PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF PADA KASUS OVERDISPERSI SKRIPSI SHAFIRA

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF PADA KASUS OVERDISPERSI SKRIPSI SHAFIRA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JULI 0 Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF PADA KASUS OVERDISPERSI SKRIPSI Skrps djuk sebg srt utuk memperoleh gelr Srj Ss SHAFIRA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDIMATEMATIKA DEPOK JULI 0 Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skrps dlh hsl kr s sedr, d semu sumber bk g dkutp mupu drujuk telh s tk deg ber. Nm : Shfr NPM : Td Tg : Tggl : 3 Jul 0 Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

4 HALAMAN PENGESAHAN Skrps djuk oleh Nm : Shfr NPM : Progrm Stud : Mtemtk Judul Skrps : Peksr Prmeter Dstrbus Boml Negtf pd Ksus Overdspers Telh berhsl dperthk d hdp Dew Peguj d dterm sebg persrt g dperluk utuk memperoleh gelr Srj Ss pd Progrm Stud Mtemtk, Fkults Ilmu Pegethu Alm Uversts Idoes DEWAN PENGUJI Pembmbg :. Dr. St Nurrohmh, M. S. Dr. Ssk Mr Soemrtojo, M. S Peguj :. Dr. Nett Sud, M.S. Dr. Rt Setd, M.S 3. Ml Novt, S.S, M.S Dtetpk d : Depok Tggl : 4 Ju 0 Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

5 KATA PENGANTAR Alhmdulllh, puj d sukur peuls pjtk kepd Allh SWT g telh memberk rhmt, tufk d hdh-n, sehgg peuls skrps deg judul Peksr Prmeter Dstrbus Boml Negtf pd Ksus Overdspers dpt terselesk deg bk. Peuls skrps dlkuk dlm rgk memeuh slh stu srt utuk mecp gelr Srj Ss Jurus Mtemtk d Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm Uversts Idoes. Peuls medr bhw peeles skrps tdk terleps dr btu sert dukug dr berbg phk. Oleh kre tu, pd kesempt peuls g megucpk term ksh kepd :. Org tu peuls g telh megsuh d meddk peuls smp st d sellu memberk dukug bk morl mupu mterl, sert tk perh berhet medok peuls.. Ibu Dr. St Nurrohmh, M.S d bu Dr. Ssk Mr, M.S selku dose pembmbg. Term ksh sebesr-besr utuk semu btu, sr, krtk d dorog semgt sert motvs g lur bs g dberk kepd peuls dlm meelesk skrps. 3. Ibu Dr. Id Fthr, M.S selku pembmbg kdems. Term ksh utuk btu, dorog, sr, bmbg, d perht utuk peuls selm mejl ms kulh. 4. Bpk Dr. Yud Str, M.T. selku ketu deprteme, Ibu Rhm Rus, S.S., M.Sc.Tech selku sekretrs deprteme, d Ibu Dr. D Lestr selku koordtor peddk g telh membtu peuls selm ms perkulh d proses peeles skrps. 5. Ibu Rt, Ibu Nett, Ibu Sr, Ibu Ml, Ibu Fev, Ibu Sr, d seluruh stf pegjr deprteme Mtemtk UI g tp megurg rs hormt tdk dpt dsebutk m stu per stu. Term ksh ts segl msuk, sr, krtk sert semgt g dberk kepd peuls selm proses v Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

6 peeles skrps d termksh ts lmu g telh dberk. Semog peuls dpt megguk lmu tersebut deg sebk-bk. 6. Ms Slm, Mb Rusm, Mb St, Ms Asor, Mb F d seluruh krw deprteme Mtemtk UI, term ksh ts segl btu d kemudh g telh dberk utuk peuls. 7. Kk Ist, F, Fruz, term ksh ts do d dukug. 8. Wd, Ned, Hkmh, Md, Ad, Dr, Adt (Ac), d Hf, term ksh shbt utuk semu st-st dh g kt llu bersm. 9. Ashr, term ksh ts btu dlm peeles progrm mtlb pd tugs khr. 0. Tem-tem seperjug d Sttstk, Gmgm, Petos, Rtoto, Ww, Shf, Sc, Aggu, Ajr, Ad, Cput, Pr, Teteh, Ww, sert mhssw Mtemtk UI gkt 007 l, Af, Arp, Ashr, Bow, Ct, Dt, Fuz, Ferd, Los, Nor, Putuwr, Frh, Ik, Dw, Ssk, Ttep, Wd, As, Yos, d Zul. Term ksh ts semu, ms kulh tk k bs dlupk.. Agkt 006, khusus Kk Teguh, Kk D d Kk To, term ksh utuk semu sht, sr, dukug semgt, motvs, d do g dberk kepd peuls.. Agkt 009, khusus Hd, Cep, Tk, Fsl, Agug, Solem, term ksh utuk dukug semgt, motvs d do g kl berk. 3. Semu mhssw Mtemtk UI gkt 005 d Semu phk g telh membtu pegerj skrps, g m tdk bs dsebutk stu per stu, peuls megucpk term ksh. Peuls medr bhw msh terdpt bk kekurg pd skrps, peuls moho mf. Semog skrps dpt memberk mft bg g membc. Peuls v 0 Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebg svts kdemk Uversts Idoes, s g bertd tg d bwh : Nm : Shfr NPM : Progrm Stud : S Deprteme : Mtemtk Fkults : MIPA Jes kr : Skrps Dem pegembg lmu pegethu, meetuju utuk memberk kepd Uversts Idoes Hk Bebs Rolt Noekslusf (No-exclusve Rolt Free Rght) ts kr lmh s g berjudul : Peksr Prmeter Dstrbus Boml Negtf pd Ksus Overdspers besert pergkt g d (jk dperluk). Deg Hk Bebs Rolt Noekslusf Uversts Idoes berhk memp, meglhmed/formtk, megelol dlm betuk pgkl dt(dtbse), d mempublksk skrps s selm tetp mectumk m s sebg peuls/pecpt d sebg pemlk Hk Cpt. Demk pert s but deg seber. Dbut d : Depok Pd tggl : 3 Jul 0 Yg metk (Shfr) v Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

8 ABSTRAK Nm Progrm Stud Judul : Shfr : Mtemtk : Peksr Prmeter Dstrbus Boml Negtf pd Ksus Overdspers Dt cout serg dsumsk berdstrbus Posso g h memlk stu prmeter deg me d vrs sm. Nmu pd ket, serg dtemuk dt cout deg vrs g lebh besr dr me, ked dkel deg overdspers. St terjd overdspers, mk dt cout tdk berdstrbus Posso, sehgg perlu dcr dstrbus l g dpt dguk utuk meglss dt cout. Slh stu dstrbus g dpt dguk dlh dstrbus Boml Negtf g merupk dstrbus Cmpur Posso- Gmm (Mxture Posso-Gmm Dstrbuto). Pd tugs khr k djelsk mege perumus dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso-Gmm Dstrbuto), peksr prmeter pd dstrbus Boml Negtf g merupk dstrbus cmpur Posso-Gmm, sert mempeljr sft-sft tksr. Kt Kuc : dt cout, dstrbus Posso, overdspers, dstrbus boml egtf, dstrbus Cmpur Posso-Gmm. x + 79 hlm ; 4 tbel, gmbr Bblogrf : 8 (96 0) v Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

9 ABSTRACT Nme Progrm Stud Tttle : Shfr : Mthemtcs : Estmtg Prmeter of Negtve Boml Dstrbuto o Overdsperso Cse. Couts dt, ofte ssumed follows Posso dstrbuto hs sme me d vrce vlue. But fct, cout dt ofte hs vrce vlue greter th me vlue, ths codto s clled b overdsperso. Whe overdsperso occured, dt cout does t hve Posso dstrbuto, so eed to fd other dstrbuto whch c be ppled for dt cout lzg. Oe of dstrbuto whch ofte be ppled s Negtve Boml dstrbuto whch s form s mxture Posso- Gmm dstrbuto. I ths mthess, estmtors of Negtve Boml dstrbuto (Mxture Posso-Gmm dstrbuto) d ther chrcterstcs wll be expled. Keword : cout dt, Posso dstrbuto, overdsperso, Negtve Boml dstrbuto, Mxture Posso-Gmm dstrbuto. x + 79 pges ; 4 tbles, fgure Bblogrph : 8 (96 0) v Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... LEMBAR PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... v ABSTRAK... v DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... x DAFTAR LAMPIRAN... x BAB PENDAHULUAN.... Ltr Belkg.... Perumus Mslh....3 Tuju Peelt....4 Pembts Mslh Sstemtk Peuls... 3 BAB LANDASAN TEORI Peubh Ack d Jes Peubh Ack Dskrt Peubh Ack Kotu Trsforms Peubh Ack Dskrt Dstrbus Boml Dstrbus Posso Dstrbus Gmm Dstrbus Cmpur (Mxture Dstrbuto)....7 Dstrbus Boml Negtf....8 Kdh Bes Pror Nturl Cojugte Metode Tksr Ttk Metode Mksmum Lkelhood Sft Sft Tksr Ttk Tksr Tk bs Tksr Kosste Tksr Efse Metode Newto-Rhpso....3 Uj Rso Lkelhood... BAB 3 PEMBAHASAN Overdspers pd Dstrbus Posso Dstrbus Boml Negtf pd Ksus Overdspers utuk Dt Cout Dstrbus Gmm sebg Pror Nturl Cojugte dr Dstrbus Posso... 9 x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

