Bab 4 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Transkripsi

1 Bb Peyeles Persm Ler Smult.. Persm Ler Smult Persm ler smult dlh sutu betuk persm-persm yg ser bersm-sm meyjk byk vrbel bebs. Betuk persm ler smult deg m persm d vrbel bebs dpt dtulsk sebg berkut: b b b. m m m m bm dm: j utuk s/d m d j s/d dlh koefse tu persm smult utuk s/d dlh vrbel bebs pd persm smult Peyeles persm ler smult dlh peetu l utuk semu s/d yg memeuh semu persm yg dberk. Permslh persm ler smult merupk permslh yg byk muul ketk berhubug deg permslh mult-vrbel dm setp persm merupk betuk persm ler tu deg kt l setp vrbel berpgkt plg besr stu. Persm ler smult d ts dpt dytk sebg betuk mtrk ytu : b b m tu dpt dtulsk: A B Dm: A m m m m b b b, db m bm Mtrk A dmk deg Mtrk Koefse dr persm ler smult, tu d yg memk deg mtrk Job. Vektor dmk deg vektor vrbel (tu vektor ked) d vektor B dmk deg vektor kostt. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

2 Augmeted Mtr ( mtrk perlus ) dr persm ler smult dlh mtrk yg merupk perlus mtrk A deg membhk vetor B pd kolom terkhry, d dtulsk: Augmeted (A) [A B] Sehgg ser detl, ugmeted mtrk dr persm ler smult dpt dtulsk: b b m m m m bm Cotoh permslh mult vrbel dlh sebg berkut : Cotoh permslh : Seorg pembut boek g membut du mm boek ytu boek A d boek B. Kedu boek tersebut dbut deg megguk du mm bh ytu potog k d kg. Boek A membutuhk potog k d 6 kg, sedgk boek B membutuhk 8 potog k d 8 kg. Permslhy dlh berp buh boek A d boek B yg dpt dbut dr 8 potog k d 6 kg? Permslh dpt dmodelk deg meytk : jumlh boek A y jumlh boek B Utuk setp bh dpt dytk bhw: Potog k utuk boek A 8 utuk boek B 8 Kg 6 utuk boek A 8 utuk boek B 6 Atu dpt dtulsk deg : 8 y y 6 Peyeles dr permslh d ts dlh peetu l d y yg memeuh kedu persm d ts. Cotoh permslh : Perhtk potog pet yg sudh dperbesr (zoom) sebg berkut : Sebg otoh perhtk permslh berkut: Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

3 Perhtk bhw pd ke- ttk tersebut dhubugk deg grs lurus, sehgg tmpk ksr. Utuk meghlusky dlkuk pedekt grs deg kurv yg dbetuk deg fugs pedekt poloml. Dr fugs poloml yg dhslk kurv dpt dgmbrk deg lebh hlus. Mslk pd otoh dts, ttk yg dtujuk dlh (,), (7,6), (8,) d (,). ttk dpt ddekt deg fugs polom pgkt ytu : y b d Bl l d y dr ttk dmsukk ke dlm persm d ts k dperoleh model persm smult sebg berkut : Ttk 8 b d Ttk 6 9 b 7 d Ttk 5 6 b 8 d Ttk 78 b d Nl, b, d d dlh peyeles dr permslh d ts. Setelh l, b, d d dperoleh mk persm polomly ddptk d deg megguk step yg lebh kel dpt dgmbrk grfky deg lebh hlus. Cotoh hsly dlh sebg berkut : Permslh merupk permslh kurv fttg, yg dguk utuk meetuk persm poloml yg plg sesu utuk meytk fugs dr dt. Cotoh permslh : Dkethu ps beberp ttk pd plt bj ytu pd ss lur. Bl dtetuk bhw lr ps bergerk ser lmr d ps pd sebuh ttk dlh rt-rt ps dr ttk tetggy, mk dpt dhtug ps pd ttk T d T sebg berkut: 5 o C 5 o C o C T T o C 5 o C 5 o C Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

