PENGHITUNGAN NILAI RESISTOR PENGGANTI MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ORTONORMAL DARI MATRIKS LAPLACE AMIN LUKMANUL HAKIM G

Transkripsi

1 PEGHIUGA ILAI RESISOR PEGGAI MEGGUAKA ILAI EIGE DA VEKOR EIGE OROORMAL DARI MARIKS LAPLACE AMI LUKMAUL HAKIM G544 DEPAREME MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DA ILMU PEGEAHUA ALAM ISIU PERAIA OGOR 7

2 PEGHIUGA ILAI RESISOR PEGGAI MEGGUAKA ILAI EIGE DA VEKOR EIGE OROORMAL DARI MARIKS LAPLACE AMI LUKMAUL HAKIM G544 DEPAREME MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DA ILMU PEGEAHUA ALAM ISIU PERAIA OGOR 7

3 ASRAK AMI LUKMAUL HAKIM, Peghtug l Resstor Peggt Megguk l Ege d Vektor Ege Ortoorml dr Mtrks Lple. Dbmbg oleh AGAH DRAJA GARADI d FARIDA HAUM. l resstor peggt dpt dhtug deg megguk l-l ege d vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Lple yg dperoleh dr hubug sutu gmbr rg resstor dlm betuk grf. Kre mtrks Lple dlh sutu mtrks Hermte yg rel d smetrk, ug merupk mtrks semdeft postf mk l-l ege dr mtrks Lple dlh rel tkegtf d vektor-vektor egey dlh rel yg slg ortogol. Dlm tuls kry lmh dbhs lm betuk rg resstor resstors etwork yg hgg dlm betuk grf :. Jrg ressts du-smpul.. Jrg stu dmes deg kods bts bebs. 3. Jrg stu dmes deg kods bts perodk. 4. Jrg du dmes deg kods bts bebs. 5. Jrg du dmes deg kods bts sldrk.

4 ASRAC AMI LUKMAUL HAKIM, Computg of Resste etwee Arbtrry wo odes wth Resstor etwork I erms of Egevlues d Orthoorml Egevetors of the Lpl Mtr. Supervsed by AGAH DRAJA GARADI d FARIDA HAUM. he resste betwee rbtrry two odes resstor etwork ould be omputed terms of egevlues d orthoorml egevetors of the Lpl mtr ssoted wth the resstor etwork. Se the Lpl mtr s Hermte, t s symmetr d rel, lso postve semdefte, hee the egevlues of the Lpl mtr re oegtve rel d the egevetors re rel d orthogol. I ths work, fve fte resstor etworks re studed :. wo-pot resste etwork.. Oe-dmesol etwork wth boudry odto. 3. Oe-dmesol etwork wth perod boudry odto. 4. wo-dmesol etwork wth boudry odtos. 5. wo-dmesol etwork wth yldrl boudry odtos.

5 PEGHIUGA ILAI RESISOR PEGGAI MEGGUAKA ILAI EIGE DA VEKOR EIGE OROORMAL DARI MARIKS LAPLACE Skrps sebg slh stu syrt utuk memperoleh gelr Sr Ss pd Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm Isttut Pert ogor Oleh : AMI LUKMAUL HAKIM G544 DEPAREME MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DA ILMU PEGEAHUA ALAM ISIU PERAIA OGOR 7

6 Judul m IM : Peghtug l Resstor Peggt Megguk l Ege d Vektor Ege Ortoorml dr Mtrks Lple : Am Lukmul Hkm : G544 Meyetuu, Pembmbg I Pembmbg II Drs. Agh D. Grd Grd, Dpl. IP Dr. Frd Hum, M.S. IP Megethu, Dek Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm Isttut Pert ogor Prof. Dr. Ir. Yoy Koesmryoo, MS. IP ggl Lulus :...

7 KAA PEGAAR Pu d syukur peuls ptk kepd Allh SW yg sellu memberk kmt, kru d kekut yg sgt besr, sehgg peuls dpt meyelesk skrps. Shlwt sert slm semog sets terurh kepd b Muhmmd SAW besert kelurgy, shbty sert segep umty. Skrps berudul Peghtug l Resstor Peggt Megguk l Ege d Vektor Ege Ortoorml dr Mtrks Lple. Up term ksh kepd pk. Drs. Agh Drt Grd, Grd. Dpl. S. selku Pembmbg I yg telh melugk teg d wktuy utuk memberk bmbg, pegrh, semgt, d sr sehgg peuls dpt meyelesk kry lmh. erm ksh ug kepd Ibu Dr. Frd Hum M. S. selku Pembmbg II ts bmbg d sr sehgg peuls dpt meyelesk skrps. erm ksh ug kepd pk. Dr. Ir. I G. Putu Purb, DEA selku Pegu yg telh memberk sr d msuky, sert kepd sudr Ar Sept d sudr Mt yg telh beresed med Pembhs pd r semr. Up term ksh kepd kedu org tu tert, pk Memed d Ibu Eus Msruroh d skmly, yg telh memberk ksh syg, semgt, dorog, d do utuk kelr peyeles skrps. Peuls megupk term ksh kepd kedu kkk tert, Y Sury sert sumy A Hrs, yg telh memberk semgt d dorog sert memberk btu by utuk kelr peuls skrps. erm ksh ug kepd dk tert, Muhmmd Luthf, sert kkk-kkk tert yg ly A Edg, A Ade Abduh, Ceu Yyh, otoh ohrh, d A Dd d egkulu, besert seluruh kelurgy d k-k terty yg telh memberk dorog, semgt, d do utuk keberhsl peuls. erm ksh ug kepd tem-tem Agkt 39 msuk thu yg telh memberk ksh syg d semgt selm ms-ms kulh d Jurus Mtemtk, Isttut Pert ogor. dk lup up term ksh kepd dose-dose Deprteme Mtemtk yg telh memberk lmuy, ug kepd stf Deprteme Mtemtk u Sus, Ms oo, Ms Yoo, Ms De, u Ade, u Mrs ug kepd stf pegw Deprteme Mtemtk, sert kepd seluruh phk yg telh membtu dlm peyeles skrps yg tdk dpt dsebutk stu per stu. ogor, September 7 Am Lukmul Hkm

8 RIWAYA HIDUP Peuls dlhrk d Kot skmly pd tggl 7 Jur 98 sebg k ketuuh dr delp bersudr dr psg Memed d Eus Msruroh. Pd thu, peuls lulus dr SMU eger Idhg. Sethu kemud, tepty pd thu peuls msuk Isttut Pert ogor mellu lur Seleks Peerm Mhssw ru SPM d dterm d Deprteme Mtemtk, Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm.

9 DAFAR ISI Hlm DAFAR GAMAR... DAFAR LAMPIRA... PEDAHULUA. Ltr elkg.... uu... LADASA EORI. Mtrks.... Grf....3 Albr Ler Jrg Lstrk d Jrg Resstor Sft-Sft Mtrks Lple L d L dr Grf Jrg Resstor eorem-eorem tetg Mtrks Lple L d L... 3 PEMAHASA 3. eorem Ressts Du Smpul Jrg Ressts Du Smpul Jrg Stu Dmes deg Kods ts ebs Jrg Stu Dmes deg Kods ts Perodk Jrg Du Dmes deg Kods ts ebs Jrg Du Dmes deg Kods ts Sldrk Peghtug l Resstor Peggt Megguk l Ege d Vektor Ege Ortoorml dr Mtrks Lple deg Slb Peghtug l Arus Lstrk deg Megguk Slb SIMPULA... 5 DAFAR PUSAKA... 5 LAMPIRA... 7

10 DAFAR GAMAR Hlm. Grf deg 4 smpul d 5 ss.... Dgrf deg 4 smpul d 5 r ss berrh Jrg resstor deg 4 smpul Jrg lstrk Jrg resstor deg 4 smpul d l resstor pd setp ss sebesr Ω Jrg ressts du smpul deg 4 smpul deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg resstor stu dmes deg kods bts bebs deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg resstor stu dmes deg kods bts perodk deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg resstor du dmes deg kods bts bebs deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg resstor du dmes deg kods bts sldrk deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg lstrk d hoteldeg sums d r ss berrh I, II, III, IV, V terdpt resstor peggt msg-msg sebesr R I, R II, R III, R IV, d R V sert d r 6, 7, 8 terdpt sumber tegg wl msg-msg sebesr V, 5 V, 5 V Jrg resstor d hotel rug I deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm b. Jrg resstor d hotel rug I deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg resstor d hotel rug II deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r 5 ohm Jrg resstor d hotel rug III deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r ohm Jrg resstor d hotel rug IV deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r 5 ohm Jrg resstor d hotel rug V deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r 5 ohm b. Jrg resstor d hotel rug V deg sums d setp r ss berrh terdpt resstor sebesr r 5 ohm... 38

11 DAFAR LAMPIRA Hlm. Pembut grf rg resstor deg Slb Mtrks Lple L dr gmbr rg resstor d rug I, II, III, IV, d V Pembut mtrks Lple L deg Slb Peetu l-l ege d vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Lple deg Slb Formul rumus utuk meghtug l resstor peggt R I, R II, R III, R IV, d R V Peghtug l resstor peggt R αβ megguk Slb Peghtug l rus lstrk pd rg lstrk megguk Slb Peyeles mslh pd rg lstrk megguk mtrks Lple L deg Slb Pembukt khr eorem Ressts Du-Smpul Pembukt peghtug l-l ege d vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Pembukt peghtug l-l ege d vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks... 8 per. Pembukt eorem 6 tetg sft-sft kroeker produt mtrks Pembukt eorem tetg l-l ege d vektor-vektor ege dr kroeker produt d kroeker sum mtrks... 87

