TINJAUAN PUSTAKA. i dari yang terkecil ke yang terbesar. Tebaran titik-titik yang membentuk garis lurus menunjukkan kesesuaian pola

Transkripsi

1 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Diskriminan Analisis diskriminan (Discriminant Analysis) adalah salah satu metode analisis multivariat yan bertujuan untuk memisahkan beberapa kelompok data yan sudah terkelompokkan denan cara membentuk funsi diskriminan (Johnson & Wichern 1998). Untuk melakukan analisis diskriminan ada dua asumsi yan harus diperhatikan (Dillon dan Goldstein 1984) yaitu : 1. Sejumlah p peubah bebas menyebar menikuti sebaran normal anda.. Matriks peraam berdimensi p p dari peubah-peubah bebas dalam setiap kelompok harus homoen. Uji sebaran normal anda dapat dilakukan denan plot khi-kuadrat (Johnson & Winchern 1998). Setiap vektor penamatan dihitun jarak Mahalanobisnya denan persamaan: d i = x i x i S 1 i x i x i dimana setiap d i akan menyebar khi-kuadrat denan p derajat bebas, bila p menyatakan jumlah peubah. Plot khi kuadrat akan memeriksa apakah statistik d i menikuti sebaran khi kuadrat, yaitu denan menurutkan d i dari yan terkecil ke yan terbesar d 1 d d n, kemudian memplotkan d i denan χ p i 0.5 /n. Tebaran titik-titik yan membentuk aris lurus menunjukkan kesesuaian pola sebaran d i terhadap sebaran khi-kuadrat yan berati data berasal dari sebaran normal. Jika asumsi normal anda tidak terpenuhi maka dapat diunakan analisis diskriminan loistik sebaai solusinya (Cacoullos 1973). Rencher (00) menyatakan bahwa uji kehomoenan matriks peraam dilakukan menunakan uji Box M, statistik uji yan diunakan adalah : denan : v i = n i 1 S i = 1 n i 1 S w = n i j =1 v i S i v i M = x ij x i t S i S w x ij x i v i/

2 Statistik M bernilai antara 0 dan 1, jika nilainya mendekati 0, maka telah cukup bukti untuk menolak Ho pada taraf α atau berarti ada matriks peraam populasi normal anda yan berbeda sedankan jika nilainya mendekati 1 berarti belum cukup bukti untuk menolak Ho pada taraf α. Sebaran statistik uji M dapat di dekati denan sebaran F tahapan penujiannya (Rencher 00) adalah: menhitun, c 1 = 1 v i 1 v i p + 3p 1 6 (p+1)( 1) dan c = p 1 p v, i v i serta a 1 = 1 1 p p 1, a = a 1+ c c 1 b 1 = 1 c 1 a 1 a a 1, b = 1 c 1 a a Jika c > c 1, F = b 1 ln M mendekati sebaran F α a1,a dan Jika c < c 1, F = a b ln M a 1 + b ln M mendekati sebaran F α a1,a. Untuk kedua kasus tersebut, tolak H 0 jika F > F α a1,a. Jika asumsi kehomoenan matriks peraam yan tidak terpenuhi maka analisis yan dapat diunakan adalah analisis diskriminan kuadratik ( Gnanadesikan, R. 1977). Pembentukan Funsi Diskriminan Funsi diskriminan, menurut Johnson dan Winchern (1998) misalkan terdapat kelompok populasi denan masin-masin ukuran contoh n i, i = 1,,,, vektor peubah acak populasi ke-i adalah X i = X 1, X,, X p, dan baris ke-j adalah x ij maka vektor rataan populasi ke-i dapat dinyatakan sebaai berikut: x = 1 n i dan vektor rataan populasi adalah x = n i n i x i = n i x ij j =1 n i j =1 x ij n i Misalkan B matriks peraam antar kelompok, W matriks peraam dalam kelompok, denan matriks keraaman total T = W + B. Funsi diskriminan

3 disusun denan memaksimalkan rasio antara raam antar kelompok denan raam antar kelompok. Jika funsi diskriminan dinyatakan denan y = a x maka yan inin dicari adalah a i sehina λ = a Ba a Wa maksimum. Nilai λ yan maksimum merupakan akar ciri terbesar dari matriks W 1 B dan a merupakan vektor ciri yan sepadan (Sharma 1996). Menurut Dillon dan Goldstein (1984), bila didefinisikan n adalah banyaknya objek dari kelompok, maka matriks W berukuran p p berasal dari peubah acak X 1, X,, X p yan bebas linear denan n p. Sedankan pankat matriks B sama denan minimum p dan 1, maka matriks W 1 B jua berpankat min(p, 1). Hal ini berarti banyaknya akar ciri yan munkin diperoleh oleh matriks W 1 B adalah min(p, 1), sehina banyaknya funsi diskriminan yan dapat dibanun terantun pada besaran min(p, 1). Peranan relatif suatu funsi diskriminan ke-r dalam memisahkan anotaanota kelompok diukur dari persentase relatif akar ciri yan berhubunan denan funsi diskriminan berikut : Y r = denan s = min p, 1. λ r 100%, r = 1,,, s λ m s m=1 Semua funsi diskriminan yan terbentuk perlu diuji untuk menetahui banyaknya funsi yan dapat menjelaskan perbedaan peubah-peubah penjelas di antara kelompok (Dillon & Goldstein 1984). Adapun penujian funsi diskriminan dapat dilakukan denan menunakan statistik V-Barlett melalui pendekatan khi-kuadrat, sebaai berikut : a). Uji funsi diskriminan pertama Statistik uji : denan : Λ 1 = V 1 = v E 1 p v H + 1 ln Λ 1 s 1 m =1 1+λ m v E = N = v H = 1 n i

