Transkripsi

1 Formulasi Lentur BAB ANALSS KASUS LENTUR DAN GESER PADA BALOK ELASTS Suatu elemen balok ikatakan alam konisi lentur murni, jika balok tersebut menerima beban ang berupa momen lentur secara konstan tanpa aana pengaruh gaa geser Teori ang ibahas alam bab ini itujukan untuk balok lurus ang menerima beban lentur murni, persamaan ang ihasilkan nantina cukup akurat igunakan meskipun terjai momen lentur ang besarna bervariasi i sepanjang bentangan balok Beberapa asumsi asar ang igunakan alam analisis ini meliputi : a) b) c) ) e) Penampang melintang balok ang semula merupakan biang atar akan tetap berupa biang atar setelah bekerjana momen lentur Bentangan balok ang paa awalna berbentuk garis lurus, akan melentur membentuk busur lingkaran i mana semua serat alam arah longituinal memiliki besaran jari-jari ang sama Jari-jari lingkaran ang terbentuk jauh lebih besar jika ibaningkan engan imensi transversalna Tegangan ang timbul akibat bekerjana momen lentur hana terjai alam arah longituinal, tiak aa tegangan alam arah lateral Moulus elastisitas alam material pembentuk balok memiliki nilai ang sama alam konisi tertekan maupun tertarik Paa Gambar terlihat balok seerhana ang menerima beban berupa momen M sehingga menimbulkan momen lentur murni paa balok tersebut Momen lentur murni ang terjai menebabkan serat-serat paa bagian atas garis netral menerima tegangan tekan seangkan bagian i bawah garis netral menerima tegangan tarik Tegangan alam arah longituinal ang terjai paa serat-serat bahan ang aa i sepanjang garis netral besarna sama engan nol 5

2 M M G A B E F C D A E B C F G D A B E, E F, F G H C D O R H H Gambar Peristiwa Lentur Murni Balok Elastis Balok seerhana ang itunjukkan paa Gambar itinjau paa potongan ABCD, paa bagian potongan tersebut terjai eformasi ang isebabkan aana momen lentur Secara keseluruhan i sepanjang bentangan balok juga terjai lenutan ang membentuk kurva engan jari-jari sebesar R Paa Gambar juga terlihat panjang potongan AB berkurang menjai A B an panjang potongan CD bertambah menjai C D seangkan potongan EF ang terletak paa garis netral panjangna tiak berubah Lenutan elemen ABCD membentuk suut sebesar paa titik pusat O Selanjutna tinjauan ilakukan terhaap serat GH ang berjarak ari garis netral, letak serat ini bisa itentukan secara acak an besarna tegangan longituinal ang terjai apat ianalisis engan cara berikut : M X Y Y M Tekan X Tarik 6

3 Regangan ang terjai paa serat GH aalah Panjang serat setelah berefomasi Panjang awal serat Regangan serat GH apat inatakan alam bentuk ( R + ) φ Rφ ε Rφ R G' H ' GH GH G ' H ' ( R + ) φ GH EF Rφ () Menurut Hukum Hooke hubungan antara tegangan normal akibat momen lentur (σ) engan regangan (ε) aalah Maka apat iketahui bahwa atau σ ε E σ E R σ E R () Persamaan 6 menunjukkan bahwa tegangan normal (σ) berbaning lurus engan jarak serat terhaap garis netral (), seangkan besarna E konstan R tergantung paa elemen balok an beban ang iberikan sebagaimana terlihat paa istribusi tegangan normal (Gambar ) Selanjutna prinsip keseimbangan gaa apat iterapkan paa irisan biang seluas A, i mana jumlah gaa normal ang bekerja selalu harus sama engan nol, sehingga σ A 0 Substitusi nilai σ ari Persamaan, apat iperoleh E A 0 R Karena A 0 E bernilai tiak sama engan nol, maka R Persamaan ini menunjukkan garis netral alam arah sumbu X berimpit engan pusat berat tampang 7

4 Keseimbangan momen paa penampang balok M σ A E M A R E M A R Paa Persamaan i atas itemui besaran A ang merupakan momen inersia tampang (), sehingga iperoleh Persamaan berikut E M R M E () R M Berasarkan Persamaan an maka iperoleh σ E R M σ () a) b) Besarna momen lentur ang apat itanggung oleh penampang balok untuk nilai tegangan normal maksimum ang iijinkan isebut sebagai tahanan momen, ang apat ihitung engan ma M σ ma M Z (5) σ ma i mana σ ma aalah tegangan maksimum ang terjai paa serat terluar ari penampang balok an Z merupakan moulus tampang ma Prinsip keseimbangan paa tampang balok akibat fenomena lentur murni mensaratkan jumlah momen tahanan internal paa saat terjai tegangan sebesar σ paa arah potongan sumbu YY harus sama engan nol untuk kasus i mana balok menerima momen lentur M paa biang XY, sehingga 8