4 Persm ps pd ttk T d T dpt dhtug deg: T ( 5 5 T ) ( ) T 5 T 5 Persm ler smult dr permslh d ts dlh: T T 5 T T 5 Peyeles permslh d ts dlh l T d T yg memeuh kedu persm d ts. Theorem.. Sutu persm ler smult mempuy peyeles tuggl bl memeuh syrt-syrt sebg berkut. () Ukur persm ler smult bujursgkr, dm jumlh persm sm deg jumlh vrble bebs. () Persm ler smult o-homoge dm mml d stu l vetor kostt B tdk ol tu d b. () Determ dr mtrk koefse persm ler smult tdk sm deg ol. Utuk meyelesk permslh-permslh persm ler smult dpt dlkuk deg megguk metode-metode ltk sepert pemk metode grfs, tur Crmmer, tu vers mtrk. Metode-metode tersebut dpt dlkuk deg mudh bl jumlh vrbel d jumlh persmy d bwh, tetp bl ukury besr mk metode-metode d ts mejd sult dlkuk, sehgg pemk metode umerk mejd sutu ltertf yg byk dguk. Metode umerk yg dpt dguk utuk meyelesk permslh persm ler smult tr l: () Metode Elms Guss () Metode Elms Guss-Jord () Metode Iters Guss-Sedel.. Metode Elms Guss Metode Elms Guss merupk metode yg dkembgk dr metode elms, ytu meghlgk tu megurg jumlh vrble sehgg dpt dperoleh l dr sutu vrble bebs. Cr elms sudh byk dkel. Utuk megguk metode elms Guss, terlebh dhulu betuk mtrk dubh mejd ugmeted mtrk sebg berkut : b b b Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

5 Metode elms guss, dlh sutu metode dm betuk mtrk d ts, pd bg kr dubh mejd mtrk segtg ts tu segtg bwh deg megguk OBE (Opers Brs Elemeter). b d b b b Sehgg peyeles dpt dperoleh deg: d, ( d ),. ( d ) ( d ) Opers Brs Elemeter (OBE) merupk sutu opersol pegubh l eleme mtrk berdsrk brsy, tp megubh mtrky. OBE pd brs ke-k deg dsr brs ke dpt dtulsk deg : k, j k, j., j dm dlh kostt pegl yg dmbl dr perbdg l dr eleme, d k, Cotoh.: Selesk sstem persm berkut: 6 Jwb: Augmeted mtrk dr persm ler smult tersebut dlh: 6 d d d Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

6 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6 Lkuk opers brs elemeter sebg berkut: B B B B 6 B B 6 6 deg demk dperoleh peyeles: ( ) ( ) 6 () 6 Algortm Metode Elms Guss dlh sebg berkut: () Msukk mtrk A, d vektor B besert ukury () But ugmeted mtrk [A B] mk deg A () Utuk brs ke dm s/d, perhtk pkh l, sm deg ol : Bl y : pertukrk brs ke d brs ke k, dm k, tdk sm deg ol, bl tdk d berrt perhtug tdk bs dljutk d proses dhetk deg tp peyeles. Bl tdk : ljutk () Utuk brs ke j, dm j s/d Lkuk opers brs elemeter: Htug j,, Utuk kolom k dm k s/d htug k k j k j,,,. (5) Htug kr, utuk s/d (bergerk dr brs ke smp brs pertm) ( ) b,,,, dm l k Ctt: Metode elms guss sebery merupk metode elms yg serg dguk dlm perhtug mul, hy sj tekky megguk model peuls persm buk megguk ugmeted mtrk.

7 .. Metode Elms Guss Jord Metode merupk pegembg metode elms Guss, hy sj ugmeted mtrk, pd sebelh kr dubh mejd mtrk dgol sebg berkut: b d b d b d b d Peyeles dr persm ler smult dts dlh l d,d,d,,d d tu: d, d, d,., d Tekk yg dguk dlm metode elms Guss-Jord sm sepert metode elms Guss ytu megguk OBE (Opers Brs Elemeter). Hy perhtug peyeles ser lgsug dperoleh dr l pd kolom terkhr dr setp brs. Cotoh. : Selesk persm ler smult: 8 Jwb: Augmeted mtrk dr persm ler smult tersebut dlh: 8 Lkuk opers brs elemeter sebg berkut: B b B / B B Peyeles persm ler smult tersebut dlh: d Algortm Metode Elms Guss-Jord dlh sebg berkut: () Msukk mtrk A, d vektor B besert ukury () But ugmeted mtrk [A B] mk deg A () Utuk brs ke dm s/d () Perhtk pkh l, sm deg ol : Bl y : pertukrk brs ke d brs ke k, dm k, tdk sm deg ol, bl tdk d berrt perhtug tdk bs dljutk d proses dhetk deg tp peyeles. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 7