12 I PEDAHULUA. Ltr elkg Selm, utuk meghtug l rus lstrk I dr sutu rg lstrk serg megguk perhtug rumus-rumus fsk. Mugk rg lstrk yg dberk sgt sederh terdr dr beberp resstor d sumber tegg lstrk. etp k rg lstrk yg dberk terdr dr byk rg resstor, mk peetu besry l rus lstrk I yg meglr pd rg lstrk tersebut, mugk memerluk wktu yg ukup lm. Slh stu r yg dguk utuk meghtug l rus lstrk I pd sutu rg lstrk yg sgt kompleks ytu deg megguk perpdu tr perhtug mtrks d peggu Slb 4.. Resstor Peggt d tr du smpul α d β, ytu R αβ dr rg resstor dpt dhtug deg megguk l-l ege d vektor-vektor ege yg ortoorml dr mtrks Lple L. Mtrks Lple L dpt dperoleh dr hubug gmbr rg resstor. Setelh dperoleh l Resstor Peggt R αβ, mk dpt dhtug besry l rus lstrk I dr rg lstrk tersebut deg megguk Slb 4... uu uu dr peuls skrps dlh utuk megethu bgm hubug tr l-l ege d vektor-vektor ege yg ortoorml dr sutu mtrks Lple L dlm mer l Resstor Peggt d tr du smpul d l rus lstrk I yg meglr pd sutu rg lstrk yg kompleks. Jrg lstrk yg kompleks terdr dr beberp rg resstor d beberp sumber tegg lstrk V. II LADASA EORI. Mtrks erkut dberk beberp defs tetg mtrks yg med lds teor utuk bb pembhs. Defs Opers rs Dsr Mtrks I. Slg meukrk brs ke- deg brs ke-, dber ots E, deg. II. Meglk brs ke- deg sutu kostt k, dber ots E k. III. Meemptk tu megsk brs ke- deg k kl brs ke- dtmbh brs ke-, dber ots E k deg. [Leo, 998] Defs etuk Eselo rs ereduks Sutu mtrks dktk memlk betuk eselo brs k etr buk ol pertm dlm setp brs dlh. k brs k tdk seluruhy megdug ol, mk byky etr ol d bg muk pd brs k lebh besr dr byky etr ol d bg muk pd brs k, k terdpt brs-brs yg etry semuy dlh ol, mk brs-brs berd d bwh brs-brs yg memlk etr-etr buk ol. Sutu mtrks dktk memlk betuk eselo brs tereduks k : mtrks memlk betuk eselo brs, etr buk ol pertm dlm setp brs dlh stu-stuy etr buk ol dlm kolom yg bersgkut. [Leo, 998] Defs 3 Mtrks Hermte Mslk M m dlh sutu mtrks m deg m b utuk setp d, mk M dpt dtulsk dlm betuk M A deg A d b mempuy etr blg rel. Dpt ddefsk mtrks sekw M deg M A. rpos dr M dlmbgk sebg M H. Sutu mtrks M dsebut Hermte k M M H. [Leo, 998] Ilustrs : 3 H 3 M mk M M 4 4 Defs 4 Kroeker Produts Mslk A m mempuy orde m d b st mempuy orde s t, mk A m m m deg ukur mtrks A dlh ms t. Ser khusus, utuk u u, u,, u, v v, v,, v C, deg C dlh hmpu blg kompleks mk u v uv,..., uv,..., uv,..., uv [Zhg, 999]

13 Ilustrs : 3 A d mk A Defs 5 Kroeker Sum Mslk utuk sutu blg bult r, s, k, mtrks A R r,r, R s,s d I k dlh sutu mtrks detts yg berorde k. Jumlh A I I dsebut sebg Kroeker s r Sum dr mtrks A d.. Grf erkut dberk beberp defs tetg grf yg k med lds dsr utuk pembhs mter seluty. Defs 6 Grf Sutu grf dlh psg terurut V, E deg V dlh hmpu berhgg d tkkosog dr eleme-eleme grf yg dsebut smpul ode, verteks d E dlh hmpu psg tkterurut dr smpulsmpul berbed d V. Setp {p, q} E deg p, q V dsebut ss edge d dktk meghubugk smpul-smpul p d q. Mslk dberk grf G V, E. Jk e {p, q} E mk p d q msg-msg dktk det deg e. Mslk dberk grf G V, E. Jk e {p, q} E mk p dktk det deg q, d seblky. Dert smpulv ytu byky ss yg det deg smpul v. [Foulds, ] Defs 7 Dgrf Sutu grf berrh/dgrf dreted grph dlh psg terurut V,A, deg V dlh hmpu tkkosog d hgg d A dlh hmpu psg terurut elemeeleme berbed d V. Eleme dr A bs dsebut r ss berrh. Mslk dberk dgrf D V, A. Jk e {p, q} A mk p d q msg-msg dktk det deg e. Mslk dberk dgrf D V,A. Jk e {,} mk det dr e k ss berrh e meuh smpul d det ke e k ss berrh e medekt smpul. [Foulds, ] Defs 8 Wlk Sutu wlk pd grf G V, E yg meghubugk smpul v deg v dlh sutu brs smpul verteks d ss edge dr G deg betuk <v, {v, v }, v, {v, v 3 }, v 3,..., v -, {v -, v }, v > d dpt dtulsk sebg <v, v,..., v > tu v, v,..., v. Sutu wlk yg meghubugk v deg v dktk tertutup losed wlk k v v. Jk tdk v v mk wlk tersebut dktk terbuk. [Foulds, ] Defs 9 Mtrks Dert/Degree Mtr Mtrks Dert D utuk sutu grf G V,E deg V dlh sutu mtrks perseg yg ddefsk sebg { deg v k d : sely deg degv dlh dert smpulv ytu byky ss yg det deg smpul v d V meytk byky smpul d G. [Ske, 99] Defs Mtrks Adey Sutu mtrks dey dr grf G V, E dlh A deg, k vdet deg v, k sely utuk v, v V d v, v E. [Foulds, ] Defs Mtrks Lple Mtrks Lple utuk sutu grf G ddefsk sebg L D A deg D dlh mtrks dert dr grf G d A dlh mtrks dey dr G. Deg perkt l, k dberk sutu grf G deg smpul, mk mtrks Lple L l ddefsk sebg deg v, k l : -, k d v det v, sely Ilustrs : Perhtk gmbr grf berkut. G : v v v 4 v 3 [edto, et l., ] Gmbr. Grf deg 4 smpul d 5 ss.

14 3 Dr gmbr grf tersebut dpt dperoleh mtrks dert D d mtrks dey A. 3 D d A 3 Mk mtrks Lple L D A 3 L. 3 erkut dbhs mtrks yg dperoleh dr sutu dgrf D V,A. Defs Mtrks Idee Mtrks dee pd sutu dgrf dlh mtrks berukur m yg merepresetsk hubug tr smpul d r ss berrh pd sutu grf berrh. Jk dlh byky smpul d m dlh byky r ss berrh mk utuk kompoe brs d kolom pd mtrks dee dlh, k r det dr smpul -, k r det ke smpul, k r tdk det deg smpul [Wtks & Wlso, 99] Ilustrs : D : v v d e b v 4 v 3 Gmbr. Dgrf deg 4 smpul d 5 r ss berrh. Dr dgrf D pd Gmbr. d ts dpt dperoleh mtrks dee :.3 Albr Ler erkut dberk beberp defs tetg mter lbr ler yg med lds teor utuk pembhs seluty. Defs 3 Rug Vektor Mslk V dlh hmpu d m ddefsk opers-opers peumlh d perkl deg sklr. Hmpu V bersm-sm deg opers-opers peumlh d perkl deg sklr dktk membetuk sutu rug vektor k ksom-ksom berkut dpeuh. A. y y utuk setp d y d V. A. y z y z utuk setp, y, z d V. A3. erdpt eleme d V sehgg utuk setp V. A4. Utuk setp V terdpt eleme d V sehgg. A5. α y α αy utuk setp sklr α d setp d y d V. A6. α β α β utuk setp sklr α d β d setp V. A7. αβ αβ utuk setp sklr α d β d setp V. A8.. utuk setp V. [Leo, 998] Defs 4 Rug Vektor g Jk S dlh hmpu bg tkkosog dr sutu rug vektor V, d S memeuh syrt : α S, utuk semu S, d α dlh sembrg sklr, y S, utuk semu d y S, mk S dsebut rug bg dr V. [Leo, 998] Defs 5 Rug ol d ults A Mslk A dlh mtrks m. Hmpu semu peyeles dr sstem homoge A membetuk rug bg dr R yg dsebut rug ol ullspe dr A d dotsk deg A { R A }. ultsa dlh byky ggot ukur dr rug ol ullspe dr A. [Leo, 998] Defs 6 Kombs Ler Jk,,..., dlh vektor-vektor dlm R m d,,..., dlh sklr-sklr, mk umlh berbetuk... dsebut sutu kombs ler ler ombto dr vektor-vektor,,...,. [Leo, 998] Defs 7 ebs Ler Vektor-vektor v, v,..., v dlm rug vektor V dsebut bebs ler lerly depedet k v v... v megkbtk semu sklr,..., hrus sm deg ol. [Leo, 998]

