BAB II KEADAAN FERMI DIRAC

Transkripsi

1 BAB II KEADAAN FERMI DIRAC A. Keadaa Makro da Mikro Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistic adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel-partikel kedalam tigkattigkat eergi da keadaa-keadaa atau status eergi. Ricia sebara partikel ii sagat tergatug pada apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak terbedaka spesifikasi jumlah partikel kedalam tigkat-tigkat eergi dega tidak meghirauka apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak disebut keadaa makro dari suatu sistem. Setiap keadaa makro dapat dirici lagi mejadi keadaa-keadaa mikro tergatug kepada apakah partikel-partikel tersebut terbedaka atau tidak, da apakah masig-masig tigkat eergi terbegearasi atau tidak. Jumlah keadaa mikro utuk setiap keadaa makro k, disebut peluag termodiamik yag disimbolka dega Wk, sedagka peluag termodiamik sistem adalah jumlah semua peluag termodiamik tiap-tiap keadaa makro, yag biasa dirumuska sebagai berikut: Dalam statistik Maxwell-Boltma, ada dua cirri yaga diguaka yaki: 1. Partikel-partikel dalam sistem terbedaka 2. Seiap keadaa eergi dapat di isi oleh lebih dari satu partikel Agar diperoleh gambara yag jelas tetag keadaa makro da keadaa mikro dari sistem berdasarka kedua ciri di atas kita ambil cotoh sebagai berikut: Cotoh : Suatu sistem terdiri dari 3 partikel terbedaka, misalya a, b, da c yag tersebar kedalam dua tigkat eergi, έ 1 da έ 2. Jika sistem tidak tergeerasi, atau jumlah keadaa utuk tiap tigkat eergi adalah satu maka : a. Tujukka keadaa makro yag mugki b. Tujukka keadaa mikro utuk setiap keadaa makro

2 c. Tetuka peluag termodiamik utuk setiap kedaa makro d. Tetuka peluag termodiamik sistem Solusi: Dega memisahka N 1 da N 2 adalah jumlah partikel utuk masigmasig tigkat eergi maka masalah ii dapat diselesaika dega cara berikut: a. Keadaa-keadaa makro yag mugki: N N Terlihat bahwa terdapat 4 keadaa makro b. Keadaa-keadaa mikro utuk setiap keadaa makro Keadaa makro keadaa-keadaa mikro N 2 3 abc N 1 0 N 2 N bc a ac b ab c N 2 N a bc b ac c ab N 2 0 N 1 3 abc c. Peluag termodiamik dapat kita lihat utuk setiap keadaa sehigga diperoleh : W 1 = 1, W 2 = 3, W 3 = 3, da W 4 = 1 d. Peluag termodiamik sistem adalah : Ω = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = = 8

3 B. Partikel Fermi Dalam azas laraga Pauli utuk atom yag memiliki lebih dari satu ellektro, misalya Natrium, elekto-elektro tidak berkumpul ditigkat eergi redah, kare amsig- masig status haya boleh ditempati tidak lebih dari satu elektro. Tigkat palig redah ( =1) haya boleh ditempati oleh dua elektro, yag satu spi ya keatas da yag laiya spiya kebawah. Sedagka tigkat eergi berikutya, ( = 2), aka ditempati oleh 8 elektro, da seterusya, tigkat eergi ke - aka diisi oleh 2 2 elektor dega kofigurasi yag didasarka kepada azas laraga Pauli. Azaz laraga Pauli ii, diperoleh sebagi kosekuesi dari sifat elektro sebagai gelombag, seperti yag sudah disiggug diatas. pada mekaika kuatum utuk partikel idetik, aka ditemuaka bahwa fugsi gelombag totalya, haya boleh simetrik atau ati simetrik terhadap pertukara dua partikel. Azas laraga Pauli, aka mucul dega sediriya, apabila kita memilih fugsi gelombag total yag ati simetrik. Partikelpartikel yag memiliki sifat seperti ii, misalya elektro, proto diamaka partikel fermi atau Fermiu. Dalam pokok bahasa ii aka dibahas tetag partikel- partikel fermi tersebut, melalui statistik yag disebut statistik fermi-dirac yag dikembag oleh Erico Fermi dari Italia da P. Dirac dari Iggris. C. Fugsi Distribusi Fermi Dirac Distribusi Fermi Dirac ii memiliki 2 ciri khas yaitu: a. Partikel-partikel dalam sistem tidak dapat dibedaka atara yag satu dega yag lai. b. Satu status atau keadaa eerrgi, haya boleh diisi oleh satu partikel artiya tidak boleh diisi lebih dari satu partikel. Bila dilihat dega cotoh sebuah partikel bebas bemassa m, dalam ruaga yag volume V, status eergi partikel itu ditetuka oleh 3 bilaga kuatum yaitu ( x, y, da z yag merupaka bilaga bulat dari 0,1,2,3...

