Optimisasi Program Linear Integer Murni Dengan Metode Branch And Bound

Transkripsi

1 TALENTA Coferece Series: Sciece & Techology PAPER OPEN ACCESS Optimisasi Program Liear Iteger Muri Dega Metode Brach Ad Boud Author DOI : Todi Marulizar : /st.v1i2.295 Electroic ISSN : Prit ISSN : Volume 1 Issue TALENTA Coferece Series: Sciece & Techology (ST) This work is licesed uder a Creative Commos Attributio-NoDerivatives 4.0 Iteratioal Licese. Published uder licece by TALENTA Publisher, Uiversitas Sumatera Utara

2 ST Coferece Series 01 (2018), Page TALENTA Coferece Series Available olie at Optimisasi Program Liear Iteger Muri Dega Metode Brach Ad Boud Abstrak Todi Marulizar a *, Ujia Siuligga b, Esther Nababa c a Departeme Matematika FMIPA,Uiversitas Sumatera Utara, Idoesia esther@usu.ac.id; marulizar@gmail.com; ujia.siuligga@usu.ac.id Program Liier Iteger Muri merupaka optimisasi kombiatorial yag tidak mudah utuk diselesaika secara efisie. Metode yag serig diguaka utuk meyelesaika Program Liier Iteger Muri diataraya adalah metode merative, yag merupaka salah satuya metode Brach ad Boud. Metode ii megguaka hasil dari metode simpleks yag belum berilai iteger sehigga dilakuka pecabaga da batasa terhadap variabel j yag berilai pecaha terbesar. Metode Brach ad Boud dapat meyelesaika masalah optimisasi suatu produk, tetapi membutuhka waktu yag lebih lama dalam proses perhitugaya dikareaka dalam setiap tahap perhituga harus dicari ilai dari batas atas da batas bawah yag ditetua berdasarka suatubatasadakriteria tertetu. Kata kuci : Pure iteger; iteger programmig; metode brach ad boud; 1. Pedahulua Salah satu keputusa maajerial yag sagat petig adalah peyalura sumber daya yag sagat lagka. Sumber daya yag dimaksud dapat berupa uag, baha baku, teaga kerja, peralata da mesi, ruag, atau waktu. Model aalisa yag terbaik utuk meyelesaika persoala alokasi sumber daya ialah model program liear (P. Siagia, 1987). Program liear berpera sebagai pirati utuk membatu dalam pegambila keputusa maajeme dega cara megidetifikasi kombiasi sumber daya yag tersedia sehigga tujua yag diigika dapat tercapai secara optimal (Parli Sitorus, 1997).bProgram itegeradalah program liear (liear programmig) di maa variabel-variabelya bertipe itegerb(bulat). Program iteger diguaka utuk memodelka permasalaha yag variabel-variabelya tidak mugki berupa bilaga yag tidak bulat(bilaga riil), seperti variabel yag mempresetasika jumlah orag atau beda, karea jumlah orag atau beda pasti bulat da tidak mugki berupa pecaha. Program iteger juga biasaya lebih dipilih utuk memodelka suatu permasalaha karea program liear dega variabel berupa bilaga riil kurag baik dimodelka dalam permasalaha yag meutut solusi berupa bilaga iteger, misalya variabelvariabel keputusaya jumlah cabag perusahaa di daerah berbeda di suatu egara. Solusi pecaha tetu tidak dapat diterima dalam keputusa perusahaa. Pada permasalaha maksimum atau miimum, setiap model variabel dapat berilai riil. Dalam beberapa kodisi tertetu serig medekati atau mempuyai peyelesaia pecaha. Sebagai cotoh, suatu solusi yag memerluka 2,29 kapal selam dalam suatu sistem pertahaa adalah tidak mempuyai maka praktis. Dalam kasus ii, 2 atau 3 kapal selam harus disediaka (buka 2,29 kapal selam) The Authors. Published by TALENTA Publisher Uiversitas Sumatera Utara Selectio ad peer-review uder resposibility of Semiar Ilmiah Nasioal Dies Natalis USU-65

