BAB IV MENGHITUNG AKAR-AKAR PERSAMAAN
|
|
- Teguh Dharmawijaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 BAB IV MENGHITUNG AKAR-AKAR PERSAMAAN Dalam banyak usaha pemecahan permasalahan, seringkali harus diselesaikan dengan menggunakan persamaan-persamaan matematis, baik persamaan linier, persamaan kuadrat, ataupun persamaan suku banyak. Oleh karena itu pengetahuan dan pemahaman tentang langkah-langkah penyelesaian suatu persamaan akan sangat bermanfaat. Pembahasan pada bagian ini akan membantu memahami teknik penyelesaian persamaan kuadrat dan persamaan suku banyak. Dalam pembahasan penyelesaian persamaan suku banyak akan ditinjau tentang empat metoda yang dapat diterapkan, yaitu metoda Fixed Point Iteration, metoda Succesice Bisection, metoda Secant, metoda Newton Menghitung Akar-akar Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah dinotasikan sebagai berikut ini : AX 2 + BX + C = 0 Perlu diperhatikan, bahwa dalam bentuk umum persamaan kuadrat tersebut harga koefisien A tidak boleh sama dengan 0 (nol). Hal ini dapat dipahami, karena jika A bernilai 0 (nol), maka persamaan tersebut bukan lagi disebut persamaan kuadrat tetapi merupakan persamaan linier. Sedangkan harga koefisien B dan konstanta C dimungkinkan mempunyai harga negatif, positif, atau 0 (nol). Ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi pada hasil penyelesaian pada suatu persamaan kuadrat. Kemungkinan pertama, persamaan kuadrat mempunyai dua harga akar-akar persamaan real dan berbeda. Kemungkinan kedua, persamaan kuadrat mempunyai dua akar persamaan real dimana keduanya mempunyai nilai yang sama / kembar. Kemungkinan ketiga, persamaan kuadrat tersebut
2 2 mempunyai akar-akar imajiner (akar bilangan negatif). Ketiga kondisi tersebut ditentukan oleh nilai disikriminan pada persamaan kuadrat yang akan dihitung akar-akar persamaannya. Nilai disikriminan pada suatu persamaan kuadrat adalah dihitung dengan formula sebagai beriku ini : DISKRIMINAN = B 2 4AC Dalam kemungkinan kondisi yang pertama, apabila disikriminan persamaan kuadrat berharga positif, maka akan diperoleh akar-akar persamaan kuadrat yang real dan nilainya berbeda. Masing-masing akar persamaan adalah dihitung dengan formula sebagai berikut : X1 = X 2 = B + B DISKRIMINAN 2A DISKRIMINAN 2A Berikut diberikan contoh persamaan dimana diskriminannya bernilai positif, sehingga mempunyai dua harga akar-akar persamaan real dan berbeda. Contoh : 2X 2 + 5X + 2 = 0 Dari persamaan tersebut, diketahui harga koefisien A = 2, koefisien B = 5, dan konstanta C = 2. Harga diskriminan pada persamaan tersebut dapat dihitung sebagai berikut : DISKRIMINAN = B 2-4AC = x 2 x 2 = = 9 Karena diskriminan persamaan berharga positif, maka harga akar-akar persamaannya adalah dua bilangan real yang berbeda yaitu sebagai berikut : B + X1 = DISKRIMINAN 2A
3 3 5 + = 22 = B X 2 = 5 = 22 = 2 DISKRIMINAN 2A 9 Dari hasil perhitungan di atas, maka harga akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh adalah X1 = -0.5 dan X2= -2 Dalam kemungkinan kondisi yang kedua, apabila diskriminan persamaan kuadrat berharga 0 (nol), maka akar-akar persamaan kuadratnya adalah dua bilangan real dengan harga yang sama / kembar. Dengan kalimat lain berarti persamaan tersebut hanya mempunyai satu harga saja yaitu X1 = X2 = X12. Dalam kasus ini harga akar-akar persamaan kuadratnya adalah dihitung dengan formula sebagai berikut ini : X12 = B 2A Berikut diberikan contoh sebuah persamaan kuadrat dimana diskriminannya bernilai nol, sehingga mempunyai akar-akar persamaan real dan harganya sama / kembar. Contoh : X 2 + 6X + 9 = 0 Dari persamaan tersebut, diketahui harga koefisien A = 1, koefisien B = 6, dan konstanta C = 9. Harga diskriminan pada persamaan tersebut adalah sebagai berikut : DISKRIMINAN = B 2-4AC
4 4 = x 1 x 9 = = 0 Karena diskriminan persamaan kuadrat berharga nol, maka harga akar-akar persamaannya adalah dua bilangan real yang sama yaitu sebagai berikut : X12 = B 2A 6 = 2 x 1 = 3 Jadi harga akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah X12 = -3 Dalam kemungkinan ketiga, apabila harga diskriminan persamaan kuadrat bernilai negatif, maka maka akar- akar persamaan kuadrat bersifat imaginer. Berikut diberikan contoh sebuah persamaan kuadrat dimana diskriminannya bernilai negatif, sehingga mempunyai akar-akar persamaan yang bersifat imaginer. Contoh : 2X 2 + X + 2 = 0 Dari persamaan tersebut, diketahui harga koefisien A = 1, koefisien B = 1, dan konstanta C = 2. Harga diskriminan pada persamaan tersebut adalah sebagai berikut : DISKRIMINAN = B 2-4AC = x 1 x 2 = 1 8 = - 8 Karena diskriminan persamaan berharga negatif, maka harga akar-akar persmaannya adalah imaginer. Hal ini dapat dipahami karena untuk menghitung
5 5 akar-akar persamaan kuadrat selalu melibatkan hasil perhitungan yang diperoleh dari harga akar kuadrat dari diskriminan pada persamaan kuadratnya. Sedangkan nilai dari akar suatu bilangan negatif adalah bilangan imaginer, sehingga akar-akar pada persamaan kuadrat yang mempunyai diskriminan negatif akan menghasilkan suatu bilangan imaginer. Secara logika, penyelesaian permasalahan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat adalah dimulai dengan membaca data-data masukan untuk koefisien-koefisien pada A dan B dan konstanta persamaan pada C. Jika harga koefisien A bernilai nol, maka pembacaan data-data masukan harus diulangi karena jika A bernilai nol, maka bukan merupakan persamaan kuadrat. Langkah selanjutnya adalah menghitung harga diskriminan persamaan. Harga diskriminan yang diperoleh akan menentukan harga pada akar-akar persamaannya. Jika diskriminan bernilai positif, maka proses dilanjutkan untuk menghitung akarakar persamaan kuadrat yang berupa dua bilangan real yang berbeda. Jika diskriminan bernilai nol, maka proses dilanjutkan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang berupa dua bilangan real yang sama / kembar. Namun jika diskriminan bernilai negatif, maka proses dilanjutkan untuk memberikan pesan bahwa harga akar-akar persamaan kuadrat adalah bilangan imaginer. Harga-harga akar persamaannya adalah dihitung dengan menggunakan formulaformula sebagaimana telah dijelaskan pada uraian di atas. Proses selanjutnya adalah tinggal mencetak hasil-hasil perhitungan yang diperoleh tersebut. Proses logik seperti ini dapat digambarkan dalam flowchart prosedur sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.1. Pada Gambar 4.1, A, B, dan C merupakan variabel-variabel untuk menyimpan data-data masukan untuk koefisien-koefisien dan konstanta pada persamaan kuadrat. DISK digunakan sebagai variabel untuk menyimpan harga diskriminan. Sedangkan X1, X2, dan X12 adalah variabel-variabel yang digunakan untuk menyimpan harga akar-akar persamaan kuadrat hasil perhitungan yang dilakukan.
