Daftar Isi. Halaman i KATA PENGANTAR

Transkripsi

1 KATA PENGANTAR Dftr Is Hlm DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN PENGERTIAN METODE NUMERIK BILANGAN DAN ANGKA SIGNIFIKAN KONSEP DASAR KALKULUS : NILAI ANTARA DAN DERET TAYLOR GALAT DAN TOLERANSI DALAM METODE NUMERIK Glt Tolers Sol-Sol Lth BAB II METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN ALJABAR DAN/ATAU TRANSENDEN METODE BISEKSI METODE ITERASI Metode Iters Sederh Metode Iters Koverge METODE NEWTON METODE POSISI SALAH (REGULA FALSI) Sol-Sol Lth BAB III INTERPOLASI PENGERTIAN INTERPOLASI DAN GALATNYA SELISIH FORMULA NEWTON UNTUK INTERPOLASI DAN RELASI SIMBOLIK FORMULA INTERPOLASI SELISIH TENGAH 5 INTERPOLASI DENGAN TITIK-TITIK BERJARAK TIDAK SAMA Sol-Sol Lth BAB IV DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK DIFERENSIASI NUMERIK Formul Newto utuk Dferess Numerk Nl Mksmum d Nl Mmum dr Sutu Dftr Nl Fugs Sol-Sol Lth INTEGRASI NUMERIK Atur Trpezod Metode Smpso Itegrs Romberg Sol-Sol Lth

2 BAB V PENGEPASAN KURVA 5 PENGERTIAN PENGEPASAN KURVA DAN REGRESI 5 NILAI TENGAH DAN STANDAR DEVIASI DATA SAMPEL 5 METODE KUADRAT TERKECIL 5 METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK KURVA LINEAR 55 LINERISASI KURVA TIDAK LINEAR 55 Fugs Ekspoesl Umum 55 Fugs Ekspoesl Asl 56 REGRESI POLINOMIAL 57 REGRESI LINEAR DENGAN BANYAK VARIABEL Sol-Sol Lth BAB VI SOLUSI NUMERIK MASALAH NILAI AWAL 6 PENGERTIAN MASALAH NILAI AWAL DAN METODE LANGKAH TUNGGAL 6 APROKSIMASI DERET TAYLOR SEBAGAI FUNGSI SOLUSI MNA 6 APROKSIMASI FUNGSI SOLUSI MNA DENGAN METOD PICARD 6 METODE EULER 65 METODE RUNGE-KUTTA 65 Metode Ruge-Kutt Orde Du 65 Metode Ruge-Kutt Orde Empt 66 METODE-METODE BENTUK IMPLISIT 66 Metode Atur Nl Tegh 66 Metode Guss-Legedre Orde Empt Sol-Sol Lth BAB VII APLIKASI-APLIKASI METODE NUMERIK 7 TEKNIK INTERPOLASI LINEAR UNTUK BELAHAN POINCARÉ 7 Pegert Belh Pocré 7 Kosep Iterpols Ler Pd Bdg 7 SOLUSI NUMERIK SISTEM SUSPENSI MOBIL 7 Sstem Persm Dferesl d Sstem Suspes Mobl 7 Algortm Utuk Peeles Mslh Sstem Suspes Mobl Deg Megguk Metode Ruge Kutt Orde Empt Betuk Eksplst 7 Eksperme Numerk Dftr Pustk

3

4 Buku Ajr : METODE NUMERIK BAB I PENDAHULUAN PENGERTIAN METODE NUMERIK Metode umerk dlh stu-stu metode ltertf g d dlm up meelesk persol-persol mtemts Metode g l dkel deg sebut metode ltk Ad du ls umum megp plh djtuhk kepd metode umerk Als pertm metode memberk keefse d keefektp d dlm meelesk perpersol-persol mtemts dkrek berkembg pergkt kers d luk komputer khr-khr Als g l dlh metode umerk memugkk utuk megkj prmetrk dr persol deg med g bersft sembrg Als g terkhr lebh bermk ketdkmmpu metode ltk utuk meelesk persol-persol mtemts plks g kompleks Dlm bk ltertur ls umerk dugkpk bhw d dlm metode umerk keputus meerm tu meolk sutu jwb proksms berdsrk kepd tolers kedekt g dsepkt Tolers g dbut megkut kesepkt keslh/glt g dtmbulk oleh rumus/formul g dguk Tetu semk kecl keslh/glt g dtmbulk oleh peggu sutu rumus/formul mk semk bk hsl proksms g dhslk Kemju tekolog komputer st member pelug besr utuk medptk l proksms g cept d kurt g pd khr mergk kerj s peggu metode umerk Hl ddsr pd ket bhw metode-metode g sudh d mupu g sedg dkembgk memerluk proses ters g cukup pjg Oleh kre tu tdk cukup memd bl dkerjk deg cr mul mupu megguk klkultor bs g telh dkel Ad bk cotoh plks mtemtk g meghrusk plh djtuhk kepd metode umerk ketmbg metode ltk Cotoh g dmksud du dtr dlh: Cotoh (Dsr dr Turer (988)) Dberk sebuh sstem persm dferesl orde stu dlm betuk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

5 Buku Ajr : METODE NUMERIK ( π ) ( π ) ( π ) d As z+ Ccos mod dt d Bs + Acos z mod dt dz Cs + Bcos mod dt () Sstem dkel deg sebut Flow ABC (Arold Beltrm-Chldress) Pd koordt bujur sgkr, sstem tersebut perodk deg perode -π pd,, d z Ketk A d B sm deg stu d C sm deg ol, sstem d ts tertegrlk, sel tu tdk tertegrlk Cotoh (Dsr dr Sedw d Prset (997) Krkterstk pomp setrfugl g dguk utuk membtu proses peglr cr dr sebuh tgk (L) ke tgk l (L) mellu sebuh pp berdmeter D dlh terletk pd hubug tr Hed pomp ( H m ) dlm stu cetmeter deg Debt ( Q ) dlm stu cetmeter kubk per detk Model mtemtk utuk krkterstk pomp demk dberk dlm betuk H 78,5,95 Q+ 7,877 Q 9,58 m 8 Q () Cotoh memberk gmbr kepd kt bhw betp sutu model mtemtk g dbetuk dr feome lm memerluk jwb umers g k memberk rt Deg megguk metode umerk kedu persol mtemts d ts dpt dselesk Seblk metode ltk sugguh sult dguk meelesk kedu persm mtemts g dberk dlm Cotoh d Cotoh Gmbr g dberk oleh kedu cotoh d ts dlh cukup berls jk seorg problem solver g meg persol mtemts memlk kemmpu metode umerk d ketrmpl megguk med komputer sebg lt btu utuk meelesk persol-persol g sult ketk k dlkuk secr ltk Hl g hmpr tdk mugk dlkuk jk megguk metode umerk dlh tdk melbtk lt komputs (Klkultor tu Komputer) Slh stu ls g plg krusl dlh metode umerk sellu melbtk cr ters (proses g berulg) Berkut sejumlh pergkt luk g dpt dguk utuk meerpk sutu metode umerk : JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

6 Buku Ajr : METODE NUMERIK SPREADSHEET TURBO PASCAL FORTRAN MATHEMATICA MAPLE BASIC C++ TURBO C Mempeljr metode umerk d perguru tgg dmksudk utuk memperspk/membekl mhssw bersgkut tetg kosep dsr d tekk megguk metode umerk d dlm meelesk persol-persol mtemts Dr mksud, tuju g g dcp dlh mhssw dhrpk mmpu megguk metode umerk secr bk d ber d dlm meelesk persol mtemts g dhdp d mmpu megembgk wws pemkr tetg kosep metode umerk ljut d peggu BILANGAN DAN ANGKA SIGNIFIKAN Ad du klsfks blg rel g dkel dlm mtemtk tu blg eksk d o eksk Blg eksk terdr dr blg sl, bult, rsol d rsol (g dtuls dlm betuk, π, d e, msl) Blg o eksk dkel jug deg sebut blg proksms k blg hsl pembult/pedekt/hmpr dr sutu blg eksk (bs blg rsol g dtuls dlm betuk blg desml terbts ) Blg-blg proksms dtk deg blg g mempu derjt ketelt Msl, blg π dproksms mejd,6 (telt hgg empt tempt desml), tu,5965 (telt hgg delp tempt desml) Semetr tu l eksk dr π dlh blg desml tk terbts sehgg tdk mugk dpt dtuls Agk-gk g metk sutu blg dsebut gk-gk sgfk Jd blg-blg,6;,66667 d,687 msg-msg memut lm gk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

