BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Programa liear Programa Liear yag diterjemahka dari Liear programmig (LP) adalah suatu cara utuk meyelesaika persoala pegalokasia sumber-sumber yag terbatas di atara beberapa aktifitas yag bersaig, dega cara yag terbaik yag mugki dilakuka. Persoala pegalokasia ii aka mucul maakala seseorag harus memilih tigkat aktifitas-aktifitas tertetu yag bersaig dalam hal pegguaa sumber daya lagka yag dibutuhka utuk melaksaaka aktifitas-aktifitas tersebut. Beberapa cotoh situasi dari uraia di atas atara lai ialah persoala pegalokasia fasilitas produksi, pegalokasia sumber daya asioal utuk kebutuha domestik, pejadwala produksi, solusi permaia (game), da pemiliha pola pegirima (shoppig). Satu hal yag mejadi ciri situasi si atas ialah adaya keharusa utuk megalokasiaka sumber terhadap aktifitas. Programa liear ii megguaka model matematis utuk mejelaska persoala yag dihadapiya. Sifat liear di sii memberi arti bahwa seluruh fugsi matematis dalam model ii merupaka fugsi yag liier, sedagka kata programa merupaka sioim utuk perecaaa. Dega demikia, programa liear (LP) adalah perecaaa aktifitas-aktifitas utuk memperoleh suatu hasil yag optimum, yaitu suatuhasil yag mecapai tujua diatara seluruh alteratif yag fisibel. 2.2 Tipe-tipe Khusus Persoala Programa Liear Programa Liear mempuyai beberapa karakteristik-karakteristik khusus, diataraya ialah bahwa persoala-persoala tersebut cederug membutuhka sejumlah pembatas da variabel yag sagat bayak sehigga pegguaa komputer dalam peyelesaia metodeya aka sagat mahal, atau mugki proses perhitugaya aka meghadapi berbagai hambata. Karakteristik lai ialah bahwa kebayaka koefisieya dalam pembatas-pembatasya berharga ol, da sedikit

2 sekali koefisie yag berharga buka ol terjadi atau mucul dalam suatu pola tertetu. Karea itu, petig bagi kita utuk megeal tipe-tipe khusus dari persoala ii sehigga, jika pada suatu saat persoala ii mucul, kita aka segera megeal da meyelesaika dega prosedur perhituga yag tepat. Tipe khusus persoala programa liear yag palig petig ialah apa yag dikeal sebagai persoala trasportasi. Selai itu juga ada yag dikeal dega persoala trasshipmet da persoala peugasa (Assigmet) yag erat kaitaya dega persoala trasportasi Persoala Trasportasi Persoala trasportasi membahas masalah pedistribusia suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujua (destiatio, demad)m dega tujua memiimumka ogkos pegagkuta yag terjadi. Ciri-ciri khusus persoala trasportasi ii adalah : 1. Terdapat sjumlah sumber da sejumlah tujua tertetu. 2. Kuatitas komoditas atau barag yag didistribusika dari setiap sumber da yag dimita oleh setiap sumber da yag dimita oleh setiap tujua,besarya tertetu. 3. Komoditas yag dikirim atau diagkut dari suatu sumber ke suatu tujua, besarya sesuai bega permitaa da atau kapasitas sumber. 4. Ogkos pegagkuta komoditas dari suatu sumber ke suatu tujua, besarya tertetu Model Trasportasi Secara diagramatik, model trasportasi dapat digambarka sebagai berikut : Misalka ada m buah sumber da buah tujua.

3 Sumber a 11 Tujua b i = 1 12 j = i = 2 22 j = i = m 32 j = m Gambar 2.1 Model Trasportasi Masig-masig sumber mempuyai kapasitas a i, i = 1, 2, 3,..., m Masig-masig tujua membutuhka komoditas sebayak b j, j = 1, 2, 3,..., Jumlah satua (uit) yag dikirimka dari sumber i ke tujua j adalah sebayak Ogkos pegirima per uit dari sumber i ke tujua j adalah c Miimumka : z Berdasarka Pembatas: m i 1 j 1 c j 1 m i 1 a i, i b j, j 1, 2, 3,..., m 1, 2, 3,..., 0 utuk seluruh i da j