4 da seterusya. Tigkat eergi partikel itu, ditetuka jumalah kuadrat dari x, y, da z meurut persama : Diperoleh dari : ε x, y, z = Eergy mometum h 2 2mV 2 3 : ℷ = h p ( x 2 + y 2 + z 2 ) P= h ℷ ℷ = l Sehigga ε = p2 2m = h ² l 2m = h² ² l² 2m = [ h² 3 ] ², L= v 2ml² =[ h 2 3 ] ² 2m( v)² = [ h² ]² 2mv 2 3 Jadi, ε x, y, z = h 2 2mV 2 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) Sudah kita ketahui bahwa tigkat eeergi palig bawah haya memiliki satu status eergi, tigkat berikutya memiliki 6 status eergi da seterusya.

5 Kalau dalam elekrto dalam logam adalah gelombag- gelombag yag berjubel dalam ruaga yag relatif sempit sehigga idetitas masigmasig mejadi tidak bermaka maka kita tidak lagi bisa megguaka pergertia makro seperti pada statistik Maxwell- Bolzma. Kita aka megguaka lambag N 1, N 2, N 3... da seterusya utuk meujukka jumalah partikel- partikel atau bilaga populasi pada tigkata eergi ke 1, 2, 3... da seterusya. Dega cara ii maka eergi total dalam kumpula N elektro adalah : U = ε 1 da N = Utuk memberika gambara yag jelas tetag jumlah keadaa mikro da suatu keadaa makro, dapat dilihat cotoh berikut ii. Cotoh: Suatu sistem, terdiri dari 2 tigkata eergi, tigkata ε 1, dega 4 keadaa eergi, da ditempati oleh 3 partikel sedagka pada tigkata ε 2, dega 3 keadaa eergi, terdapat 2 partikel. Jika partikel memeuhi statistik fermi dirac gambarka keadaa mikro yag mugki. Solusi : ada 4 cara utuk meempatka 3 partikel pada tigkata ε 1 dega 4 keadaa, da ada 2 cara utuk meempatka 2 partikel yag terdapat pada tigkata ε 2, seperti yag dilihatka pada gambar berikut ii: Tigkata ε 1

6 Secara umum, peluag termodiamika W utuk setiap tigkat eergi dapat dirumuska sebagai berikut: W i =!!! Dari cotoh diatas berarti: W 1 = 4! 3! 4 3! = 4, da W 2 = 3! 2! 3 2! = 3 Jika kedua tigkata eergi ii dikombiasika, aka diperoleh peluag termodiamik total sebayak: W = W 1 x W 2 = 4 x 3 = 12 Jadi ada 12 cara yag mugki utuk meggambar kofigurasi partikel pada kedua tigkata eergi itu. Dega demikia secara umum utuk seluruh sistem peluag termodiamik total paa distribusi fermi dirac ii adalah; W =!!! Kofigurasi dega peluag terbesar dapat ditetuka dega mecari W yag terbesar dega kedala N da U bergharga tetap, seperti yag dilakuka waktu meuru rumus distribusi Maxwell- Boltzma. Sesuai dega persamaa yag memperlihatka hubuga atara Etropi S da peluag termodiamika yaitu S = k l W, maa etropi terbesar adalah ketika l W maksimu, maka l W = l!!! = l! [l! + l(!] Dega meguguaka dalil Strilig yaiki: l N! = N L N 2 Maka persamaa (4-7) dapat ditulis :