3 176 Todi Marulizar / ST Coferece Series 01 (2018), Page Walaupu demikia masih bayak masalah lai dalam kasus optimisasi, sagat sulit membulatka peyelesaia tapa melaggar beberapa dari kedala (costrait). Serig terjadi jika memprediksi variabel yag tepat, perlu meggati ilai beberapa variabel utuk memeuhi semua kedala. Akibatya jika membulat peyelesaia bisa saja memberika suatu ilai fugsi objektif yag sagat jauh dari ilai optimal awal. Semua kesulita-kesulita ii dapat dihidari jika masalah optimisasi (maksimum/miumum) dimodelka da diselesaika sebagai masalah program liear. Pada problema optimisasi dega kedala liear da terdapat beberapa variabel yag dibatasi berilai iteger, maka masalah optimisasi ii diyataka sebagai masalah pure iteger liear programmig. Bayak metode yag dapat diguaka utuk meyelesaika permasalaha pure iteger liear programmig yag tiap-tiap metode mempuyai kelebiha da kelemaha. Berdasarka pejelasa di atas maka peulis megguaka metode Brach ad Boud dalam meyelesaika masalah pure iteger liear programmig. Adapu metode yag diguaka dalam peyelesaia masalah pure iteger liear programmig adalah metode brach ad boud. Metode ii pertama kali dikembagka oleh A.H Lad da A. G. Doig da kemudia diperbaiki oleh R. J. Daki. Kosep dasar dari metode brach ad boud adalah terhadap tiap-tiap ilai j, diberika [ j ] j [ j ] + 1 dimaa [ j ] adalah bilaga bulat terdekat yag lebih kecil dari j. 2. Program Iteger Program iteger adalah program liear (liear programmig) di maa variabel-variabelya bertipe itegerb(bulat). Program iteger diguaka utuk memodelka permasalaha yag variabel-variabelya tidak mugki berupa bilaga yag tidak bulat(bilaga riil), seperti variabel yag mempresetasika jumlah orag atau beda, karea jumlah orag atau beda pasti bulat da tidak mugki berupa pecaha. Program iteger juga biasaya lebih dipilih utuk memodelka suatu permasalaha karea program liear dega variabel berupa bilaga riil kurag baik dimodelka dalam permasalaha yag meutut solusi berupa bilaga iteger, misalya variabel-variabel keputusaya jumlah cabag perusahaa di daerah berbeda di suatu egara. Solusi pecaha tetu tidak dapat diterima dalam keputusa perusahaa. Pada masalah program iteger utuk pola memaksimumka, ilai tujua dari program iteger tidak aka perah melebihi ilai tujua dari program liear, apabila melebihi maka tidak diperoleh peyelesaia layak atau ifeasible (Wahyujati, Ajie. 2009).Program iteger merupaka bagia dari program matematika (mathematical programmig). Adapu permasalaha program matematika secara umum dapat diyataka sebagai : Optimisasika (), S R dega R adalah himpua semua vektor riil kompoe da z suatu fugsi riil yag didefiisika dalam S. Himpua S diamaka himpua kedala (costrait) da z disebut fugsi objektif (objective fuctio). Permasalaha pada program matematika bertujua utuk mecari solusi optimal. Utuk mecari solusi optimal tersebut, harus diketahui apa yag dimaksud dega solusi layak (feasible solutio). Setiap, S pada persamaa di atas disebut sebagai solusi layak, sedagka utuk 0 S yag sudah memeuhi z() < z( 0 ) <, Sdiyataka sebagai solusi optimal (optimal solutio) dari persamaa di atas yag memaksimumka (). Masalah program matematika dega S R, da himpua semua vektor bilaga bulat kompoe, disebut masalah iteger programmig. Karakteristik-karakteristik dalam Program Liear Dalam membagu model dari formulasi aka diguaka karakteristik-karakteristik yag biasa diguaka dalam persoala program liear yaitu: a. Variabel keputusa Variabel keputusa adalah variabel yag meguraika secara legkap keputusa-keputusa yag aka dibuat. b. Fugsi tujua Fugsi tujua merupaka fugsi dari variabel keputusa yag aka dimaksimumka (pedapata atau keutuga) atau dimiumka (biaya atau ogkos).

4 Todi Marulizar / ST Coferece Series 01 (2018) c. Pembatas Pembatas merupaka kedala yag dihadapi sehigga kita tidak bisa meetuka harga-harga variabel keputusa secara sembarag. d. Pembatas tada Pembatas tada adalah yag mejelaska apakah variabel keputusaya diasumsika haya berharga egatif atau variabel keputusaya boleh berharga positif. Sifat Umum Program Iteger Semua persoala program iteger mempuyai empat sifat umum yaitu, sebagai berikut (Susata, B. 1994): 1. Fugsi Tujua (objective fuctio) 2. Persoala program iteger bertujua utuk memaksimumka atau memiimumka pada umumya berupa laba atau biaya sebagai hasil yag optimal. 3. Adaya kedala atau batasa (costrait) yag membatasi tigkat sampai di maa sasara dapat dicapai. Oleh karea itu, utuk memaksimumka atau memiimumka suatu kuatitas fugsi tujua bergatug kepada sumber daya yag jumlahya terbatas. 4. Harus ada beberapa alteratif solusi layak yag dapat dipilih. 5. Tujua da batasa dalam permasalaha program iteger harus diyataka dalam hubuga dega pertidaksamaa atau persamaa liear. Pure iteger liear programmig adalah masalah iteger programmig dimaa semua variabel keputusaya terbatas haya utuk bilaga bulat. Betuk umum dari pure iteger programmig adalah: Optimisasika : = j=1 c j j Dega kedala : (1) a ij j (,, =)b i j=1 j 0, daiteger i = 1, 2, 3,, m j = 1, 2, 3,, Dega a ij, b i, dac j adalah kostata. Mied iteger liear programmig adalah masalah iteger programmig dega beberapa variabel keputusaya dibatasi sebagai bilaga bulat, da semetara yag lai tidak. Betuk umum dari mied iteger programmig adalah: p Optimisasika : = j=1 c j j + k=1 d k y k Dega kedala : p a ij j + g ik y k (,, =)b i j=1 k=1 (2) i = 1, 2, 3,, m j 0, da iteger j = 1, 2, 3,, y k 0, k = 1,2,3,, p

5 178 Todi Marulizar / ST Coferece Series 01 (2018), Page ero iteger liear programmig adalah masalah iteger programmig dimaa variabel keputusaya haya berilai ol atau satu. Betuk umum dari mied iteger programmig adalah: Optimisasika : : = j=1 c j j Dega kedala : : a ij j b i j=1 (3) i = 1, 2, 3,, m j 0, j = 1, 2, 3,, Metode Brach ad Boud Brach ad Boud pertama kali diguaka oleh A. Lad da G. Doig utuk meyelesaika persoala program bilaga cacah muri da campura. Kemudia pada tahu 1965, E. Balas megembagka algoritma tambaha utuk meyelesaika iteger liear programmig dega bilaga bier muri (pure biary) atau variabel ol-satu. Perhituga algoritma tambaha ii sagat sederhaa (umumya, peambaha da peguraga) yag dapat meghasilka solusi pemecaha utuk problema iteger liear programmig. Aka tetapi, algoritma tambaha ii gagal utuk meghasilka keutuga peghituga yag diharapka. Selai itu, algoritma tersebut yag pada awalya tampak tidak berhubuga dega metode brach ad boud, tetapi buka merupaka problema khusus algoritma umum dari Lad da Doig. (Hamdy A. Taha, 2007) Algoritma Metode Brach ad Boud Berikut ii adalah laglah-lagkah peyelesaia suatu masalah pure iteger liear programmig dega metode brach ad boud: 1. Formulasika permasalaha dalam model matematika, tetuka fugsi tujua da kedala. 2. Ubah model matematika tersebut ke dalam betuk stadar. 3. Selesaika model yag baru dega megguaka metode simpleks. 4. Jika hasil yag ditemuka sudah berupa bilaga bulat, maka solusi optimum sudah didapatka. Aka tetapi, apabila hasil yag didapat belum berupa bilaga bulat, maka aka dilakuka pecabaga. 5. Lakuka metode simpleks utuk megoperasika liear programmig dega peambaha kedala yag baru da tetapka batas utuk setiap iterasi yag dilakuka. 6. Lagkah tersebut dilakuka berulag sampai ditemuka hasil yag bulat.

6 Todi Marulizar / ST Coferece Series 01 (2018) Metodologi Permasalaha dibagi mejadi submasalah-submasalah yag mugki megarah ke solusi. Iilah yag disebut brachig, megigat prosedur ii aka dilakuka berulag-ulag secara rekursif utuk setiap submasalah da setiap submasalah yag dihasilka aka membetuk sebuah poho yag disebut sebagai poho pecaria (search tree) di maa simpul simpulya membagu submasalah-submasalah. Selai brachig, algoritma ii juga melakuka apa yag disebut dega boudig yag merupaka cara cepat utuk mecari batas atas da batas bawah utuk solusi optimal pada submasalah yag megarah ke solusi. Adapu diagram alir peerapa metode brach ad boud dalam meyelesaika Pure Iteger Liear Programmig dega optimisasi maksimum disajika dalam gambar 1 sebagai berikut, 4. Pembahasa Berikutadalahcotoh peyelesaia masalahpure Iteger Liear Programmig dega metodebrach ad Boud(Sumber :Siurat, R. R. 2008) Maksimumka : = Kedala : (4) j 0 utukj = 1,2,3,4 j bulatutukj = 1,2,3, 4 Masalah tersebut ditrasformasika ke dalam betuk stadarya mejadi: Maksimumka = Kedala : (5) j 0 utukj = 1,2,3,4,5,6,7,8 j bulatutukj = 1,2,3, 4

7 180 Todi Marulizar / ST Coferece Series 01 (2018), Page Lagkah awal: setelah meetapka = dibetuk program liear relaksasi dari masalah ii dega meghilagka gugus kedala j adalah bilaga bulat utuk j = 1,2,3, 4. Dega megguaka metode simpleks program liear relaksasi diperoleh adalah 1 = 5 4, 2 = 3 2, 3 = 7 4, 4 = 0 dega = Karea persamaa liear relaksasi ii mempuyai peyelesaia layak da peyelesaia optimal ii mempuyai ilai yag buka bilaga bulat utuk varibel-variabel yag dibatasi bulat, maka pada masalah aka dilakuka pecabaga (brach) pada salah satu variabel yag belum bulat, misalka 1 dicabagka, sehigga masalah keseluruha tidak dihetika sehigga algoritma tersebut dijalaka. Pecabaga da iterasi berheti apabila seluruh variabel telah bilaga bulat, sepertipada diagram berikut : = 13 1 = 10 1 ifea = 14 1 = 14 1 = 14 1 = 12 1 ifea SOLUSI Gambar 1. Diagram Brach ad Boud Operasi pecabaga tersebut aka meelurusi semua solusi bilaga bulat feasible yag mugki, sedagka kosep pembatasa dipakai utuk mempersempit daerah yag layak peelurusa sehigga beberapa solusi bilaga bulat feasible yag tidak potesial dapat dibuag.pemiliha batas yag baik pada tahap awal perhituga pada metode brach ad boud tidak bisa ditetuka. Hal ii tergatug pada uruta sub-submasalah tersebut dibagu da ditelusuri. Hal ii berkaita dega pemiliha uruta variabel yag dipakai utuk mempartisi masalah mejadi subsubmasalah. Pemiliha yag berbeda aka meghasilka uruta proses yag berbeda da akibatya jumlah iterasi utuk medapatka solusi bilaga bulat yag optimum juga bisa berbeda. Oleh Karea itu metode brach ad boud cukup memaka bayak waktu da memerluka bayak perhituga. Solusi optimal diperoleh bila seluruh variebel keputusa telah memiliki ilai bilaga bulat (iteger). 5. Kesimpula Metode Brach ad Boud dapat diguaka utuk meetuka peyelesaia solusi optimal dalam masalah perecaaa liear pure iteger liear programmig. Algoritma Brach ad Boud cukup efektif diguaka pada permasalaha pure iteger liear programmig dega variabel keputusa yag berjumlah sedikit. Aka tetapi dalam meyelesaika permasalaha ii, algoritma brach ad boud mempuyai keterbatasa yaitu pemiliha batas yag

8 Todi Marulizar / ST Coferece Series 01 (2018) baik pada tahap awal perhituga pada metode brach ad boud tidak dapat ditetuka, da jumlah iterasi sagat bergatug pada pemiliha titik awal.degademikia dibutuhka waktu yag lama utuk meemuka solusi optimal. Daftar Pustaka [1] Amiudi Prisip-Prisip Riset Operasi. Jakarta: PT Gelora Aksara Pratama. [2] Bagu, E Kajia Strategis utuk Meyelesaika Iteger Program dega Metode Brach ad Boud.[Tesis]. Meda: Uiversitas Sumatera Utara. [3] Bu ulӧlӧ, F Opeasi Riset: Program Liear. Meda: Uiversitas Sumatera Utara Press. [4] Ety N. H Aplikasi Algoritma Brach ad Boud utuk Meyelesaika Iteger Programmig. Diamika Tekik. Vol. IV No. 1 Jauari 2010 Hal [5] Mulyadi, A Peyelesaia Mied Iteger Programmig dega Megguaka Metode Brach ad Boud. [Tesis]. Padag: Uiversitas Adalas. [6] Nasedi B. D Program Liear da Variasiya. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama [7] Siurat, R. R Studi Peyelesaia Problema Mied Iteger Programmig dega Megguaka Metode Brach ad Cut. [Skripsi]. Meda: Uiversitas Sumatera Utara. [8] Umami, A., E. NababadaSawaludi, 2015., KKT Coditios ad Brach ad [9] Boud Methods o Pure Iteger Noliear Programmig, Iteratioal [10] Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios 2015; 2(4): 62-67