4 atau dapat ditulis : Jadi bila V 1 < χ α,p( 1) V 1 = N 1 1 p + ln 1 diskriminan pertama bersifat nyata secara statistik. b). Uji funsi diskriminan ke-r Statistik uji : s m=1 + λ m artinya persentase relatif yan diterankan oleh funsi V r = N 1 1 Jadi bila V r < χ α, p r+1 p + ln 1 s m=r + λ m artinya funsi diskriminan ke-r masih diperlukan untuk menerankan perbedaan p-peubah diantara -kelompok. Kriteria masuknya individu kedalam kelompok ke-i (Gaspersz 199) bila: denan : r m =1 r y m y im = a m x ij x k a m x x k m=1 y m = Vektor skor diskriminan ke-m dari obyek r m=1 y im = Nilai tenah skor diskriminan ke-m dari kelompok ke-i a m t = Vektor koefisien funsi diskriminan x ij = Vektor penamatan dari objek yan akan dikelompokkan x k = Vektor nilai tenah peubah pembeda dari kelompok ke-i r = Banyaknya funsi diskriminan penolonan Dari analisis diskriminan ini dapat pula diunakan untuk mencari peubah-peubah asal yan dianap dominan untuk diunakan dalam membedakan antar kelompok. Press Q merupakan tes statistik untuk menukur kekuatan dari penklasifikasian funsi diskriminan (Hair et al. denan : Press Q = denan : N = Jumlah contoh total n = Jumlah klasifikasi yan benar = Jumlah rup/kelompok N n N ), statistik Q dihitun

5 Statistik Q kemudian dibandinkan denan nilai kritis (nilai khi-kuadrat untuk derajat bebas 1 pada taraf α tertentu). Jika statistik Q lebih besar dari nilai kritis berarti persentase hasil klasifikasi yan dihasilkan memiliki kekuatan dalam menklasifikasikan objek. Dillon dan Goldstein (1984) menyatakan bahwa dalam menentukan peubahpeubah yan dimasukkan kedalam funsi diskriminan dapat diunakan analisis diskriminan bertahap (stepwise discriminant). Pada analisis ini diawali denan funsi tanpa peubah, funsi yan terbentuk pada setiap tahap diuji nilai F-parsial untuk setiap peubahnya. Peubah yan memilki nilai F terbesar dimasukkan ke dalam funsi sedankan peubah yan memiliki nilai F yan kuran dari 1 tidak akan dimasukkan dalam pembentukan funsi. Proses akan berhenti bila tidak ada lai peubah yan dimasukkan atau dikeluarkan. Reresi Loistik Multinomial Reresi loistik multinomial merupakan perluasan dari reresi loistik denan respon biner yan dapat menanani peubah respon denan kateori lebih dari dua. Hosmer dan Lemeshow (000) menjelaskan, untuk model reresi denan peubah respon berskala nominal tia kateori diunakan kateori peubah hasil Y yan dikode 0, 1, dan. Peubah Y terparameterisasi menjadi dua funsi loit. Sebelumnya perlu ditentukan kateori respon yan diunakan sebaai kateori pembandin terlebih dahulu. Pada umumnya diunakan Y=0 sebaai pembandin. Untuk membentuk funsi loit, akan dibandinkan Y=1 dan Y= terhadap Y=0. Bentuk model reresi yan berupa funsi peluan denan p peubah bebas seperti pada persamaan berikut ini: π x = exp β 0 + β 1 x 1 + β x + + β p x p 1 + exp β 0 + β 1 x 1 + β x + + β p x p Transformasi loit akan menhasilkan dua funsi loit sebaai berikut, denan menetapkan x 0 = 1. 1 x = ln x = ln P Y = 1 x P Y = 0 x = β 10 + β 11 x 1 + β 1 x + + β 1p x p = x β 1 P Y = x P Y = 0 x = β 0 + β 1 x 1 + β x + + β p x p = x β

