BAB 1 PENDAHULUAN. Gambar 1.1. Kurva y=sinc(x)

Transkripsi

1 BAB PENDAHULUAN.. Megp Megguk Metode Numerk Tdk semu permslh mtemts tu perhtug dpt dselesk deg mudh. Bhk dlm prsp mtemtk, dlm memdg permslh g terlebh dhulu dperhtk pkh permslh tersebut mempu peeles tu tdk. Hl mejelsk bhw tdk semu permslh dpt dselesk deg megguk perhtug bs. Sebg cotoh perhtk tegrl berkut s( L d Itegrl d ts terlht tdk terllu pjg, tetp utuk meelesk tegrl tersebut buk permslh g mudh bhk dpt dktk tdk mugk. Tetp buk berrt tegrl tersebut tdk mempu peeles, h sj meelesk tegrl semcm tu sgt sult d klupu bs memerluk pegethu mtemts g tgg d wktu g cukup lm. Pdhl tegrl d ts dlh betuk tegrl g bk dguk dlm bdg tekk, khusus pd ls sl g melbtk sl frekwes, flterg d optms pol rds. Gmbr.. Kurv sc( Deg dsr lh dpt dktk bhw dperluk sutu metode tertetu g dpt dguk utuk meghtug tegrl tersebut. Meskpu metode tersebut tdk dpt meghslk l g ect (tept, setdk-tdk sudh medekt l g dhrpk. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

2 Pd persol l, msl dkethu sutu kurv dr fugs o-ler ep( sebg berkut :.5 -**ep( Gmbr.. Kurv ep( Perhtk kurv ep( memotog sumbu X d tr d.5, tetp utuk meetuk kr persm (ttk potog deg sumbu X tersebut deg megguk metode mul dpt dktk tdk mugk. Sehgg dperluk metode-metode pedekt utuk dpt memperoleh kr g dpt dktk ber. Metode tersebut dlh metode umerk, tu metode g megguk lsslss pedekt utuk meghslk l g dhrpk. Persol l dlh bgm meetuk fugs poloml g terbk g dpt mewkl sutu dt sepert berkut: Gmbr.. Kurv Pedekt Secr ltk, utuk memperoleh fugs poloml dr jumlh dt g kecl (< msh bs dlkuk, tetp utuk jumlh dt g besr sult sekl dlkuk kre k membutuhk wktu g sgt lm. Utuk tulh dguk perhtug komputer, d pemk metode umerc mejd petg rt utuk meelesk permslh. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

3 Sel d persol-persol d ts, serg deg perkembg pemk komputer sebg lt btu dlm meelesk persol, mk pemk metode ltk terkdg sult dterjemhk ke dlm lgortm g dpt dmegert oleh komputer. Sehgg metode umerk g memg bergkt dr pemk lt btu htug merupk ltertf g bk dlm meeles persol-persol perhttug g rumt. Telh bk g mewrk progrmprogrm umerk sebg lt btu perhtug. Dlm peerp mtemts utuk meelesk persol-persol perhtug d lss, d beberp ked d metode g dguk utuk meghslk peeles g bk dlh : ( Bl persol merupk persol g sederh tu d theorem ls mtemtk g dpt dguk utuk meelesk persol tersebut, mk peeles mtemts (metode ltk dlh peeles ect g hrus dguk. Peeles mejd cu bg pemk metode pedekt. ( Bl persol sudh sgt sult tu tdk mugk dselesk secr mtemts (ltk kre tdk d theorem ls mtemtk g dpt dguk, mk dpt dguk metode umerk. ( Bl persol sudh merupk persol g mempu kompleksts tgg, sehgg metode umerkpu tdk dpt mejk peeles deg bk, mk dpt dguk metode-metode smuls... Prsp-Prsp Metode Numerk Sepert telh dbhs d ts, metode umerc dguk utuk meelesk persol dm perhtug secr ltk tdk dpt dguk. Metode umerc bergkt dr pemkr bhw permslh dpt dselesk deg megguk pedekt-pedekt g dpt dpertggug-jwbk secr ltk. Metode umerk dsjk dlm betuk lgortm-lgortm g dpt dhtug secr cept d mudh. Pedekt g dguk dlm metode umerk merupk pedekt lss mtemts. Sehgg dsr pemkr tdk kelur juh dr dsr pemkr lts, h sj pemk grfs d tekk perhtug g mudh merupk pertmbg dlm pemk metode umerk. Meggt bhw lgortm g dkembgk dlm metode umerk dlh lgortm pedekt mk dlm lgortm tersebut k mucul stlh ters tu pegulg proses perhtug. Deg kt l perhtug dlm metode umerk dlh perhtug g dlkuk secr berulg-ulg utuk terus-meerus dperoleh hsl g m medekt l peeles ect. Perhtk slh betuk formuls dlm metode umerc dlh: - δ - Terlht bhw hsl ters ke dlh hsl ters ke - (sebelum deg dtmbh δ - g merupk l perbk. Sehgg dpt dktk bhw semk bk ters g dguk, mk l semk medekt l ect tu semk bk hsl g dperoleh. Deg megguk metode pedekt semcm, tetuk setp l hsl perhtug k mempu l error (l keslh. Dlm ls metode umerc, keslh mejd petg rt. Kre keslh dlm pemk Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

4 lgortm pedekt k meebbk l keslh g besr, tetu tdk dhrpk. Sehgg pedekt metode ltk sellu membhs tgkt keslh d tgkt kecept proses g k terjd. Persol-persol g bs dgkt dlm metode umerk dlh persol-persol mtemts g peeles sult ddptk deg megguk metode ltk, tr l: Meelesk persm o ler Meelesk persm smult tu mult-vrbel Meelesk dfferesl d tegrl Iterpols d Regres Meelesk persm dfferesl Mslh mult vrble utuk meetuk l optml g tk bersrt Buku k mejelsk metode-metode tersebut deg pedekt lgortm d pemrogrm. Pd setp khr pembhs k dberk cotoh ksus g dhrpk dpt membuk wws mhssw mege pemk metode umerk. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

5 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5 BAB SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN.. Pej Blg Bult Blg bult g serg dguk dlh blg bult dlm sstem blg desml g ddefsk : N ( Cotoh : Blg bult deg blg dsr c ddefsk deg : N ( c c c c c c Blg ber tu blg dsr, dpt ddefsk sepert formuls d ts deg meggt c deg, sehgg dperoleh : N ( Cotoh : (.... Algortm.. Bl dkethu koefse-koefse,,,, dr polom ( p d sutu blg β.mk dpt dhtug b,b -,..,b dr β sebg berkut :.. β β β b b b b b b b Algortm bk dguk utuk meghtug kovers blg secr cept, kre dlm lgortm tdk terdpt pemk pgkt g membut keslh umerk mejd lebh besr.

6 Cotoh : Blg ber ( dpt dhtug deg ; b b b b b β. β. 6 b β 6. Jd ( Cotoh : Blg oktl (7 8 dpt dhtug deg : b 7 b b Jd ( Cotoh : 87 ( ( ( ( ( ( Deg lgortm d ts : b b b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Jd 87 (.. Pej Blg Pech Blg pech tr s/d dlm sstem blg desml ddefsk : ( Blg pech secr umum dlm sstem blg deg blg dsr k ddefsk : ( k k Cotoh :, Cotoh : (,.5,5,65... Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6

7 .. Nl Sgfk Nl sgfk dlh sutu l dm jumlh gk dtetuk sebg bts l tersebut dterm tu tdk. Sebg cotoh perhtk l pd peggrs : Nl g dtujuk tdk tept pd gk g dtetuk kre selsh strp, dlm kejd bl dggp l sgfk mk l 59 tu 6. Bl peggrs tersebut dlht deg skl lebh besr pd derh g dtujuk oleh jrum : Dr gmbr, deg l sgfk - (, mk dperoleh l 59 tu 59,5..4. Akurs D Press Peerhtk hsl tembk g dlkuk oleh 4 org sepert gmbr berkut : ( (b (c (d Dr 4 gmbr d ts, gmbr ( meujukk hsl g kurt d press.gmbr (b meujukk hsl g press tetp tdk kurt. Gmbr (c meujukk hsl Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 7

