk byky kejd yg dmt pd sutu populs tertetu. Vrbel Y dberk X = x, X = x,, X k = x k dsumsk berdstrbus Boml Negtf. Dberk smpel ck berukur ytu {(y, (x, x,, x k )); =,,, }, dm y dlh pegmt ke- dr vrbel respo Y, d x, x,, x k berturut-turut dlh pegmt ke- dr vrbel pejels X, X,, X k. Model regres pd umumy megguk hubug tr vrbel respo Y deg vrbel-vrbel pejels X, X,, X k sebg berkut: y x x x, utuk =,,, (3.4) 0 k k dm 0,,, k meytk prmeter-prmeter yg tdk dkethu d ε meytk error utuk pegmt ke- d sums bhw l ekspekts dr ε dlh ol tu E ( ) 0. Bl persm (3.4) dytk dlm betuk vektor mejd y xβ (3.5) 0 dm x [, x,, xk ] d β. k Msl dsumsk l ekspekts utuk Y dlh E (Y X = x, X = x,, X k = x k ) = µ d sebelumy telh dsumsk bhw l ekspekts utuk ε dlh ol, mk k dperoleh E( Y X x, X x,..., X x ) k k E( X X... X X x, X x,..., X x ) 0 k k k k E( X x, X x,..., X x ) 0 k k E( X X x, X x,..., X x ) k k E( X X x, X x,..., X x )... k k E( X X x, X x,..., X x ) k k k k E( X x, X x,..., X x ) k k Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

36 4 E( X X x, X x,..., X x ) 0 k k E( X X x, X x,..., X x )... k k E( X X x, X x,..., X x ) 0 k k k k 0 x x... k x k tu bl dytk deg vektor mejd xβ (3.6) Dlm model Boml Negtf, Y dlh vrbel yg berup dt cout sehgg Y merupk blg bult o-egtf, mk l ekspekts dr Y jug tdk mugk egtf. Berdsrk persm (3.6), hl tersebut mejd sesutu yg bertetg kre rug l utuk x β dlh blg rl pd tervl (-, ). Hl membut model regres pd persm (3.5) tdk dpt dguk utuk meglss dt cout. Utuk megts ked yg bertetg tersebut, mk dguk sebuh fugs peghubug yg meghubugk tr ftted vlue (µ ) deg predktor ler ( xβ ). Sebg ggot dr kelurg ekspoesl, Boml Negtf sebery memlk fugs peghubug kok yg dytk oleh θ pd persm (3.3) ytu l x β deg vers. [exp( x β) ] Dr betuk versy terlht bhw fugs peghubug tersebut meghslk betuk yg cukup rumt sehgg terprets dr prmeter-prmeter model regres k mejd lebh sult. Hlbe (0) meytk bhw model Boml Negtf pd umumy megguk fugs peghubug logrtm tu log lk ytu l (µ ) = x β (3.7) Model Boml Negtf dpt megguk log lk kre l (µ ) d xβ k terdefs d dlm tervl (-, ) d terprets prmeter regres k mejd lebh mudh (djelsk lebh ljut pd subbb 3.6). Setelh dperoleh fugs peghubug yg tept, mk seljuty dpt dytk model regres Boml Negtf utuk memodelk dt cout ytu l {E [Y x ]} = l(µ ) = x β utuk =,,, (3.8) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

37 5 sehgg dpt dperoleh µ = exp ( xβ ) Pd model regres ler bsy dstrbus vrbel respo k sm deg dstrbus dr error tetp pd model regres o-orml sepert Boml Negtf k sult utuk meytk betuk errory secr eksplst. Sehgg sums spesfks utuk error tdk perlu dytk lg, tetp cukup deg member spesfks dstrbus pd vrbel respo (Pwt, 00). 3.4 Peksr Prmeter Model Regres deg Metode Mksmum Lkelhood Prmeter-prmeter dlm model regres Boml Negtf yg tdk dkethu ly, ytu β 0, β,, d β k perlu dtksr. Peksr prmeter dlkuk deg megguk metode mksmum lkelhood. Mslk terdpt smpel ck berukur ytu ( y,( x, x,, xk )) utuk =,,,, mk deg mesubsttusk µ = exp ( xβ) ke dlm fugs probblts bersyrt utuk vrbel ck Y dberk l x, x,, x pd persm (3.) k dperoleh k f ( y ; β, ) y ( y ) exp( xβ) exp xβ exp y! ( ) ( ) ( x β) (3.9) Fugs lkelhood dperoleh dr p.d.f. bersm Y dberk l x, x,, x k yg dotsk deg L(β, ) ytu L(β, ) f ( y ; β, ) y ( y ) exp( xβ) y exp xβ exp! ( ) ( ) ( x β) (3.0) Dkethu sebelumy pd subbb.4 ytu ( y c ) () c c( c )( c )...( c y ), sehgg k dperoleh Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