7 Buku Ajr : METODE NUMERIK sgfk Blg, h mempu du gk sgfk tu du, kre ol h meetuk tempt dr ttk desml Sergkl dgk utuk memotog/megkt peuls blg-blg g tersusu pjg g terdpt dbelkg td kom, (vers does) tu td ttk (vers wester) msl,56789 (vers does) tu (vers wester) g memlk gk dbelkg td kom vers does Proses pemotog blg sepert tu dsebut Pembult Secr umum, blg-blg g dbultk megkut tur berkut: Utuk membultk sutu blg smp ke gk sgfk, hlgk semu blg g d setelh gk ke + Apbl blg tept ke + g dhlgk tersebut berkods () kurg dr 5 (setegh stu), mk gk ke tdk berubh (tetp ) (b) lebh besr dr 5 (setegh stu), mk gk ke bertmbh stu (stu stu) (c) tept 5 (setegh stu), mk gk ke bertmbh stu (stu stu) bl gk ke gjl, sel tu tetp Blg g dbultk dsebut telt smp gk sgfk Cotoh Blg-blg berkut dbultk smp empt gk sgfk :,658 ke,658,567 ke,6,85978 ke,859,59 ke, KONSEP DASAR KALKULUS : NILAI ANTARA DAN DERET TAYLOR Dlm bg dkemukk beberp teorem tp pembukt (bukt dpt dlht pd buku-buku klkulus) g k dguk d dlm bg berkut Teorem Bl f kotu dlm b d deg f b berlw td, mk f α < < f ( ) utuk sutu blg α sedemk hgg < α < b JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

8 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Teorem Bl : () f kotu dlm < < b () f d dlm < < b, d () f ( ) f ( b) mk d plg sedkt stu l, sebutlh α, sedemk hgg < α < b ( α ) f deg Teorem Bl : () f kotu dlm b () f d dlm < < b, d mk, d plg sedkt stu l hgg ( α ) f f ( ) f b b α, sedemk, deg < α < b () Bl b + h, teorem tersebut dpt dtk deg betuk : ( f + h f + hf + θ h), deg < θ < Teorem Bl f memut deg kotu d memlk turu ke g kotu dlm sutu tervl g, mk d dlm tervl tersebut berlku ( ) ( ) ( ) ( ) f f ( ) + ( ) f ( ) + f ( ) + + f ( ) + R R ()!! dlh suku ss g dpt dtk dlm betuk ( ) R f ( α), α < < (5)! Bl mk deret Tlor d ts dkel deg sebut deret Mclur ( ) f f + f + f + + f + (6)!! JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

9 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 Teorem 5 (Deret Tlor utuk fugs deg du vrbel) f f f + + f (, ) (, ) f f f ( ) + + ( ) + (7) GALAT DAN TOLERANSI DALAM METODE NUMERIK Glt D dlm pemk prkts, peeles khr g dperluk berbetuk umerk Msl, set dr tbuls dt g dberk d kesmpul-kesmpul g dmlk gmbr dr dt tersebut; tu peeles sutu sstem persm ler g dberk Metode/cr g dtempuh deg melbtk blg/gk tertetu dkel deg metode umerk Tuju dr metode umerk dlh memberk metode-metode g efse utuk memperoleh jwb umerk dr bermcm-mcm permslh Utuk meelesk sutu mslh bs dmul deg sebrg dt wl kemud dhtug, seljut deg lgkh-lgkh (pegolh) tertetu, khr dperoleh sutu peeles Dt umerk dlh sutu proksms (tksr) g sesus smp deg du, tg, tu lebh tempt desml Kdg metode g dgukpu, dlh sutu proksms Oleh sebb tu glt dlm hsl perhtug mugk dsebbk oleh glt dt, tu glt d dlm pemk sutu metode, tu kedu-du Dlm bg k dbcrk de dsr tetg glt Tpe Glt Glt Ihere (Iheret Error) Glt here merupk glt bw kbt peggu sutu metode umerk Akbt perhtug umerk g sebg besr dlh tdk eksk, dpt meebbk dt g dperoleh dlh dt proksms Sel tu, keterbts dr lt komputs sepert tbel mtemtk, klkultor tu komputer dgtl jug membut perhtug umerk tdk eksk Kre keterbts tersebut, blg-blg g dperoleh JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

10 Buku Ajr : METODE NUMERIK 7 dlh hsl pembult D dlm perhtug, glt here dpt dperkecl mellu peggu dt g besr, pemerks glt g jels dlm dt, d peggu lt komputs deg ketelt g tgg Glt Pemotog (Tructo Error) Glt dsebbk oleh d peghlg sebrs suku dr sutu deret/eksps utuk tuju pergks pekerj perhtug Glt pemotog dlh glt g tk dpt dhdrk b Jes Glt Glt Mutlk Glt mutlk dlh selsh umerk tr besr l seber deg l proksms Jd, bl besr l g seber, d l pedekt (proksms), mk glt mutlk (Absolut Error) ddefsk deg E E δ (8) Glt Reltf Glt Reltf E R ddefsk deg E E δ A R (9) Kemud persetse glt dhtug dr glt reltf g dberk dlm betuk P E E R () Glt Globl ( ) Msl u f,,, dlh fugs deg vrbel bk,,,, d mslk glt dr tp dlh Glt u dr u dberk dlm betuk ( ) u+ u f +, +,, + Perlus rus k dr glt globl tersebut oleh deret Tlor (Teorem 5) meghslk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

11 Buku Ajr : METODE NUMERIK 8 f u+ u f (,,, ) + + semu suku g memut + semu suku g l ( ) () Aggp bhw glt dlm dlh kecl d Kemud semu suku setelh suku ke du pd rus k persm d ts dbk Persm () mejd f f f f u () Bl dperhtk formul () betuk sm deg dferesl totl dr u Formul utuk glt reltf dlh sebg berkut: E R u u u u u u u u Cotoh berkut dlh lustrs dr peggu formul (rumus) tersebut () Cotoh Msl mk 5 u z u 5 u u 5,,, d z z z z 5 5 u + z z z z,, d z dpt berl postf tu egtf Kre tu dberk l mutlk pd suku-suku d rus k persm d ts, sehgg dperoleh 5 5 u + + z mks z z z Bl z, d z, mk glt reltf mksmum dlh ( E ) R mks ( u), mks,6 u 5 Glt dlm Aproksms Deret Glt g d dlm proksms sutu deret dpt devlus oleh ss sesudh sukusuku ke Pdg deret Tlor utuk f() pd g dberk dlm betuk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

12 Buku Ajr : METODE NUMERIK 9 ( ) ( ) ( ) f f ( ) + ( ) f '( ) + f ''( ) + +!! f R + Suku terkhr dlm deret d ts dkel deg sebut suku ss deret Tlor g ddefsk sebg berkut ( ) R f ( α), < α <! Utuk sutu brs g koverge, suku-suku ss k medekt ol utuk Jd, bl kt megproksms f() oleh suku pertm dr deret tersebut mk glt mksmum g dbut dlm proksms tersebut dberk oleh suku ss Cotoh 5 Eksps McLur utuk e dberk oleh: e α e , < α <!!!! ( ) k dcr, tu bk suku-suku, sedemk hgg jumlh sm deg e telt smp 8 tempt desml pd Tert, glt suku dlh e α, d utuk α memberk glt mutlk! mksmum, d kre glt reltf mksmum dlh Bl dhtug telt smp 8 desml d, mk kt peroleh: <! 8! g memberk Jd, dperluk suku dr deret eksposl dlm urut tu g jumlh telt smp 8 desml Tolers Dlm mekp glt g djump perlu d bts l glt g dterm g dsebut deg l tolers Tolers bs dsgkt deg Tol ddefsk sebg bts peerm sutu glt Dr pegert g dmksud deg Tolers Glt Mutlk dlh l mutlk dr selsh l eksk (l seber) deg l proksms d dotsk deg : JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

13 Buku Ajr : METODE NUMERIK Sel tu ukur ketelt reltf d otsk deg Cotoh 8 Bl dlh blg g dbultk ke N tempt desml, mk N Bl < 5 mk telt smp tempt desml, sehgg d ketelt reltf dlh 5 98% 5 5 Sol-sol lth Bultk blg-blg berkut mejd blg deg du tempt desml 8, 6,7 5, 75 Bultk blg-blg berkut ke gk sgfk, 79 8, 65, 8 7 Dkethu u v 6v tetuk persetse glt dlm u pd v bl glt dlm v dlh,5 Tetuk bk suku dr deret ekspoesl sedemk hgg jumlh dlh l dr e telt smp lm tempt desml utuk semu l dlm 5 Eksps dr fugs f t dlh 5 5 t Tetuk sedemk sehgg deret t dpt dtetuk telt smp 8 gk sgfk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