8 g seber kurt tetep tdk press. D gmbr (d meujukk hsl g tdk kurt d tdk press. Akurs dlm hl sgt tergtug pd peembk, d press tergtug pd sep d perlegkp. Nl press megcu pd jumlh gk sgfk g dguk d sebr bc berulg pd lt ukur.pemk lt ukur peggrs d jgk sorog k mempu perbed l press.pemk jgk sorog mempu press g lebh tgg. Nl kurt tu kurs megcu pd dekt l pedekt g dhslk deg l cu tu l eksk.mslk l eksk dkethu ½, sedgk hsl pedekt dlh.5 mk hsl dktk kurt bl torels -4. Dr ked kurt d press, k mucul p g dmk keslh (error.dlm ls umerk, dm peeles dhtug megguk l-l pedekt, error mejd hl g sgt petg d dperhtk..5. Pedekt D Keslh Keslh d dlm metode umerk dbg mejd du mcm tu:. Keslh pembult ( roud of error. Keslh pemotog ( tructo error Keslh pembult dlh keslh g dsebbk oleh pembult msl.4 mejd tu,5 mejd.sedgk keslh pemotog dlh keslh g dtmbulk pd st dlkuk pegurg jumlh gk sgfk. Keslh umerk dlh keslh g tmbul kre d proses pedekt.hubug keslh d peeles dlh : ˆ e dm ˆ dlh l g seber ( l eksk dlh l pedekt g dhslk dr metode umerk e dlh keslh umerk. Keslh frksol dlh prosetse tr keslhd l seber. e ˆ % Pd bk permslh keslh frksol d ts sult tu tdk bs dhtug, kre l eksk tdk dkethu.sehgg keslh frksol dhtug berdsrk l pedekt g dperoleh: e % dm e pd wktu ke dlh selsh l pedekt ke d ke - % Perhtug keslh semcm dlkuk utuk mecp ked koverges pd sutu proses ters. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 8

9 Defs Koverges. Sutu brs,, dktk koverge ke α jk d h jk utuk semu e> terdpt blg bult η (. Sedemk hgg utuk semu η terdpt α α <. Dr defs, dpt dktk bhw peeles dlm metode umerk dcr berdsrk selsh hsl st deg hsl sebelum.metode dpt meghdr jumlh ters g sgt besr tetp terkdg tdk kurt. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 9

10 BAB PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER.. Permslh Persm No Ler Peeles persm o ler dlh peetu kr-kr persm o ler.dm kr sebuh persm f( dlh l-l g meebbk l f( sm deg ol. Deg kt l kr persm f( dlh ttk potog tr kurv f( d sumbu X. kr persm sebg peeles Gmbr.. Peeles persm o ler Peeles persm ler m c dm m d c dlh kostt, dpt dhtug deg : m c - m c Peeles persm kudrt b c dpt dhtug deg megguk rumus ABC. b ± b 4c Beberp persm poloml g sederh dpt dselesk theorem ss.sehgg tdk memerluk metode umerc dlm meelesk, kre metode ltk dpt dlkuk.tetp bgm meelesk persm e - Tmpk sederh, tetp utuk meelesk persm o ler merupk metode pecr kr secr berulg-ulg. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

11 Theorem.. Sutu rge [,b] mempu kr bl f( d f(b berlw td tu memeuh f(.f(b< Theorem d ts dpt djelsk deg grfk-grfk sebg berkut: f( b X Kre f(.f(b< mk pd rge [,b] terdpt kr. f(b f( f(b f( b X Kre f(.f(b> mk pd rge [,b] tdk dpt dktk terdpt kr. f(b b Gmbr. Peetu kr persm X Secr sederh, utuk meelesk persm o ler dpt dlkuk deg megguk metode tble tu pembg re.dm utuk [, b] tu d tr d b dbg sebk N bg d pd msg-msg bg dhtug l f( sehgg dperoleh tbel : X f( f( f( f( f( b f(b Dr tbel, bl dtemuk f( k tu medekt ol mk dktk bhw k dlh peeles persm f( k.bl tdk d f( k g sm deg ol, mk dcr l f( k d f( k g berlw td, bl tdk dtemuk mk Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

12 dktk tdk mempu kr utuk [,b], d bl dtemuk mk d pedpt utuk meetuk kr persm, tu :. Akr persm dtetuk oleh l m g lebh dekt, bl f( k f( k mk kr k, d bl f( k < f( k mk kr k.. Akr perlu d cr lg, deg rge [ k, k ]. Secr grfs, metode tble dpt djelsk utuk [, b], fugs f( dbg mejd N bg sepert gmbr berkut : Gmbr.. Metode Tbel Gmbr d ts mejelsk bhw peeles dperoleh deg membg [, b] sebk-bk hgg dperoleh sutu grs g mellu kr persm d l dr grs tersebut dlh peeles dr persm F(. Cotoh.: Selesk persm : e deg rge [,] Utuk medptk peeles dr persm d ts rge [,] mejd bg sehgg dperoleh : X f( -, -,6 -,9 -,494 -,8 -,567 -,7 -,4 -,6 -,59 -,5,65 -,4,7 -,,448 -,,687 -,,8484,, dbg Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

13 Dr tble dperoleh peeles berd d tr,6 d,5 deg l f( msg-msg -,5 d,65, sehgg dpt dmbl keputus peeles d,6.bl pd rge [,6,,5] dbg mk dperoleh f( terdekt deg ol pd -,57 deg F(,447 Cotoh. : Selesk persm e -. Utuk meelesk persm tersebut, hl pertm g hrus dlkuk dlh meksr rge g tept, deg cr meggmbrk..dr rge dbut tble deg membg rge mejd bg sehgg dperoleh : f( -,6 -,97 -,59 -,645 -,58 -,59 -,57 -,79 -,56,96 -,55,467 -,54,76 -,5,9957 -,5,55 -,5,57 -,5,7564 Dr gmbr d ts terlht bhw kr persm berd pd rge [.6,.5] Dr tble tersebut dpt dktk bhw kr persm berd tr,57 d,56, tu deg megguk selsh terkecl mk dpt dktk bhw kr persm terletk d -,57 deg F( -,79. Metode tble secr umum sult medptk peeles deg error g kecl, kre tu metode tdk dguk dlm peeles persm o ler, Tetp metode dguk sebg tksr wl megethu re peeles g ber sebelum megguk metode g lebh bk dlm meetuk peeles. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

14 Algortm Metode Tbel : ( Defsk fugs f( ( Tetuk rge utuk g berup bts bwh bwh d bts ts ts. ( Tetuk jumlh pembg N (4 Htug step pembg h ts bwh H N (5 Utuk s/d N, htug bwh.h f( (6 Utuk I s/d N dcr k dm *. Bl f( k mk k dlh peeles *. Bl f( k.f( k < mk : - Bl f( k < f( k mk k dlh peeles - Bl tdk k dlh peeles tu dpt dktk peeles berd d tr k d k... Metode Bseks. Ide wl metode dlh metode tble, dm re dbg mejd N bg.h sj metode bseks membg rge mejd bg, dr du bg dplh bg m g megdug d bg g tdk megdug kr dbug.hl dlkuk berulg-ulg hgg dperoleh kr persm. Gmbr.4. Metode Bseks Utuk megguk metode bseks, terlebh dhulu dtetuk bts bwh ( d bts ts (b.kemud dhtug l tegh : b Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

15 Dr l perlu dlkuk pegecek keberd kr. Secr mtemtk, sutu rge terdpt kr persm bl f( d f(b berlw td tu dtulsk : f(. f(b < Setelh dkethu dbg m terdpt kr, mk bts bwh d bts ts d perbhru sesu deg rge dr bg g mempu kr. Cotoh. : Selesk persm e -, deg megguk rge [,], mk dperoleh tbel bseks sebg berkut : ters B f( f( Keterg - -,5,7569 -,788 berlw td - -,5 -,75 -, ,788 -,75 -,5 -,65 -,6765 -, ,65 -,5 -,565,78 -,6765 berlw td 5 -,65 -,565 -,5975 -,754 -, ,5975 -,565 -,578 -,6 -, ,578 -,565 -,57 -,878 -,6 8 -,57 -,565 -,5664,5 -,878 berlw td 9 -,57 -,5664 -,5686 -,6 -,878 -,5686 -,5664 -,5678 -,66 -,6 b Dm Pd ters ke dperoleh d f( -.66 Utuk meghetk ters, dpt dlkuk deg megguk tolers error tu ters mksmum. Ctt : Deg megguk metode bseks deg tolers error. dbutuhk ters, semk telt (kecl tolers error mk semk ber jumlh ters g dbutuhk. Algortm Metode Bseks ( Defsk fugs f( g k dcr kr ( Tetuk l d b ( Tetuk torels e d ters mksmum N (4 Htug f( d f(b (5 Jk f(.f(b> mk proses dhetk kre tdk d kr, bl tdk dljutk b (6 Htug (7 Htug f( (8 Bl f(.f(< mk b d f(bf(, bl tdk d f(f( (9 Jk b- <e tu ters>ters mksmum mk proses dhetk d ddptk kr, d bl tdk, ulg lgkh 6. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

