Variasi Spline Kubi untu Animasi Model Wajah 3D Rachmansyah Budi Setiawan (13507014 1 Program Studi Teni Informatia Seolah Teni Eletro dan Informatia Institut Tenologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia 1 if17014@students.if.itb.ac.id Abstra Metode numeri merupaan pendeatan untu mencari solusi persoalan matemati yang tida bisa diselesaian dengan cara analiti. Salah satu persoalan matematia yang bisa diselesaian dengan metode numeri adalah interpolasi polinom Interpolasi polinom sering dimanfaatan pada bidang grafia omputer. Salah satu metode interpolasi polinom yang sering digunaan pada bidang ini adalah spline ubi. Maalah ini membahas tentang penggunaan spline ubi dalam pembentuan model wajah. Selain itu, maalah ini juga membahas variasi metode spline ubi dan penggunaannya untu membuat animasi model wajah. Kata Kunci numeri, interpolasi, spline, model, animasi I. PENDAHULUAN Matematia merupaan salah satu bidang ilmu yang deat dengan ehidupan manusia sehari-hari. Banya persoalan di dunia nyata yang dapat direpresentasian dalam bentu persoalan matematia. Persoalan-persoalan tersebut dapat ditemui dalam berbagai bidang, misalnya bidang reayasa. Pada umumnya persoalan matematia diselesaian dengan menggunaan rumus-rumus yang sudah lazim digunaan. Cara formal untu menyelesaian persoalan matematia seperti ini disebut juga metode analiti atau metode sejati. Solusi yang didapatan dengan menggunaan metode analiti merupaan solusi yang sejati atau memilii nilai galat sama dengan nol. Sayangnya, banya bentu persoalan matematia yang tida dapat diselesaian hanya menggunaan metode analiti. Oleh arena itu, manusia mencari cara untu mencari solusi dari persoalan-persoalan yang tida dapat diselesaian dengan mengunaan metode analiti. Solusinya didefinisian sebagai metode numeri. Metode numeri dapat didefinisian sebagai teni yang digunaan untu memformulasian persoalan matemati sehingga dapat dipecahan dengan operasi perhitungan/aritmetia biasa (tambah, urang, ali, dan bagi [2]. Dengan menggunaan metode numeri, persoalan-persoalan yang tida dapat diselesaian dengan menggunaan metode analiti dapat dicari solusi hampirannya. Solusi hampiran ini tentu saja memilii selisih perbedaan nilai dengan solusi sejati. Nilai selisih ini disebut galat. Ada beberapa jenis persoalan matematia yang dapat diselesaian dengan menggunaan metode numeri. Salah satunya adalah persoalan interpolasi polinom. Persoalan interpolasi polinom merupaan persoalan untu mencari suatu polinom yang dapat menghubungan seumpulan titi yang dietahui. Polinom yang didapatan dari interpolasi ini dapat digunaan sebagai alat bantu untu mencari atian yang hilang. Interpolasi polinom sering digunaan untu membantu menggambar urva dari suatu hasil percobaan. Interpolasi polinom sering dimanfaatan untu bidang yang terait dengan grafia omputer. Salah satu bidang terapannya adalah untu membuat model wajah dan membuat animasi pada wajah. Salah satu metode interpolasi polinom yang banya digunaan untu epentingan ini adalah interpolasi spline, hususnya spline ubi. II. INTERPOLASI SPLINE KUBIK Interpolasi spline merupaan metode yang memilii perbedaan cuup signifian dengan metode interpolasi lainnya, seperti polinom Lagrange dan Newton. Pada metode lain, polinom interpolasi yang didapatan berjumlah satu buah dan menghubungan seluruh titi data. Sementara itu pada interpolasi spline, titi data yang berdeatan dihubungan dengan satu polinom sehingga jumlah polinom interpolasi yang didapatan adalah sejumlah m-1 (dengan m adalah jumlah titi data. Seperti pada metode lainnya, orde polinom untu interpolasi dapat ditentuan. Harapannya adalah semain tinggi orde polinom, maa urva yang dihasilan aan semain mulus dan mendeati urva asli. Pada interpolasi spline, orde yang sering digunaan adalah orde tiga. Metode interpolasi spline dengan menggunaan polinom orde tiga disebut juga metode spline ubi. Masing-masing polinom pada spline ubi dapat ditulisan sebagai Maalah IF4058 Topi Khusus Informatia I: Metode Numeri Sem. II Tahun 2010/2011