5 c) ( σ A) 0 E A 0 R atau A 0 i mana A merupakan momen inersia sentrifugal Hal ini menunjukkan bahwa teori lentur murni hana berlaku untuk sumbu utama (principal aes) paa tampang melintang, ang merupakan sepasang sumbu saling tegak lurus engan nilai inersia sentrifugal sama engan nol Tegangan longituinal, σ ang timbul sebagai akibat bekerjana momen lentur juga mengakibatkan terjaina regangan alam arah lateral sebagai akibat poisson effect, ang menimbulkan perubahan ukuran tampang melintang Bagian penampang balok ang menerima tekanan akan berkurang luas penampangna, seangkan bagian ang menerima tarik akan bertambah luasna Perilaku semacam ini isebut antielastic curvature, meskipun emikian eformasi ang terjai sangat kecil sehingga tiak mempengaruhi hasil perhitungan teori lentur murni Balok Komposit Dalam perencanaan struktur bangunan, paa suatu saat sangat imungkinkan aana kebutuhan untuk menggunakan elemen struktur ang penampangna merupakan gabungan ari ua jenis material ang berbea Metoe ini ilaksanakan engan tujuan utama memperkuat bahan penusun utama ang lebih lemah tetapi memiliki nilai ekonomis ang lebih murah, atau engan pertimbangan berat seniri struktur i mana bahan utama ang lebih ringan tetapi memiliki karakteristik ang lemah iperkuat engan material ang lebih kuat tetapi juga memiliki berat jenis ang lebih besar Jenis struktur semacam ini sering isebut sebagai struktur komposit Contoh kasus ang sering ijumpai alam struktur bangunan aalah penggunaan struktur beton bertulang an perkuatan balok kau menggunakan plat baja ang isambung secara kaku, sebagaimana terlihat paa Gambar 9

6 Gambar Penampang Balok Komposit Paa penampang balok komposit ang menggunakan ua jenis material ang berbea ang itanai sebagai bahan an, isambungkan secara kaku maka regangan ang terjai i setiap bagian luasan tampang akan bernilai sama Hubungan ini apat inatakan alam Persamaan berikut : σ E σ E σ E σ E Selanjutna engan menggunakan Persamaan Lentur, sebagaimana itunjukkan paa Persamaan, tahanan momen paa masing-masing material ang igunakan aalah : σ M σ, an M σ M i mana aalah jarak serat ang itinjau terhaap garis netral Maka tahanan momen total paa balok komposit; σ σ M + M + (b) M (a) 50

7 Dengan mensubstitusikan nilai σ alam Persamaan (a) ke alam (b), M σ E + σ E σ E + E σ, atau M eq (6) E i mana eq + merupakan momen inersia ekuivalen ari balok E komposit terhaap material Jika perbaningan moulus (moular ratio), maka n E n, ang isebut sebagai angka E eq + (7a) Analog cara i atas, momen inersia ekuivalen ari balok komposit terhaap material apat ihitung engan eq + (7b) n b b n (a) Tampang (b) Tampang Kau (c) Tampang Baja Komposit Ekuivalen Ekuivalen Gambar Ekuivalensi Luasan Tampang Balok Komposit Persamaan 7 menunjukkan cara ang sangat muah untuk melakukan analisis tegangan akibat lentur murni paa penampang komposit Luasan ekuivalen untuk satu jenis material (material ) terhaap material ang lain b n b 5

8 (material ) iperoleh engan mengalikan lebar material (imensi ang sejajar engan sumbu netral) engan nilai n Sebagai contoh penampang komposit ang itunjukkan paa Gambar a i mana material berupa kau an material berupa baja, Gambar b menunjukkan ekuivalensi luasan komposit terhaap tampang kau seangkan paa Gambar c luasan tampang komposit iekuivalensikan engan tampang baja Balok Beton Bertulang Jenis struktur komposit ang paling sering igunakan i biang teknik sipil aalah beton bertulang, i mana baja tulangan igunakan untuk memperkuat beton ang lemah terhaap tarik Untuk menapatkan hubungan tegangan beton bertulang paa elemen struktur balok igunakan beberapa asumsi asar sebagai berikut : a) b) c) a Beton hana efektif menahan tegangan tekan, sehingga kekuatan beton tiak iperhitungkan paa bagian penampang ang menerima tegangan tarik Tampang komposit ang teriri ari beton an baja tulangan ianggap mengikuti Hukum Hooke secara sempurna, i mana tegangan berbaning lurus engan regangan Besarna tegangan ang terjai i setiap titik paa penampang balok sebaning engan jarak titik tinjau terhaap garis netral Hal ini berarti beton an baja ianggap monolit an tiak terjai slip b σ c b a a P σ c a σ s P σ s A s 5

9 Gambar Analisis Tegangan Beton Bertulang Paa Gambar itunjukkan cara analisis tegangan paa balok beton bertulang engan σ c merupakan kuat tekan beton an σ s aalah tegangan tarik baja Berasarkan anggapan bahwa regangan ang terjai sebaning engan jarak serat terhaap garis netral an mengikuti Hukum Hooke, maka σ s Es( a) σ E a c c c σ ( a n σ a s ) i mana Es n E c Menurut Hukum Keseimbangan gaa, σ s As + σ c Ac 0 (8) i mana A c merupakan luasan beton paa sisi tekan an A s aalah luas total baja tulangan atau σ s As σ c Ac P P σ s As σ c b a (9) Selanjutna tahanan momen M apat ihitung engan a M P Substitusi nilai P ari Persamaan 9 maka iperoleh a M σ s As (0) M σ c a b a () Luasan tampang baja tulangan ang iperlukan apat ihitung menggunakan Persamaan 9, seangkan untuk menentukan lokasi pemasanganna apat igunakan Persamaan 8 Ukuran tampang balok an 5