8 Bl tdk : ljutk (b) Jdk l dgoly mejd stu, deg r utuk setp kolom k, k dm k s/d, htug, k, (6) Utuk brs ke j, dm j s/d Lkuk opers brs elemeter: utuk kolom k dm k s/d Htug j, Htug j, k j, k., k (7) Peyeles, utuk s/d (bergerk dr brs ke smp brs pertm),.. Metode Iters Guss-Sedel Metode ters Guss-Sedel dlh metode yg megguk proses ters hgg dperoleh l-l yg berubh. Bl dkethu persm ler smult: b b Berk l wl dr setp ( s/d ) kemud persm ler smult dts dtulsk mejd: ( b. ) ( b. ) ( b. ) Deg meghtug l-l ( s/d ) megguk persm-persm d ts ser terus-meerus hgg l utuk setp ( s/d ) sudh sm deg l pd ters sebelumy mk dperoleh peyeles dr persm ler smult tersebut. Atu deg kt l proses ters dhetk bl selsh l ( s/d ) deg l pd ters sebelumy kurg dr l tolers error yg dtetuk. Ctt: Ht-ht dlm meyusu sstem persm ler ketk megguk metode ters Guss-Sedel. Perhtk setp koefse dr msg-msg pd semu persm d dgol utm ( ). Letkk l-l terbesr dr koefse utuk setp pd dgol utm. Mslh dlh mslh pvotg yg hrus ber- b b Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 8

9 ber dperhtk, kre peyusu yg slh k meyebbk ters mejd dverge d tdk dperoleh hsl yg ber. Cotoh.: Selesk sstem persm ler: 5 Jwb: Berk l wl : d Susu persm mejd: 5 ters : ters : ters : ters : ters 5 : ters 6 : ters 7 : ( ) (.5) (.) Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 9

10 Nl ters ke-7 sudh tdk berbed juh deg l ters ke-6 mk proses dhetk d dperoleh peyeles: 97 d 7 6 Algortm Metode Iters Guss-Sedel dlh sebg berkut: () Msukk mtrk A, d vektor B besert ukury () Tetuk bts mksmum ters m_ter () Tetuk tolers error ε () Tetuk l wl dr, utuk s/d (5) Smp dlm s, utuk s/d (6) Utuk s/d htug : b, j j, j e s (7) ters ters (8) Bl ters lebh dr m_ter tu tdk terdpt e <ε utuk s/d mk proses dhetk dr peyelesy dlh utuk s/d. Bl tdk mk ulg lgkh (5).5. Cotoh Peyeles Permslh Persm Ler Smult Cotoh Ksus : Permslh peetu produk berdsrk persed bh Mr.X membut mm boek A d B. Boek A memerluk bh blok B d blok B, sedgk boek B memerluk bh 5 blok B d 6 blok B. Berp jumlh boek yg dpt dhslk bl tersed 8 blok bh B d 6 blok bh B. Model Sstem Persm Ler : Vrbel yg dr dlh jumlh boek, ggp: dlh jumlh boek A dlh jumlh boek B Perhtk dr pemk bh : B: bh utuk boek A 5 bh utuk boek B 8 B: bh utuk boek A 6 bh utuk boek B 6 Dperoleh model sstem persm ler Peyeles deg megguk metode elms Guss-Jord dlh sebg berkut: Augemeted Mtrk 5 8 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

11 6 6 B <-- B/, B <-- B - B,5 8 5 B <-- B/5,5 8 B <-- B -,5 B 6 Dperoleh 6 d, rty bh yg tersed dpt dbut 6 boek A d boek B. Cotoh Ksus : Permslh lr ps pd plt bj Dkethu ps beberp ttk pd plt bj ytu pd ss lur. Bl dtetuk bhw lr ps bergerk ser lmr d ps pd sebuh ttk dlh rt-rt ps dr ttk tetggy, mk dpt dhtug ps pd ttk T d T sebg berkut: 5 o C 5 o C o C T T o C 5 o C 5 o C Persm ps pd ttk T d T dpt dhtug deg: T ( 5 5 T ) ( ) T 5 T 5 Sstem persm ler dr permslh d ts dlh: T T T T 5 5 Peyeles deg megguk ters Guss-Sedel, terlebh dhulu dtetuk l pedekt wl T d T d fugs pegubhy dlh : T ( 5 T ) T ( 5 T ) Dperoleh hsl perhtug utuk tolers error. sebg berkut: Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