16 .. Metode Regul Fls Metode regul fls dlh metode pecr kr persm deg memftk kemrg d selsh tgg dr du ttk bts rge. Sepert hl metode bseks, metode bekerj secr ters deg melkuk updte rge.ttk pedekt g dguk oleh metode regul-fls dlh : f ( b. f (. b X f ( b f ( Deg kt l ttk pedekt dlh l rt-rt rge berdsrk F(.Metode regul fls secr grfs dgmbrk sebg berkut : Gmbr.5. Metode Regul Fls Cotoh. 4: Selesk persm e - pd rge [,], deg metode regul-fls dperoleh : ters b f( f( f(b - -,6788, , ,6788,7485,694 -,788, ,7485 -,497,9579 -,788, ,497,98, ,788, ,98 -,5866,8778 -,788, ,5866,4775,779 -,788, ,4775 -,667 -,8565 -,788, ,667,4775 -,669 -,4 -,8565, ,669,4775 -,5966 -,84 -,4,779 -,5966,4775 -,585 -,57 -,84,779 -,585,4775 -, ,8 -,57,779 -,57855,4775 -,5745 -,47 -,8,779 -,5745,4775 -,5795 -, -,47, ,5795,4775 -,57 -,874 -,,779 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6

17 ters b f( f( f(b 5 -,57,4775 -,569 -,576 -,874, ,569,4775 -,5685 -,8 -,576, ,5685,4775 -,5686 -,5 -,8, ,5686,4775 -, ,67 -,5, ,56775,4775 -, , -,67,779 -,56755,4775 -,5674 -,74 -,,779 Akr persm dperoleh d deg keslh,74 Algortm Metode Regul Fls. defsk fugs f(. Tetuk bts bwh ( d bts ts (b. Tetuk tolers error (e d ters mksmum ( 4. Htug F f( d Fb f(b 5. Utuk ters I s/d tu error > e Fb. F. b Fb F Htug F f( Htug error F Jk F.F < mk b d Fb F jk tdk d F F. 6. Akr persm dlh..4. Metode Iters Sederh. Metode ters sederh dlh metode g memshk deg sebg g l sehgg dperoleh : g(. Sebg cotoh utuk meelesk persm e mk persm d ubh mejd : e tu g( e. g( lh g mejd dsr ters pd metode ters sederh.metode ters sederh secr grfs dpt djelsk sebg berkut : Y g( X Gmbr.6. Metode Iters Sederh Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 7

18 Cotoh. 5: Selesk e, mk persm dubh mejd e tu g( e. Ambl ttk wl d -, mk Iters : -e F(,4 Iters : e -,679 -,69 F( -,97 Iters : -e -,69 -,547 F(,577 Iters 4 : -e -,547 -,664 F( -,685 Iters 5 -e -,664 -,5454 F(,47 Pd ters ke dperoleh -,5684 d F(,47. Algortm Metode Iters Sederh. Defsk F( d g(. Tetuk tolers error (e d ters mksmum (. Tetuk pedekt wl [ ] 4. Utuk ters s/d tu F([ ters ] e X g( - Htug F( 5. Akr dlh terkhr g dperoleh..5. Metode Newto Rphso Metode ewto rphso dlh metode pedekt g megguk stu ttk wl d medekt deg memperhtk slope tu grde pd ttk tersebut.ttk pedekt ke dtulsk deg : F( X F ( Metode ewto rphso dpt dgmbrk sebg berkut : X Gmbr..6 Metode Newto Rphso. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 8

19 Cotoh. 6: Selesk persm - e - deg ttk pedekt wl f( - e - f (e - f( - e - - f ( e - ( ( f -,5 f f( -,66 d f (,665 ( ( f,65,5,566 f,665 f( -,45 d f (,5676 f (,45,566,5674 f (,5676 f( -, Sutu blg g sgt kecl. Sehgg kr persm,5674. Algortm Metode Newto Rphso. Defsk fugs f( d f (. Tetuk tolers error (e d ters mksmum (. Tetuk l pedekt wl 4. Htug f( d f ( 5. Utuk ters I s/d tu f( e f ( f ( Htug f( d f ( 6. Akr persm dlh l g terkhr dperoleh. Cotoh. 7: Hsl peeles persm - e - deg ttk pedekt wl d tolers error. dlh: Iters f( f ( e Akr terletk d.5674 Cotoh. 8: Hsl peeles persm e - cos - deg ttk pedekt wl d perhtk bhw : f( e - cos - f ( e - cos e - s Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 9

20 Pd progrm dts, tulsk fugs-fugs pd defs fugs: f( pd fugs d f ( pd turu. Hsl dlh: Iters f( f ( e e Akr terletk d.5989 Permslh pd pemk metode ewto rphso dlh :. Metode tdk dpt dguk ketk ttk pedekt berd pd ttk ekstrm tu ttk puck, kre pd ttk l F ( sehgg l peebut dr berkut: F F ( ( sm deg ol, secr grfs dpt dlht sebg kr persm ttk puck Gmbr.7. Pedekt pd ttk puck Bl ttk pedekt berd pd ttk puck, mk ttk seljut k berd d tk berhgg.. Metode mejd sult tu lm medptk peeles ketk ttk pedekt berd d tr du ttk stsoer. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

21 Ttk pedekt ttk puck kr persm Gmbr.8. Ttk pedekt berd dtr ttk puck Bl ttk pedekt berd pd du ttk puck k dpt megkbtk hlg peeles (dverges. Hl dsebbk ttk seljut berd pd slh stu ttk puck tu rh pedekt berbed. Utuk dpt meelesk kedu permslh pd metode ewto rphso, mk metode ewto rphso perlu dmodfks deg :. Bl ttk pedekt berd pd ttk puck mk ttk pedekt tersebut hrus d geser sedkt, ± δ dmδ dlh kostt g dtetuk deg demk F ( d metode ewto rphso tetp dpt berjl.. Utuk meghdr ttk-ttk pedekt g berd juh, sebk pemk metode ewto rphso ddhulu oleh metode tbel, sehgg dpt d jm koverges dr metode ewto rphso. Cotoh. 9: Selesk persm :. e - cos( Bl megguk ttk pedekt wl,768 f(. e - cos( f ( (- e - s ( Sehgg F(,868 d F ( -,5 Perhtk grfk dr fugs : Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

22 kr persm Gmbr.9. Grfk.e - cos( Iters megguk metode Newto Rphso dlh sebg berkut: ters f( f'(,768,868 -,56E-5 764,89,5944 -, ,6 -,7 -, ,,6 -, , -,9E ,,E ,,E- - Akr g dtemuk dlh 765, pdhl dlm rge smp deg terdpt kr d sektr.5 s/d. Utuk meghdr sebk dguk grfk tu tbel sehgg dpt dperoleh pedekt wl g bk. Bl dguk pedekt wl.5 mk deg ters dr metode Newto Rphso dperoleh: Iters f( f'(,5, , ,44 -,46 -,6649,96,946 -,86854,9766 5,6E-5 -, ,9769 4,98E- -, ,9769 -, ,9769 -, Akr g dtemuk dlh Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

23 Algortm Metode Newto Rphso deg modfks tbel :. Defsk fugs F(. mbl rge l [, b] deg jumlh pembg. Msukk torels error (e d msukk ters 4. Guk lgortm tbel dperoleh ttk pedekt wl dr : F( k. F( k < mk k 5. Htug F( d F ( 6. Bl F ( bs( F ( < e mk pedekt wl dgeser sebesr d (dmsukk d htug F( d F ( 7. Utuk ters I s/d tu F( e F( - - F ( htug F( d F ( bl F ( < e mk d htug F( d F ( 8.Akr persm dlh terkhr g dperoleh. Deg megguk lgortm ewto rphso g dmodfksk dhrpk kr g dperoleh sesu deg hrp d bl terdpt lebh dr stu kr dlm rge dtujuk, k dtmplk semu. Cotoh. : Hsl dr peeles persm * ep(- cos( pd rge [,5] dlh sebg berkut : Iters f( f ( e e Akr terletk d.9769 Iters f( f ( e Akr terletk d.549 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

