TEOREMA INTERPOLASI UNTUK LOGIKA PREDIKAT NON-KOMUTATIF FL DAN FL w

Transkripsi

1 TEOREMA INTERPOLASI UNTUK LOGIKA PREDIKAT NON-KOMUTATIF FL DAN FL w Bayu Surarso Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto S.H Semarang 5075 Abstract. In 96 Maehara introduced a proof-theoretical method to prove the interpolation theorem for standard logics. By developing Maehara s method we can prove interpolation theorem for some non-standard logics including the commutative predicate logics Fl e dan Fl ew. In the present paper we show that by modifying Maehara s method we can also prove the interpolation theorem for non-commutative predicate logics FL and FL w. Keywords: Interpolation Theorem Maehara s Method FL.. PENDAHULUAN Pembahasan masalah interpolasi melalui pendekatan sintaktik dipelopori salah satunya oleh Maehara pada 5 pada tulisan tersebut dengan memanfaatkan teorema eliminasi cut teorema interpolasi dibuktikan berlaku pada logika intuisionistik. Metode yang digunakannya pada pembuktian teorema interpolasi tersebut kemudian dikenal sabagai metode Maehara. Dengan melakukan beberapa modifikasi terhadap metoda Maehara penulis telah membuktikan teorema interpolasi untuk beberapa logika implikasional dan proposisional antara lain teorema interpolasi untuk logika relevan positip R+ teorema interpolasi untuk beberapa perluasan dari logika implikasi BB I dan untuk logika proposisi L DBCC dan L DBCK (Lihat dan. Pada 4 penulis dan Marti Lestari mengembangkan metode Maehara untuk membuktikan teorema interpolasi pada logika predikat komutatif Fl e Fl ec dan Fl ew. Dipihak lain metode Maehara tidak dapat untuk membuktikan teorema interpolasi pada logika predikat nonkomutatif seperti Fl dan Fl w hal ini disebabkan karena tidak adanya aturan exchange pada logika tersebut. Pada tulisan ini ditunjukkan bahwa kegagalan metoda Maehara tersebut dapat diatasi dengan memodifikasi konsep partisi padanya.. TEOREMA INTERPOLASI Untuk selanjutnya notasi simbol dan konsep yang digunakan pada tulisan ini merujuk pada 4. Logika predikat FL dan Fl w didefinisikan berturut-turut sebagai logika yang diperoleh dari logika predikat komutatif Fl e dan Fl ew dengan menghilangkan aturan exchange. Teorema interpolasi menyatakan suatu sifat sebagai berikut: Misalkan formula A B terbukti maka ada suatu formula C disebut interpolant :. A C dan C B. V ( C V ( A V ( B. Untuk membuktikan bahwa teorema tersebut berlaku untuk logika predikat komutatif Fl e Fl ec dan Fl ew. pada 4 metode Maehara dikembangkan sebagai berikut: Pertama didefinisikan partisi dari suatu barisan formula sebagai berikut: Definisi. Misalkan adalah barisan dari beberapa formula yang terdapat dalam dan misalkan adalah barisan dari semua formula yang terdapat dalam kecuali yang terdapat dalam. Maka ( adalah suatu partisi dari. 5

2 Jurnal Matematika Vol. No. April 008:5- Kemudian teorema interpolasi dibuktikan dengan membuktikan sifat yang lebih umum sebagai berikut: Teorema. Misalkan suatu sequent yang terbukti dan misalkan ( sembarang partisi dari. Maka ada formula C disebut interpolant dari :. dan C keduanya terbukti. V ( C V ( V ( V ( D dimana ekspresi V ( menyatakan himpunan variabel proposisional yang terdapat dalam. Pernyataan ini dibuktikan dengan menggunakan induksi pada banyaknya kemunculan aturan inferensi k yang muncul dalam bukti P tanpa cut dari. Sebagai contoh pada kasus k 0 dan aturan inferensi terakhir adalah (. Pada kasus ini bagian bawah dari bukti P dari sequent berbentuk: A A kasus ini dibagi menjadi subkasus yaitu a. Partisi dari A berbentuk A dengan = = dan =. atas A berdasarkan induksi a. dan C a. V ( C V ( V ( V ( A. merupakan bukti dari sequent kanan atas berdasarkan induksi b. dan C b. V ( C V ( V ( V ( D Dari a. dan b. sequent C A dan Dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dilanjutkan dengan beberapa aplikasi aturan exchange dan sebuah ( dapat diperoleh bukti dari sequent A C. Sedangkan dari terbuktinya dan C dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dilanjutkan dengan beberapa aplikasi aturan exchange dapat diperoleh bukti dari C C. Dari a. dan b. dengan sifat komutatif dari operasi dapat diperoleh sifat V( C C V( A V( V ( D Sehingga pada subkasus ini C = C C merupakan interpolant dari. b. Partisi dari A berbentuk ( A dimana = = dan =. atas A berdasarkan induksi a. C dan C a. V ( C V ( V ( V ( A. merupakan bukti dari sequent kanan atas berdasarkan induksi b. dan C b. V ( C V ( V ( V ( D Dari a. dan b. sequent dan terbukti maka dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dilanjutkan dengan beberapa aplikasi aturan exchange dapat diperoleh bukti dari sequent C. Sedangkan dari 6