14 Buku Ajr : METODE NUMERIK BAB II METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN ALJABAR DAN/ATAU TRANSENDEN D dlm kerj lmh d tekk serg djump sutu mslh berke deg up meelesk persm g berbetuk: f ( ) () Meelesk persm () mksud dlh mecr sutu l berke deg peubh sedemk hgg persm tersebut berl ber Nl-l g dmksud bs dsebut deg l-l kr Bl f berbetuk fugs polom sederh (kudrt, pgkt tg, tu pgkt empt) mk d rumus-rumus ljbr (metode fktorss d metode pembg suku bk, msl) dpt dguk utuk meetuk l-l kr Seblk, bl f sutu polom berderjt lebh tgg tu berbetuk trsede sepert, + cos 5, t cosh, e, d seterus, s tdk tersed metode ljbr utuk solus Oleh kre tu hrus dtempuh deg cr proksms Dlm bg, k dbcrk beberp metode umerk utuk meelesk permslh () deg f trsede dlh fugs ljbr d/tu METODE BISEKSI (BISECTION METHOD) Dmk metode bseks (B Secto) ddsrk ts teks metode dlh belh du Metode Bseks dformulsk berdsrk Teorem g metk bhw b, ) f ( ) f ( b) bl fugs f kotu dlm selg/tervl (, d d berlw td, mk f α utuk sutu blg α sedemk hgg < α < b JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

15 Buku Ajr : METODE NUMERIK Deg metode Bseks, l α pertm kl dproksms deg memlh g + b ddefsk deg Bl f ( ) tu f ( ) dekt kepd l utuk sutu l tolers g dberk mk dlh l kr dr f Seblk bl f tu f ( dekt kepd l tetp tdk memeuh sutu l tolers g dberk, mk berdsrk Teorem d du kemugk k l kr berd d tr d ) tu l kr berd d tr d b Dr slh stu kemugk, metode Bseks kembl k dguk Secr geometrs, metode Bseks g dkemuk d ts dlustrsk mellu gmbr grfk berkut (b, f(b) (, f( ) b (, f( ) Nl Akr/ Krkterstk f(α) (, f() f() Gmbr Cotoh Crlh l kr dr persm f Peeles: f () Plh d b Kre egtf d f postf, mk slh stu kr terletk dtr d (Teorem ) Oleh kre tu, 5 Kemud, kre f 7 8 (postf) mk kr krkterstk terletk tr d,5 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

16 Buku Ajr : METODE NUMERIK +,5 Kods memberk, 5 Kre f ( ) f (, 5) l kr g dcr terletk dtr,5 d,5 Sehgg dperoleh,5 +,5,75 Bl prosedur d ts dulg kembl hgg,5,,75, 5, (egtf), 6 dperoleh l-l proksms berkut: METODE ITERASI Dlm proses tertf, dmul deg proksms utuk sutu kr α d dr hsl tersebut dlkuk proksms sebelum proksms demk seterus Deg proses g efektf l-l g dperoleh,,, mk lm mk medekt kr α Proses tersebut dterusk sehgg proksms deg ketelt g dgk dperoleh Jd utuk sutu proses tertf kt perluk kedu hl berkut : () Aproksms, d () Metode tu formul utuk memperoleh proksms + dlm suku-suku dr proksms Metode Iters Sederh Pdg persm () g g dselesk Ubhlh persm tersebut sehgg berbetuk F () Plh, kemud substusk tersebut ke () hsl sebut sj Oleh kre tu dpu persm berkut: F Alog, k dpu sebrs l-l,,,,, + () Utuk l terkhr dr brs, berdsrk hsl () dperoleh hubug ( ) + F () JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

17 Buku Ajr : METODE NUMERIK Cr peeles persm () deg megguk formul () dkel deg sebut metode Iters Sederh Proses ters dlm metode dhetk ketk T + ol () Cotoh Crlh kr dr persm 7 + g skets grfk dtujukk oleh Gmbr f() - - O Gmbr Persm 7+ dpt dtuls sebg F ( + ), 7 Dr skets grfk terlht bhw kr postf terletk tr d, d g l terletk dtr d Utuk l kr g berd dtr d Plh proksms wl dperoleh hsl berkut : Substusk l Deg formul ( ) (5) ( + ),57 (dbultk hgg tg tempt desml) 7,57ke dlm persm (5) dperoleh 7,57 +,9 Deg cr g sm meghslk l-l proksms sebgm dtmplk dlm Tbel JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

18 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Tbel Dftr Nl dlm Persm (5) utuk hgg 5 7( + ),57,57,86,9,9,9,97,97,6,9,9,5,9 5,9 Dr Tbel dperoleh forms bhw proses koverge ke,9 (pembult hgg tg tempt desml) Semetr tu, l kr eksk dr 7 + bersesu dlh, 989 Ketelt lebh tgg utuk solus deg cr ters dpt dperoleh bl gk-gk sgfk dpk lebh bk d dlm perhtug Msl, bl dpk empt tempt desml, hsl g dperoleh dlh sebg berkut : Tbel Hsl Modfks Is Tbel utuk Ketelt Hgg Empt Desml Ctt : l utuk 7( + ) 5,99,5,99 6,99 dguk pembult smp empt desml dr hsl 5 7,9 + perhtug Tju kembl Gmbr Persm 7 + mempu kr postf l g terletk dtr d Deg megguk formul tertf g sm sepert sebelum, tu 7( + ) d deg l wl dperoleh hsl berkut (dbultk smp tg desml) : Tbel Dftr Nl Aproksms deg Nl Awl 7( + ) 8,57,57 6,99 5, 5, 5,876 9,7 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

19 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 Dlm Tbel, l kr g dgk semk juh dr g dhrpk Proses tersebut meghslk sutu kedverge (l kr g dcr semk juh dr hsl g dhrpk) Ilustrs tersebut meujukk bhw tdk semu proses tertf dlh koverge Proses ters g bru sj dkemukk tdk dpt dpk, oleh kre tu perlu dcr proses ters l utuk persm g dkethu Berkut dlh ters l g dmksud Persm g dkethu tu 7+ dpt dtuls dlm betuk : 7 D proses ters dtuls dlm betuk : Dmul deg l wl, utuk 7 (6) +, hsl g dperoleh sebgm dtmplk dlm Tbel berkut (dbultk smp deg tg tempt desml): Tbel Tbel Hsl Iters Megguk Formul (6) 7 7 8,5,5,5 8,5,5,889,889,568, 7,6,57,57,7 9,,98,8,79,9 9,96 5,8,75,75,98 9,95 5,86,78,78,98 9,956 5,86,76 5,76,9 9,9 5,8,78 6,78 Dr hsl g dtmplk dlm Tbel 6, dperoleh forms bhw proses ters meghslk sutu kekoverge, wlupu deg tg tempt desml msh belum sempur Apbl dpk lebh bk gk sgfk k dperoleh hsl g lebh bk lg Bdgk deg l kr eksk k +,776 Betuk l persm 7 + dpt pul dtuls sebg JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

20 Buku Ajr : METODE NUMERIK 7 / 7 d 7 Formul tertf utuk msg-msg persm tersebut dlh / d + 7 / / (7) Dr keempt formul ters (5) (7), hsl ters dpt dbdgk sepert dtujukk pd Tbel 5 berkut : Tbel 5 Formul Iters Tbel Hsl Iters Formul (5), (6), d (7) Berke deg Nl Awl g Dplh d Kekoverge ( ) 7 Nl Awl / 7 / Hsl Koverge pd kr,989 Dverge Koverge pd kr,776 Koverge pd kr,776 Koverge pd kr,776 Koverge pd kr,776 Koverge pd kr,776 Koverge pd kr,776 Metode Iters Koverge Dlm metode ters koverge peeles F oleh formul tes f ( ) + k koverge ke kr, bl F' ( ) < Teorem Msl α dlh kr dr f ( ) d I dlh sebuh tervl g memut ttk F α Msl F d ' kotu dlm I deg F ddefsk oleh persm F g ekuvle deg f ( ) Mk bl F'( ) <, (8) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

21 Buku Ajr : METODE NUMERIK 8 utuk setp dlm I, brs dr proksms,,,, g ddefsk oleh + f tervl I k koverge ke kr α, deg proksms wl dplh dlm Bukt : Kre α kr dr persm d dr F( ) +, kt peroleh Elms (9)-() meghslk f, kt peroleh α F (9) ( ) F'( α ) utuk α α F' α, < α < α ( F ) () α F α F () Deg megguk Teorem, rus k dr persm () dpt dtuls sebg Berdsrk tu kt peroleh α, < α < α Deg cr g sm dpt dperoleh jug α α F' α, < α < α () α α F' α, < α < α () α ( α ) F' ( α), < α < α + Bl dmslk F' α K <, utuk semu () mk persm () () memberk α α α α, d seterus Hsl meujukk bhw tp-tp proksms tetp d dlm I, deg proksms wl dplh dlm I Substus () ke persm pertm dlm (), kemud hsl dsubstusk ke persm berkut dlm () meghslk : ( α α F' α F' α F' α (5) + ) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