12 Iters e e - -,5,65,5,65,6565,66,565,596,9,75,6766,5869,69,67,967,998 5,7,9,8,6 6,,,55,87E-5 7,, 9,69E-6,E-6 Jd tempertur pd T, d T, Cotoh Ksus : Peghlus Kurv Deg Fugs Pedekt Poloml Perhtk potog pet yg sudh dperbesr (zoom) sebg berkut : Sebg otoh perhtk permslh berkut: Perhtk bhw pd ke- ttk tersebut dhubugk deg grs lurus, sehgg tmpk ksr. Utuk meghlusky dlkuk pedekt grs deg kurv yg dbetuk deg fugs pedekt poloml. Dr fugs poloml yg dhslk kurv dpt dgmbrk deg lebh hlus. Mslk pd otoh dts, ttk yg dtujuk dlh (,), (7,6), (8,) d (,). ttk dpt ddekt deg fugs polom pgkt ytu : y b d Bl l d y dr ttk dmsukk ke dlm persm d ts k dperoleh model persm smult sebg berkut : Ttk 8 b d Ttk 6 9 b 7 d Ttk 5 6 b 8 d Ttk 78 b d Deg megguk Metode Elms Guss-Jord dperoleh : Augmeted Mtrk > B B/ >,5,5,5,75 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

13 B B - B -,5-78,75 -,88 -,6 B B - 5 B B B - 78 B B B/(-,5) > -,7 -,6 -,6 B B -,5 B,69,8, B B 9 B,86,67,96 B B 7 B,857, 8,75 B B/, >,89,7 B B,7 B -,5 -,66 B B -,69 B,7679,5 B B -,857 B -,786-9,7 B B/(-,786) > -, B B -,89 B 6,9 B B,5 B -6,59 B B,7679 B 5, Deg demk dperoleh : -, b 6,9-6,59 d 5, d persm poloml yg dperoleh : y -, 6,9 6,59 5, Hsl peghlus kurv dlh sebg berkut: 5 'test.tt' -.***6.9***-6.59* Hsly memg belum tmpk bgus, hl dsebbk pegmbl ttky yg terllu juh d tgkt poloml yg belum memeuh syrt terbky. Hy sj kurv tersebut ber-ber melewt ttk yg dtetuk..6. TUGAS Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

14 () Sebuh dustr grme membut tg mm produk ytu kurs, mej d lemr. Produk-produk tersebut membutuhk tg jes bh ytu kyu pp, kyu rg d pku pegut. Perhtk otoh produky sebg berkut : bh produk Spesfks produk: kurs membutuhk kyu pp, 6 rg d pku. mej membutuhk kyu pp, 6 rg d pku lemr membutuhk kyu pp, rg d pku Berp jumlh mej, kurs d lemr yg dpt dbut bl tersed 8 kyu pp, kyu rg d 76 pku? () Seorg pet g mem pd, jgug d ketel d ts thy selus hektre. Deg ketetu: Utuk setp hektre pd membutuhk kg pupuk ure d 6 kg pestsd. Utuk setp hektre jgug membutuhk 8 kg pupuk ure d kg pestsd Utuk setp hektre ketel poho membutuhk 5 kg pupuk ure d kg pestsd Berp hektre pd, jgug d ketel yg hrus dtm bl tersed 97 kg pupuk uer d 55 kg pestsd? () Tempertur Pd Plt Bj Plt dletkk pd tempertur rug 5oC deg komposs sepert gmbr d smpg. Tempertur pd setp ttk dpegruh oleh 8 ttk sektry dr rh ts, bwh, kr, k, d dgol. Berp tempertur pd ttk hju bl lgkr htm dlh tempertur rug o C o C Metode Numerk Sebg Algortm Komputs