3 Bayu Surarso (Teorema Interpolasi untuk Logika Predikat Non-Komutatif Fl dan Fl w terbuktinya sequent C A dan C dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dilanjutkan dengan beberapa aplikasi aturan exchange dan sebuah aplikasi ( dapat diperoleh bukti dari sequent C C A. Dari a. dan b. diperoleh sifat V( C C V( A V( V( D Sehingga pada subkasus ini C = C C merupakan interpolant dari. Dengan terbuktinya Teorema maka teorema interpolasi hanyalah sebagai akibat langsung saja yaitu dengan memilih sebagai barisan formula dengan satu anggota saja = dan sebagai barisan kosong.. BUKTI TEOREMA INTERPOLASI PADA FL dan FL w Pada logika predikat non-komutatif FL dan FL w pengembangan metoda Maehara seperti pada 4 tidak bisa diterapkan tidak adanya aturan exchange akan menimbulkan kesulitan dalam membuktikan berlakunya teorema interpolasi terutama pada kasus k 0 dan aturan inferensi terakhir adalah (. Untuk mengatasi kesulitan tersebut pertama konsep partisi perlu diubah sebagai berikut: Definisi. Misalkan =A A...A n. Misalkan pula = A A...A l = A l+ A l+...a m dan = A m+ A m+...a n dengan 0 l m n maka ( adalah suatu partisi* dari. Contoh: ( A C A D C ( B A C D A C dan adalah partisi* dari = A A C D C sedangkan ( C A A D C dan ( B D A A C C bukanlah suatu partisi dari. Selanjutnya teorema interpolasi pada logika predikat FL dan Fl w dibuktikan dengan membuktikan sifat berikut: Teorema 4. Misalkan suatu sequent yang terbukti dan misalkan ( sembarang partisi* dari. Maka ada formula C disebut interpolant dari :. dan C keduanya terbukti. V ( C V ( V ( V ( D. Perhatikan bahwa sifat tersebut adalah suatu modifikasi dari Teorema. Seperti pada 4 sifat ini dibuktikan dengan menggunakan induksi pada banyaknya kemunculan aturan inferensi k yang muncul dalam bukti P tanpa cut dari. Pada tulisan ini ditunjukkan bagaimana kesulitan pada kasus k 0 dan aturan inferensi terakhir adalah ( dapat diatasi dan selanjutnya ditunjukkan pula bagaimana penyelesaian kasus k 0 dan adalah sequent bawah dari aturan-aturan quantifiers. (. Pada kasus ini bagian bawah dari bukti P dari sequent berbentuk: A A kasus ini dibagi menjadi 6 subkasus yaitu a. Partisi* dari A berbentuk ( A dengan = dan = atas A berdasarkan induksi a. dan C a. V( C V( V( V( A. merupakan bukti dari sequent kanan atas berdasarkan induksi b. B dan C 7

4 Jurnal Matematika Vol. No. April 008:5- b. V( C V( B V( V( D Dari a. dan b. sequent C A dan B terbukti maka dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dilanjutkan dengan satu aplikasi ( dapat diperoleh bukti dari C sebagai berikut A C A B A C ( A C sedangkan dari terbuktinya dan C dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dapat diperoleh bukti dari sequent C C sebagai berikut C C C C Dari a. dan b. dapat diperoleh sifat V C C V A V V D ( ( ( ( Sehingga pada subkasus ini C = C C merupakan interpolant dari. b. Partisi* dari A berbentuk ( A dengan = dan = yang merupakan bukti dari sequent kanan atas berdasarkan induksi. dan C V C V V V D. ( ( ( ( Dengan menggunakan aplikasi ( pada A dan dapat diperoleh bukti dari sequent A sebagai berikut Τ A A Dari dapat diperoleh sifat V( C V( A V( V( D interpolant dari. c. Partisi* dari A berbentuk ( A dengan = dan = atas berdasarkan induksi a. dan C a. V ( C V( V( V( A. merupakan bukti dari sequent kanan atas berdasarkan induksi b. dan C V C V V B V D b. ( ( ( ( Dari a. dan b. dan terbukti maka dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dapat diperoleh bukti dari C sebagai berikut ( C sedangkan dari terbuktinya sequent C A dan C dengan menggunakan aplikasi ( pada kedua sequent tersebut dilanjutkan dengan aplikasi ( dapat diperoleh bukti dari A C C sebagai berikut 8

