Metode Pengembangan Pendekatan Rata-rata Sampel untuk Menyelesaikan Masalah Program Stokastik Cacah Campuran

Transkripsi

1 Vol. 10, o. 2, 75-82, Jauari 2014 Metode Pegembaga Pedekata Rata-rata Sampel utuk Meyelesaika Masalah Program Stokastik Cacah Campura Faridawaty Marpaug 1 Abstrak Peelitia ii megemukaka atau mejelaska suatu strategi peyelesaia utuk meyelesaika masalah program iteger stokastik dua tahap. Metodologi ii megguaka rata rata program stokastik melalui sampel, da pemecaha rata rata masalah melalui sebuah algoritma optimal. Tujua dari skema ii aka meghasilka sebuah peyelesaia optimal utuk masalah yag sebearya dega pedekata sebuah ekspoesial yag cepat sebagai ukura sampel yag fix, dijelaska tekik statistik da determiistik boudig utuk validasi kualitas dari sebuah calo peyelesaia optimal. Kata Kuci: Program Stokastik, optimal. 1. Pedahulua Dalam model operasioal da perecaaa diperluka syarat bilaga cacah pada peubah keputusa. Utuk hal keputusa peigkata sumber peghasila, memiliki faktor seperti harga tetap, perubaha biaya, da lai-lai meujukka model program cacah campura. Berbagai aplikasi seperti yag mucul dalam skedul, rotasi, lokasi, perecaaa produksi, da pembelajaa, meujukka model bilaga cacah. Program stokastik adalah merupaka program matematika, dimaa beberapa data yag termuat pada tujua atau kedala megadug ketidakpastia yag dicirika oleh distribusi peluag pada parameter. Dalam persoala program stokastik adalah membuat sebuah keputusa sekarag da memiimumka biaya rata-rata harapa sebagai kosekuesi dari keputusa, paradigma ii dikeal sebagai model recourse. Program stokastik cacah campura adalah cabag program stokastik yag berkaita dega program stokastik dimaa peubah keputusa meliputi syarat umum. Dalam program stokastik cacah campura bertujua mecari o atisipasi keputusa (disii da sekarag) yag diprioritaska utuk megetahui realisasi peubah acak. Keputusa ii dibutuhka utuk mejadika cara mejumlahka total biaya atau hasil akhir optimal, da lagi pula berbagai keputusa (termasuk melakuka recourse) dibatasi utuk bilaga cacah. Berbagai macam masalah 2 Program stokastik cacah campura yag timbul tergatug pada keputusa bilaga cacah yag dibuat, jarag utuk hasil observasi peubah acak. Peubah keputusa problem program stokastik dua-tahap dipartisi mejadi dua himpua. Peubah tahap pertama ditetuka sebelum melakuka realisasi parameter tak pasti. Kemudia, satu kejadia acak yag mucul sediri, da selajutya desai atau perbaika pegawasa operasi dapat berbetuk piliha pada biaya pasti, ilai tahap kedua atau peubah recourse. Tujua determiistik keputusa tahap pertama sedemikia higga jumlah biaya tahap pertama da ekspektasi biaya recourse miimum. Formulasi stadar dari program stokastik dua tahap sebagai berikut: 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas egeri Meda, farida2008.uim@gmail.com 1,2,3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Hasauddi Makassar, Jl. Peritis Kemerdekaa Km.10 Makassar