S ( a 3 b 2 c d untu = 1, 2,, n dan n adalah jumlah titi data diurangi satu atau dengan ata lain jumlah polinom ubi. Masing-masing persamaan memilii empat buah tetapan (a,b,c,d dan terdapat n buah persamaan sehingga diperluan 4n buah persamaan untu memecahan seluruh tetapan. Seluruh persamaan diperoleh dari lima persyaratan sebagai beriut: 1. Nilai fungsi harus sama pada titi simpul (2n -2 buah persamaan 2. Fungsi ubi yang pertama dan terahir harus melalui titi-titi ujung (2 buah persamaan 3. Turunan pertama pada titi simpul harus sama (n-1 buah persamaan 4. Turunan edua pada titi simpul harus sama (n-1 buah persamaan 5. Turunan edua pada titi-titi ujung adalah nol (2 buah persamaan Dari seluruh persyaratan di atas, didapatan polinom ubi untu tiap upaselang sebagai (1 III. MODEL WAJAH Wajah manusia merupaan bentu yang omples. Pada bagian luar, terdapat omponen-omponen seperti mata, hidung, mulut, dan alis. Semua omponen tersebut digeraan oleh otot pada wajah yang jumlahnya sangat banya. Pembuatan model wajah yang realistis harus memperhitungan proporsi dari masing-masing omponen. Aan tetapi, tida jarang masing-masing omponen wajah dibuat dalam proporsi yang tida realistis. Hal ini umumnya dilauan dalam pembuatan model wajah untu arater artun atau film animasi. Gambar 2 merupaan contoh model wajah dengan proporsi hidung yang tida realistis. 1 S ( ( ( ( S( S( ( ( ( 3 3 ( ( (2 Gambar 1. Model wajah manusia yang realistis Pada persamaan (2, terdapat dua nilai yang tida dietahui. Kedua nilai ini adalah turunan edua pada ujung tiap upaselang. Kedua nilai ini dapat dihitung dengan menggunaan persamaan (3 di bawah ini. 2 S ( ( S S( ( S (3 Gambar 2. Model wajah arater animasi Saat ini, model wajah umumnya dibuat dengan bantuan omputer dan perangat luna yang terait. Model wajah dapat dibuat dengan cara manual (menggambar model wajah secara eseluruhan dan dapat juga dibuat menggunaan parameter. Parameter yang digunaan untu membuat model wajah secara sederhana terdiri dari titi-titi data untu masingmasing omponen wajah. Pada umpulan titi data tersebut, diperluan juga suatu titi husus yang Maalah IF4058 Topi Khusus Informatia I: Metode Numeri Sem. II Tahun 2010/2011
berfungsi untu menjaga proporsi dari masing-masing omponen wajah. Titi ini dapat ditentuan dengan melihat anatomi wajah manusia atau berdasaran pengalaman dan/atau einginan seorang animator. menyederhanaan pembuatan animasi untu berbagai tipe wajah. IV. ANIMASI Animasi adalah ilusi pergeraan yang dihasilan oleh penampaan seumpulan gambar dengan cepat. Ilusi yang ditampilan merupaan efe dari fenomena yang dinamaan persistence of vision, yaitu emunculan sebuah afterimage 1/25 deti pada retina. Beberapa teni animasi yang popular diantaranya adalah animasi tradisional, stop motion, dan animasi omputer. Teni animasi tradisional digunaan pada hampir semuafilm animasi di abad e-20. Animasi dibentu melalui seumpulan gambar yang disusun sedemiian sehingga gambar yang ditampilan berbeda sediit dengan gambar sebelumnya. Gambar yang juga disebut frame ini digambar satu per satu secara manual. Animasi stop motion juga terdiri dari frame-frame, seperti pada animasi tradisional. Perbedaannya adalah sumber gambar yang digunaan pada frame-frame tersebut. Pada animasi