4 2.2.2 Model Trasshipmet Model Trasshipmet adalah model trasportasi yag memugkika pegirima barag (komoditas) secara tidak lagsug, dimaa barag dari suatu sumber dapat berada pada sumber lai atau tujua lai sebelum mecapai tujua akhirya. Jadi, pada Model Trasshipmet ii, suatu simber sekaligus dapat berpera sebagai tujua da sebalikya, suatu tujua dapat juga berpera sebagai sumber. Dalam model ii, setiap sumber maupu tujua dipadag sebagai titik-titik potesial bagi demad maupu supply. Oleh karea itu, utuk mejami bahwa tiap titik potesial tersebut mampu meampug total barag di sampig jumlah barag yag telah ada pada titik-titik tersebut, maka perlu ditambahka kepada titik-titik itu kuatitas supply da demad-ya masig-masig sebesar B. B m i 1 a i j 1 b j Model Peugasa Model peugasa merupaka kasus khusus dari model trasportasi, dimaa sejumlah m sumber ditugaska kepada sejumlah sumber situgaska kepada sejumlah tujua (satu sumber utuk satu tujua) sedemikia sehigga didapat ogkos total yag miimum. Biasaya yag dimaksud dega sumber ialah pekerjaa (job), sedagka yag dimaksud dega tujua ialah mesi-mesi (pekerja). Jadi, dalam hal ii, ada m pekerjaa yag ditugaska pada mesi, dimaa apabila pekerjaa i (i = 1, 2, 3,..., m) di tugaska kepada mesi j (j = 1, 2, 3,..., ) aka mucul ogkos peugasa c. Karea satu pekerjaa ditugaska ditugaska haya pada satu mesi, maka supply yag dapat diguaka pada setiap sumber adalah 1 (atau a i = 1, utuk seluruh i). Semikia pula halya dega mesi-mesi, karea satu mesi haya dapat meerima satu pekerjaa, maka demad dari setiap tujua adalah 1 (atau b j = 1, utuk seluruh j). Jiks ada suatu pekerjaa yag tidak dapat ditugaska pada mesi tertetu, maka c

5 yag berkorespodesi degaya diyataka sebagai M, yag merupaka ogkos yag sagat tiggi. Peggambara umum persoala peugasa ii adalah sebagai berikut : N 1 c 11 c c c 21 c c M c m1 c m2... c m Gambar 2.2 Gambara Umum Persoala Peugasa Sebelum model ii dapat dipecahka dega sebuah metode, terlebih dahulu persoalaya harus diseimbagka dega meambahka pekerjaa-pekerjaa atau mesi-mesi khayala, bergatug pada apakah m < atau m >. Dega kata lai ilai m harus sama dega agar semua mesi-mesi medapatka pekerjaa masig-masig satu. Secara matematis, model peugasa ii dapat diyataka sebagai berikut : X 0, jika pekerjaa ke - i tidak ditugaska pada mesi ke - j 1, jika pekerjaa ke - i ditugaska pada mesi ke - Dega demikia, model persoala peugasa ii adalah ; j Miimumka : z j 1 c

6 Berdasarka Pembatas: j 1 i j 1, i 1, j 0 atau 1 1, 2,..., 1, 2,..., Suatu ciri khas persoala peugasa ialah bahwa solusi optimum aka tetap sama bila suatu kostata ditambahka atau dikuragka kepada baris atau kolom yag maapu dari matriks ogkosya.hal ii dapat dibuktika sebagai berikut : Jika pi da qj meripaka kostata pegurag terhadap baris i da kolom j, maka eleme ogkos yag baru adalah : c' c - p i - q j Sehigga fugsi tujua baru mejadi : z' c i j i j c - pi i j i j i j j i - p i - q i) Karea 1, maka z' z - kostata (c - q 1 Hal ii meujuka bahwa memiimumka z meghasilka solusi yag sama dega memiimumka z. Suatu hal yag mearik ialah bahwa jika kita melakuka operasi peguraga p i da q j tehadap matriks ogkos aka diperoleh zero eteries, yaitu eleme-eleme ogkos dalam matriks yag berharga ol, yaitu juga merupaka variable-variabel yag meghasilka solusi optimum bagi z sehigga, berdasarka pembuktia di atas, merupaka solusi optimal bagi z.

7 2.3 Quadratic Assigmet Problem (QAP) Quadratic Assigmet Problem (QAP) pertama kali dikealka oleh Koopmas da Beckma tahu 1947, yag meyataka bahwa Quadratic Assigmet Problem (QAP) adalah suatu model utuk meguraika permasalaha yag praktis. Permasalaha Quadratic Assigmet Problem (QAP) adalah suatu masalah optimasi kombiatorial da termasuk dalam permasalaha peugasa yag bertipe liear programmig. Permasalaha peugasa Quadratic Assigmet Problem (QAP) aka mecakup sejumlah sumber yag mempuyai tugas. Dega matriks berukurab. Tiap peugasa mempuyai uruta sumber utuk uruta tugas masig-masig sumber. Optimasi dari permasalaha peugasa Quadratic Assigmet Problem (QAP) bertujua memiimasi fasilitas/sumber dalam peugasaya. 2.4 Algoritma Semut Ay Coloy System (ACS) awalya dikembagka oleh Marco Dorigo pada tahu Algoritma At Coloy System (ACS) adalah algoritma yag didasarka pada cara kerja semut utuk meetuka jarak terpedek dari sarag meuju sumber makaa. Semut dapat meemuka jarak terpedek dega memafaatka jejak pheromoe (air liur semut) yag dimafaatka sebagai komuikasi tidak lagsug atar semut. Ketika semut berjala, ia meiggalka pheromoe dalam jumlah tertetu pada jalur yag dilewatiya. Semut dapat mecium pheromoe da ketika memilih jalur mereka cederug utuk memilih jalur dega kosetrasi pheromoe yag lebih besar adalah jarak terpedek. Saat seekor semut yag terisolasi bergerak secara acak, semut ii aka megikuti jejak yag telah ditiggalka sebelumya yag dapat dideteksi da mempuyai tigkat probabilitas yag tiggi utuk diikuti da melajutka jejak sebelumya dega pheromoe baru. Tigkah laku kolektif yag mucul disebut dega tigkah laku Autocalystic, dimaa semut yag lai dapat megikuti jejak yag ada da jejak yag semaki jelas aka memudahka bagi semut yag lai utuk