15 4 Defs 8 ergtug Ler Vektor-vektor v, v,..., v dlm rug vektor V dsebut bergtug ler lerly depedet k terdpt sklr-sklr,,..., yg tdk semuy ol sehgg v v... v. [Leo, 998] eorem Mslk A mtrks perseg. Jk deta mk A, A,..., A dlh slg bergtug ler. Ctt : A, A,..., A dlh vektor-vektor kolom ke- dr mtrks A. UKI : Dkethu deta mk A sgulr, sehgg A mempuy peyeles tktrvl utuk setp. Jd A A... A. Kre mk,, 3,..., dlh sklr tdk semuy ol. Jd, A, A,..., A dlh slg bergtug ler. erbukt Defs 9 l Ege d Vektor Ege Mslk A dlh sutu mtrks. Sklr dsebut sebg sutu l ege tu l krkterstk hrterst vlue dr A k terdpt sutu vektor tkol v, sehgg memeuh Av v. Vektor v dsebut vektor ege tu vektor krkterstk dr. Mslk A dlh mtrks d dlh sutu sklr. Peryt-peryt berkut dlh ekuvle. dlh l ege dr A. b A Iv mempuy peyeles tktrvl. A I {}. d A I dlh sgulr. e deta I. [Leo, 998] eorem Mslk A d dlh mtrks perseg deg etr blg kompleks yg msgmsg berorde m m d deg ll ege d µ,,..., m,,...,. Mk l-l ege dr A dlh µ,,..., m,,...,, d l-l ege dr A I I m dlh µ,,..., m,,...,. [Zhg, 999] UKI : lht d Lmpr 3. eorem 3 Mslk A R r,r d R s,s d Au u,,..., r, v µ v,,..., s, mk utuk,..., r,,..., s A u v µ u v A I s I r u v µ u v [Lyhe, 6] UKI : Dr eorem dperoleh A u v Au v u µ v u v u v. µ µ Dr persm d ts dpt dperoleh A I s u v u v, d I u v µ u v r hsly sekrg dguk utuk membuktk persm kedu A I I u v s r A I s u v I r u v Au I sv I ru v u I sv I ru µ v I s u v I r µ u v u v µ u v µ u v. Jd l-l ege dr sutu Kroeker produt sum dlh produts sums dr l-l ege yg berbed mlk mtrks A d. Vektor-vektor ege dr sutu Kroeker produt sum dlh hsl kl dr vektor-vektor ege mlk mtrks A d. erbukt Seluty k dbhs sutu teorem tetg l-l ege d vektor-vektor ege dr proses Kroeker produt mtrks. eorem 4 Mslk A R mempuy l-l ege, [,], d mslk R m m mempuy l-l ege µ, [,m]. Mk m ll ege dr A dlh µ,..., µ m, µ,..., µ m,..., µ m. Seluty, k,..., p dlh vektor-vektor ege k yg bebs ler dr A bersesu deg,..., p p, d z,..., z q dlh vektor-vektor ege k yg bebs ler dr bersesu deg µ,..., µ q q m, mk z R m dlh vektorvektor ege k yg bebs ler dr A bersesu deg µ, [,p], [,q]. [Lub, 4]

16 5 UKI : Ctt : vektor-vektor ege k dlh vektor-vektor ege yg terletk dtuls d sebelh k sutu mtrks tu sklr. Mslk A mempuy l-l ege,, mk A, d mslk mempuy l-l ege µ, m, mk z µ z, m. Mslk ug,..., p dlh vektor-vektor ege k yg bebs ler dr A bersesu deg l-l ege,..., p p k terdpt mtrks X deg vektor ege kolom ke- utuk,..., sehgg berlku X - AX D d z,..., z q dlh vektor-vektor ege k yg bebs ler dr bersesu deg µ,..., µ q q m k terdpt mtrks Z deg z vektor ege kolom ke- utuk,..., sehgg berlku ug X - AX D. D D X AX Z Z X X A Z Z X Z A X Z X Z A X Z. Jd, X Z dlh sutu mtrks yg mempuy m vektor kolom yg bebs ler deg z vektor ege kolom ke- utuk,..., m. Seluty A z A z µ z z z. µ µ Jd, m l-l ege dr A dlh µ,..., µ m, µ,..., µ m,..., µ m. egtu ug A X Z AX Z A z µ z z z µ µ Jd z R m dlh vektor-vektor ege k yg bebs ler berbed dr A bersesu deg µ, p, q m. erbukt eorem 5 Sutu mtrks A M dlh sgulr k d hy k σa. Ctt : σa dlh hmpu l-l ege dr mtrks A. [Hor & Johso, 985] UKI : Mtrks A dlh sgulr k d hy k A utuk setp. Hl terd k d hy k A utuk setp, A berlku, k d hy k dlh sutu l ege. erbukt Defs Hsl Kl Dlm Hsl Kl Dlm pd rug vektor V dlh sebuh opers pd V yg memdk setp psg vektor-vektor d y d dlm V deg sebuh blg rel <,y> yg memeuh syrt berkut : <, > deg persm berlku k d hy k. <, y> <y, > utuk semu d y d dlm V. <α βy, z> α<, z> β<y, z> utuk semu, y, z d dlm V d semu sklr α d β. Sebuh rug vektor V deg hsl kl dlmy dsebut rug hsl kl dlm. Hsl kl dlm bku utuk R dlh hsl kl sklr <, y> y. [Leo, 998] Defs orm Sebuh rug vektor V dktk rug ler berorm ormed ler spe k utuk setp vektor v V dktk deg sebuh blg rel v yg dsebut orm dr v yg memeuh : v > deg kesm berlku k d hy k v. α v α v utuk tp sklr α. v w v w utuk semu v, w V. [Leo, 998] Defs Hmpu Ortogol d Ortoorml Mslk v, v,, v dlh vektorvektor d dlm sebuh rug hsl kl dlm V. Jk <v, v > blm, mk {v, v,, v } dktk sebg sebuh hmpu ortogol dr vektor-vektor. Sebuh hmpu ortoorml dr vektorvektor dlh sebuh hmpu ortogol dr vektor-vektor stu. Hmpu {u, u,, u } k med ortoorml k d hy k <u, u > δ deg k δ k

17 6 Jk dberk hmpu ortogol dr vektorvektor tkol {v, v,, v }, mk dmugkk utuk membetuk sebuh hmpu ortoorml deg medefsk u v v utuk,,, deg v < v, v >. [Leo, 998] Defs 3 Mtrks Ortogol Sebuh mtrks Q yg berorde dktk sebg mtrks ortogol k vektor-vektor kolom dr Q membetuk sebuh hmpu ortoorml d dlm R, mk Q dpt dblk d Q Q - sehgg Q Q I. [Leo, 998] Ilustrs : / 3 / / 6 Q / 3 / 6 mk / 3 / / 6 Q / / / 3 6 / / 3 6 / 3 / Q / 6 Dpt dtuukk bhw vektor-vektor kolom dr Q membetuk sebuh hmpu ortoorml ytu / 3 / / 6 u / 3, u, u 3 / 6 / 3 / / 6 mk <u,u > <u,u 3 > <u,u 3 >, <u,u > <u,u > <u 3,u 3 >, d u u u. 3 Defs 4 Mtrks Uter Mtrks uter U dlh sutu mtrks kompleks tu rel yg memeuh U H U UU H I, k vektor-vektor kolomy membetuk sutu hmpu ortoorml dlm C, deg U H U - d detu utuk sutu mtrks uter U, mk sutu mtrks uter sesugguhy dlh mtrks ortogol. Ctt : mtrks U H U. [Zhg, 999] Ilustrs : / 3 / / 6 U / 3 / 6 mk / 3 / / 6 U / / / 3 6 / / 3 6 / 3 / U / 6 eorem 6 Utuk mtrks-mtrks A,, C, d D deg ukur yg berbed, berlku. A C D AC D,. A * A * *, deg A * A d *, 3. A A k A d dlh mtrks tksgulr, 4. A A, 5. A dlh uter k A d dlh uter. [Zhg, 999] UKI : lht d Lmpr. Defs 5 Mtrks Deft Sutu mtrks smetrk rel A dsebut deft postf k A > utuk semu tkol dlm R. deft egtf k A < utuk semu tkol dlm R. semdeft postf k A utuk semu tkol dlm R. v semdeft egtf k A utuk semu tkol dlm R. [Leo, 998] Defs 6 Mtrks Deft Postf Sft-Sft Mtrks Deft Postf Smetrk : Sft I. Jk A dlh mtrks deft postf smetrk, mk A tksgulr. Sft II. Jk A dlh sutu mtrks deft postf smetrk, mk deta >. Sft III. Semu l-l ege mtrks deft postf smetrk A dlh postf. Sft IV. Jk A dlh sutu mtrks deft postf smetrk, mk submtrks utm A, A,..., A dr A dlh deft postf. Sft V. Jk A dlh mtrks deft postf smetrk, mk A dpt dreduks med mtrks segtg ts hy deg megguk opers brs III d semu eleme-eleme porosy dlh postf. Sft VI. Jk A dlh sutu mtrks deft postf, mk A dpt dfktork ke dlm hsl kl LDL, deg L dlh mtrks segtg bwh deg eleme-eleme sepg dgol d D dlh sutu mtrks dgol

