Pengantar Penerjemah. Daftar Istilah

Transkripsi

1 Pengantar Penerjemah Saya awali tulisan ini dengan Nama Alloh Sang Maha Pengasih Sang Maha Penyayang. Segala Puji bagi-nya yang telah mengajaran ilmu epada siapa saja yang diehendai-nya. Sungguh, saya merasa terbantu dengan doumen Introduction to Kalman Filter oleh Greg Welch & Gary Bishop, 2012, dalam memahami esensi alman filter disrit. Saya coba terjemahan, mungin dapat membantu pembaca yang enggan berlama-lama dengan bahasa Inggris namun tertari memahami onsep alman filter disrit. Bagian tentang Extended Kalman Filter belum sempat saya terjemahan, semoga bisa dilanjutan di lain watu. Semoga bermanfaat. Surabaya, 4 Maret 2014 / 2 Jumadil ula 1435H Penerjemah: mochamad nur qomarudin, alfiyahibnumali@gmail.com Doumen ini saya publish di: mnurqomarudin.blogspot.com Daftar Istilah Beberapa istilah yang banya disebut dalam doumen ini Estimasi: pencarian nilai sebenarnya dari nilai yang sudah tercampur dengan noise Filter: alat/algoritma untu estimasi Step: watu disrit, bilangan bulat, disimbolan dengan Disrit: sinyal yang hanya memilii nilai pada saat-saat tertentu, dengan interval watu yang onstan, cth. memilii nilai setiap 5 deti Noise: gangguan yang menimpa sinyal Kovarian: yg dimasud dalam doumen ini adalah Varian, yaitu besaran statisti yang menyataan uadrat dari standar deviasi Momen: istilah lain dari fungsi espetasi, cth. espetasi orde satu disebut momen pertama White noise: noise yang memilii magnitude yang tetap untu semua freuensi 1

2 [TERJEMAHAN] Pengenalan Kalman Filter Greg Welch 1 Gary Bishop 2 19 Juni 2012 TR Department of Computer Science University of North Carolina Chapel Hill Chapel Hill, NC Diperbarui: Senin, 24 Juli 2006 Abstra Di tahun 1960, R. E. Kalman mempubliasian maalahnya yang menjelasan sebuah solusi reursif terhadap persoalan filter linier untu data disrit. Seja saat itu, Kalman Filter menjadi topi penelitian dan terapan yang luas, terutama di bidang navigasi otomatis atau terpandu. Kalman Filter merupaan seumpulan persamaan matemati yang menawaran cara omputasi reursif dan efisien untu mengestimasi state dari sebuah proses, sedemiian rupa sehingga meminimuman rata-rata dari uadrat error. Filter ini sangat berguna dalam beberapa aspe: menduung estimasi state yang telah lalu, saat ini, dan juga state masa depan, dan mampu beerja mesipun sifat-sifat model sistem tida dietahui. Tujuan dari maalah ini adalah untu memberi pengenalan pratis tentang Kalman Filter disrit. Pengenalan ini meliputi desripsi dan beberapa disusi tentang dasar Kalman Filter disrit, penurunan, desripsi dan beberapa disusi tentang Extended Kalman Filter, dan contoh sederhana dengan bilangan nyata beserta hasilnya. Kalman Filter Disrit Di tahun 1960, Kalman mempubliasian maalahnya yang menjelasan sebuah persoalan penyaringan linier data disrit [Kalman, 60]. Seja saat itu, Kalman Filter menjadi topi penelitian dan terapan yang luas, terutama di bidang navigasi otomatis atau terpandu. Pengenalan tentang gagasan umum Kalman Filter yang paling mudah dipahami dapat disima dalam Bab 1 dari [Maybec79], sedangan pengenalan yang lebih omples dapat dibaca di dalam [Sorenson70], yang juga memuat beberapa cerita sejarah yang menari. Pustaa lain untu lebih lanjut meliputi [Gelb74; Grewal93; Maybec79; Lewis86; Brown92; Jacobs93]. 1 welch@cs.unc.edu, 2 gb@cs.unc.edu, 2