22 Buku Ajr : METODE NUMERIK 9 Kre ' F < K, mk persm (5) memberk + + K α α (6) Utuk, rus k dr (6) k medekt ol, d seljut brs dr proksms,, koverge ke kr-kr α bl K< Secr geometrs, metode ters koverge dpt dpresetsk sebg berkut F() F() Gmbr Gmbr Perhtk gmbr-gmbr d ts Gmbr meujukk bhw sutu metode ters dlh koverge, sedgk Gmbr dverge Cotoh Crlh kr rel dr persm ters koverge f 7+ deg megguk metode Peeles Utuk msg-msg betuk formul tertf dr () F 7 Utuk formul tertf (5): ' d F,75 f 7+ k: Oleh kre tu utuk l-l d dlm [,], F < Deg demk formul tersebut dpt dguk deg l wl sembrg d dlm tervl gu meetuk kr tersebut Utuk l, lustrs proses ters koverge dpt dlht pd Gmbr 5 Adk plh, 98, sehgg F ' (,98) g juh lebh kecl dr Proses ters k mejd sgt cept Tetp, utuk l kr l k α g metk kr postf ( α ) terbesr, 7, formul tertf (5) memberk ( F > utuk semu ' JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

23 Buku Ajr : METODE NUMERIK > 7/6,7 ) Akbt, formul (5) tdk k memberk proses g koverge utuk l wl >, 7 Utuk meujukk, plh g meghslk ters g dverge Proses dlustrsk secr grfk pd Gmbr 6 F() F() Gmbr 5 Gmbr 6 () Utuk formul tertf (6): 7 Mslk F Kre ' 7 F Dpt dperks bhw utuk tp d dlm tervl [,/] dperoleh F' > Jd formul tertf F + tdk bs dpk utuk meetuk l kr dlm tervl tersebut Plh Proses ters tersebut tdk koverge ke kr tersebut, d proses tu dperlhtk pd Gmbr 7 Tetp dpt dtujukk bhw ' F < utuk setp d dlm [/, ] d utuk sutu l wl dlm tervl tersebut formul F + ( ) k memberk proses g koverge ke kr persm g dberk Kt peroleh hsl g koverge ke kr persm tersebut deg l wl proses tersebut dperlhtk oleh grfk pd Gmbr 8 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

24 Buku Ajr : METODE NUMERIK Gmbr 7 Gmbr 8 () Utuk formul tertf + 7 ( 7 ) Dkethu bhw turu pertm F dlh F' / 7 Formul tertf tersebut tdk dpt dpk d dlm tervl < < 7, kre utuk setp d dlm tervl tersebut k dperoleh kr pgkt du dr blg egtf Demk pul, utuk setp d dlm tervl (/7,/) k dperoleh F' > Jd formul F tdk dpt dpk utuk meghtug kr terkecl Tetp pbl dlkuk pd d dlm tervl [/, ] g memut kr terbesr, formul tertf + + F ( ) k memberk proses g koverge utuk kr terbesr (v) Utuk formul tertf + 7 / Mslk F F' Turu pertm fugs dlh tervl (/7,/) Jd formul Bl dperks tert ' + ( F ) F > utuk setp d dlm tdk dpt dpk utuk meetuk kr terkecl Tetp dpt dtujukk bhw F < utuk setp d dlm [/,] g memut kr terbesr Ats dsr tu, utuk l wl dlm [/,], formul ( F + ) k member proses koverge utuk kr terbesr ' JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

25 Buku Ajr : METODE NUMERIK Dr hsl perhtug d ts dpt dkemukk hlhl sebgm dtujuk dlm Tbel 6 berkut : Tbel 6 Beberp formul tertf berke deg persm 7 + Formul Iters deg megguk ters koverge ( ) F'( ) Itervl I ' [,] [,] F Hsl < > Koverge ke kr dlm I utuk sebrg l wl dlm I Dverge 7 + X + 7 / 7 [,/] [/,] 7 / [/7,/] [/,] > < > < Dverge Koverge ke kr dlm I utuk sembrg l wl dlm I Dverge Koverge ke kr dlm I utuk sembrg l wl dlm I Dgrm lur (Flow Chrt) utuk proses ters (metode ters koverge) dlh sebg berkut MULAI Bc l Nl lm, tol bru lm Htug bru TIDAK lm bru < tol Cetk l YA BERHENTI JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

26 Buku Ajr : METODE NUMERIK METODE NEWTON Metode NEWTON ddsrk pd proksms ler fugs d megguk prsp f ( ) O θ f () Gmbr 9 kemrg (Tge) kurv (Lht Gmbr 9) Klkuls deg metode Newto dwl deg g tdk terllu juh dr sebuh kr, bergerk sepjg grs ler (kemrg tu tge grs) ke perpotog d sumbu-, d megmbl sebg ttk proksms utuk g berkut Perlku dterusk hgg l-l drsk sukses cukup dekt ke fugs berl ol Skem klkuls megkut segtg g dbgu deg sudut kls dr kemrg grs pd kurv d t ( θ ) f ( ) f ( ) ( ) tu tu ( ) ( ) f f (7) Aproksms berkut dterusk deg meghtug deg skem g sm dm l dgtk oleh Secr umum metode Newto drumusk oleh skem berkut : f + f ( ) ( ) (8) METODE POSISI SALAH (REGULA FALSI) Utuk meghtug l kr dr f ( ) dpt dguk metode Poss Slh/Regul Fls (RF) Atur dr metode RF dtergk secr geometr dlm Gmbr Dlm gmbr g dmksud, skets grfk dr kurv dtk oleh persm f Akr dr f g dcr dtk oleh koordt dr ttk P g JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

27 Buku Ajr : METODE NUMERIK merupk perpotog dr kurv f deg sumbu Utuk megguk tur RF, dperluk du ttk, A, f d B, f msl, sedemk sehgg grs lurus AB memotog sumbu d ttk P, ( α ( α )) ( ) A ( α, f(α) ) O α P P (, ) P (, ) f() B (, f( ) ) B (, f( ) ) Gmbr B (, f( ) ) Proses seljut dlh meghtug l mellu persm grs AB g memotog sumbu d ttk P Setelh tu deg megguk koordt ttk P k (, ) dpt dtetuk ttk Bdeg koordt (, f ) Deg demk grs AB k memotog sumbu d ttk P deg koordt (,) Demk proses terus dlkuk hgg dperoleh kods P sgt dekt ke P k P P < tolers Dr proses pecp l kr d ttk P, dhslk brs l-l,,,, g dhrpk k koverge ke bss pd ttk P, tu kr g dcr dr persm g dberk Secr ltk, pejels geometrs dr metode RF dpt djelsk berkut : Persm grs AB dlh Persm (9) mellu ttk f f ( α) ( f ( α ) ( α ) α P,), mk dperoleh f ( ) f ( α ) ( α) ( α) f α α f f ( ) ( ) f f ( α) ( α ) (9) () JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

28 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Demk jug deg persm grs AB k persm () mellu ttk ( α ) ( α ) f f f ( α) α ( P, ) Oleh kre tu dperoleh, () ( α) ( α ) α f f f f () Demk proses dulg hgg mecp ttk P tu sgt dekt deg P (ttk g megdug l kr g dcr) Secr umum, formul () d () dlh + ( α) ( α ) α f f f f () Cotoh Guk metode RF utuk meetuk proksms kr-kr postf dr persm 7 + (guk hgg tg tempt desml) Peeles: Plh α d Oleh kre tu f α Seljut guk formul () g meghslk + f ( ) f f, 7 + 7, () 7 utuk Persm () jk dktk deg formul tertf koverge memberk ked: 7 F sehgg ' 8 F Dr betuk dpt dkethu bhw ( 7) 8 l bertmbh dr ke 8, sedgk ( 7 l berkurg dr 9 ke 5, bl bergerk dr ke Jd l mksmum dr ) ' F < utuk dlm [,] d jug proses tertf dlh koverge utuk l wl dlm [,] Deg dperoleh hsl perhtug sebgm dtmplk dlm Tbel 7 berkut : JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

29 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 Tbel 7 Tbel Hsl Numerk Peggu Formul () Terhdp Peetu Nl Akr dr Persm 7+ 7,,,99,9,9,,,79,7-5, -6,68-6,8-6,88 Jd kr postf pertm dr 7+ dlh,9 (telt smp tg desml) Deg cr g sm htug kr postf g kedu g terletk d tr d, deg megmbl α d Hsl k dperoleh bhw kr postf g kedu dr 7+ dlh,77 (telt smp tg tempt desml) Sol-Sol Lth Dptk l kr dr fugs berkut :,75, ,5,5,5 f b ( ) s + cos + s ( ),9 + { } c ( ) ep cos + t,8 + cos,79 deg tg metode umerk g telh dsmpk pd bg sebelum Berk kometr d tetg hsl pemk metode-metode tersebut Ubhlh betuk persm e d sedemk hgg metode ters sederh d koverge dpt dguk utuk medptk l-l kr msg-msg persm tersebut JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