18 7 yg etr-etr dgoly postf semu. Sft VII. Dekomposs Cholesky Jk A dlh mtrks deft postf smetrk, mk A dpt dfktork ke dlm sutu hsl kl LL, deg L dlh mtrks segtg bwh deg eleme-eleme dgol postf. [Leo, 998].4 Jrg Lstrk d Jrg Resstor erkut beberp defs tetg rg lstrk d rg resstor yg k med lds teor utuk mter bb pembhs seluty. Defs 7 Kods ts ebs Kods ts ebs dlh sutu wlk terbuk yg megdug setdky tg smpul d semu smpuly berbed yg meghubugk deg deg syrt. [zeg & Wu, ] Defs 8 Kods ts Perodk Kods ts Perodk dlh sutu wlk tertutup yg megdug setdky tg smpul d semu smpuly berbed yg meghubugk deg deg syrt. [zeg & Wu, ] Defs 9 Peuru egg V Peuru tegg tu bed potesl V dlh perbed tr umlh elektro yg berd dlm sutu mter mslk dlm sutu kwt lstrk tu bed peghmbt. erdpt hubug V RI k V dlh bed potesl tr kedu uug bed peghmbt. R dlh resstor th tu peghmbt, dlh sutu kompoe elektrok yg dpt meghmbt gerk luy rus lstrk. I dlh besr rus yg mellu bed peghmbt. Mslk dberk grf rg resstor yg terdr dr ss edge, d setp ss ke-,,, msg-msg terdpt stu resstor deg l ressts sebesr R ohm. Mk berdsrk Hukum Ohm dpt dperoleh peuru tegg V d setp ss ke- dlm betuk ots mtrks ytu V RI, deg v R v V, I, R v R R V sutu mtrks berorde deg kompoey merupk l bed potesl d setp ss. R sutu mtrks dgol berorde deg kompoe pd poros dgol utm merupk l-l ressts resstor d setp ss. I sutu mtrks berorde deg kompoey merupk l rus lstrk d setp ss. [oble, 969] Defs 3 Hukum Krhhoff / Krhhoff s Lws. Pd setp smpul, mk umlh dr kut rus yg msuk sm deg umlh dr kut rus yg kelur. Krhhoff Curret Lw /KCL. D sekellg setp smpul loop tertutup, mk umlh lbr dr tegg hrus sm deg umlh lbr peuru tegg. Krhhoff Voltge Lw /KVL [Leo, 998] Defs 3 Resstor Peggt Resstor peggt dlh sutu resstor gbug dr beberp resstor yg terletk d tr du smpul, mslk α d β, deg peuru tegg msg-msg V α d V β mk V _ V R α β, αβ I deg R αβ dlh l resstor peggt d tr smpul α d β, d I dlh l rus lstrk yg meglr d tr smpul α d β. [Wu, 4] Defs 3 Jrg Resstor Jrg resstor dlh etwork rg berbetuk grf yg terdr dr smpul yg beromor deg,,,. D setp ss d tr smpul d yg slg det terdpt stu resstor. Mslk r r dlh l ressts dr resstor yg dhubugk oleh smpul d. Mk, l koduktsy dlh r sehgg l k tdk d resstor peghubug tr smpul d. [Csert, ] Ilustrs : Perhtk gmbr rg resstor berkut.

19 8 r 4 r r 4 r 3 4 r 34 3 Gmbr 3. Jrg resstor deg 4 smpul. Defs 33 Jrg Lstrk Jrg lstrk dlh sutu dgrf D V, A yg mempuy tg bg yg bersesu deg setp r ss berrh k : sutu eleme sumber lstrk E k, sutu vrbel rus lstrk k t, d sutu vrbel bed potesl voltse v k t. deg t meuukk wktu. Utuk sutu eleme E k, d tg bg yg dpt drgk sebg sutu rgk sederh, ytu :. Resstor deg Ohm s Lw-y.. Iduktor. 3. Kpstor. 4. Sumber tegg Voltge supply. [Foulds, ] Ilustrs : Perhtk gmbr rg lstrk berkut. E dperoleh sutu mtrks Lple L dr grf rg resstor tersebut ytu : L deg k berl / r k du smpul yg slg det dhubugk oleh stu resstor. k du smpul yg tdk slg det tdk dhubugk oleh stu resstor. d ', k ots ' meuukk bhw persm rus k tdk berlku utuk tetp hrus. Mk ' utuk setp brs d ' utuk setp kolom. deg r dlh l ressts dr resstor d tr smpul d yg slg det. [Wu, 4] Ilustrs : Perhtk gmbr rg resstor berkut. r r r r r r r 4 r 3 Gmbr 5. Jrg resstor deg 4 smpul d l resstor pd setp ss sebesr Ω. 4 3 V Gmbr 4. Jrg lstrk. Deg sums d setp r meglr rus lstrk. Mk mtrks Lple dr grf rg resstor dlh sebg berkut. Defs 34 Mtrks Lple L dr Grf Jrg Resstor Mslk dberk sutu grf rg resstor yg terdr dr smpul, mk dpt Jk dkethu l r Ω. Mk l koduktsy dlh /r /,. Jd mtrks Lple L dr gmbr rg resstor tersebut dlh L.*.. L

20 9 Defs 35 Mtrks L dr Grf Jrg Resstor Mtrks L dlh betuk tksgulr determy buk ol dr L deg membhk sutu mtrks I, L merupk modfks dr L yg berbetuk L L I deg > sutu sklr tu > > - utuk l yg egtf, deg - dlh l-l ege ke- dr mtrks Lple L d I sutu mtrks detts. [Wu, 4] Ilustrs : Mslk utuk l.9 >, mk dpt dperoleh sutu mtrks L ytu L.9 L.9I *..... L Defs 36 Fugs Gree G Fugs gree G dlh vers dr L. Jd G L -, k dkethu L L I, deg sklr > tu > > - utuk l yg egtf, deg - dlh l-l ege ke- dr mtrks Lple L d I sutu mtrks detts. [Ktsur, et l., 97].5 Sft-Sft Mtrks Lple L d L dr Grf Jrg Resstor Sebelum membhs tetg sft-sft mtrks Lple L d L dr grf rg resstor, k dbrk tetg peels l dr mtrks Lple L ytu mege hubug tr mtrks Lple deg mtrks dee yg dperoleh dr sutu grf G V,E yg berrh. eryt mtrks Lple dpt dperoleh dr perkl sutu mtrks dee deg trsposey. etuk umum yg l dr sutu mtrks Lple L dlh L deg sutu mtrks dee yg dperoleh dr sutu grf G V,E yg berrh. Sedgk, mtrks Lple dr sutu rg resstor ytu L C C, utuk sutu mtrks dee dr sutu grf G V,E yg berrh d C sutu mtrks dgol deg l-l pd poros utmy l dr kodukts resstor d setp ss. Jk L C mk l dr kompoe utuk brs d kolom dr mtrks L dlh L umlh dr semu l pd ss-ss yg bertemu pd smpul. k ss meghubugk smpul d k yg det L k k tdk d ss d tr smpul - smpul yg det Deg dlh l kodukts dr resstor pd ss. erkut beberp sft tetg mtrks Lple L d L yg dperolh dr sutu grf rg resstor.. Mtrks Lple dperoleh dr hubug gmbr rg resstory. [Doev] UKI : etuk umum dr mtrks Lple rg resstor dlh sutu odute mtr yg berbetuk L C C deg dlh sutu mtrks dee ode-r dr sutu grf G yg berrh, d C dlh sutu mtrks dgol deg elemeeleme dgol utmy dlh l kodukts vers dr l ressts resstor d setp r ss berrh dr grf rg resstor G yg berrh. Kre mtrks d C msg-msg dperoleh dr sutu gmbr grf d rg resstor, mk mtrks Lple dperoleh dr hubug gmbr rg resstor.. Setp etr buk ol sel etr-etr pd dgol utm, dr mtrks Lple dlh l dr kodukts resstory sehgg l /r deg r l ressts d tr smpul d yg det. 3. Jumlh kompoe setp kolom dlm stu brs sm deg ol d umlh kompoe setp brs dlm stu kolom sm deg ol. 4. Mtrks L hy mempuy stu l ege deg l. UKI : Adk mtrks L mempuy lebh dr stu l ege yg berl. Mk berlku L, utuk,, d yg bersesu deg vektorvektor ege. Seluty dpt dperoleh L yg mempuy solus tktrvl. etp, kre rug vektor ol dr L yg