tradisional, frame berisi gambar yang digambar manual oleh seorang animator. Sementara itu, frame pada animasi stop motion umumnya merupaan hasil foto dari obje di dunia nyata. Animasi omputer merupaan teni animasi yang menggunaan omputer untu membuat animasi. Animasi omputer meliputi berbagai teni animasi. Secara umum, animasi computer dapat dibagi menjadi animasi 2D dan animasi 3D. V. PEMODELAN WAJAH DENGAN SPLINE KUBIK Pergeraan pada wajah dapat dipecah e dalam geraan masing-masing omponen pada wajah. Geraan-geraan yang mungin dihasilan pada wajah sangat beragam namun secara sederhana dapat dibagi menjadi geraan omponen wajah (seperti alis, mata, dan mulut serta geraan bagian lain pada wajah (seperti rahang, pipi, dan dahi. Kombinasi geraan-geraan yang telah disebutan sebelumnya dapat menghasilan espresi yang berbedabeda untu suatu tipe wajah. Pengubahan espresi wajah dari satu espresi e yang lainnya dapat membentu suatu animasi. Hambatan yang dialami oleh animator dalam membentu animasi adalah arena eunian esprsesi yang dihasilan untu masing-masing tipe wajah. Hal ini berarti untu tipe wajah yang berbeda, maa pendefinisian animasi untu membentu suatu espresi juga aan berbeda. Oleh arena itu, animator mencari cara untu mempermudah dan Gambar 3. Berbagai espresi wajah dengan ombinasi geraan omponen wajah Salah satu cara yang diusulan Pare [3] adalah membuat model wajah dengan mendefinisian seumpulan parameter. Mengingat banyanya omponen pada wajah dan omplesnya espresi pada wajah, maa parameter yang diperluan jumlahnya tida sediit. Tipe parameter yang digunaan secara sederhana adalah umpulan titi pembentu wajah dan omponennya dan titi ontrol per bagian wajah, Parameter-parameter yang diberian merupaan umpulan titi data. Hal ini berarti titi-titi tersebut dapat dihubungan dengan suatu garis dengan menggunaan interpolasi polinom. Proses yang dinamaan face rig ini aan menghasilan suatu eranga dasar dari omponen-omponen wajah. Gambar 4. Proses face rig untu membentu eranga dasar omponen wajah dari umpulan titi Maalah IF4058 Topi Khusus Informatia I: Metode Numeri Sem. II Tahun 2010/2011
Proses face rig dapat memanfaatan interpolasi spline untu membentu eranga dasar wajah. Dalam menghubungan titi-titi penentu omponen wajah, terdapat dua cara yang dapat digunaan pada metode spline. Cara pertama adalah interpolasi spline murni, yaitu menghasilan polinom yang benar-benar melewati setiap titi data. Pada asus ini, cara ini urang bagus. Hal ini arena dengan menggunaan interpolasi spline murni maa urva yang membentu omponen wajah aan terlihat urang mulus sehingga teresan au. Cara edua yang dapat membentu urva eseluruhan yang lebih mulus adalah interpolasi spline dengan pendeatan atau aprosimasi. Kurva yang dihasilan oleh cara ini aan menghubungan titi-titi ujung pada umpulan titi data, namun tida selalu melewati titi data lainnya. Hal ini membuat cara ini dapat menghasilan urva eseluruhan yang lebih mulus. Pada interpolasi spline dengan aprosimasi, tingat emiringan dan emulusan urva dapat diatur melalui beberapa titi yang buan titi ujung pada umpulan data. Titi-titi ini dinamaan titi ontrol. Titi ontrol yang dapat digunaan terbagi menjadi dua jenis, yaitu titi ontrol loal (hanya mempengaruhi urva yang dibentu oleh umpulan ecil titi data dan global (mempengaruhi seluruh titi data yang membentu urva suatu omponen. Penentuan titi ontrol untu omponen wajah harus disesuaian dengan jenis omponen tersebut. Gambar 5. Titi ontrol penentu emulusan urva. (a titi ontrol loal, dan (b titi ontrol global VI. ANIMASI MODEL WAJAH DENGAN VARIASI SPLINE KUBIK Proses face rig yang memanfaatan interpolasi spline