MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU XII

Transkripsi

1 MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU XII OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIAT TANPA DAN DENGAN KENDALA Prepared by : W. Roianto ROFI

2 KONDISI MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF DEFINISI Fungsi y = (,,, n ) maksimum relati pada = a, = a,, n = a n jika pada semua titik (,,, n ) yang cukup dekat dengan (a,a,,a n ) (a,a,,a n ) (,,, n ) Fungsi y = (,,, n ) minimum relati pada = a, = a,, n = a n jika pada semua titik (,,, n ) yang cukup dekat dengan (a,a,,a n ) (a,a,,a n ) (,,, n ) ROFI

3 ROFI OPTIMASI FUNGSI n-variabel Titik Kritis pada ungsi n-variabel bebas diuji dengan Hessian matri. Untuk ungsi (,,, n ) maka Hessian matri-nya merupakan matriks bujur sangkar dengan dimensi (nn). = n n n n n n n H SYARAT TITIK EKSTRIM =, =,, n =

4 ROFI OPTIMASI FUNGSI n-variabel Dari Hessian matri dapat dibentuk sebanyak n submatriks yang determinannya dinamakan principal minor (dilambangkan dengan i ). Submatri ke n merupakan matriks Hessian itu sendiri, H n = H. ( ) H = = H = H

5 OPTIMASI FUNGSI n-variabel Kondisi karakteristik titik ekstrim relati Untuk nilai-nilai titik kritis yang telah diperoleh dan seluruh derivati orde kedua adalah kontinyu : Titik kritis merupakan titik maksimum relati jika : <, >, <, Titik kritis merupakan titik minimum relati jika : >, >, >, Jika tidak satupun kondisi tersebut terpenuhi tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik. Analisis lebih jauh di sekitar titik kritis perlu dilakukan untuk mengetahui karakteristiknya ROFI

6 OPTIMASI FUNGSI n-variabel Contoh penentuan titik kritis beserta karakteristiknya : (,, ) = Pertama dicari terlebih dahulu lokasi titik kritisnya : = = = = ½ = = = dan = = 6 = = = ¼ Jadi titik kritis terjadi pada (,,,6) dan (½,, ¼, 6 ¼). Uji karakteristik menggunakan matriks hessian : H = 6 6 ROFI

7 OPTIMASI FUNGSI n-variabel Untuk titik (,,,6): H H ( () ) = = = maka = maka = H = 6 6 maka = 7 Karena kondisi ini tidak memenuhi salah satu kriteria karakteristik titik kritis maka tidak dapat disimpulkan karakteristik untuk titik (,,,6). ROFI

8 OPTIMASI FUNGSI n-variabel Untuk titik (½,, ¼, 6 ¼): H H = ( ( )) = 6 = 6 maka = -6 maka = H 6 = 6 6 maka = -7 Karena <, >, <, maka dapat disimpulkan bahwa titik (½,, ¼, 6 ¼) merupakan titik maksimum relati. ROFI

9 OPTIMASI FUNGSI BIVARIAT DENGAN KENDALA Permasalahan optimasi suatu ungsi tujuan (objective unction) dengan kondisi batas tertentu (constrains) dapat diselesaikan dengan metode Lagrange multiplier. Misalkan suatu permasalahan Maksimisasi (atau minimisasi) y = (, ) dengan kendala g(, ) = k Inormasi tersebut dapat ditulis kembali sebagai ungsi komposit yang disebut lagrangian unction dengan tambahan variabel λ (Lagrange multiplier). L(,, λ) = (, ) λ[g(, ) k)] ROFI

10 ROFI OPTIMASI FUNGSI BIVARIAT DENGAN KENDALA Syarat titik kritis : L = L = L λ = Pengujian karakteristik titik kritis dapat dilakukan dengan bantuan matriks bordered hessian. Kondisi maksimum/minimum relati I. Jika B >, maka titik kritis merupakan titik maksimum II.Jika B <, maka titik kritis merupakan titik minimum = B L L g L L g g g H

11 OPTIMASI DENGAN KENDALA Contoh : Carilah titik kritis dari kondisi ungsi berikut dan tentukan karakteristiknya: (, ) = dengan kendala + = 4 Jawab : Bentuk ungsi Lagrange : L(,,λ) = + 6 λ( + 4) Syarat titik kritis : L = + λ =.. () L = 6 λ =.. () L λ = + 4 =.. () ROFI

12 Eliminasi () dan () + λ = 6 λ = =.. (4) Eliminasi () dan (4) + 4 = = = = 9 Substitusi pada () = = Uji karakteristik titik kritis H B = B = 4 positi ma relati Jadi titik kritis adalah (,9,96) yang merupakan titik maksimum relati Substitusi ungsi tujuan (, 9) = 96 ROFI

13 INTERPRETASI λ Fungsi Lagrange : L(,,λ) = (, ) λ[g(, ) k)] L k = L k = λ Dengan demikian λ dapat diinterpretasikan sebagai tingkat perubahan sesaat pada nilai ungsi Lagrange apabila konstanta k pada persamaan constraint berubah. ROFI

14 CONTOH Jika angka penjualan suatu barang (z) dipengaruhi oleh besarnya belanja iklan TV () dan besarnya belanja iklan radio (y) sesuai ungsi : z = 4 + 6y 5 y y dan y dalam jutaan rupiah. Berdasarkan ungsi tersebut : a. Berapakah sebaiknya alokasi belanja iklan di TV dan radio agar dicapai angka penjualan maksimum dan buktikanlah b. Berapakah angka penjualan maksimum yang dapat dicapai? c. Berapakah masing-masing besarnya alokasi belanja iklan di TV dan radio agar diperoleh angka penjualan maksimum, bila total biaya iklan dibatasi sebesar Rp. juta dan buktikanlah d. Berapakah angka penjualan maksimum yang dapat dicapai dengan pembatasan tersebut ROFI

15 ANTIDERIVATIVE Antiderivative = kebalikan dari dierensial Jika () = 4, berapakah () =? () = 4? () = 4 + 8? () = 4 8? y () = () = 4 () = 4-8 () = 4 + C ROFI

16 KAIDAH INTEGRAL INDEFINITE INTEGRAL Jika adalah ungsi kontinyu, ( ) d = F( ) + C Dengan catatan F () = () Pelajari Rule sampai Rule 9 (Budnick 8.) ROFI

17 CONTOH. d = + C.. d = d = + C + C ( ) d = C ROFI