21 memeuh L hy mempuy stu ggot ytu vektor α,,,, α sutu sklr. Mk utuk α,,, persm L berlku k d hy k. Jd, mtrks L hy mempuy stu l ege deg l. Hl kotrdks deg pegd. 5. Mtrks L dlh mtrks semdeft postf smetrk sedg mtrks L dlh mtrks deft postf smetrk. UKI : Utuk bukt legkp lht d b pembhs 3.. Ak dtuukk bhw L dlh sutu mtrks semdeft postf. Utuk setp dlm R mk L > utuk sutu l ege dr L peels peghtugy d Pembhs 3.. Kre dlh slh stu l ege dr L yg bersesu deg vektor ege α,,, deg α sutu sklr mk d l L yg berl L. Jd, k utuk sutu mtrks L mempuy l L mk L semdeft postf. 6. L dlh mtrks sgulr sedg L dlh mtrks tksgulr. UKI : Setelh dlkuk opers brs dsr yg berhgg byky terhdp mtrks L mk dpt dperoleh sutu mtrks U E k E k E L yg merupk sutu mtrks eselo brs. Kre mtrks U memlk stu brs terkhr yg seluruhy berl, mk detu. Jd, dpt dsmpulk bhw detl detu. errt L dlh mtrks sgulr. Dkethu bhw L L I, mk setelh dlkuk opers brs dsr yg berhgg byky terhdp mtrks L mk dpt dperoleh sutu mtrks segtg ts V yg semu eleme-eleme porosy eleme dgoly dlh postf. Hl dpt terd kre L merupk sutu mtrks smetrk deft postf lht sft kelm dr mtrks deft postf smetrk d lds teor. Jd, detv detl berrt mtrks L dlh tksgulr. 7. Mtrks L mempuy l-l ege berl postf. UKI : Utuk bukt legkp lht d eorem 9, lht ug sft ketg dr mtrks deft postf smetrk d lds teor. 8. Pd mtrks L l sklr hrus > tu > > - utuk l yg egtf, deg - dlh l-l ege ke dr mtrks Lple L kre k < - < deg l ege d > mk L dlh mtrks deft egtf smetrk. UKI : Utuk bukt legkp bhw mtrks L dlh mtrks deft postf d proses peghtug L utuk setp d R yg legkp lht d pembhs 3.. Jk L dlh sutu mtrks deft postf mk l L > utuk setp d R deg >. Mslk utuk l < - < < mk L <. Jd, utuk l < - < mk mtrks L dlh mtrks deft egtf..6 eorem-eorem tetg Mtrks Lple L d L erkut teorem-teorem yg berhubug deg sft-sft mtrks Lple. eorem 7 l l l l l l Mslk L sutu l l l mtrks Lple. Jk l, {,..., } mk dlh l ege dr L. Ctt : Mtrks Lple L dpt dytk oleh vektor-vektor kolomy, ytu l L L [ LL L] ; deg l. Kre umlh dr setp kompoe pd kolom-kolom mtrks Lple L sm deg ol, mk berlku L. UKI : Dkethu l l l... l, {,..., } l l... l l l... l l3 l3... l3 l l... l

22 l l l l l l l3 l3... l 3 l l l Mslk dlh slh stu l ege dr L yg bersesu deg vektor ege v. Ak dtuukk L Iv Lv Iv Lv Iv Iv v. Mk Lv v, sehgg dperoleh lv lv... lv v lv lv... lv v lv lv... lv v lv lv... lv v v deg v. v Jd L v L v... L v v. Dpt dperoleh kesmpul bhw detl detl. Deg megguk opers brs dsr yg berhgg byky terhdp mtrks L mk dpt dperoleh hsl sepert berkut. l l l l l l l l l l l l E l l l E L ~ ~ l l l l l l l l... l l l... l l l... l l l l l l l L l l l l l l Kre detl berrt L, L, L 3,..., L dlh slg bergtug ler. Mk d sutu sklr v, v, v 3,..., v yg tdk semuy ol, sehgg v L v L... v L.... Sert v L v L... v L v... 3, mk dr persm-persm d 3 dpt dperoleh v. Kre v, mk supy persm v dpeuh, k d hy k hruslh. Jd hrus med l ege dr L. erbukt UKI : Setelh dperoleh kesmpul bhw detl. Dpt dkethu bhw L dlh mtrks sgulr. Jk L mtrks sgulr mk berdsrk eorem 5 dlh slh stu l ege dr mtrks L. erbukt eorem 8 Jk L memlk l ege mk L memlk vektor ege. UKI : Mslk l ege yg dmlk oleh L deg,,..., beberp dr boleh sm. Mk berlku L, utuk setp, dlh vektor kolom ke- dr LX deg X dlh mtrks dm vektor kolom ke- dlh, k dlh vektor ege yg dmlk oleh, berrt X dlh bebs ler. Adk utuk deg,,..., m deg m > mk dperoleh bhw X dlh bergtug ler. Kotrdks deg fkt bhw X bebs ler. Jd hruslh m. Mk utuk setp, dlh l ege dr L d dlh vektor ege yg dmlk oleh. Mk berlku L d LX L, L,..., L,,...,,,..., XD.

23 Kre vektor-vektor kolom X dlh bebs ler, mk L mempuy vektor ege yg bebs ler. erbukt eorem 9 Jk,..., dlh l ege dr L mk,..., dlh l ege dr L. UKI : Mslk,..., dlh l ege dr L yg bersesu deg vektor ege ortoorml,...,. Kre,..., dlh l ege yg berbed dr L d L mempuy vektor ege berbed yg slg bebs ler. Mk terdpt mtrks pedgol X deg X,..., d sutu mtrks dgol D. Mtrks pedgol X dlh mtrks tksgulr deg vektorvektor kolom dr X merupk vektor ege berbed yg slg bebs ler. X dpt medgolss L sehgg berlku X - LX D. Kre L ug mempuy vektor ege ortoorml yg sm deg mlk L, mk X ug dpt medgolss L L I k berlku ug X - LX D X - LX X - L, L,..., L. Kre X sutu mtrks uter d ortogol mk X - X d X - LX X LX,,..., L, L,..., L L L L,, L L L L L L L L L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L D Kre l-l pd dgol utm merupk l-l ege mk,..., dlh l-l ege dr L L I. erbukt III PEMAHASA Mslh dlm teor rg lstrk yg byk dpelr oleh pr lmuw ytu tetg peghtug l ressts d tr du smpul ttk pd sutu rg resstor. Mslh ressts resstor serg dpelr tu dbhs sebg stu bg dlm mslh peyeles persm dfferesl, terutm utuk mslh rg tkhgg fte etworks. Sehgg, sedkt lmu yg mu membhs tetg mslh rg hgg fte etworks, pdhl sgt berhubug ert deg kehdup yt. Pd bb k dbhs tetg mslh d peyelesy dlm sutu formul rumus

24 3 umum utuk mslh rg hgg fte etworks. eor tetg rg lstrk utuk pertm kly dformulsk oleh Krhhoff dlm betuk Hukum Krhhoff Krhhoff s Lws sebg stu mslh lss ler. Sebg pedhulu, mslk dmbl mslh tetg mtrks Lple yg sgt berhubug deg rg resstor resstors etwork, kre pd mtrks Lple l-l d setp etry merupk l-l dr kodukts dr resstor yg dhubugk oleh smpul-smpul odes yg slg det. Mslk terdpt sutu rg resstor terdr dr smpul yg beromor deg,,...,. Mk dr rg resstor tersebut dpt dperoleh sutu mtrks Lple L berukur. Pd rg resstor tersebut, dpt dperoleh ug potesl lstrk pd setp smpul ke- dlmbgk deg V d kut rus lstrk dlm rg resstor yg meglr pd setp smpul ke- dlmbgk deg I. Kre tdk d sumber rus lstrk yg msuk dr lgkug du lur rg, mk berlku I 4 erdsrk hukum Krhhoff berlku ' V V I,,,, 5 deg ots ' meuukk bhw persm rus kr tdk berlku utuk kods. Ser eksplst, Persm 5 dpt dtulsk sebg LV I 6 deg V d I dlh msg-msg vektor berukur yg mempuy kompoe msg-msg V d I. Utuk meghtug l ressts R αβ d tr du smpul α d β, dlm perob d bdg Fsk mk smpul α d β terlebh dhulu dhubugk deg sumber lstrk berup sutu bter d rus sebesr I k kelur dr bter ketk tdk d smpulsmpul yg dhubugk deg sumber lur yg l. Peghtug l ressts d tr du smpul α d β, R αβ, berhubug deg peyeles Persm 5 utuk V α d V β deg rus lstrky dberk sebg betuk I I δ α δβ 7, k potesl tegg lstrk pd du smpul α d β, ytu msg-msg V α d V β, mk l ressts d tr du smpul α d β dlh V _ V R α β, αβ I utuk pembhs seluty, l ressts d tr du smpul dhtug deg megguk l-l ege d l-l vektor ege ortoorml dr mtrks Lple. 3. eorem Ressts Du-Smpul Mslk sutu rg resstor deg mtrks Lple L mempuy l-l ege tkol yg bersesu deg vektorvektor ege ortoorml u u, u,, u,, 3,,. Mk l ressts d tr smpul α d β dberk oleh R u u αβ 8. α β UKI : Sebg pedhulu k dtetuk ultsl. Kre L dlh sutu mtrks sgulr d slh stu sft dr mtrks L ytu umlh dr kompoe-kompoe setp kolom dr L sm deg ol mk mtrks L dpt dreduksk med betuk eselo brs deg opers-opers brs yg berhgg byky. Jd mslk dperoleh U E k E k E L. Mk pst U memlk stu brs yg seluruhy terdr dr ol. Dpt drtk, k L mtrks sgulr, mk mtrks U memlk stu brs terkhr yg seluruhy terdr dr ol d deg demk detu. Setelh dlkuk opers brs dsr terhdp mtrks L dpt dperoleh sutu betuk eselo brs tereduks berbetuk U. Mtrks U d ts k memudhk dlm mer peyeles sstem berbetuk U sebg trsforms dr sstem berbetuk L. Mk sstem L sekrg sudh dpt dtetuk peyelesy, ytu α,,,, sehgg dpt dperoleh rug vektor ol A terdr ts semu vektor yg berbetuk α,,,, deg α sutu sklr mk ultsl. Kre ultsl mk hy d stu ggot dr rug vektor ol A ytu berbetuk α,,,. Seluty dpt dbuktk bhw vektor α,,, k med stu vektor ege