10 tulangan apat ihubungkan engan momen lentur ang bekerja menggunakan Persamaan 0 an Lenutan Apabila suatu balok menerima beban alam arah tranversal, maka sumbu longituinal elemen balok tersebut akan berpinah ari posisi semula Paa setiap bagian balok akan berpinah alam arah transversal, perpinahan ini sering isebut sebagai lenutan atau efleksi Seiring terjaina lenutan juga terjai eformasi lain alam bentuk perputaran sumbu balok ang biasa isebut sebagai rotasi atau slope Deformasi ang terjai paa balok seerhana ang menerima beban berupa momen lentur apat ilihat paa Gambar 5 Lenutan atau efleksi paa balok terjai karena bekerjana momen lentur an gaa geser, tetapi paa umumna ang iperhitungkan hanalah lenutan akibat momen lentur seangkan lenutan akibat gaa geser sering iabaikan, karena nilaina ang relatif kecil paa balok ang memiliki imensi longituinal ang jauh lebih besar aripaa imensi lateralna Lenutan paa elemen struktur sangat penting untuk iketahui karena meskipun alam perancanganna faktor kekuatan ang ibutuhkan telah terpenuhi, tetapi jika terjai lenutan secara berlebihan akan menebabkan terjaina misalignment an bahkan memberikan efek psikologis ang merugikan, misalna terjaina lenutan ang besar paa suatu plat lantai bangunan akan menimbulkan rasa tiak aman bagi penghunina M A A θ δ M B B 5

11 Gambar 5 Deformasi Balok Seerhana Akibat Momen Lentur 5 Perhitungan Lenutan Menurut Hubungan Kurva Regangan-Momen Gambar 6 menunjukkan sebagian bentuk kurva lengkung paa garis netral ang terjai akibat bekerjana momen lentur paa balok, kurva ini isebut sebagai kurva elastis Paa umumna titik awal itetapkan paa ujung sebelah kiri an lenutan vertikal ke atas iberi tana positif Y Gambar 6 Kurva Elastis Paa potongan kecil kurva sepanjang busur s engan suut θ ang ibentuk oleh nilai tangen kurva paa titik tinjau imana sumbu merupakan sumbu batang an R merupakan jari-jari kurva elastis O θ Kemiringan balok sepanjang s tanθ Turunan ari Persamaan i atas 55 R s θ X

12 Suku sec θ θ s sec θ θ s θ alam Persamaan i atas memiliki arti geometris ang jelas, engan s bantuan Gambar 6 terlihat bahwa s R θ, maka sec θ secθ R sec θ R Sehingga iperoleh R sec θ ± [ + tan θ ] ± + Karena alam kenataan ang aa nilai sangat kecil, maka nilai () apat iabaikan alam perbaninganna terhaap an suut kemiringan θ iasumsikan sama engan nilai tan θ, sehingga R ± Paa Persamaan telah iketahui bahwa nilai M ± E M, maka E R 56

13 ± M E () Tana ang igunakan paa Persamaan tergantung paa asumsi ang isepakati, alam hal ini igunakan momen lentur bertana positif an alam arah vertikal ke atas juga bertana positif, sehingga iperoleh M E () Persamaan isebut Persamaan Hubungan Kurva Regangan-Momen (Curvature-Moment Relationship) engan E sebagai angka kekakuan lentur (fleural rigiit) Dengan ua kali integrasi Persamaan, maka E M + A (5) M + A + E B (6) i mana A an B aalah konstanta integrasi, selanjutna ang merupakan suut kemiringan θ an merupakan lenutan ke arah vertikal 5 an 6 Hubungan-hubungan antara beban terpakai, gaa geser an momen lentur apat irangkum alam Persamaan berikut : efleksi θ M E M V E V q kemiringan kurva elastis kurva E elastis (7) Konisi batas ang igunakan untuk menelesaikan integrasi Persamaan Hubungan Kurva Regangan-Momen iasarkan paa konisi titik simpul, ang apat ijabarkan sebagai berikut : a) Ujung Bebas 57

14 (i) Momen lentur M 0 (ii) Gaa geser V 0 b) Tumpuan Seerhana ang berupa Seni an Rol (i) Lenutan 0 (ii) Momen lentur M E 0 c) Tumpuan Jepit (i) Lenutan 0 (ii) Suut Kemiringan θ 0 6 Perhitungan Lenutan engan Metoe Luasan Momen Metoe ini merupakan cara semi-grafis ang apat memberikan penelesaian masalah kemiringan suut an lenutan engan lebih cepat paa kasus-kasus berikut : a) b) c) Balok kantilever engan kemiringan suut ang bernilai nol paa tumpuan jepit Balok seerhana bertumpuan seni-rol engan beban terbagi rata an kemiringan suut ang bernilai nol paa tengah bentang Balok engan tampang melintang ang bervariasi M q f() + BMD 58 X