11 3.4 Me d Vrs dr Dstrbus Boml Negtf Tksr Prmeter dr Dstrbus Boml Negtf Metode Mksmum Lkelhood Peguj Prmeter Dspers... 4 BAB 4 APLIKASI Sumber Dt Alss Dt Uj Kolmogorov-Smrov Peksr Prmeter Peksr Prmeter μ Peksr Prmeter Uj Rso Lkelhood... 5 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpul Sr DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

12 DAFTAR TABEL Tbel.. Pror turl cojugte dr beberp fugs lkelhood... 7 Tbel 4. Dt Jumlh Kecelk Tbel 4. Uj Stu Smpel Kolmogorov-Smrov Tbel 4.3 Sttstk Deskrptf DAFTAR GAMBAR Gmbr 4.. Nl tksr Prmeter Gmbr 4. Nl Sttstk Uj A... 5 DAFTAR LAMPIRAN Lmpr. Bukt Teorem Uj Rso Lkelhood Lmpr. Sft Sft Tksr Prmeter μ Lmpr 3. Dstrbus Posso sebg Aggot Kelurg Ekspoesl Lmpr 4. Bukt Persm (3.6) sebg Fugs Probblts l (, ) l (, ) l (, ) Lmpr 5. Meujukk 0 l (, ) l (, ) d 0 d Lmpr 6. Algortm Newto-Rhpso Lmpr 7. Algortm dr Fugs Log Lkelhood Lmpr 8. Algortm dr Sttstk Uj A x Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

13 BAB I PENDAHULUAN Bb membhs mege ltr belkg mslh, perumus mslh, tuju peuls, pembts mslh d sstemtk peuls dr tugs khr.. Ltr Belkg Dt cout dlh dt hsl percob ck g l-l berup blg bult o egtf {0,,, }. Mslk Y dlh sutu peubh ck g l berup dt cout. Dstrbus g bs dguk utuk memodelk Y dlh dstrbus Posso. Dstrbus Posso memlk sutu krkterstk khusus, tu memlk l me d vrs g sm, tu dpt dtk sebg berkut : E( Y) vr( Y). Pd ket, serg dtemuk dt cout deg vrs g lebh besr dr me, ked dkel deg overdspers. Overdspers dpt dsebbk oleh d korels postf tr observs tu dvdu g dmt tu terdpt l vrs g besr pd dt cout (Joseph M Hlbe, 0). Terjd overdspers pd dt cout megdksk bhw l vrs lebh besr dr me, hl dpt membulk beberp mslh, tr l meebbk tksr prmeter g ddpt mejd tdk efse wlupu tetp kosste, sehgg k memberk forms g tdk sesu (Joseph M Hlbe, 0). St terjd overdspers, sums kesm me d vrs pd dstrbus Posso dlgr, sehgg perlu dcr dstrbus l g dpt dguk utuk meglss dt cout st terjd overdspers. Slh stu Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

14 dstrbus g dpt dguk dlh dstrbus Boml Negtf g merupk dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso-Gmm dstrbuto). Pd tugs khr k djelsk mege perumus dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso- Gmm dstrbuto), metode peksr prmeter pd dstrbus Boml Negtf g merupk dstrbus Cmpur Posso-Gmm, sert mempeljr sft-sft tksr.. Perumus Mslh. Bgm cr merumusk dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso-Gmm dstrbuto) pd ksus overdspers pd dt cout?. Bgm megestms prmeter-prmeter pd dstrbus Boml Negtf st terjd overdspers? 3. Bgm sft-sft tksr prmeter tersebut?.3 Tuju Peuls Tuju dr tugs khr dlh :. Membhs d mempeljr dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso-Gmm dstrbuto) st terjd overdspers.. Membhs tetg estms prmeter pd dstrbus Boml Negtf st terjd overdspers deg megguk metode mksmum lkelhood. 3. Mempeljr sft-sft tksr prmeter dr dstrbus Boml Negtf. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

15 3.4 Pembts Mslh Pembts mslh pd tugs khr tu :. Dstrbus Boml Negtf g dbhs pd tugs khr dlh dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso-Gmm dstrbuto) pd ksus overdspers.. Peksr prmeter dr dstrbus Boml Negtf dlkuk deg megguk metode mksmum lkelhood. 3. Peetu solus dr fugs lkelhood utuk meetuk tksr prmeter dspers dr dstrbus Boml Negtf dselesk deg pedekt umerk d metode umerk g k dguk dlh metode Newto-Rhpso..5 Sstemtk Peuls Bb I Bb II Peuls tugs khr dbg mejd lm bb, tu : : Pedhulu Bb bers ltr belkg mslh, perumus mslh, tuju peuls, pembts mslh d sstemtk peuls. : Lds Teor Bb membhs tetg teor-teor dsr g melds peuls tugs khr tu, peubh ck d jes tu peubk ck dskrt d kotu, trsforms peubh ck dskrt, dstrbus Boml, dstrbus Posso, dstrbus Gmm, dstrbus cmpur (Mxture dstrbuto), dstrbus Boml Negtf, metode Bes, pror turl cojugte, metode tksr ttk slh stu deg metode mksmum lkelhood, sft-sft tksr ttk tr l tk Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

16 4 Bb III Bb IV Bb V bs, kosste d efse, metode Newto-Rhpso, uj rso lkelhood. : Peksr Prmeter pd Dstrbus Boml Negtf utuk Megts Overdspes Bb membhs tetg terjd overdspers pd dstrbus Posso, kemud dstrbus Boml Negtf pd ksus overdspers utuk dt cout, dstrbus Gmm sebg pror turl cojugte dr dstrbus Posso, me d vrs dr dstrbus Boml Negtf, tksr prmeter dr dstrbus Boml Negtf, metode mksmum lkelhood, sert peguj prmeter dspers. : Aplks Dt Bb membhs tetg plks dt g melput pejels mege sumber dt, lss dt. Alss dt g dlkuk tu uj Kolmogorov-Smrov, peksr prmeter, d uj rso lkelhood. : Peutup Bb bers kesmpul d sr dr tugs khr. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

17 BAB II LANDASAN TEORI Bb membhs tetg teor-teor dsr g melds peuls tugs khr tu, peubh ck d jes tu peubk ck dskrt d kotu, trsforms peubh ck dskrt, dstrbus Boml, dstrbus Posso, dstrbus Gmm, dstrbus cmpur (Mxture dstrbuto), dstrbus Boml Negtf, metode Bes, pror turl cojugte, metode tksr ttk slh stu deg metode mksmum lkelhood, sft-sft tksr ttk tr l tk bs, kosste d efse, metode Newto-Rhpso, uj rso lkelhood.. Peubh Ack d Jes Rug smpel dlh hmpu semu kemugk hsl dr sutu percob ck. Aggot smpel dlh setp kemugk hsl dlm sutu rug smpel. Kejd merupk hmpu bg (subset) dr rug smpel. Rug smpel tdk sellu berggotk blg umerk, sehgg perlu ddefsk sutu fugs g memetk ggot-ggot rug smpel ke blg rel. Fugs g memetk ggot-ggot rug smpel ke blg rel dsebut peubh ck. Mslk terdpt sutu percob ck memlk rug smpel C. Sutu fugs X g memetk setp eleme c C ke tept stu blg rl x, tu X(c) = x dsebut peubh ck. Rug l dr X dlh hmpu blg A = {x : x = X(c), c C}. Mslk C dlh subset dr C(C C ) berhubug deg A dlh subset dr A ( A A ), tu : C = {c : c C d X(c) A } mk Pr (X A) = P(C), dm Pr (X A) metk probblts dr kejd A. 5 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