25 4 sebg ggot vektor-vektor ege dr mtrks L, yg bersesu deg stu l ege dr mtrks L, sehgg k berlku L k d hy k, deg α,,,. errt hy d stu l ege yg berl ol, bersesu deg vektor ege α,,,. Proses pembukt dmul deg meyelesk persm LV I ytu deg mer vers dr mtrks Lple L, tu dsebut ug fugs Gree G. etp, kre mtrks L hy mempuy stu l ege yg berl ol, sebg kbt dr umlh setp kolom tu brs dr mtrks L sm deg ol d setp vektor kolom tu vektor brs dr mtrks L slg bergtug ler. ermplks bhw mtrks L dlh sgulr berrt determ mtrks L tersebut sm deg ol. Mk mtrks L tdk mempuy vers, supy mtrks L mempuy vers ry mtrks L hrus dbut med sutu mtrks tksgulr sehgg vers dr L sekrg sudh dpt dtetuk. Deg membhk sutu l sklr yg kel, mslk, dlm betuk I kepd mtrks Lple L, deg I dlh mtrks detts berorde, sert syrt dr l tersebut dlh > tu > > - utuk l yg egtf, deg - dlh l-l ege ke- dr mtrks Lple L. Deg meemptk l pd pedekt khry. Sehgg dpt dperoleh betuk mtrks Lple L yg dmodfks ytu L L I. etuk dr l-l eleme mtrks L dlh sm betuky deg l-l eleme mtrks L keul pd l-l eleme-eleme dgol l dgt ly deg l. Seluty kre L sutu mtrks smetrk dpt dbuktk bhw pd mtrks L k berlku L L, rty l l, mk setelh dlkuk peghtug deg semu tkol dlm R ytu L k berl L >. Ak dtuukk L mtrks smetrk deft postf, k dlh sembrg vektor tkol dlm R, mk dpt dtulsk dlm betuk α α α α α sutu sklr lht Leo, 998 deg {,, } dlh hmpu vektor-vektor ege ortoorml dr L lht Leo, 998. Jd, k {,, } dlh sebuh rug hsl kl dlm X d α, mk α <, > <,> utuk,, lht Leo, d α > lht Rumus Prsevl, Leo, 998. Kre vektor-vektor ege ortoorml dr L mk L α L α L α L α L α α α α α α α α α α α α α m > L >. Dpt dperoleh kesmpul bhw mtrks L dlh mtrks smetrk deft postf. Jd utuk > tu > > - utuk l yg egtf, deg - dlh ll ege ke- dr mtrks Lple L kre L mtrks smetrk deft postf mk mtrks L dlh tksgulr lht sft mtrks smetrk deft postf d semu l-l ege dr L dlh postf lht sft mtrks smetrk deft postf. Seluty dperoleh bhw L mempuy l-l ege lht eorem 9 d L mtrks rel smetrk dpt ddgolssk oleh trsforms uter tu dlm betuk mtrks uter lht teorem mtrks uter, Leo, 998 yg sm deg medgolssk mtrks L. Ivers dr mtrks L sekrg dpt ddefsk keul pd l. Mslk vers mtrks L dtulsk sebg G L -. Persm LV I dpt dtulsk kembl sebg L V I 9 d deg perkl kr oleh G mk dperoleh G L V G I - L L V G I

26 5 I V G I V G I. Ser eksplst dpt dtulsk V G I,,,...,, deg G dlh eleme ke- dr mtrks G. V G I,,,...,, mk V G I G I G I... G I V G I G I G I... G V G I G I G I... G I deg G dlh eleme ke- dr mtrks G. Seluty k dhtug l dr eleme-eleme fugs Gree G. Dkethu bhw L d L mempuy vektor ege ortoorml berbed yg slg bebs ler. Mslk U dlh mtrks uter d ortogol yg mempuy vektor kolom vektor ege ortoorml berbed yg bebs ler mk mtrks U dpt medgolss L d L U dsebut mtrks pedgol. Kre U dlh tksgulr mk berlku ug D ID D U - UD U u, u,..., u U - u, u,..., u U - Lu, Lu,..., Lu U - LU berrt U - LU D U - LU D.... Dpt dbuktk bhw eleme-eleme dr mtrks U dlh U u, deg u dlh eleme-eleme vektor-vektor brs ege ortoorml mtrks L d L. Sedgk D d D msg-msg mtrks I dgol deg eleme-eleme dgoly δ d δ, deg { k < u, u > u u δ α α α k. Ivers dr persm U - LU D dlh U - GU D -, deg D - mempuy eleme-eleme dgol utm δ δ, d dperoleh deg proses berkut U L U D U [U U U U L U L ] U [ U L L L ] U D U D U G U D erkuty dpt dperoleh UU G UU UD U IG I UD D D D U G UD U tu ser eksplst dperoleh Gαβ U α Uβ u α u β u α uβ u α uβ u u u u α β α β... uα uβ u α dlh eleme brs ke- dr vektor ege ortoorml kolom uαuβ u3αu3β ke-α dr mtrks Lple 3 L, d u β dlh eleme brs ke- dr vektor ege u4αu ortoorml 4β u... kolom αuβ ke-β dr mtrks fugs 4Gree G. Vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks L d G u αu dpt dtuls β dlm betuk vektor-vektor brs ser terurut dr ts ke bwh sesu urut l-l egey sehgg membetuk g mtrks V.... Deg αβ meyubsttusk u αuβ deg g...3. αβ

27 6 u α dlh eleme brs ke- dr vektor ege ortoorml kolom ke-α dr mtrks Lple L, d u β dlh eleme brs ke- dr vektor ege ortoorml kolom ke-β dr mtrks fugs Gree G. Vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks L d G dpt dtuls dlm betuk vektor-vektor brs ser terurut dr ts ke bwh sesu urut l-l egey sehgg membetuk mtrks V. Deg meyubsttusk G g αβ αβ ke dlm V G I,,,..., sebelumy dguk persm I I I I 3 I 4 I, mk utuk β,, d dperoleh Iβ β, V G I,,,...,, mk V G I G I G I... G I V G I G I G I... G V G I α β αβ β G I G I... G αβ β α α α V g I α β I g I αβ β β I g I β αβ β β gαβ Iβ β g I αβ β β β β β I I V α g αβ β I Mk utuk l potesl lstrk d setp ss ke-,,,, ytu V k dperoleh hubug V g I 4 Sekrg mullh membts l guk mpuls Mtemtk deg megmbl l meuu ol, mk berlku β V g I. Akhry deg meggbugk persmpersm Vα V β R, αβ I I I δ α δ β, V g I dpt dperoleh persm R αβ g αα g ββ g αβ g βα yg seluty k med R u u αβ α β setelh dguk persm u u g α β αβ. Proses perhtugy lht d Lmpr 9 sebg berkut : k dkethu persmpersm berkut Vα Vβ R, I αβ I δ α δβ, I I I δ α δ β, V g I, V g I, V g I α α β β 3. Jrg Ressts Du-Smpul Mslk terdpt sutu rg resstor, yg k dgmbrk k membetuk sutu rg resstor berbetuk grf sembrg, mslk berbetuk perseg sembrg deg dgoly tu rg resstor berbetuk grf legkp, deg resstory berd d tr du smpul yg slg det sepert dperlhtk pd Gmbr 6 d Lmpr, mk berdsrk gmbr rg resstor tersebut dpt dperoleh sutu mtrks Lple L. Kemud dr mtrks Lple L tersebut dpt dperoleh l-l ege d vektorvektor ege d v yg memeuh Lv v,,,,. Mslk v α, α,,, dlh ggot dr v. Kre umlh dr kompoe-