24 Iters f( f ( e Akr terletk d Metode Sect Metode sect merupk perbk dr metode regul-fls d ewto rphso dm kemrg du ttk dtk scr dskrt, deg megmbl betuk grs lurus g mellu stu ttk. - m( dm m dperoleh dr: f ( f ( m Bl F(, d dkethu mk ttk ke dlh : - m ( - Bl ttk dggp kr persm mk : sehgg dperoleh : - m ( - m m tu :. m Persm g mejd dsr pd proses pedekt dm l pedekt dlh : δ Sehgg utuk megguk metode sect dperluk du ttk pedekt d. Kedu ttk pedekt dmbl pd ttk-ttk g dekt gr koverges dpt djm. Cotoh. : Selesk persm : ( e - Utuk dpt meelesk persm terlebh dhulu dgmbrk grfk tu dguk metode tbel utuk megethu rge tu l pedekt wl g bk. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

25 kr persm Gmbr.9. Fugs -(.e - utuk rge [-,] Dr gmbr d ts dpt dlht bhw kr terletk pd rge [,,9] mbl,8 d,9 mk dpt dhtug F( -,6879 F(,758 Iters Metode Sect dlh sebg berkut : Iters :, 8885 Iters :,5,8858,. -5 Iters : 4, ,9.e -9 Dperoleh kr,8854 8, mk Algortm Metode Sect :. Defsk fugs F(. Defsk torels error (e d ters mksmum (. Msukk du l pedekt wl g d tr terdpt kr tu d, sebk guk metode tbel tu grfs utuk mejm ttk pedkt dlh ttk pedekt g koverges pd kr persm g dhrpk. 4. Htug F( d F( sebg d Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

26 5. Utuk ters I s/d tu F( e htug F( 6. Akr persm dlh l g terkhr. Cotoh. : Hsl utuk peeles persm : ( e - deg pedekt wl d.8 d.9, d tolers error. dlh sebg berkut: Iters f( e e-9 Akr persm d Cotoh Ksus Peeles Persm No Ler Peeles persm o ler terkdg mucul sebg permslh g terpsh, tetp terkdg pul mucul sebg stu kestu tu stu rt dr peeles permslh dm peeles persm o ler justru mejd kuc dlm perhtug. Beberp cotoh permslh dm memerluk peeles persm o ler sebg kuc dlh sebg berkut: Peetu l mksml d mml fugs o ler Perhtug l kostt pd mtrk d determ, g bs mucul dlm permslh sstem ler, bs dguk utuk meghtug l ege Peetu ttk potog beberp fugs o ler, g bk dguk utuk keperlu perhtug-perhtug secr grfs. D msh bk lg g l d tdk mugk dpt dbhs semu dlm stu buku g sgkt..7.. Peetu Nl Mksml d Mml Fugs No Ler Peetu l mksml d mml pd fugs o ler seber merupk permslh peeles persm o-ler. Pd peeles persm o ler deg fugs f(, mk dcr g memeuh f(. Sedgk pd peetu l mksml d mml dr fugs f(, g dcr dlh l g memeuh f (. Jd sebelum megguk metode umerk utuk meetuk l mksml d l mml pd fugs f(, mk terlebh dhulu dhtug g(f (. Nl fugs g( lh g mejd fugs cu utuk meetuk l dm g(. tetp pemk metode umerk d s tdk dpt meujukk pkh l g dhslk dlh l mksml tu l mml, kre sft mksml d mml dtetuk oleh f (. Sehgg utuk mejk pkh ttk g dperoleh dlh ttk mksml tu ttk mml, mk perlu dhtug g (. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6

27 Cotoh. : Tetuk l mml dr f( -(e - **-(*ep(-* Dr gmbr d ts l mml terletk tr.4 d. Utuk meetuk l mml terlebh dhulu dhtug g(f ( g( - e - (e - (e - Jd permslh mejd meelesk persm : (e - Deg megguk metode Sect dperoleh : Pedekt wl d -.4 d -. Tolers error e-5 Iters f( e-7 Akr persm d -.95 Jd l mml fugs f( terletk d Peetu Nl Ege Pd Mtrk Nl ege pd sutu mtrk A, merupk l-l g mejk krkterstk kestbl mtrk. Nl ege dpt dhtug megguk : A λ I dm I dlh mtrk detts d λ dlh l ege dr mtrk A. Bl mtrk A mempu ukur mk k terdpt l λ g dsjk dlm betuk persm poloml pgkt sebg berkut : λ λ λ.. λ Utuk meetuk l λ merupk permslh peeles persm o ler. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 7

28 Cotoh. 4: Tetuk l ege dr : A Nl ege dpt dperoleh deg : λ A λi λ tu bs dtulsk deg : ( λ ( λ( λ λ 6λ λ 7 Secr grfs bs dgmbrk : { } Terlht kr persm terletk pd tr. d.4 λ - - -**6***-*7 - Deg megguk metode sect dperoleh: Pedekt wl d. d.4 Tolers error e-5 Iters f( e e-8 Akr persm d Meghtug Nl Akr Perhtug l kr dpt dlkuk deg megguk persm f( -. I dpt dlkuk deg meghtug peeles dr persm : - Cotoh. 5: Meghtug kr dpt dlkuk deg meelesk persm : - Deg megguk metode sect dperoleh : Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 8

29 Pedekt wl d d Tolers error e-5 Iters f( e-7 Akr persm d Meghtug Ttk Potog Buh Kurv Perhtk du buh kurv f( d g( g berpotog d ttk p sepert gmbr berkut : g( p f( Utuk meetuk ttk potog du buh kurv d ts secr umerk mk pertm kl g hrus dlkuk dlh meetuk fugs dr persm dm ttk ptog ddefsk deg : f( g( tu f( g( Mk fugs persm dlh f(-g(. Cotoh. 6: Tetuk ttk potog - d e - Perhtk gmbr kedu kurv tesebut sebg berkut:.5 ***- ep( Dr gmbr d ts terlht kr terletk d tr.8 d. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 9

30 Deg megguk metode Sect, terlebh dhulu dsusu fugs dr persm dlh sebg berkut: - - e - Pemk metode sect deg ttk pedekt wl,8 d dlh sebg berkut: Pedekt wl d.8 d Tolers error e-5 f( e e-7 Akr persm d TUGAS ( Htug l kr 7 d kr 5 ( Htug l ege dr A 5 ( Tetuk l puck pd kurv e - s( pd rge [,] (4 Guk metode ewto rphso, regul fls d sect utuk meghtug kr. Perhtk keslh d jumlh ters d mbl kesmpul. (5 Tetuk ttk potog lgkr deg ttk pust (, d jr-jr deg kurv (6 Tetuk ttk potog tr.e - d deg megguk metode sect d ewto rphso. Bdgk jumlh ters d keslh. (7 Tetuk ttk puck dr.e -. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

31 Bb 4 Peeles Persm Ler Smult 4.. Persm Ler Smult Persm ler smult dlh sutu betuk persm-persm g secr bersm-sm mejk bk vrbel bebs. Betuk persm ler smult deg m persm d vrbel bebs dpt dtulsk sebg berkut: b b b. m m m m bm dm: j utuk s/d m d j s/d dlh koefse tu persm smult utuk s/d dlh vrbel bebs pd persm smult Peeles persm ler smult dlh peetu l utuk semu s/d g memeuh semu persm g dberk. Permslh persm ler smult merupk permslh g bk mucul ketk berhubug deg permslh mult-vrbel dm setp persm merupk betuk persm ler tu deg kt l setp vrbel berpgkt plg besr stu. Persm ler smult d ts dpt dtk sebg betuk mtrk tu : b b m tu dpt dtulsk: A B Dm: A m m m m b b b, db m bm Mtrk A dmk deg Mtrk Koefse dr persm ler smult, tu d g memk deg mtrk Jcob. Vektor dmk deg vektor vrbel (tu vektor ked d vektor B dmk deg vektor kostt. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