18 6.. Peubh Ack Dskrt Mslk X dlh peubh ck deg rug smpel berdmes stu A, dm A memut blg g berhgg, tu A memut blg-blg tk berhgg g dpt berkorespodes stu-stu deg blg bult postf. Mk rug smpel A dsebut hmpu blg dskrt. Mslk sutu fugs f(x), dm f(x) > 0 utuk x A d memeuh:. f( x) A. P( A) Pr( X A) f ( x) deg P(A) dlh fugs hmpu probblts, d A A A. Mk X dsebut peubh ck bertpe dskrt d f(x) dsebut fugs probblts dr X... Peubh Ack Kotu Mslk X dlh peubh ck deg rug l A g merupk rug berdmes stu, g memut sutu tervl tu gbug dr beberp tervl. Mslk f(x) dlh sutu fugs o egtf, sehgg. f ( x) dx A. P( A) Pr( X A) f ( x) dx dm P(A) dlh fugs hmpu probblts, deg A A A. Mk X dsebut sebg peubh ck bertpe kotu deg f(x) dsebut sebg fugs probblts dr X. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

19 7. Trsforms Peubh Ack Dskrt Mslk X, X,, X dlh peubh ck dskrt g memlk fugs probblts bersm tu f (x, x,, x ) d A dlh hmpu dskrt g merupk rug l dr X, X,, X sedemk sehgg f (x, x,, x ) > 0 utuk setp (x, x,, x ) A. Mslk = u (x, x,, x ), = u (x, x,, x ),, = u (x, x,, x ) medefsk sutu trsforms stu-stu g memetk A ke B, deg B = {(,,, ) : = u (x, x,, x ), = u (x, x,, x ),, = u (x, x,, x ), (x, x,, x ) A}. Sehgg dperoleh trsforms vers x = w (,,, ), x = w (,,, ),, x = w (,,, ) g memetk B ke A. Berdsrk fugs probblts bersm dr X, X,, X, ddpt fugs probblts bersm dr Y, Y,, Y, tu : g(,,..., ) f [ w (,,..., ), w (,,..., ),... w (,,..., )], B 0, l (.).3 Dstrbus Boml Sutu percob ck g memlk du kemugk hsl dsebut percob Beroull. Jk X dlh peubh ck g berkt deg percob Beroull, mk X dktk berdstrbus Beroull jk memlk fugs probblts sebg berkut: x x f ( x), x 0, 0, x l (.) dm θ merupk probblts terjd sukses pd percob Beroull. Jk dlkuk percob Beroull dbwh kods g sm deg setp pegulg g slg bebs d probblts sukses dr setp percob kost tu θ, d X dlh peubh ck dm X ddefsk Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

20 8 sebg bk sukses. Mk X dktk berdstrbus Boml deg fugs probblts sebg berkut: x x f ( x), x 0,,,... x 0, x l (.3) Dstrbus Boml deg prmeter d p, dm d p kost bs dotsk deg b(,p). Momet Geertg Fucto (MGF) dr dstrbus Boml dlh t M ( t) ( p) pe,utuk seluruh blg rl t. (.4) Deg persm MGF tersebut, dpt dtetuk me d vrs dr dstrbus Boml. = M (0) = p = M (0) = p( p).4 Dstrbus Posso Peubh ck Y dktk berdstrbus Posso jk memlk fugs probblts sebg berkut : f ( ; ) Pr( Y ; ) e (.5), 0,,,... d 0! 0, l dm dlh sutu prmeter g metk rt rt bk kejd dlm selg tu tervl tertetu. Dstrbus Posso deg prmeter bs dotsk deg P( ). Dstrbus Posso memlk sutu krkterstk khusus tu l me d vrs g sm. Nl me d vrs dr peubh ck Y g dstrbus Posso deg prmeter dlh Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

21 9 Uversts Idoes 0 0,! E Y f e!.!! e e e Mslk x =, mk k ddpt E!, x x o x o e Y x f x Sehgg me dr dstrbus Posso dlh prmeter tu. Seljut k dhtug l vrs dr dstrbus Posso, tu : 0 0,! E Y f e!.!.! e e e.!!. ( )!! e e e e Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

22 0 e e ( )!! Mslk x =, d z =, mk k ddpt E Y e e ( )!! f z, f x,. Vr Y E Y E Y Sehgg vrs dr dstrbus Posso jug merupk prmeter d berl sm deg me tu. Dlm peerp dstrbus Posso serg dguk sebg dstrbus utuk meghtug jumlh keslh ketk per hlm dr sutu lpor, jumlh kecelk d sutu jl tertetu, bk clm pd perush surs, d jumlh mhkluk hdup d sutu wlh tertetu..5 Dstrbus Gmm Sutu peubh ck X dktk berdstrbus Gmm deg du prmeter tu α d β, jk memlk betuk fugs dstrbus probblts (pdf) sebg berkut : x/ f ( x) x e, 0 x ( ) (.6) 0, x l dm defs dr fugs Gmm dr α tu Γ(α) pd persm (.6) tu e d ( ) (.7) 0 utuk α > 0 d l dr tegrl tersebut dlh blg postf. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

23 Utuk α =, mk persm Г(α) mejd () e t dt. Semetr utuk α >, persm Г(α) mejd ( ) e t dt ( ) ( ). Utuk α berl teger, k ddpt persm fugs Gmm memlk sft l, tu c c... c c c 0 0!. Sel tu Dstrbus Gmm deg prmeter α d β bs dotsk deg Г(α,β), dm α merupk scle prmeter d β merupk shpe prmeter. Momet Geertg Fucto (MGF) dr dstrbus Gmm dlh M ( t), t,utuk. (.9) ( t) deg persm MGF tersebut, dpt dtetuk me d vrs dr dstrbus Gmm tu = M (0) = αβ = M (0) = αβ Pd plks, dstrbus Gmm serg dguk sebg dstrbus utuk memodelk wktu tuggu (wtg tme), pedpt per thu, d besr clm pd perush surs. (.8).6 Dstrbus Cmpur (Mxture Dstrbuto) Mslk X dlh peubh ck g bergtug pd premeter g merupk l dr sutu peubh ck deg fugs probblts u Fugs probblts bersrt dr X dberk dlh f x. X. Dstrbus Cmpur (Mxture Dstrbuto) ddefsk sebg berkut : Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

24 X X (.0) f x f x u d deg dstrbus dr dsebut sebg dstrbus pecmpur tu Mxg Dstrbuto (Norm L. Johso, Smuel Kotz, d Adre W. Kemp, 99). Pd dstrbus Cmpur (Mxture Dstrbuto), l me d vrs dr peubh ck X dpt dtk deg E E X E X Vr (.) X E X E X E E X E E X Vr E X E X E E X Vr E Vr X E X (.).7 Dstrbus Boml Negtf Dstrbus Boml Negtf merupk dstrbus g memlk bk cr dlm peuru. Boswell d Ptl (970) meujukk bhw terdpt du bels cr utuk medptk dstrbus Boml Negtf, dtr dpt dturuk sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm, sebg dstrbus Compud Posso, sebg brs percob Beroull, sebg model Pol Eggeberger ur, tu sebg vers dr dstrbus Boml. Peuru klsk dr dstrbus Boml Negtf g serg dguk dlh dstrbus Boml Negtf sebg brs percob Beroull, tu jumlh percob Beroull g dbutuhk smp terjd k buh sukses, deg setp pegulg g slg bebs, dm probblts sukses dr setp percob kost tu θ, d probblts ggl tu θ. Jk peubh ck X metk jumlh percob g dbutuhk smp terjd k buh sukses, mk dstrbus probblts dr peubh ck X, dsebut berdstrbus Boml Negtf deg fugs probblts sebg berkut : Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

25 3 x k x k Pr X x ( ), x k, k, k,... d 0 k (.3) 0, x l dm Pr( X = x ) dlh probblts terjd sukses ke k pd percob ke x. Dstrbus probblts dr peubh ck X, dpt dotsk mejd betuk l, deg megguk trsforms Y = X k, dm Y metk jumlh keggl sebelum terjd k buh sukses. Dstrbus probblts dr peubh ck Y dpt dtk sebg berkut : k k Pr Y ( ), 0,,,... d 0 k (.4) 0, l dm Pr ( Y = ) dlh probblts terjd sukses ke k setelh keggl. Pd persm (.3) d (.4), k merupk sutu blg bult postf. St k merupk sutu blg bult postf, mk dstrbus Boml Negtf bs dsebut sebg Dstrbus Pscl (Norm L. Johso, Smuel Kotz, d Adre W. Kemp, 99). Pd thu 008, Pet De Jog d Gll Z. H mejelsk bhw dstrbus Boml Negtf dpt ddefsk utuk setp l postf dr k deg megguk fugs Gmm sebg peggt dr fktorl tu kombs, tu : k k Pr Y ( ), 0,,,... d 0 k! 0, l (.5).8 Kdh Bes Metode Bes merupk metode g meggbugk pegethu terdhulu ( forms pror) dr prmeter g k dtksr deg forms g ddpt dr smpel. Peggbug dr kedu forms tersebut k Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