2 76 { ( ) [ ( ( ))]} (1) Kedala dega adalah keputusa atisipatif tahap pertama yag diambil sebelum peubah acak teramati da merupaka ilai optimal da : q, T, W, h ( ) { } (2) meyataka vektor dari parameter problem, tahap kedua. Diadaika bahwa beberapa (atau semua) kompoe acak, ditulis da ekspektasi dalam (1) diambil berdasarka sebara peluag dari yag diadaika 1 diketahui. Persoala (1) dega peubah x R, membetuk tahap pertama yag perlu 2 diputuska sebelum realisasi. Persoala (2) dega peubah y R, membetuk recourse utuk keputusa tahap pertama yag diketahui da realisasi dari data acak. Peelitia ii berkaita dega program stokastik dua tahap dega recourse fix, yaitu matriks W adalah tertetu (buka acak) da peubah recourse dipersyaratka cacah, yaitu Z 2 Y dalam (2). Diperlihatka dalam [7] dua sumber kesulita dalam meyelesaika program stokastik dega recourse cacah adalah: 1. Evaluasi eksak dari ekspektasi biaya recourse. 2. Megoptimalka Ekspektasi biaya recourse Dalam pedekata yag diajuka, fugsi ekspektasi biaya recourse dalam (1) digati oleh pedekata rata-rata sampel da problem optimisasi terkait diselesaika dega memakai algoritma khusus utuk optimisasi tak koveks. Disii diaalisis laju kovergesi dari Pedekata Rata rata Sampel (PRS) utuk program stokastik dega recourse cacah. Utuk meetuka [ ( ( ))] pada persamaa (1) secara eksak sulit dilakuka sehigga dilakuka pedekata yag baik bagi [ ( ( ))]. Peelitia ii bertujua utuk megembagka metode pedekata rata-rata sampel utuk meetuka fugsi biaya recourse dalam masalah program stokastik cacah campura. 2. Tijaua Pustaka 2.1. Program Stokastik Dua Tahap Peyelesaia persoala program stokastik dua tahap berisi vektor determiistik. Pada tahap pertama, peyelesaia persoala recaa awal determiistik aka dibuat. Pembetuka recaa awal determiistik dilakuka sebelum kodisi acak dari persoala ditetuka. Sebuah vektor acak pada peyelesaia persoala yag sesuai diguaka utuk merecaaka kompesasi divergesi, spesifikasi parameter dari persoala aka mucul pada tahap kedua. Tujua dari maager pada persoala di atas adalah memiimum ilai rata rata yag maa tidak haya termasuk pegeluara pada tahap perecaaa pedahulua tetapi juga pada tahap kedua yag diperluka utuk megkompesasi pada divergesi di dalam sistem kedala persoala. Jika persoala program stokastik dega model dua tahap dapat diselesaika maka pemiliha dari recaa awal determiistik aka mejami keberadaa (ekstesi) vektor acak di dalam kompesasi utuk sistem yag diverge.

3 77 Adaika terdapat persoala berikut: dimaa: ( ) (3) (4) (5) (6) { } ( ) ( ) Adaika eleme dari matriks ( ), vector ( ) da ( ) beilai acak Metode Pedekata Rata-rata Sampel Suatu sampel 1,..., dari realisasi vektor acak dibetuk, da akibatya E Q x, diestimasi oleh fugsi rata rata sampel ekspektasi fugsi ilai 1 1 vˆ da Q ( x, ). Aproksimasi rata rata sampel yag diperoleh: T 1 mi gˆ ( x) : c x Q( x, ) (7) xx 1 xˆ masig masig meyataka ilai optimal da peyelesaia optimal problem PRS v serta x masig masig meyataka ilai optimal da peyelesaia optimal (1); da problem awal (1). Hal petig yag perlu diperhatika adalah: i. Apakah vˆ da xˆ koverge terhadap mitraya v da x apabila ukura sampel diaikka? ii. Jika (i) terjawab, maka lakuka aalisis kovergesi da estimasi ukura sampel yag diperluka utuk memperoleh ilai optimal sebearya. iii. Pedekata optimisasi yag efisie utuk meyelesaika problem PRS dega ukura sampel yag diigika. iv. Perhatika bahwa utuk yag diketahui peyelesaia xˆ adalah layak da merupaka calo utuk peyelesaia optimal terhadap problem awal. Apakah dapat diberika iformasi tetag kualitas dari calo peyelesaia ii? Pertayaa pertayaa di atas telah terjawab utuk program liier stokastik dua tahap, yaitu apabila peubah tahap pertama da kedua dalam (1) da (2) kotiu. Telah dibuktika bahwa utuk program liier stokastik dega sebara diskrit, suatu peyelesaia optimal dari PRS memberika peyelesaia optimal eksak dari problem awal dega peluag medekati satu secara ekspoesial apabila bertambah (lihat [10]). Uji statistik utuk memvalidasi calo