38 6 ( y ) ( )... y... y ( ) ( )... ( ( y ) ) y y r 0 ( r) (3.) Deg mesubsttusk persm (3.) pd persm (3.0), mk fugs lkelhood L(β, ) mejd L( β, ) ( y ) exp( xβ) y exp xβ exp! ( ) ( ) ( x β) y y y y exp( xβ) ( r) y! exp( x β) exp( x β) r 0 y ( r) exp( xβ) y! exp( x β) exp( x β) r 0 y (3.) β Fugs log-lkelhood yg dotsk deg l(β*), dm β*, dguk utuk membtu mempermudh perhtug utuk medptk tksr mksmum lkelhood utuk prmeter β 0, β,, β k, d kre memksmumk fugs log-lkelhood k memberk hsl yg sm deg memksmumk fugs lkelhood-y. Fugs log-lkelhood sebg berkut l( β* ) l L( β* ) y l ( r) exp( xβ) y! exp( x β) exp( x β) r 0 y Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

39 7 y r 0 l( r) l( y!) y l(exp( x β )) y l( exp( xβ )) y r 0 l( r) l( y!) y ( x β ) y l( exp( xβ )) (3.3) Utuk mecr tksr dr prmeter-prmeter, ytu ˆ 0, ˆ ˆ,, k, d â, fugs log-lkelhood pd persm (3.3) dturuk secr prsl terhdp msg-msg prmeter yg bersesu kemud dsmdegk ol, sehgg ddptk persm-persm berkut Turu prsl terhdp β 0 l( β* ) 0 y ( y ) exp( xβ) exp( x β) y y y exp( x β) exp( xβ) ( ) exp( xβ) y y exp( xβ) y exp( xβ) exp( xβ) exp( x β) y exp( xβ) exp( x β) Turu prsl terhdp β l( β* ) yx ( y ) x exp( xβ) exp( x β) y x y x exp( xβ) ( y ) x exp( xβ) exp( x β) y x y x exp( xβ) yx exp( xβ) x exp( xβ) exp( x β) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

40 8 y x x exp( xβ) exp( x β) x ( y exp( xβ)) exp( x β) Turu prsl terhdp β l( β* ) yx ( y ) x exp( xβ) exp( x β) y x y x exp( xβ) ( y ) x exp( xβ) exp( x β) yx yx exp( xβ) yx exp( x β) x exp( x β) exp( x β) y x x exp( xβ) exp( x β) x ( y exp( xβ)) exp( x β) Kre turu prsl terhdp β 0, β, β memlk hsl yg smlr, mk deg cr yg serup utuk β m, m = 3, 4,, k dperoleh: l( β* ) m xm ( y exp( xβ)) exp( x β) (3.4) D dlm fugs lkelhood terdpt prmeter dspers yg jug k dtksr ly, sehgg terdpt turu prsl dr fugs log-lkelhood terhdp prmeter ytu sebg berkut: l( β* ) r ( x β) y exp l( exp( x )) β y r 0 r exp( xβ) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