8 megikutiya. Proses ii secara khusus terjadi melalui kumpula umpa balik yag positif, dimaa kemugkia semut utuk memilih pola meigkat seirig dega jumlah semut yag sebelumya megikuti pola yag sama. Gambar 2.5 Jalur Solusi Semut (At Coloy System) Utuk meyelesaika permasalaha algoritma At Coloy System, berikut ii adalah rumus-rumus dasar yag dipakai dalam algoritma (rumus-rumus megacu pada masalah TSP). Keteraga : k t t t, jika j (2.1) 0 j t t laiya p k t : Probabilitas semut ke-k utuk pergi dari ode atau kota i ke ode j pada saat t. t : Itesitas pheromoe pada jalur ode i da j pada saat t. : Visibilitas/desirability utuk pergi dari ode i ke ode j. 1 d (2.2) je : Jumlah pheromoe yag meghubugka ode i ke ode j. : Parameter yag meyataka kepekaa terhadap jejak 0 : Parameter yag meyataka kepekaa terhadap desirability 0. d : Jarak dari ode i ke ode j. : Himpua ode yag diperbolehka dilewati da boleh dilewati.

9 Setelah setiap ode pada masig-masig kolom memiliki ilai probabilitas, maka aka dihitug probabilitas komulatif dega persamaa dibawah ii Q = q + Q i(j-1) (2.3) Setelah didapatka jalur terpedek, maka jalur tersebut aka di update. Jalur tersebut di update dega tujua utuk meguragi jumlah pheromoe pada semua sisi sebesar da meambah jumlah pheromoe pada sisi yag memberika jarak terpedek dari satu ode ke ode berikutya sebesar t. Sedagka sisi yag lai tidak medapatka peambaha pheromoe. Berikut ii persamaa utuk megupdate jumlah pheromoe. t 1 1. t. t (2.4) Keteraga : : Parameter eveporasi/peguapa (0< <1). t : Peambaha jejek pheromoe. t 1 : Itesitas pheromoe pada saat t + 1. Ada pula yag disebut Tabu List yaitu sebuah matriks berukura a (jumlah semut) jumlah ode. Tabu List ii berfugsi utuk sebagai memory semut, kemaa saja semut tersebut sudah bergerak (ode maa saja) sehigga jalur maa saja yag dilalui setiap semut dapat diketahui. Algoritma umum ACS adalah sebagai berikut (megacu pada masalah TSP): Lagkah 1 Iisialisasi t = 0 ; Iterasi = 0 utuk setiap jalur () berika pheromoe awal 0 Lagkah 2 Lagkah 3 Tempatka a semut di ode awal. Utuk semua semut. Hitug probabilitas yag ada dega persamaa (2.1) Sampai semua ode terpilih.

10 Lagkah 4 Lagkah 5 Lagkah 6 Utuk setiap semut hitug pajag jalur yag telah ditempuh. Utuk setiap jalur terbaik lakuka perbaika pheromoe dega megguaka persamaa (2.3) Jika jumlah Iterasi Belum terpeuhi. Maka kosogka semua TabuList. Kembali ke lagkah Algoritma Hugaria Algoritma Hugaria dikembagka oleh Harold W Khu, pada tahu ii dibuktika dega dibuatya paper yag ditulisya sediri yag berjudul The Hugaria Method for The Assigmet Problem. Algoritma yag Harold buat merupaka pegembaga atau hasil ispirasi dari dua orag ahli matematika yag berasal dari Hugaria, D Koig da E Egervary. Oleh karea itulah maka Harold memberi ama Algoritma Hugaria. Metode atau algoritma Hugaria adalah salah satu metode yag berfugsi utuk meyelesaika masalah peugasa. Dalam algoritma Hugaria terdapat beberapa pegertia yag aka diguaka dalam peyelesaiamasalah Quadratic Assigmet Problem (QAP), yaitu : 1. Opportuity-cost (biaya kesempata) / Reduced-Cost Matri Pemiliha ilai terkecil pada setiap baris dari matriks biaya mula-mula utuk meguragi seluruh eleme (bilaga) pada masig-masig baris. 2. Reduced-cost matri Sama seperti Opportuity-cost, tetapi operasi peguraga dilakuka pada kolom yag belum memiliki ilai ol. 3. Total-Opportuity-Cost ol Adaya kemugkia setiap mesi sudah medapatka pekerjaa. Apabila ada yag belum medapatka pekerjaa maka matriks harus direvisi.