32 Augmeted Mtr ( mtrk perlus dr persm ler smult dlh mtrk g merupk perlus mtrk A deg membhk vector B pd kolom terkhr, d dtulsk: Augmeted (A [A B] Sehgg secr detl, ugmeted mtrk dr persm ler smult dpt dtulsk: b b m m m m bm Cotoh permslh mult vrbel dlh sebg berkut : Cotoh permslh : Seorg pembut boek g membut du mcm boek tu boek A d boek B. Kedu boek tersebut dbut deg megguk du mcm bh tu potog k d kcg. Boek A membutuhk potog k d 6 kcg, sedgk boek B membutuhk 8 potog k d 8 kcg. Permslh dlh berp buh boek A d boek B g dpt dbut dr 8 potog k d 6 kcg? Permslh dpt dmodelk deg metk : jumlh boek A jumlh boek B Utuk setp bh dpt dtk bhw: Potog k utuk boek A 8 utuk boek B 8 Kcg 6 utuk boek A 8 utuk boek B 6 Atu dpt dtulsk deg : Peeles dr permslh d ts dlh peetu l d g memeuh kedu persm d ts. Cotoh permslh : Perhtk potog pet g sudh dperbesr (zoom sebg berkut : Sebg cotoh perhtk permslh berkut: 4 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

33 Perhtk bhw pd ke-4 ttk tersebut dhubugk deg grs lurus, sehgg tmpk ksr. Utuk meghlusk dlkuk pedekt grs deg kurv g dbetuk deg fugs pedekt poloml. Dr fugs poloml g dhslk kurv dpt dgmbrk deg lebh hlus. Mslk pd cotoh dts, 4 ttk g dtujuk dlh (,, (7,6, (8,4 d (,. 4 ttk dpt ddekt deg fugs polom pgkt tu : b c d Bl l d dr 4 ttk dmsukk ke dlm persm d ts k dperoleh model persm smult sebg berkut : Ttk 8 4 b c d Ttk b 7 c d Ttk b 8 c d Ttk b c d Nl, b, c d d dlh peeles dr permslh d ts. Setelh l, b, c d d dperoleh mk persm poloml ddptk d deg megguk step g lebh kecl dpt dgmbrk grfk deg lebh hlus. Cotoh hsl dlh sebg berkut : Permslh merupk permslh kurv fttg, g dguk utuk meetuk persm poloml g plg sesu utuk metk fugs dr dt. Cotoh permslh : Dkethu ps beberp ttk pd plt bj tu pd ss lur. Bl dtetuk bhw lr ps bergerk secr lmr d ps pd sebuh ttk dlh rt-rt ps dr 4 ttk tetgg, mk dpt dhtug ps pd ttk T d T sebg berkut: 5 o C 5 o C o C T T o C 5 o C 5 o C Metode Numerk Sebg Algortm Komputs

34 Persm ps pd ttk T d T dpt dhtug deg: T 4 ( 5 5 T ( T 5 T 5 4 Persm ler smult dr permslh d ts dlh: 4T T 5 T 4T 5 Peeles permslh d ts dlh l T d T g memeuh kedu persm d ts. Theorem 4.. Sutu persm ler smult mempu peeles tuggl bl memeuh srt-srt sebg berkut. ( Ukur persm ler smult bujursgkr, dm jumlh persm sm deg jumlh vrble bebs. ( Persm ler smult o-homoge dm mml d stu l vector kostt B tdk ol tu d b. ( Determ dr mtrk koefse persm ler smult tdk sm deg ol. Utuk meelesk permslh-permslh persm ler smult dpt dlkuk deg megguk metode-metode ltk sepert pemk metode grfs, tur Crmmer, tu vers mtrk. Metode-metode tersebut dpt dlkuk deg mudh bl jumlh vrbel d jumlh persm d bwh 4, tetp bl ukur besr mk metode-metode d ts mejd sult dlkuk, sehgg pemk metode umerk mejd sutu ltertf g bk dguk. Metode umerk g dpt dguk utuk meelesk permslh persm ler smult tr l: ( Metode Elms Guss ( Metode Elms Guss-Jord ( Metode Iters Guss-Sedel 4.. Metode Elms Guss Metode Elms Guss merupk metode g dkembgk dr metode elms, tu meghlgk tu megurg jumlh vrble sehgg dpt dperoleh l dr sutu vrble bebs. Cr elms sudh bk dkel. Utuk megguk metode elms Guss, terlebh dhulu betuk mtrk dubh mejd ugmeted mtrk sebg berkut : b b b Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

35 Metode elms guss, dlh sutu metode dm betuk mtrk d ts, pd bg kr dubh mejd mtrk segtg ts tu segtg bwh deg megguk OBE (Opers Brs Elemeter. b c c c c d b b b Sehgg peeles dpt dperoleh deg: d c c c c, ( c d,. ( d c c c ( d c c c 4 4 Opers Brs Elemeter (OBE merupk sutu opersol pegubh l eleme mtrk berdsrk brs, tp megubh mtrk. OBE pd brs ke-k deg dsr brs ke dpt dtulsk deg : k, j k, j c., j dm c dlh kostt pegl g dmbl dr perbdg l dr eleme, d k, Cotoh 4.: Selesk sstem persm berkut: 6 Jwb: Augmeted mtrk dr persm ler smult tersebut dlh: 6 c c c c c c d d d Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

36 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6 Lkuk opers brs elemeter sebg berkut: B B B B 4 6 B B deg demk dperoleh peeles: ( ( 6 ( 4 6 Algortm Metode Elms Guss dlh sebg berkut: ( Msukk mtrk A, d vektor B besert ukur ( But ugmeted mtrk [A B] mk deg A ( Utuk brs ke dm s/d, perhtk pkh l, sm deg ol : Bl : pertukrk brs ke d brs ke k, dm k, tdk sm deg ol, bl tdk d berrt perhtug tdk bs dljutk d proses dhetk deg tp peeles. Bl tdk : ljutk (4 Utuk brs ke j, dm j s/d Lkuk opers brs elemeter: Htug j c,, Utuk kolom k dm k s/d htug k k j k j c,,,. (5 Htug kr, utuk s/d (bergerk dr brs ke smp brs pertm ( b,,,, dm l k Ctt: Metode elms guss seber merupk metode elms g serg dguk dlm perhtug mul, h sj tekk megguk model peuls persm buk megguk ugmeted mtrk.

37 4.. Metode Elms Guss Jord Metode merupk pegembg metode elms Guss, h sj ugmeted mtrk, pd sebelh kr dubh mejd mtrk dgol sebg berkut: b d b d b d b d Peeles dr persm ler smult dts dlh l d,d,d,,d d tu: d, d, d,., d Tekk g dguk dlm metode elms Guss-Jord sm sepert metode elms Guss tu megguk OBE (Opers Brs Elemeter. H perhtug peeles secr lgsug dperoleh dr l pd kolom terkhr dr setp brs. Cotoh 4. : Selesk persm ler smult: 4 8 Jwb: Augmeted mtrk dr persm ler smult tersebut dlh: 4 8 Lkuk opers brs elemeter sebg berkut: B b B / B B Peeles persm ler smult tersebut dlh: d Algortm Metode Elms Guss-Jord dlh sebg berkut: ( Msukk mtrk A, d vektor B besert ukur ( But ugmeted mtrk [A B] mk deg A (4 Utuk brs ke dm s/d ( Perhtk pkh l, sm deg ol : Bl : pertukrk brs ke d brs ke k, dm k, tdk sm deg ol, bl tdk d berrt perhtug tdk bs dljutk d proses dhetk deg tp peeles. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 7

38 Bl tdk : ljutk (b Jdk l dgol mejd stu, deg cr utuk setp kolom k, k dm k s/d, htug, k, (6 Utuk brs ke j, dm j s/d Lkuk opers brs elemeter: utuk kolom k dm k s/d Htug c j, Htug j, k j, k c., k (7 Peeles, utuk s/d (bergerk dr brs ke smp brs pertm, 4.4. Metode Iters Guss-Sedel Metode ters Guss-Sedel dlh metode g megguk proses ters hgg dperoleh l-l g berubh. Bl dkethu persm ler smult: b b Berk l wl dr setp ( s/d kemud persm ler smult dts dtulsk mejd: ( b. ( b. ( b. Deg meghtug l-l ( s/d megguk persm-persm d ts secr terus-meerus hgg l utuk setp ( s/d sudh sm deg l pd ters sebelum mk dperoleh peeles dr persm ler smult tersebut. Atu deg kt l proses ters dhetk bl selsh l ( s/d deg l pd ters sebelum kurg dr l tolers error g dtetuk. Ctt: Ht-ht dlm meusu sstem persm ler ketk megguk metode ters Guss-Sedel. Perhtk setp koefse dr msg-msg pd semu persm d dgol utm (. Letkk l-l terbesr dr koefse utuk setp pd dgol utm. Mslh dlh mslh pvotg g hrus ber- b b Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 8