41 9 r ( y ) ( x ) l( ( )) β ( x β) y exp exp x β r 0 r exp (3.5) Turu-turu prsl dr persm log-lkelhood d ts jk dytk dlm betuk mtrks mejd: U( β* ) l( β* ) 0 l( β* ) ( y exp( xβ)) exp( x β) x ( y exp( xβ)) exp( x β) l( β* ) x ( y exp( x β)) exp( x β) p l( β* ) r r p y exp exp x β r 0 exp ( y ) ( x ) l( ( )) β ( x β) β Nl β* yg dperoleh dr peyeles persm U(β*) = 0, k memksmumk fugs l( β* ) jk mtrks turu prsl kedu dr l( β* ) ytu mtrks Hess dlh mtrks deft egtf (Hertryt, 006). Mtrks Hess utuk ksus model regres Boml Negtf dlh H( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 0 k 0 0 l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 k l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 k k k k l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 k Turu-turu prsl kedu dr fugs l( β* ) yg merupk eleme dr mtrks d ts terdpt dlm Lmpr. Berdsrk Ato (000), sutu mtrks smetrs A berukur (yg memlk sft A = A ) dlh mtrks deft egtf jk s As berl egtf utuk setp vektor s 0 yg berdmes. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

42 30 Pd Lmpr, telh dtujukk bhw mtrks Hess tersebut β merupk mtrks deft egtf sehgg l β* yg memeuh β persm U ( β* ) = 0 k memksmumk l( β* ). Nl β* dsebut ˆ tksr mksmum lkelhood d dotsk deg ˆ β β*. â Kre persm-persm dlm mtrk U ( β* ) tdk ler dlm msg-msg prmetery, mk utuk mecr tksr dr β 0, β,, β k, d dguk metode umerk, ytu metode Newto-Rphso. Metode Newto-Rphso dguk utuk meemuk solus dr fugs log-lkelhood sehgg dperoleh l yg cukup koverge utuk djdk sebg tksr utuk msg-msg prmeter. Prosedury dlh sebg berkut ˆ (0). Plh l proksms wl utuk β*, ytu β* ˆ. ˆ ( ). Tetuk tksr β* pd ters ke-r (r =,, ) ytu ˆ r β* deg megguk persm ters sebg berkut: dm ˆ ( r) ( r ) ( r-) ( r ) β* ˆ β* ˆ H( β* ˆ ) U( β* ˆ ) (3.6) ( r ) β* dlh tksr dr β* pd ters ke-(r-). ˆ ( r-) H( β* ) dlh mtrks yg berukur (k+) (k+) d elemeelemey bers turu prsl kedu dr l(β*) pd st β* = ˆ Hess. ( r ) β*. Mtrks bs dsebut deg mtrks ˆ 0 k ˆ (0) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

43 3 H β* ˆ ( r-) ( ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 0 k 0 0 l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 k l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 k k k k l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 k β* β* ˆ ( r-) ˆ ( r ) U( β* ) dlh vektor yg eleme-elemey bers turu ( ) prsl pertm dr l(β*) yg dhtug pd β* = ˆ r β*. Vektor berukur (k+). l( β* ) 0 l( β* ) U β* ˆ ( r ) ( ) l( β* ) k l( β* ) β* β* ˆ ( r-) 3. Proses ters dpt dhetk ketk l tksr yg dperoleh sudh ( r) ( r ) 0 0 ˆ ˆ ( ) ( ) koverge ke sutu l, tu ˆ r ˆ r β* β*. ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 4. Mk mbl ˆ r β* sebg tksr utuk ˆβ*. ˆ k ˆ k Pd umumy utuk meyelesk persm ters (3.6) dguk softwre komputer, msly softwre Mtlb. Apbl tksr mksmum Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

