III PEMBAHASAN. peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "III PEMBAHASAN. peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL"

Transkripsi

1 III PEMBAHASAN 3.1. Betuk Umum dri Mgic Squre, Bilg Mgic, d Mtriks SPL Mislk eleme dri bris ke-i d kolom ke-j dlh i,j mk mgic squrey secr umum dlh 1,1 1, 1,,1,,,1,, Gmbr 1. Betuk umum mgic squre deg: i,j {1,, 3,, } utuk i, j {1,,3,, }...(1) d p,q = r,s p = r q = s utuk semu p, q, r, s {1,,3,, }...() Persm () ii dimksudk utuk mejmi tidk d gk yg terpki du kli, sehigg semu bilg dri 1 smpi deg terpki. Bilg mgic utuk mgic squre tersebut dlh m = j=1 1,j = j=1,j = = j=1,j = i=1 i,1 = i=1 i, = = i=1 i, = i=1 i,i = j=1 j+1,j...(3) Jik seluruh eleme dri mgic squre dijumlhk, mk i=1 j=1 i,j = k=1 k...(4) Dri kedu persm (3) d (4), mk m = 1 ( + 1) m = 1 ( + 1)...() Deg mejbrk persm (3), mk betuk j=1 1,j = m j=1,j = m j=1,j = m i=1 i,1 = m i=1 i, = m i=1 i, = m i=1 i,i = m j=1 j+1,j = m (6) dlh sebuh Sistem Persm Lier (SPL) deg + persm d peubh. Sistem persm (6) dpt dirigks mejdi j=1 i,j = m; i = 1,,, i=1 i,j = m; j = 1,,, i=1 i,i = m j=1 j+1,j = m Mtriks dri SPL ii dlh KA = m deg K = mtriks koefisie berukur ( + ) A = ( 1,1 1, 1,,1,,,1,, ) T m = vektor kolom berukur 1 deg seluruh elemey dlh ili m. 3.. Beberp Opersi Mtriks dri Mgic Squre Beberp opersi mtriks ditry dlh pejumlh, perkli sklr, perkli vektor, d ivers. Pd bgi ii k ditujukk pkh yg terjdi jik opersi-opersi tersebut dilkuk terhdp mgic squre. Jik A d B dlh mgic squre, J dlh mtriks yg semu elemey dlh 1, d k dlh sutu bilg sli, mk k dicri beberp betuk berikut i. ka ii. A + kj iii. A + B iv. AB ka Mislk A dlh mgic squre berukur deg bilg mgic m A. Mislk C = ka, mk c i,j = k i,j d kibty j=1 c i,j = k i,j = k j=1 j=1 i,j = km A ; utuk i = 1,,, i=1 c i,j = k i,j = k i=1 i=1 i,j = km A ; utuk j = 1,,, i=1 c i,i = i=1 k i,i = k i=1 i,i = km A j=1 c j+1,j = j=1 k j+1,j = k j=1 j+1,j = km A Persm-persm di ts meujukk bhw ka jug merupk mgic squre deg bilg mgic m C = km A

2 A + kj Mislk A dlh mgic squre berukur deg bilg mgic m A. Mislk C = A + kj, mk c i,j = i,j + k d kibty j=1 c i,j = j=1( i,j + k) = j=1 i,j + k = m A + k; utuk i = 1,,, i=1 c i,j = i=1( i,j + k) = i=1 i,j + k = m A + k; utuk j = 1,,, i=1 c i,i = i=1 ( i,i + k) = i=1 i,i + k = m A + k j=1 c j+1,j = j=1 ( j+1,j + k) = j=1 j+1,j + k = m A + k Persm-persm di ts meujukk bhw A + kj jug merupk mgic squre deg bilg mgic m A + k A + B Mislk A d B dlh mgic squre berukur deg bilg mgic msig-msig m A d m B. Mislk C = A + B, mk c i,j = i,j + b i,j d kibty j=1 c i,j = j=1 ( i,j + b i,j ) = j=1 i,j + j=1 b i,j = m A + m B ; utuk i = 1,,, i=1 c i,j = i=1 ( i,j + b i,j ) = i=1 i,j + i=1 b i,j = m A + m B ; utuk j = 1,,, i=1 c i,i = i=1 ( i,i + b i,i ) = i=1 i,i + i=1 b i,i = m A + m B j=1 c j+1,j = j=1( j+1,j + b j+1,j ) = j=1 j+1,j + j=1 b j+1,j = m A + m B Persm-persm di ts meujukk bhw A + B jug merupk mgic squre deg bilg mgic m A + m B AB Mislk A d B dlh mgic squre berukur deg bilg mgic msig-msig m A d m B. Mislk C = AB mk c i,j = k=1 i,k b k,j d kibty j=1 c i,j = j=1 k=1 i,k b k,j = i,k k=1 j=1 b k,j = k=1 i,k m B = m B k=1 i,k = m B m A ; utuk i = 1,,, i=1 c i,j = i=1 k=1 i,k b k,j = b k,j k=1 i=1 i,k = k=1 b k,j m A = m A k=1 b k,j = m A m B ; utuk j = 1,,, Cotoh sggh berikut meujukk bhw jumlh digol pd AB tidk sm deg m A m B (cotoh legkp utuk ukur 3 3, 4 4, terdpt pd Lmpir 1). Mislk A = 3 7 d B = A d B dlh mgic squre deg bilg mgic m A = 1 d m B = 1, mk 3 c i,i = 3 3 i=1 i=1 k=1 i,k b k,i = 61 3 j=1 c 3 j+1,j = 3 3 j=1 k=1 3 j+1,k b k,j = 16 tidk sm deg m A m B = Hl ii megkibtk AB buk merupk mgic squre tetpi semi mgic squre yitu mgic squre yg jumlh digoly tidk sm deg bilg mgic. Bilg mgic utuk semi mgic squre AB dlh m A m B 3.3. Peyelesi Mgic Squre Utuk =1,, 3, 4, Mecri peyelesi mgic squre dlh mecri solusi dri SPL iterpretsi mgic squre tersebut. Peyelesi mgic squre utuk ukur muli dri 1 smpi deg k dibhs sebgi permslh SPL msig-msig Peyelesi utuk = 1 Utuk = 1 deg jels dpt lgsug dikethui mgic squre-y dlh 1 Gmbr. Mgic squre 1 1 d m = 1. Secr otomtis, mgic squre di ts dlh stu-stuy solusi utuk = Peyelesi utuk = Utuk =, mgic squre-y dlh 1,1 1,,1, Gmbr 3. Mgic squre

3 4 d ili m = 1 ( + 1) = SPL dri mgic squre ii dlh 1,1 + 1, =,1 +, = 1,1 +,1 = 1, +, = 1,1 +, =,1 + 1, = Dlm betuk mtriks: , , =, , Betuk rigksy dlh Deg melkuk beberp opersi bris dsr pd mtriks di ts, didptk betuk eselo bris Hsil ii jik diterjemhk kembli ke dlm betuk SPL dlh 1,1 = 1, =,1 =, = SPL ii kotrdiksi deg persm () bhw tidk boleh d eleme yg sm, sehigg utuk =, mgic squre tidk memiliki solusi Peyelesi utuk = 3 Utuk = 3, mgic squre-y dlh 1,1 1, 1,3,1,,3 SPL dri mgic squre ii dlh 1,1 + 1, + 1,3 = 1,1 +, +,3 = 1 3,1 + 3, + 3,3 = 1 1,1 +,1 + 3,1 = 1 1, +, + 3, = 1 1,3 +,3 + 3,3 = 1 1,1 +, + 3,3 = 1 1,3 +, + 3,1 = 1 Dlm betuk mtriks: 1, , 1, , , = ,3 1 3, , ,3 1 Betuk rigksy dlh Deg melkuk beberp opersi bris dsr pd mtriks di ts, didptk betuk eselo bris Hsil ii jik diterjemhk kembli ke dlm betuk SPL dlh 1,1 + 3,3 = 10 1, + 3, = 10 1,3 3, 3,3 =,1 3, 3,3 = 10, =,3 + 3, + 3,3 = 0 + 3,1 + 3, = 3,3 1 Dri SPL yg sudh disederhk di ts, lgsug didptk ili utuk, yitu. Hl ii berrti kotk tegh dri solusi utuk mgic squre berukur 3 3, hruslh diisi deg gk. 3,1 3, 3,3 Gmbr 4. Mgic squre 3 3 d ili m = 1 3 (3 + 1) = 1

4 Dri SPL tersebut pul didptk 6 persm berikut 1,1 = 10 3,3 1, = 10 3, 1,3 = + 3, + 3,3,1 = , + 3,3,3 = 0 3, 3,3 3,1 = 1 3, 3,3 (7) Keem persm ii meujukk em peubh yg bergtug pd peubh li yitu 1,1, 1,, 1,3,,1,,3, 3,1 d du prmeter yitu 3, d 3,3. Perhtik bhw dri kedelp peubh ii, hruslh d 4 bilg gjil, d 4 bilg gep, d hl ii hy diberik oleh psg 3, gjil d 3,3 gep. Perhtik jug bhw 1 3,1 9 d 3,1 + 3, + 3,3 = 1 megkibtk 6 3, + 3,3 14. Deg demiki psg-psg 3,, 3,3 yg memugkik memberik solusi utuk mgic squre berukur 3 3 dlh (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,), (7,4), (7,6), (9,), d (9,4). Dri kesepuluh psg ii, yg memeuhi sistem persm (7) hylh psg-psg (1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,), (7,6), (9,), d (9,4). Kedelp solusi tersebut dlm betuk tbel dlh: 3,, 3,3 1,1 1, 1,3,1,3 3,1 (1,6) (1,8) (3,4) (3,8) (7,) (7,6) (9,) (9,4) Kedelp mgic squre tersebut dlh () (b) (e) (f) (g) (h) Gmbr (-h). Solusi mgic squre 3 3 Perhtik bhw kedelp solusi mgic squre ii dlh tidk uik. Semuy dlh permutsi dri refleksi tu rotsi dri 1 buh solusi. Sehigg pd dsry mgic squre berukur 3 3 memiliki 1 solusi uik Peyelesi utuk = 4 Utuk = 4, mgic squre-y dlh 1,1 1, 1,3 1,4,1,,3,4 3,1 3, 3,3 3,4 4,1 4, 4,3 4,4 Gmbr 6. Mgic squre 4 4 d ili m = 1 4 (4 + 1) = SPL dri mgic squre ii dlh 1,1 + 1, + 1,3 + 1,4 =,1 +, +,3 +,4 = 3,1 + 3, + 3,3 + 3,4 = 4,1 + 4, + 4,3 + 4,4 = 1,1 +,1 + 3,1 + 4,1 = 1, +, + 3, + 4, = 1,3 +,3 + 3,3 + 4,3 = 1,4 +,4 + 3,4 + 4,4 = 1,1 +, + 3,3 + 4,4 = 4,1 + 3, +,3 + 1,4 = (c) (d)

5 6 Dlm betuk mtriks ,1 1, 1,3 1,4,1,,3,4 3,1 3, 3,3 3,4 4,1 4, 4,3 4,4 Betuk rigksy dlh = Deg melkuk beberp opersi bris dsr pd mtriks di ts, didptk betuk eselo bris Hsil ii jik diterjemhk kembli ke dlm betuk SPL dlh 1,1,4 3,4 4, 4,3 4,4 = 1,,4 + 3, 3,3 3,4 4,3 4,4 = 1,3 +,4 3, + 3,3 + 3,4 + 4, + 4,3 + 4,4 = 68 1,4 +,4 + 3,4 + 4,4 =,1 +,4 3, 3,3 = 0, +,4 + 3,3 + 3,4 + 4, + 4,3 + 4,4 = 68, 3,4 + 3, 3,4 4, 4,3 4,4 = 3,1 3, 3,3 3, = 4,1 + 4, + 4,3 + 4,4 =

6 7 SPL ii ekivle deg 1,1 =,4 + 3,4 + 4, + 4,3 + 4,4 1, =,4 3, + 3,3 + 3,4 + 4,3 + 4,4 1,3 =,4 + 3, 3,3 3,4 4, 4,3 4, ,4 =,4 3,4 4,4 +,1 =,4 + 3, + 3,3, =,4 3,3 3,4 4, 4,3 4,4 + 68, 3 =,4 3, + 3,4 + 4, + 4,3 + 4,4 3,1 3, 3,3 3,4 = + 4,1 = 4, 4,3 4,4 + Dri SPL tersebut terliht bhw terdpt 9 peubh yg bergtug pd peubh li ( 1,1, 1,, 1,3, 1,4,,1,,,,3, 3,1, d 4,1 ) d terdpt 7 prmeter (,4, 3,, 3,3, 3,4, 4,, 4,3, d 4,4 ). Semu permutsi utuk ili-ili prmeter ii diuji deg megguk softwre Mthemtic 7.0 deg pegujiy dlh persm () yitu tidk d eleme yg berili sm. Sitks dri progrm tersebut terdpt pd Lmpir 3 deg byky solusi Peyelesi utuk = Utuk =, mgic squre-y dlh 1,1 1, 1,3 1,4 1, d ili m = 1 ( + 1) SPL dri mgic squre ii dlh 1,1 + 1, + 1,3 + 1,4 + 1,,1 +, +,3 +,4 +, 3,1 + 3, + 3,3 + 3,4 + 3, 4,1 + 4, + 4,3 + 4,4 + 4,,1 +, +,3 +,4 +, 1,1 +,1 + 3,1 + 4,1 +,1 1, +, + 3, + 4, +, 1,3 +,3 + 3,3 + 4,3 +,3 1,4 +,4 + 3,4 + 4,4 +,4 1, +, + 3, + 4, +, 1,1 +, + 3,3 + 4,4 +, 1, +,4 + 3,3 + 4, +,1,1,,3,4, 3,1 3, 3,3 3,4 3, 4,1 4, 4,3 4,4 4,,1,,3,4, Gmbr 7. Mgic squre Betuk rigksy dlh

7 8 Deg melkuk beberp opersi bris dsr pd mtriks di ts, didptk betuk eselo bris Hsil ii jik diterjemhk kembli ke dlm betuk SPL dlh ,1,3, 3, + 3,3 3,4 3, 4,3 4,,,3,4, = ,,3, + 3, 3,3 3,4 3, + 4, 4,3 4,4 4,,3,4, = 1,3 +,3 + 3,3 + 4,3 +,3 1,4 +, 3,3 + 3,4 + 3, 4, + 4,4 + 4, +, +,3 +,4 +, = 130 1, +, + 3, + 4, +, ,1 +,3 +, 3, 3,3 3,4 4, 4,3 4,4 = , +,3 +, + 3, + 3,3 + 3,4 + 3, + 4,3 + 4,4 +, +,3 +,4 +, =,4, + 3,3 3, + 4, 4,,,3,4, = 6 3,1 + 3, + 3,3 + 3,4 + 3, 4,1 + 4, + 4,3 + 4,4 + 4,,1 +, +,3 +,4 +, SPL di ts ekivle deg ,1 =,3 +, + 3, 3,3 + 3,4 + 3, + 4,3 + 4, +, +,3 +,4 +, , =,3 +, 3, + 3,3 + 3,4 + 3, 4, + 4,3 + 4,4 + 4, +,3 +,4 +, 1,3 =,3 3,3 4,3,3 1,4 =, + 3,3 3,4 3, + 4, 4,4 4,,,3,4, , =, 3, 4,, ,1 =,3, + 3, + 3,3 + 3,4 + 4, + 4,3 + 4, , =,3, 3, 3,3 3,4 3, 4,3 4,4,,3,4, +,4 =, 3,3 + 3, 4, + 4, +, +,3 +,4 +, 6 3,1 = 3, 3,3 3,4 3, 4,1 = 4, 4,3 4,4 4,,1 =,,3,4, 19 SPL ii memperlihtk bhw terdpt 11 peubh yg bergtug pd peubh li ( 1,1, 1,, 1,3, 1,4, 1,,,1,,,,4, 3,1, 4,1, d,1 ) d terdpt 14 prmeter (,3,,, 3,, 3,3, 3,4, 3,, 4,, 4,3, 4,4, 4,,,,,3,,4, d, ). Prmeter sebyk 14 ii tidk memugkik dilkuk peguji utuk semu permutsi dri ili-iliy. H.B. Meyer (010) melkuk proses yg sm d berush medptk byky solusi utuk mgic squre berukur. Hsil dri pereduksi SPL yg dilkuky ditmpilk dlm Teorem 1 berikut

8 9 Teorem 1: 1, 1,1 1, 1,3 1,4,,1,,3,4 3, 3,1 3, 3,3 3,4 4, = 1,1 + 1, + 1,3 + 1,4 +,1,4 + 3,1 3,3 + 4,1 6 4,3 = 3 41,1 1, 1,3 1,4,1,,3 3,1 3, 3,3 3,4 4,1 4,4 4, = 1,1 + 1, + 1,3 + 1,4 +,1 +, +,3 +,4 + 3,1 + 3, + 3,3 + 3,4 + 4,4 19,1 1,1,1 3,1 4,1, = 130 1,1 1, 1,3 1,4,1, +,4 3,1 3, 3,3 4,1,3 = 41,1 + 1, + 1,3 + 1,4 +,1 +, + 3,1 + 3, + 3,4 + 4,1 + 4,4 60,4 1,4,4 3,4 4,4, 1,1, 3,3 4,4 Dlm proses pecri solusi ii, Meyer (010) jug medptk beberp bts tmbh yg diguk utuk megurgi pjgy proses komputsi, yitu: Teorem : 3 1,1 +, + 1, +,1 0 kre 1,,,1 1 d 1,,,1 {1,,,} d 1,,1 mk 3 1, +,1 d dri Teorem 8 + 1, +,1 3 1,1 + 1, +,1 +, 8 3 1,1 + 1, +,1 +, Kre 1,1, 1,,,1,, Z + mk 0 1,1 + 1, +,1 +, D deg meggti msig-msig i,j deg 6 i,j mk 0 6 1, , + 6,1 + 6, 84 1,1 1,,1, Akibt 1: 0 1,1 + 1, +,1 +, 84 Teorem 3: ,1 +, + 3,3 + 1, + 1,3 + 1, +,3 + 3,1 + 3, ) 38 Teorem 4: (Jumlh pojok) 6 1,1 + 1, +,1 +, 78 Akibt : (jumlh X ) 1,1 + 1, + 3,3 +,1 +, 104 Kre i,j {1,, 3,, } i, j {1,,3,, } d k,l = m, k = m l = utuk semu k, l, m, {1,,3,, } mk 1,1 + 1, + +, = Deg meyubtitusik 1,,,, 3,, 4,, 4,3, 4,,1,,3,4 d, pd Teorem 1 ke persm di ts, didptk Teorem : 4,4 = ,1 9 1, 7 1,3 10 1,4 9,1 11, 3,3,4 9 3,1 3, 3,3 6 3,4 8 4,1 ± D deg D dlh bilg kudrt berikut

9 10 D = 1 1, , 71 1,3 68 1,4 87,1 71, 39,3 68,4 87 3,1 47 3, 9 3,3 36 3,4 80 4,1 + 1,1 8 1, 190 1,3 17 1,4 10,1 1, 30,3 + 14,4 10 3,1 98 3, ,3 1 3,4 00 4,1 ) + 1, 138 1,3 13 1,4 16,1 90, 18,3 + 84,4 16 3,1 78 3, ,3 1 3,4 10 4,1 ) + 1, ,4 90,1 6, 30,3 +,4 0 3, + 3,3 1 3,4 90 3,1 80 4,1 ) + 1,4 84,1 44, 1,3 + 40,4 84 3,1 44 3, + 3,3 4 3,4 80 4,1 ) +,1 90, 4, ,1 4 3, + 4 3,3 1 3,4 10 4,1 ) +, 4,3 4,4 66 3,1 8 3, 3,3 1 3,4 40 4,1 +,3 36,4 18 3,1 18 3, 4 3,3 1 3,4 +,4 60 3, , 76 3,3 4 3, ,1 + 3,1 78 3, ,3 36 3,4 10 4,1 + 3, 3,3 36 3,4 40 4,1 + 3,3 36 3, , , , , , , , + 070,3 860, , , 0 3, , , Du mgic squre berikut ii meujukk bhw 1,1, 1,, 1,3, 1,4,,1,,,,3,,4, 3,1, 3,, 3,3, 3,4, d 4,1 tidk secr legkp meetuk mgic squre, mu oleh Teorem terdpt mksiml mgic squre yg memiliki kesm ii kre hy d ili 4,4 yg mugki () (b) Gmbr 8(,b). Cotoh mgic squre berukur Deg bts-bts yg diberik oleh Teorem 1 smpi deg ii mk terdpt,0,441,79 byky solusi utuk mgic squre berukur (Meyer, 010).

BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ. Definisi 3.1 Matriks Toeplitz adalah suatu matriks., dengan nilai,, dan indeks yang

BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ. Definisi 3.1 Matriks Toeplitz adalah suatu matriks., dengan nilai,, dan indeks yang BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ 3. Mtriks Toeplitz Defiisi 3. Mtriks Toeplitz dlh sutu mtriks [ t ; k, j = 0,,..., ] : T =, k j, deg ili,, d ideks yg diguk setip etriy

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Nurdinintya Athari (NDT)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Nurdinintya Athari (NDT) SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nurdiity Athri (NDT) Sistem Persm Lier (SPL) Sub Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beberp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. x x. 3.1 Analisis Metode Perhatikan persamaan integral Volterra berikut. x. atau (11)

III PEMBAHASAN. x x. 3.1 Analisis Metode Perhatikan persamaan integral Volterra berikut. x. atau (11) III PEMBAHASAN 3 Alisis Metode Perhtik persm itegrl Volterr berikut y ( f( λ Ktyt ( ( (8 deg y( merupk fugsi yg k ditetuk sutu kostt f( fugsi sembrg yg dikethui d terdefiisi pd R d K(ty(t sutu fugsi yg

Lebih terperinci

dan mempunyai vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada bidang. 1. Persamaan bidangnya adalah n P P

dan mempunyai vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada bidang. 1. Persamaan bidangnya adalah n P P Rug Vektor Tuju:. Megigt kembli persm gris d bidg di rug.. Memhmi ksiom rug vektor, kombisi liier d rug bgi.. Megigt kembli pegerti bebs d bergtug liier, bsis d dimesi. Arti geometris dri determi Jik A

Lebih terperinci

Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 x + 2y z = 0

Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 x + 2y z = 0 LJBR MTRIKS Bil kit mempui sutu sistem persm liier + + z = + + z = + z = Mk koefisie tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt ditulisk sbb : Jjr bilg tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljr Lier Elemeter MA SKS Silus : B I Mtriks d Opersiy B II Determi Mtriks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige

Lebih terperinci

FUNGSI KARAKTERISTIK. penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter

FUNGSI KARAKTERISTIK. penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter IV. FUNGSI KARAKTERISTIK Pd bgi seljuty k dijbrk megei ugsi krkteristik. Pd peeliti ii k ditetuk ugsi krkteristik dri distribusi our-prmeter geerlized t deg megguk deiisi d kemudi k membuktik ugsi krkteristik

Lebih terperinci

Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER

Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER Alis Numerik Bh Mtrikulsi B SISTEM PERSAMAAN LINIER Pedhulu Pd kulih ii k dipeljri eerp metode utuk meelesik sistem persm liier Peelesi sistem persm deg jumlh vriel g tidk dikethui serig ditemui didlm

Lebih terperinci

Pertemuan : 3 Materi : Sistem Persamaan Linear : - Teorema Eksistensi - Reduksi ke Bentuk Echelon

Pertemuan : 3 Materi : Sistem Persamaan Linear : - Teorema Eksistensi - Reduksi ke Bentuk Echelon Pertemu : 3 Mteri : Sistem Persm Lier : - Teorem Eksistesi - Reduksi ke Betuk Echelo Stdr Kompetesi : Setelh megikuti perkulih ii mhsisw dihrpk dpt. memhmi kemli pegerti mtriks d trsformsi lier. memhmi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks

Catatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks Ctt Kulih Mtemtik Ekoomi Memhmi d Meglis ljbr Mtriks. Mtriks d Vektor Mtriks Mtriks dlh kumpul bilg, prmeter tu vribel tersusu dlm bris d kolom sehigg terbetuk segi empt. Susu ii bisy diletkk dlm td kurug

Lebih terperinci

SISTIM PERSAMAAN LINIER. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

SISTIM PERSAMAAN LINIER. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ SISTIM PERSAMAAN LINIER Agusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIPA UNEJ gusti.fmip@uej.c.id DEFINISI : Persm Liier Persm Liier dlm peubh,, ditk dlm betuk b dim,,, b R Pemech persm liier dits dlh urut

Lebih terperinci

MA SKS Silabus :

MA SKS Silabus : Aljr Lier Elemeter A SKS Silus : B I triks d Opersiy B II Determi triks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 7//7

Lebih terperinci

juga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.

juga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen. MATERI: ) Perbed bris d deret b) Defiisi d teorem tetg deret c) Deret suku positif d uji kovergesiy d) Deret hiperhrmois e) Deret ukur f) Deret ltertig d uji kovergesiy g) Deret kus d opersiy h) Deret

Lebih terperinci

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 1

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 1 FITRIANA RICHA HIDAYATI 7 46 Dose Pembimbig M. ARIEF BUSTOMI, M.Si Surby, Jui JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER Alis disesuik deg geometri

Lebih terperinci

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI. Prasetyo Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI. Prasetyo Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI Prsetyo Budi Drmoo Jurus Pedidik Mtemtik FKIP Uiversits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Persm lier dlm vribel 1, 2, 3,.. sebgi sebuh persm yg dpt diytk dlm

Lebih terperinci

bila nilai parameter sesungguhnya adalah. Jadi, K( ) P( SU jatuh ke dalam WP bila nilai parameter sama dengan )

bila nilai parameter sesungguhnya adalah. Jadi, K( ) P( SU jatuh ke dalam WP bila nilai parameter sama dengan ) Kus Uji d Lem Neym-Perso Kebik sutu uji serig diukur oleh d. Di dlm prktek, bisy ditetpk, d kibty wilyh peolk (WP) mejdi tertetu pul. Kierj sutu uji jug serig diukur oleh p yg disebut kus uji (power of

Lebih terperinci

Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan Persm Liier Simult Elimisi Guss Guss Jord Elimisi_GussJord Persm Liier Simult Persm liier simult dlh sutu etuk persm-persm yg ser ersm-sm meyjik yk vriel es. etuk persm liier simult deg m persm d vriel

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Peyelesi Persm Liier Simult Persm Liier Simult Persm liier simult dlh sutu betuk persm-persm yg ser bersm-sm meyjik byk vribel bebs Betuk persm liier simult deg m persm d vribel bebs ij utuk i= s/d m d

Lebih terperinci

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.. PENGANTAR DEFINISI. : PERSAMAAN LINEAR Sutu persm lier deg peuh x, x 2,, x dpt diytk dlm etuk : x + 2 x 2 + + x = (.) dim,

Lebih terperinci

BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persm ditemuk hmpir di semu cg ilmu pegethu Dlm idg ilmu ukur sistem persm diperluk utuk mecri titik potog eerp gris yg seidg, di idg ekoomi tu model regresi sttistik

Lebih terperinci

Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah

Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah 13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh

Lebih terperinci

DETERMINAN MATRIKS dan

DETERMINAN MATRIKS dan DETERMINN MTRIKS d TRNSFORMSI ELEMENTER gusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIP UNEJ tiprdj.mth@gmil.com DEFINISI Utuk setip mtriks bujursgkr berordo x dpt dikitk deg tuggl sutu bilg rel yg dimk determi.

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN

RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN Lesso Study FMIPA UNY RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINEAR II SEMESTER : III TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUB TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN WAKTU : X 5 A. Stdr Kompetesi:

Lebih terperinci

Estimasi Koefisien Fungsi Regular- Dari kelas Fungsi Analitik Bieberbach-Eilemberg

Estimasi Koefisien Fungsi Regular- Dari kelas Fungsi Analitik Bieberbach-Eilemberg Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- Dri kels Fugsi Alitik Bieberbch-Eilemberg Oleh Edg Chy M.A Jurus Mtemtik FPMIPA UPI Abstrk Tulis ii mejelsk tetg estimsi koefisie fugsi regulr- yg dideretk, sebgi fugsi yg

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedr Guw Semester II, 2016/2017 24 Februri 2017 9.6 Deret Pgkt Kulih yg Llu Meetuk selg kekoverge deret pgkt 9.7 Opersi pd Deret Pgkt Melkuk opersi pd deret pgkt yg dikethui jumlhy

Lebih terperinci

( ) τ k τ HASIL DAN PEMBAHASAN. Perumusan Penduga Bagi θ

( ) τ k τ HASIL DAN PEMBAHASAN. Perumusan Penduga Bagi θ HASIL DAN PEMBAHASAN Perumus Pedug Bgi θ Mislk N dlh proses Poisso pd itervl [, deg rt µ yg kotiu mutlk, d fugsi itesits λ yg teritegrlk lokl Sehigg, utuk setip himpu Borel terbts B mk: µ ( B Ε N( B λ(

Lebih terperinci

Sistem Bilangan dan Kesalahan. Sistim Bilangan Metode Numerik 1

Sistem Bilangan dan Kesalahan. Sistim Bilangan Metode Numerik 1 Sistem Bilg d Keslh Sistim Bilg Metode Numerik Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Sistim Bilg Metode Numerik Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3*

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 21 Februari 2014

Hendra Gunawan. 21 Februari 2014 MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/04 Februri 04 Kulih Sebelumy 9.4 Deret Positif: Uji Liy Memeriks kekoverge deret positif deg ujiperbdigd ujirsio 9.5 Deret Gti Td: Kekoverge Mutlk d Kekoverge

Lebih terperinci

1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi ...

1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi ... Bris d Deret Defiisi Bris bilg didefiisik sebgi fugsi deg derh sl merupk bilg sli. Notsi: f: N R f( ) = Fugsi tersebut dikel sebgi bris bilg Rel { } deg dlh suku ke-. Betuk peulis dri bris :. betuk eksplisit

Lebih terperinci

METODE NUMERIK PERTEMUAN : 5 & 6 M O H A M A D S I D I Q 3 S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S1

METODE NUMERIK PERTEMUAN : 5 & 6 M O H A M A D S I D I Q 3 S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S1 METODE NUMERIK S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D S I D I Q PERTEMUAN : 5 & 6 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D

Lebih terperinci

METODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom

METODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom METODE NUMERIK Pertemu ke 5 Sistem Persm Liier (SPL) () Rici Kemg Hpsri, S.Si, M.Kom www.rkhcdemy.com/wp Represetsi SPL Betuk umum persm lier deg peuh Dim :,, : koefisie dri persm, d,,..., merupk peuh.

Lebih terperinci

Rank Matriks Atas Ring

Rank Matriks Atas Ring Rk Mtriks Ats Rig A 8 Yuliyti Di Prtiwi (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM) Mifth Sigit Rhmwti (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); N Fitri (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); Sri Whyui (Dose PS S2 Mtemtik Jurus Mtemtik

Lebih terperinci

BAB 12 METODE SIMPLEX

BAB 12 METODE SIMPLEX METODE ANAISIS PERENCANAAN Mteri 9 : TP 3 SKS Oleh : Ke Mrti Ksikoe BAB METODE SIMPE Metode Simplex dlh metode pemrogrm liier yg mempuyi peubh (vrible) byk, sehigg dimesiy lebih dri 3. Metode simplex dpt

Lebih terperinci

Sistem Bilangan dan Kesalahan. Metode Numerik

Sistem Bilangan dan Kesalahan. Metode Numerik Sistem Bilg d Keslh Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3* Bilg ult deg ilg dsr c didefiisik segi : ( )... c N c

Lebih terperinci

SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 (A & B) Dosen: Dr. Asep Juarna Jumlah Soal: 3 Uraian Tanggal Ujian: 02/03/12 Waktu Ujian: 2 jam

SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 (A & B) Dosen: Dr. Asep Juarna Jumlah Soal: 3 Uraian Tanggal Ujian: 02/03/12 Waktu Ujian: 2 jam SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 A & B Dose: Dr. Asep Jur Jumlh Sol: Uri Tggl Uji: // Wktu Uji: jm jik. Solusi t dlh: t + log, yg dpt dibuktik sbb: t jik t t + [t/ + ] + t/ + t/4 + t/8 + 4 t/

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Tak Hingga

Barisan dan Deret Tak Hingga Modul Bris d Deret Tk Higg Dr. Spti Whyuigsih, M.Si. M PENDAHULUAN odul ii meyjik kji tetg Bris d Deret Tk Higg. Kji tetg bris d deret memegg per sgt petig kre sebgi dsr utuk pembhs Itegrl Tetu. Bris d

Lebih terperinci

mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x

mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x B 4. Peerp Itegrl BAB 4. PENGGUNAAN INTEGRAL 4.. Lus re dtr Perhtik derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu, deg f fugsi kotiu. Seperti pd s medefiisik itegrl tertetu, kit gi itervl

Lebih terperinci

RELASI REKURENSI. Heru Kurniawan Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo. Abstrak

RELASI REKURENSI. Heru Kurniawan Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo. Abstrak RELASI REKURENSI Heru Kuriw Progrm Studi Pedidik Mtemtik Jl KHA. Dhl Purworejo Abstrk Relsi Rekuresi merupk slh stu mslh dlm Mtemtik Diskrit. Sebuh relsi rekuresi medeiisik suku ke- dri sebuh bris secr

Lebih terperinci

METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN.

METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN. METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN http://mul.lecture.u.c.id/lecture/metode-umerik/ Sistem Persm Liier Misl terdpt SPL deg uh vriel es Mtriks: m m m m Peyelesi Sistem Persm Liier

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.

Kalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc. Klkulus Deret Pgkt d Uji Kovergesi Dhoi Hrtto S.T., M.T., M.S. Deprtmet o Chemil Egieerig Semrg Stte Uiversity Eperimetl Deret Pgkt Urut d deret sequees d series). Urut gk merupk rgki gk tk terbts jumlh

Lebih terperinci

DERET PANGKAT TAK HINGGA

DERET PANGKAT TAK HINGGA DERET PANGKAT TAK HINGGA TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT TEOREMA-TEOREMA PENTING. Itegrsi d diferesisi deret pgkt dpt dilkuk per suku, yitu: ( ) d p q d d ( ) q p d d ( ) ( ) d, d p, q Selg

Lebih terperinci

A. Barisan Geometri. r u. 1).Definisi barisan geometri. 2). Suku ke-n barisan geometri

A. Barisan Geometri. r u. 1).Definisi barisan geometri. 2). Suku ke-n barisan geometri A. Bis Geometi ).Defiisi bis geometi Sutu bis yg suku-sukuy dipeoleh deg c meglik suku sebelumy deg sutu kostt (sio/pembdig) tu ili kost. Betuk umum bis geometi (deg suku wl d sio ) dlh : + + + +... +

Lebih terperinci

BAB V INTEGRAL DARBOUX

BAB V INTEGRAL DARBOUX Itegrl Droux BAB V INTEGRAL DARBOUX Pd thu 1875, mtemtikw I.G. Droux secr kostruktif memodifiksi defiisi itegrl Riem deg terleih dhulu medefiisik jumlh Droux ts (upper Droux sum) d jumlh Droux wh (lower

Lebih terperinci

Metode Iterasi Gauss Seidell

Metode Iterasi Gauss Seidell Metode Itersi Guss Seidell Metode itersi Guss-Seidel : metode yg megguk proses itersi higg diperoleh ili-ili yg berubh. Bil dikethui persm liier simult: Berik ili wl dri setip i (i s/d ) kemudi persm liier

Lebih terperinci

Matematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai

Matematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai Mtemtik Dsr INTEGRAL TENTU Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mteri pemhs terdhulu yki tetg itegrl tk tetu d otsi sigm k kit

Lebih terperinci

BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGAL IEMANN Sift-sift Ljut Itegrl iem Teorem 6.1 Jik f [, ] d f [, ] deg < < mk f [, ]. Leih ljut f x dx f x dx + () f x dx f [, ] d f [, ], mislk () f x dx A 1 d () f x

Lebih terperinci

INTERPOLASI PERTEMUAN : S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S1 M O H A M A D S I D I Q

INTERPOLASI PERTEMUAN : S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S1 M O H A M A D S I D I Q INTERPOLASI 3 S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D S I D I Q PERTEMUAN : - SEBELUM-UTS Pegtr Metode Numerik Sistem Bilg d Keslh Peyji Bilg Bult & Pech Nili Sigiik Akursi d Presisi

Lebih terperinci

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi Iterolsi Iterolsi Perbed Iterolsi d Ekstrolsi Iterolsi Liier L Iterolsi Kudrt L h h Iterolsi Qubic L h h h Iterolsi dg Poliomil 5 Tble : Si equidisttly sced oits i [- ] y 5 -..846 -.6. -..5..5.6...846

Lebih terperinci

Pertemuan ke-5 Persamaan Linier Simultan. 11 Oktober Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

Pertemuan ke-5 Persamaan Linier Simultan. 11 Oktober Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering Pertemu ke-5 Persm Liier Simult Oktober Metode Elimisi Guss (Gussi Elimitio) Metode Elimisi Gus Sutu metode utuk meyelesik persm liier simult dri [A][X][C] Du lgkh peyelesi peyelesi:: Elimisi mju (Forwrd

Lebih terperinci

BAB 2 SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN

BAB 2 SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN Metode Numerik Segi Algoritm Komputsi 5 BAB SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN.. Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik : N ( )...... Cotoh : 67. 6. 7.. Bilg

Lebih terperinci

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008 Sol-sol d Pembhs Mtemtik Dsr SBMPTN - SNMPTN 8 y. Dlm betuk pgkt positif, ( y). A. ( + y ) ( y ) C. ( y ) E. - ( y ) B. - ( + y ) ( y ) D. ( y ) y ( y) y ( y) y y ( y) y (y). (y) y - ( y ) ( y + ) - (-y+

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 967 Tekik Numerik Sistem Lier Trihstuti gustih Big Stui Tekik Sistem Pegtur Jurus Tekik Elektro - FTI Istitut Tekologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF CONTOH SIMPULN 5 LTIHN OBJEKTIF Teori Cotoh

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 19 Februari 2014

Hendra Gunawan. 19 Februari 2014 MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/0 9 Februri 0 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kk kekoverge

Lebih terperinci

Eliminasi Gauss Gauss Jordan

Eliminasi Gauss Gauss Jordan Persm Liier Simult Elimisi Guss Guss Jor Persm Liier Simult Persm liier simult lh sutu betuk persm-persm p yg secr bersm-sm meyjik byk vribel bebs. Betuk persm liier simult eg m persm vribel bebs pt itulisk

Lebih terperinci

Sub Pokok Bahasan Bilangan Bulat

Sub Pokok Bahasan Bilangan Bulat MODUL MATERI PELAJARAN MATEMATIKA Sub Pokok Bhs Bilg Bult Kels : VII (tujuh) Seester: 1 (gjil) Kurikulu KTSP Disusu Oleh: Seri Rhwti, S.Pd NIP. 171101 001 001 MTsN SELAT KUALA KAPUAS TAHUN PELAJARAN 010/011

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR http://istirto.stff.ugm..id SISTEM PERSAMAAN LINEAR Systems of Lier Algebri Equtios Sistem Persm Lier http://istirto.stff.ugm..id Au Chpr, S.C., Cle R.P., 99, Numeril Methods for Egieers, d Ed., MGrw-Hill

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 06/07 0 Februri 07 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kekoverge deret

Lebih terperinci

Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan. Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Betuk Koik Persm Rug Ked Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Pegtr Mteri Betuk Koik Observble Betuk Koik Jord Cotoh Sol Rigks Ltih Asesme Pegtr Mteri Cotoh Sol Ltih Rigks Pd bgi ii k dibhs megei Persm Ked

Lebih terperinci

Nuryanto,ST.,MT. Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx.

Nuryanto,ST.,MT. Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx. Nuryto,ST.,MT d c. INTEGRAL TAK TENTU KONSEP DASAR INTGRAL f. ALJABAR INTEGRAL f. TRIGONO CONTOH SOAL SOAL LATIHAN UJI KOMPETENSI Itegrl merupk opersi ivers dri turu. Jik turu dri F dlh F = f, mk F = f

Lebih terperinci

TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN

TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN Yo Hedri 1* Asmr Krm Musrii 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik Dose JurusMtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Riu

Lebih terperinci

BILANGAN TETRASI. Sumardyono, M.Pd

BILANGAN TETRASI. Sumardyono, M.Pd BILAGA TETRASI Sumrdyoo, M.Pd Megp Tetrsi? Di dlm ritmetik tu ilmu berhitug, opersi hitug merupk kosep yg mt petig bhk mugki sm petigy deg kosep bilg itu sediri. Tp kehdir opersi hitug, mk tmpky musthil

Lebih terperinci

Representasi Matriks Graf Cut-Set Dan Sirkuit

Representasi Matriks Graf Cut-Set Dan Sirkuit PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Represetsi Mtriks Grf Cut-Set D Sirkuit A 5 Pdri Ferdis, Wmili Mhsisw S Mtemtik Jurus Mtemtik FMIPA UGM Dose Uiersits PGRI Yogykrt emil : pferdis@gmil.com Dose Jurus Mtemtik

Lebih terperinci

BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA

BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDKSI MATEMATIKA Notsi Sigm : dlh otsi sigm, diguk utuk meytk pejumlh beuut di sutu bilg yg sudh bepol. meupk huuf cpitl S dlm bjd Yui dlh huuf petm di kt SM

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET BARISAN DAN DERET. U n. 2 n. 2 a = suku pertama = U 1 b = beda deret = U n U n 1. I. Perngertian Barisan dan Deret

BARISAN DAN DERET BARISAN DAN DERET. U n. 2 n. 2 a = suku pertama = U 1 b = beda deret = U n U n 1. I. Perngertian Barisan dan Deret BARISAN DAN DERET I. Pergerti Bris d Deret Bris bilg dlh pemet dri bilg sli ke bilg rel yg diurutk meurut tur tertetu. U III. Deret Geometri Ciriy : rsio tetp U = r S r = r S r = r = bilg sli U = suku

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Systems of Linear Algebraic Equations

SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Systems of Linear Algebraic Equations SISTEM PERSAMAAN LINEAR Systems of Lier Algebri Equtios Sistem Persm Lier Au Chpr, S.C., Cle R.P., 99, Numeril Methods for Egieers, d Ed., MGrw-Hill Book Co., New York. Chpter 7, 8, d 9, hlm. -9. Sistem

Lebih terperinci

BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. 3.1 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real

BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. 3.1 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES 3.1 Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi Berili Rel Pd seelumy telh dihs megei eerp kosep dsr, dim kosep-kosep ii merupk slh stu teori pedukug yg tiy k erper segi

Lebih terperinci

CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK ABSTRACT ABSTRAK

CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK ABSTRACT ABSTRAK CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK D. S. Wti 1, M. Imr, L. Deswit 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dose Jurus Mtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Riu Kmpus

Lebih terperinci

Ringkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS 1 NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

Ringkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS 1 NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com Riks Limit Fusi Kels XI IPS NAMA : KELAS : theresivei.wordpress.com Riks Limit Fusi Kels XI IPS LIMIT FUNGSI Limit dlm kt-kt sehri-hri: Medekti hmpir, sedikit li, tu hr bts, sesutu y dekt tetpi tidk dpt

Lebih terperinci

MetodeLelaranUntukMenyelesaikanSPL

MetodeLelaranUntukMenyelesaikanSPL MetodeLelrUtukMeyelesikSPL Metode elimisi Guss melitk yk glt pemult. Glt pemult yg terjdi pd elimisi Guss dpt meyek solusiyg diperoleh juh drisolusiseery. Ggs metod lelr pd pecri kr persm irljr dptjugditerpkutukmeyelesikspl.

Lebih terperinci

Modul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER

Modul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER Modul 8. (Pertemu s/d 6) DERET FOURIER 8. FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Defiisi Fugsi f diseut fugsi periodik il terdpt p > sedemiki sehigg utuk setip erlku f ( p) f ( ). Nili p > terkecil

Lebih terperinci

Modul II Limit Limit Fungsi

Modul II Limit Limit Fungsi Modul II Limit Kosep it merupk sutu kosep dsr yg petig utuk memhmi klkulus dieresil d itegrl Oleh kre itu seelum kit mempeljri leih ljut tetg klkulus diresil d itegrl, mk kit terleih dhulu hrus mempeljri

Lebih terperinci

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut + e - e Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu bilg sli. Ilustrsi

Lebih terperinci

1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif N : Zui Ek Sri Kels : NPM : 800 BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pgkt Bilg Bult. Bilg Berpgkt Bult Positif Dl kehidup sehri-hri kit serig eeui perkli ilg-ilg deg fktor-fktor yg s. Mislk kit teui

Lebih terperinci

DERET FOURIER FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. Oleh :

DERET FOURIER FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. Oleh : DERET FOURIER Oleh : Nm :. Neti Okmyti 7..6). Reto Fti Amh 7..6). Feri Febrisyh 7..8) Kels : 6. Mt Kulih : Mtemtik jut Dose Pegsuh : Fdli, S.Si FAKUTAS KEGURUAN DAN IMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PAEMBANG

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. lim lim. , c = konstanta 6. lim f(x) Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.

LIMIT FUNGSI. lim lim. , c = konstanta 6. lim f(x) Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu. LIMIT FUNGSI Teoem. f() g() f() g( ). f().g() f(). g( ) f(). f() g() f() g( ). deg g() g() g(). c.f() c. f(), c = kostt. f() f() f() Betuk Tk Tetu Betuk di dlm mtemtik d mcm, yitu :. Betuk tedefiisi (tetetu)

Lebih terperinci

DERET PANGKAT TAK HINGGA

DERET PANGKAT TAK HINGGA DERET PANGKAT TAK HINGGA DERET PANGKAT Defiisi deret pgkt : C ( ) c c ( ) c ( ) c ( )... o dim dlh vribel c d dlh kostt Perhtik bhw dlm otsi deret pgkt telh segj memilih ideks ol utuk meytk suku pertm

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Jawaban : D a = 3, b = 2, U 10 = (a + 9b) U 10 = = 21. Jawaban : E a = 2,5 S ~ =

BARISAN DAN DERET. Jawaban : D a = 3, b = 2, U 10 = (a + 9b) U 10 = = 21. Jawaban : E a = 2,5 S ~ = pge of SOAL Jumlh ke-0 dri bris :,, 7, 9,.dlh.. d. e. 7 9 Ebts 99 Sebuh bol jtuh dri ketiggi, meter d memtul deg ketiggi kli tiggi semul. D setip kli memtul berikuty, mecpi ketiggi kli tiggi ptul sebelumy.

Lebih terperinci

LATIHAN UN MATEMATIKA IPA

LATIHAN UN MATEMATIKA IPA LATIHAN UN MATEMATIKA IPA LATIH UN IPA. 00-00 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI.... Pgkt Rsiol, Betuk Akr d Logritm.... Persm Kudrt...0. Sistem Persm Lier... 4. Trigoometri I...8 5. Trigoometri II...7

Lebih terperinci

Bab 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)

Bab 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) Bb. Peelesi Sistem Persm Liier (SPL) Yuli Setiowti Politekik Elektroik Negeri Surb 7 Topik Defiisi SPL Betuk Mtrik SPL Augmeted Mtrik Peelesi SPL Opersi-opersi Dsr (Elemetr Opertios) Sistem equivlet Opersi

Lebih terperinci

TEOREMA DERET PANGKAT

TEOREMA DERET PANGKAT TEOEMA DEET PANGKAT Kosep Dsr Deret pgkt erupk sutu etuk deret tk higg 3 + ( + + 3( +... ( disusik,, d koefisie i erupk ilg rel. Julh prsil utuk suku pert etuk di ts dlh s yg dpt ditulisk segi s ( + (

Lebih terperinci

BAB 5 PENDEKATAN FUNGSI

BAB 5 PENDEKATAN FUNGSI BAB 5 ENDEKATAN FUNGSI DEVIDE DIFFERENCE SELISIH TERBAGI A. Tuju. Memhmi oliomil Newto Selisih Terbgi b. Mmpu meetu oeisie-oeisie oliomil Newto c. Mmpu meetu oeisie-oeisie oliomil Newto deg Mtlb B. ergt

Lebih terperinci

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut Koko Mrtoo FMIPA - ITB 7 Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB VIII SISTEM BILANGAN REAL DAN PERPANGKATAN

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB VIII SISTEM BILANGAN REAL DAN PERPANGKATAN SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 207 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB VIII SISTEM BILANGAN REAL DAN PERPANGKATAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Miggi, M.Si J fruddi,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si

Lebih terperinci

Sifat-sifat Super Matriks dan Super Ruang Vektor

Sifat-sifat Super Matriks dan Super Ruang Vektor Sift-sift Super Mtriks d Super Rug Vektor Cturiyti Jurus Pedidik Mtetik FMIPA UNY wcturiyti@yhoo.co Abstrk Sutu triks yg elee-eleey erupk bilg disebut deg triks sederh tu lebih dikel deg triks. Sedgk supertriks

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I. (M4) untuk setiap a R, a 0 terdapat R sedemikian hingga a. = 1 dan. a =

ANALISIS REAL I. (M4) untuk setiap a R, a 0 terdapat R sedemikian hingga a. = 1 dan. a = ANALISIS REAL I BAB I BILANGAN REAL Pd bb ii dibhs sift-sift petig dri sistem bilg rel R, seperti sift-sift ljbr, urut, d ketksm. Seljuty, k diberik beberp pegerti seperti bilg rsiol, hrg mutlk, himpu

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA. Deret Geometri Suatu deret yang berbentuk: Dengan a 0 dinamakan deret geometri. Kekonvergenan: divergen jika r 1 Bukti:

DERET TAK HINGGA. Deret Geometri Suatu deret yang berbentuk: Dengan a 0 dinamakan deret geometri. Kekonvergenan: divergen jika r 1 Bukti: DERET TAK HINGGA Cooh dere k higg : + + 3 + = k= k u k. Bris jumlh prsil S, deg S = + + 3 + + = k= k Defiisi Dere k higg, k= k, koverge d mempuyi jumlh S, pbil bris jumlh-jumlh prsil S koverge meuju S.

Lebih terperinci

PENGANTAR TEORI INTEGRAL

PENGANTAR TEORI INTEGRAL BAB 6 PENGANTAR TEORI INTEGRAL Oe c ot uderstd... the uiverslity of lw of ture, the reltioship of thigs, without uderstdig of mthemtics. There is o wy to do it. Richrd P FEYNMAN 6. Pedhul Dlm klkulus sisw

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 3). Pembatas linear (linear constraints) Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

PENDAHULUAN. 3). Pembatas linear (linear constraints) Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI PENDAHULUAN A. Pegerti Umum Pegerti progrm lier yg diteremhk dri Lier Progrmmig (LP) dlh sutu cr utuk meyelesik persol pegloksi sumber-sumber yg terbts di tr beberp ktivits yg bersig, deg cr yg terbik

Lebih terperinci

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i

Lebih terperinci

SOLUSI EKSAK DAN SOLUSI ELEMEN HINGGA PERSAMAAN LAPLACE ORDE DUA PADA RECTANGULAR. Kata kunci: Laplace, Eigen, Rectangular, Solusi Elemen Hingga

SOLUSI EKSAK DAN SOLUSI ELEMEN HINGGA PERSAMAAN LAPLACE ORDE DUA PADA RECTANGULAR. Kata kunci: Laplace, Eigen, Rectangular, Solusi Elemen Hingga SOLUSI EKSAK DA SOLUSI ELEME HIGGA PERSAMAA LAPLACE ORDE DUA PADA RECAGULAR Lsker P. Sig Abstrk ekik pemish vribel seprtio of vrible pd persm lplce orde du mereduksi persm mejdi beberp persm differesil

Lebih terperinci

GEMATIKA JURNAL MANAJEMEN INFORMATIKA, VOLUME 7 NOMOR 1, DESEMBER 2005

GEMATIKA JURNAL MANAJEMEN INFORMATIKA, VOLUME 7 NOMOR 1, DESEMBER 2005 GEMATIKA JURNAL MANAJEMEN INFORMATIKA, VOLUME 7 NOMOR, DESEMBER 25 PENCARIAN BOBOT ATRIBUT PADA MULTIPLE ATTRIBUTE DECISION MAKING (MADM) DENGAN PENDEKATAN OBYEKTIF MENGGUNAKAN ALGORITMA GENETIKA (Stdi

Lebih terperinci

MATERI LOGARITMA. Oleh : Hartono

MATERI LOGARITMA. Oleh : Hartono MATERI LOGARITMA Oleh : Hrtoo Mteri dispik pd Peltih Mpel Mtetik SMA/ SMK Progr Pscsrj UNY Yogykrt 01 Kopetesi Kopetesi yg dihrpk dicpi oleh pr pesert setelh ebc odul ii d egikuti peltih dlh pu : ehi kosep

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn

Lebih terperinci

BAB IV INTEGRAL RIEMANN

BAB IV INTEGRAL RIEMANN Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x

Lebih terperinci

Aplikasi Sistem Persamaan Lanjar pada Kontrol Agen Perusahan Industri

Aplikasi Sistem Persamaan Lanjar pada Kontrol Agen Perusahan Industri Apliksi Sistem Persm Ljr pd Kotrol Age Perush Idustri Aretth Septiez 9 Progrm Studi Tekik Iformtik Sekolh Tekik Elektro d Iformtik Istitut Tekologi Bdug, Jl Gesh Bdug, Idoesi 9@itbcid Abstrct Sistem persm

Lebih terperinci

APLIKASI PROGRAM MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR EIGEN)

APLIKASI PROGRAM MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR EIGEN) Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik APLIKASI PROGRAM MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR

Lebih terperinci

Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :

Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak : BAB III Pers Aljr Lier Seretk Betuk umum persm ljr lier seretk : x + x + + x = x + x + + x = x + x + + x = dim dlh koefisie-koefisie kost t, dlh kosttkostt d dlh yky persm Peyelesi persm lier seretk dpt

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri

Lebih terperinci

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR. Sift Opersi Bilg Bult Berpgkt Defiisi Pgkt Bult Positif Jik dlh ilg rel (yt) d dlh ilg sli (ilg ult positif), k... seyk fktor deg = pgkt tu ekspoe = ilg pokok/dsr/sis

Lebih terperinci