30 Buku Ajr : METODE NUMERIK 7 BAB III INTERPOLASI PENGERTIAN INTERPOLASI DAN GALATNYA Klmt f dlh klmt g megkorespodesk setp, l d dlm deg stu tu lebh l-l dr Aggplh bhw f f ( ) berl tuggl, kotu, d dkethu dlm betuk eksplst, mk l-l berkorespodes deg tept dr l-l g dberk, sebutlh,,,, g dpt dhtug d dtbuls deg mudh Ide terpols dlm umerk mucul ketk pert kovers berkut memerluk tggp Dkethu set dr dftr l-l (,,,,,,,, ) g memeuh rels f deg betuk eksplst f tk dkethu Kods sepert perlu dcr fugs, sebutlh, sedemk hgg f d ( bersesu pd set dr dftr ttk-ttk tersebut Proses utuk meetuk betuk tu l fugs dsebut terpols Bl sutu polom mk proses demk dsebut terpols polom d dsebut pegterpols polom Sel polom, betuk terpols dpt jug berup deret trgoometr terhgg, deret dr fugs Bessel, d l sebg D bg dskus dbts pd terpols polom ) Sebg dsr utuk megproksms sutu fugs g tdk dkethu oleh sutu polom dpt megcu kepd teorem Weerstrss (885) berkut : Bl f kotu dlm, mk utuk, d polom P sedemk hgg f P < ε, utuk tp dlm (, ) ε > JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

31 Buku Ajr : METODE NUMERIK 8 Mslk fugs kotu d dpt ddereslk dsetp ttk dlm sutu tervl tu [,b] Mslk dpu + psg ttk g ddefsk oleh ttk-ttk (, ),,,, Asumsk polom deg derjt kurg dr tu sm deg dguk sebg fugs proksms utuk Oleh kre tu berlku : Dr persm () dperoleh deg tu deg E dlh glt g d peroleh L +! tu tu: (),,, () E () ( )( )( ) ( )( ) E L () LΠ (5) L dlh blg tertetu g belum dkethu, d Π Dr persm () jk,,,, mk k berl ol g berrt ( ) bhw fugs berl eksk ( ) Dfereslk terhdp sebk + kl dperoleh ( + ) Substusk persm () ke persm () dperoleh tu deg ξ < ξ <, Π E Π E ( + ) ( +! ) ( + ) ( ξ ) ( +! ) ( + ) ( +! ) L (6) (7) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

32 Buku Ajr : METODE NUMERIK 9 SELISIH (DIFFERENCE) Selsh dr tp l fugs dlm koteks umerk, bs dguk ots-ots δ,, d g dbc delt Selsh Mju (Forwrd Dfferece) Bl,,, dlh l-l dr, mk (,,,, ) dsebut selsh-selsh dr Bl selsh tersebut berturut-turut dtuls sebg,,, deg kt l:,, Smbol dsebut opertor selsh mju, sedgk,, dsebut selsh mju pertm Selsh dr selsh mju pertm dsebut selsh mju kedu d dtuls,,, deg cr g sm, dpt ddefsk selsh mju ketg, selsh mju keempt k d ( + ) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

33 Buku Ajr : METODE NUMERIK Utuk selsh g lebh tgg deg mudh dpt dtetuk kre koefse pd rus k dlh koefse boml Tbel berkut meujukk selsh mju dr semu tgkt g dpt dbetuk: Tbel Tbel Selsh Mju Selsh Mudur (Bckwrd Dfferece) Selsh-selsh ( ) ( ) ( ) dsebut selsh mudur pertm, bl,, selsh-selsh tersebut berturut-turut dtuls,,, sedemk hgg : d dsebut opertor selsh mudur,,, Deg cr g sm, dpt ddefsk selsh mudur berderjt tgg Jd dperoleh: + +, d seterus Deg l-l g sm utuk d dlm Tbel tbel selsh mudur dpt dbetuk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

34 Buku Ajr : METODE NUMERIK Tbel Tbel Selsh Mudur Selsh Tegh (Cetrl Dfferece) Opertor selsh tegh δ ddefsk oleh rels: δ / ; δ /,, δ Deg cr g sm, selsh tegh berderjt tgg dpt ddefsk Deg megguk l-l d sepert pd tbel tbel selsh tegh dpt dbut tbel sepert berkut: Tbel Tbel Selsh Tegh δ / δ / δ 5/ δ 7/ δ 9/ δ / δ δ δ δ δ 5 δ / δ 5/ δ 7/ δ 9/ δ δ δ 5 δ 5/ 5 δ 7/ 6 δ 6 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

35 Buku Ajr : METODE NUMERIK Dr Tbel,, d, deg melht letk poss g sm dperoleh hubug berkut: δ / d seterus Pemhm kosep selsh dpt djelsk dlm cotoh jrk tempuh sebuh mobl terhdp wktu Mslk gerk sebuh mobl ke sutu tempt memlk jrk tempuh s berrgtug wktu t Hl tersebut dsebbk oleh kre utuk sebrg wktu tertetu, mobl tersebut hruslh meempuh jrk perjl g uk, deg jrk dlh sutu fugs dr wktu, tu s f t Perhtk dftr berkut g meujukk jrk g dtempuh (s meter) berturut-turut pd setp selg wktu detk: () Tbel Jrk tempuh mobl per detk wktu t 5 6 s f(t) Dr Tbel d ts dpt dbut tbel selsh (Tbel Selsh Terhgg) utuk selg t hgg t 6 sebg berkut: Tbel 5 Tbel Selsh Terhgg utuk Dt dlm Tbel Selsh Selsh Selsh t f(t) ke- ke- ke Selsh ke- 6 6 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

36 Buku Ajr : METODE NUMERIK Cotoh Evlus polom 8 + utuk,,5 d butlh tbel selsh Crlh :,,,, δ /, d δ Peeles: Tbel 6 Tbel Selsh Mju utuk Dt dlm Tbel 5 Selsh ke- Selsh ke- Selsh ke- Selsh ke-,,,,,5,5 -, -,89 -,86 -,875 -,79 -,6 -,78 -,9 -,59 -,5 -,8 -, -,6,6,6,6 Dr Tbel 6 d ts dperoleh, 79;,5,6 δ,6 /, 79 δ,8 Selsh Polom Mslk () dlh polom berderjt, tu Mk kt peroleh : h + h + + h h JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

37 Buku Ajr : METODE NUMERIK Yg meujukk bhw selsh pertm dr polom berderjt dlh polom berderjt ( ) Demk pul, selsh kedu dlh polom berderjt ( ) d koefse dr dlh h g merupk kostt Ats dsr hl tersebut,! selsh ke (+) dr polom berderjt dlh ol Seblk, bl selsh ke dr sutu dftr fugs dlh kostt d selsh-selsh ke (+), ke (+), d seterus semu ol, mk dftr fugs tersebut metk polom berderjt Hl tersebut peru dctt bhw hsl g kt peroleh tu k bk h bl l-l dr berjrk sm tr g stu deg g l (l-l g berdekt) Pert kovers tersebut dlh petg d dlm lss umerk, kre deg pert tersebut memugkk kt utuk megproksms sutu fugs oleh sutu polom bl selsh-selsh dr sembrg tgkt (derjt) meghslk sutu kostt (medekt kostt tertetu) Utuk lebh memhm, peljr cotoh berkut Cotoh Tbel berkut meujukk selsh l-l polom + utuk ll,(,), Tbel 7 Tbel Selsh Mju utuk Sejumlh Nl Fugs + ( ),,,,6,8,,8,66,6,6,,8,8,8,88,86,8,8,8,8 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

38 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Dr tbel d ts dpt dlht bhw utuk polom berderjt du, selsh kedu kostt tu,,8 Demk pul, bl dlht pd Cotoh, selsh ketg dr polom tersebut dlh kost tu!,, 6 Cotoh Tbel 8 berkut meujukk selsh-selsh l polom 8+5 utuk l-l,,, ; dbultk smp du tempt desml Tbel 8 Tbel Selsh Mju utuk Sejumlh Nl Fugs 8+ 5 ( ),,,,6,8,,, -, -,95 -,8,78,55 8,,7 7,,5,57,6,77,5,7,9,5,59,6,68,7,76,7,,7,, Dr dftr dpt dlht bhw selsh ketg utuk polom berderjt tg tersebut tdk kost, g sehrus selsh tersebut dlh!,,8 Megp? Hl tersebut dsebbk oleh kre kekelru dlm pembult, g sehrus l dr fugs tersebut dbultk telt smp tg tempt desml, (slhk dperks) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