15 Gambar 7 Penekatan Metoe Luasan Momen Paa Gambar 7 itunjukkan gambar biang momen (BMD) untuk kasus beban ang nilaina berubah-ubah paa balok AB, engan menganggap pusat berat ari luasan biang momen A berjarak terhaap sumbu vertikal M apat ianalisis bagian kecil balok engan panjang i mana BM apat iasumsikan konstan sebesar M Dengan menggunakan persamaan hubungan kurva regangan-momen, E M (8) atau M E ntegrasi persamaan i atas engan batas an, atau θ θ E M E M Jika nilai konstan sepanjang bentangan balok, maka A θ θ M E (9) E Persamaan i atas menganung pengertian bahwa penambahan kemiringan suut antara ua titik apat ihitung engan luas bersih gambar biang momen (BMD) antara keuana ibagi engan angka kekakuan lentur balok (E) Selanjutna engan mengalikan keua sisi paa persamaan hubungan kurva regangan-momen engan, E M ntegrasi antara batas an engan asumsi bernilai konstan, 59

16 E atau E i mana ( M ) atau M A, maka A E ( θ ) ( θ ) atau ( ) + ( θ ) ( M ) A E A θ (0) E jika (i) titik ianggap sebagai titik awal ( 0) an (ii) titik merupakan titik engan suut kemiringan nol (θ 0) maka A () E ( ) Persamaan i atas menganung pengertian bahwa lenutan (efleksi) ang terjai antara ua titik paa balok engan batasan tertentu ( 0, θ 0) apat ihitung engan mengalikan luas bersih biang momen antara keua titik an jarak pusat berat, kemuian ibagi engan angka kekakuan lentur balok Paa kasus beban terbagi rata gambar biang momen (BMD) selalu berbentuk parabola, maka ata ang iperlukan untuk luas an posisi pusat beratna aalah : 60

17 Gambar 8 BMD untuk Kasus Beban Terbagi Rata 7 Hubungan Gaa Geser an Momen Lentur Balok merupakan jenis elemen struktur ang memiliki ukuran alam arah longituinal jauh lebih besar jika ibaningkan engan ukuran transversalna, engan fungsi utama menahan bekerjana gaa lintang an momen lentur Dalam bab ang membahas masalah lentur murni hana iperhitungkan besarna tegangan normal ang iakibatkan bekerjana momen lentur tetapi alam kenataan ang sesungguhna, apabila paa elemen balok bekerja gaa lintang maka akan timbul tegangan normal an tegangan geser secara simultan, ang masing-masing terjai karena aana gaa alam ang berupa momen lentur (BMD) an gaa geser (SFD) Paa Gambar 9a apat ilihat sebuah balok seerhana ang iukung oleh tumpuan seni-rol, ibebani engan berbagai jenis beban ang meliputi W, W, W an W Reaksi tumpuan seni-rol itunjukkan sebagai R A an R B Selanjutna engan menganggap balok tersebut ipotong paa potongan X-X engan jarak ari tumpuan A, maka iagram free-bo ari keua bagian apat itunjukkan paa Gambar 9b an 9c Paa balok ini gaa alam ang berupa gaa geser V an momen lentur M apat iterapkan paa keua potongan engan menggunakan prinsip keseimbangan gaa paa masing-masing bagian, F L V F R V h b b 5 b 8 A b h A b h b h (a) (b) 6

18 i mana F L an F R merupakan resultan gaa vertikal paa potongan sebelah kiri an sebelah kanan Berasarkan Persamaan (a) an (b), maka iperoleh V F L F R Persamaan ini apat memberikan efinisi gaa geser sebagai berikut : Gaa geser paa setiap bagian balok merupakan jumlah aljabar ari gaa lintang ang bekerja paa masing-masing sisi potongan Analog engan cara i atas, maka keseimbangan momen lentur apat ijabarkan sebagai berikut : M L M M R M i mana M L an M R merupakan resultan momen lentur akibat bekerjana gaa lintang paa potongan sebelah kiri an sebelah kanan Berasarkan Persamaan (a) an (b), maka iperoleh M M L M R Persamaan ini apat memberikan efinisi gaa geser sebagai berikut : Momen lentur paa setiap titik ang aa paa elemen balok merupakan jumlah aljabar momen akibat bekerjana gaa lintang paa keua sisi potongan F L X R A W X X W M V X M V W X X (b) (c) 6 (a) W F R R B (a) (b)

19 Gambar 9 Gaa Dalam paa Elemen Balok Gambar 0 menunjukkan sebuah balok ang menanggung beban ang teristribusi i sepanjang batang (q), engan nilai ang bervariasi an merupakan fungsi kontinu ari Potongan CD merupakan bagian ari balok tersebut engan panjang δ, ang terletak sejauh ari tumpuan Karena nilai δ ang sangat kecil maka beban q ang aa i atasna apat ianggap terbagi rata Berbagai gaa an momen ang bekerja alam potongan tersebut juga itunjukkan paa Gambar 0 Gambar 0 Hubungan Gaa Geser an Momen Lentur Memenuhi prinsip keseimbangan gaa paa potongan balok i atas, jumlah gaa vertikal an momen paa setiap titik, misalna D, harus sama engan nol, maka R A M V - qδ - (V + δv) 0 C V q f() qδ δ q C D δ V + δv D M + δm R B (a) 6