6 Berdasarkan kedua funsi loit tersebut maka didapatkan probabilitas respon atau model reresi loistik multinomial denan peubah respon berskala nominal tia kateori sebaai berikut (Hosmer dan Lemeshow, 000). 1 π 0 x = 1 + exp 1 x + exp x exp 1 x π 1 x = 1 + exp 1 x + exp x exp x π x = 1 + exp 1 x + exp x Menurut Hosmer dan Lemeshow (000), dalam mendua model loit denan peubah responnya berskala kualitatif, teknik penduaan parameter yan layak diunakan adalah metode kemunkinan maksimum. Prinsip dari metode kemunkinan maksimum memberikan nilai duaan parameter suatu funsi kemunkinan. Funsi kemunkinan yan inin dimaksimalkan adalah : denan n = banyaknya penamatan n L β = f(y = y i x i ) Penujian Kesesuaian Model Penujian Kesesuaian model dilakukan untuk memeriksa penaruh peubahpeubah penjelas dalam model. Penujian dilakukan untuk masin-masin parameter model (β). Penujian secara simultan dilakukan denan menunakan uji G yaitu uji nisbah kemunkinan (likelihood ratio test). Uji G untuk penujian parameter β i denan hipotesis : H 0 : β 1 = β = = β p = 0 H 1 : minimal sala satu β i 0 Statistik uji yan diunakan adalah statistik uji : G = ln L 0 L 1 denan : L 0 = likelihood tanpa peubah bebas L 1 = likelihood denan peubah bebas

7 Jika H 0 benar, statistik G ini menikuti sebaran χ denan derajat bebas p, Kriteria keputusan yan diambil adalah menolak H 0 jika G itun χ α(p) (Hosmer & Lemeshow 000). Seandainya H 0 ditolak, maka selanjutnya dilakukan uji Wald untuk menuji parameter β i secara parsial. Hipotesis yan diujikan adalah : H 0 : β i = 0 H 1 : β i 0, dimana i = 1,,, p Sedankan statistik uji Wald sebaai berikut : β i W = SE β i Statistik uji Wald menikuti sebaran normal baku, denan β i sebaai pendua dan SE β i sebaai pendua alat baku β i. Kriteria keputusan adalah menolak H 0 jika W Zα atau nilai P α (Hosmer & Lemeshow 000). Pereduksian peubah Pereduksian peubah dalam reresi loistik dikenal denan analisis reresi loistik bertatar (stepwise loistic reression), dimana lankah yan dilakukan adalah menambah atau menhilankan peubah penjelas satu persatu dari model sampai diperoleh peubah-peubah yan berpenaruh nyata terhadap model (Hosmer & Lemeshow 000). Stepwise loistic reression terdiri dari seleksi lanka maju dan eliminasi lankah mundur. Metode seleksi lankah maju prosedur dimulai denan intersep, kemudian peubah penjelas dimasukkan satu persatu ke dalam model dan diuji denan khikuadrat. Apabila peubah penjelas tidak sinifikan atau tidak nyata pada nilai α yan ditentukan, maka peubah tersebut dikeluarkan dari model dan sebaliknya peubah yan nyata atau sinifikan akan dimasukkan ke dalam model. Sedankan dalam metode eliminasi lankah mundur, prosedur dimulai denan model penuh yaitu memasukkan seluruh peubah penjelas ke dalam model, kemudian diuji satu persatu. Jika ditemukan peubah penjelas yan tidak nyata pada nilai α yan ditentukan maka peubah tersebut dikeluarkan dari model. Pada tiap prosesnya peubah yan memiliki nilai-p yan terbesar akan berakhir ketika peubah penjelas yan berada dalam model memiliki nilai-p kuran dari Analisis akan selesai jika tidak ada lai peubah yan dapat dieliminasi dari model (Garson 010).

8 Teknik pereduksian peubah penjelas ini telah tersedia dalam paket penolahan komputer. Dalam penelitian ini metode pereduksian yan diunakan adalah eliminasi lankah mundur. Interpretasi Koefisien Setelah diperoleh model terbaik, dilakukan interpretasi koefisien yan diperoleh. Rasio odds dapat jua diperunakan untuk memudahkan interpretasi model. Rasio odds adalah ukuran asosiasi yan memperkirakan berapa besar kemunkinan peubah-peubah penjelas terhadap peubah respon (Hosmer dan Lemeshow 000). Rasio odds untuk Y = j terhadap Y = k yan dihitun pada dua nilai (misal x = a dan x = b) adalah : Ψ a, b = P Y = j x = a)/p Y = k x = a) P Y = j x = b)/p Y = k x = b) = exp β i a b Sehina jika a b = 1 maka Ψ = exp (βi). Ukuran Ψ selalu positif dan umumnya diunakan sebaai pendekatan risiko nisbi (relative risk). Untuk Ψ = 1 berarti bahwa x = a memiliki risiko yan sama denan x = b untuk menhasilkan Y = j. Bila 1 < Ψ < berarti x = a memiliki risiko lebih tini Ψ kali daripada x = b, dan sebaliknya untuk 0 < Ψ < 1. Jika peubah penjelas kontinu maka interpretasi koefisien duaan terantun pada unit particular dari peubah penjelas. Untuk peubah penjelas kontinu diperlukan unit perubahan sebesar c, maka rasio odds diperoleh denan exp (cβi) (Hosmer dan Lemeshow 000).