44 3 lkelhood dr tp prmeter telh dperoleh, mk k ddpt tksr utuk model regres Boml Negtf ytu l EY [ x ] l( ˆ ) x β ˆ ; utuk =,,, (3.7) 3.5 R d pseudo-r Sttstk R buk merupk sutu sttstk yg dguk dlm peguj, utuk peguj hpotess lebh ljut k dlkuk deg uj rso lkelhood d uj Wld yg k djelsk dlm subbb 3.6. d Sttstk R bsy dkel sebg koefse determs d dlm regres ler bs tu ordry lest squres regresso. Koefse R bsy dterpretsk sebg besr persetse dr vrs d dlm dt yg djelsk oleh model. Nl dr sttstk berksr dr 0 smp, dm l yg semk medekt merepresetsk model yg terbetuk semk bk. Sttstk kurg tept dguk utuk model regres o-ler sepert Boml Negtf kre tksr prmeter model regres o-ler bsy tdk megguk metode OLS, tetp megguk ters dlm prosesy. Sttstk R yg bsy dguk utuk model regres dt cout dlh sttstk pseudo-r. Berdsrk Hlbe (0), sttstk pseudo-r, yg dotsk deg R, memlk formul sebg berkut: p R p = L F /L I (3.8) dm L F dlh l fugs log-lkelhood dr model yg legkp sedgk L I dlh l fugs log-lkelhood dr model yg hy megdug tercept. Sttstk utuk model Boml Negtf berdsrk persm (3.8) dlh R p = L F /L I = - y r 0 y r 0 l( r) l( y!) y ( xβ) y l( exp( xβ)) l( r) l( y!) y 0 y l( exp( 0)) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

45 33 y r 0 y r 0 y r 0 y l( r) l( y!) y 0 y l( exp( 0)) l( r) l( y!) y 0 y l( exp( 0)) y l( r) l( y!) y ( xβ) y l( exp( xβ)) r 0 r 0 l( r) l( y!) y 0 y l( exp( 0)) y y y exp( ) 0 0 ( xβ) l exp( xβ ) l( r) l( y!) y 0 y l( exp( 0)) y r 0 y x x y exp( ) 0 (... k k ) log exp( xβ ) l( r) l( y!) y 0 y l( exp( 0)) (3.9) Iterprets koefse determs R pd regres ler tdk dpt dterpk kepd pseudo-r. Iterprets yg dpt dbut dlh l yg sgt kecl megdksk lck of ft tu model yg dperoleh kurg bk sedgk l yg cukup besr megdksk model yg bk. 3.6 Uj Kesesu Model Regres Boml Negtf Model regres Boml Negtf yg telh dperoleh sebky tdk lgsug dguk begtu sj. Model tersebut dpt duj mellu thp peguj kebk model smp dperoleh model yg cukup bk utuk memprk dt. Uj kebk model yg bs dguk utuk meguj model regres Boml Negtf, ytu deg megguk uj rso lkelhood (Hlbe, 0). Sel uj model secr keseluruh, terdpt uj Wld yg bergu utuk meguj sgfks dr msg-msg koefse regres. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

46 Uj Rso Lkelhood Uj rso lkelhood dlh uj yg plg serg dguk sebg uj perbdg model. Uj bsy dguk utuk model yg bersrg, tetp uj jug dpt dguk utuk uj model yg berbed, sebg cotoh, g dlkuk peguj pkh sutu dt lebh bk dmodelk deg megguk model Boml Negtf tu Posso, dm model Boml Negtf merupk perlus dr model Posso. Berdsrk Hlbe (0), formul utuk uj rso lkelhood dlh sebg berkut. LR = {L reduced L full } (3.0) dm L reduced dlh l fugs log-lkelhood utuk model yg lebh sederh sedgk L full dlh l fugs log-lkelhood utuk model legkp. Uj rso lkelhood merupk uj yg bergu ketk hrus dputusk pkh pembh stu tu sejumlh vrbel pejels ke dlm model hrus dlkuk tu tdk. Sel tu, uj jug dguk utuk meguj sgfks dr tksr model yg telh dperoleh. Berkut dlh uj sgfks model regres Boml Negtf, hpotessy dlh: H : 0 0 k H : 0 j ; j =,,, k Sttstk yg dguk utuk peguj hpotess tersebut dlh dm LR (log Lˆ log L ˆ ) (3.) 0 ˆL meytk l tksr fugs lkelhood setelh mesubsttusk ll tksr prmeter β 0, β,, d β k yg dperoleh dr tksr full model ˆL 0 meytk l tksr fugs lkelhood setelh mesubsttusk l tksr prmeter β 0 yg dperoleh dr tksr model log(µ ) = β 0. Dbwh kods H 0 ber, sttstk uj LR medekt dstrbus Ch- Kudrt (χ ) deg derjt bebs k. Atur keputusy dlh H 0 dtolk pd tgkt sgfks α jk LR >,k. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