20 δ M + Vδ - qδ - (M + δm) 0 (b) Berasarkan Persamaan (a) maka iperoleh V q () δ Menurut Persamaan (b), engan mengabaikan nilai qδ maka iperoleh ang sangat kecil M V () Berasarkan Persamaan an apat ilihat bahwa jika q aalah beban ang merupakan fungsi kontinu ari, gaa geser an momen lentur apat itentukan engan cara integrasi 8 Distribusi Tegangan Geser Asumsi-asumsi ang igunakan sebagai asar analisis tegangan geser paa elemen balok meliputi : a) b) c) ) Bahan ang igunakan bersifat elastis, homogen an isotropis Moulus elastisitas bahan bernilai sama, baik alam konisi tarik maupun tekan Tegangan geser ang terjai, memiliki nilai konstan selebar tampang ang igunakan Timbulna tegangan geser tiak mempengaruhi istibusi tegangan normal akibat aana momen lentur Analisis tegangan geser apat ilakukan engan meninjau keseimbangan gaa paa sebuah elemen p-p -n -n, ang merupakan potongan ari sebuah balok engan ua penampang aitu m-n an m -n engan jarak Permukaan bawah elemen (n-n ) aalah permukaan terbawah ari penampang balok, seangkan permukaan atasna (p-p ) sejajar engan garis netral engan jarak Paa permukaan atas (p-p ) bekerja tegangan geser τ, seangkan paa keua 6

21 permukaan (m-n an m -n ) bekerja tegangan lentur normal σ, seperti terlihat paa Gambar Gambar Analisis Tegangan Geser paa Balok Paa umumna struktur balok akan memiliki nilai momen lentur ang berbea-bea menurut fungsi jarakna, sehingga paa Gambar itunjukkan momen lentur M paa tampang m-n an sebesar M + M paa tampang m - n Dengan meninjau bagian elemen seluas A berjarak ari garis netral, apabila elemen luasan ini terletak i sebelah kiri p-n maka besarna gaa normal ang bekerja aalah : σ A M A Penjumlahan gaa-gaa elemen ang bekerja melalui luas tampang p-n memberikan gaa total F, ang apat ihitung engan : F M A ntegrasi Persamaan i atas ilakukan engan batasan sampai engan h/ Analog engan cara i atas maka apat ihitung besarna gaa total i sebelah kanan permukaan p -n menggunakan Persamaan berikut : F h/ h/ M n m ( M + M ) A m Berikutna apat ihitung besarna gaa horisontal ang bekerja i atas permukaan p-p, ang besarna aalah : M + M h p τ p n σ X b τ ma 65

22 F τb (a) i mana b merupakan lebar balok an merupakan panjang potongan alam arah longituinal Gaa-gaa F, F an F harus memenuhi prinsip keseimbangan gaa, sehingga keseimbangan gaa alam arah horisontal apat inatakan alam Persamaan : F F F (b) atau τ b ( M + M ) A M τ A b substitusikan M A ; sehingga iperoleh : M V ari Persamaan () an S M A Persamaan (a), maka tegangan geser apat ihitung engan τ V S b A ari () Harus iingat bahwa paa Persamaan () i atas, nilai τ mewakili tegangan geser paa arah longituinal () an transversal (b ang searah sumbu z), maka besarna gaa geser per satuan panjang ang terjai alam arah longituinal apat ihitung engan : f τb f V S b b VS (5) Gaa geser per satuan panjang ang sering isebut sebagai aliran geser (shear flow) paa Persamaan (5) apat igunakan untuk menentukan konfigurasi penghubung geser (shear connector) paa balok laminasi 66

23 9 Tegangan Geser paa Penampang Balok Berbentuk Persegi Panjang Gambar Tegangan Geser paa Penampang Balok Persegi Tegangan geser ang terjai paa penampang balok i atas apat ihitung engan Persamaan berikut : τ V S b V A b Untuk perhitungan tegangan geser τ paa potongan C-C, maka b b A b + + C b C V b b V τ b + b b 67

24 τ 6 V b (6) Tegangan geser τ mencapai nilai maksimum paa pusat berat, sehingga engan memasukkan nilai 0 iperoleh : 6 V τ ma b V b τ ma τ av V i mana τ av ; merupakan nilai tegangan geser rata-rata b 0 Tegangan Geser paa Penampang Balok engan Saap (7) Bentuk tampang semacam ini banak igunakan paa struktur bangunan seperti; profil atau profil T Bentuk-bentuk semacam ini memiliki ketahanan ang sama hanalna untuk memikul tegangan normal maupun tegangan geser, i mana bagian saap ominan menahan lentur seangkan bagian saap ominan menahan geser Distribusi tegangan geser paa bentuk-bentuk tampang ang memiliki saap lebih rumit aripaa istribusi tegangan geser paa tampang persegi Analisis tegangan geser paa tampang semacam ini apat ibeakan menjai ua bagian aitu tegangan geser alam arah vertikal (τ ) an tegangan geser alam arah horisontal (τ z ) a) Tegangan geser vertikal (τ ), untuk mempermuah analisis tegangan geser paa profil seperti ang terlihat paa Gambar, τ akan itulis sebagai τ, kecuali aa penjelasan lebih lanjut C C C C D b 68 B