26 4 meghslk forms posteror g seljut k dguk dlm peksr prmeter. Mslk rug smpel S dprts mejd K kejd g mutull exclusve d exhustve A, A,, A K, dm P( A ) 0 utuk =,,, K. Mslk terdpt kejd B ddlm rug smpel S sehgg P(B) > 0 d kre B A B B A B A B A (.6)... K,,, B A B A K slg leps, mk P B P B A P B A P B A K ( ) ( ) ( )... ( ) (.7) Kdh Bes : Jk A, A,, A K merupk kejd mutull exclusve d exhustve dr rug smpel S, deg P( A ) 0 utuk =,,, K mk utuk sembrg kejd B, dm P( B ) 0, P( B A) P( A) P( A B) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A )... P( B A ) P( A ) K K (.8) Bukt : P( B A ) P( B A ) P( A ),,,, K P( A B) P( A B) P( B),,,, K kre P( B A ) P( A B), mk P( B A ) P( A ) P( A B) P( B) bg kedu rus deg P( B ), ddpt P( B A) P( A) P( A B) PB ( ) dm P( B) P B A P B A... P B A P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A )... P( B A ) P( A ) sehgg persm mejd K K K Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

27 5 P( A B) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A )... P( B AK) P( AK) (terbukt) Mslk X dlh peubh ck g memlk dstrbus probblts g bergtug kepd θ, dm θ merupk sutu peubh ck g memlk dstrbus probblts tertetu. Jk f(x θ) merupk pdf bersrt dr peubh ck X dberk l θ = θ d h(θ) merupk pdf dr peubh ck θ, mk dstrbus posteror dr Bes. θ x dpt dtetuk deg megguk metode Mslk X, X,, X dlh smpel ck dr peubh ck X, mk pdf bersm dr X, X,, X dberk θ, tu : f x, x,..., x f ( x ) f ( x )... f ( x ) (.9) Pdf bersm X, X,, X, d θ dlh f x, x,..., x, f x, x,..., x h( ) (.0) Jk θ merupk peubh ck kotu, mk pdf mrgl bersm dr X, X,, X tu: f x, x,..., x h( ) d (.) Jk θ merupk peubh ck dskrt, mk pdf mrgl bersm dr X, X,, X tu: f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x, ) d f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x, ) f ( x, x,..., x ) h( ) Pdf bersrt dr θ dberk X = x, X = x,, X = x tu : (.) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

28 6 f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x, ) f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) h f ( x, x,..., x ) (.3) Persm (.3) merupk betuk l dr tur Bes. Dm fugs f x x x (,,..., ) dsebut pdf posteror dr θ, semetr fugs f ( x, x,..., x ) dsebut lkelhood dr X, X,, X, d fugs h( θ ) dsebut sebg pdf pror dr θ. Atur Bes serg dtuls sebg berkut : f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) h tu (.4) Posteror lkelhood * pror (Adrew G., Joh B.C, Hl S.S & Dold B.R, 000)..9 Pror Nturl Cojugte Mslk F dlh kels dr dstrbus smplg f( ) d P dlh kels dr dstrbus pror θ, mk kels P dsebut cojugte utuk kels F jk fugs probblts posteror h( ) memlk dstrbus g sm deg fugs probblts pror h( ) utuk seluruh f ( ) F. Pemlh cojugte g lebh spesfk dpt dlkuk deg memlh kels dstrbus pror P g merupk hmpu dr seluruh fugs kepdt g memlk betuk fugsol g sm deg fugs lkelhood dr f( ). Pd ksus P dsebut turl cojugte dr F (Adrew G., Joh B.C, Hl S.S & Dold B.R, 000). Sutu kels dstrbus probblts pror h(θ) dktk pror turl cojugte dr kels fugs lkelhood f( ) jk kels dstrbus probblts pror h(θ) merupk cojugte dr kels fugs lkelhood d fugs Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

29 7 probblts pror h(θ) memlk betuk fugsol g sm deg fugs lkelhood f( ). lkelhood. Berkut dlh tbel beberp pror turl cojugte dr beberp fugs Tbel.. Pror Nturl Cojugte dr Beberp Fugs Lkelhood Lkelhood Pror Nturl Cojugte Boml Bet Multoml Drchlet Posso Gmm Norml μ tdk dkethu, ζ dkethu Norml μ dkethu, ζ tdk dkethu Iverse Ch-Squre Multvrt Norml μ tdk dkethu, V dkethu Multvrt Norml μ dkethu, V tdk dkethu Iverse Wshrt [ Sumber : Itroducto to Bes Alss, B. Wlsh, 00 ].0 Metode Tksr Ttk Mslk X dlh peubh ck g memlk fugs probblts (pdf) g bergtug pd sutu prmeter θ g tdk dkethu, dm θ merupk ggot dr hmpu Ω, g merupk rug prmeter. Hl dpt dotsk deg betuk f ( x ; θ), θ Ω. Kelurg dr fugs probblts dpt dotsk deg smbol {f( x ; θ) : θ Ω}. Utuk setp l θ, dm θ Ω, berhubug deg stu ggot dr kelurg fugs probblts. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

30 8 Mslk slh stu ggot dr kelurg dstrbus probblts k dplh sebg fugs probblts dr peubh ck X, sehgg dbutuhk tksr ttk dr θ. Seljut k dplh smpel ck X, X,, X dr dstrbus g memlk fugs probblts g merupk slh stu dr ggot kelurg {f( x ; θ) : θ Ω}. Sehgg smpel bersl dr dstrbus g memlk fugs probblts f( x ; θ) : θ Ω. Permslh dlh bgm medefsk sttstk Y = u (X, X,, X ) sehgg jk x, x,, x dlh l dr X, X,, X, mk l = u (x, x,, x ) k mejd tksr ttk g bk utuk θ. Terdpt beberp metode g dpt dguk utuk mecr tksr ttk dr sutu prmeter g tdk dkethu pd fugs probblts dr peubh ck X, dtr dlh metode momet d metode mksmum lkelhood..0. Metode Mksmum Lkelhood Mslk X, X,, X dlh smpel ck dr dstrbus g memlk dstrbus probblts f( x ; θ ) : θ Ω, dm θ dlh prmeter g tdk dkethu d Ω dlh rug prmeter. Fugs lkelhood ddefsk sebg pdf bersm dr X, X,, X g merupk fugs dr θ, d bs dotsk deg L(θ). ;,,..., L x x x L f x, x,..., x ; f ( x ; ) f ( x ; )... f ( x ; ) f( x; ) Mslk dpt dtemuk sutu fugs otrvl dr x, x,, x, mslk dsebut u(x, x,, x ) sedemk sehgg ketk θ dgt deg u(x, x,, x ), mk fugs lkelhood L(θ) k berl mksmum. Mk Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

31 9 sttstk u(x, X,, X ) dsebut peksr mksmum lkelhood d dotsk ˆ,,..., deg u X X X. Mecr l θ g memksmumk fugs lkelhood (L(θ)) k memberk l g sm deg mecr l θ g memksmumk fugs l lkelhood (l L(θ) = l(θ)). Sehgg dlm mecr tksr ttk deg metode mksmum lkelhood, dpt dperoleh deg meelesk persm berkut : L 0 tu l 0. Sft Sft Tksr Ttk Setelh medptk sutu tksr ttk dr prmeter θ g merupk sutu sttstk u(x, X,, X ), perlu dkethu pkh tksr ttk tersebut merupk sutu tksr g cukup bk utuk meksr prmeter θ. Utuk megethu hl tersebut, perlu dlht sft-sft dr tksr ttk dr prmeter θ. Beberp sft dr tksr ttk g bs dguk sebg dktor pkh tksr ttk g ddpt sudh cukup bk tr l sft tk bs, kosste, d efse... Tksr Tk Bs Sutu peksr dr θ, tu dktk sebg peksr g tk bs utuk θ, jk ekspekts tu l hrp dr sttstk sm deg prmeter θ. Atu dpt dotsk sebg berkut :, θ Ω Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

32 0.. Tksr Kosste Sutu peksr dr prmeter θ, tu dktk sebg peksr g kosste utuk θ jk koverge dlm probblts ke prmeter θ. Sutu brs peubh ck X, X,, X dktk koverge dlm probblts ke peubh ck X, jk utuk setp ε > 0, berlku lm Pr{ X X } tu ekuvle deg lm Pr{ X X } 0 Sehgg dktk koverge dlm probblts ke θ, jk utuk setp ε > 0, berlku lm Pr ˆ (.5) tu ekuvle deg lm Pr ˆ 0 (.6)..3 Tksr Efse Mslk X dlh peubh ck deg fugs probblts f(x;θ), θ Ω, dm rug prmeter Ω merupk sutu tervl. Sutu peksr tk bs dr prmeter θ, tu dktk sebg peksr g efse utuk θ, jk d h jk vrs dr mecp bts bwh dr Ro-Crmér, tu dpt dtk sebg berkut : ˆ I (.7) dm I(θ) dlh Fsher formto, g dtk deg Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