39 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 FORMULA NEWTON UNTUK INTERPOLASI DAN RELASI SIMBOLIK Formul Newto utuk Iterpols Dberk set g terdr dr (+) buh l-l dr d, tu (,,,,,,, ) dr l-l tersebut k dcr, tu sutu polom berderjt sedemk sehgg d memeuh dftr ttkttk tersebut Mslk l-l tersebut berjrk sm dr, tu : + h, deg,,,, ( ) Kre sutu polom berderjt mk dpt dtuls sebg: ( ( ) ) + (8) Bl kt pk srt (kods) bhw d tersebut, kt peroleh hrus memeuh set dr ttk-ttk ; h ; ; h! ; h! h! Bl + ph d subttusk,,,, pd persm (8) kt peroleh ( ) p p p! + + ( )( ) ( )( )( + ) p p p p p p p + + (9)!! d (9) dsebut formul terpols selsh mju Newto d dpk utuk terpols g dekt ke wl dr l Utuk mecr kekelru g terjd dlm meetuk fugs () oleh polom, dpt dguk formul (7) g dlm betuk l dtuls sebg ( )( ) ( ) ( +! ) ( + ) ( α ), d < α < () JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

40 Buku Ajr : METODE NUMERIK 7 Persm () h dpk dlm prktek sj kre betuk ( + ) tdk meberk forms ppu Berkut betuk l (estms) g megguk derftf Eksps ( + h ) deg deret Tlor memberk h ( + h) + h + +! ( + ) Deg megbk suku-suku g memut h d selebh (perpgkt tgg dr h), dperoleh Deg meulsk h h + h sebg D(), deg bg k persm d ts opertor D h Demk jug deg D h d D dlh opertor dferesl, d g berrt ( + ) + + ( ) () h Persm () g dtuls sebg ( )( )( ) ( +! ) p p p p + merupk betuk g sesu utuk perhtug () Dr pd persm (), dpt dplh betuk + + ( + + ( + ) ) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

41 Buku Ajr : METODE NUMERIK 8 d meetuk kods bhw d sesu pd dftr ttk-ttk,,,,,,, kt peroleh (setelh dsederhk): ( + ) ( + )( + ) p p p p p + p + + +!! deg p h () Formul () dsebut formul terpols selsh mudur Newto d dguk utuk terpols g dekt ke khr dr l-l pd dftr (l ) Formul tersebut memberk kekelru dftr formul tersebut dpt dtuls sebg: ( + )( + )( + ) ( + ) p p p p h + + ( α ) () deg < α < d + ph Cotoh berkut merupk lustrs peggu formul tu Cotoh Crlh polom berderjt tg bl dkethu (), (), (), () kemud crlh () Peeles: Tbel selsh utuk dt pd cotoh dlh sebg berkut : Tbel JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

42 Buku Ajr : METODE NUMERIK 9 Dlm sol h jd, deg formul + ph dplh, kt peroleh p Subttusk l p ke dlm (9), dperoleh ( ) ( )( ) ( 6 ) , Utuk meghtug () kt perhtk bhw p Dr formul (9) kt peroleh ( ) g m l tersebut sm deg sutu l utuk g dsubttusk ke polom + Ctt : Proses pecr l utuk sebrg d lur derh g dkethu dsebut ekstpols, d cotoh td meujukk bhw bl sutu dftr fugs dlh sutu polom, mk terpols d ekstrpols memberk l g eksk Cotoh 5 Populs d sutu kot dlm sesus g dlkuk thu sekl dtujukk pd tbel berkut : Tbel Dt Pertumbuh Sutu Populs Thu Populs : (dlm rbu) Perkrk (estms) populs utuk thu 895 Peeles: Dr dt d ts tert h, 89, 895, d dr formul + ph kt peroleh p /, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

43 Buku Ajr : METODE NUMERIK Dftr selsh dr dt d ts dlh: Tbel Tbel Selsh Mju utuk Dt dlm Tbel Dr (9) kt peroleh ( ),, ( 895) 6 +, + 5 ( )( ),,, + 6 ( )( )( ),,,, + 5,85 rbu Cotoh 6 Dlm Cotoh 5, estmslh populs utuk thu 95 pd sol, terpols g dcr terletk pd khr dr dftr, sehgg kt guk formul (), deg + ph dr dt g dberk, 95, 9, d h, mk dperoleh p -,6 Dr formul () kt peroleh,6,6 + ( 95) + (, 6 )8 + ( ),6,6+, ( ),6,6+,6+, ,8 rbu JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

44 Buku Ajr : METODE NUMERIK Cotoh 7 Dlm tbel berkut, l-l dr berkt deg suku-suku dr sutu deret Crlh suku pertm d suku ke sepuluh Tbel Tbel Nl sutu Fugs () ,7 6,,5,6, 5, 7,9 Peeles: Berkut merupk tbel selsh dr dt dlm Tbel Tbel Tbel Selsh Mju utuk Dt dlmtbel ,7 6,,5,6, 5, 7,9,7 6, 9,,7 6,9,7,,,6,,8,6,6,6,6 Dr tbel selsh d ts, dpt dlht bhw selsh ketg dlh kost d kre dftr fugs tersebut metk sutu polom berderjt tg Deg demk, mk terpols d ekstrpols g dlkuk hsl eksk Utuk mecr suku ke, kt guk formul (9), deg,, h, d p 7 ddptk ( 7)( 6) () ( 7)( 6)( 5) ()() (,7 + 7,7, +,6) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

45 Buku Ajr : METODE NUMERIK Utuk mecr suku ke, kt guk formul (), deg p -8 kt peroleh () ( 8)( 7) 7,9 + 8, 7 +,8 9,, h, d ( )( )( ) ( ,6 ), 6 Cotoh 8 Tjulh tbel dt berkut Tbel Dt l fugs T utuk,,,,5,,5, T,,5,7,55,9 Tetuklh : ( ) T, ( ) T,6 ( ) T, ( v ) T,5 Peeles: Tbel selsh utuk dt dlm Tbel dlh sepert berkut: Tbel 5 Tbel Selsh Mju utuk Dt dlm Tbel,,5,,5,,,5,7,55,9,58,56,56,5,8,,,, ( ) Utuk mecr T, dguk formul + ph,, + p, 5 p, JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

46 Buku Ajr : METODE NUMERIK Deg formul (9) dperoleh : ( ),, T,,+, (, 58) +, 8 ( )( ),,, +, 6 ( )( )( ),,,, +,,5 () Utuk medptk l T,6 dperluk + ph, 6, + p, 5 p,8 Deg formul () dperoleh,8,8 + T (, 6),9,8(,5) +,,8,8+,8+ +, 6,8,8 +,8 +,8 + +,, 66 Deg megguk cr g sm sepert sebelum dperoleh: () T,, (v) T,5,55 Nl seber telt smp empt desml dr T,, T,6, T,, d T,5 berturut-turut dlh,6,,66,,8,,56 Deg membdgk hsl perhtug d l seber, bhw dlm du hl g pertm () d () (terpols) hsl g dperoleh sgt telt dbdgk deg du hl terkhr () d (v) (ekstrpols) Cotoh-cotoh tersebut meujukk bhw Bl sutu dftr fugs sel sutu polom, mk ekstrpols g sgt juh dr bts-bts dftr kr kurg bk utuk dlkuk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

47 Buku Ajr : METODE NUMERIK Rels Smbolk Formul selsh dpt dtk oleh metode-metode smbolk, megguk opertor perubh E d opertor rt-rt µ dlm pejumlh opertor-opertor δ,, d g sudh ddefsk d ts Opertor rt-rt µ ddefsk oleh persm µ r /( r+ / r / + ) (5) Opertor perubh E ddefsk oleh persm E + (6) r r Yg meujukk pegruh dr E pd l fugs Opers kedu deg E dberk oleh d umum peroleh : E r r + E r E Er Er+ r+ r ke l berkut r + deg mudh dperoleh hubug tr d E, d kt E E E (7) E + Dr defs-defs d ts, rels-rels berkut deg mudh dperoleh E δ E E / / / / µ / E + E (8) µ + /δ E δ E / Sebg cotoh, k dtujukk rels µ + /δ Dr defs dkethu bhw: µ / + /+ / r r r + / / / E r E r Jd / / / E + E r JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

48 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 µ / E + E / / µ / E + E / / ( E F ) / + + q / E / E / + / δ + Deg demk µ + /δ Akhr opertor D dpt ddefsk sebg D d d Utuk rels D terhdp E, kt mul deg deret Tlor h h ( + h) + h' + '' + ''' +!! Betuk tersebut dpt dtuls dlm betuk smbolk sepert berkut: hd hd E hd!! Kre deret d dlm kurug dlh eksps e E hd, kt peroleh hsl hd e (9) FORMULA INTERPOLASI SELISIH TENGAH Pd bg terdhulu, telh dbcrk formul terpols mju d mudur dr Newto g berturut-turut dguk utuk terpols dekt ke wl d terpols dekt ke khr dr dftr l-l sutu fugs Sekrg k dbcrk formul terpols tegh g lebh sesu utuk megterpols dt/l fugs g d d sektr pertegh dr dftr dt tersebut Opertor selsh tegh telh dbcrk pd bg terdhulu Jk dberk sejumlh + psg dt mk dt tu dpt dtbulsk ke dlm tbel Selsh Tegh berkut: JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

49 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 Tbel 6: Tbel Selsh Tegh Guss Formul Iterpols Strlg Formul Iterpols Strlg dberk dlm betuk berkut : ( ) p p p + p !!! ( p ) p p p p p + + +!! ( ) ( ) p p p p + +! deg + ph + () Formul Strlg d ts megguk Tbel Selsh Tegh Guss (Tbel 6) utuk melkuk terpols Formul dpk utuk terpols d sektr tegh-tegh dt dr sutu tbel dt d k memberk hsl telt utuk 5 < p < 5 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

50 Buku Ajr : METODE NUMERIK 7 5 INTERPOLASI DENGAN TITIK-TITIK YANG BERJARAK TIDAK SAMA Pd psl terdhulu telh dbcrk berbg mcm formul terpols, tetp dftr l g dterpols vrbel bebs () berd pd jrk g sm Pd bg k dbcrk beberp formul terpols deg jrk tr ll vrbel bebs g tdk sm Dlm pembcr kt d s k dbhs formul utuk hl tersebut tu formul terpols Lgrge d formul terpols Newto umum Formul Iterpols Lgrge Msl () kotu dferesbel smp keturu (+) dlm tervl buk (,b) Dberk (+) buh ttk-ttk (, ),(, ),(, ),,(, ) deg l-l tk perlu berjrk sm deg g l, d k kt cr sutu polom berderjt, sebutlh, sedemk hgg Mslk,,,,,, () dlh polom g k dcr + + +, () Pesubttus persm 8 ke dlm 8, kt peroleh sstem persmpersm () Sstem persm () k memberk solus, bl determ JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

51 Buku Ajr : METODE NUMERIK 8 Determ tersebut dkel sebg determ Vdermode g berl,( ) Elmes,,,, dr persm () d () kt peroleh : j () g meujukk bhw dlh kombs ler dr,,, Berdsrk tu dpt dtuls t (5) d m t dlh polom dlm berderjt Kre ( j), utuk j,,,,, persm (5) memberk ( j) ( j) Jd t dpt dtuls sebg : t t, utuk j t, utuk j ( )( + ) ( ( + g memeuh kods (5) Dlm persm (7), tuls pemblg fugs tersebut sebg mk dperoleh betuk ( )( )( )( )( )( ) π + ) ) (6) (7) (8) π d d '( ) π ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ' π + JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

52 Buku Ajr : METODE NUMERIK 9 Jd persm (7) dpt dtuls t Deg demk berlkulh ked π ( ) π '( ) π ( ) π ( ) ' g dsebut formul terpols Lgrge Koefse-koefse t terpols Lgrge ) (9) () g ddefsk oleh (7) dsebut koefse-koefse Seljut pertukr d dlm () k dperoleh ( ) π ( ) ( ) π ( ' g dguk utuk terpols vers () Utuk pemk prkts, formul terpols Lgrge () dpt pul dtk secr terperc sebg berkut: ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) + ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) + ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) + ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) + + () d m, () dlh l-l g k dterpols, dlh l vrbel g berkorespodes deg (),,,, dlh l-l,,,, dlh l-l JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

53 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Cotoh 9 Berkut dlh tbel dr dt l-l g berkorespodes deg log : Tbel 7 Tbel dt sejumlh l fugs log 5 7 log,77,89,8,87 Crlh log Peeles: Ubh betuk tbel d ts mejd tbel sebgm berkut Tbel 8 Tbel dt hsl peuls ulg Tbel 7 5 7,77,89,8,87 Deg megguk formul () dperoleh ( )( 5)( 7) ( )( 5)( 7), 77 ( )( 5)( 7) ( )( 5)( 7) +, 89 ( )( )( 7) ( 5 )( 5 )( 5 7) +, 8 ( )( )( 5) ( 7 )( 7 )( 7 5) +, 87, 79 +,9658, 77 +,76, 786 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

54 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Sol-sol lth: Dberk tbel dt sebgm Tbel 9 berkut: Tbel f () Guk formul terpols dep d mudur Newto sert Strlg utuk medptk f (), f (), d f () Deg megguk formul terpols Lgrge, htug f (), f (), d f () Berk kometr d berke deg hsl g dperoleh setelh membdgk deg hsl pd peeles sebelum (sol omor ) Dptk formul Iterpols Newto (umum) berkut + ( )[, ] + ( )( )[,, ] [ ] +,,, + + ( )( )( ) ( )[,,,,, ] deg [ ] [ ] [, ] [, ] dst dst, ; ;,,, [ ] [,, ] [,, ] dst,,, ; dsebut sebg selsh pembg JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

55 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 BAB IV DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK DIFERENSIASI NUMERIK Pd bg sebelum telh dbcrk beberp mslh umum tetg terpols Mslk dberk sekumpul l-l (, ),(, ),,(, ), d d, g dguk utuk mecr sutu polom sedemk hgg d sesu deg dftr/kumpul ttk-ttk tersebut Dlm bg, k dbcrk mslh dferess umerk d tegrs umerk Permslh g dmksud dlh bhw bl dberk sekumpul l-l g berkorespodes deg utuk,,,, N, kemud dupk utuk mecr formul gu meelesk/ meghtug : () d d () d utuk sutu l d dlm tervl [, ], d Lgkup bhs dlm bg dlh pd l-l dt berjrk sm ( ) Formul Newto utuk Dferess Numerk Metode g umum utuk mecr formul dferess umerk dlh medferess terpols polom Oleh kre, hubug tp-tp formul g dbcrk pd terpols, dpk utuk utuk meelesk permslh dervtf secr umerk Perhtk formul selsh mju Newto berkut: deg uu ( -) uu ( -)( u-) + u + + +L!! () + uh tu u () h JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

56 Buku Ajr : METODE NUMERIK 5 Dr klkulus dkethu bhw tur rt utuk dervtf fugs f u d u g dberk dlm betuk: Deg tur, formul derftf d d d d du d du d g dturuk dr persm () dlh d d du u u 6u + [ ] () d du d h 6 Formul () dpt dguk utuk meghtug l d utuk l-l d g tdk ddftr Utuk l-l g ddftr, dpt dturuk formul deg cr sebg berkut: Plh sehgg dperoleh u dr () Substusk l tersebut ke () dperoleh : d d h + + () o Deg meuruk () sebk (du) kl lg terhdp dperoleh d 6u 6 u 6u+ d h 6 (5) Substusk l u ke (5) dperoleh d d h + (6) Deg cr g sm, formul utuk turu (dervtf) g lebh tgg dpt dperoleh Berkut beberp formul dervtf g dpt dturuk deg cr sebgm dkekemuk d ts () Formul selsh belkg Newto: d d h (7) d 5 5 d h (8) JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

57 Buku Ajr : METODE NUMERIK 55 (b) Formul selsh tegh/pust Strlg : 5 5 d d h (9) d 6 d h + 9 () Berkut formul g sejes deg du formul sebelum (() d (6)) h h h () 9 h () Utuk l dervtf g dgk dekt ke khr dr sutu dftr, slh stu formul berkut dpt dguk h h h h () + () Cotoh Dberk psg l d sebgm dtmplk dlm Tbel Tbel,,,,,,5 7,8956 9,55,76,678 6,668,85569 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

58 Buku Ajr : METODE NUMERIK 56 Tetuk l d d d d d pd, Peeles: Tbel selsh berke deg dt dlm Tbel d ts dlh sebgm dberk dlm Tbel berkut Tbel 5,,,,,,5 7,8956 9,55,76,678 6,668,85569,65957,9986,567,98987,689,655,988,57,65998,899,9798,6,755,686,9 Dlm ksus dpu,; 9,55, d h, Utuk l turu pertm, dpt dguk formul () g memberk hsl sebg berkut: d,9986,988 +,9798,686 d, o d d o 8, 9 Bl megguk formul (), selsh dgol pertm g k dguk dlh,65957 Selegkp dlh sebg berkut: d, ,655,899 +,755,9 d,, 6 d d, 8,9776 Semetr tu utuk medptk l turu kedu utuk ttk,, dpt dguk formul (6) Peggu formul meghslk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