25 69 Gambar Tegangan Geser paa Profil (i) Potongan C-C paa bagian baan A b D D B + b D B τ b V + b D B (8) Tegangan geser maksimum terjai paa serat i mana 0 τ ma b V + 8 b D B [ ] ) ( 8 b D B b V + (9) (ii) Potongan C -C paa bagian saap A + D B D D B τ D B B V τ D V (0) Besarna gaa geser ang bekerja paa bagian baan apat ihitung engan Persamaan berikut : w V + / / b τ / 0 b τ () τ Gambar Gaa Geser paa Bagian Baan

26 b) Tegangan geser horisontal (τ z ), untuk menghitung tegangan geser τ z atau τ z paa potongan H-H i bagian saap igunakan jarak z ang iukur ari ujung bebas saap (Gambar 5), selanjutna keseimbangan gaa alam arah paa potongan saap seperti paa Gambar 6, apat ihitung engan : τ z ma t B τ z ma H H z b D τ z Gambar 5 Analisis Tegangan Geser Bagian σa τ z t z τ z tz 70 t z (σ + σ)a Gambar 6 Keseimbangan Gaa paa Potongan Saap

27 τ z t ( σ + σ ) A σ A M A σ A τ z M A t V τ z A t τ z V S t () untuk menghitung besarna aliran geser paa bagian saap apat igunakan Persamaan berikut : f VS () Dapat ilihat bahwa Persamaan an mirip engan Persamaan an 5, i mana lebar baan b alam arah z igantikan engan tebal saap t alam arah sumbu Besarna statis momen potongan saap paa profil apat ihitung engan; S D t z t A ( ) maka besarna tegangan geser ang terjai paa bagian saap apat ihitung engan : τ z z ( z t)( D t) V τ V z( D t) t () Nilai tegangan geser tersebut bervariasi secara linear menurut besarna jarak z, i mana nilai tegangan geser maksimum icapai i tengah-tengah bagian saap, sehingga : z B V B τ z _ ma ( D t) 7

28 V B ( D t) (5) Dengan melakukan integrasi tegangan geser τ z ang bekerja i setengah bagian saap, seperti ang terlihat paa Gambar 7, maka iperoleh gaa geser horisontal V f, ang iperoleh engan Persamaan berikut : τ z _ ma B t V f f z _ ma B τ z ma t F F B V F Gambar 7 Analisis Gaa Geser paa Profil (6) Aliran geser arah horisontal ang terapat paa saap bagian atas berlaku alam arah ang berlawanan, ang kemuian menatu i bagian baan engan arah ke bawah an selanjutna menebar lagi i saap bagian bawah Karena nilai gaa geser V f aalah sama namun engan arah ang selalu berlawanan maka gaa ini tiak akan memberikan pengaruh terhaap penampang Gaa geser ang bekerja alam arah vertikal memiliki nilai ua kali gaa geser horisontal, sehingga apat ikatakan bahwa gaa geser secara ominan itanggung oleh bagian baan F τ z ma F b D τ z 7

29 Untuk kasus profil T, jalanna analisis ang ilakukan aalah sama engan profil, tetapi harus itentukan terlebih ahulu posisi garis netralna Pusat Geser Pusat geser (shear center) merupakan suatu titik i mana jika terapat gaa lintang ang bekerja melalui titik tersebut maka tiak akan terjai puntiran paa balok Pusat geser untuk setiap potongan penampang selalu terletak alam garis membujur ang sejajar engan sumbu balok Gambar 8 Penentuan Pusat Geser paa Profil Kanal Paa penampang berining tipis ang tiak memiliki sumbu simetri berarah vertikal, misalna profil kanal seperti terlihat paa Gambar 8 Maka gaa geser vertikal ang bekerja i bagian baan apat ihitung engan : S + h h τ b Seangkan gaa geser horisontal V paa setiap bagian saap apat ihitung engan : b τ z F ma B t t B t h h S B t B t (i mana P S) t 7 P C e S F F B

30 S B t h (7) Gaa geser vertikal S memenuhi prinsip keseimbangan engan beban P, tetapi gaa geser horisontal F membentuk kopel sebesar Fh, ang harus itiaakan untuk menghinari puntiran Cara ang apat ilakukan aalah menempatkan beban P engan jarak e ari bagian baan, sehingga : P e F h S B t h S e h e b t h (8) Karena profil kanal memiliki sumbu simetri alam arah horisontal, maka perpotonganna engan garis paa eksentrisitas e ari pusat baan apat itetapkan sebagai pusat geser i mana beban harus iletakkan untuk menghinari puntiran Contoh Penerapan Contoh : Sebuah balok seerhana engan bentuk an ukuran potongan penampang melintang ang itunjukkan paa Gambar 9 Jika material ang igunakan memiliki kuat tarik batas 50 MPa an kuat tekan batas 0 MPa, hitung beban terbagi rata ang boleh ikerjakan i atas balok tersebut m m m q 50 mm 7 0 mm 00 mm 00 mm

31 Penelesaian : Gambar 9 Kasus Lentur paa Balok Seerhana Perhitungan momen lentur maksimum Paa kasus ini momen lentur maksimum akan terjai i tengah bentang karena balok tersebut menerima beban terbagi rata i sepanjang bentang Reaksi paa Tumpuan A, w6 R A w kn Momen lentur maksimum paa tengah bentang, M C w w M C 6 w,5 w,5 w kn m Perhitungan sifat tampang atar a Perhitungan sifat tampang engan acuan sumbu X Bagian Luas A (mm ) (mm) S (mm ) (mm) 0 (mm ) A (mm ) , ,00 5, 8, 08, , ,00-9, , , ,00 500,00-5,78 66,67 500,0 ΣS 7500 Y 59, 78 ΣA ,00-566,67 879, mm 0 X X + A 566, , 557,99 mm b Perhitungan sifat tampang engan acuan sumbu Y Bagian Luas A (mm ) (mm) S (mm ) (mm) , (mm ) A (mm ) , 0