4 78 peyelesaia yag didasarka pada gap optimalitas meurut orki et al. (lihat [5] da [6]), da demikia pula syarat optimalitas telah diajuka (lihat [8]). Lebih lajut lagi, tekik samplig ii telah diitegrasika dega algoritma dekomposisi utuk meyelesaika program liier stokastik dari berbagai ukura dega hasil yag cukup akurat (lihat Lideroth et al. [4]). Kovergesi dari pedekata PRS telah juga diperluas utuk program stokastik dega himpua keputusa tahap pertama diskrit da berhigga oleh Kleywegt et al. [3]. 3. Peyelesaika Problem PRS Pada bagia ii dibicaraka sifat kovergesi dari estimastor PRS, terutama yag diterapka pada program dua tahap dega recourse iteger. Utuk memakai hasil klasik, seperti Hukum Bilaga Besar, perlu diadaika bahwa sampel yag dibetuk meyebar salig bebas da idetik. amu perlu diperhatika bahwa sifat kovergesi dapat dituruka terhadap kodisi lebih luas. Disii diajuka algoritma Brach ad Boud utuk program stokastik iteger dua tahap dega sebara diskrit peubah iteger campura di tahap pertama da peubah iteger muri di tahap kedua. Kosep dari algoritma ii adalah megidetifikasi calo peyelesaia dega berturut-turut mempartisipasi ruag pecaria. Secara prisip tekik eumerasi Schultz et al. [8] dapat dipakai utuk meyelesaika problem PRS. amu umumya sagat sulit utuk megkarakterisasi himpua V kecuali problem tahap kedua memiliki struktur sagat sederhaa, tambaha lagi kardialitas V sagat besar, sehigga eumerasi tidak dimugkika secara komputasi. Alteratifya, dapat dicoba utuk meyelesaika determiistik ekivale dega memakai algoritma Brach ad Boud. amu, tekik demikia tidak mecoba utuk megeksplotasi struktur yag dapat teruraika dari problem, da metode ii aka gagal kecuali ukura sampel kecil. Dekomposisi berbaris algoritma Brach ad Boud yag dihetagka dalam Ahmed et al. ([1] da [2]) utuk meyelesaika problem PRS. Di sampig megkarakterisasi himpua calo peyelesaia V, algoritma ii megidetifikasi calo peyelesaia dega berturut turut mempartisi ruag pecaria. Lebih lajut lagi, algoritma memafaatka iformasi batas bawah utuk megelimiasi bagia daerah pecaria sehigga mecegah eumerasi legkap. Karea algoritma tidak secara eksplisit meelusuri V, harus dipastika bahwa peyelesaia akhir yag diperoleh tidak termasuk dalam himpua ii utuk mecapai kovergesi. Berikut ii diuraika algoritma sebagai peambaha terhadap asumsi A1 A 5. Algoritma megadaika A Matriks tekologi T, yag megaitka problem tahap pertama 6 da kedua adalah determiistik, yaitu T k T utuk semua k. Perhatika trasformasi liier dari peubah problem tahap pertama x dega memakai T oleh x : T x. Peubah x dikeal sebagai peubah luak dalam literatur program stokastik. Ide prisip dibelakag algoritma adalah memadag problem PRS dalam peubah luak. dimaa mi ˆ ( ) : ( ) ˆ ( ) (8) G T 1 ˆ j ( ) : if c x : Tx, ( ) : (, ) xx 1 T (, ) : if q y : Wy h yy

5 79 da X : 2 m X : X T, x X x X memiliki dimesi lebih kecil dari pada x. Lebih petig lagi, trasformasi ii memberika struktur tertetu terhadap fugsi diskotiu (). Khususya, dapat diperlihatka dalam Ahmed et al. ([1] da [2]) bahwa 2 m : mempuyai sifat berikut : i. Fugsi tak aik sepajag setiap kompoe X, j j 1,..., m2 dari X m2 ii. Utuk setiap z Z, kosta pada himpua C z: X : h z 1 X h z, 1,..., Perhatika bahwa himpua C z dikaitka dega himpua z X. Juga perhatika baku z C oleh trasformasika Tx C adalah empat persegi karea merupaka perkalia kartesia dari iterval. Jadi, fugsi ilai ekspektasi tahap kedua () kosta perbagia pada daerah empat persegi dalam ruag peubah luak X. Maka diskotiuitas dari () haya dapat terletak di batas daerah daerah ii da X kompak, maka X semua ortogoal pada sumbu peubah. Lebih lajut lagi, karea juga kompak. Jadi daerah demikia dalam himpua layak problem berhigga. Algoritma megeksploitasi sifat struktural di atas dega mempartisi ruag mejadi daerah berbetuk [ ), dimaa merupaka kompoe ke dari suatu titik dimaa fugsi ilai tahap kedua ( ) diskotiu. Perhatika bahwa ( ) haya dapat diskotiu di suatu titik dimaa sekurag kuragya satu dari kompoe vektor merupaka itegral utuk beberapa. Jadi, partisi ruag pecaria sepajag ilai. Berikut ii diberika peryataa formal dari algoritma Brach ad Boud. otasi: Algoritma Iisialisasi Daftar sub problem omor iterasi; juga dipakai utuk megidikatorka sub problem terpilih Partisi yag berkaita dega i Batas atas yag diperoleh di iterasi i Batas bawah pada sub problem i Peyelesaia layak utuk ilai sub problem Batas atas pada ilai optimal global Batas bawah pada ilai optimal global Calo optimum global Proses problem dega membetuk hiper-persegi berbetuk