6 6 MULAI Baca A,B,C DISK=B 2 4xAxC TIDAK DISK > 0 YA DISK = 0 YA X1 = ((-B) + SQRT(DISK)) /(2xA) X2 = ((-B) - SQRT(DISK)) /(2xA) TIDAK X12 = (-B) / 2xA Akar Imaginer X12 X1, X2 Selesai Gambar 4.1 : Flowchart menghitung akar-akar persamaan kuadrat Solusi dalam bentuk algoritma untuk menyelesaikan permasalahan menghitung harga akar-akar persamaan kuadrat dapat dituliskan sebagai berikut ini : Masukkan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan kuadrat A, B, dan C Harga A tidak sama dengan nol. 1. Mulai 2. Baca data A, B, C 3. Hitung diskriminan persamaan DISK = B^2 4 x A x C 4. Cek harga diskriminan
7 7 IF DISK > 0 Jika ya, hitung akar-akar persamaan X1 = ((-B) + SQRT(DISK)) / (2 x A) X1 = ((-B) - SQRT(DISK)) / (2 x A) Lanjutkan ke langkah-5 Cek harga diskriminan IF DISK = 0 Jika ya, hitung akar-akar persamaan X12 = ( -B ) / (2 x A) 5. Cetak hasil X1 dan X2 atau X12 atau pesan ( akar-akar imajiner ) 6. Selesai 4.2. Menghitung Akar-akar Persamaan Suku Banyak Persamaan suku banyak adalah suatu persamaan yang mempunyai pangkat lebih dari 2 pada salah satu variabelnya. Beberapa contoh persamaan suku banyak adalah sebagai berikut : X 3 + 3X + 2 = 0... (1) X 7-0.2X 3 + 3X 2 + 6X - 22 = 0... (2) 0.35X 6-5X 5-7X X = 0... (3) Untuk menghitung akar-akar persamaan suku banyak seperti di atas dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan menggunakan pendekatan metoda Newton, pendektakan metoda Secant, pendekatan metoda Succesive Bisecton, atau pendekatan metoda Fixed Point Iteration. Penyelesaian dengan pendekatan metoda-metoda tersebut akan memberikan hasil yang cukup baik / akurat. Sekalipun demikian, secara relatif kita dapat membandingkan tingkat akurasi pada hasil perhitungannya. Selain itu, kita juga dapat membandingkan efisiensi proses yang diperlukan utuk menemukan hasi penyelesaian akhirnya.
8 8 Dalam kasus tertentu mungkin pendekatan pada salah satu metoda akan relatif lebih baik untuk dterapkan, namun bisa jadi akan relatif kurang baik jika terapkan dalam kasus yang lainnya. Oleh karena itu, dalam penerapannya kita dapat memilih dan menentukan salah satu pendekatan metoda yang paling tepat sesuai dengan permasalahannya. Persamaan yang dimiliki pada keempat pendekatan tersebut adalah dalam mencari akar-akar persamaan akan memerlukan harga pendekatan awal sebagai dasar bagi pencarian harga akar-akar persamaan yang sesungguhnya. Dari harga awal tersebut kemudian dapat dihitung harga-harga pendekatan baru dengan cara menggeser / menambah sedikit demi sedikit hingga pada akhirnya akan ditemukan harga yang dicari. Harga akar-akar persamaan yang dicari adalah harga-harga yang memenuhi bagi persamaan tersebut, yaitu harga-harga yang membuat persamaan menjadi benar. Suatu permasalahan yang perlu dipikirkan dalam menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menggunakan pendekatan pada metoda-metoda tersebut adalah bagaimana menetapkan harga pendekatan awal yang tepat. Harga pendektan awal mestinya suatu harga yang telah mendekati harga penyelesaian sesungguhnya yang akan dicari. Untuk keperluan tersebut, kecakapan pengetahuan tentang sifat-sifat fungsi akan membantu. Dalam proses mencari penyelesaian suatu persamaan suku banyak juga sering terjadi bahwa hasil akhir penghitungan akar-akar persamaan yang diperoleh tidak tepat sekali jika disubstitusikan dalam persamaannya. Oleh karena itu, harga yang dicari biasanya adalah suatu nilai yang mendekati sesuai dengan nilai sesungguhnya yang membuat persamaan menjadi bernilai benar. Cara yang dapat digunakan untuk menentukan harga pendekatan yang terbaik adalah dengan memberikan suatu kriteria berupa suatu batas ketelitian yang ditetapkan sehingga hasil perhitungan yang diperoleh dapat dianggap telah memenuhi sebagai penyelesaian. Kriteria tersebut biasanya dapat dicek menggunakan epsilon yang dilambangkan dengan simbol ε. Batas ketelitian yang digunakan adalah suatu nilai yang sangat kecil hampir mendekati 0 (nol). Harga
9 9 akar-akar persamaan yang dicari dianggap telah ditemukan jika telah memenuhi batas ketelitian yang dimaksud. Permasalahan lain yang dapat terjadi dalam menyelesaikan persamaan suku banyak adalah bahwa persamaan tersebut bisa jadi tidak mempunyai penyelesaian, sehingga perhitungan yang dilakukan tidak akan menemukan harga akar-akar persamaan yang sungguhnya. Dalam kasus-kasus penyelesaian persamaan yang sangat kompleks bisa saja hal ini terjadi. Untuk menyelesaikan persamaan suku banyak dengan pendekatan metodametoda di atas memerlukan pengetahuan dan kecakapan tertentu dalam menerapkan metoda yang digunakan. Sebagai contoh, jika kita akan menggunakan pendekatan metoda Newton, maka kita dituntut untuk memahami tentang fungsi derivatif dari persamaannya. Bagi seseorang mungkin hal ini akan menimbulkan permasalahan dan menjadi hambatan dalam menerapkan metoda tersebut. Permasalahan yang lain masih mungkin terjadi dalam menyelesaikan suatu persamaan suku banyak. Suatu ketika kita mungkin akan menerapkan pendekatan metoda Fixed point Iteration, tetapi ternyata kita kesulitan mengubah bentuk persamaannya. Contoh : 3.5X 4 3.1X 3-0.5X X = X... (4) Persamaan (4) di atas akan menjadi sangat sulit kita ubah bentuknya menjadi sebagai persamaan (1), (2), dan (3), yaitu suku sebelah kanan tanda sama dengan bernilai nol (0). Penyelesaian persamaan suku banyak dengan pendekatan keempat metoda tersebut di atas sebenarnya dikembangkan berdasarkan suatu konsep model matematis pengolahan data. Dalam konsep model matematis pengolahan data, nilai pendekatan pada suatu tahap tertentu akan menjadi acuan bagi nilai pendekatan pada tahapan selanjutnya. Konsep tersebut merupakan model