33 tu l f x; I f x; dx (.8) l f x; I f x dx ; (.9). Metode Newto-Rhpso Metode Newto-Rhpso dlh metode g dguk utuk mecr kr-kr persm dr sutu fugs o-ler ( f(x) = 0), deg megguk stu ttk wl d kemud medekt deg memperhtk slope tu kemrg dr fgs d ttk tersebut. Sel utuk mecr kr-kr persm dr sutu fugs, metode jug bergu utuk mecr l mksmum tu mmum dr sutu fugs, dm sutu fugs f(x) k mksmum tu mmum jk f (x) = 0. Ttk pedekt ke- dr metode Newto-Rhpso dtuls deg : ' f p, (.30) p p f p Metode merupk slh stu metode g serg dguk d cukup bk kre deg metode kekoverge lebh cept tercp. Teorem Newto-Rphso Asumsk f C [,b], dm C [, b] merupk hmpu dr setp fugs g memlk turu kedu g kotu pd tervl tutup [, b]. Mslk terdpt sutu blg p [,b], dm f(p) = 0. Jk f (p) 0, mk terdpt δ > 0 sedemk sehgg brs pk k 0 ddefsk deg ters Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

34 ' f pk p, 0,,... k g p k p k k f p k koverge ke p utuk setp proksms wl p 0 k [p δ, p + δ]..3 Uj Rso Lkelhood Peggu besr dr rso du pdf sebg dsr dr peguj terbk tu UMPT (Uforml Most Powerfull Test) dpt dmodfks d memberk metode utuk membetuk sutu peguj dr sutu hpotess mjemuk terhdp hpotess ltertf mjemuk tu membetuk sutu peguj dr sutu hpotess sederh terhdp hpotess ltertf mjemuk ketk UMPT tdk d. Metode membw kepd sutu peguj g dsebut uj rso lkelhood. Uj rso lkelhood tdk perlu merupk sutu UMPT, mu peguj sergkl mempu sft-sft g dgk. Mslk X, X,, X metk peubh ck g msg-msg mempu pdf f (x ; θ, θ,, θ m ), deg =,,,. Hmpu g terdr dr semu ttk prmeter (θ, θ,, θ m ) dotsk deg Ω g bs dsebut rug prmeter. Mslk ω dlh subset dr rug prmeter Ω. Mslk g melkuk peguj hpotess (sederh tu mjemuk) deg H 0 : (θ, θ,, θ m ) ω terhdp semu hpotess ltertf. Defsk fugs lkelhood sebg berkut : d m m (.3) ;,,...,,,,..., L f x m m (.3) ;,,...,,,,..., L f x Dm L(ω) merupk fugs lkelhood dbwh sums H 0 ber d L(Ω) merupk fugs lkelhood dbwh sums H ber. Mslk d dlh fugs lkelhood mksmum g dsumsk d utuk kedu fugs Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

35 3 lkelhood tersebut. Rso dr terhdp dsebut sebg rso lkelhood d dotsk deg x, x,..., x L ˆ L ˆ Mslk 0 dlh sutu blg pech postf. Prsp uj rso (.33) lkelhood metk bhw hpotess H 0 : (θ, θ,, θ m ) ω dtolk jk d L ˆ. L ˆ 0 h jk x, x,..., x Fugs medefsk sutu peubh ck (X, X,, X ) d tgkt sgfks dr peguj dberk oleh Pr,,... ; X X X 0 H0 (.34) Teorem Mslk X, X,, X dlh peubh ck g memlk dstrbus detk d slg bebs deg pdf f (x ; θ), θ Ω, dm Ω dlh subset dr deg dmes r, d mslk ω dlh subset dr Ω g berdmes m. Mslk hmpu dm pdf berl postf, tdk bergtug pd θ. Mk dbwh beberp kods tmbh g regulr, dstrbus smptotc dr A = - log dlh r m, utuk θ Ω, d st (George G Rousss, 997). Bukt dr teorem dts terdpt pd lmpr. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

36 BAB III PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI Bb membhs tetg terjd overdspers pd dstrbus Posso, kemud dstrbus Boml Negtf pd ksus overdspers utuk dt cout, dstrbus Gmm sebg pror turl cojugte dr dstrbus Posso, me d vrs dr dstrbus Boml Negtf, tksr prmeter dr dstrbus Boml Negtf, metode mksmum lkelhood, sert peguj prmeter dspers. 3. Overdspers pd Dstrbus Posso Mslk Y merupk sutu peubh ck g berdstrbus Posso deg prmeter. Pd dstrbus Posso terdpt beberp sums g hrus dpeuh, slh stu tu sums kesm me d vrs dr peubh ck Y tu dtk deg, E(Y ) = Vr(Y ) = ked dsebut ked ekudspers. Nmu pd ket, dlm lss sttstk, serg djump dt cout deg vrs g lebh besr dr me, tu dtk deg, Vr(Y ) > E(Y ) ked dsebut ked overdspers. deg EY Pd dstrbus Posso, me ( ) dsumsk kost tu dotsk utuk setp l dr Y. Nmu dlm ket sutu kejd serg dpegruh oleh fktor l g tdk termt g meebbk me dlm sutu populs berbed-bed tr observs. Hl meujukk bhw populs tersebut heteroge, d bergtug pd prmeter 4 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

37 5. Pelggr terhdp sums tersebut k megkbtk tksr prmeter g dperoleh dr dstrbus Posso mejd tdk efse wlupu tetp kosste, d k memberk tksr g tdk sesu (Joseph M Hlbe, 0). Sehgg dperluk dstrbus l g lebh cocok utuk meglss dt tersebut. 3. Dstrbus Boml Negtf pd Ksus Overdspers utuk Dt Cout Mslk Y dlh peubh ck g bergtug pd premeter g merupk l dr sutu peubh ck deg fugs probblts h. Y merupk peubh ck g berdstrbus Posso deg fugs probblts f. Mslk h merupk fugs probblts dr g berdstrbus Gmm deg prmeter α d β, sehgg fugs probblts dr dlh h exp exp l exp Jk berdstrbus Gmm deg prmeter α d β, mk k ddpt l hrp sert vrs dr dlh E ( ) = αβ Vr ( ) = α β (3.) Pd umum, l me dkel deg ots, tu dpt dtuls sebg E ( ) = αβ = sehgg ddpt β =, d. Mslk dotsk deg tu, mk. Deg kt l dpt dktk bhw, berdstrbus Gmm deg prmeter / d, deg fugs probblts sebg berkut Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

38 6 h exp Dstrbus Gmm dplh kre dstrbus Gmm merupk pror turl cojugte dr dstrbus Posso, hl k dtujukk d subbb (3.) berkut. Fugs probblts bersm tr Y d dlh e f ( ) h( ) exp! exp! (3.3) Mk meurut persm (.0) fugs probblts mrgl dr Y dlh ( ) f f h d Pr( Y ) f h( ) d Pr Y h( ) d exp d! exp d 0! ( ) exp! 0 d Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

39 7 ( ) exp! 0 ( ) ( ) exp! 0 d d ( ) ( ) Pr( Y ) exp d! ( ) mslk t, mk Sehgg persm Pr(Y = ) mejd dt sehgg d dt. d 0 Pr( Y ) exp( t) t dt!!! 0 exp( t) t! 0 exp( t) t! dt dt Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

40 8!! (3.4) Persm (3.4) dts memlk betuk g smlr deg betuk fugs probblts dr dstrbus Boml Negtf pd persm (.4) deg prmeter k = / d, deg l k = / pd persm dts merupk sutu blg postf. Peuru dstrbus Boml Negtf dts tdk berhubug deg peuru klsk dr dstrbus Boml Negtf sebg brs dr percob Beroull g djelsk pd subbb.7 (Pet De Jog & Gll Z Heller, 008)). Bukt bhw persm (3.4) merupk sutu fugs probblts dpt dlht pd lmpr 4. Dstrbus Boml Negtf deg fugs probblts sepert persm (.4) megsumsk bhw k dlh sutu blg bult postf, dm defs peubh ck dr dstrbus Boml Negtf dlh jumlh keggl g terjd sebelum k buh sukses. Dstrbus Boml Negtf deg fugs probblts pd persm (3.4) dsebut sebg dstrbus Cmpur Posso- Gmm (Mxture Posso-Gmm Dstrbuto). Pd dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm, l dr prmeter k = / buk merupk sutu blg bult postf, melk sutu blg rel postf. Sehgg defs peubh ck dr dstrbus Boml Negtf sebelum tdk dpt dguk (Joseph M Hlbe, 0). Defs peubh ck g dguk pd dstrbus Boml Negtf sebg dstrbus Cmpur Posso-Gmm dlh jumlh kejd deg dspers pd dt sebesr / (Norm L. Johso, Smuel Kotz, d Adre W. Kemp, 99). Defs tersebut memlk kesm deg defs peubh ck pd dstrbus Posso, mu pd dstrbus Boml Negtf terdpt prmeter tmbh g mejelsk mege dspers dr dt. Dstrbus Boml Negtf deg fugs Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

41 9 probblts pd persm (3.4) memlk du prmeter tu d, dm merupk prmeter g mejelsk tetg me d merupk prmeter dspers. Berdsrk ur dts dpt dsmpulk bhw dstrbus Boml Negtf merupk slh stu dstrbus ltertf g dpt dguk utuk meglss dt cout st terjd overdspers, kre pd dstrbus terdpt prmeter g dguk utuk megmt dspers g terjd pd dt. 3.3 Dstrbus Gmm sebg Pror Nturl Cojugte dr Dstrbus Posso Metode Bes merupk metode g dguk utuk meggbugk pegethu terdhulu (pror) dr prmeter g k dtksr deg forms g ddpt dr dt smpel. Pd kods overdspers, premeter dr dstrbus Posso tdk lg kost tu bervrs tr observs pd populs d merupk l dr sutu peubh ck g memlk sutu dstrbus tertetu. Dstrbus dr tersebut dsebut dstrbus pror. Sedgk dstrbus dr Y setelh dkethu forms dr pror d dlkuk metode Bes dsebut dstrbus posteror. Y dlh sutu peubh ck g bergtug pd prmeter dr sutu populs g berdstrbus Posso d dm Y ddefsk sebg jumlh kejd pd sutu populs dlm sutu tervl wktu tu re tertetu. Telh djelsk sebelum bhw st terjd overdspers pd dstrbus Posso, tdk lg kost tu bervrs tr observs. Hl tu meujukk bhw λ merupk l dr sutu peubh ck g memlk sutu dstrbus tertetu. Mslk dplh dstrbus Gmm sebg dstrbus dr, deg prmeter / d tu dpt dtuls ~ /,. Als pemlh tersebut dlh kre dstrbus Gmm merupk pror turl cojugte dr Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

42 30 dstrbus Posso d terdpt kesm betuk fugsol tr pdf dr dstrbus Posso, tu e f ( ), 0, 0,,...! 0, l d pdf dr dstrbus Gmm pd persm (3.), tu h exp, 0 0, l Sebelum pd subbb.9 telh djelsk bhw sutu kels dstrbus probblts pror h(θ) dktk pror turl cojugte deg kels fugs lkelhood f( ) jk kels dstrbus probblts pror h(θ) merupk cojugte dr kels fugs lkelhood, d fugs probblts pror h(θ) memlk betuk fugsol g sm deg fugs lkelhood f( ). Seljut k dbuktk bhw dstrbus Gmm merupk pror turl cojugte dr dstrbus Posso. Mslk Y dlh peubh ck g bergtug pd prmeter g berdstrbus Posso, dm dstrbus Posso g merupk ggot dr kelurg ekspoesl (bukt terdpt pd lmpr 3), sehgg fugs probblts dlh e f ( ), 0, 0,,...! Seljut, mslk dstrbus pror dlh dstrbus Gmm deg prmeter / d, sehgg fugs probblts dr dlh persm (3.), tu h exp Pd subbb sebelum telh dkethu bhw persm (3.4) merupk fugs probblts mrgl dr peubh ck Y, tu Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

43 3 f! Seljut deg megguk persm (.3) k ddpt fugs probblts dr dstrbus posteror, tu : h p p p e exp!! exp exp (3.5) Fugs probblts posteror g ddpt pd persm (3.5) dts merupk fugs probblts dr dstrbus Gmm deg prmeter tu d. Dstrbus posteror g dhslk tert jug berdstrbus Gmm sepert dstrbus pror, sehgg terbukt bhw dstrbus Gmm merupk pror turl cojugte dr dstrbus Posso. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

44 3 3.4 Me d Vrs dr Dstrbus Boml Negtf Dstrbus Boml Negtf deg du prmeter, tu d, memlk fugs probblts sebg berkut: kombs Pr( Y ), 0, 0, 0,,,...!, 0, 0, 0,,,... pd persm dts dpt djbrk mejd!!!!!! Kemud perhtk kombs...!......!! Sehgg ddpt persm Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

45 33 (3.6) dm jk persm (3.6) d substtusk ke persm (3.4), k ddpt fugs probblts sebg berkut : Pr( Y ), 0, 0, 0,,,..., 0, 0, 0,,,..., 0, 0, 0,,,... (3.7) Seljut k dlht bgm sft-sft dr dstrbus Boml Negtf tr l bgm betuk momet geertg fucto (MGF), me sert vrs. Pertm, k dlht betuk dr momet geertg fucto (MGF) dr dstrbus Boml Negtf. Kre Y berdstrbus Boml Negtf dlh peubh ck dskrt, mk momet geertg fucto (MGF) dpt dtk deg M () t E e ty t e f Sehgg momet geertg fucto (MGF) dr dstrbus Boml Negtf dlh t M t e f t e 0 t e 0 t e 0 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

46 34 t e Mt (3.8) dm t l, 0, 0. Setelh megethu betuk dr momet geertg fucto (MGF), k dcr me sert vrs dr dstrbus Boml Negtf, dm M Me E Y ' 0 E Y Vrs E Y E Y M '' 0 Seljut k dcr turu pertm d turu kedu dr momet geertg fucto (MGF), g k dguk dlm meetuk me sert vrs dr dstrbus Boml Negtf. M ' t dm t dt t t e e (3.9) M '' t d M t dt t t e e t t t e e e (3.0) Sehgg ddpt me d vrs dlh Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

47 35 Me M ' 0 (3.) Vrs M '' 0 Vrs (3.) Dr persm (3.) d (3.) ddpt bhw me dr dstrbus Boml Negtf dlh, d vrs dlh. Deg l > 0, mk dpt dsmpulk bhw vrs dr dstrbus Boml Negtf lebh Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

48 36 besr dr l me. Nl me d vrs dr dstrbus Boml Negtf dpt dtk sebg E Y vr Y E (3.3) E vr (3.4) Persm (3.3) d (3.4) dts sesu deg me d vrs dr dstrbus cmpur (Mxture Dstrbuto) sepert pd persm (.) d (.). 3.5 Tksr Prmeter dr dstrbus Boml Negtf Pd dstrbus Boml Negtf terdpt du prmeter g l tdk dkethu tu d, sehgg kedu prmeter k dtksr. Terdpt beberp metode peksr g dpt dguk, mu g k dbhs dlh metode mksmum lkelhood Metode Mksmum Lkelhood Mslk Y, Y,, Y dlh smpel ck dr dstrbus Boml Negtf g memlk fugs probblts,f ( ;, ) dm, ( ;, ), 0, 0, 0,,,...! f deg d merupk premeter g l tdk dkethu. Sehgg Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

49 37 l kedu prmeter tersebut dpt dtksr. Pd metode mksmum lkelhood k dguk persm lkelhood dlm mecr tksr dr prmeter d. Persm lkelhood ddefsk sebg pdf bersm dr Y, Y,, Y d bs dotsk deg L(, μ). Persm lkelhood dr dstrbus Boml Negtf tu : L,!!...!... (, ) L!....! r r (3.5).! Utuk dpt memperoleh tksr prmeter d deg metode mksmum lkelhood, perlu dcr l d g k memksmumk fugs lkelhood, hl sm deg jk mecr l d g k memksmumk fugs log lkelhood. Kre lebh mudh mecr l d g k memksmumk fugs log lkelhood, sehgg perlu dcr persm log lkelhood, tu : Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

50 38 L, r r.! log L, log r r.! l, log r log log! log r log log log log r log log! log r log log r log log! log log r log r log r log! log( ) log( ) r log r log! log( ) log( ) (3.6) Setelh medptk persm log lkelhood, seljut dpt dcr l d μ g memksmumk fugs tersebut. Thp wl g dlkuk dlh deg meghtug turu prsl pertm terhdp prmeter d μ, g seljut k dsmk deg ol. l (, ) 0 (3.7) ( ) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

51 39 l r (, ) log( ) 0 r r ( ) (3.8) Nl d μ g dperoleh dr hsl peeles persm (3.7) d (3.8) k memksmumk l(, μ) jk l (, ) l (, ) l (, ). 0 l (, ) l (, ). 0 d 0 (3.9) (3.0) Dr persm (3.6), turu prsl kedu terhdp prmeter d μ dlh ( ) l (, ) (3.) r log( ) (3.) 3 r r l (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) l(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.3) ( ) ( ) Telh dtujukk pd lmpr 5 bhw > 0, d l (, ) l (, ) 0 d 0, sehgg l d μ g dperoleh sebg Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

52 40 hsl dr persm (3.7) d (3.8) k memksmumk l(, μ), d dsebut sebg tksr lkelhood. Peksr Prmeter μ Utuk mecr l μ g memksmumk fugs log lkelhood dpt dlkuk deg meuruk persm log lkelhood terhdp μ, deg prmeter dggp kost tu memlk l tertetu. Kemud memk persm turu log lkelhood terhdp μ tersebut deg 0. Sehgg ddpt tksr utuk μ tu : l(, ) log rlog! log( ) log( ) r l (, ) ( ) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

53 4 0 0 ˆ Y (3.4) Mk deg megguk metode mksmum lkelhood ddpt tksr dr tu ˆ Y. Tksr merupk peksr g tk bs, kosste d efse, pembukt terdpt pd lmpr. Peksr Prmeter Utuk mecr l g memksmumk fugs log lkelhood dpt dlkuk deg meuruk persm log lkelhood terhdp, deg prmeter μ dggp kost tu memlk l tertetu. Kemud memk persm turu log lkelhood terhdp tersebut deg 0. Sehgg ddpt tksr utuk tu: l(, ) log rlog! log( ) log( ) r r log r log! log( ) log( ) l(, ) r log( ) r r ( ) log( ) 0 r r r ( ) Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

54 4 r r r ( ) r r r r ( ) log( ) 0 log( ) 0 r r ( ) log( ) 0 r r r ( ) (3.5) log( ) 0 Solus eksk dr persm dts tdk dpt dperoleh, sehgg k dlkuk pedekt umerk deg megguk metode Newto-Rhpso utuk mecr solus dr persm tersebut. 3.7 Peguj Prmeter Overdspers Pd pembhs sebelum telh djelsk bhw dstrbus Boml Negtf dpt dguk utuk megts ksus overdspers pd dt cout. Sehgg dbutuhk peguj utuk memerks d tu tdk overdspers pd dt cout. Peguj g dlkuk deg megguk uj rso lkelhood deg hpotess tu: H 0 : = 0 H : > 0 Mslk ω dlh rug prmeter d bwh sums H 0 ber, d dlh l mksmum dr fugs lkelhood smpel g dbts oleh ω, dm L, r r.! Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

55 43 r r! r r! r r! Mslk b = /, sehgg persm mejd L, b b r b r b b! b r b r! b b St hpotess H 0 ber, mk st l 0, sehgg l b b r lm L, lm b b b r! b b b r lm b b r! b b b b r lm b lm lm b b b! b b lm! b b Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

56 44 Uversts Idoes! e Sehgg persm dr dpt dtuls sebg berkut : ˆ ˆ ˆ ˆ! ˆ! L e e (3.6) Defsk dlh l mksmum dr fugs lkelhood smpel, dm prmeter dpt dmbl dr sembrg l spesfk dlm gbug H 0 d H, sehgg ddpt ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r r r L r ˆ ˆ, 0! r r (3.7) dm d ˆ dlh tksr mksmum lkelhood dr dstrbus Boml Negtf. Rso lkelhood dotsk deg ˆ ˆ L L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ! ˆ, 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ! ˆ, 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r r e r e r Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

57 45 ˆˆ e ˆ ˆ r ˆ r, ˆ 0 e ˆ ˆˆ ˆ r r ˆ, ˆ 0 (3.8) Rso lkelhood g dotsk deg tersebut tdk memlk sutu dstrbus g spesfk, mu - kl dr logrtm turl dr rso lkelhood ( ) d bwh sums H 0 ber k megproksms dstrbus ch-squre deg derjt bebs stu tu, sehgg sttstk uj g k dguk dlm peguj rso lkelhood tu: L A log L log e log ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ r r ˆ ˆ log e ˆ ˆ ˆ log r ˆ r ˆ log ˆ ˆ log ˆ, ˆ r 0 ˆ r (3.9) Deg megguk forms dm st H 0 ber, mk berdsrk teorem pd subbb.3, sttstk uj A k berdstrbus ch-squre deg derjt bebs stu tu, dpt dtetuk tur keputus g k dguk dlm peguj. Atur keputus : pd tgkt sgfks α, H 0 k dtolk jk l sttstk uj A >,. Peolk H 0 pd tgkt sgfks α, dpt dsmpulk bhw terjd overdspers pd dt cout pd tgkt sgfks α. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

58 BAB IV CONTOH APLIKASI Tgg tgkt kecelk g terjd d berbg rus jl mul mereshk msrkt. Hl memks phk g berweg, dlm ksus dlh kepols tu ds llu lts utuk melkuk lss mege hl tersebut. Slh stu lss g dpt dterpk dlh lss sttstk utuk megethu peebr sert rt-rt dr jumlh kecelk tersebut d rusrus jl tertetu. Bb membhs tetg cotoh ksus overdspers pd dt cout besert peksr d peguj prmeter. 4. Sumber Dt Pd cotoh plks, dberk 50 dt g merupk dt jumlh kecelk g terjd d sutu jl tertetu, deg pegemud g dplh secr ck. Mslk Y dlh sutu peubh ck g mejelsk jumlh kecelk g terjd pd sutu jl tertetu. Utuk melkuk lss pd dt kecelk dlm lss keselmt llu lts, dbutuhk sutu dstrbus sttstk g cocok utuk dt tersebut. Jumlh kecelk d sutu jl tertetu dsumsk berdstrbus Posso, g memlk stu prmeter, g metk me d vrs g sm. Hl megdksk bhw rtrt tgkt kecelk ( ) dlm populs kost. Nmu pd ket, setp dvdu memlk tgkt kecedrug kecelk g berbed. Tgkt kecederug g berbed tr dvdu megdksk bhw l bervrs tr dvdu, sehgg pbl dlkuk lss sttstk d peksr prmeter deg megguk dstrbus Posso pd dt st terjd overdspers, k ddpt tksr prmeter g tdk efse d k memberk forms g tdk sesu. 46 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

59 47 Kre ls tersebut, dstrbus Posso tdk cocok dguk pd dt st terjd overdspers. Dstrbus Boml Negtf merupk slh stu ltertf g dpt dguk dlm melkuk lss sttstk pd dt jumlh kecelk st terjd overdspers. Tbel 4. Dt Jumlh Kecelk Dt Jumlh Kecelk d Sutu Rus Jl Alss Dt Dr dt dts seljut k dlkuk lss terhdp dt tersebut. Tuju dr lss dt dlh utuk megethu pkh terjd overdspers pd dt tersebut d mecr dstrbus sttstk g dpt mewkl dt jumlh kecelk sert megethu peebr d rt-rt dr jumlh kecelk. Terdpt beberp thp lss g k dlkuk pd dt tersebut tr l uj Kolmogorov-Smrov, peksr prmeter, d uj rso lkelhood. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

60 Uj Kolmogorov-Smrov Hl pertm g k dlkuk dlm lss dlh memerks pkh dt tersebut berdstrbus Posso tu tdk, peguj g k dlkuk megguk uj Kolmogorov Smrov. Hpotess Utuk melkuk peguj dguk hpotess sebg berkut : H 0 : Dt berdstrbus Posso H : Dt tdk berdstrbus Posso Tgkt Sgfks Pd peguj k dguk tgkt sgfks α = 0.05 Atur Keputus H 0 dtolk jk ˆ 0.05 Keputus Deg megguk progrm SPSS, k ddpt output sebg berkut : Tbel 4. Uj Stu Smpel Kolmogorov-Smrov N 73 Posso Prmeter Me.9 Most Extreme Dffereces Absolute.304 Postve.304 Negtve -.5 Kolmogorov-Smrov Z Asmp. Sg. (-tled).000. Test dstrbuto s Posso. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

61 49 Dr tble 4. dts, ddpt bhw l ˆ , sehgg H 0 dtolk. Kesmpul H 0 dtolk, hl dpt dsmpulk bhw deg tgkt keperc 95%, kt perc dt tersebut tdk berdstrbus Posso. Dr peguj ddpt bhw tert dt tersebut tdk berdstrbus Posso. Hl meujukk bhw ked ekudspers tu ked dm me d vrs berl sm tdk terpeuh pd dt tersebut. Terdpt du kemugk dr dt tersebut tu dt meglm uderdspers tu overdspers. Jk dlht l rso tr vrs d me g berl lebh dr, mk ddug terjd overdspers pd dt tersebut. Dstrbus Boml Negtf merupk slh stu ltertf dstrbus g dpt dguk st terjd overdspers pd dt. 4.. Peksr Prmeter Pd dstrbus Boml Negtf, terdpt du prmeter g l tdk dkethu, tu prmeter μ d. Seljut k dguk dstrbus Boml Negtf dlm melkuk lss pd dt tersebut, d k dlkuk peksr dr kedu prmeter tersebut deg megguk metode mksmum lkelhood Peksr Prmeter μ Pd bb sebelum telh djelsk bgm mecr tksr dr prmeter μ deg megguk metode mksmum lkelhood, d ddpt Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

62 50 bhw tksr dr prmeter μ, tu: ˆ Y Hsl output deskrptf sttstk deg meguk SPSS, sebg berkut : Tbel 4.3 Sttstk Deskrptf N Me Std. Devto Mmum Mxmum Dr tbel 4.3 dts ddpt bhw tksr prmeter μ dlh ˆ Peksr Prmeter Pd bb sebelum telh dbhs bhw peksr prmeter deg megguk metode mksmum lkelhood tdk dpt dselesk deg cr g bs sepert pd peksr prmeter μ kre persm g ddpt buk merupk sutu fugs ler, sehgg k dguk metode Newto- Rhpso pd Mtlb dlm peeles.hsl output g ddpt utuk mecr tksr prmeter deg megguk mtlb tu: Gmbr 4. Nl Tksr Prmeter Dr hsl output dts ddpt bhw ˆ Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

63 Uj Rso Lkelhood Setelh megethu l tksr dr kedu prmeter tersebut, k dlkuk peguj terhdp prmeter dspers pd dstrbus Boml Negtf, tu prmeter. Peguj dlkuk utuk memerks sums terjd overdspers pd dt. Hpotess Utuk melkuk peguj dguk hpotess sebg berkut : H 0 : = 0 H : > 0 Tgkt Sgfks Pd peguj k dguk tgkt sgfks α = 0.05 Atur Keputus H 0 k dtolk jk l sttstk uj A > 0.05, Keputus Seljut utuk megethu keputus pkh H 0 dtolk tu tdk k dhtug l dr sttstk uj A deg megguk btu mtlb. Hsl g dperoleh dlh sebg berkut : Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

64 5 Gmbr 4. Nl Sttstk Uj A Dr hsl perhtug dts ddpt bhw jk l sttstk uj A = > 0.05, 3.845, sehgg H 0 dtolk. Kesmpul Deg tgkt sgfks 95%, kt perc bhw terjd overdspers pd dt g kt guk sehgg dstrbus Boml Negtf lebh cocok dguk utuk melkuk lss pd dt tersebut dbdgk deg dstrbus Posso. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

65 BAB V PENUTUP khr. Pd bb, k dberk kesmpul sert sr dr peuls tugs 5. Kesmpul Dt cout dlh dt hsl percob ck g l-l berup blg bult o egtf. Dstrbus g bs dguk utuk memodelk dt cout dlh dstrbus Posso g memlk me d vrs g sm. St terjd overdspers, tu ked dm vrs dr peubh ck berl lebh besr dr l me dr peubh ck tersebut, sums me d vrs sm pd dstrbus Posso tdk lg terpeuh. Oleh kre tu dperluk dstrbus l utuk meglss dt cout tersebut. Pd kods overdspers, l me bervrs tr dvdu sehgg me merupk sutu peubh ck. Pemlh dstrbus Gmm sebg dstrbus dr me k meghslk dstrbus Boml Negtf g merupk dstrbus Cmpur Posso-Gmm (Mxture Posso-Gmm dstrbuto). Dstrbus Boml Negtf merupk slh stu dstrbus ltertf g dpt dguk st terjd overdspers, kre pd dstrbus terdpt tmbh prmeter g mejelsk tetg besr dspers dr dt. Metode mksmum lkelhood d metode Newto-Rhpso dguk utuk melkuk peksr terhdp prmeter me d prmeter dspers. Tksr dr prmeter me merupk peksr g tk bs, kosste, d efse. 53 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

66 54 5. Sr Sel metode mksmum lkelhood, peksr prmeter dr dstrbus Boml Negtf dpt dlkuk deg metode l dtr dlh metode Qus Lkelhood d metode Bootstrpped Mksmum Lkelhood. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

67 DAFTAR PUSTAKA Cmero, A. C., d Trved, P. K. (998). Regresso Alss of Cout Dt. Cmbrdge: Cmbrdge Uverst Press. Gelm, A., et l. (000). Bes Dt Alss. New York: Chpm & Hll/CRC. Gooverts M.J., et l. (00). Moder Acturl Rsk Theor. Netherlds: Kluwer Acdemc Publshers. Hlbe, Joseph.M. (0). Negtve Boml Regresso. Cmbrdge: Cmbrdge Uverst Press. Hogg, R.V., d Crg, A.T. (995). Itroducto to Mthemtcl Sttstcs (5 th ed.). New Jerse: Pretce Hll Itertol. Jog, Pet De., d Heller, Gll. Z. (008). Geerlzed Ler Models for Isurce Dt. Cmbrdge: Cmbrdge Uverst Press. Isml, N., d Jem, A. A. (007). Hdlg Overdsperso wth Negtve Boml d Geerlzed Posso Regresso Models. Vrg: Csult Acturl Socet Forum. Johso, Norm.L., Kotz, Smuel., d Kemp, Adree.W. (99). Uvrte Dscrete Dstrbuto. New York: The Wlle Iterscece Publcto. Pjer, Hrr.H., d Wllmot, Gordo.E. (99). Isurce Rsk Models. USA : Socet of Actures. Pegorsch, Wlter.W. (990). Mxmum Lkelhood Estmto for the Negtve Boml Dsperso Prmeter. U.S.A: Itertol Bometrc Socet. Rchrd, D. (008). Bes Alss. Pper of lecturer Notes. Ross, G.J.S. d Preece, D.A. (985). The Negtve Boml Dstrbuto. Rol Sttstcl Socet, U.K, Rousss, George.G. (997). A Course Mthemtcl Sttstcs ( d Edto). USA: Acdemc Press. Schmock, Uwe. (008). Modellg Depedet Credt Rsk wth Extesos of Credt Rsk d It s Applcto to Opertol Rsk. Ve Uverst of Techolog. Ve, Austrl. 55 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

68 56 Setw, Sus. (006). Alss Dstrbus Boml Negtf. Stfk Vol 7. Jember, Idoes. Smo, Lero, J. (96). A Itoducto to Negtve Boml Dstrbuto d It s Aplcto. Vol XLIX Prt. Wlsh, B. (00). Itroducto to Bes Alss. Pper of Lecturer Notes for EEB 596z. Wlls, Ld.J. (98). Estmto d Testg Procedures for the Prmeters of Negtve Boml Dstrbuto. Thess for Doktor of Phlosoph, Fcult of Grdute Collge. Oklhom: Oklhom Stte Uverst. Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0

69 Lmpr. Bukt Teorem Uj Rso Lkelhood Ak dcr dstrbus dr sttstk uj A l ˆ l ˆ, dm l ˆ dlh l mksmum dr fugs log lkelhood smpel d bwh sums H 0 ber g dbts oleh ω, d l ˆ dlh l mksmum dr fugs log lkelhood smpel, dm prmeter dpt dmbl dr sembrg l spesfk dlm gbug H 0 d H ber. Mslk dmbl l tksr prmeter ˆθ dr rug tksr prmeter ˆ d tksr prmeter θ ˆ mks dr rug tksr prmeter ˆ, mk sttstk uj A dpt dtuls sebg berkut : Lθˆ θ ˆ mks A log l l L θ ˆ θ ˆ mks dm l θ ˆ mks dlh l mksmum fugs log lkelhood dlm gbug H 0 d H ber deg jumlh prmeter r g dhtug st ˆ () θ θ ˆmks d l ˆ dlh l mksmum fugs log lkelhood d bwh sums H 0 ber deg jumlh prmeter m g dhtug st dlh : dm θ θ. ˆ Pedekt deret Tlor orde utuk mecr l l θ ˆ, st l l l θ θθˆ θ ˆ ˆ l T ˆ l θ θ θ θ θ θ θ θˆ θ θ l θ θ θθˆ θθˆ () θ 0, kre ˆθ merupk tksr mksmum lkelhood, d l θ ˆ merupk sutu kostt, sehgg persm mejd K θ T ˆ l l θ θ θ θ θˆ θ θθˆ (3) θˆ 57 Uversts Idoes Peksr prmeter..., Shfr, FMIPA UI, 0