ABSTRAK. Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 Derivatif Untuk Menyelesaikan Optimisasi Berkendala Dalam Bisnis Dan Ekonomi (Derivative for Solvin Constrained Optimization in Business and Economics) Nurul Yaqin, M.Sc. Dosen pada Jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika STMIK Bahrul Ulum, Jomban hhtp// ABSTRAK Matematika adalah merupakan alat bantu yan diperunakan oleh disiplin ilmu-ilmu lain aar dari pemecahan permasalahannya bisa diperoleh hasil secara kuantitatif. Problem optimum adalah merupakan salah satu jenis problem menarik yan akan menjadi objek bahasan kita dalam tulisan ini. Ide utama dalam penulisan ini menunjukkan betapa mudahnya Metode Substitusi dan Metode Penali Larane dalam menyelesaikan problem optimum yan berkendala. Dalam tulisan ini penulis akan menunjukkan sedikit tentan betapa mudah dan halusnya pemecahan masalah optimum secara matematis denan menunakan rumus-rumus derivative/diferensial untuk bisnis dan ekonomi. Denan contoh permasalahan yan mudah ini penulis berharap akan bisa memberikan ambaran umum kepada para praktisi bisnis dan ekonomi menenai betapa potensialnya konsep-kensep matematika bisa membantu mereka. Dan jua akan diketahui betapa pentinnya penyederhanaan suatu permasalahan denan menunakan pendekatan model matematikanya, sehina rumus-rumus matematika bisa membantu mereka dalam memecahkan masalah denan hasil yan baik atau optimal. Dan akhirnya akan tampak bahwa bisnis dan ekonomi semakin bersifat matematis. Kata kunci : Metode Substitusi, Metode Penali Larane Latar Belakan Masalah Dalam kehidupan, kita selalu diarahkan pada usaha pemecahan masalah secara efisien. Ini adalah dalam ranka mencari solusi terbaik untuk memecahkan masalah-masalah ekonomis dan bisnis. Hal ini perlu kita lakukan meninat terbatasnya sumber daya yan ada (berupa dana, waktu, tenaa dan sumber alam). Keterbatasan sumber daya inilah yan selalu menjadi kendala atau konstren dalam setiap kita menjalankan proses perhitunan untuk mencapai hasil yan optimal atau yan terbaik. Di sisi lain denan pesatnya perkembanan dunia matematik, banyak masalah-masalah ekonomi dan bisnis yan muncul yan bisa dipecahkan denan teori-teori atau rumus-rumus matematika, termasuk masalah untuk mencapai efisiensi denan berbaai kendalanya sebaaimana disebutkan di atas. Dalam matematika, permasalahan untuk mencapai efisiensi ini dikenal denan istilah Optimization Problem. Dan khusus untuk problem-problem optimisasi yan penuh denan kendalakendala kita sebut denan Constrained Optimization (Optimisasi Berkendala). 4

2 Optimisasi yan berkendala ini bisa diselesaikan denan menunakan teori-teori dan rumus-rumus derivatif yan ada dalam matematika. Sebaai contoh, masalah berkendala yan bisa dipecahkan denan rumus-rumus derivatif ialah: Sekelompok pelanan yan menhadapi funsi utilitas U = Q Q + Q denan Q (produk pertama) dan Q (produk kedua). Q + Q = adalah konstren yaitu budet pelanan yan harus diperhatikan dalam usaha untuk mencapai utilitas maksimum. Karena keterbatasan budet (yaitu: ) yan dimilikinya maka tidak munkin kelompok pelanan tersebut harus membeli produk pertama (hara: ) dan produk kedua (hara: ) secara tidak terbatas (seluruhnya) aar dicapai utilitas (kepuasan maksimum). Denan contoh di atas, bisa kita pahami bahwa, optimisasi yan berkendala adalah merupakan problema realistis yan akan selalu kita temui dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam proses produksi maupun dalam proses untuk menikmati hasilhasil produksi tersebut. Rumusan Masalah Denan masuknya kendala dalam problem optimisasi yan akan dibahas nanti, rumus-rumus derivatif untuk mencari nilai maksimum atau minimum dalam matematika perlu diadakan rekayasa aar kendala tersebut bisa masuk dalam perhitunan optimisasi. Sebelum diunakan rumus-rumus derivatif untuk menyelesaikannya, dan melihat kendalanya masih sederhana (hanya ada dua variable Q dan Q ), perlu jua diadakan perumusan kembali pada masalah tersebut bersama denan kendalanya denan menunakan metode-metode:. Metode substitusi. Metode penali larane Landasan Teori Untuk memperoleh hasil yan optimum, dalam perhitunan secara matematik perlu dipenuhi syarat-syarat sebaai berikut:. Syarat perlu, yaitu harus memenuhi derivatif order pertama.. Syarat cukup, yaitu harus memenuhi derivatif order kedua Rumus-rumus derivatif f(x) = ax n + bx + c contoh : f(x) = x + x + 6 f (x) = anx n- + b f(x) = 6x + f (x) =x y = ax n x + bx x + c contoh : y = f (x,x ) = x x + x x + 5 y = dy/dx = anx n- x + bx f = df/dx = 6x x + x y = dy/dx = ax n + bx f = df/dx = x + x f = d f/dx = x x f = d f/dx = f = f = d f/dx dx = d f/dx dx = 6x + 44