28 7 kompoe kolom tu brs dr mtrks Lple L sm deg ol, mk stu dr l-l egey dlh ol. Utuk l ege yg pertm ytu k mempuy vektor ege ortoorml u α /, α,,,. Jk bersesu deg vektor ege v,,..., mk v dpt dbut med vektor ege ortoorml deg <v,v> d v < v, v >. Jd, dperoleh vektor stu u,,..., deg u α /, α,,,. Kre mtrks L dlh mtrks rel yg smetrk, mk L dlh mtrks Hermte lht d Leo, 998. Dpt dbuktk bhw L H L, mk l-l ege sutu mtrks Hermte semuy dlh rel. Seluty, vektor-vektor ege yg dmlk oleh ll ege yg berbed dlh ortogol utuk bukt legkp lht d eorem mtrks Hermte d Leo, 998, sehgg vektorvektor ege v dpt ddk vektor-vektor yg ortoorml. Setelh dhtug l-l ege, utuk, 3,..., yg bersesu deg vektor-vektor ege yg ortoorml u mk dpt dtetuk l ressts d tr du smpul, mslk smpul α d β, R αβ deg megguk formul eorem Ressts Du-Smpul. 3.3 Jrg Stu Dmes deg Kods ts ebs Mslk terdpt sutu rg resstor, yg k dgmbrk k membetuk sutu rg resstor berbetuk grf, dlm betuk grs lurus yg resstory dpsg ser dpsg terurut membetuk brs terdr dr resstor deg smpul-smpul yg beromor mul dr,, 3,, deg kods bts bebs. Peomor smpul berdsrk pd peomor smpul d gmbr grf rg resstory. Perhtk Gmbr 7 d Lmpr. Jk terdpt sutu gmbr rg resstor dlm stu dmes deg kods bts bebs berbetuk grf berrh terdr dr resstor, mslk l ressts dr resstor d setp ss dsumsk sm msg-msg sebesr r ohm, seluty dpt dperoleh sutu mtrks dgol C deg l kompoe poros dgol utm merupk l-l dr kodukts resstor d setp ss sebesr /r r -. Kre l r - dsumsk sm dpt dsumsk bhw l-l r - merupk sutu kostt sehgg mtrks dgol C dpt dtulsk dlm betuk C r - I, deg I mtrks detts berorde. Seluty, dr gmbr grf rg resstor tersebut dpt dperoleh sutu mtrks dee deg berbetuk sehgg k dperoleh sutu mtrks Lple L C r - I r - I r - r - tt : sebery mtrks dee mempuy betuk yg byk / tdk hy stu, sesu deg rh ph yg dbut pd gmbr grf. Mk dr gmbr rg resstor tersebut k terdpt resstor mk dpt dperoleh sutu mtrks Lple L berbetuk { } L r Deg dlh mtrks Deg l-l ege d l-l dr kompoe pd vektor-vektor ege ortoorml dr dlh os Φ,,,..., v utuk, semu. os / Φ, utuk,,,, semu. deg Φ π/. Mk, l ressts d tr smpul d dlh

29 8 R { } v, _ v k l ressts r dlh ohm. Atu dlm betuk umum dlh R { }, os os r Φ Φ osφ Pembukt peghtug utuk meetuk formul rumus l-l ege d l-l dr kompoe pd vektor-vektor ege ortoorml dr dpt dlht d Lmpr. 3.4 Jrg Stu Dmes deg Kods ts Perodk Mslk terdpt sutu rg resstor, yg k dgmbrk k membetuk sutu rg grf berbetuk lgkr yg terdr dr resstor yg msg-msg dhubugk oleh du smpul. Pd rg grf tersebut smpul-smpuly beromor mul dr smp. Peomor smpul berdsrk pd peomor smpul d gmbr grf rg resstory. Sepert dperlhtk pd Gmbr 8 d Lmpr. Jk terdpt sutu gmbr rg resstor dlm stu dmes deg kods bts perodk berbetuk grf berrh terdr dr resstor, mslk l ressts dr resstor d setp ss dsumsk sm msg-msg sebesr r ohm, seluty dpt dperoleh sutu mtrks dgol C deg l kompoe poros dgol utm merupk l-l dr kodukts resstor d setp ss sebesr /r r -. Kre l r - dsumsk sm dpt dsumsk bhw l-l r - merupk sutu kostt sehgg mtrks dgol C dpt dtulsk dlm betuk C r - I, deg I mtrks detts berorde. Seluty, dr gmbr grf rg resstor tersebut dpt dperoleh sutu mtrks dee deg berbetuk sehgg k dperoleh sutu mtrks Lple L C r - I r - I r - r - per tt : sebery mtrks dee mempuy betuk yg byk / tdk hy stu, sesu deg rh ph yg dbut pd gmbr grf. Mk dr gmbr tersebut k terdpt resstor mk dpt dperoleh sutu mtrks Lple L berbetuk per per { } r L deg per Deg l-l ege d l-l dr kompoe pd vektor-vektor ege per ortoorml dr dlh os Φ per Φ e, v,,,..., D l ressts d tr smpul d dlh R per { } per v, per _ v k l ressts r dlh ohm. Atu dlm betuk umum dlh Φ Φ per r e e R, { } osφ deg π Φ. Pembukt peghtug utuk meetuk formul rumus l-l ege d l-l dr kompoe pd vektor-vektor ege ortoorml dr per dpt dlht d Lmpr. 3.5 Jrg Du Dmes deg Kods ts ebs Mslk terdpt sutu rg resstor, yg k dgmbrk k membetuk sutu rg resstor berbetuk perseg pg deg ukur rry brs M smpul deg kods bts bebs.

30 9 Sepert dperlhtk pd Gmbr 9 d Lmpr, yg k dgmbrk lebh lut pd bdg koordt k membetuk sutu grf berbetuk perseg pg yg terdr dr beberp perseg deg seumlh smpul yg merupk ttk-ttk koordt {m,}, deg m M,. Arty perseg pg pd bdg koordt tersebut berukur M yg msgmsg resstor dhubugk oleh du smpul du ttk koordt. Cr memperoleh mtrks Lple L, { M } ytu mslk koordt bdg-m pd gmbr grf rg resstor dgt deg koordt bdg-xy. Kemud dpt dtetuk sutu mtrks Lple I I O O O O I I I O O O L O O O I I I O O O O I I yg bersesu deg gmbr grf bdg- X, deg I sutu mtrks detts berorde, O sutu mtrks ol berorde, L sutu mtrks Lple berorde M M d mtrks Lple L O O O O L O O L O O L O O O O L yg bersesu deg gmbr grf pd bdg-y, deg L sutu mtrks Lple dlm betuk berorde, O sutu mtrks ol berorde, L sutu mtrks Lple berorde M M. Seluty dpt dperoleh sutu mtrks I I O O I I O O L O O O L { M } O I O O O L O O L L O O I O O L O O O O I I O O O L O O I I, berdsrk defs tetg Kroeker Produts dpt dperoleh ug L { M } M M I L. M M Jk dsumsk bhw l dr r - d l dr s -. Mk dr gmbr rg resstor tersebut dpt dperoleh sutu mtrks Lple L berbetuk r s { M } M M L I I deg dlh ots dret mtr produts M d dlh M Deg l-l ege d l-l dr kompoe pd vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Lple L dlh - - m, r osθ s osφ m M m, ; y, m y m, ; y, v v v v dlh hsl dr proses Kroeker produts tr mtrks yg terbetuk dr vektor-vektor ege ortoorml mtrks M d. Proses peghtug mer l-l ege d vektor-vektor ege dr mtrks Lple L dlh sebg berkut, { M } m, m M M u u, mslk R d R, k,,..., m,

31 v µ v,,...,, mk utuk,..., m,,..., M I I M u v I u v I u v M M M u I v I u v M u I v I u µ v M I u v I µ u v M I I M µ u v µ u v, deg tt bhw r - s -. D ressts d tr du smpul r, y d r, y dlh R rr, { M } _ M v v m,, m m, mπ π deg θ m, M Φ. m, ;, y m,;, y 3.6 Jrg Du Dmes deg Kods ts Sldrk Mslk terdpt sutu rg resstor berukur M smpul deg kods bts sldrk, yg k dgmbrk pd bdg koordt M k membetuk sutu rg grf berbetuk pempg meltg dr ss yg megellg bgu rug slder deg kods bts perodk pd bdg-m d kods bts bebs pd bdg- tu berbetuk lgkr dlm du dmes yg terdr dr beberp lgkr deg ukur r-r yg tdk sm dlm kods bts bebs. etp mempuy pust lgkr yg sm, yg msg-msg lgkr dhubugk oleh beberp resstor. errt pd bdg koordt terdpt beberp lgkr yg msg-msg resstory dhubugk oleh du smpul. Mk pd rg grf tersebut d smpul yg terhubug deg tg resstor d d smpul yg terhubug deg empt resstor. Sepert dperlhtk pd Gmbr d Lmpr. Cr memperoleh mtrks Lple L, yl { M } ytu mslk koordt bdg-m pd gmbr grf rg resstor dgt deg koordt bdg-xy. Kemud dpt dtetuk sutu mtrks Lple I I O O O I I I I O O O L O O O I I I I O O O I I yg bersesu deg gmbr grf bdg- X, deg I sutu mtrks detts berorde, O sutu mtrks ol berorde, L sutu mtrks Lple berorde M M d mtrks Lple L O O O O L O O L O O L O O O O L yg bersesu deg gmbr grf pd bdg-y, deg L sutu mtrks Lple dlm betuk berorde, O sutu mtrks ol berorde, L sutu mtrks Lple berorde M M. Seluty dpt dperoleh sutu mtrks I I O I I I O O L yl { M } O I O O L L O O I O O O I I I O I I L O O O O L O O O O L O O O O L, berdsrk defs tetg Kroeker Produts dpt dperoleh ug L { M } M M I