39 ber dperhtk, kre peusu g slh k meebbk ters mejd dverge d tdk dperoleh hsl g ber. Cotoh 4.: Selesk sstem persm ler: Jwb: Berk l wl : d Susu persm mejd: 5 ters : ters : ters : ters 4 : ters 5 : ters 6 : ters 7 : 4 ( ( 4.5 ( Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 9

40 Nl ters ke-7 sudh tdk berbed juh deg l ters ke-6 mk proses dhetk d dperoleh peeles: 97 d 7 64 Algortm Metode Iters Guss-Sedel dlh sebg berkut: ( Msukk mtrk A, d vektor B besert ukur ( Tetuk bts mksmum ters m_ter ( Tetuk tolers error ε (4 Tetuk l wl dr, utuk s/d (5 Smp dlm s, utuk s/d (6 Utuk s/d htug : b, j j, j e s (7 ters ters (8 Bl ters lebh dr m_ter tu tdk terdpt e <ε utuk s/d mk proses dhetk dr peeles dlh utuk s/d. Bl tdk mk ulg lgkh ( Cotoh Peeles Permslh Persm Ler Smult Cotoh Ksus : Permslh peetu produk berdsrk persed bh Mr.X membut mcm boek A d B. Boek A memerluk bh blok B d blok B, sedgk boek B memerluk bh 5 blok B d 6 blok B. Berp jumlh boek g dpt dhslk bl tersed 8 blok bh B d 6 blok bh B. Model Sstem Persm Ler : Vrbel g dcr dlh jumlh boek, ggp: dlh jumlh boek A dlh jumlh boek B Perhtk dr pemk bh : B: bh utuk boek A 5 bh utuk boek B 8 B: bh utuk boek A 6 bh utuk boek B 6 Dperoleh model sstem persm ler Peeles deg megguk metode elms Guss-Jord dlh sebg berkut: Augemeted Mtrk 5 8 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

41 6 6 B <-- B/, B <-- B - B,5 8 5 B <-- B/5,5 8 4 B <-- B -,5 B 6 4 Dperoleh 6 d 4, rt bh g tersed dpt dbut 6 boek A d 4 boek B. Cotoh Ksus : Permslh lr ps pd plt bj Dkethu ps beberp ttk pd plt bj tu pd ss lur. Bl dtetuk bhw lr ps bergerk secr lmr d ps pd sebuh ttk dlh rt-rt ps dr 4 ttk tetgg, mk dpt dhtug ps pd ttk T d T sebg berkut: 5 o C 5 o C o C T T o C 5 o C 5 o C Persm ps pd ttk T d T dpt dhtug deg: T 4 ( 5 5 T ( T 5 T 5 4 Sstem persm ler dr permslh d ts dlh: 4T T T 4T 5 5 Peeles deg megguk ters Guss-Sedel, terlebh dhulu dtetuk l pedekt wl T d T d fugs pegubh dlh : T ( 5 T 4 T ( 5 T 4 Dperoleh hsl perhtug utuk tolers error. sebg berkut: Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

42 Iters e e - -,5 4,65,5 4,65,6565 4,646,565,596,9 4,75,64766,5869 4,69 4,67,967,998 5,7 4,9,48,6 6, 4,,55,87E-5 7, 4, 9,69E-6,4E-6 Jd tempertur pd T, d T 4, Cotoh Ksus : Peghlus Kurv Deg Fugs Pedekt Poloml Perhtk potog pet g sudh dperbesr (zoom sebg berkut : Sebg cotoh perhtk permslh berkut: 4 Perhtk bhw pd ke-4 ttk tersebut dhubugk deg grs lurus, sehgg tmpk ksr. Utuk meghlusk dlkuk pedekt grs deg kurv g dbetuk deg fugs pedekt poloml. Dr fugs poloml g dhslk kurv dpt dgmbrk deg lebh hlus. Mslk pd cotoh dts, 4 ttk g dtujuk dlh (,, (7,6, (8,4 d (,. 4 ttk dpt ddekt deg fugs polom pgkt tu : b c d Bl l d dr 4 ttk dmsukk ke dlm persm d ts k dperoleh model persm smult sebg berkut : Ttk 8 4 b c d Ttk b 7 c d Ttk b 8 c d Ttk b c d Deg megguk Metode Elms Guss-Jord dperoleh : Augmeted Mtrk > B B/ >,5,5,5,75 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

43 B B - 4 B -,5-78,75-4,88 -,6 B B - 5 B B4 B4-78 B B B/(-, > -,7 -,46 -,6 B B -,5 B,649,48, B B 9 B,486,67 4,96 B4 B4 7 B 4,857, 8,75 B B/, >,89,7 B B,7 B -,5 -,66 B B -,649 B,7679 4,45 B4 B4-4,857 B -,786-94,7 B4 B4/(-, > -, B B -,89 B4 6,9 B B,5 B4-6,59 B B,7679 B4 5,4 Deg demk dperoleh : -, b 6,9 c -6,59 d 5,4 d persm poloml g dperoleh : -, 6,9 6,59 5,4 Hsl peghlus kurv dlh sebg berkut: 5 'test.tt' -.***6.9***-6.59* Hsl memg belum tmpk bgus, hl dsebbk pegmbl ttk g terllu juh d tgkt poloml g belum memeuh srt terbk. H sj kurv tersebut ber-ber melewt 4 ttk g dtetuk TUGAS Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 4

44 ( Sebuh dustr grme membut tg mcm produk tu kurs, mej d lemr. Produk-produk tersebut membutuhk tg jes bh tu ku pp, ku rg d pku pegut. Perhtk cotoh produk sebg berkut : bh produk Spesfks produk: kurs membutuhk ku pp, 6 rg d pku. mej membutuhk ku pp, 6 rg d pku lemr membutuhk ku pp, rg d pku Berp jumlh mej, kurs d lemr g dpt dbut bl tersed 8 ku pp, 4 ku rg d 76 pku? ( Seorg pet g mem pd, jgug d ketel d ts th selus hektre. Deg ketetu: Utuk setp hektre pd membutuhk kg pupuk ure d 6 kg pestsd. Utuk setp hektre jgug membutuhk 8 kg pupuk ure d 4 kg pestsd Utuk setp hektre ketel poho membutuhk 5 kg pupuk ure d kg pestsd Berp hektre pd, jgug d ketel g hrus dtm bl tersed 97 kg pupuk uer d 55 kg pestsd? ( Tempertur Pd Plt Bj Plt dletkk pd tempertur rug 5oC deg komposs sepert gmbr d smpg. Tempertur pd setp ttk dpegruh oleh 8 ttk sektr dr rh ts, bwh, kr, k, d dgol. Berp tempertur pd ttk hju bl lgkr htm dlh tempertur rug o C o C Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 44

45 BAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK 5.. Permslh Dfferess Numerk Slh stu perhtug klkulus g bk dguk dlh dfferesl, dm dfferesl bk dguk utuk keperlu perhtug geometrk.d perhtug-perhtug g berhubug deg perubh l per-stu wktu tu jrk.secr klkulus, dfferesl ddefsk sebg perbdg perubh tgg (selsh tgg d perubh jrk, d dtulsk deg : d lm d Hmpr semu fugs kotu dpt dhtug l dfferesl secr mudh, sehgg dpt dktk metode umerk dggp tdk perlu dguk utuk keperlu perhtug dfferesl.mslh serg deg perkembg pemk komputer sebg lt htug d pd bk permslh dfferesl dlh slh stu bg dr peeles, sebg cotoh metode ewto rphso memerluk dfferesl sebg pembg l perbk error, sehgg metode ewto rphso h bs dlkuk bl l dfferesl bs dhtug. Cotoh l dlh peetu ttk puck kurv f( g dmk ttk mksml d ttk mml, jug memerluk ttk dfferesl sebg srt pkh ttk tersebut sebg ttk puck.dm ddefsk bhw sutu ttk d dmk ttk puck bl dfferesl pd ttk tersebut dlh. d Pd beberp permslh, l dfferesl dpt dhtug secr mul.mslk dkethu f( e - cos mk dfferesl dlh F ( (- e - s.tetp pd permslh l l fugs sult dselesk secr mul.terutm jk fugs h dkethu berup l tu grfs. Mslk meghtug puck dstrbus dt g berup dstrbus posso. m e m f(! Meghtug dfferesl tdk mudh, dslh metode umerk dpt dguk. Hubug tr l fugs d perubh fugs utuk setp ttk ddefsk deg : f(x f (.h( d F ( ddefsk deg : f lm f ( h f ( ( h h Dr formuls dpt dturuk beberp metode dfferess umerk, tr l : *. Metode Selsh Mju *. Metode Selsh Tegh Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 45