3 Syarat-syarat untuk ekstremum funsi = f(x,x,x,,x n ) Syarat maksimum minimum Order pertama Order kedua f = f = f = = f n = ; ;... ; atau d z definit neatif f =f = f = = f n = ; ; n atau d z definit positif Syarat-syarat untuk ekstremum berkendala : konstren (kendala) (x,x,,x n ) = c denan = f(x,x,,x n ) + (c (x,x,,x n ) = f(x,x,,x n ) yan memenuhi Syarat maksimum minimum Order pertama = = = = n = atau dz = terikat pada = c = = = = n = atau dz = terikat pada = c Order kedua ; ; 4,,..., n atau d z definit neatif, terikat pada d = atau d z definit positif, terikat pada d = Metode Substitusi Sebaaimana yan telah disebutkan di atas, untuk memecahkan problem opimum terutama yan sederhana, bisa dikerjakan denan metode subtsitusi. Bahasan kita mulai denan memperhatikan funsi utilitas U = Q Q + Q yan dihadapi oleh sekelompok pelanan denan menambahkan sebuah konstren anaran belanja (budet) yan dimiliki oleh pelanan tersebut. Jika pelanan menyediakan anaran sebesar untuk membeli kedua jenis baran Q dan Q, sementara hara yan berlaku untuk Q dan Q berturut-turut adalah dan maka persamaan linear untuk anaran tersebut ialah Q + Q =. Untuk mencari nilai optimal dari problem sederhana di atas kita masih bisa menunakan teknik-teknik sebaai berikut: U = Q Q + Q..() Q + Q = Q + Q = Q = Q.() Sekaran substitusikan persamaan () ke persamaan () sehina diperoleh U = Q ( Q ) + ( Q ) = Q 6Q + 6Q = 6Q + 4Q + 45

4 Dari U = 6Q + 4Q + dapat ditentukan derivatif order pertama U du/dq = Q + 4 Aar diperoleh U maksimum maka Syarat perlunya ialah du/dq = yaitu Q + 4 = Q = () Untuk mencari nilai Q substitusikan () ke persamaan () sebaai berikut Q = () = 6..(4) Selanjutnya substitusikan nilai-nilai () dan (4) ke persamaan () U = () (6) + (6) = 54 Jadi, denan nilai-nilai Q = dan Q = 6 diperoleh nilai optimal berkendala U = 54 Metode Penali Larane Cara lain yan bisa diperunakan untuk memecahkan problem optimum denan funsi kendala yan lebih kompleks ialah Metode Penali (tak tentu) Larane. Inti dari metode ini ialah menubah suatu bentuk funsi sedemikian rupa sehina syarat order pertama dari problem ekstrema bebas masih dapat diperunakan untuk menyelesaikan suatu problem ekstrema (optimisasi) berkendala. Untuk menetahui bahwa metode Penali Larane lebih umum dari pada tehnik atau metode penyelesaian di atas, ada baiknya jika metode ini kita perunakan untuk membahas atau menyelesaikan soal yan sama (seperti di atas). Sebaaimana telah diperlihatkan (dibahas) di atas, proses untuk memaksimalkan nilai U pada funsi utilitas U = Q Q + Q yan terikat pada konstren Q + Q = adalah merupakan sebuah problem optimisasi yan telah berhasil kita selesaikan denan menunakan tehnik atau metode yan relatif sederhana. Namun untuk menetahui dan membuktikan sifat umum metode Penali Larane, marilah problem tersebut di atas kita coba pemecahannya denan menunakan metode Penali Larane. Lankah awal yan perlu dilakukan ialah membentuk sebuah funsi larane yan merupakan sebuah versi modifikasi dari funsi objetif U (seperti di atas) yan diabunkan denan konstrennya dalam bentuk sebaai-berikut: Q Q Q Q Q (lamda) adalah lamban yan merupakan bilanan yan masih belum ditentukan, yan disebut sebaai penali (tak tentu) larane. Dalam hal ini, jika konstren tersebut dapat dipenuhi, berapapun besarnya nilai,maka suku terakhir pada persamaan di atas akan hilan sehina funsi U akan sama denan denan funsi. Denan demikian kita akan dapat melakukan optimisasi denan tanpa harus teranu lai oleh konstrennya. Namun yan menjadi permasalahan ialah baaimana caranya merekayasa funsi larane tersebut sehina konstrennya hilan dari persamaan funsi (disebabkan karena telah terpenuhi tuntutan kontrennya). Denan lain perkataan, kita 46