32 ΣS 5000 X 50 ΣA mm 0 Y Y + A 97500,00 + 0, ,00 mm c Perhitungan momen inersia sentrifugal Bagian Luas A (cm ) (cm) (cm) (cm) (cm) A (cm ) ,00 5, ,00-9, ,00-5, XY ΣA 0 cm (Garis Netral Tegak lurus terhaap Sumbu Utama) Perhitungan tegangan tarik an tekan maksimum Tegangan Tarik Maksimum terjai paa serat tepi bawah, sehingga σ M t σ t 6,9w (,5 w0 6 ) 557,99 MPa 59,78 Tegangan Tekan Maksimum terjai paa serat tepi atas, sehingga M (,5 w0 ) (00 59,78) σ c 557,99 σ c 8,w MPa e Perhitungan beban maksimum 6 Menurut batasan kekuatan ang iberikan, tegangan tarik maksimum 50 MPa 6,9w 50 w,857 kn/m Tegangan tekan maksimum 0 MPa 8,w 0 76

33 w,0 kn/m Maka beban maksimum ang iijinkan sebesar,0 kn/m Contoh : Sebuah balok kau berbentuk persegi panjang engan lebar mm Penelesaian : Perhitungan momen inersia mm an tinggi 00 mm, iperkuat engan plat baja setebal 0 mm paa keua sisina Balok komposit ini iukung engan tumpuan seni-rol engan jarak m an i atasna bekerja beban titik sebesar 5 kn tepat i tengah bentang Hitung tinggi plat baja ang ibutuhkan jika tegangan maksimum ang iijinkan paa material kau aalah 5 MPa Tentukan tegangan maksimum ang terjai paa plat baja E baja 00 GPa an E kau 5 GPa 00 mm P,5 m,5 m 00 0 mm 5 50 mm Gambar 0 Kasus Balok Komposit 00 0 mm 5 77

34 Momen inersia ihitung engan ekuivalensi tampang komposit terhaap tampang kau, sehingga iperoleh eq ( ) eq, +,67 0 mm Perhitungan momen maksimum PL M ( 50 ) M,750 N mm Perhitungan tinggi plat baja Tegangan Maksimum paa kau, σ σ kau,750 50, +, kau 5 6,875 0, +, ,75 7, mm MPa Digunakan plat baja engan tinggi 75 mm Perhitungan tegangan maksimum plat baja σ baja σ kau E E baja kau MPa baja kau Contoh : Sebuah balok seerhana terbuat ari baja sepanjang 5 m engan tumpuan jepit-bebas menanggung beban terbagi rata sebesar 0 kn/m Hitung lenutan maksimum ang terjai, jika baja ang 78

35 igunakan memiliki nilai elastisitas 0 GPa an momen inersia,70 9 mm Gambar Kasus Defleksi paa Balok Seerhana Persamaan momen lentur paa titik M X q Penentuan persamaan kurva elastis E M X q E q E + A 6 q E + A + B Penerapan Konisi Batas 5 m 0; paa saat L 0 q L + A 6 A q L 6 0; paa saat L 0 q L q L + L + B 6 B q L kn/m

36 E q + q L 6 q L 8 q L L + E 6 8 Penentuan lenutan maksimum Lenutan maksimum terjai paa saat 0; q L ma E 8 q L 8 E ,7 0 5, mm (ke bawah) 9 Contoh : Balok seerhana bertumpuan seni-rol terbuat ari baja sepanjang A A 6 m menanggung beban terpusat tepat i tengan bentang sebesar 50 kn Hitung lenutan maksimum ang terjai, jika nilai elastisitas baja 0 GPa engan momen inersia,70 9 mm P L P L P L P B B 80

37 Gambar Kasus Defleksi paa Balok Bertumpuan Seni-Rol Dengan menganggap luasan biang momen (BMD) F beban ang bekerja paa balok A B P L 8 Beban ini akan menimbulkan reaksi i tumpuan A an B sebesar : P L R A 6 P L R B 6, sebagai Besarna gaa lintang (reaksi) tersebut jika ibagi angka kekakuan E akan bernilai sama engan θ A an θ B, sehingga P L θ A 6 E P L θ B 6 E Selanjutna momen lentur akibat beban ang berupa BMD paa suatu titik X apat ihitung engan : M ' R A F P L P 6 P L 6 P seangkan gaa lintang akibat beban ang berupa BMD paa titik X apat ihitung engan : V ' R A F P L P 6 8

38 P L 6 P Karena beban terpusat beraa i tengah bentang maka lenutan maksimum terjai i tengah bentang, sehingga M ' E P L P 6 E E P L P L P L E 96 E 8 E ,7 0,5 mm (ke bawah) seangkan kemiringan suut i tengah bentang aalah : θ V ' E P L 6 P L 6 0 raian P P L 6 9 Contoh 5 : Sebuah balok engan bentuk an ukuran penampang ang itunjukkan paa Gambar, menerima gaa lintang sebesar 0 kn Hitung (a) Tegangan geser paa sisi atas bagian baan an tepat paa garis netral (b) Persentase gaa geser ang itanggung bagian baan 8