5 Bayu Surarso (Teorema Interpolasi untuk Logika Predikat Non-Komutatif Fl dan Fl w C A C A C C A C C ( Dari a. dan b. dapat diperoleh sifat V C C V V A V D ( ( ( ( Sehingga pada subkasus ini C = C C merupakan interpolant dari. d. Partisi* dari A berbentuk ( A dengan = yang merupakan bukti dari sequent kanan atas berdasarkan induksi. dan C D. V( C V( V( V( D Dengan menggunakan aplikasi ( pada sequent A dan C dapat diperoleh bukti dari sequent C A sebagai berikut Τ A C C A Dari dapat diperoleh sifat V( C V( V( A V( D interpolant dari. e. Partisi* dari A berbentuk ( A dengan = Interpolant dari pada subkasus ini dengan cara pada subkasus d. f. Partisi* dari A berbentuk ( A dengan = Interpolant dari pada subkasus ini dengan cara pada subkasus d. (. Pada kasus ini bukti P dari sequent berbentuk: A( t ( ( za z Perhatikan bagian dari P yang merupakan bukti dari sequent atas dari aturan inferensi ( tersebut yaitu A( t. Dengan induksi :. V C V dan C A( t keduanya. ( ( V ( V ( A( t Dari. sequent C za( z dapat dibuktikan seperti berikut C A( t C za z. ( ( Sedangkan V ( A( t V ( za( z maka dari. dapat diperoleh sifat V ( C V ( V ( V ( za( z Jadi pada kasus ini C merupakan interpolant dari. (. Pada kasus ini bukti P dari sequent berbentuk: A( x ( za( z Kasus ini dibagi menjadi kasus a. Partisi dari ( z ( za ( z za berbentuk Perhatikan bagian dari P yang merupakan bukti dari sequent atas aturan inferensi ( tersebut yaitu A( x. Menurut induksi :. A( x dan C 9

6 Jurnal Matematika Vol. No. April 008:5-. V( C V( A( x V( V( D Dari. za( z berikut terbukti seperti A( x ( za( z kemudian karena V ( A( x V ( za( z maka dari. dapat diperoleh sifat berikut: V( C V( zaz V( V( D. interpolant dari. b. Partisi dari ( z ( za ( z za berbentuk Perhatikan bagian dari P yang merupakan bukti dari sequent atas aturan inferensi ( tersebut yaitu A( x menurut induksi :. dan C A( x V C V V A x V D. ( ( ( ( ( Dari. C za( z dapat dibuktikan seperti berikut C A( x ( C za( z kemudian karena V ( A( x V ( za( z maka dapat diperoleh sifat berikut: V( C V( V( za( z V( D. interpolant dari. c. Partisi dari ( z ( za ( z za berbentuk Pada subkasus ini interpolant dari dengan cara pada subkasus b. yaitu partisi dari za ( z berbentuk za z ( (. ( Interpolant dari pada subkasus ini dengan cara pada kasus k 0 dan inferensi. terakhir adalah (. ( Interpolant dari pada subkasus ini dengan cara pada kasus k 0 dan inferensi. terakhir adalah ( Dengan terbuktinya Teorema 4 maka teorema interpolasi pada Fl dan Fl w hanyalah sebagai akibat langsung saja yaitu dengan memilih sebagai barisan formula dengan satu anggota saja = dan sebagai barisan kosong. Akibat 5. Teorema interpolasi berlaku pada logika predikat komutatif Fl dan Fl w. 4. PENUTUP Dari pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa teorema interpolasi berlaku pada logika predikat non-komutatif FL dan FL w salah satu metode pembuktiannya adalah dengan memodifikasi konsep partisi pada metoda Maehara. Pada tulisan ini logika-logika yang dibahas tidak memuat konstanta. Analisisa sintaktik dari logika yang memuat konstanta tersebut dalam banyak hal membutuhkan aturan weakening. Untuk selanjutnya perlu diteliti apakah metode Maehara bisa dimodifikasi untuk membuktikan bahwa teorema interpolasi berlaku juga untuk logika predikat yang memuat konstanta tetapi tak memuat aturan weakening. 5. DAFTAR PUSTAKA Bayu Surarso Teorema interpolasi untuk logika relevan positip R+ Jurnal sains & matematika (999 Volume 7 Nomor hal.-6. Bayu Surarso Interpolation theorem for L DBCC and L DBCK Jurnal 0

7 Bayu Surarso (Teorema Interpolasi untuk Logika Predikat Non-Komutatif Fl dan Fl w Matematika dan Komputer (000 Volume Nomor hal Bayu Surarso Interpolation theorem for Noncommutative standard Extensions of logic BB I Jurnal Matematika dan Komputer (004 Volume 7 Nomor hal Bayu Surarso dan Marti Lestari Teorema interpolasi untuk logikalogika predikat komutatif manuskrip segera diterbitkan pada Jurnal sains & matematika (008 Volume 6 Nomor 4. 5 Maehara S. Craig no interpolation theorem (dalam bahasa Jepang Suugaku (960/96 Volume hal. 5-7.