5 bisa menjalankan proses optimisasi bebas pada funsi U sebaai kompensasi atas optimisasi berkendala sehubunan denan telah terpenuhinya kendala (konstren) tersebut. Teknik untuk memperoleh hasil yan diharapkan adalah cukup denan menanap bahwa adalah sebaai suatu variable tambahan pada funsi, yaitu = z (,Q ). Denan demikian syarat order pertama (syarat perlu) untuk ekstrem bebas akan terdiri dari himpunan-himpunan persamaan simultan sebaai-berikut. dz d dz dq dz dq Q Q Q Q Jika persamaan (), () dan () diselesaikan secara simultan akan diperoleh nilai- nilai Q, Q 6 dan Nilai-nilai di atas diperoleh denan perhitunan sebaai berikut: Q Q... Q Q Sekaran subtitusikan (4) dan (5) pada () : 6 6 Q Q Q Q Subtitusikan (6) ke (4) : Q Subsitusikan (6) ke (5) : Q 6 6 Denan mensubstituskan nilai Q =, Q = 6 (dan ) pada persamaan maka akan diperoleh nilai persamaan funsi yan jua adalah nilai optimal funsi U = 54. Adapun perhitunannya sebaai berikut : Namun syarat cukup masih harus dipenuhi terlebih dahulu untuk menentukan apakah nilai-nilai Q dan Q yan diperoleh tersebut meman betul-betul merupakan nilai-nilai (output) yan memberikan nilai maksimum

6 Sebaaimana telah dilakukan sebelumnya, derifatif order kedua, dalam hal ini jua dapat dinyatakan dalam bentuk determinan, perlu ditentukan nilainya sebaai lankah untuk menentukan syarat cukup pada hasil proses optimisasi U = 54 di atas. Untuk funsi x, y c x y f, d z adalah definit positif jika definit neatif x y x xx yx berlaku ketentuan Dibaca determinan Hesse bertepi (Hesse bertepi) f(x,y) dan (x,y) = c berturut-turut adalah funsi objektif dan konstren. Akhirnya marilah sekaran kita menyelidiki apakah nila =54 (U = 54) yan diperoleh karena output Q = dan Q = 6 adalah betul-betul telah merupakan hasil yan optimal. Derivatif order kedua funsi ialah y xy yy = = ; dan dari Q + Q = = = diperoleh = dan = denan 6 6 Karena > maka 54 adalah meman betul-betul merupakan hasil yan optimal (maksimal) pada optimasi berkendala di atas. Tabel Analisis (lanjutan) No Q Q Q + Q = U Keteranan 6 (54) Optimal U = Q Q +Q Dari tabel di atas kita memperoleh informasi bahwa hasil yan optimal hanya dapat diperoleh melalui perhitunan-perhitunan yan sesuai denan rumusanrumusan yan berlaku pada optimisasi berkendala. 48

7 Kesimpulan Kita telah cukup menetahui bahwa matematika (dalam hal ini derivatif atau rumus-rumus diferensial) telah banyak membantu kita dalam memecahkan berbaai persoalan dalam bisnis dan ekonomi khususnya untuk memecahkan problem optimum. Namun perlu dipahami lebih jauh bahwa seala permasalahan yan berkaitan denan perhitunan optimisasi perlu terlebih dahulu diterjemahkan ke dalam bahasa matematika atau (denan istilah lain) dibuat model matematikanya aar rumus-rumus matematika dapat diperunakan untuk memecahkan masalah tersebut secara memuaskan. Khusus untuk pemecahan atau penyelesaian masalah optimisasi berkendala, bisa kita lakukan denan pendekatan dan modifikasi dari funsi matematisnya secara linear maupun non-linear, aar supaya rumus-rumus derivatif bisa diperunakan. Modifikasi funsi-funsi tersebut bisa dilakukan denan beberapa cara, antara lain:. Metode Substitusi. Metode Penali Larane Saran-Saran Permasalahan yan dirumuskan dan dibahas di atas hanyalah merupakan suatu kasus umum pada optimisasi berkendala, tapi denan kendala non-neatif. Adapun untuk permasalahan umum yan berkendala (yan telah diterjemahkan ke dalam bentuk funsi tujuan f(x) denan (x) sebaai funsi kendalanya), maka syarat perlu dan cukup yan harus dipenuhi ialah:. Syarat Perlu : Syarat Karush-Kuhn-Tucker (KKT) untuk optimisasi berkendala.. Syarat cukup : f(x) cekun i (x) cembun (i =,,..., m) Reference Hillier, Frederick S. and Lieberman. Gerald J. Introdution to Operations Research. Fifth Edition, translated by Gunawan, Jakarta: Penerbit Erlana, 4. Chian, Alpha C. Fundamental Mothods of Mathematical Economics. rd Edition, tranlated by Sudino, Jakarta: Penerbit Erlana, 8. Dumairy. Soal-Jawab Matematika Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Yoyakarta: BPFE, 8. 4