10 10 umum yang digunakan dalam pengolahan data. Gambar 4.2 menunjukkan konsep model matematis pengolahan data tersebut. X n F(X n) X n+1 Gambar 4.2 : Konsep model matematis pengolahan data Berdasarkan konsep model matematis pengoalahan data tersebut, maka proses perhitungan yang terjadi di dalamnya merupakan suatu proses berulang yang dapat dijabarkan menjadi rincian proses yang sama, yaitu seperti berikut ini : X 1 Proses X 2 X 2 Proses X 3 X 3 Proses X X n + 1 = F(X n ) Dalam model umum tersebut, X1 menyatakan harga pendekatan awal penyelesaian yang kita tetapkan. Selanjutnya X1 diolah untuk mencari harga pendekatan penyelesaian yang semakin baik, yaitu X2. Harga X2 kemudian diolah kembali dan akan mendapatkan harga pendekatan penyelesaian yang baru, yaitu X3. Demkian proses ini akan dilakukan terus -menerus hingga ditemukan harga akar-akar persamaan yang dicari, yaitu ketika hasilnya telah memenuhi kriteria batas ketelitian yang ditetapkan. Cacah iterasi perulangan yang harus dilakukan (=n) dalam model umum tersebut sebenarnya tidak pernah dibatasi. Namun demikian, untuk menghindari terjadinya proses perulangan yang tidak pernah berhenti, maka dapat ditetapkan batas tertentu misalnya sebanyak 20 kali. Alasannya adalah dengan cacah iterasi perulangan yang ditetapkan tersebut, jika harga pendekatan awal X1 cukup baik, maka harga akar-akar persamaan yang dicari akan dapat ditemukan.
11 Metoda Newton Proses perhitungan akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Newton dimulai dengan menetapkan harga pendekatan awal akar persamaan yang diinputkan sebagai X, dan Epsilon (= ε) yaitu suatu harga yang sangat kecil yang mendekati nol (0) yang ditetapkan sebagai batas ketelitian yang dikehendaki. Proses berikutnya adalah melakukan proses berulang untuk menghitung nilai penambahan untuk pendekatan penyelesaian baru yang lebih baik berdasarkan harga awal X, yaitu harga akar-akar persamaan yang dicari. Proses perulangan akan berhenti jika harga X telah konvergen, yaitu jika harga multak F(X n ) kurang dari harga batas ketelitian yang ditetapkan, artinya akar persamaan telah ditemukan atau jika cacah perulangannya telah mencapai 20 kali. Nilai-nilai pendekatan baru akar-akar persamaan pada metoda Newton merupakan titik potong kurva F(X) pada sumbu X yang didekati dengan kurva yang dibentuk berdasarkan pada pendekatan harga akar persamaan (=X) yang mendahuluinya. Harga pendekatan pada akar persamaan suku banyak dengan metoda Newton pada iterasi-iterasi berikutnya adalah dihitung dengan formula sebagai berikut : XR = X F(X) / F (X) Keterangan: XR : harga pendekatan akar persamaan untu iterasi berikutnya X : harga estimasi akar persamaan estimasi sebelumnya F(X) : fungsi X yang dicari akar-akar persamaannya F (X) : fungsi derivatif dari F(X)
12 12 Y F(X) X2 X3 X1 X Gambar 4.3 : Mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Newton Proses penentuan harga pendekatan akar-akar persamaan dengan meotda Newton adalah ditunjukkan pada Gambar 4.3, sedangkan flowchart prosedurnya ditunjukkan pada Gambar 4.4. Solusi dalam bentuk algoritma untuk menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Newton dapat dituliskan sebagai berikut ini : Masukan X sebagai harga awal akar-akar persamaan dan ε sebagai batas ketelitian. 1. Mulai 2. Proses berulang langkah-2 sampai dengan langkah-4 FOR I = 1 TO Hitung harga pendekatan baru. XR = X FX / F(X) 4. Cek konvergensi dengan membandingkan harga mutlak F(XR) dengan ε IF F(XR) < ε Jika Ya, cetak hasil (XR, F(XR)) 5. Simpan nilai pendekatan baru X = XR 6. Cetak pesan
13 13 7. Selesai ( Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi ) Mulai Baca X, ε FOR I = 1 TO 20 XR = X F(X) / F (X) TIDAK F(XR) < ε YA X = XR Cetak XR, F(XR) NEXT I CETAK Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi Selesai Gambar 4.4 : Flowchart menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Newton Untuk memperjelas proses perhitungan yang terjadi dalam pencarian harga akarakar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Newton, berikut ini akan diberikan sebuah contoh untuk menyelesaikan sebuah persamaan. Misal, akan dicari harga akar-akar persamaan suku banyak yang mempunyai orde tiga dengan pendekatan metoda Newton yaitu sebagai berikut :
14 14 FX = X 3 X 2 2X + 1 Dari persamaan tersebut maka fungsi derivatifnya adalah : F X =3X 2 2X 2 Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, mula-mula ditetapkan harga awal untuk akar-akar persamaannya, yaitu sebesar 0.5. Batas ketelitian yang digunakan adalah Berdasarkan harga awal tersebut, selanjutnya hasil perhitungan akar-akar persamaan pada setiap langkah proses perulangan adalah ditunjukkan pada Tabel 4.1. Dari data-data pada tabel tersebut, terlihat bahwa dengan menerapkan pendekatan metoda Newton, akar-akar persamaan dapat ditemukan setelah tiga kali iterasi. Harga akar-akar yang diperoleh adalah sebesar Tabel 4.1 : Contoh menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan Metoda Newton Iterasi (N) X N F(X N ) F (X N ) F(X N ) / F (X N ) Sebagai catatan tambahan, penggunaan pendekatan metoda Newton untuk menghitung akar-akar persamaan suku banyak umumnya mempunyai efisiensi yang sangat baik dalam proses perhitungannya. Prosedur perhitungannya relatif sederhana dan mudah dipahami. Pendektan metoda Newton sangat baik digunakan jika kita merasa kurang yakin tentang fungsi derivatif dan tidak dapat menetapkan harga awal (=X) yang baik, yaitu harga awal yang mendekati harga akar-akar persamaan yang sebenarnya. Terlepas dari semua keunggulan tersebut, penggunaan metoda ini akan relatif mudah terjadi error pada hasil perhitungannya. Selain itu, kecapakan dalam membuat fungsi derivatif bisa jadi akan menjadi hambatan lain yang dihadapi untuk menerapkannya.
