BAB III PROGRAMA LINIER

Transkripsi

1 BAB III PROGRAMA LINIER 31 Searah Sigkat Programa Liier Meurut George B Datzig yag serig disebut Bapak Liear Programmig, di dalam bukuya : Liear Programmig ad Extesio, meyebutka, bahwa ide dari pada liear programmig ii berasal dari ahli matematik Rusia berama LV Katorivich yag pada tahu 1939 meerbitka sebuah karaga dega udul : MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND PLANNING OF PRODUCTION (telah diteremahka ke dalam bahasa Iggris da diterbitka di dalam maalah : Maagemet Sciece Vol 6, 1960, halama ) Didalam karaga tersebut telah dirumuska persoala liear programmig utuk pertama kaliya Aka tetapi ide ii rupaya di Rusia tidak bisa berkembag Teryata duia barat yag memafaatka ide ii selautya Kemudia pada tahu 1947 seorag ahli matematik dari Amerika Serikat, yag amaya telah disebutka diatas yaitu : George B Datzig meemuka suatu cara utuk memecahka persoala liear programmig tersebut dega suatu metode yag disebut simplex method Setelah saat itu yaitu seak tahu lima puluha liear programmig tersebut berkembag dega pesat sekali mula-mula di bidag kemilitera (utuk peyusua strategi perag) maupu didalam bidag busiess (persoala utuk mecapai maksimum profit, miimum loss, da lai sebagaiya) Sekarag pegguaa liear programmig buka saa terbatas pada bidag kemilitera, bidag ekoomi perusahaa yag sifatya mikro, sebagai alat maagemet, aka tetapi sudah meluas terutama sekali didalam perecaaa pembagua ekoomi asioal yag makro sifatya, misalya didalam peetua allocatio of ivestmets ke dalam sektor-sektor

2 perekoomia, rotatio corp policy peigkata peerimaa devisa, da lai sebagaiya 32 Karakteristik Persoala Programa Liier Programa Liier merupaka bagia dari Matematika yag khusus diterapka utuk meyelesaika persoala yag berkaita dega peetua : a Jumlah vaiabel-variabel iput yag dipakai dalam suatu masalah b Kombiasi variabel iput yag harus disediaka atau kombiasi output yag harus dihasilka c Jumlah output yag harus dihasilka utuk mecapai tuua (obective) tertetu yaki utuk mecapai optimalisasi dari suatu masalah, misalya utuk mecapai profit maksimum atau biaya miimum Sesuai dega sifat dari program ii, maka hubuga atara variabel iput/output serta fugsi obective yag harus dicapai harus merupaka hubuga liier baik yag berbetuk persamaa liier atau pertidaksamaa liier sedagka kuatitas iput/output merupaka kuatitas yag o egatif ( 0) Dalam membagu model dari persoala liier programmig diguaka karakteristik-karakteristik sebagai berikut : a Variabel keputusa Variabel keputusa adalah variabel yag meguraika secara legkap keputusa-keputusa yag aka dibuat Yag dimaksud disii adalah X 1, X 2, X 3, X 4,, X b Fugsi tuua Fugsi tuua merupaka fugsi dari variabel keputusa yag aka dimaksimumka (utuk pedapata atau keutuga) atau dimiimumka (utuk ogkos) c Pembatas-pembatas

3 Merupaka kedala-kedala yag dihadapi sehigga kita tidak bisa meetuka harga variabel keputusa secara sembarag Jadi maksudya disii ilai dari variabel keputusa tersebut dibatasi oleh pembatas (costrait) d Pembatas tada Pembatas tada adalah pembatas yag meelaska apakah variabel keputusaya diasumsika haya berharga oegatif atau variabel keputusa tersebut boleh berharga positif, boleh uga egatif (tidak terbatas dalam tada) 33 Model Programa Liier Model programa liier merupaka suatu cara utuk meyelesaika persoala pegalokasia sumber-sumber yag terbatas di atara beberapa aktivitas yag bersaig, dega cara yag terbaik yag mugki dilakuka Persoala pegalokasia ii mucul maakala seseorag harus memilih tigkat aktivitas-aktivitas tertetu yag bersaig dalam hal pegguaa sumber daya lagka yag dibutuhka utuk melaksaaka aktivitas-aktivitas tersebut Beberapa cotoh situasi dari uraia diatas atara lai ialah persoala pegalokasia fasilitas produksi, persoala pegalokasia sumber daya asioal utuk kebutuha domestik, peadwala produksi, solusi permaia (game), da pemiliha pola pegirima (shippig) Satu hal yag meadi ciri situasi diatas ialah adaya keharusa utuk megalokasika sumber terhadap aktivitas Betuk umum dari model programa liier dapat disusu sebagai berikut : 1 Fugsi tuua : utuk mecapai maksimasi Z = c 1 x 1 + c 2 x c x 2 Himpua costrait :

4 a 11 x 1 + a 12 x a 1 x b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x b 2 a m1 x 1 + a m2 x a m x b m 3 x 1, x 2,, x 0 dimaa : c 1 x 1 + c 2 x c x : fugsi tuua atau fugsi kriteria yag aka c 1, c 2,, c x 1, x 2,, x a i, i = 1, 2,, m b i = 1, 2,, dimaksimasi, diyataka dega Z : koefisie ogkos (yag diketahui) : variabel keputusa atau level aktivitas yag harus dicari : pembatas ke i : koefisie tekologi : koefisie ruas kaa x 1, x 2,, x 0 : pembatas oegatip Formulasi diatas diamaka sebagai betuk stadar dari persoala programa liier, da setiap situasi yag formulasi matematisya memeuhi model ii adalah persoala programa liier Istilah yag lebih umum dari model programa liier ii adalah sebagai berikut : a Fugsi yag memaksimumka, yaitu c 1 x 1 + c 2 x c x, disebut sebagai fugsi tuua b Pembatas-pembatas adalah costrait c Sebayak m buah kostrai pertama serig disebut sebagai kostrai fugsioal atau pembatas tekologis d Pembatas x 0 disebut sebagai kostrai o egatif e Variabel adalah variabel keputusa