47 35 H 0 dtolk member pegert bhw plg sedkt d stu vrbel pejels yg memlk kotrbus yg sgfk terhdp model pd tgkt sgfks α Uj Wld Uj bergu utuk megevlus sgfks dr msg-msg vrbel pejels terhdp model. Bl pd uj sgfks utuk model regres dperoleh hsl bhw plg sedkt d stu vrbel pejels yg memlk kotrbus yg sgfk terhdp model, mk seljuty deg uj Wld g dkethu vrbel pejels m sj yg berpegruh terhdp vrbel respo. Hpotess utuk meguj sgfks dr sembrg koefse regres, mslk β j, dlh: H : 0 0 j H : 0 j Sttstk uj yg dguk ytu ˆ W j j se( ˆ ) (3.) j dm ˆ j dlh tksr prmeter β j d se( ˆ ) merupk tksr stdrd j error dr tksr prmeter β j yg dperoleh dr mtrks tksr vrskovrs dr ˆβ. Dbwh kods H 0 ber, sttstk uj W j pd persm (3.) k medekt dstrbus Ch-Squre (χ ) deg derjt bebs, sehgg tur keputusy dlh meolk H 0 pd tgkt sgfks α, jk W j >,. Peolk H 0 pd tgkt sgfks α berrt bhw vrbel pejels ke-j, utuk sutu j tertetu (j =,,, k), memlk kotrbus yg sgfk terhdp vrbel respo Y. Dlm sttstk uj Wld, terdpt se( ˆ ) merupk tksr stdrd error dr tksr prmeter β j yg dperoleh dr mtrks tksr vrs- Uversts Idoes j Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

48 36 kovrs dr ˆβ, msl dotsk deg V ˆ () β ˆ. Mtrks V ˆ () β ˆ dperoleh dr mus vers dr mtrks Hess ytu sebg berkut: l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) 0 0 k 0 0 l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) ˆ H ( βˆ 0 k l( β* ) l( β* ) l( β* ) l( β* ) V β 0 k k k k l( β* ) l( β* ) 0 l( β* ) l( β* ) k Eleme dgol utm ke-j (j =,,, k+) dr mtrks V ˆ () β ˆ merupk tksr vrs dr ˆ j, yg dytk deg vˆ( ˆ j ) d dperoleh mellu thp sebg berkut: ) Turu prsl kedu dr fugs log-lkelhood terhdp j ytu l( β* ) j x ( y exp( x β)) j exp( x β ) j x x exp( x β)[ exp( x β)] x [ exp( x β)][ x ( y exp( x β))] j j j j [ exp( xβ)] b) Ekspekts dr mus mtrks Hess k meghslk mtrks Fsher Iformto, sehgg eleme dgol dr mtrks Fsher Iformto utuk β j dlh: E l( β* ) j I ( ) j Dlm hl, mtrks Fsher Iformto dguk utuk megukur seberp besr forms dr vrbel pejels X j yg terobservs dpt djelsk oleh prmeter β j. Kre sebelumy telh dytk bhw Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

49 37 vrs utuk β j dperoleh dr eleme dgol mtrks V(β) mk berdsrk kedu hl tersebut, vrs β j dlh vr( ) j [ I( j )] E x x exp( x β)[ exp( x β)] x [ exp( x β)][ x ( Y exp( x β))] j j j j [ exp( xβ)] E x x exp( x β)[ exp( x β)] x [ exp( x β)][ x ( Y exp( x β))] j j j j [ exp( xβ)] x x exp( x β)[ exp( x β)] x [ exp( x β)][ x ( exp( x β))] j j j j [ exp( xβ)] x x exp( x β)[ exp( x β)] x [ exp( x β)][ x ( exp( x β) exp( x β))] j j j j [ exp( xβ)] x x exp( x β)[ exp( x β)] j j [ exp( xβ)] x x exp( x β) j j [ exp( x β)] x j (3.3) c) Tksr stdrd error utuk ˆ j dlm model regres Boml Negtf dlh se( ˆ ) v ˆ( ˆ ) j j x exp( ˆ j xβ) ˆ exp( x βˆ ) x j ˆ ˆˆ (3.4) Berdsrk formul tksr stdrd error utuk ˆ j pd persm dts, dpt dktk bhw stdrd error tersebut dpegruh oleh prmeter. Hl tersebut memberk pegert bhw pd st terjd overdspers, Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