15 Metoda Secant Penyelesaian persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Secant kadang-kadang disebut pula sebagai computed line approach. Pendekatan dengan metoda ini akan memerlukan dua harga awal, yaitu X1 dan X2. Harga awal tersebut berfungsi untuk menentukan harga-harga pendekatan baru untuk akar-akar persamaan sebenarnya yang akan dicari. Akar-akar persamaan sebenarnya, semestinya berada di antara dua titik tersebut dengan demikian kemudian dapat didekati dengan suatu garis lurus (garis Secant) yang memotong sumbu X, dan selanjutnya diinterpolasikan atau diekstrapolasikan (tergantung pada apakah sama atau tidaknya tanda harga-harga fungsi pada dua titik yang ditetapkan) ke suatu titik ketiga, yaitu XR. Proses tersebut akan berlangsung secara terus-menerus sampai ditemukan harga akar persamaan sebenarnya berdasarkan hasil pendekatan baru pada dua titik terakhir. Akar persamaan akan ditemukan jika harga mutlak F(XR) kurang dari batas ketelitian yang telah ditetapkan. Pendekatan harga akar-akar persamaan dalam metoda Secant dapat dihitung dengan suatu formula berikut : XR = XBARU - ((XBARU - XLAMA) / (F(XBARU) - F(XLAMA))) x F(XBARU) Keterangan: XR : harga pendekatan baru pada akar-akar persamaan XLAMA : harga X1 XBARU : harga X2 Pada setiap selesai satu kali iterasi perulangan, maka harga-harga variabel tersebut akan disubstitusikan menjadi sebagai berikut ini : XLAMA XBARU : disubstitusikan dengan XBARU : disubstitusikan dengan XR Proses penentuan harga pendekatan baru pada akar-akar persamaan dengan metoda Secant dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu pendekatan dari satu sisi dan dari dua sisi. Gambar 4.5 menunjukkan pendekatan metoda Secant untuk
16 16 mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan dari satu sisi. Sedangkan Gambar 4.6 menunjukkan penerapan metoda Secant dengan pendekatan dari dua sisi. Y F(X) X1 X2 X3..XN X Gambar 4.5 : Mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan metoda Secant dengan pendekatan dari satu sisi Y F(X) X2 X3 XN X1 X Gambar 4.6: Mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan metoda Secant dengan pendekatan dari dua sisi
17 17 Mulai Baca X1,X2 XLAMA = X1 XBARU = X2 FOR I = 1 TO 20 XR = XBARU - ((XBARU - XLAMA) /(F(XBARU) - F(XLAMA))) x F(XBARU) TIDAK F(XR) < ε YA XLAMA = XBARU XBARU = XR Cetak XR, F(XR) NEXT I CETAK Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi Selesai Gambar 4.7 : Flowchart prosedur menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Secant Flowchart prosedur untuk mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan metoda Secant ditunjukkan pada Gambar 4.7. Sedangkan solusi dalam bentuk algoritmanya dapat dituliskan sebagai berikut ini : Masukkan X1 dan X2 sebagai harga pendekatan awal akar-akar persamaan Masukkan ε sebagai batas ketelitian
18 18 1. Mulai 2. Inisialisasikan XLAMA = X1 XBARU = X2 3. Proses berulang langkah-4 hingga langkah-6 FOR I = 1 TO Hitung harga pendekatan baru XR = XBARU - ((XBARU - XLAMA) / (F(XBARU) - F(XLAMA))) x F(XBARU) 5. Cek konvergensi dengan membandingkan harga mutlak F((XR)) dengan ε IF ABS(F(XR)) < ε Jika ya, cetak hasil (XR, F(XR)) dan lanjutkan ke langkah-8 6. Tukarkan harga-harga variabel XLAMA = XBARU XBARU = XR 7. Cetak pesan ( Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi ) 8. Selesai Sebagai contoh penerapannya, berikut ini akan dihitung akar-akar persamaan suku banyak yang fungsinya sama seperti contoh sebelumnya (pada metoda Newton). Harga untuk X1 dan X2 ditetapkan masing-masing 0 dan 1. Selanjutnya proses perhitungannya dapat ditelusuri sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 4.2. Dalam tabel tersebut terlihat bahwa untuk menemukan harga akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Secant diperlukan lebih banyak iterasi perulangan yaitu sebanyak 6 kali iterasi. Tabel 4.2 : Contoh Menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Secant Iterasi ke : X N F(X N ) (X N - X N-1 ) / F(X N ) - F(X N-1 )
19 19 Dalam beberapa hal, pendekatan dengan metoda Secant mempunyai kelemahan-kelemahan yang dapat diidentifikasikan. Jika penetapan harga awal tidak baik, maka pendekatan dengan metoda Secant hanya akan memberikan sangat sedikit kemungkinan pendekatan harga akar-akar persamaan pada interval yang ditentukan. Kemungkinan lain dapat terjadi, yaitu pada saat-saat tertentu ekstrapolasi dari dua titik pendekatan awal untuk harga-harga akar persamaan yang sudah sangat dekat dengan harga sebenarnya yang dicari justru akan menghasilkan titik baru yang semakin menjauhi akar persamaan yang sebenarnya. Umumnya pendekatan metoda Secant dapat diterapkan dengan efisiensi yang cukup baik. Metoda ini juga baik digunakan apabila kita mempunyai pengetahuan dan kecapakan tentang fungsi, tetapi tidak begitu paham tentang fungsi derivatif Metoda Succesive Bisection Poses menghitung akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Succesive Bisection, dimulai dengan menetapkan dua titik sebagai harga awal untuk pendekatan, yaitu X1 dan X2. Harga X1 akan menjadi batas bawah interval untuk pendekatan akar-akar persamaan. Sedangkan harga X2 akan menjadi batas atas intervalnya. Penetapan harga X1 dan X2 adalah dipilih sedemikian rupa sehingga harga fungsinya mempunyai tanda yang berlainan. Jika salah satu dari F(X1) dan F(X2) bernilai positif maka yang lainnya harus bernilai negatif, sehingga nilai fungsi kedua titik tersebut jika dikalikan akan menghasilkan bilangan negatif, yaitu : F(X1) x F(X2) < 0 Jika diasumsikan bahwa F(X) adalah kontinyu pada (X1,X2) sehingga akar-akar persamaan adalah eksis dalam interval titik X1 dan X2, maka harga akar-akar persamaan dapat dicari dengan pendekatan metoda Succesive Besection. Namun sebaliknya metoda ini tidak akan dapat diterapkan apabila harga fungsi tidak pernah berubah tandanya. Hal ini berarti bahwa kurva fungsi persamaan