46 5.. Metode Selsh Mju Metode selsh mju merupk metode g megdops secr lgsug defs dfferesl, d dtulsk : f f ( h f ( ( h Pegmbl h dhrpk pd l g kecl gr error kecl, kre metode mempu error sebesr : E(f hf ( Cotoh 5.: Htug dfferesl f(e - s( dr rge [,] deg h.5 X f( f ( eksk error Rt-rt error dlh Metode Selsh Tegh Metode selsh tegh merupk metode pegmbl perubh dr du ttk sektr dr ttk g dukur.perhtk selsh mju pd ttk -h dlh : f ( ( f ( h f h h D selsh mju pd ttk dlh : f ( ( h f ( f h Metode selsh tegh merupk rt-rt dr du selsh mju : f ( f ( f ( Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 46

47 Atu dtulsk : f f ( h f ( h ( h Keslh pd metode dlh : h E(f ( η 6 f Metode selsh tegh g bk dguk sebg metode dfferess umerk. Cotoh 5. : Htug dfferesl f(e - s( dr rge [,] deg h.5 f( f ( eksk error Rt-rt error Dfferess Tgkt Tgg Defferess tgkt tgg merupk proses pedefferesl secr terusmeerus, hgg tgkt g dtetuk. ( Dfferesl tgkt dlh : f "( f '{ f '( } ( Dfferesl tgkt dlh : ( f ( f '{ f "( } ( Dfferesl tgkt dlh : ( ( f f { f ( } Dpt dtulsk : Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 47

48 d f d d f d d d Utuk meghtug dfferesl tgkt tgg dpt dguk metode dfferess g merupk pegembg metode selsh tegh tu : Dfferess tgkt f ( ( h f ( f ( h f " h Utuk meghtug dfferesl tgkt mk dmbl h g kecl, kre error dr metode : h ( 4 Ε ( f ( η f Keslh dmk keslh dskrtss. Cotoh 5.4: Htug dfferesl kedu dr f(e - s( dr rge [,] deg h.5 f( f ( eksk error e e e Rt-rt error Pemk Dfferess Utuk Meetuk Ttk Puck Kurv Slh stu pemk dfferesl g plg bk dbcrk dlh peetuk ttk puck kurv, dm ttk puck (tertgg tu teredh dperoleh deg memftk l dfferesl dr kurv pd setp ttk g dtju. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 48

49 Perhtk kurv f( sepert gmbr berkut :.8 P P 5 ep(-(-***s(5*.6.4. P P P P P Kurv tersebut mempu 7 ttk puck, tu p, p, p, p4, p5, p6 d p 7.Ttk puck p, p, p5 d p 7 dmk ttk puck mksmum.ttk puck p, p 4 d p dmk ttk puck mmum. 6 Utuk meetuk ttk puck perhtk defs berkut : Defs 5.. Sutu ttk pd kurv f( dmk ttk puck bl d h bl : f (. Defs 5.. Sebuh ttk puck dktk ttk mksmum pd kurv f( bl : f ( <. Defs 5.. Sebuh ttk puck dktk ttk mmum pd kurv F( bl : f ( >. Dr defs-defs d ts, mk utuk meetuk ttk puck kurv f( secr umerk dlh meetuk ttk-ttk dm f (, kemud dhtug pkh f (> tu f (< utuk meetuk pkh ttk tersebut ttk puck mksml tu ttk puck mml. Cotoh 5.5. Tetuk ttk-ttk puck dr kurv - - deg megmbl rge [, ] f( f ( f ( Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 49

50 f( f ( f ( Terlht bhw l puck terjd tr.75 d.8, kre l f ( medekt ol. Pd l tersebut terlht l f (< mk l puck tersebut dlh l puck mksmum Tugs. Tetuk ttk mksml d ttk mml dr fugs : e f ( s( pd rge [,] deg h. d h.. Tetuk dfferesl pertm dr sl AM deg frekwes forms Hz d frekwes pembw Hz pd rge [,.] deg h. Fugs sl AM deg frekwes forms f d frekwes pembw f s dlh : Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

51 { s( } ( t s(π f st πft dm dlh kostt moduls, utuk sol.5.5 s(*p***(.5*s(*p** Tetuk ttk-ttk puck pd sl AM d ts, bedk tr ttk puck mksml d ttk puck mml. Htug berp jumlh ttk puck mksml d ttk puck mml. Utuk ttk puck mksml, bdgk hsl deg fugs : ( t.5s(πft dm f dlh frekwes sl forms Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

52 BAB 6 INTEGRASI NUMERIK 6.. Permslh Itegrs Perhtug tegrl dlh perhtug dsr g dguk dlm klkulus, dlm bk keperlu. Itegrl secr deftf dguk utuk meghtug lus derh g dbts oleh fugs f( d sumbu. Perhtk gmbr berkut : Lus derh g drsr L dpt dhtug deg : b L f ( d Pd beberp permslh perhtug tegrl, dpt dhtug secr mul deg mudh, sebg cotoh : ( e d Secr mul dpt dhtug deg : ( e d ( ( e e e e Tetp pd bk permslh, tegrl sult sekl dhtug bhk dpt dktk tdk dpt dhtug secr mul, sebg cotoh : s d Dlm hl, metode umerk dpt dguk sebg ltertf utuk meelesk tegrl d ts. Pd peerp, perhtug tegrl dguk utuk meghtug lus re pd pet, volume permuk th, meghtug lus d volume-volume bed putr dm fugs f( tdk dtuls, h dguk gmbr utuk mejk l f(. Sebg cotoh, dkethu photo derh sebg berkut : Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

53 Utuk meghtug lus derh g drsr L, perlu dguk ls umerk.kre pol dsjk dlm gmbr deg fktor skl tertetu. 6.. Metode Itegrl Rem Metode tegrl Rem merupk metode tegrl g dguk dlm klkulus, d ddefsk deg : b f lm ( d f ( Pd metode, lus g dbts oleh f( d sumbu dbg mejd N bg pd rge [, b] g k dhtug.kemud dhtug tgg dr setp tep ke-i tu f(.l dlh lus setp perseg pjg dm L f( Skl : *cos(**ep(-*.5 *cos(**ep(-* L L L L L - L b Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 5

54 Lus keseluruh dlh jumlh L d dtulsk : L L L L.. L f ( f ( f ( f ( f ( Bl dmbl L mk ddpt metode tegrl remm sebg berkut : b f ( d h f ( Cotoh: Htug lus g dbts d sumbu utuk rge [,] ** L d Deg megmbl h. mk dperoleh tbel : f( L h. f Secr klkulus : (.( (.(,85, 85 L d,.. Terdpt keslh e,85-,,5 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 54

55 Utuk megurg keslh dpt dlkuk deg memperkecl l h tu memperbesr jumlh pembg N. Algortm Metode Itegrl Rem: ( Defsk fugs f( ( Tetuk bts bwh d bts t tegrs ( Tetuk jumlh pembg re N (4 Htug h(b-/n N (5 Htug L h. f ( 6.. Metode Itegrs Trpezod Pd metode tegrl Rem setp derh bg dtk sebg empt perseg pjg deg tgg f( d lebr.pd metode trpezod setp bg dtk sebg trpezum sepert gmbr berkut : f( f( f( f( - f( b Lus trpezum ke- (L dlh : L ( f ( f (. tu L ( f f. D lus keseluruh dhtug deg mejumlhk lus dr semu bg trpezum. L η L sehgg dperoleh : h L h ( f f ( f f f f f Cotoh: Htug d deg step h. Deg megguk tbel dperoleh:,,,,4,5,6,7,8,9 f(,,6,54,8,5,4,686,4,458 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 55