6 80 Tambahka problem terbuka. Buat sehigga. dega kedala da peghitug iterasi utuk medaftarka sub problem Proses Iterasi. Lagkah 1: Jika, berheti dega peyelesaia, jika tidak, pilih sub problem, yag didefiisika sehigga dega kedala dari sub problem saat ii. Buat. Lagkah 2: Problem batas bawah yag memeuhi Jika. Tetuka peyelesaia layak Lagkah 2.a: Buat da hitug batas atas Lagkah 2.b: Jika, maka da Lagkah 2.c: Hetika daftar sub problem, yaitu Jika kembali ke Lagkah da pilih sub problem lai. Lagkah 3: Partisi mejadi da. Buat yaitu persoala kedua sub problem dari kedala, da dari kedala ke daftar sub problem terbuka. Utuk tujua pemiliha. Buat da kembali ke Lagkah Kesimpula Dalam peelitia ii dikembagka metode pedekata rata-rata sampel utuk program stokastik dua tahap. Peyelesaia persoala program stokastik dua tahap berisi vektor determiistik. Pada tahap pertama, dibuat peyelesaia persoala recaa awal determiistik. Pembetuka recaa awal determiistik dilakuka sebelum kodisi acak dari persoala ditetuka. Pada tahap kedua diguaka sebuah vektor acak pada persoala yag sesuai utuk merecaaka kompesasi divergesi, spesifikasi parameter. Dua kesulita dalam meyelesaika program stokastik adalah: 1. Evaluasi eksak dari ekspektasi biaya recourse. 2. Megoptimalka Ekspektasi biaya recourse. Algoritma Brach ad Boud utuk meyelesaika problem PRS. Algoritma Brach ad Boud juga megkaraterisasi himpua calo peyelesaia da megidetifikasi calo peyelesaia dega berturut turut mempartisi ruag pecaria. Algoritma memafaatka iformasi batas bawah utuk megelimiasi bagia daerah pecaria. Karea algoritma tidak secara eksplisit meelusuri himpua calo peyelesaia, maka dapat dipastika bahwa peyelesaia akhir yag diperoleh tidak termasuk dalam himpua ii utuk mecapai kovergesi.

7 81 Daftar Pustaka [1] Ahmed S., Strategic plaig uder ucertaity: Stochastic iteger programmig approaches Ph.D. Thesis. Uiversity of Illiois at Urbaa-Champaig. [2] Ahmed S., Tawarmalai M., ad Sahiidis.V., A fiite brach ad boud algorithm for two stage stochastic iteger programs. Submitted for Publicatio. E-prit available i: the Stochastic Programmig E-Prit Series: [3] Kleywegt A.J., Shapiro A., ad Homem De-Mello T., The sample average approximatio method for stochastic discrete optimizatio SIAM Joural of Optimizatio, 12: [4] Lideroth J., Shapiro S., ad Wright S., The empirical behavior of samplig methods for stochastic programmig. Optimizatio Techical Report 02-01, Computer Scieces Departmet, Uiversity of Wiscosi-Madiso. [5] orki V.I., Pflug Ch., ad Ruszczyski A., A brach ad boud method for stochastic global optimizatio. Mathematical Programmig, 83: [6] orki V.I., Ermoliev Y.M., ad Ruszczyski A., O optimal allocatio of idivisibles uder ucertaity Operatios Research, 46: [7] Schultz R., O structure ad stability i stochastic programs with radom techology matrixad complete iteger recourse. Mathematical Programmig, 70(1): [8] Schultz R., Stougie L., ad Va der Vlerk M.H., Solvig stochastic programs with iteger recourse by eumeratio: A framework usig Grober basis reductios. Mathematical Programmig, 83: [9] Shapiro A. ad Homem De-Mello T., A simulatio-based approach to two stage stochastic programmig with recourse. Mathematical Programmig, 81(3, Ser. A): [10] Shapiro A. ad Homem De-Mello T., O rate of covergece of Mote Carlo approximatios of stochastic programs. SIAM Joural o Optimizatio, 11: