CATATAN KULIAH #8 Optimasi Dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya. Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.

Transkripsi

1 CATATAN KUIAH #8 Optimasi Denan Kendala Persamaan dan Aplikasinya Sumber: Alpha C. Chian, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch Pendahuluan Sejauh ini, proses optimasi dilakukan tanpa menunakan kendala. Padahal, serinkali persoalan optimasi dihadapkan pada kendalakendala tertentu Sebaai contoh, persoalan dasar dalam teori konsumen adalah baaimana menentukan tinkat konsumsi yan memberikan kepuasan optimal denan tinkat pendapatan tertentu. 6. Metode Penali arane Metode penali larane adalah sebuah teknik dalam menyelesaikan optimasi denan kendala persamaan. Inti dari metode penali-arane adalah menubah persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala. Selanjutnya, funsi yan terbentuk dari transformasi tersebut dinamakan funsi arane. Misalkan permasalahan yan dihadapi adalah memaksimalkan F = f ( x, y) denan kendala ( x, y) = c. Maka, funsi arane-nya adalah = f x, y + λ c x, y ( ) ( ( )) dimana λ adalah penali arane Kondisi optimal diperoleh melalui FONC, yaitu: = = 0 x = y λ Untuk kasus n-variabel, Jika funsi objektifnya mempunyai bentuk z = f ( x1, x,..., x n ) denan kendala ( x1, x,..., xn ) = c, maka funsi arane ditulis denan = f x x,..., x + λ c x, x,..., ( ) ( ( )) 1, n 1 x n

2 Contoh soal: Diketahui sebuah funsi y = f ( x, y) = x1x + x1. Berapakah nilai x1 dan x yan dapat memaksimalkan y jika diketahui bahwa kendala yan dihadapi adalah c = 60 4x1 x = 0?

3 6.3 Intepretasi dari Penali arane ( λ ) λ adalah ukuran sensitivitas dari terhadap perubahan dari kendala c. λ, x dan y bersifat endoen, dan c bersifat eksoen Dari funsi arane yan didefinisikan sebelumnya, diperoleh bahwa d = λ dc Denan kata lain, λ dapat diintrepetasikan sebaai ukuran penaruh suatu perubahan di dalam kendala melalui parameter c terhadap perubahan nilai optimal dari funsi objektifnya 6.4 Uji Syarat Orde Dua (SOSC) Seperti halnya pada optimasi tanpa kendala, optimasi berkendala persamaan membutuhkan uji syarat orde dua untuk menentukan apakah titik ekstrim yan ditemukan merupakan titik maksimum atau minimum Uji SOSC ini menunakan matriks Hessian terbatas (Bordered Hessian Matrix) Jika diketahui funsi tujuan F = f ( x, y) denan kendala ( x, y) = c, maka matriks Hessian terbatasnya dituliskan denan 0 x y H = x xx xy y yx yy dimana: x y = turunan pertama kendala terhadap x = turunan pertama kendala terhadap y xx = turunan x terhadap x xy = turunan x terhadap y yx = turunan y terhadap x yy = turunan y terhadap y Bila H > 0 maka funsi tersebut mempunyai titik maksimum relatif. Sebaliknya, bila H < 0 maka funsi tersebut mempunyai titik minimum relatif. Untuk kasus n-variabel, Matriks Hessian Terbatas-nya adalah

4 H 0 1 = M n M n1 M 1 n M n 1n n nn Selanjutnya, uji Hessian Terbatasnya yakni: z adalah maksimum relatif jika H ; H < 0;...; ( 1) n H 0 > 0 3 n > z adalah minimum relatif jika H H,..., 0, 3 H n < Contoh soal: Denan menunakan contoh kasus sebelumnya, ujilah syarat SOSC-nya!

5 6.5 Penerapan Metode arane dalam Ekonomi Teori konsumen: memaksimalkan utilitas denan kendala pendapatan. Contoh: Misalkan seoran konsumen dihadapkan pada funsi himpunan 1/ 3 / 3 yan berbentuk u: u ( x 1, x ) = 10 x 1.x. Funsi kepuasan ini dibentuk sebaai akibat konsumen tersebut menhadapi dua baran yaitu x 1 dan x yan menjadi pilihan konsumsinya. Diketahui hara baran x 1 dan x masin-masin adalah 4 dan 6 sementara pendapatan yan dimiliki konsumen tersebut hanya sebesar 7. Carilah jumlah konsumsi baran x 1 dan x yan harus dipilih konsumen tersebut aar kepuasanna maksimum! Perlihatkan bahwa SOSC terpenuhi.

6 Teori produsen: meminimalkan biaya denan kendala sejumlah baran yan dipenuhi. Contoh: Misalkan seoran produsen memunyai funsi biaya total yaitu : c = f ( x, y) = 45x + 90xy + 90y, disampin itu produsen tersebut harus memenuhi kuota produksi baran x dan y yan setara denan x+3y = 60. Tentukanlah jumlah baran x dan y yan harus diproduksi denan tujuan meminimumkan biaya!

7 Contoh soal 1. Diketahui funsi utilitas U = ( x + )( y + 1) Px = 4, Py = 6 dan B = 130. a. Tulislah funsi arane-nya b. Tentukan nilai optimal x dan y c. Apakah SOSC-nya terpenuhi?. Diketahui pula bahwa