39 τ z ma (c) Besarna gaa geser ang bekerja paa titik K i bagian τ z ma saap τ z 6 mm K z 0 00 mm 6 mm 00 mm Gambar Contoh Kasus Tegangan Geser Penelesaian : V S (a) τ b Besarna momen inersia; 7,78 0 mm Bagian Baan, b 6 mm Besarna statis momen; S A ( ) ( ) 5008 Besarna gaa lintang; V 0 0 N 00 (5008 ) maka besarna tegangan geser; τ 7 6,780 79,58 (,587 0 ) MPa 8

40 (i) Tepat paa garis netral, besarna tegangan geser engan nilai 0 τ 79,58 0 τ 79,58 MPa (ii) Paa tepi atas bagian baan engan nilai mm, maka : τ 79,58 (,587 0 ) τ 79,58,9 τ 6,667 MPa MPa (b) Gaa geser ang bekerja paa potongan baan engan tebal 6 mm an tinggi ; / V w 0 / τ b [ 6 79,58 6(,587 0 )] 0 [ 77,86,7 0 ] 0 77,86, ,9 N maka persentase gaa lintang ang itanggung oleh bagian baan aalah : 8560,9 00% ,80% (c) Gaa geser vertikal ang bekerja paa potongan saap engan tebal 6 mm an panjang 0 mm (titik K); τ τ τ V S b 00 {0 0 } (00 ),5 7 {00,780 } {0 0 }{550} 00{, } 8

41 τ, MPa Tegangan geser horisontal paa titik K (z 0 mm); τ τ z z V S t {0 0 } (06) (50,5) 7 6(,780 ) τ z 9, 9 MPa { } maka tegangan geser total paa titik K aalah : ( τ ) ( τ ) τ + τ τ z ( 9,9 ) + (, ) 9,5 MPa Contoh 6 : Sebuah balok seerhana tersusun ari ua papan kau ang membentuk profil T engan bentuk an ukuran penampang ang itunjukkan paa Gambar, menerima beban terpusat 0 kn tepat i tengah bentang Jika igunakan paku engan kuat geser 000 N, hitung jarak antar paku ang iperlukan 0 kn m m 00 mm 50 mm 50 mm 50 mm 85

42 Penelesaian : Gambar Kasus Tegangan Geser paa Balok T Besarna gaa geser ang bekerja paa balok T Penentuan pusat berat tampang ΣS ΣA (5000) 00 + (0050) 5 6, 5 (5000) + (0050) Penentuan momen inersia tampang 0 0 ( + A ) + ( A ) X X X X X 8 mm 0050 ( ) ( 6,5) + + ( 0050) ( 5 6,5),5 0 mm,5 0 m Penghitungan statis momen luasan i atas biang sambungan S A S + 5 kn + 5 ( 0050) ( 5 6,5) 6,50 mm 6,50 m kn 86

43 Penghitungan aliran geser paa biang sambungan V S f ( 5000) ( 6,50 ) f 788,987 N / m,5 0 ( ) Penghitungan jarak paku F X f 000 X 0, ,987 m Jai paku ipasang engan jarak masing-masing sebesar,5 cm Soal Latihan Profil baja berbentuk kanal igunakan paa sebuah struktur balok seerhana seperti terlihat paa gambar i bawah ini 7 mm q 0 kn/m m m m 0 mm 75 mm P 0 kn 80 mm a Gambarkan iagram tegangan normal paa aerah momen maksimum! b Tentukan besarna lenutan maksimum! 87

44 Sebuah balok beton bertulang engan tinggi 00 mm an lebar 00 mm iberikan tulangan baja sejumlah D9, i mana pusat berat tulangan berjarak 0 mm ari tepi bawah Jika kuat tekan beton iketahui sebesar 0 MPa an nilai rasio moulus elastisitas (n) aalah 5, hitung kapasitas momen balok an besarna tegangan paa baja tulangan 00 mm Hitunglah tegangan geser maksimum (τ ma ) alam sebuah balok kau seerhana ang memikul beban terbagi rata sebesar kn/m (termasuk berat seniri), jika bentangan balok sepanjang m an penampangna berbentuk persegi engan tinggi cm an lebar 6 cm q kn/m mm 60 mm 0 mm 6 cm cm Sebuah balok kau ikonstruksi ari ua buah papan ang masing-masing berukuran 50 mm 50 mm ang ihubungkan engan ua papan berukuran 5 mm 50 mm Papan-papan tersebut isambung menggunakan paku berkekuatan geser (F) 50 N berjarak 00 mm alam arah longituinal, berapakah gaa lintang (V) maksimum ang iijinkan? 5 mm 50 mm 50 mm 5 mm mm

45 5 Sebuah balok T engan bentuk an ukuran penampang ang itunjukkan paa gambar i bawah ini, menerima gaa lintang sebesar 00 kn Hitung a) b) Tegangan geser paa sisi atas bagian baan an tepat paa garis netral Persentase gaa geser ang itanggung bagian baan 70 mm 00 mm 0 mm 0 mm 89