56 Deg megguk tbel, dpt dhtug :, L,,6,54,8,4,458 Deg megguk perhtug klkulus: { ( }, 55 4 L d,5 Deg h, terjd keslh,5 Cotoh: e Htug d deg step h. s( Deg megguk tbel dperoleh:,,,,,4,5,6,7,8,9, f(,5,4,7,,8,45,4,88,65,46,9 Dr tbel d ts dpt dhtug :. L (.,5 ((,4 ((,7 ((, ((,46,9, 679 Algortm Metode Itegrs Trpezod dlh: ( Defsk f( ( Tetuk bts bwh ( d bts ts tegrs (b ( Tetuk jumlh pembg (4 Htug h(b-/ (5 Htug h L f f f 6.4. Metode Itegrs Smpso Metode tegrs Smpso merupk pegembg metode tegrs trpezod, h sj derh pembg buk berup trpesum tetp berup du buh trpesum deg megguk pembobot bert d ttk tegh sepert telht pd gmbr berkut. Atu deg kt l metode dlh metode rt-rt deg pembobot kudrt. f( f( - f( - Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 56

57 Bl megguk trpesum lus bgu d ts dlh : h h h L ( f f ( f f ( f f f Pemk tur smpso dm bobot f sebg ttk tegh dklk deg utuk meghtug lus bgu dts dpt dtulsk deg: h h h L ( f f ( f f ( f 4 f f Perhtk gmbr berkut: f( f( f( f( - f( Deg megguk tur smpso, lus dr derh g dbts fugs f( d sumbu X dpt dhtug sebg berkut: h h h h h h L f f f f f f f f 4 f f f tu dpt dtulsk deg: h L f 4 f f f gjl gep Cotoh : ( ( ( ( ( ( f Htug d deg h. Deg megguk tbel dperoleh :,,,,4,5,6,7,8,9 f(,,6,54,8,5,4,686,4,458 D tur smpso dpt dtulsk deg :, L (4(, ((,6 (4(,54 ((,8 ((,4 (4(,458, 5, ( ( b Dbdgk deg hsl perhtug klkulus, mk keslh sgt kecl. Ctt: Metode k medptk hsl g bk bl dmbl gep. Metode sgt terkel kre keslh sgt kecl, sehgg mejd ltertf g bk dlm perhtug tegrl d peerp khusus d bdg tekk. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 57

58 Algortm Metode Itegrs Smpso dlh: ( Defsk f( ( Tetuk bts bwh ( d bts ts tegrs (b ( Tetuk jumlh pembg (4 Htug h(b-/ h (5 Htug L f 4 f f f gjl gep 6.5. Metode Itegrs Guss Metode tegrs Guss merupk metode g tdk megguk pembg re g bk, tetp memftk ttk bert d pembobot tegrs. Metode secr komputs memlk bk keutug kre mempu kecept g tgg hl dtujukk deg jumlh pembg g kecl d deg jumlh pembg g reltf kecl mempu keslh g sm deg metode l deg jumlh pembg g besr. Metode tegrs Guss dpt djelsk sebg berkut: Utuk lus derh ke, mempu lus: L f ( d Pertm g hrus dlkuk dlh megubh rge [ -, ][,b] pd tegrs d ts mejd u[-,] deg megguk: ( b u tu ( b u ( b b sehgg betuk tegrl dpt dtulsk mejd: L g( u du dm: ( g u ( b f ( ( b u ( b Dr betuk, dpt dmbl sejumlh ttk pedekt g dguk sebg ttk cu dlm tegrs kudrtur guss sebg berkut: g ( u du A g( µ utuk meetuk l µ dpt dguk persm polom Legedre: P ( u P ( u u Pm ( u [( m upm ( u ( m Pm ( u ] m D utuk meetuk l A dguk pembobot sebg berkut: A ' ( µ P ( µ [ ] Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 58

59 Itegrs Kudrtur Guss Deg Pedekt Ttk Metode megguk formuls tegrs: g u du A g( µ A g( µ ( Utuk meghslk metode dmbl pd persm polom Legedre, sehgg dperoleh: u P ( u [( 4 u. u.] Akr-kr dr persm poloml d ts dlh ± jd dperoleh: µ d µ Nl A d A dpt dcr deg: A d A.. Sehgg model dr tegrs kudrtur guss deg pedekt ttk dpt dtulsk deg: g ( u du g g Cotoh: Htug tegrl : L d Pertm g hrus dlkuk dlh meghtug u, deg: ( b u ( b tu ( u Deg demk dperoleh fugs g(u: g ( u ( ( u u 8 Deg megguk tegrs kudrtur guss pedekt ttk dperoleh : L g g Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 59

60 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6 Algortm Metode Itegrs Guss Deg Pedekt Ttk: ( Defsk fugs f( ( Tetuk bts bwh ( d bts ts tegrs (b ( Htug l kovers vrbel : ( ( b u b (4 Tetuk fugs g(u deg: ( ( ( ( ( b u b f b u g (5 Htug: g g L Itegrs Kudrtur Guss Deg Pedekt Ttk Metode megguk formuls tegrs: ( ( ( ( µ µ µ g A A g g A du u g Utuk meetuk l µ, µ d µ dguk persm polom Legedre deg : [ ] ( ( 5 (. 5 ( (. 5. ( u u u u u u u u u u u P u u P u P Dperoleh : µ, 5 µ, d 5 µ Nl A, A d A dpt dperoleh deg: 5 ( ' u u P [ ] 9 8 ( (. ' P A ( [ ] ( ' P A Sehgg dperoleh model tegrs kudrtur guss deg pedekt tg ttk dlh sebg berkut: ( ( g g g du u g

61 Cotoh: Htug tegrl L e d Terlebh dhulu dlkuk pegubh rge: ( b u ( b tu ( u Sehgg dperoleh : ( u ( u g ( u ( e e Deg megguk tegrs kudrtur guss deg pedekt tg ttk dperoleh: L g( g( g( Dbdgk deg hsl ltk deg pedekt -6, dperoleh.788, hsl d ts merupk hsl g cukup bk. Algortm Metode Itegrs Guss Deg Pedekt Ttk: ( Defsk fugs f( ( Tetuk bts bwh ( d bts ts tegrs (b ( Htug l kovers vrbel : ( b u ( b (4 Tetuk fugs g(u deg: ( g u ( b f ( ( b u ( b (5 Htug: ( L g g g Ctt: Meskpu dlm beberp hl tegrs kudrtur Guss meujukk hsl g lebh bk dr pd metode tegrs Smpso, tetp dlm peerp metode tegrs Smpso lebh bk dguk deg dsr pertmbg kemudh dr metode g dguk. Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6

62 6.6. Beberp Peerp Itegrs Numerk Sepert telh djelsk d dep, tegrl bk dguk utuk meghtug lus sutu derh g dbts oleh fugs-fugs tertetu. Lebh juh lg deg megembgk pegert lus tu sedr, tegrl dpt jug dguk utuk meghtug lus kult, d meghtug volume dr bed putr. Sel dr tu tegrl sedr merupk formuls dsr g bk dtemu dlm model mtemtk khusus utuk bdg elektrok, sepert pd pegolh sl dgtl tegrl dtemu utuk meghtug kovolus g bk dguk dlm kosep-kosep pegolh sl d flter sebg berkut: cov( h, T h( t ( T t dt Meghtug Lus Derh Berdsrk Gmbr Perhtk gmbr pet berkut : Utuk meghtug lus tegrl d pet d ts, g perlu dlkuk dlh med tu membut grs grd pd setp step stu h g dtk dlm stu kotk. Bl stu kotk mewkl mm, deg skl g terter mk berrt pjg dlh. mm tu m. Pd gmbr d ts, mul ss kr deg grd ke d ss k grd ke (dlm hl. Tgg pd setp grd dlh sebg berkut: ( Dr tbel d ts, lus re dpt dhtug deg megguk mcm metode: ( Deg megguk metode tegrs Rem 6 L h ( Deg megguk metode tegrs trpezod 5 h L ( Deg megguk metode tegrs Smpso h L gjl gep Skl : Meghtug Lus d Volume Bed Putr Utuk meghtug lus d volume bed putr g dbetuk oleh fugs f( dpt dguk rumus berkut: 5 Metode Numerk Sebg Algortm Komputs 6