50 38 model Boml Negtf k mejd lebh sestf terhdp sgfks dr vrbel-vrbel pejelsy kre memperhtk pegruh dr overdspers tersebut mellu prmeter. Berkut k dtujukk pegruh dr overdspers terhdp tksr stdrd error dr ˆ j jk tetp megguk model Posso. Sebelumy telh dkethu bhw model Boml Negtf dpt dytk sebg model Posso st 0, sehgg tksr stdrd error utuk ˆ j pd model Posso, mslkse ( ˆ p j ), dlh ˆ ˆ x j ˆ p j j 0 ˆ se ( ) x (3.5) Jk dbdgk deg tksr stdrd error utuk ˆ j pd model Boml Negtf, mslkse ( ˆ NB j ), mk dpt dytk x j x ˆ j ˆ se ( ˆ ) se ( ˆ ) P j NB j ˆ Dr perbdg d ts terlht bhw ˆ ˆ se ( ) se ( ) P j NB j sehgg ketk model Posso tetp dguk st terjd overdspers, se ( ˆ p j) yg dperoleh k mejd lebh kecl dr sehrusy. Jd, berdsrk sttstk uj Wld pd persm (3.), tksr prmeter regres yg sehrusy belum tetu sgfk k mejd sgfk d berkbt kepd kesmpul yg tdk vld. 3.7 Iterprets Tksr Prmeter Model Regres Boml Negtf Slh stu kegu model regres dlh utuk meggmbrk hubug tr vrbel respo deg vrbel-vrbel pejels yg dgk. Tksr dr koefse-koefse regres, ytu ˆ 0, ˆ ˆ,, k, memlk Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

51 39 per petg dlm meggmbrk hubug tr vrbel respo deg vrbel-vrbel pejels tersebut. Iterprets msg-msg ˆ 0, ˆ ˆ,, k terhdp model regres dpt dguk utuk mejelsk per dr vrbelvrbel pejels X, X,, X k gr model regres yg telh dperoleh mejd semk bermk. Cr megterprets prmeter regres pd model regres ler bs tdk dpt dguk utuk megterpretsk prmeter regres pd model regres Boml Negtf. Hl tersebut dkrek perbed betuk model regresy. Cr megterpretsk prmeter model regres Boml Negtf bergtug dr jes vrbel pejelsy, sehgg terprets dr tksr prmeter regres Boml Negtf dbg mejd du, ytu st vrbel pejelsy berup vrbel kotu d ktegork Iterprets Tksr Prmeter st Vrbel Pejelsy Kotu Mslk X j dlh sutu vrbel pejels ke-j yg berjes kotu. Utuk setp kek ut l x j d dsumsk bhw l dr vrbelvrbel pejels ly tetp mk k dperoleh l Eˆ ( Y X x,, X x,..., X x ) 0 j j k k ˆ ˆ x ˆ ( x ) ˆ x j j k k Dr persm dts dpt dperoleh persm berkut: l Eˆ( Y X x,, X x,..., X x ) l Eˆ( Y X x,, X x,..., X x ) j j k k j j k k ˆ ˆ x ˆ ( x ) ˆ x ˆ ˆ x ˆ x ˆ x 0 j j k k 0 j j k k ˆ ˆ x ˆ x ˆ ˆ x ˆ ˆ x ˆ x ˆ x 0 j j j k k 0 j j k k ˆ j sehgg ddptk l ˆ(,, j j,..., k k ) ˆ j Eˆ( Y X x,, X j x j,..., X k xk ) E Y X x X x X x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

