PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE NEWTON-RAPHSON

Transkripsi

1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE NEWTON-RAPHSON SKRIPSI oleh: KHUTWATUN NASIHA NIM: 4 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 8

2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE NEWTON-RAPHSON SKRIPSI Djuk kepd: Uversts Islm Neger (UIN) Mlg Utuk Memeuh Slh Stu Persyrt Dlm Memperoleh Gelr Srj Ss (S. S) Oleh: KHUTWATUN NASIHA NIM: 4 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 8

3 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE NEWTON-RAPHSON SKRIPSI Oleh: KHUTWATU NASIHA NIM: 4 Telh dsetuju oleh: Dose Pembmbg Pembmbg I Pembmbg II Usm Pgly, M. S NIP Murul Abd, M. Ag NIP Tggl 7 Aprl 8 Megethu, Ketu Jurus Mtemtk Sr Hr, M.S NIP. 5 8

4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE NEWTON-RAPHSON SKRIPSI Oleh: KHUTWATUN NASIHA NIM: 4 Telh Dperthk d Dep Dew Peguj Skrps d Dytk Dterm Sebg Slh Stu Persyrt Utuk Memperoleh Gelr Srj Ss (S. S) Tggl 7 Aprl 8 SUSUNAN DEWAN PENGUJI TANDA TANGAN. Peguj Utm : Sr Hr, M. S ( ). Ketu Peguj : Drs. H. Turmudz, M. S ( ). Sekretrs Peguj : Usm Pgly, M. S ( ) 4. Aggot Peguj : Murul Abd, M. Ag ( ) Megethu d Megeshk Ketu Jurus Mtemtk Sr Hr, M. S NIP. 5 8

5 MOTTO Stu-y Kt Dfkrk Stu-y Lgkh Dreugk Keberhsl Tertgg Seorg Mus Adlh Ketk I Berhsl Medptk Rdho Dr Allh SWT

6 PERSEMBAHAN!" #$ ## " $$$$$$$! $%!"$ # #& $$$$$$!"$ ' ( ' $ $$$$ $! " )*, - #. # $- $! - ', ) ' * ' $ $$$$ # $ %%%%%

7 KATA PENGANTAR Asslmu lkum Wr. Wb. Segl puj d puj syukur peuls hturk ke hdrt Allh SWT, yg telh memberk petujuk d pertolog-ny sehgg peuls dpt meyelesk skrps yg berjudul Peyeles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso, Sebg Slh Stu Persyrt utuk memperoleh gelr Srj Ss (S.S) Sholwt sert slm semog tetp tercurhk kepd Sg Pembhru ytu pembw pecerh, Nb Agug Muhmmd SAW, yg telh mecerhk du d sy deg sur tuldy. Dlm meyelesk skrps, peuls mers berhutg bud kepd berbg phk yg telh byk membtu d memberk motvs sert krtk yg kostruktf dlm meyusu skrps, oleh kre tu peuls megucpk term ksh yg sebesr-besry kepd:. Bpk Prof. Dr.H. Imm Supryogo, selku Rektor Uversts Islm Neger Mlg. Bpk Prof. Dr. Sutm Bmbg Sumtro, SU, DSc, selku Dek Fkults Ss d Tekolog Uversts Islm Neger Mlg. Ibu Sr Hr, M.S, selku Ketu Jurus Mtemtk Fkults Ss d Tekolog UIN Mlg

8 4. Bpk Usm Pgly, M.S, selku Dose Pembmbg, kre ts bmbg, btu, d kesbr belu peuls skrps dpt terselesk. 5. Seluruh Dose Mtemtk Fkults Ss d Tekolog UIN Mlg 6. Kedu org tuku terct Bpk Ahmd Bhq d Ibu Sholhtu d dkku stu-stuy Moh.Zdy. Sert seluruh kelurg yg deg sepeuh ht memberk dukug morl mupu sprtul sert ketulus do y sehgg peuls skrps dpt terselesk. 7. Ck Al yg sellu sbr d tbh meemku selm kulh, mks ts semgt yg sellu ku berk. 8. Tem tem Mtemtk gkt, besert semu phk yg telh membtu peyeles skrps. 9. Sert seluruh shbt-shbtku yg telh byk memberk dukug d motvs dlm meyelesk skrps.. Sert semu phk yg tdk dpt Peuls sebutk stu perstu yg byk membtu dlm peuls skrps Semog ts btu d dorog yg dcurhk kepd peuls k mejd ctt ml bdh yg dterm d ss Allh SWT. Peuls meydr bhw dlm peyusu lpor peelt juh dr kesempur, semu tu kre keterbts kemmpu peuls dlm meglss feome yg d, mu sr d krtk sellu peuls hrpk dem perbk pd peelt berkuty.

9 Akhry semog hsl dr lpor peelt dpt bermft utuk djdk peljr yg bermk bg peuls khususy d bg pr pembc pd umumy. Am... Wllhulmuwffq Il Aqwmt Thoreq Wsslmu lkum Wr.Wb Mlg, Mret 8 Peuls

10 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... v DAFTAR TABEL... v DAFTAR GAMBAR... v DAFTAR LAMPIRAN... v ABSTRAK... BAB I. PENDAHULUAN. Ltr Belkg.... Rumus Mslh Bts Mslh Tuju peuls Mft Peuls Metode Peelt Sstemtk Pembhs... 7 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA. Sstem Persm Tk Ler Metode Numerk Glt Deret Tylor Defs Deret Tylor Pemech Deret Tylor Fugs Determ d Atur Crmer Fugs Determ Atur Crmer....6 Metode Newto-Rphso...

11 .7 Perlus Metode Newto-Rphso Utuk meyelesk sstem Persm Tk ler Kj Kegm...9 BAB III. PEMBAHASAN. Metode Newto-Rphso Pd sstem Persm Tk ler Prosedur Umum Metode Newto-Rphso Pd Sstem Persm Tk Ler...4. Peyeles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso...7. Alss Hsl Komputs Dr Seles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso Kj Kegm... 7 BAB IV. PENUTUP 4. Smpul Sr DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN

12 DAFTAR TABEL. Tbel.: Hsl Perhtug Metode Newto-Rphso...6

13 DAFTAR GAMBAR. Gmbr.: Peluks grfk turu... Gmbr.: Peluks grfk metode Newto-Rphso..4. Gmbr.: Bg lur sstem persm tk ler megguk metode Newto-Rphso Gmbr.: Grfk kekoverge metode Newto-Rphso pd sstem persm tk ler deg persm tk ler Gmbr.: Grfk kekoverge metode Newto Rphso pd sstem persm tk ler deg persm tk ler...7

14 DAFTAR LAMPIRAN. Lmpr. Progrm Mthlb Metode Newto-Rphso Pd system Persm Tk Ler Deg Persm Tk Ler..8. Lmpr. Progrm Mthlb Metode Newto-Rphso Pd system Persm Tk Ler Deg Persm Tk Ler...8

15 ABSTRAK Nsh, Khutwtu. 8. Peyeles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso. Jurus Mtemtk. Fkults Ss d Tekolog, Uversts Islm Neger Mlg. Pembmbg: I. Usm Pgly, M. S, II. Murul Abd, M. Ag Kt Kuc: Sstem Persm, Tk Ler, Metode Newto-Rphso. Metode umerk dlh slh stu cbg tu bdg mtemtk khususy mtemtk rekys, yg megguk blg utuk meruk proses mtemtk. Slh stu kj dlm metode umerk dlh meyelesk sstem persm tk ler deg megguk Metode Newto- Rphso. Berdsrk ltr belkg tersebut peelt dlkuk deg tuju utuk mejelsk lgkh-lgkh seles sstem persm tk ler deg Metode Newto-Rphso. Dlm kj, peuls meyelesk sstem persm tk ler deg Metode Newto-Rphso. Dlm perhtug Metode Newto-Rphso, byk melbtk tur ljbr mtrks ytu mtrks jcob d tur crmer. Adpu plksy, peuls memberk cotoh sstem persm tk ler. Sstem yg pertm terdr dr persm tk ler deg du vrbel d yg kedu terdr dr persm tk ler deg vrbel. Kedu sstem tersebut dkerjk deg Metode Newto-Rphso d hsly sebg berkut: Utuk sstem yg pertm deg l tebk wl,4 d y,5 ddptk l seles,96888 d y,46485 deg l glt 8,88796e- d y -,48649e- pd ters ke-5. Sedgk utuk sstem yg kedu deg l tebk wl, y d z ddpt l seles,67566, y -,947 d z -, deg l glt,9799e-9, y, e- d z -,78e-9 pd ters ke-6. Berdsrk hsl yg dperoleh, dpt dlss bhw semk kecl l-l devs tu l glt yg dperoleh, mk semk tept l selesy.