5 f Kostata-kostata a i, b i da c adalah parameter-parameter model Selai model programa liier dega betuk seperti yag telah diformulasika diatas, ada pula model programa liier dega betuk yag agak lai, seperti : 1 Fugsi tuua buka memaksimumka, melaika memiimumka Cotoh : Memiimumka : Z = c 1 x 1 + c 2 x c x 2 Beberapa kostrai fugsioalya mempuyai ketidaksamaa dalam betuk lebih besar atau sama dega Cotoh : a i1 x 1 + a i2 x a i x b i Utuk beberapa harga i 3 Beberapa kostrai fugsioalya mempuyai betuk persamaa Cotoh : a i1 x 1 + a i2 x a i x = b i utuk beberapa harga i 4 Meghilagka kostrai oegatif utuk beberapa variabel keputusa Cotoh : x tidak terbatas dalam tada, utuk beberapa harga 34 Asumsi dalam Model Programa Liier Dalam megguaka model programa liier, diperluka beberapa asumsi sebagai berikut : a Asumsi kesebadiga (proportioality) Kotribusi setiap variabel keputusa terhadap fugsi tuua da ruas kiri dari setiap pembatas adalah sebadig dega ilai variabel keputusa itu Jadi variabel X berkoribusi pada ogkos C X da pada pembatas a i X Jika X ditigkatka dua kali, maka C X da a i X aka meigkat dua kali b Asumsi peambaha (additivity)

6 Ogkos total adalah peumlaha dari ogkos idividual, da kotribusi total pada batas yag ke- i merupaka peumlaha dari kotribusi idividual dari idividu aktivitas Jadi berapapu ilai X 2, pembuata seumlah X 1 suatu variabel keputusa aka selalu berkotribusi sebesar C 1 terhadap fugsi tuua Da berapapu harga X 1 tidak aka mempegaruhi pembuata seumlah X 2 c Asumsi pembagia (divisibility) Variabel keputusa dapat dibagi meadi beberapa level fraksi (pecaha) sehigga ilai variabel keputusa dibolehka buka iteger Jadi semua variabel dapat memiliki harga berapapu asalka real o egatif d Asumsi kepastia (certaity) Setiap parameter, seperti koefisie fugsi tuua, ruas kaa, koefisie tekologis, diasumsika dapat diketahui secara pasti 35 Betuk-betuk Model Programa Liier Utuk meyelesaika masalah programa liier, maka model pemecaha persoala perlu diyataka dalam betuk tertetu Betuk-betuk model matematis programa liier dapat diyataka dalam dua betuk, yaitu betuk kaoik da betuk stadar (baku) a Betuk Kaoik Karakteristik dari betuk kaoik adalah sebagai berikut : 1 Semua variabel keputusa adalah tidak egatip 2 Semua kedala berbetuk ketidaksamaa lebih kecil atau sama dega ( ) 3 Fugsi tuua berbetuk maksimasi Secara umum, betuk kaoik dapat diyataka sebagai berikut :

7 Maksimasi : Z 1 c x Dega memperhatika kedala : a x x b, i 1, 2,, m 0, 1,2,, Betuk umum diatas dapat diabarka ke dalam betuk yag lebih lebgkap dibawah ii : Maksimasi : Z = c 1 x 1 + c 2 x c x Dega memperhatika kedala : a 11 x 1 + a 12 x a 1 x b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x b 2 a m1 x 1 + a m2 x a m x b m x 1, x 2,, x 0 b Betuk Stadar Karakteristik dari betuk stadar persoala programa liier adalah sebagai berikut : 1 Semua kedala berbetuk persamaa (=), kecuali utuk kedala ketidakegatipa (o-egativity costrait) 2 Eleme ruas kaa dari setiap kedala yag meyataka kapasitas maksimum suatu fasilitas atau aktivitas adalah tidak egatif 3 Semua variabel keputusa adalah tidak egatip 4 Fugsi tuua berbetuk maksimasi atai miimasi Secara umum betuk stadar programa liier utuk persoala maksimasi da miimasi adalah sebagai berikut :

8 Fugsi tuua : Maksimasi c x 1 Dega memperhatika kedala : x 1 a i 0 x b i i 1,, m 1,, Fugsi tuua : Miimasi c x 1 Dega memperhatika kedala : x 1 a i 0 x b i i 1,, m 1,, Jika di dalam persoala yag dihadapi ada kedala yag berbetuk ketidaksamaa ( atau ), maka ketidaksamaa ii harus diubah ke dalam betuk persamaa, yaitu dega meambahka atau meguragka variable slack dari ruas kiri ketidaksamaa tersebut Kalau ketidaksamaa berbetuk lebih kecil atau sama dega ( ), maka harus ditambah dega variable slack agar meadi suatu persamaa Sebalikya, utuk ketidaksamaa berbetuk lebih besar atau sama dega ( ), maka harus dikuragi dega variabel surplus agar meadi suatu persamaa