20 20 yang akan dicari harga akar-akar persamaannya tidak pernah memotong sumbu X, sehingga fungsi seperti ini tidak mempunyai akar real. Berdasarkan dua harga pendekatan awal yang ditetapkan tersebut kemudian dapat dihitung nilai tengah (=XR). Jika F(XR) = 0, maka akar persamaan telah ditemukan, atau jika harga mutlak X2 X1 < artinya jarak antara X1 dan X2 sudah sangat rapat, dan akar persamaan dianggap telah diketemukan. Sebaliknya jika akar-akar persamaan belum ditemukan, maka perlu diperiksa kembali apakah perkalian kedua harga fungsi pada titik-titik tersebut mempunyai harga kurang dari 0 (nol). F(X1) x F(XR) < 0 Jika benar demikian, artinya akar-akar persamaannya terletak pada interval X1 dan XR sehingga batas interval atasnya dapat digeser menjadi XR. Namun sebaliknya, jika perkalian kedua harga fungsi pada titik-titik tersebut mempunyai harga lebih dari 0 (nol), maka akar-akar persamaan yang dicari adalah terletak dalam interval XR dan X2. F(X1) x F(XR) > 0 Jika benar demikian, maka batas interval bawah dapat dinaikkan menjadi XR. Setelah diperoleh harga batas atas dan batas bawah yang baru tersebut, selanjutnya dihitung kembali nilai tengah intervalnya. Periksa kembali lokasi akarakar persamaan yang dicari dengan cara seperti di atas. Demikian seterusnya proses ini akan berlangsung hingga ditemukan harga akar-akar persamaan sebenarnya. Proses untuk mencari akar-akar persamaan dengan metoda Succesive Bisection dapat ditunjukkan sebagaimana terlihat pada Gambar 4.8. Pencarian harga akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Succesive Bisection dalam Gambar 4.8 adalah dimulai dengan menetapkan titik awal X1 sebagai batas bawah interval dan X2 berfungsi sebagai batas atasnya. Dalam gambar terlihat bahwa harga F(X1) bernilai negatif, sedangkan harga F(X2) bernilai positif. Berdasarkan harga X1 dan X2 selanjutnya dihitung titik tengah
21 21 intervalnya, yaitu XR1. Harga F(X1) x F(XR1) bernilai negatif, maka terlihat bahwa lokasi akar persamaannya berada di antara titik X1 dan XR1, sehingga batas atas intervalnya dapat diganti dengan XR1. Dengan demikian, maka XR1 akan menjadi X2 yaitu sebagai batas atas interval yang baru. Y F(X) X1 XR2 XR1 X2 X Gambar 4.8: Mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Succesive Bisection Berdasarkan batas-batas interval yang baru tersebut, selanjutnya dihitung kembali titik tengah intervalnya, yaitu XR2. Harga F(X1) x F(XR2) adalah positif, maka terlihat bahwa lokasi akar fungsi persamaannya berada di antara titik XR2 dan XR1 (=X2 yang baru), sehingga batas bawah intervalnya dapat diganti dengan XR2. Dengan demikian, maka XR2 akan menjadi X1 sebagai batas bawah interval yang baru. Berdasarkan batas-batas interval yang baru tersebut, selanjutnya dihitung kembali titik tengah intervalnya, yaitu XR3. Pada titik XR3 harga fungsi persamaan bernilai nol (0). Pada titik XR3 tersebut terlihat bahwa kurva fungsi persamaan tepat memotong sumbu horisontal X, sehingga F(XR2) x F(XR3) = 0. Hal ini berarti akar-akar fungsi persamaan telah ditemukan, yaitu pada iterasi perulangan ketiga. Harga akar-akar persamaan yang dicari adalah XR3. Cacah iterasi perulangan yang harus dilakukan untuk menetapkan intervalinterval baru sebenarnya dapat kita tetapkan. Sebagai contoh, di ini ditetapkan 20 kali. Jika harga-harga awal batas interval untuk pendekatan akar-akar
22 22 persamaan tidak terlalu jauh, maka semestinya akar-akar persamaan sebenarnya yang dicari akan ditemukan dalam 20 iterasi perulangan tersebut. Tabel 4.3 : Pencarian pendekatan akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Succesive Bisection Iterasi ke Batas Bawah X1 X1 X1 Batas Atas X2 X2 X2 Titik Tengah (=Akar persaman) XR1 XR2 XR3 Harga F(X1) x F(X2) Negatif Positif Nol Batas Bawah Baru X1 = X1 X1 = XR2 X1 = XR2 Batas Atas Baru X2 = XR1 X2 = XR1 X2 = XR1 Prose pencarian akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Succesive Bisection sebagaimana terlihat pada Gambar 4.8 dapat ditelusuri pada Tabel 4.3, dimana titik XR3 merupakan akar-akar persamaan yang dicari karena F(XR3) = 0. Gambar 4.9 adalah menunjukkan flowchart prosedur untuk menghitung akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Succesive Bisection. Berikut ini adalah algoritma untuk mencari akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Succesive Bisection sebagaimana telah dijelaskan di atas. Masukan X1, X2 sebagai batas-batas interval untuk pendekatan akar-akar persamaan. Masukan ε sebagai batas ketelitian. 1. Mulai 2. Proses berulang langkah-3 s/d langkah-5 FOR I = 1 TO Hitung titik tengah intervalnya XR = (X1 + X2) / 2 4. Cek konvergensi IF F(XR) = 0 OR ABS(X2 - X1 < ε Jika ya, cetak (XR,F(XR)) Lanjutkan ke langkah-7 5. Tentukan interval yang baru
23 23 IF F(XR) x F(X1) < 0 Jika ya, tentukan X2=XR Jika tidak, tentukan X1=XR 6. Cetak Pesan ( Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi ) 7. Selesai Mulai Baca X1,X2 FOR I = 1 TO 20 XR = (X1+X2) / 2 TIDAK F(XR) = 0 Atau F(XR) <ε YA TIDAK F(X1) x XR< 0 YA CETAK XR, F(XR) X1 = XR X2 = XR NEXT I CETAK Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi Selesai Gambar 4.9 : Flowchart prosedur menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Succesive Bisection
24 24 Untuk memperjelas proses perhitungan untuk menyelesaian sebuah fungsi persamaan menggunakan pendekatan metoda Succesice Bisection, berikut ini akan diberikan contoh menyelesaikan fungsi persamaan yang sama pada dua metoda terdahulu, yaitu : FX = X 3 - X 2-2X + 1 Harga-harga awal yang ditetapkan untuk menyelesaikan persamaan tersebut masing-masing adalah X1 = 0 dan X2 = 1. Batas ketelitian yang digunakan dalam contoh ini adalah Hasil-hasil perhitungan akar-akar persamaan pada setiap iterasi perulangan adalah seperti tercantum dalam Tabel 4.4. Tabel 4.4 : Contoh menghitung akar-akar persamaan suku banyak menggunakan pendekatan metoda Succesive Bisection Iterasi Ke : Batas Bawah Batas Atas Titik Tengah F(XR) (=X1) (=X2) (=XR) Berdasarkan hasil perhitungan yang ditunjukkan pada Tabel 4.4, maka harga akar-akar fungsi persamaan adalah Harga penyelesaian tersebut ditemukan setelah 15 iterasi perulangan. Pendekatan metoda Succesive
25 25 Bisection umumnya lebih menjamin keberhasilan perhitungan akar-akar persamaan dari pada dua pendekatan sebelumnya, yaitu metoda Newton dan Secant, dengan catatan apabila persamaan fungsinya kontinyu pada semua tempat. Dalam contoh kasus menyelesaikan fungsi persamaan di atas, maka dapat dibandingkan efisiensi proses menemukan harga akar-akar persamaan dengan pendekatan metoda Newton, Secant, dan Succesive Bisection. Berdasarkan data-data dalam Tabel 4.1, Tabel 4.3 dan Tabel 4.4, ternyata penggunaan pendekatan metoda Succesive Bisection memerlukan paling banyak iterasi perulangan diikuti oleh metoda Secant, dan kemudian metoda Newton Metoda Fixed Point Iteration Proses pencarian akar-akar fungsi persamaan dengan pendekatan metoda Fixed Point Iteration dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika diketahui sebuah fungsi persamaan F(X) = 0 yang merupakan persamaan suku banyak yang ingin dicari akar-akar persamaannya, maka fungsi persamaan tersebut harus diubah bentuknya menjadi sebagai berikut : X = G(X) Selanjutnya dengan menggunakan data masukan X1 sebagai harga pendekatan awal pada akar-akar persamaan dan menetapkan cacah iterasi perulangan yang wajar (misal 20 kali), maka harga akar-akar persamaan yang sebenarnya dapat dihitung dengan formula sebagai berikut : X[I + 1] = G(X[I]) Keterangan: I : cacah iterasi perulangan, yaitu 1, 2, 3,, 20 X[1] : harga awal yang ditetapkan Proses mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Fixed Point Iteration adalah ditunjukkan pada Gambar 4.10.
26 26 Y Y=X Y=G(X) XR.. X3 X2 X1 X Gambar 4.10: Mencari akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Fixed Point Iteration Untuk menentukan apakah harga akar-akar persamaan telah ditemukan atau belum, maka dipergunakan suatu kriteria untuk mengeceknya. Akar-akar persamaan telah ditemukan atau konvergensi telah tercapai jika memenuhi kriteria sebagai berikut : X[ I + 1] X[ I] X[ I + 1] < ε prasyaratan konvergensi adalah jika : G (X) < 1 Pada beberapa fungsi persamaan bisa terjadi kemungkinan bahwa harga pendekatan akar-akar persamaan hasil perhitungan pada itearsi-iterasi selanjutnya justru semakin menjauh dari harga penyelesaian yang dicari, dan pendekatan dengan metoda Fixed Point Iteration tidak dapat diterapkan untuk menyelesaikan fungsi seperti ini. Hal ini berarti bahwa pendekatan metoda Fixed Point Iteration tidak dapat diterapkan untuk semua fungsi persamaan. Ciri khas fungsi persamaan yang akan mengalami kegagalan konvergensi dan tidak akan ditemukan penyelesaian apabila menggunakan pendekatan metoda Fixed Point Iteration adalah jika : G (X) >= 1
27 27 Fungsi persamaan tersebut, jika digambarkan dalam diagram adalah seperti ditunjukkan pada Gambar Dalam gambar tersebut, X1 berfungsi sebagai harga awal pendekatan yang ditetapkan. Harga-harga pendekatan pada iterasi perulangan berikutnya adalah X2, X3, dan X4. Dalam gambar tersebut terlihat dengan jelas bahwa harga X2, X3, dan X4 justru semakin menjauh dari harga penyelesaian yang dicari yaitu XR. Sampai berapapun akan dilakukan proses iterasi perulangan, harga akar-akar fungsi persamaannya tidak akan ditemukan, bahkan akan semakin menjauh. Y Y=G(X) Y=X XR X1 X2 X3 X4 X Gambar 4.11: Kegagalan konvergensi pada metoda Fixed Point Iteration Dengan asumsi bahwa bentuk persamaan fungsi suku banyak telah dirubah bentuknya menjadi X=G(X), maka Gambar 4.12 adalah menunjukkan flowchart prosedur penyelesaiannya. Sedangkan solusi dalam bentuk algorima untuk mencari akar-akar fungsi persamaan dengan pendekatan metoda Fixed Point Iteration sebagaimana dijelaskan di atas, dapat dituliskan sebagai berikut ini : Masukkan X[1] sebagai harga awal pendekatan Masukkan ε sebagai batas ketelitian 1. Mulai 2. Proses berulang langkah-3 s/d langkah-4 FOR I = 1 TO Hitung harga pendekatan baru
28 28 X[I+1] = G(X[I]) 4. Cek konvergensi IF ABS(((X[I+1] - X[I]) / x[i+1]) < ε Jika y, akar ketemu dan cetak hasil, (X[I+1]) Lanjutkan ke langkah-6 5. Cetak pesan ( Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi ) 6. Selesai Mulai Baca X1,G(X[I]) FOR I = 1 TO 20 X[I+1] = G(X[I]) TIDAK ((X[I+1] X[I]) / x[i+1] < ε YA NEXT I X[I+1] = G(X[I]) CETAK Akar-akar persamaan tidak ditemukan dalam 20 iterasi Selesai Gambar 4.12 : Flowchart menghitung akar-akar persamaan suku banyak dengan pendekatan metoda Fixed Point Iteration
29 Perbandingan Antar Metoda Seperti telah disebutkan di atas, bahwa secara relaif masing-masing metoda untuk mencari akar-akar persamaan suku banyak dapat saling dibandingkan. Tentu saja, masing-masing mempunyai keunggulan dan kelemahan yang perlu dipertimbangkan untuk menerapkannya. Secara ringkas, Tabel 4.5 adalah menampilkan keunggulan dan kelemahan secara relatif dan karakteristik setiap metoda ditinjau dalam penggunaannya secara umum. Ringkasan informasi dalam tabel tersebut diharapkan dapat membantu dalam menentukan metoda yang paling tepat untuk diterapkan dalam aplikasi yang akan dikembangkan. Namun demikian, terlepas dari informasi dalam tabel tersebut, faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi dan menentukan dalam pemilihan sebuah metoda adalah faktor subyektif seorang pemrogram. Tingkat kemampuan, pengetahuan, kebiasaan penggunaan, kecakapan tentang fungsi, atau bahkan fanatisme terhadap metoda tertentu mungkin justru akan mampu mengungguli faktor obyektif lain, sehingga enggan menggunakan metoda yang lebih baik. Sebagai pemrogram yang baik, kita tentu saja dituntut untuk berbuat paling baik, bukan sekedar mengembangkan program tanpa mempertimbangkan kelebihan dan kelemahannya.
30 30 Tabel 4.5 : Perbandingan antar metoda untuk perhitungan akar-akar persamaan suku banyak Karakteristik Newton Secant Succesive Bisection Fixed Point Iteration Masukan X[1] dan ε X[1], X[2], X[1], X[2], X[1] dan ε awal dan ε dan ε Fungsi Perlu Tidak perlu Tidak perlu Tidak perlu derivatif Keamaan Mudah terjadi Mudah terjadi Paling aman Cukup aman dalam perhitungan error error Efisiensi Paling Lebih efisien Cukup efisien Cukup efisien proses efisiens Konvergensi Paling cepat Cepat Lambat Lambat Kemudahan Lebih mudah Mudah Paling mudah Mudah penggunaan Penggunaan dalam aplikasi Baik digunakan jika mempunyai pengetahuan yang baik tentang fungsi derivatif & mampu menentukan harga awal yang baik Baik digunakan jika paham tentang fungsi tetapi tidak paham tentang derivatif Baik digunakan jika tidak begitu yakin dengan perilaku fungsi Baik digunakan jika pengubahan persamaan fungsi dapat dilakukan dengan cukup mudah
Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : a + b + c = 0 Solusi : 1 = b ± b 4 ac a Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari.
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
Lebih terperinciBAB X MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
1 BAB X MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Pembahasan berikut ini akan meninjau salah satu implementasi operasi matrik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier simultan. Selain menggunakan
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciBAB V HITUNG INTEGRAL
V HITUNG INTEGRL Perhitungan integral merupakan teknik matematis standar yang penting untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup yang bentuknya tidak tertentu. Daerah terasir pada Gambar
Lebih terperinciBAB XI METODA COBA-SALAH (TRIAL-ERROR)
1 BAB XI METODA COBA-SALAH (TRIAL-ERROR) Metoda coba-salah atau trial-error merupakan salah satu metoda yang penting dan berdaya guna dalam perhitungan-perhitungan yang sangat sulit jika diselesaikan dengan
Lebih terperinciPersamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II
BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c
Lebih terperinciBAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR
BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR METODE GRAFIK DAN TABULASI A. Tujuan a. Memahami Metode Grafik dan Tabulasi b. Mampu Menentukan nilai akar persamaan dengan Metode Grafik dan Tabulasi c. Mampu membuat
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciBAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah
Lebih terperinciMenyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
Lebih terperincioleh : Edhy Suta tanta
ALGORITMA TEKNIK PENYELESAIAN PERMASALAHAN UNTUK KOMPUTASI oleh : Edhy Sutanta i KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat dan karunia-nya sehingga buku
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciPOKOK BAHASAN. Matematika Lanjut 2 Sistem Informasi
Matematika Lanjut 2 Sistem Informasi POKOK BAHASAN Pendahuluan Metode Numerik Solusi Persamaan Non Linier o Metode Bisection o Metode False Position o Metode Newton Raphson o Metode Secant o Metode Fixed
Lebih terperinciPertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental
Pertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental Daftar Isi: 1.1 Tujuan Perkuliahan 1. Pendahuluan 1.3 Metoda Bisection 1.3.1 Definisi 1.3. Komputasi mencari akar 1.3.3 Ilustrasi 1.4 Metoda Newton-Raphson
Lebih terperinciBAB XIII MENGECEK KESAMAAN DUA VEKTOR
1 BAB XIII MENGECEK KESAMAAN DUA VEKTOR Dalam banyak kesempatan, seringkali kita memerlukan operasi untuk mengecek kesamaan di antara dua kelompok data. Dengan memanfaatkan ide dalam beberapa algoritma
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN PECAHAN
PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang September 27, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik September 27, 2013 1 / 12 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciy
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciFungsi kuadrat. Hafidh munawir
Fungsi kuadrat Hafidh munawir Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah: a + b + c = Dengan a,b,c R dan a serta adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien
Lebih terperinciPertemuan ke 4. Non-Linier Equation
Pertemuan ke 4 Non-Linier Equation Non-Linier Equation Persamaan Kuadrat Persamaan Kubik Metode Biseksi Metode Newton-Rapshon Metode Secant 1 Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan
Lebih terperinciBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau
Lebih terperinciBAB IV. Pencarian Akar Persamaan Tak Linier. FTI-Universitas Yarsi
BAB IV Pencarian Akar Persamaan Tak Linier i 1 Pendahuluan Salah satu masalah dalam matematika & teknik Akar dari f() adalah sehingga f() = 0. Secara geometris, ajar dari f() adalah nilai sehingga kurva
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam matematika ada beberapa persamaan yang dipelajari, diantaranya adalah persamaan polinomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER
PERSAMAAN NON LINIER Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan non linier 2. Mengerti metode biseksi dan regulafalsi 3. Mampu menggunakan metode biseksi dan regula falsi untuk mencari solusi PENGANTAR
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Akar Persamaan (1) Pertemuan ke - 3. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemuan ke - 3 Akar Persamaan (1) Metode Akar Persamaan Metode Grafik Metode Tabulasi Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi Metode Newton Rephson Metode Iterasi bentuk x = g(x)
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER. Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier. Sumarni Adi S1 Teknik Informatika STMIK AmikomYogyakarta 2014
PERSAMAAN NON LINIER Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier Sumarni Adi S1 Teknik Informatika STMIK AmikomYogyakarta 2014 Pengantar 1. Persamaan linier sudah kita kenal sejak SMP. Contoh kasus
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Akar Persamaan (2) Pertemuan ke - 4. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemuan ke - 4 Akar Persamaan (2) Metode Akar Persamaan Metode Grafik Metode Tabulasi Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi Metode Newton Rephson Metode Iterasi bentuk = g() Metode
Lebih terperinciUntuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :
RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan
Lebih terperinciBab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier
Bab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier 1 Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. 2 Persamaan Non Linier penentuan
Lebih terperinciPersamaan Non Linier
Persamaan Non Linier Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. Persamaan Non Linier penentuan akar-akar persamaan
Lebih terperinciPersamaan Non Linier
Persamaan Non Linier MK: METODE NUMERIK Oleh: Dr. I GL Bagus Eratodi FTI Undiknas University Denpasar Persamaan Non Linier Metode Tabulasi Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciBAB II PROSES REKURSI DAN ITERASI
1 BAB II PROSES REKURSI DAN ITERASI 2.1. Konsep Rekursi dan Iterasi Proses rekursi merupakan suatu fenomena yang menarik dalam pemrograman komputer. Rekursi adalah suatu proses perulangan untuk menyelesaikan
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang December 2, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik December 2, 2013 1 / 18 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciITERASI 1 TITIK SEDERHANA METODE NEWTON RAPHSON
ITERASI TITIK SEDERHANA METODE NEWTON RAPHSON Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh : g(. dikenal juga sebagai metode g( Bentuk iterasi satu
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode pengurung (Bracketing Method) Metode Konvergen Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar
Lebih terperinciStudi Pencarian Akar Solusi Persamaan Nirlanjar Dengan Menggunakan Metode Brent
Studi Pencarian Akar Solusi Persamaan Nirlanjar Dengan Menggunakan Metode Brent Tommy Gunardi / 13507109 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciPengantar Metode Numerik
Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan
Lebih terperinciAkar-Akar Persamaan. Definisi akar :
Akar-Akar Persamaan Definisi akar : Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x) X 1
Lebih terperinciBAB II. indonesia yang berarti kuasa (bisa, sanggup, melakukan sesuatu, dapat, berada, kaya, mempunyai harta berlebihan). Menurut Akhmat Sudrajat
7 BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Kemampuan Kemampuan berasal dari kata mampu yang dalam kamus besar bahasa indonesia yang berarti kuasa (bisa, sanggup, melakukan sesuatu, dapat, berada, kaya, mempunyai harta
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciBAB VII PENCARIAN DATA (SEARCHING)
1 BAB VII PENCARIAN DATA (SEARCHING) Seperti halnya dengan pengurutan data, pencarian data (searching) merupakan operasi yang penting dalam pengolahan data. Bahkan, tidak jarang keduanya digunakan secara
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. KULIAH KE-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1
METODE NUMERIK TKM4104. KULIAH KE-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode pengurung (Bracketing Method) Metode Konvergen
Lebih terperinciLangkah Penyelesaian Example 1) Tentukan nilai awal x 0 2) Hitung f(x 0 ) kemudian cek konvergensi f(x 0 ) 3) Tentukan fungsi f (x), kemudian hitung f
METODE NEWTON RAPHSON (1) METODE NEWTON RAPHSON Solusi Persamaan Non Linier Oleh : Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinci2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat
Lebih terperinciStudi Kasus Penyelesaian Pers.Non Linier. Studi Kasus Non Linier 1
Studi Kasus Penyelesaian Pers.Non Linier Studi Kasus Non Linier 1 Contoh Kasus Penyelesaian persamaan non linier terkadang muncul sebagai permasalahan yang terpisah, tetapi terkadang pula muncul sebagai
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..
Lebih terperinciBAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0. a < 0 0 x 0 x
BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax 2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi dituliskan sebagai f(x) = ax 2 + bx + c. Sifat matematis dari persamaan kuadrat
Lebih terperinciMUHAMMAD BURHANUDDIN. Teknik Industri Universitas Borobudur (NIM # )
SOAL #1: ALOGARITMA MENENTUKAN BILANGAN PRIMA ATAU BUKAN 1. Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri 2. Untuk pengecekan kita
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Nama Siswa LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK : Kelas : KOMPETENSI DASAR: 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta
Lebih terperinciMetode Numerik. Persamaan Non Linier
Metode Numerik Persamaan Non Linier Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. Persamaan Non Linier penentuan akar-akar
Lebih terperinciBAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di
BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di SMA/MA Kecamatan Anjir Muara Berdasarkan BAB III telah diuraikan bahwa penelitian ini bertujuan
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciF U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI
F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Lebih terperinciPersamaan Non Linier 1
Persamaan Non Linier 1 Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. 2 Persamaan Non Linier Penentuan akar-akar persamaan
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 17 Maret 2010
Bagi Solusi Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 17 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) 17 Maret 2010 1 / 20 Rumusan Masalah Bagi Tentukan solusi dengan f fungsi nonlinear.
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/2 Alokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian
Lebih terperinciA. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciatau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Mohamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar
Lebih terperinciFungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciROOTS OF NON LINIER EQUATIONS
ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS Metode Bagi dua (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Metode Grafik Iterasi Titik-Tetap (Fi Point Iteration) Metode
Lebih terperinciBuat program untuk menghitung volume dari sebuah kubus
Soal 1: Volume Kubus Buat program untuk menghitung volume dari sebuah kubus Penjelasan: Dalam menulis sebuah program ada beberapa langkah yang harus dilakukan, yaitu: 1. Tentukan apa yang akan dicari atau
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinci2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
Lebih terperinciModul Dasar dasar C. 1. Struktur Program di C++
Modul Dasar dasar C I 1. Struktur Program di C++ Dalam bahasa pemrograman C++ strukturnya adalah sebagai berikut: a. Header. Ex: #include b. Main adalah isi dari program diawali {. dan diakhiri
Lebih terperinciBAB III EKSPERIMEN AWAL
BAB III EKSPERIMEN AWAL Bab ini mendiskusikan mengenai eksperimen awal yang dilakukan dalam penelitian ini. Eksperimen dilakukan untuk mengeksplorasi kapabilitas T2 Framework sebagai sebuah verification
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. . rumus 1. Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu : : persamaan kuadrat murni
A. Persamaan Kuadrat PERSAMAAN KUARAT Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan. Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam adalah : a + b + c 0.
Lebih terperinciMenemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear
Menemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear Muhtadin, ST. MT. Agenda Metode Tertutup Biseksi Regula Falsi Metode Terbuka Newton Method 3 Solusi untuk Persamaan Non Linear Akar-akar dari persamaan (y = f())
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciPenyelesaian Secara Numerik? Penyelesaian Secara Numerik Selesaikanlah persamaan nonlinier f(x) = x x -8 Solve : Misal f(x) = 0 x x 8 = 0 (x 4)(x + )
Fungsi Polinomial METODE BISEKSI Solusi Persamaan Non Linier Universitas Budi Luhur Bentuk Umum : f (x) = a + = a + 0 1 3 n 0x + a1x + a x + a 3x +... a nx 3 n 0 + a1x + ax + a3x +... anx Dengan n = derajat
Lebih terperinciPERTEMUAN 6-7 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI
PERTEMUAN 6-7 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI LIMIT Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS FUNGSI LINIER
MODUL MATEMATIKA BISNIS 2 FUNGSI LINIER Definisi Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut, atau dengan kata lain
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Jenis-jenis soal persamaan kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :. Menentukan akar-akar. Jenis-jenis akar 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar 4. Tanda-tanda
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciMETODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN. Eka Maulana Dept. of Electrcal Engineering University of Brawijaya
METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN Eka Maulana Dept. of Electrcal Engineering University of Brawijaya Pendekatan Pencarian Akar-akar Persamaan Metode Pencarian Akar Persamaan > Metode Pengurung - metode
Lebih terperinci