59 Buku Ajr : METODE NUMERIK 57 d,988,9798,686 d +, d d, 6, 9 Cotoh Htuglh dervtf kestu d kedu d ttk,5 dlm Tbel Peeles: Utuk dervtf pertm dpt dguk formul 7 Sedgk dervtf kedu dpt dguk formul 8 Peggu formul-formul tersebut terhdp dt pd Tbel, memerluk,5;,689 d h, Berkut dlh hsl peggu formul (7) d (8) Peggu formul 7: d,689 +, ,6 +,686+,9 d,5 5 d d,5,69667 Peggu formul 8: d 5,65998,6,686, ,5 d d d,5 8, 775 Cotoh Tetuk l turu d d d Tbel d d d ttk, utuk dftr l d pd JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

60 Buku Ajr : METODE NUMERIK 58 Peeles: Utuk meelesk permslh, dpt dguk formul 9 utuk turu pertm d formul utuk turu kedu Utuk peggu formul-formul tersebut, plh, Berkut peggu formul tersebut hgg dperoleh hsl g dgk Peggu formul 9: d,567 +,98987,9798 +,6 d, 6,,9 +, + 6,96688 Peggu formul : d d,57,686, 5,88675 Nl Mksmum d Nl Mmum dr Sutu Dftr Nl Fugs Dr klkulus, dkethu bhw l mksmum d mmum dr sutu fugs dpt dcr deg meetpk dervtf (turu) pertm sm deg ol, sehggg dperoleh l vrbel g meebbk sutu fugs tu mksmum tu mmum Deg cr g sm sepert dsebutk d ts, dpt dguk pul utuk l mksmum d mmum dr sutu dftr fugs Pdg formul selsh mju Newto berkut: p( p ) p( p )( p ) + p (5) Bl formul (5) dturuk terhdp p dperoleh d p p p (6) dp 6 d Kosep mksmum tu mmum fugs meghrusk dp JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

61 Buku Ajr : METODE NUMERIK 59 Kre tu, rus k (6) deg megggp sesudh suku ketg suku-suku tersebut berl sm deg ol, dperoleh betuk kudrt dlm p k: deg c + c p+ c p (7) c + c c (8) Kre + ph, mk l dpt dtetuk Sebg lustrs, perhtk cotoh berkut Cotoh Deberk sejumlh dt sebgm pd Tbel berkut Tbel,,,,, Crlh utuk l mksmum d crlh l mksmum tersebut (Guk ketelt hgg du desml) Peeles: Tbel Tbel Selsh Mju utuk Tbel,,,,,6,9,966,98,997,9996,6,9,, -,97 -,99 -,99 Kre ketelt g dmt dlh du desml, formul g dperguk h smp suku ke du dr formul (6) Deg memk deg ol formul g dmksud dperoleh k d dp p + dperoleh JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

62 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 p -,6 + (,97) tu p,8 Kre + ph mk + ph, +,8,,58 Utuk l tersebut, l berd d khr Tbel, formul selsh mudur Newto sebk dguk utuk medptk turu pertm Peggu formul () utuk,6(,9996) dperoleh,, + (,58), 9996, (, ) +, 99 tu (,58), 9996, +, 8, Sol-sol lth d Crlh ( j d ) d,, dr tbel berkut,, j,,997,99,9776,96 Tbel berkut meujukk perubh sudut (rd) pd tervl wktu t (detk) θ θ t 6 8 Tbel berkut meujukk l-l d g slg berkorespodes Tetuk d d, utuk () () () 6 d d d utuk JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

63 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 INTEGRASI NUMERIK Itegrs umerk umum dlkuk pbl : Fugs g k dtegrs sedemk hgg tdk d metode ltk utuk meelesk, msl b s d b metode ltk d (bs dpk), tetp gk kompleks utuk dguk msl ketk k meelesk tegrl berkut b + c Fugs g k dtegrs, betuk eksplst tk dkethu, tetp dberk l-l vrbel bebs d l-l fugs g berkorespodes d dlm sutu tervl [,b] d Mslh umum dr tegrs umerk dpt dtk sebg berkut: dberk sekumpul ttk,,,,,,, dr fugs f, dm betuk eksplst dr dhtug l tegrl tetu berkut: f ( ] ) ( sepert ddlm dferess umerk, ) tdk dkethu, d dr dt (keterg) tersebut k b < < < < b Oleh kre tu + h Deg demk dperoleh I d (9) f k dproksms oleh terpols polom, d hsl pd tegrs tersebut dlh l proksms tegrl tetu Jd, perbed formul tegrs bergtug pd betuk dr formul tegrs g dpk Dlm bg formul umum utuk tegrs umerk k dpk formul selsh mju dr Newto Mslk tervl [ b, dbg mejd tervl bg, sedemk hgg I d () JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

64 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 Aproksms oleh formul selsh mju Newto, kt peroleh: I p( p ) p( p )( p ) p d 6 () Kre ph mk d h dp, d kre tegrl d ts meghslk I p( p ) p( p )( p ) p d 6 p () D setelh dsederhk dperoleh: ( ) ( ) d h () Dr formul umum (), kt peroleh mcm-mcm formul tegrs deg megmbl l bult postf tertetu Dskus pd bg dbts pd l d Hl dkrek sel h sebg demostrs teks peuru formul jug formul g dhslk utuk l-l cukup serg dguk dlm pemk prkts Formul g dperoleh deg memlh l dekel deg m formul tur Trpezod sedgk utuk dkel deg m tur Smpso / Utuk formul tur Smso /8 d tur Weddle berturut-turut dperoleh deg memlh d 6 dr formul umum Atur Trpezod Utuk dlm formul umum () d semu turu g lebh dr turu pertm sm deg ol, formul tersebut mejd: [ ] d h + h + h [ + ] Deg cr g sm utuk tervl berkut [, ], dperoleh jug: () d [ + ] (5) h Deg megguk prsp duks mtemtk, utuk tervl terkhr,, dperoleh [ ] JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

65 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 h d [ - + ] (6) - Deg mejumlhk hsl-hsl pd (), (5), d (6), dperoleh skem berkut : h d [ ] (7) g dkel sebg Atur Trpezod utuk tegrs umerk () Secr geometr Metode Trpezod dpt djelsk sebg berkut: Utuk memperoleh hsl proksms f d, deg l fugs f dkethu dr sekumpul l g berjrk sm pd tervl [ b, ] kt tuls l-l oleh r r,,,, dm, r + rh, + h b, d h kostt, d kt tuls l-l g berkorespodes deg oleh, tu Perhtk Gmbr d bwh r b r ( r ) ( f r f f f + rh ) D C F f f f A B E f Gmbr f Mslk betuk grfk f dkethu Kemud tr ttk (, f ) d (, f ) utuk r,,,, ( ) dhubugk oleh grs lurus-grs lurus Secr mtemts, persm grs lurus g meghubugk ttk-ttk (, ) d (, f ) dlh: f ( f - ) + f f r r r+ r+ JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

66 Buku Ajr : METODE NUMERIK 6 Betuk geometrs persm tersebut tdk l dlh sebuh trpesum ABCD Deg megguk kosep tegrl Rem dlm Klkulus, dperoleh proksms f ( ) dlm tervl [, ] dlh: f d Lus Trpesum ABCD Demk jug + f ( - ) d - ( f ) f( - ) h f + f - f - f f f d Lus Trpesum BCEF f h f f ( + ) Bl djumlhk secr keseluruh lus-lus trpesum pd Gmbr, mk k memberk persm berkut : b f d f d f d + f d + + f d h( f + f) + h( f+ f) + + h( f-+ f) h( f + f+ f + + f-+ f) Subttusk f,, d sert dperoleh kembl formul (7) f, f,, f b Cotoh 5 Guk tur trpezod utuk meghtug f d g l fugs dberk dlm Tbel 5 berkut : JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6

67 Buku Ajr : METODE NUMERIK 65 Tbel 5Tbel l fugs utuk sutu l g dberk f ( ),,,,,,7,878,,,6 Peeles: Dr Tbel 5 dkethu bhw h,5 Deg megguk metode trpezod dperoleh: f d,5[,7+ (,878 +, +,) +,6], 5(5,95),988 Kekelru tur Trpezod dpt dhtug deg cr sebg berkut: Asumsk f kotu d mempu dervtf dlm [, ] Eksps dlm deret Tlor d sektr memberk: ' ( ) '' d + ( ) + + d h ' h '' h Sehgg dperoleh (8) h h ' h '' h ''' [ + ] h Dr (8) d (9) dperoleh h ' h '' h (9) 6 h '' d [ + ] - h + () g merupk ukur glt dlm tervl [, ] Deg cr g sm, dperoleh kekelru-kekelru utuk setp tervl bg [ ] [ ] [,,,,,, ] JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNILA Creted b Jck 6