32 L. M M Jk dsumsk bhw l dr r - d l dr s -. Mk dr gmbr rg resstor tersebut dpt dperoleh sutu mtrks Lple L berbetuk yl per r s { M } M M per M L I I d dlh per M sert hy berbed dlm ukur orde mtrks. Deg l-l ege d l-l dr kompoe pd vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Lple L dlh m, ; y, - - θm m, r os s os Φ v M θ m e v y v dlh hsl dr proses Kroeker m, ; y, produts tr mtrks yg terbetuk dr per vektor-vektor ege ortoorml mtrks M d. Proses peghtug mer l-l ege d vektor-vektor ege dr mtrks yl Lple L dlh sebg berkut, { M } per m, m M R per M u u v µ v, mslk d R, k,,..., m,,,...,, mk utuk,..., m,,..., per I I u v M M per I u v I u v M M per M M u I v I M u µ v u v I M µ u v I I M u v u v, u I v I u v I µ µ deg tt bhw r - s -. D ressts d tr du smpul r, y d r, y dlh yl R rr, { M } _ M v v m,, m m, mπ π deg θm, M Φ m, ;, y m, ;, y 3.7 Peghtug l Resstor Peggt Megguk l Ege d Vektor Ege Ortoorml dr Mtrks Lple deg Slb 4. Utuk meghtug l Resstor Peggt R αβ, perhtk proses peghtug berkut.. utk sutu mtrks dee dr grf berrh.. utk sutu mtrks dgol C. 3. utk sutu mtrks Lple L C berdsrk gmbr rg resstory dlm berbg kods. 4. etuk l-l ege d vektor-vektor ege dr mtrks Lple L. 5. etuk vektor-vektor ege yg ortoorml dr mtrks Lple L. 6. etuk besry l Resstor Peggt R αβ deg megguk l-l ege d vektor-vektor ege yg ortoorml dr mtrks Lple L. 7. Guk formul dlm eorem Ressts Du-Smpul. Sedgk k megguk Slb 4. mk peghtugy dperlhtk d Lmpr Peghtug l Arus Lstrk I deg Slb 4. Utuk meghtug l rus lstrk I pd sutu rg lstrk, perhtk proses peghtug berkut : Ctt : Proses peghtugy ytu berdsrk pd otoh permslh yg dberk berkuty tetg rg lstrk d sutu hotel.. utk persm berdsrk pd Hukum Krhhoff egg KVL yg

33 dpt dbut dlm betuk mtrks V b A sehgg dpt dperoleh trspose dr mtrks dee mslk A. Dperlhtk d hlm setelh Cotoh Permslh. Cr termudh utuk meetpk KVL dlh deg meetpk tegg utuk setp verteks. Seluty, tegg pd resstor yg terletk tr verteks d verteks k ddefsk sebg v k.. utk persm berdsrk pd Hukum Ohm I /R*V yg dpt dbut dlm betuk mtrks ytu I C *V, deg C mtrks dgol vers dr mtrks ressts R lht defs d lds teor. Dperlhtk d hlm setelh otoh permslh. 3. utk persm berdsrk pd Hukum Krhhoff Arus Lstrk KCL yg seluty dpt dbut dlm betuk mtrks *I f. Deg dlh mtrks dee d f dlh mtrks sumber rus. Dperlhtk d hlm setelh otoh permslh. 4. Dr po omor. dperoleh persm mtrks V b A. Deg b dlh mtrks sumber tegg. Substtusk persm ke persm I R - *V I R - *b A RI RR - *b A RI I*b A RI b A RI A b. Deg meggbugk persm d po omor 3. dpt dperoleh betuk R A I b mtrks O. f Dperlhtk d hlm setelh otoh permslh. Kre kolom-kolom dr mtrks gbug bergtug ler, hl megkbtk determy, sehgg vers mtrks gbug tdk terdefs d persmpersm sebelumy k sult utuk dselesk. Deg meetpk beberp smpul sebg verteks dtum tegg pd smpul tersebut, mk dpt dhpus beberp brs dr mtrks sehgg dperoleh mtrks gbug bru yg kolomkolomy bebs ler. Persm-persm yg dmksud pd po omor,, d 3 dlh :. v. /R I v v 3 /R II v v /R III v 3 v /R IV v 4 v /R V v 5 v /R 6 v 6 v /R 7 v 7 v /R 8 v Persm-persm dbut berdsrk gmbr rg lstrk yg dperlhtk d Lmpr pd Gmbr. Seluty k dtuukk hubug tr persm-persm berdsrk Hukum Krhhoff egg KVL, Hukum Ohm, Hukum Krhhoff Arus Lstrk KCL ytu V b A I R - *V C *V f *I d R A I b O f deg mtrks Lple L. Jk dmbl utuk l R Ω,. Mk dr persm R A I b O f dpt dperoleh RI A b * I O f RI b A * I f I R * b A * I f I C * b A * I f I C b C A * I f Substtusk persm I C *b C A ke persm *I f * C b C A f C b C A C C b f L C b f. Jd, dpt dsmpulk bhw mtrks Lple L berbdg lurus deg mtrks dee d deg megguk sutu mtrks Lple L dpt dperoleh sutu peyeles dr mslh rg lstrk. f

34 3 Deg perumus proses peghtugy sebg berkut d dpt dselesk deg megguk Slb 4... etuk sutu mtrks dee.. etuk sutu mtrks dgol C. 3. etuk sutu mtrks sumber tegg b. 4. etuk sutu mtrks sumber rus f. 5. etuk sutu mtrks C b f deg kompoe dr dlh l dr rus lstrk d setp smpul. 6. etuk sutu mtrks Lple L C. 7. etuk sutu mtrks I, deg I sutu mtrks detts. 8. etuk sutu mtrks L L I. 9. Selesk persm L deg kompoe dr dlh l voltge d setp smpul. Proses peghtug deg Slb 4. dperlhtk d Lmpr 8. Cotoh Permslh : erdpt sutu hotel yg terdr dr 5 rug. Ytu rug Ι dlh rug dep dr hotel rug represos, rug ΙΙ terdr dr beberp rug kmr, rug ΙΙΙ dlh rug belkg dpur, rug ΙV merupk rug pertemu rpt sedg rug V berup rug mk d rug st. Peerg pd hotel tersebut megguk peerg lmpu dlm berbg ukur yg berbed. Mslk lmpu-lmpu pd hotel tersebut dsumsk sebg hmbt resstor. Mk dr ked peerg hotel tersebut dpt dtetuk sutu rg lstrk yg terdr dr beberp rg resstor d beberp sumber tegg lstrk V. Dkethu bhw rg resstor pd rug I dpsg berdsrk betuk grf Jrg Ressts Du-Smpul. Jrg resstor pd rug II dpsg berdsrk betuk rg stu dmes deg kods bts bebs. Jrg resstor pd rug III dpsg berdsrk betuk rg stu dmes deg kods bts perodk. Jrg resstor pd rug IV dpsg berdsrk betuk rg du dmes deg kods bts bebs. Sedg rg resstor pd rug V dpsg berdsrk betuk grf rg du dmes deg kods bts sldrk, mk dr forms tersebut dpt dgmbrk sutu rg lstrk berbetuk grf. Sepert dperlhtk pd Gmbr d Lmpr. Sedg gmbr rg resstor d setp rug hotel tersebut dperlhtk pd Gmbr, Gmbr 3, Gmbr 4, Gmbr 5, d Gmbr 6 d Lmpr. Mslk umlh resstor pd setp rug dlh resstor. Pd rug I terdpt 6 resstor, rug II terdpt 3 resstor, rug III terdpt resstor, rug IV terdpt resstor, rug V terdpt 5 resstor. Deg besry l resstor d rug I msgmsg Ω, l resstor d rug II msg-msg 5 Ω, l resstor d rug III msg-msg Ω, l resstor d rug IV msg-msg 5 Ω, l resstor d rug V msg-msg 5 Ω, mk dpt dtetuk beberp mtrks Lple L berdsrk Gmbr Jrg Resstor pd setp rug I, II, III, IV, d V. Ytu sepert dperlhtk d Lmpr. Seluty dhtug l-l ege d vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Lple L tersebut deg megguk Slb 4., lht d Lmpr 4. Mk dpt dtetuk sutu vektor-vektor ege yg ortoorml dr mtrks-mtrks Lple L deg megguk Slb 4.. Kemud l Hmbt Resstor Peggt pd setp rug I, II, III, IV, d V dpt dhtug deg megguk ll ege d vektor-vektor ege ortoorml dr mtrks Lple. Deg l-l Resstor Peggty dtulsk sebg R I, R II, R III, R IV, d R V. Peghtug utuk mer l-l Resstor Peggt dlh megguk Slb 4. dperlhtk d Lmpr 6. Mk dperoleh l-l Resstor Peggt pd setp rug d hotel ytu R I 8.954, R II 75., R III 8., R IV , R V Seluty l rus lstrk yg meglr pd rg lstrk tersebut dpt dhtug deg megguk Slb 4.. erkut perumus utuk permslh d ts dlm betuk mtrks sebelum dbut dlm progrm Slb 4.. erdsrk gmbr rg lstrk yg dperlhtk d Lmpr pd Gmbr.