52 40 tu Eˆ( Y X x,, X j x j,..., X k xk ) ˆ j e Eˆ( Y X x,, X x,..., X x ) j j k k (3.6) yg merupk rso tr rt-rt Y sesudh d sebelum kek ut l x j deg megggp l-l vrbel pejels ly tetp. Mk, terprets yg tept berdsrk persm (3.6) dlh utuk setp kek ut dr l vrbel pejels kotu X j, ytu x j, deg sums l l vrbel pejels ly tetp, rt-rt Y k meglm perubh sebesr exp( ˆ ) kl. j 3.7. Iterprets Tksr Prmeter st Vrbel Pejelsy Ktegork Mslk X j dlh sutu vrbel pejels ktegork ke-j. Vrbel X j terdr dr du ktegor, dm X j berl 0 utuk ktegor pertm d berl utuk ktegor kedu. Jk X j merupk ktegor (tu berl 0) mk deg megggp bhw l dr vrbel-vrbel pejels ly tetp k dperoleh l Eˆ ( Y X x,, X 0,..., X x ) 0 j k k ˆ ˆ x ˆ (0) ˆ x (3.7) j k k sedgk utuk X j yg merupk ktegor (tu berl ) mk l Eˆ ( Y X x,, X,..., X x ) 0 j k k ˆ ˆ x ˆ () ˆ x (3.8) j k k Dr persm (3.8) d (3.9) dpt dperoleh persm berkut. l Eˆ( Y X x,, X,..., X x ) l Eˆ( Y X x,, X 0,..., X x ) j k k j k k ˆ ˆ x ˆ () ˆ x ˆ ˆ x ˆ (0) ˆ x 0 j k k 0 j k k ˆ j sehgg Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

53 4 ˆ(,, j,..., k k ) ˆ j j k k E Y X x X X x l E ˆ( Y X x,, X 0,..., X x ) Eˆ( Y X x,, X j,..., X k xk ) ˆ j e Eˆ( Y X x,, X 0,..., X x ) j k k (3.9) yg merupk rso tr rt-rt vrbel Y st X j merupk ktegor deg rt-rt vrbel Y st X j merupk ktegor deg megggp bhw l dr vrbel-vrbel pejels ly tetp. Jd, terprets yg tept utuk meggmbrk vrbel pejels X j berdsrk persm (3.9) dlh rt-rt Y st X j yg merupk ktegor dlh sebesr ˆ exp( ) j kl rt-rt Y utuk X j yg merupk ktegor deg sums bhw l l vrbel pejels ly dggp tetp. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0

54 BAB 4 APLIKASI DATA 4. Ltr Belkg Dt Dt utuk cotoh plks kl k membhs mege rtul perkw dr sutu jes keptg yg sudh sgt lgk, ytu keptg tpl kud. Keptg tpl kud merupk slh stu jes rthropod yg hdup d perr lut dgkl yg permuky berpsr tu berlumpur lembut. Keptg dmk tpl kud kre betuky yg sekls mrp deg kk kud. Seluruh tubuh keptg tpl kud dldug oleh sebuh shell (kult) kers d ukur tubuh keptg bet lebh besr dbdgk deg jt. Dlm hl perkw, keptg tpl kud jt memlk du tktk. Tktk pertm ytu pd st r psg tgg beberp keptg jt k dtg ke drt utuk melekt pd seekor bet (meggeggm pggr belkg krps bet deg pedplpus merek), kemud merek k bersrg utuk melkuk perkw. Kedu, keptg jt yg tdk kut melekt pd keptg bet k megerumu d sektr psg yg sedg bersrg d merek tetp melkuk pembuh terhdp keptg bet tersebut. Keptg tpl kud jt yg melkuk tktk kedu dsebut deg keptg stelt. Jumlh stelt yg megerumu psg keptg yg sedg bersrg terkdg sedkt terkdg byk. Byk sedkty jumlh keptg jt stelt dguk pd peelt yg g mecr pegruh byky stelt utuk setp keptg tpl kud bet deg megguk beberp fktor, ytu wr kult, kods cgkg, lebr puggug, d bert dr keptg bet tersebut. Jd, plks dt kedu utuk peuls skrps k megguk cotoh dt pd peelt tersebut. 4 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Wdy Whyu, FMIPA UI, 0