aan menghasilan eranga dasar yang merepresentasian model wajah. Keranga dasar inilah yang nantinya aan digunaan untu membentu animasi yang dinamis sehingga animator tida perlu membuat ulang eseluruhan geraan wajah secara manual. Pembuatan animasi ini juga aan memanfaatan interpolasi spline. Fungsi untu membuat polinom berdasaran metode interpolasi spline umumnya memanfaatan parameter watu dan posisi awal untu menentuan posisi beriutnya. Namun, arena pergeraan wajah merupaan pergeraan dalam ruang tiga dimensi, maa persamaan (2 perlu diterapan untu seluruh dimensi. Misalan dimensi-dimensi yang ada diwaili oleh, y, dan z, maa persamaan eseluruhan yang perlu dipenuhi untu membentu animasi berdasaran interpolasi spline adalah dimana u merupaan peubah yang digunaan (watu, U merupaan matris u dalam orde yang berbeda-beda, dan C merupaan matris berisi oefisien polinom metode interpolasi spline. Persamaan (4 memilii bentu umum (u = U * Ms * Mg, dimana Ms adalah matris yang mendefinisan transformasi spline (blending function dan Mg adalah matris yang mendefinisian titi ontrol. Berdasaran dua jenis interpolasi spline yang telah dijelasan sebelumnya (interpolasi spline murni dan interpolasi spline dengan aprosimasi, maa dapat diturunan beberapa metode spline husus yang umum digunaan dalam pembentuan animasi omputer. Metode-metode tersebut adalah Catmull-Rom spline, Cardinal spline, cubic B-spline, tensioned B-spline, dan beta spline. Metode-metode tersebut dapat didefinisian dalam bentu matris 4 4. Matris tersebut emudian aan digunaan bersamaan dengan matris yang berisi umpulan titi ontrol untu mendapatan matris yang berisi oefisien polinom metode interpolasi spline. Catmull-Rom dan Cardinal spline termasu interpolasi spline murni. Catmull-Rom spline dapat didefinisian dalam bentu matris 4 4 pada persamaan (5. Cardinal spline adalah bentu umum dari Catmull-Rom spline. Untu mendefinisian Cardinal spline, diperluan satu parameter tambahan yaitu a yang mendefinisian tension atau tingat etegangan urva. Matris yang mendefinisian Cardinal spline dapat dilihat pada persamaan (. (4 Maalah IF4058 Topi Khusus Informatia I: Metode Numeri Sem. II Tahun 2010/2011
Sementara itu, matris yang mendefinisian beta spline adalah (5 (9 dimana Dapat dilihat bahwa Catmull-Rom spline adalah Cardinal spline dengan nilai a = 0.5. Ketiga metode lainnya, yaitu cubic B-spline, tensioned B-spline, dan beta spline, termasu metode interpolasi dengan aprosimasi. Cubic B-spline dapat didefinisian dengan matris beriut Tensioned B-spline dan beta spline merupaan generalisasi dari cubic B-spline, seperti hubungan antara Cardinal spline dan Catmull-Rom spline. Tensioned B- spline memilii satu parameter yaitu tension untu menentuan etegangan urva. Sementara itu, beta spline memilii satu parameter tambahan yang disebut bias. Bias didesripsian sebagai rasio ecenderungan emiringan urva e arah titi ujung iri atau anan. Matris yang mendefinisian tensioned B-spline adalah ( (7 (8 (10 Dari persamaan (8 dan (9, dapat dilihat bahwa cubic B- spline adalah tensioned B-spline dengan nilai a = 1. Selain itu, cubic B-spline juga merupaan beta spline dengan nilai β 1 = 1 dan nilai β 2 = 0. Kelima variasi metode spline tersebut dapat digunaan untu membuat animasi pergeraan bagian-bagian pada wajah. Pembuatan animasi dengan memanfaatan metode spline ini tentunya memerluan umpulan titi data untu fungsi spline. Kumpulan titi data yang digunaan sebagai parameter untu membentu model wajah dapat digunaan juga sebagai masuan fungsi spline untu membuat animasi pergeraan bagian wajah. Selain umpulan titi data, perlu juga ditentuan titititi penting untu