7 l W = [ l l ( ) l( )] Bila didiferesial terhadap maka : l W = [ l +l ( ) ] l W = l Karea sistem terisolasai, maka perubaha yag terjadi hayalah jumlah pertikel pada masig-masig tigkat eergi, sedagka jumlah partikel total dalam sistem tidaklah berubah. Begitu juga dega eergi dalam (U) pada sistem, sehigga persamaa (4-2) da (4-3) dapat ditulis sebagai berikut : = dn = 0 εi = du = 0 Solusi dari persamaa (4-8), (4-9) da (4-10), dapat diperoleh dega megguaka metoda pegali Lagrage, seperti yag dilakuka ketika meuruka persamaa distribusi Maxwell-Bolzma, yaitu : l N 楜 + α + β εi = 0 l = α + β εi,

8 L =- α + β εi = e α+βεi -1 = e α+βεi = e α + β εi +1 Dari persama (4-10) dapat dilihat bahwa jumlah elektro yag meempati tigkata eergi ke i, sebadig dega jumlah status atau keadaa eergi, artiya sebadig dega. Juga terlihat bahwa jumlah partikel yag meghui status ke s misalya adalah : = e α+ β εi +1 Bila kita cermati pers (4-10) dapat pula kita lihat, bahwa bila suku pertama pada peyebut jauh lebih besar dari satu, maka ugkapa utuk mirip dega distribusi Maxwell-Bolzma, yaki : N s = 1 e α+ β εi + 1 α+ β εi Ni = e Dimaa telah diperoleh hargaβ = -1/kT. Utuk meetuka harga a, diperluka fugsi-sugsi yag agak rumit sehigga sulit utuk megugkapkaya disii. Tetapi satu hal yag petig adalah bahwa α tergatug pada suhu mutlak T. α = εo / kt

9 dimaa Eo merupaka besara yag mempuyai dimesi eergy. Oleh sebab itu, Fermi dirac biasa di tulis dalam betuk : f (ε) = 1 exp 屨 εo +1 da disii fugsi didtribusi ferrmi dirac f F Fugsi ii memiliki sifat yag khas, seperti diperlihatka pada gambar (4-1). Utuk ilai ε yag lebih kecil dari εo suku pertama dari peyebut dapat di abaika besarya, sehigga f (ε) berilai 1. Utuk ilai ε yag jauh lebih besar dari εo, suku pertama dari peyebut mejadi begitu besar, sehigga ilai f (ε) berilai 0. Sedagka tepat ketika ε= εo maka f(ε) berilai ½.

10 BAB III PENUTUP A. Kesimpula Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistic adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel-partikel kedalam tigkattigkat eergi da keadaa-keadaa atau status eergi. Ricia sebara partikel ii sagat tergatug pada apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak terbedaka spesifikasi jumlah partikel kedalam tigkat-tigkat eergi dega tidak meghirauka apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak disebut keadaa makro dari suatu sistem. B. Sara Demikialah makalah statistic Fermi dirac ii pemakalah buat agar dapat dijadika baha utuk perkuliaha pada mata kuliah fisika statistik. Kami sebagai pemakalah meyadari masih bayak terdapat kekuraga pada makalah ii, utuk itu kami megharapka kritika da sara yag membagu demi kesempuraa makalah ii.

11 DAFTAR PUSTAKA Jamal.Julia,ddk.2003.Fisika Statistik.Padag:UNP Press