16 BAB I PENDAHULUAN. Ltr Belkg Alm semest memut betuk-betuk d kosep mtemtk, meskpu lm semest tercpt sebelum mtemtk tu d. Alm semest sert segl sy dcptk Allh deg ukur-ukur yg cermt d telt, deg htug-htug yg mp d deg rumus-rumus sert persm yg rp (Abdussykr, 6). Sebgm telh djelsk dlm Frm Allh SWT ytu QS: Al-Qmr yt 49, sebg berkut: Arty: Sesugguhy Km mecptk segl sesutu meurut ukur. Meurut yt d ts semu yg d d lm d ukury, d htug-htugy, d rumusy tu d persmy. Deg ketertur d ukur-ukur yg telh dtetpk oleh Allh tersebut, mk sklus kehdup yg d d bum berjl sgt tertur. Bum kt yg berputr 4 jm stu hr stu mlm tdk lebh tdk kurg. Hl berkbt bk bg mus kre tdk d bg bum yg terllu kerg kre kbt terus meerus dsorot sr mthr. Jug tdk d yg kekurg chy terllu juh. Secr umum kods d bum sgt ps utuk kehdup.

17 Begtu jug deg lmu mtemtk, Allh SWT mecptk lmu mtemtk yg ddlmy terdpt berbg persm. Msly sj persm tk ler yg tdk bs dselesk deg ltk, d persm tersebut hy bs dselesk deg metode umerk. Mk Allh mecptk lmu umerk utuk djdk btu dlm meyelesk persm tersebut. Dr ur d ts, dpt dkethu betp lusy lmu Allh d betp sygy Allh pd mus. Kre Allh telh mecptk btu kepd mus jk mus tersebut meglm kesult sebgm Allh mecptk lmu umerk utuk meghtug persm-persm yg sult dselesk. Sebgm yg terdpt dlm Frm Allh SWT pd QS: Al- Isyroh yt 5-6 d bwh : Arty: Kre Sesugguhy sesudh kesult tu d kemudh,sesugguhy sesudh kesult tu d kemudh. Mtemtk dlh sutu pegethu yg sgt petg dlm meujg pegethu yg l. Dpt dlht msly dlm bdg Tekk, Ekoom, lmu Sosl, sert Mtemtk dlm lmu pegethu tu sedr (Yhy, 4). Pd keyty Mtemtk sebg lmu ekskt yg sgt ert deg rumus d perhtug yg dpt djdk sebg lt btu utuk meyederhk peyj pembhs mslh. Deg megguk bhs

18 mtemtk, stu mslh dpt mejd lebh sederh utuk dsjk, dfhm, dlss d dpechk. Ak tetp jk sutu permslh dlm mtemtk tu sult dselesk deg metode ltk, mk metode umerk-lh yg berper petg d s. Metode umerk dlh slh stu cbg tu bdg mtemtk, khususy mtemtk rekys, yg megguk blg utuk meruk proses mtemtk (Djojodhrjo,:). Proses mtemtk seljuty drumusk utuk meruk ked yg sebery. D dlm kegt rekys d peelt, setp lss dhrpk dpt meghslk blg, yg dperluk dlm perec tekk tupu peghyt mslh. Mempeljr tu meerpk metode umerk, hruslh dlds oleh beberp pemkr dsr, bk berup mft (modl, sset) mupu kedl. Metode umerk sudh lm berkembg, tetp peerp dlm pemech mslh belum melus dlm berbg bdg. Itu dkrek pd ms tersebut lt btu htug berup komputer belum byk dguk. Beberp thu terkhr perkembg mege komputer sgt pest sehgg metode umerk serg dselesk deg komputer, sel tu jug deg berkembgy komputer sebg lt yg sgt mpuh utuk meyelesk permslh dlm berbg bdg. Metode umerk mmpu meyelesk sutu persm yg besr, tdk ler d sgt komplek yg tdk mmpu dselesk deg ltk (Trtmodjo, :). D dlm du yt, umumy model mtemtk mucul dlm betuk sstem tk ler. Persm tk ler yg dselesk tdk hy stu,

19 sehgg membetuk sebuh sstem yg dsebut sstem persm tk ler smult. Sedgk peyeles sstem persm tk ler tdk dpt dselesk secr ltk, melk hrus dkerjk secr umerk. Sepert hly persm yg telh dguk oleh peuls ytu beberp persm yg berbetuk tk ler tu dsebut jug deg sstem persm tk ler (Mur, 6:). Sstem persm tk ler dlh kumpul dr du tu lebh persm tk ler. Adpu persm yg dguk dlm skrps ytu berbetuk l y 5 y (. ) cos( y) z y e z y y z,,8 z, (. ) Slh stu metode yg dguk utuk meyelesk sstem persm tk ler tersebut dlh metode Newto-Rphso. Metode Newto-Rphso d s ytu metode yg dguk utuk meyelesk sstem persm tk ler, dlm peyelesy megguk turu-turu dr persm tersebut d proses perhtugy deg melbtk tur ljbr mtrks utuk mecr l-l devs yg seljuty dguk utuk medptk l-l seles pd sstem persm tk ler tersebut. Metode Newto-Rphso tergolog cept utuk meyelesk sstem persm tk ler d kre dy kelmu yg sult bhk tdk dpt dselesk secr ltk. Dr slh peuls meggkt permslh tetg peyeles sstem tk ler. Dlm peelt peuls memk

20 btu progrm MATHLAB 5. kre bhs pemogrmy lebh mudh d slh stu progrm yg sesu utuk meglss umerk. Mk dlm peuls skrps peuls megmbl judul Peyeles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso.. Rumus Mslh Berdsrk ltr belkg yg telh durk, dpt dmbl rumus mslh sebg berkut: Bgm peyeles sstem persm tk ler deg Metode Newto- Rphso?. Bts Mslh Utuk lebh jelsy d terrh pd ssr yg dhrpk dlm pembhs skrps, mk dperluk dy pembts mslh yg k dbhs ytu: Dguk sstem persm tk ler, sstem persm tk ler yg pertm terdr dr persm tk ler deg vrbel, sedgk yg kedu terdr dr persm tk ler deg vrbel. Adpu sstem persm tk ler tersebut berbetuk: f (, f (, f (, f (, ) ), f (,,, ) ) ) (. ) (. 4)

21 .4 Tuju Peuls Berdsrk rumus mslh d bts mslh mk tuju peuls sebg berkut: Utuk megethu peyeles sstem persm tk ler deg megguk metode Newto-Rphso..5 Mft Peuls Adpu mft dr peuls skrps dlh sebg berkut:. Bg peuls. Membh pegethu d kelmu tetg meetuk Prosedur seles sstem persm tk ler deg metode Newto- Rphso.. Dpt membh pegethu d kelmu tetg komputer, khususy bhs pemrogrm MATHLAB 5... Bg pembc. Membtu mempeljr d memperdlm mslh peyeles sstem persm tk ler deg metode Newto-Rphso.. Sebg ltertur peujg khususy bg mhssw yg meempuh mt kulh progrm komputer d umerk..6 Metode Peelt Dlm kj peuls megguk metode ltertur, ytu melkuk peelusur d peelh terhdp beberp ltertur yg puy relevs deg topk bhs. Bertuju utuk megumpulk dt-dt d forms

22 deg btu bermcm-mcm mter yg terdpt d rug perpustk, sepert: buku-buku, mjlh, dokume, ctt, ksh-ksh sejrh d sebgy (Nzr, 988:). Adpu ltertur yg dguk ytu: Metode Numerk krg Bmbg Trtmodjo, Metode Numerk Utuk Tekk deg Peerp pd Komputer Prbd krg Steve Chpr, Metode Numerk krg Hrjoo Djojodhrjo d msh byk yg ly sert ctt-ctt selm dperkulh. Lgkh umum dlm peuls dlh: Merumusk Mslh Megumpulk bh tu sumber d forms deg cr membc d memhm ltertur yg berkt deg metode Newto-Rphso d sstem persm tk ler. Setelh memperoleh dt d forms tetg metode Newto-Rphso d sstem persm tk ler, lgkh seljuty melkuk pembhs deg megurk lgkh-lgkh peyeles sstem persm tk ler megguk metode Newto-Rphso. Kemud memberk cotoh d peyelesy dr sstem persm tk ler megguk rumus Newto-Rphso. Membut kesmpul berup peyeles sstem persm tk ler deg megguk metode Newto-Rphso.

23 .7 Sstemtk Pembhs berkut : Skrps megguk sstemtk peuls d pembhs sebg BAB I. PENDAHULUAN Pd bb terdr dr ltr belkg mslh, Rumus Mslh, Bts Mslh, Tuju Peuls, Mft Peelt d Sstemtk Pembhs BAB II. KAJIAN PUSTAKA Pd bb dfokusk pd mslh ytu Sstem persm tk ler, Metode umerk, Glt, Deret Tylor, Determ, tur crmer, Metode Newto-Rphso, Metode Newto-Rphso utuk meyelesk sstem persm tk ler d kj kegm. BAB III. PEMBAHASAN Pd bb dlh pembhs yg bers tetg Prosedur Metode Newto-Rphso, Peyeles sstem persm tk ler, lss hsl perhtug sstem persm tk ler d kj kegm. BAB IV. PENUTUP Pd bb peutup bers kesmpul dr hsl lss yg sudh dlkuk. Sel tu jug bers sr yg perlu bg org-org yg bergelut d bdg tersebut

24 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sstem Persm Tk ler Sstem persm tk ler dlh kumpul dr du tu lebh persm-persm tk ler. f (, f (,,, f (,,,, ) ) ) Peyeles sstem terdr dr hmpu l-l yg secr smult memberk semu persm tersebut l yg sm deg ol. f ( ) c (. ) deg c d koefse-koefse dlh kostt. Persm-persm ljbr d trsede yg tdk cocok deg betuk d ts, mk dsebut persm tk ler. Cotoh: y d y y 57 Cotoh d ts dlh du persm tk ler smult deg du blg yg tk dkethu, d y. Persm-persm tersebut dpt dytk dlm betuk d bwh : u(, y) v(, y) y y y 57

25 jd peyelesy k berup l-l d y yg membut fugs u(,y) d v(,y) sm deg ol. (Chpr d Cle, 988:47). Metode Numerk Metode umerk dlh tekk utuk meyelesk permslhpermslh yg dformulsk secr mtemts deg cr opers htug (rtmtk). Berbg permslh dlm bdg lmu pegethu d tekolog dpt dgmbrk dlm betuk persm mtemtk. Apbl persm tersebut mempuy betuk sederh, peyelesy dpt dlkuk secr ltk, tetp pd umumy betuk persm sult dselesk secr ltk, sehgg peyelesy dlkuk secr umerk (Trtmodjo, :). Pd umumy metode umerk tdk megutmk dperolehy jwb yg eksk (tept), tetp megushk perumus metode yg meghslk jwb pedekt yg berbed dr jwb yg eksk sebesr sutu l yg dpt dterm berdsrk pertmbg prkts, tetp cukup dpt peghyt pd persol yg dhdp. Sehgg hsl dr peyeles umerk merupk l perkr tu pedekt dr peyeles ltk tu eksk (Djojodhrdjo, :).. Glt Peyeles secr umerk dr sutu persm mtemtk hy memberk l perkr yg medekt l eksk (yg ber) dr

26 peyeles ltk. Jd dlm peyeles umerk tersebut terdpt keslh terhdp l eksk (Trtmodjo, :). Meglss glt sgt petg d dlm perhtug yg megguk metode umerk. Glt bersoss deg seberp dekt solus hmpr terhdp solus sejty. Semk kecl glty, semk telt solus umerk yg ddptk. Kt hrus memhm du hl: () bgm megtug glt, d (b) bgm glt tmbul. Mslk dlh l hmpr terhdp l sejt, mk selsh ε (. ) dsebut glt. Sebg cotoh, jk,5 dlh l hmpr dr,49, mk glty dlhε,. Jk td (postf tu egtf) tdk dperhtugk, mk glt mutlk dpt ddefsk sebg ε (. ) Ukur glt ε ds kurg bermk sebb tdk mecertk seberp besr glt tu dbdgk deg l sejty. Sebg cotoh, seorg k melpork pjg sebtg kwt 99 cm, pdhl pjg sebery cm. glty dlh 99 cm. k yg l melpork pjg sebtg pesl 9 cm, pdhl pjg sebery cm, sehgg glty jug cm. Kedu glt pegukur sm-sm berl cm, mu glt cm pd pegukur pjg pesl lebh berrt dr pd glt cm pd pegukur pjg kwt. Jk tdk d forms mege pjg sesugguhy, kt mugk megggp kedu glt tersebut sm sj. Utuk megts teprets

27 l glt, mk glt hrus dormlk terhdp l sejty. Ggs melhrk p yg dmk glt reltf. Glt reltf ddefsk sebg ε ε R (. 4) tu dlm persetse ε ε R % (. 5) Kre glt dormlk terhdp l sejty, mk glt reltf tersebut dmk jug glt reltf sejt. Deg demk, pegukur pjg kwt mempuy glt reltf /,, sedgk peguku pjg pesl mempuy glt reltf sejt /,. dlm prktek kt megethu l sejt, kre tu glt ε sergkl dormlk terhdp solus hmpry, sehgg glt reltfy dmk glt reltf hmpr. ε ε RA (. 6) Cotoh: Mslk l sejt / d l hmpr,. htuglh glt, glt mutlk, glt reltf, d glt reltve hmpr. Peyeles: Glt /, / /, Glt mutlk,, Glt reltf (/)/(/),

28 Glt reltf hmpr (/)/, /9999 Glt reltf hmpr yg dhtug deg persm (. 6) msgmsg megdug kelemh sebb l tetp membutuhk pegethu l (dlm prktek kt jrg sekl megethu l sejt ). Oleh kre tu, perhtug glt reltf hmpr megguk l pedekt l. Pd perhtug umerk yg megguk pedekt lelr (terto). ε RA dhtug deg cr r r ε RA (. 7) r yg dlm hl r dlh l hmpr lelr sekrg d r dlh hmpr lelr sebelumy. Proses lelr dhetk bl ε RA < ε S yg dlm hl ε S dlh tolers glt yg dspesfksk. Nl ε S, meetuk ketelt solus umerk. Semk kecl l ε S semk telt solusy, mu semk byk proses lelry. Cotoh: Mslk d prosedur lelr sebg berkut r, r,,, 6 Lelr dhetk bl kods ε < ε. Dlm hl ε S dlh tolers RA S glt yg dgk. Msly deg memberk, 5, d ε 5 e 5,5 kt memperoleh rutut: s

29 ,5, ; ε ( ) /,4478 > ε RA S ε, 584 > ε,48668 ; RA ( ) / S ε, 5984 > ε,48757 ; RA ( ) / S 4 ε, 69 > ε,4849 ; RA ( 4 ) / 4 S ε, 8 > ε,4845 ; RA ( 5 4 ) / 5 S pd lelr ke-5, ε < ε sudh terpeuh sehgg lelr dpt dhetk. RA S.4 Deret Tylor.4. Defs Deret Tylor Adk f d semu turuy f, f, f,, meerus ddlm selg [,b]. Mslk [, ], mk utuk l-l dsektr d [, ], b f() dpt dperlus (dekspsk) ke dlm deret tylor: b f ( ) f ( ) f (' )! f (' ( ) )! f... m ( ( ) ) m! m... (Mur, 5:8) (. 8).4. Pemech Deret Tylor Msly dlm meghtug pedekt y() utuk < < m deg beberp mksud. Justru bgm kt k smp pd ttk k mejd

30 jels pd khr bg. Dlm setp ksus kt guk Theorem Tylor, deg megurk y() dsektr ttk m y' m y ( ) ym y (' m ) ( m )!... ( j) ym ( j! m ) j ( j ) ym ( ξ ) ( ( j )! m ) j (. 9 ) Dm j ym dlh turu y() ke j devlus pd m. Igt kembl bhw ξ dlh terkhr yg dbts oleh m < ξ < Dm dsumsk m, meskpu tdk cukup sebg sutu rgumet. Dguk (.8) utuk medekt solus y() pd m m h deg meggt deg m h. Jd y m y m h hy' m! y ' m... y j m j! h j ( j ) m y ( ξ ) h ( j )! j (.) Bsy kt k megbk sutu yg kre tu mekk keslh pemedek yg lebh bk. Dlm setp ksus, perlu utuk megevlus beberp turu y dr (.) y ' f ( m, y ) (.) m Deg medfereser y ' f (, y) terhdp y' ( f (, y) f ) f (, y) f (, y) (.) y Sehgg y ' f ff (.) y

31 (' (' (' Dm subscrpt terkhr meytk turu prsl terhdp vrbel yg dtujukk pd subscrpt: f f Dmslk bhw semu fugs d turuy devlus pd m, y y m. Mslk dmbl j dlm (. 8). mk k ddpt y m y m h hy' m y ' m y ξ ) h 6 Dr (.) d (.) y y h h f ( f ff y ) ξ ) h 6 m m y (.4) Kt megbk suku terkhr d meghtug ym dr h y m ym h f ( f ff y ) (.5) Keslh pemedek e t y ξ ) h 6 Jk turu ketg cukup costt dpt dktk Dm K dlh kostt. e t Kh (. 6) Sekrg jels bgm kt dpt membetuk sutu solus pedekt pd y ' f (, y) d y ( ) y deg megmbl m dlm (.5). kt htug y. Pedekt solus h. Kemud deg hrg y d

32 h kt mbl m dlm (.5) d meghtug y. Deg meljutk cr sepert kt htug y, y 4,, y m, y m, keslh pemedek (.6) terkuls dlm setp lgkh. Kt hrus mecr metode dm kumuls tdk terllu membhyk. Solus Deret Tylor dklsfksk sebg metode stu lgkh kre dlm mecr ym hy memerluk forms dr sutu ttk sebelumy, m, y m. Kesult prkts metode lh k sult pd keyty dlm beberp ksus bhk tdk mugk utuk memperoleh f d f y. Seljuty, jk g memperoleh pemedek yg lebh bk, ytu deg keslh pemedek yg lebh kecl, kt perlu megevlus ' y m dm y ff ' m ff y f f yy f f y ff y Turu berutu k mejd lebh kompleks. Igt jug bhw setp turu prsl f hrus devlus pertm kl utuk, y y, kemud utuk, y y, d seterusy (Djojodhrdjo, :67). Cotoh: Hmpr fugs f ( ) s ( ) ke dlm deret Tylor d sektr Peyeles Meetuk turu s () terlebh dhulu sebg berkut

33 (' f ( ) s ( ) f (' ) cos( ) f (' ) s ( ) f ) cos( ) f (' ) s ( ) d seteruy. Dr persm (.9) d (.) s ( ) dhmpr deg deret Tylor sebg berkut: ( ) ( ) s ( ) s () cos() ( s())!! ( ) ( ) ( cos()) (s())! 4! 4... Bl dmslk h, mk berdsrk (. 9) h s ( ) s () cos() h ( s()) 4 h h ( cos()) (s( )) s ( ),845,54h,48h,9h,5h 4... Kre suku-suku deret tylor tdk terhgg byky, mk utuk ls prkts deret tylor dpotog suku orde tertetu. Deret tylor yg dpotog smp suku orde ke- yg dmk deret tylor terpotog, yg potogy tu bsy dmk ss tu glt.

34 . 5 Fugs Determ D Atur Crmer.5. Fugs Determ Defs: Mslk A dlh mtrks kudrt. Fugs determ dytk oleh det, d ddefsk det (A) sebg jumlh semu hsl kl elemeter bertd dr A. Jumlh det (A) dmk determ A. Determ tgkt lh betuk susu eleme-eleme j meurut brs kolom, dtuls sebg berkut: det,, dsebut eleme-eleme (usur-usur) determ tgkt puy brs d kolom, jd byky eleme d buh. (Soehrdjo, 998:) Atur determ sebg berkut: Utuk determ tgkt, dtuls sebg berkut: det (.7) Utuk determ tgkt, dtuls sebg berkut: det (.8)

35 bwh : Utuk lebh mudhy dlm megerjk, dguk prt sepert d (. 9) Atur (.9) d ts dsebut jug sebg tur srrus yg dkhususk utuk determ tgkt tg. Deg meglk etr-etr pd ph yg megrh ke k d megurgk hsl etr-etr pd ph yg megrh ke kr. Rumus kedu dlm tur d ts ddptk deg meyl kembl kolom pertm d kolom ke du sepert yg dperlhtk dlm gmbr. Determ tersebut kemud d htug deg hsl kl pd ph-ph yg megrh ke kr. Cotoh: Htuglh determ-determ dr A d 4 B Deg megguk metode dr (gmbr.7) mk k memberk: Det (A) (-6) (4) - Deg megguk metode dr (gmbr.8) mk k memberk: Det (B) (45) (84) (96) - (5) - (-48) - (-7) 4

36 .5. Atur Crmer Teorem: Jk AX-B dlh sstem yg terdr dr persm ler dlm blg tk dkethu sehgg det(a), mk sstem tersebut mempuy sstem pemech yg uk. Pemech dlh ) ( det ) ( det A A ) ( det ) ( det A A,..., ) ( det ) ( det A A (.) dm A dlh mtrks yg ddptk deg meggtk etr-etr dlm kolom ke-j dr A deg etr-etr dlm mtrks B b b b Bukt: Jk det(a), mk A dpt dblk. D B A X dlh pemech uk dr AX B. Sehgg dperoleh: C C C C C C C C C A B A dj A B A X ) ( det ) ( ) ( det b b b Deg meglk mtrks-mtrks k memberk C b C b b C C b C b b C C b C b b C A X ) ( det Etr dlm brs ke-j dr X, deg demk

37 ) ( det A C b C b C b j j j Sekrg mslk A j j j j j j j b b b Kre j A berbed dr A hy dlm kolom ke-j, mk kovktor dr etr-etr yg bersesu dlm kolom ke-j dr. Perlus kofktor det ( j A ) j j j C b C b C b. Deg mesubttusk hsl ke dlm ) ( det A C b C b C b j j j mk k memberk ) ( det ) ( det A A j j terbukt. Cotoh: Guk tur crmer utuk memechk sstem persm dbwh : Peyeles: 6 4 A A A A

38 Mk det ( A ) det ( A) 4 44 det ( A ) det ( A) det ( A ) det ( A) 5 8 (Ato, 987:8) 44.6 Metode Newto-Rphso Metode Newo-Rphso dlh metode yg plg lus dpk dtr rumus peemu kr. Metode dpt dturuk berdsrk tfsr geometr (gmbr. ). jk tebk wl dr kr dlh, sebuh grs sggug dpt dtrk dr ttk [, f( )]. Ttk dm grs sggug memotog sumbu bsy meytk kr yg lebh bk ( ). Turu pertm pd dlh ekvle terhdp kemrg. Adpu defs turu sebg berkut: y (ch-f(ch) c,f(c) f(ch)-f(c) c h ch Gmbr. Peluks Grfk Turu Turu fugs f dlh fugs l f (dbc f kse ) yg ly pd sebrg blg c dlh f (' c) lm h f ( c h) h f ( c)

39 Adpu keekvle terhdp kemrg tersebut, dpt dgmbrk sebg berkut: f() Kemrg f ( ) f( ) f( ) - Gmbr. Peluks Grfk MetodeNewto-Rphso Pd gmbr., turu pertm pd dlh ekvle terhdp kemrg: f ( ) f ( ) f ( ) f (' tu f ( ) (. ) f (' ) Persm (. ) dmk rumus ters Metode Newto-Rphso. Sel dr peuru geometr, rumus Newto-Rphso jug dpt dkembgk dr tekk eksps deret Tylor. Eksps (ur) deret Tylor secr legkp: f (' ) ( ) f ( ) f ( ) f (' )( ) ( ) ( )! f! R dm suku R f ξ ( )! ( ) ( ) deg ξ terletk sebrg dlm selg smp. Sutu vers hmpr dpt dperoleh deg memotog deret setel suku turu pertm:

40 f ( ) f ( ) f (' )( ) pd perpotog sumbu, f( ) k sm deg ol, tu: f ( ) f (' )( ) tu f ( ) f (' ) (Chpr d Cle, 996) Cotoh: Persm yg dselesk dlh h() 4 s () cos () Turu pertm dr persm tersebut dlh h'() 4 cos () s () deg megguk persm h( ) h (' ) pd wl htug dtetuk r sembrg, msly ; h ( ) h (' ) 4 *s() * cos() 4 *(,4) *(-,99),56448, ,545 4*cos() * s() 4*(-,99) * (,4) -,9599,4 -,566 h( ) h (' )

41 ,545,9994,9994 -,566 lgkh berkuty dtetpk,9994 h (,9994) 4*s(,9994) * cos(,9994) 4 *(-,7564) * (-, ) -,564,96 -,65 h (',9994) 4 *cos(,9994) * s(,9994) 4 * (,654) *(,7564) -,6699 -,69-4,8856 f ( ) f (' ),65,9994 4,8856,9994,7648,788 Hsl perhtug seljuty k dberk pd tbel. berkut : Tbel. Hsl Iters metode Newto-Rphso Iters r f( r ) f ( r ) glt, ,566,9999 -,6-4,8856,9999,7875,679-4, ,764 4, ,e-8-5,4 5, ,E-8 6, hsl dperoleh pd ters ke-5

42 .7 Perlus Metode Newto-Rphso Utuk Meyelesk Sstem Persm Tk Ler Pdg sstem persm tk ler: ),, ( ),,, ( ),,, ( f U f U f U (. ) Peyeles sstem terdr dr hmpu l-l yg secr smult memberk semu persm tersebut l yg sm deg ol. Dm peyelesy deg perlus metode Newto-Rphso mellu eksps deret tylor pd msg-msg persm. Deg eksps deret tylor orde pertm ) ( ) ( ) ( ) ( ' f f f sehgg persm (. ) mejd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U ) ( tu

43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U U U U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) deg megmbl ( ) ( ) ( ),,, U U U sm deg ol mk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f,,,,,,,,, J δ δ δ (.4) dm J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, J dlh mtrk turu prsl yg dsebut deg mtrks jcob multdmesol. Metode Newto-Rphso utuk sstem persm tk ler dlh metode peyeles sstem persm deg membetuk persm tersebut sepert pd persm (.) d dljutk deg membetuk persm (.4) kemud mecr l pedekty deg memk rumus d bwh :

44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ (.5) Nl-l δ dpt dkethu deg meyelesky megguk tur crmer tu deg kofktor (Chpr d Cle, 988). Jk l pedekty kurg tept, mk dlkuk proses ters deg megguk l pedekt yg ddpt sebg l tebk wl utuk ters seljuty. Proses ters dljutk smp medptk l pedekt yg tept..8 Kj Kegm D dlm Al-Qur terdpt beberp yt yg bers perth-perth yg meyeru kepd mus utuk meykk eksstes Tuh mellu cpt-ny, memperhtk kekus-ny mellu relts yg terhmpr lus d lgt d d bum. Ayt-yt tersebut dtry ytu: Surt Yuus yt, sebg berkut:! $%$"# Arty: Ktklh: "Perhtklh p yg d d lgt d d bum. tdklh bermft td kekus Allh d rsul-rsul yg member pergt bg org-org yg tdk berm". Ayt d ts meergk bhw mejd kehrus bg mus utuk memperhtk sft d tgkh lku lm semest. Memperhtk d s

45 mempuy rt mempeljr proses-proses yg d d lm semest. Slh stuy deg mempeljr lmu mtemtk. Kre lmu mtemtk bs dterpk pd du fsk. Smbol-smbol yg dcptk oleh pkr mus cocok utuk membogkr mster-mster lm semest d memberk pd kt kedl ts du fsk. Hl tu yg hrus dlkuk sekrg, kre deg begtu seseorg dpt membh lmu pegethu, memfugsk kl, medorog berpkr d membh kem Mtemtk pd dsry berkt deg pekerj meghtug, sehgg tdk slh jk kemud d yg meyebut mtemtk dlh lmu htug tu lmu l-hsb. Dlm hl htug-meghtug, Allh dlh rjy. Allh sgt cept dlm meghtug d sgt telt. Kre lmu htug dlm kehdup sgt dbutuhk. Sepert dlm perhtug perdgg, lmu wrs d sebgy (Abdussykr, 6:8). Bhk d beberp yt yg ddlmy terkdug gk tu blg, dtry terdpt dlm Frm Allh SWT ytu QS: Al-Afl : 65, sebg berkut: -,"#, *()"#"!"&' $5"4#(&##$%!$/#-"#,.)"/! 6"4 #! Arty: H Nb, Kobrklh semgt Pr mukm utuk berperg. jk d du puluh org yg sbr dtrmu, scy merek k dpt meglhk du rtus org musuh. d jk d sertus org yg sbr dtrmu, scy merek k dpt meglhk serbu dr pd org kfr, dsebbk orgorg kfr tu kum yg tdk megert.

46 Ayt d ts megdug gk-gk d dlmy, dsebutk bhw org mukm yg sbr k meglhk org kfr (:). Mk k sult dsmpulk berp yg dpt dklhk oleh, 5 tu org mukm yg sbr. Teryt Al-Qur deg tegs meytk bhw org mukm k meglhk org kfr (:). Jd meujukk bhw perbdg sellu :. Jk kemud d perty berp org mukm yg dperluk utuk meglhk,, tu 5 org kfr? Utuk meetuk byky org mukm yg dperluk utuk meglhk, tu 5 org kfr tersebut dpt dhtug deg rumus fugs deg memslk byky org mukm yg sbr d y meytk byky org kfr (Abdussykr, 6:86). Dr ur d ts, sudh jels bhw peggu mtemtk d d dlm Al-Qur. Khususy pd bg persm, jk dlm meyelesk persm tersebut sush ddpt tu bhk tdk bs dselesk deg rumus mtemtk, mk metode umerk-lh yg berper petg dlm ksus. Kre deg metode umerk seseorg dpt lebh mudh mecr peyeles pd persm mtemtk tersebut. Msly pd dlm mslh peyeles sstem persm tk ler, peyeles sstem persm tk ler yg sult dselesk deg megguk rumus tu kosep mtemtk, dpt dselesk deg megguk metode umerk. Hl sesu deg Frm Allh SWT yg d dlmy bers tetg Allh sellu memberk kemudh kepd umt-ny

47 jk meglm kesult. D try dlm surt A-Ns :8, Allh berfrm sebg berkut: <#;'":9 -,7'#&8$%" Arty: Allh hedk memberk kerg kepdmu d mus djdk bersft lemh. Kemudh dlm lmu mtemtk ytu dpt memberk jl yg ber utuk meyelesk persm tersebut. Dlm meyelesk lgkhlgkhy hrus telt, utuk memperoleh hsl yg tept dlm perhtug secr mtemts. Sebgm Frm Allh QS: Mrym:94, sebg berkut: )-@(>?($ & Arty: Sesugguhy Allh telh meetuk jumlh merek d meghtug merek deg htug yg telt. Ayt d ts mejelsk tetg ketelt dlm meghtug sgt dperluk bg pr hl mtemtk. Merek hrus bekerj kers meghtug blg-blg secr tept, sehgg semu phk yg berkepetg bs mersk hsl yg ber. Tdk boleh d selsh dlm perhtug. Semu hrus dlkuk secr seksm d kurt sehgg meghslk keber yg shh. Semgt lh yg sgt dtekk oleh Al-Qur. Ketept dlm perhtug yg dlkuk oleh hl mtemtk buk sj dlkuk dem mejm kedl kepd sp sj yg berkepetg, melk jug dem memperoleh forms yg ber-ber berdsrk perhtug d dem mejg kedl terhdp semu phk dlm segl ked.

48 Berdsrk yt d ts dlm lmu mtemtk, pbl sutu persm sult dselesk secr lts, mk peyeles dpt dlkuk deg cr l, ytu secr umerk. Kre peyeles secr umerk dpt memberk hsl perhtug yg medekt deg l perkr tu pedekt dr hsl persm tersebut. Hsl tersebut dlm lmu mtemtk dguk sebg ls hsl perhtug yg dgk. Sehgg peyeles secr umerk, lebh tept dguk dlm peyeles persm, d try persm trsedetl d persm ljbr. Apbl kegy dlm meyelesk persm belum tercp, mk dlm perhtug secr umerk bs dlkuk deg megguk metode umerk l yg lebh mudh dlm meyelesk persm tersebut. Allh memerthk gr kesempur dpelhr sebk-bky dlm setp spek kehdup mus, terlebh lg dlm hl ketetp d kekurt peetu gk d blg yg mejd dsr bg beropersy bdg dustr d ss. Sebg seorg hl mtemtk hrus bekerj kers membut perhtug deg kurs yg tgg, d Allh Yg Mh Meghtug (Al- Hsb) (Rhm, 988:).

49 BAB III PEMBAHASAN. Metode Newto-Rphso Pd Sstem Persm Tk ler Sstem persm tk ler tdk dpt dselesk secr ltk. Oleh sebb tu terdpt metode khusus yg dpt dguk utuk meyelesk sstem persm tk ler, ytu deg Metode Newto-Rphso. Metode Newto-Rphso d s dlh Metode Newto-Rphso yg dperlus khusus dguk utuk meyelesk sstem persm tk ler. Dlm bb, peuls k mejbrk prosedur Metode Newto- Rphso utuk meyelesk sstem persm tk ler. Dlm plksy, peuls megguk cotoh sstem persm tk ler. Sstem persm tk ler yg pertm terdr dr persm tk ler deg vrbel, sedgk yg kedu terdr dr persm tk ler deg vrbel. Prosedur dr sutu metode sgt petg, gu mempermudh dlm pegerjy. Aplg jk terdpt kerumt d dlmy, mk btu komputer jug dbutuhk utuk membtu dlm perhtug... Prosedur Umum Metode Newto-Rphso Pd Sstem Persm Tk Ler. Meulsk sstem persm tk ler.. Meetuk l tebk wl pd msg-msg vrbel.

50 . Mecr l fugs sstem persm tk ler deg l tebk wl yg telh dtetuk pd lgkh du d ts. 4. Mecr turu-turu fugs sstem persm tk ler d ts terhdp msg-msg vrbely,. 5. Meghtug l-l fugs dr turu yg telh ddpt dr lgkh d ts deg megguk tebk wl. 6. Mecr l-l devs dr msg-msg vrbel. 7. Mecr l seles yg lebh tept dr l wl, deg megguk persm d bwh : Tebk bru Tebk lm devs 8. Melkuk proses ters deg megulg lgkh ke-du smp ddptk l devs sekecl mugk tu medekt ol. Prosedur d ts, dpt dbut lur bg tu flow chrt utuk mempermudh dlm pembut progrm computer. Adpu flow chrty sebg berkut:

51 Strt Meulsk Sstem Persm Tk Ler Besert Turuy Tetuk Tebk Awl Mecr Nl Fugs Sstem Persm Tk Ler Besert Turuy Mecr Nl-l Devs Memsukk l Devs Ke dlm rumus Tebk bru Tebk lm devs Memeuh Mks Iters Tdk y Nl Tebk y Bru Yg Memeuh Stop Gmbr.: Bg lur utuk sstem persm tk ler deg Metode Newto-Rphso

52 . Peyeles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto- Rphso Dlm bg peuls memberk du cotoh sstem persm tk ler ytu sstem yg terdr dr persm tk ler deg vrbel d sstem yg terdr dr persm tk ler deg vrbel. Adpu cotoh yg dberk oleh peuls ds ytu sstem yg berup gbug dr persm trsede d ljbr yg berbetuk tk ler. Persm yg dguk sebg berkut: l y 5 d y e y cos( y) z z y y z,,8 z, (. ) (. ) (Muf, 995:47). Sstem persm tk ler d ts k dselesk deg metode Newto-Rphso. Cotoh l y 5 y Peyeles dr cotoh tersebut megguk prosedur yg sudh durk ytu: Lgkh : System persm tk ler d ts dpt dtuls sebg berkut:

53 Iters F(, y) l ( ) y G(, y) 5 y Lgkh : Meetuk l tebk wl d y ytu:, 4 d y, 5 Lgkh : Mecr l fugs dr kedu persm F (, y) d G(, y) deg l tebk wl,4 d y,5, ytu: F(,4;,5) l( ) y l(,4) (,4) (,5), G(,4;,5) 5 y 5(,4) (,4),68,4(,5) Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs tersebut terhdp msg-msg vrbely, ytu: F G 5 4 y F y G y y Lgkh 5: Meghtug l-l fugs dr turu yg telh ddpt dr lgkh 4 d ts deg megguk tebk wl d y, sebg berkut: F,4 6,5 G 5 4 y 5 4(,4),5 5,9 F y y (,5) 5 G,4 y Lgkh 6: Mecr l-l devs dr l d y

54 Nl-l devs tersebut dmslk r d s. Utuk mecr l r d s, terlebh dhulu turu fugs besert l fugs sstem persm tk ler dbetuk mejd: 6,5 5,9 5,4 r, s,68 kemud perhtug dljutk deg mecr mtrks A, A d A deg tur crmer. Adpu hsly sebg berkut: 6,5 5 A 5,9,4 A,,68 5,4 A 6,5 5,9,,68 Setelh ddpt mtrks A, A d A deg tur crmer d ts, kemud dljutk deg mecr determ mtrks-mtrks d ts utuk medptk l r d s. Ytu: det A r det A, 5,68,4 (,,4) (,68 5) 6,5 5 (6,5,4) (5,9 5) 5,9,4,66 det A s det A 6,5, 5,9,68 (6,5,68) (5,9,) 6,5 5 (6,5,4) (5,9 5) 5,9,4,74

55 Lgkh 7: Setelh medptk l r d s d ts, k dcr l pedekt yg lebh tept dr l wl, deg megguk persm d bwh : r,4 (,66),4 y y s,5 (,74),6 Nl,4 d y,6 k dguk sebg tebk wl utuk lgkh berkuty. Iters Lgkh : Meetuk l tebk wl ytu:,4 d y,6 Lgkh : Mecr l fugs F(,4;,6) l( ) y,4 G(,4;,6) 5 l(,4) (,4) (,6) 5(,4) (,4),66 y 4(,6) Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely, ytu: F,4,9 G 5 4 y 5 4(,4),6 6,69 F y y (,6) 4,45 G,4 y Lgkh 5: Mecr l-l devs

56 ,9 6,69 4,45 r,4,4 s,66,9 4,45 A 6,69,4 A,4,66 4,45,4 A,9 6,69,4,66 Setelh ddpt mtrks A, A d A deg tur crmer d ts, kemud dljutk deg mecr determ mtrks-mtrks d ts utuk medptk l r d s. Ytu: r det A det A,4,66,9 6,69 4,45,4 4,45,4 (,4,4 ) (,66 4,45) (,9,4 ) ( 6,69 4,45),54 s det A det A,9 6,69,9 6,69,4,66 4,45,4 (,9,66) ( 6,69,4 ) (,9,4 ) ( 6,69 4,45) Lgkh 6: Mecr l d y berkuty,5 r,4 (,54),94 y y s,6 (,5),476 Nl,94 d y,476 k dguk sebg tebk wl utuk lgkh berkuty Iters Lgkh : Meetuk l tebk wl

57 ytu:,94 d y,476 Lgkh : Mecr l fugs dr kedu persm F (, y) d G(, y) deg l tebk wl,94 d y,476, ytu: F(,94;,476) l ( ) y,756 G(,94;,476) 5 l(,94) (,94) (,476) y 5(,94) (,94) 4(,476),5 Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely, ytu: F,94,56 G 5 4 y 5 4(,94),476 6,9944 F y y (,476) 4,95 G,94 y Lgkh 5: Mecr l-l devs dr l d y,56 6,9944 4,95,94 r s,756,5,56 4,95 A 6,9944,94 A,756,5 4,95,94 A,56 6,9944,756,5 Setelh ddpt mtrks A, A d A deg tur crmer d ts, kemud dljutk deg mecr determ mtrks-mtrks d ts utuk medptk l r d s. Ytu:

58 r det A det A,756,5,56 6,9944 4,95,94 4,95,94,978 (,756,94 ) (,5 4,95) (,56,94 ) ( 6,9944 4,95),56,756 6,9944,5 deta s deta,56 4,95 6,9944,94 (,56,5 ) ( 6,9944,756) (,56,94 ) ( 6,9944 4,95 ) Lgkh 6: Mecr l d y berkuty,56 r,94 (,978),4 y y s,476 (,56),464 Nl,4 d y,464 k dguk sebg tebk wl utuk lgkh berkuty Iters 4 Lgkh : Meetuk l tebk wl ytu:,4 d y,464 Lgkh : Mecr l fugs dr kedu persm F (, y) d G(, y) deg l tebk wl,4 d y,464, ytu:

59 F(,4;,464) l ( ) y l(,4) (,4) (,464),84 G(,4;,464) 5 5(,4) (,4),6 y 4(,464) Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely, ytu: F,4,4 F y G 5 4 y 5 4(,4),464 6,89996 Lgkh 5: Mecr l-l devs dr l d y y (,464) 4,98 G,4 y,4 6, ,98,4 r s 4 4,84,6,4 4,98 A 6,89996,4 A,84,6 4,98,4 A,4 6,89996,84,6 Setelh ddpt mtrks A, A d A deg tur crmer d ts, kemud dljutk deg mecr determ mtrks-mtrks d ts utuk medptk l r 4 d s 4. Ytu:,84 det A,6 r det A,4 6, ,98,4 4,98,4 (,84,4 ) (,6 4,98 ) (,4,4 ) ( 6, ,98 ) 4,8665

60 s 4 det A det A,4 6,89996,4 6,89996,84,6 4,98,4,44 (,4,6) ( 6,89996,84) (,4,4) ( 6, ,98) Lgkh 6: Mecr l d y berkuty 4 r 4,4 (,8665),945 y 4 y s 4,464 (,44),4656 Nl 4,945 d y 4,4656 k dguk sebg tebk wl utuk lgkh berkuty Iters 5 Lgkh : Meetuk l tebk wl ytu: 4,945 d y 4,4656 Lgkh : Mecr l fugs dr kedu persm F (, y) d G(, y) deg l tebk wl 4,945 d y 4,4656, ytu: F(,945;,4656) l ( ) y,945 G(,945;,4656) 5 l(,945) (,945) (,4656) 5(,945) (,945),8 y 4(,4656) Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely, ytu:

61 F,545,945 G 5 4 y 5 4(,945 ),4656 6,98 Lgkh 5: Mecr l-l devs dr l d y F y (,46556) y 4,95 G,945 y,545 6,98 4,95 r5,945,945 s 5,8,545 4,95 A 6,98,945 A,945,8 4,95,945 A,545 6,98,945,8 Setelh ddpt mtrks A, A d A deg tur crmer d ts, kemud dljutk deg mecr determ mtrks-mtrks d ts utuk medptk l r 5 d s 5. Ytu: det A r5 det A,945 4,95,8,945,545 4,95 6,98,945, (,945,945 ) (,8 4,95) (,545,945 ) ( 6,98 4,95) s 5 det A det A,545 6,98,545 6,98,945,8 4,95,945, (,545,8 ) ( 6,98,945 ) (,545,945 ) ( 6,98 4,95 ) Lgkh 6: Mecr l d y berkuty 5 r 4 5,945 (, ),98 y y s 5 4 5,4656,56445),465756

62 Sekrg peuls membdgk metode Newto-Rphso yg sudh dkerjk deg progrm Mtlb, ddptk: Perhtug Sstem Tk Ler Deg Megguk Progrm Mtlb Progrm Peyeles Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso Khutwtu Nsh (4) f g f fy g gy Ile fucto: f(,y) (*log())-()(y*y) Ile fucto: g(,y) (5*)-(**)(*y)- Ile fucto: f(,y) -(/) Ile fucto: fy(,y) (*y) Ile fucto: g(,y) (5)-(4*)(y) Ile fucto: gy(,y) () Msukk Tebk Awl :,4 Msukk Tebk Awl y:,5 Msukk Tolers Mksmum l Fugs 5 Kolom smp 4

63 Iters y f(y) , e-, e -,97e,97449e-,476567e 5,869e-,9647e-,465549e,466e-4 4,96888e-, e,498e-9 5,96888e-, e -8,8878e Kolom 5 smp Iters g(y) glt() glt(y) ,869e- N N,5857e- 5,855e-,4685e- -7,557e-7 6,79e-5 -,e- 4 -,677e- 7,74447e-7 -,9755e-5 5 -,e-6 8,88796e- -,48649e

64 koverges l.5 koverges l y koverges l f(y) koverges l g(y). koverges 6 - l glt() koverges l glt(y) Gmbr.: Grfk Kekoverge Metode Newto Rphso Berdsrk hsl perhtug d grfk d ts, dpt dkethu bhw deg l tebk wl,4, d y,5, telh ddpt l seles,97 d y,4648 deg 5 ters. Adpu grfk d ts meujukk kekovergee l d y pd l, d y,5, d telh ddpt l seles dr f(y) -8,8878e-6 d g(y) -,e-6 d l glt 8,88796e- d y -,48649e-. Cotoh cos( y) z y e yz,,8 z y z,

65 Peyeles dr cotoh tersebut megguk prosedur yg sudh durk ytu: Lgkh : Sstem persm tk ler d ts dpt dtuls sebg berkut: F(,y,z) cos( y) z, yz G(,y,z) y e,8 H(,y,z) z y z, Iters Lgkh : Meetuk l tebk wl, y d z Ytu:, y d z Lgkh : Mecr l fugs dr ketg persm F (, y, z), G(, y, z) d H(, y, z) deg l tebk wl, y d z yg telh dtetuk pd lgkh du d ts. Ytu: F(,,) cos( y) z cos() (), G(,,) (), y e, yz () e ()() (),,,8 H (,,) z y z,,8, Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs tersebut terhdp msg-msg vrbely

66 F y s( y) G H z F y s( y) G ze y H y y y z F z H z z G ye z y Lgkh 5: Meghtug l-l fugs dr turu yg telh ddpt dr lgkh 4 d ts deg megguk tebk wl, y d z. Ytu: F y s( y) () s() G () H z F y s( y) s() G ze y () e H y y () y z F z z () G ye z H z () e y Lgkh 6: Mecr l-l devs, dlm hl l-l devs dr, y, d z dpt dmslk r, s d t Utuk mecr l-l r, s d t, terlebh dhulu turu fugs besert l fugs sstem persm tk ler d ts dbetuk mejd: r s t -,,,

67 kemud perhtug dljutk deg mecr mtrks A, A, A d A deg tur crmer. Adpu hsly sebg berkut: A A,,, A,,, A,,, Setelh ddpt A, A, A d A mk perhtug mecr r, s d t dpt dljutk deg mecr msg-msg determy, deg megguk rumus d bwh. det A r det A (, ) (,) (, ) (,) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), s det A det A

68 (, ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -, det A t det A, ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -, Lgkh 7: Deg l r, s d t yg telh ddpt, seljuty melkuk pecr l-l pedekt yg lebh tept dr tebk wl. Adpu l pedekt yg dperoleh sebg berkut: r y y s z z t,,,,,, Nl, y d z yg sudh ddpt, djdk sebg tebk wl utuk ters seljuty. Iters Lgkh : Meetuk l tebk wl Ytu:,, y -, d z -, Lgkh : Mecr l fugs

69 F(,;,;,) cos( y) z, cos(,) (,),9 G(,;,;,) (,) y e,98 H (,;,;,) z y yz,,8 (,) e z, (,)(,) (,),6,,8 (,),,96 Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs tersebut besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely, F y s( y) (,) s(,), F y s( y),s(,),496 F z z (,),6 G G y ze y z G z ye y (,), (,) e 9,69895,6 (,) e,,6 H z, H y y (,),4 H z,,9 Lgkh 5: Mecr l-l devs,999999,,,496,6 9,698,,4,9 r s t -,9,98,96

70 A A,999999,,,9,98,96,496,6 9,698,,4,9,496 9,698,4,6,,9,999999,9 A,,98,,96,6,,9, A,,,496,9 9,698,98,4,96 Setelh ddpt A, A, A d A mk perhtug mecr r, s d t dpt dljutk deg mecr msg-msg determy, sebg berkut: det A r det A (,9 9,698,9) (,496,,96) (,6,98,4) (,6 9,698,96) (,9,,4) (,496,98,9) (, ,698,9) (,496,,) (,6,,4) (,6 9,698,) (,999999,,4) (,496,,9)

71 ,7 s det A det A (,999999,98,9) (,9,,) (,6,,96) (,6,98,) (,999999,,96) (,9,,9) (, ,698,9) (,496,,) (,6,,4) (,6 9,698,) (,999999,,4) (,496,,9),78 det A t det A (, ,698,96) (,496,98,) (,9,,4) (,9 9,698,) (,999999,98,4) (,496,,96) (, ,698,9) (,496,,) (,6,,4) (,6 9,698,) (,999999,,4) (,496,,9) -,7878 Lgkh 6: Mecr l, y d z berkuty r y y s z z t,,7,7,,78,69,,7878,7878 Nl, y d z yg sudh ddpt, djdk sebg tebk wl utuk ters seljuty. Iters Lgkh : Meetuk l tebk wl

72 Ytu:,7, y -,69 d z -,7878 d Lgkh : Mecr l fugs F(,7;,69;,7878) cos( y) z,665 G(,7;,69;,7878),7 cos(,44) (,7878) (,7),98 (,69) e H (,7;,69;,7878) z y y e z,,,8 (,7)(,7878) (,69),8, (,),,8 Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs tersebut besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely, F F F ys( y) s( y) y z y z,649 (,69) s(,4),7s(,4) (,7878), ,6669, z G (,7),47458 G y ze y z (,7878) e G ye z,649 (,) e 9,6878,7 y, H z H y y H z,78778 (,69),7,84,7675 Lgkh 5: Mecr l-l devs

73 , ,6669, ,6878,7878,84,757564,7,7675 r s - t,665,986,849 A, ,6669, ,6878,7878,84,757564,7,7675 A,665,986,849,6669 9,6878,84,757564,7,7675, A,47458,7878,665,986,849,757564,7,7675, ,6669,665 A, ,6878,986,7878,84,849 Setelh ddpt A, A, A d A mk perhtug mecr r, s d t dpt dljutk deg mecr msg-msg determy, sebg berkut: det A r det A

74 (,665 9,6878,767) (,6669,7,849) (,757564,986,84) (, ,68758,849) (,665,7,84) (,6669,986,767) (, ,6878,7675) (,6669,7,84) (,757564,47458,84) (, ,6878,7878) (, ,7,84) (,6669,47458,767),74 s det A det A (, ,986,767) (,665,7,7878) (,757564,47458,849) (,757564,986,7878) (, ,7,986) (,665,47458,767) (, ,6878,7675) (,6669,7,84) (,757564,47458,84) (, ,6878,7878) (, ,7,84) (,6669,47458,767),8 det A t det A (, ,6878,849) (,6669,986,7878) (,665,474548,84) (,665 9,68758,7878) (, ,86,84) (,6669,47458,849) (, ,6878,7675) (,6669,7,84) (,757564,47458,84) (, ,6878,7878) (, ,7,84) (,6669,47458,767) -,7884

75 Lgkh 6: Mecr l, y d z berkuty r y y s z z t,7,74 (,69),8 (,7878) (,7884),646,68,466 Nl, y d z yg sudh ddpt, djdk sebg tebk wl utuk ters seljuty. Iters 4 Lgkh : Meetuk l tebk wl Ytu:,646, y -,68 d z -,466 Lgkh : Mecr l fugs F(,646;,68;,466) cos( y) z,7775 G(,646;,68;,466),646 cos(,686) (,466) (,646),887 H (,646;,68;,466) z y (,646)(,466) (,68),75 y e (,68) e y z z,,,8,7586,,8 (,466), Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs tersebut besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely,

76 ,754,7,646,68) (,466,74 9,597,59,68) (,466) ( (,646),8,666, ,466) (,686),646s(,686),68)s( ( ) s( ) s(,686,5545 z H y y H z H e e ye z G ze y G G z z F y y F y y F y z y Lgkh 5: Mecr l-l devs,754,7,466,74 9,597,59,8,666, t s r -,75,887,7775 A,754,7,466,74 9,597,59,8,666, A,754,7,75,74 9,597,887,8,666,7775

77 , ,7775 A,59,887,466,75, ,666 A,59 9,597,466,7,8,74,754,7775,887,75 Setelh ddpt A, A, A d A mk perhtug mecr r 4, s 4 d t 4 dpt dljutk deg mecr msg-msg determy, sebg berkut: det A r 4 det A (,7775 9,597,754) (,666,74,75) (,8,887,7) (,8 9,597,75) (,7775,74,7) (,666,887,754) (, ,597,754) (,666,74,466) (,8,59,7) (,8 9,597,466) (, ,74,7) (,666,59,754),97 s 4 det A det A (, ,887,754) (,7775,74,466) (,8,59,75) (,8,887,466) (, ,74,75) (,7775,59,754) (, ,597,754) (,666,74,466) (,8,59,7) (,8 9,597,466) (, ,74,7) (,666,59,754)

78 ,45 det A t 4 det A (, ,597,75) (,666,887,466) (,7775,59,7) (,7775 9,597,466) (, ,887,7) (,666,59,75) (, ,597,754) (,666,74,466) (,8,59,7) (,8 9,597,466) (, ,74,7) (,666,59,754) -,7 Lgkh 6: Mecr l, y d z berkuty 4 r y y s z z t 4,646,97,68,45 (,466),7, ,9 4 4,49 Nl 4, y4 d z 4 yg sudh ddpt djdk sebg tebk wl utuk ters seljuty. Iters 5 Lgkh : Meetuk l tebk wl, y d z Ytu: 4,6757, y 4 -,9 d z 4 -,49 Lgkh : Mecr l fugs

79 ,776,,49) (,9) (,49) (,6757)(,,49),9; (,6757;,978,8,9) ( (,6757),8,49),9; (,6757;,75,,49) (,58) cos(,6757, ) cos(,49),9; (,6757;,548 z y z H e e y G z y F z y Lgkh 4: Mecr turu-turu fugs tersebut besert l fugsy terhdp msg-msg vrbely,,74,67,6757,9) (,49,46 9,5884,557,9) (,49) ( (,6757),886,67, ,49) (,58),6757 s(,58),9) s( ( ) s( ) s(,58,548 z H y y H z H e e ye z G ze y G G z z F y y F y y F y z y Lgkh 5: Mecr l-l devs

80 , ,557,49,67 9,5884,67,886,46,74 r s t -,75,978,776 A, ,557,49,67 9,5884,67,886,46,74 A,75,978,776,67 9,5884,67,886,46,74, A,557,49,75,886,978,46,776,74, A,557,49,67 9,5884,67,75,978,776 Setelh ddpt A, A, A d A mk perhtug mecr r, s d t dpt dljutk deg mecr msg-msg determy, sebg berkut:

81 det A r 5 det A (,75 9,5884,74) (,67,46,776) (,886,978,67) (,886 9,5884,776) (,75,46,67) (,67,978,74) (, ,5884,74) (,67,46,49) (,886,557,67) (,886 9,5884,49) (, ,46,67) (,67,557,74),97 s 5 det A det A (, ,978,74) (,75,46,49) (,886,557,776) (,886,978,49) (, ,46,776) (,75,557,74) (, ,5884,74) (,67,46,49) (,886,557,67) (,886 9,5884,49) (, ,46,67) (,67,557,74),55 det A t 5 det A (, ,5884,776) (,67,978,49) (,75,557,67) (,75 9,5884,49) (, ,548,67) (,67,557,776) (, ,5884,74) (,67,46,49) (,886,557,67) (,886 9,5884,49) (, ,46,67) (,67,557,74) -,69

82 Lgkh 6: Mecr l, y d z berkuty z 5 5 4,6757,97,67566 z 4 r t 5 5,49 (,69),4949 y 5 y 4 s 5,89,55,95 Telh ddpt l 5, y5 d z 5,utuk medptk l pedekt yg lebh tept, mk dbutuhk l r yg sekecl mugk tu medekt ol. Iters seljuty k dhtug memk progrm mthlb 5., yg hsly k dtmplk d bwh. Perhtug Sstem Tk Ler Deg Megguk Progrm Mthlb Progrm Peyeles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso Khutwtu Nsh 4 f g h f Ile fucto: f(,y,z) ()(cos(*y*p/8))-(z^)-(,) Ile fucto: g(,y,z) (^)-(*y)-ep(y*z)(,8) Ile fucto: h(,y,z) (*z)(y^)-(z)-(,) Ile fucto:

83 f(,y,z) ()-(y*s(*y*p/8)) fy Ile fucto: fy(,y,z) (-)*(s(*y*p/8)) fz Ile fucto: fz(,y,z) (-*z) g Ile fucto: g(,y,z) (*) gy Ile fucto: gy(,y,z) (-)-(z*ep(y*z)) gz Ile fucto: gz(,y,z) (-y*ep(y*z)) h Ile fucto: h(,y,z) z hy Ile fucto: hy(,y,z) (*y) hz Ile fucto: hz(,y,z) (-) msukk tebk wl : msukk tebk wl y: msukk tebk wl z: msukk tolers l fugs 6

84 kolom smp Iters y z ,e- -,e- -,e-,7697e- -,694e- -,787845e-,6465e- -,6879e- -4,666689e- 4,675754e- -,959e- -4,966e- 5,675667e- -,9476e- -4,94858e- 6,67566e- -,947e- -4,94854e kolom smp Iters f(yz) g(yz) z(yz) ,6e-,989695e- -,96e- -6,654e-,986744e- -,849e- -7,775774e-4 8,874998e-4-7,55e-4 4-7,49545e-6 9,787654e-6-7,76e-6 5-7, e- 9,4959e- -7,7565e- 6 -,998444e-5,4465e-6,e

85 kolom 7 smp glt () glt(y) glt(z) N N N,7697e-,77966e- -7,878e-,7969e-,8e- -,78847e-,96898e-, e-4 -,6548e-,97769e-5,559976e-6 -,69e-5,9799e-9, e- -,78e koverges l -. koverges l y -. koverges l z koverges 5l f(yz) koverges 5l g(yz). -.5 koverges 5l h(yz) koverges 5l glt(). -. koverges l glt(y) koverges l glt(z)

86 Gmbr.: Grfk Kekoverge Metode Newto Rphso Berdsrk hsl perhtug d grfk, mk dpt dkethu bhw deg l tebk wl, y d z, telh ddpt l seles,67566, y -,947 d z -, deg 6 ters. Grfk d ts jug meujukk kekoverge l, y d z. D telh ddpt seles l f (yz) -,998444e-5, g (yz),4465e-6 d h (yz),e d seles l glt,9799e-9, y, e- d z -,78e-9.. Alss Hsl Komputs Dr Seles Sstem Persm Tk Ler Deg Metode Newto-Rphso. Berdsrk hsl yg dperoleh dr peyeles sstem persm tk ler deg metode Newto-Rphso d ts, mk dpt dlkuk lss sebg berkut: Pd sstem persm tk ler yg terdr dr persm tk ler deg vrbel deg tebk wl,4 d y,5 ddpt l seles sebesr,96888 d y,46485 deg glt sebesr 8,88796e- d y -,48649e- pd ters ke-5. Sedgk pd sstem persm tk ler yg terdr dr persm tk ler deg vrbel deg tebk wl, y d z ddpt l seles,67566, y -,947 d z -, deg glt sebesr,9799e-9, y, e- d z -,78e-9 pd ters ke- 6.

87 Berdsrk hsl perhtug d ts, utuk meyelesk sstem persm tk ler yg terdr dr d persm tk ler deg d vrbel dpt dkerjk deg metode Newto-Rphso. Adpu dlm perhtugy, membutuhk proses yg pjg. Ytu dwl deg meetuk l tebk wl d mecr turu fugs terhdp msgmsg vrbely. Utuk medptk l selesy, dbutuhk jug ll devs. Sedgk dlm pecr l-l devs, melbtk perhtug ljbr mtrks ytu mtrks jcob d tur crmer. Utuk mtrks jcob yg berordo tu sepert yg dkerjk oleh peuls, msh dpt dhtug d dselesk deg tur crmer, k tetp utuk mtrks yg berordo lebh dr belum tetu dpt dselesk deg tur crmer. D jk pd perhtug tersebut l-l devs yg dperoleh semk kecl, mk l selesypu jug k semk tept. Sehgg hsl yg dperoleh k medekt l sebery. Dsmpg tu, l-l devs jug dpt dsebut deg l glt ters. Nl glt ters d s dperoleh dr selsh tr l ters sesudhy dkurg l ters sebelumy. Kre l devs sm deg l glt ters, mk semk kecl glty, mk semk tept jug l seles yg dperoleh. Dlm perhtug Metode Newto-Rphso dbutuhk ketelt, d metode merupk metode umerk yg mudh dphm d proses tersy tergolog cept. Pd perhtug dts, utuk meyelesk sstem persm tk ler deg megguk Metode Newto-Rphso secr mul d Mtlb terdpt kelebh d kelemh. Adpu kelebhy jk

88 dkerjk deg mul ytu proses d lgkh-lgkh dlm pegerj sstem persm tk ler megguk rumus Newto-Rphso dpt lebh dphm, k tetp jug terdpt kelemhy ytu terllu lm dlm proses perhtugy plg deg byk ters sert mempuy tgkt ketelt yg kurg. Sedgk kelebh jk dkerjk deg mtlb ytu mempuy tgkt ketelt yg lebh dlm perhtugy d proses perhtugy cept. Adpu kelemhy ytu tdk dpt memhm lgkh-lgkh d proses dlm perhtugy..4 Kj Kegm Berdsrk hsl pembhs, bhw peyeles sstem persm tk ler yg berbetuk ) l y, ) 5 y, ) yz cos( y) z,, 4) y e,8 d 5) z y z, dpt dselesk deg megguk Metode Newto-Rphso. Kre persm tersebut berbetuk tk ler, dm persm tk ler tdk dpt dselesk deg metode ltk, sehgg peuls meguk slh stu metode yg d dlm metode umerk yg sesu ytu Metode Newto- Rphso. Adpu hsl dr peelt ytu pd persm d ddpt l seles,96888 d y,46485 d pd persm, 4 d 5 ddpt l seles,67566, y -,947 d z -, Kre dlm metode umerk meghslk l yg berup hmpr, mk dlm peelt jug ddptk hsl yg berup l hmpr tu l pedekt.