mendefinisian animasi. Titi-titi penting yang dimasud adalah bagian utama wajah yang berubah saat terjadi pergeraan. Titi-titi tersebut dapat didefinisian seolah-olah posisi otot atau sendi pada bagian wajah yang bergera. Kumpulan titi data sebagai sebuah parameter untu membuat animasi berdasaran interpolasi spline sebenarnya sudah cuup. Namun, untu mempermudah peerjaan umum seorang animator yang tida hanya terlibat dengan satu tipe wajah, diperluan parameter lain yang mendefinisian pergeraan pada wajah. Parameter ini dapat didefinisian sebagai fungsi tranlasi sederhana seperti perpindahan atau pengubahan sala, dan ombinasinya. Selain itu, untu bagian-bagian tertentu, mungin saja parameter untu menggambaran pergeraannya berupa sebuah fungsi atau algoritma husus. Misalnya, saat terjadi pergeraan mengedipan mata, maa perubahan bagian wajah tida hanya terjadi di seitar mata, namun juga meliputi dahi, alis, dan pipi. Untu membantu peerjaan animator, maa dapat dibuat algoritma yang mendefinisian perubahan titi-titi mana saja yang terjadi dan apa perubahannya saat terjadi asi tertentu. DiPaola [1] sebelumnya juga pernah membuat suatu sistem animasi yang berbasisan parameter. Sistem animasi ini diberi nama FAS. Karena tingat Maalah IF4058 Topi Khusus Informatia I: Metode Numeri Sem. II Tahun 2010/2011
omplesitas wajah tergolong tinggi, maa DiPaola menggunaan banya parameter. Jumlah parameter yang digunaan pada sistem FAS urang lebih sebanya 100 buah parameter. Seluruh parameter ini digunaan untu mengendalian pergeraan bagian-bagian wajah dan ebanyaan diterapan pada bagian-bagian spesifi pada wajah. Kombinasi jenis parameter yang digunaan untu mendefinisian pergeraan bagian wajah dapat bermacam-macam. Namun, perlu diingat bahwa tujuan utama pembuatan sistem dengan parameter seperti ini adalah menggunaan sesediit mungin parameter untu mencaup sebanya mungin area. Oleh arena itu, harus dirancang agar umpulan parameter tetap sederhana dan memunginan pergeraan wajah yang natural. Selain itu, perancangan parameter juga sebisa mungin sudah menangani masalah omplesitas wajah sehingga animator dapat melauan manipulasi model wajah secara natural. VII. KESIMPULAN Metode numeri dapat digunaan untu menyelesaian permasalahan matematia yang dapat ditemui di ehidupan sehari-hari. Salah satu permasalahan yang dapat dipecahan adalah masalah menghubungan seumpulan titi data dengan suatu persamaan, atau disebut juga interpolasi polinom. Metode yang ada untu interpolasi polinom sendiri sudah cuup banya. Salah satunya adalah interpolasi spline. Interpolasi spline sudah umum digunaan pada bidang grafia omputer. Pada maalah ini dibahas penggunaan inteprolasi polinom dengan metode spline ubi untu membentu model wajah dengan menggunaan parameter berupa umpulan titi data. Selain itu, variasi metode spline ubi juga dapat digunaan untu membuat animasi dari model wajah dengan menggunaan parameter tambahan berupa fungsi atau algoritma yang mendefinisian pergeraan bagian wajah. PERNYATAAN Dengan ini saya menyataan bahwa maalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, buan saduran, atau terjemahan dari maalah orang lain, dan buan plagiasi. Bandung, 12 Mei 2011 Rachmansyah Budi Setiawan (13507014 REFERENSI [1] DiPaola, Steve. Etending the Range of Facial Types. 1992. [2] Munir, Rinaldi. Metode Numeri untu Teni Informatia. Institut Tenologi Bandung, 1997. [3] Pare, Frederic I. Parameterized Models for Facial Animation. 1982. [4] Smith, Alvy Ray. Spline Tutorial Notes. 1983. [5] http://www.eremcalisan.com/a-tutorial-on-computeranimation-ii-2/ Maalah IF4058 Topi Khusus Informatia I: Metode Numeri Sem. II Tahun 2010/2011