3 Proses yang Diestimasi Persoalan umum untu Kalman Filter disrit adalah mencoba untu mengestimasi state x R n dari sebuah proses watu disrit yang dinyataan oleh persamaan beda stoasti linier x Ax Bu w (1.1) dengan penguuran z R m yang dinyataan z Hx v (1.2) w dan v adalah variabel aca yang mewaili noise proses dan noise penguuran, eduanya independen, jenis white noise, dengan probabilitas berdistribusi normal. p( w) ~ N(0, Q) p( v) ~ N(0, R) (1.3) (1.4) Dalam prati, ovarian noise proses Q dan ovarian noise penguuran R bisa berubah dalam tiap watu atau penguuran, namun di sini eduanya diasumsian onstan. Matris A (nxn) dalam persamaan beda (1.1) menghubungan state pada watu disrit sebelumnya, yaitu -1, dengan state pada watu disrit searang, yaitu, tanpa pengaruh fungsi pemicu u atau noise proses w. Dalam prati, A bisa berubah dalam tiap watu, tapi di sini ita asumsian onstan. Matris B (nxl) menghubungan input ontrol u ϵ R l dengan state x, u bersifat opsional (bisa ada / tida). Matris H (mxn) dalam persamaan penguuran (1.2) menghubungan state dengan penguuran z. Dalam prati, H bisa berubah dalam tiap watu atau penguuran, tapi di sini ita asumsian onstan. Komputasi Filter Kita definisian x R n (perhatian notasi minus di atas) sebagai pra-estimasi state pada step berdasaran data dari proses (1.1) sebelum step, dan x R n sebagai pasca estimasi state pada step berdasaran nilai z. Lalu, ita definisian pra dan pasca estimasi untu error sebagai Kovarian pra-estimasi error adalah e x e x x x, dan P E[ e e T ] (1.5) dan ovarian pasca-estimasi error adalah 3

4 T P E[ e e ] (1.6) Dalam menurunan persamaan untu alman filter, ita mulai dengan persamaan yang menghitung pasca-estimasi state x yang dibangun dari ombinasi pra-estimasi x dan selisih antara nilai uur atual z dan predisi nilai uur Hx sebagai beriut (1.7). Beberapa pertimbangan untu (1.7) dapat dibaca dalam buu The Probabilistic Origins of the Filter ami sertaan di bawah x = x + K(z Hx ) (1.7) selisih (z Hx ) di (1.7) disebut perbaian atau selisih penguuran. Selisih ini mewaili etidasesuaian antara nilai uur yang dipredisi Hx dan nilai uur sebenarnya z. Selisih nol berarti nilai eduanya sama persis. Matrix K (nxm) di (1.7) dipilih sebagai fator penguat (gain) yang meminimuman ovarian pasca-estimasi error (1.6). Untu penjelasan detil, lihat [Maybec79; Brown92; Jacobs93]. Salah satu formulasi K yang meminimuman (1.6) adalah 3 K = P H T (HP H T + R) 1 (1.8) K = P H T HP H T + R Pada (1.8) ita lihat bahwa ovarian error penguuran R mendeati nol, sehingga gain K membuat selisih penguuran berpengaruh lebih besar. Secara matematis, lim K = H 1 R 0 Di sisi lain, bila ovarian pra-estimasi error P mendeati nol, maa gain K membuat selisih penguuran berpengaruh lebih ecil. Secara matematis, lim K P = 0 0 Cara lain untu memahami peran gain K adalah: bila ovarian error penguuran R mendeati nol, nilai uur atual z jauh lebih dipercaya ebenarannya, sedangan predisi nilai uur Hx semain tida dapat dipercaya ebenarannya. Bila ovarian pra-estimasi error P mendeati nol, nilai uur atual z semain tida dapat dipercaya, sedangan predisi nilai uur Hx semain dapat dipercaya ebenarannya. 3 Semua persamaan Kalman filter dapat direayasa menjadi beberapa bentu. Persamaan (1.8) mewaili salah satu formulasi Kalman gain yang populer. 4

5 Konsep Probabilitas dalam Filter Pertimbangan dalam penentuan (1.7) beraar pada probabilitas pra-estimasi x yang bersyarat pada semua nilai uur z sebelumnya (aturan Bayes). Kalman filter melibatan dua momen pertama dari distribusi variabel state, E[x ] = x E[(x x )(x x ) T ] = P Nilai pasca-estimasi state (1.7) mewaili rata-rata / mean (momen pertama) dari distribusi state nilai ini berdistribusi normal bila ondisi (1.3) dan (1.4) dipenuhi. Kovarian pascaestimasi error (1.6) mewaili varian dari distribusi state (momen e dua non-sentral). Dengan alimat lain, p(x z )~N(E[x ], E[(x x )(x x ) T ]) p(x z ) = N(x, P ) Penjelasan lebih lanjut, baca [Maybec79; Brown92; Jacobs93]. Algoritma Kalman Filter Disrit Kita awali bagian ini dengan pengantar ringas, memuat onsep operasional umum dari salah satu tipe Kalman filter disrit (lihat catatan ai sebelumnya). Selanjutnya, ita aan fous pada persamaan-persamaan spesifi dan egunaannya untu tipe ini. Kalman filter mengestimasi satu proses melalui meanisme ontrol umpan-bali: Filter mengestimasi state dari proses emudian mendapat umpan bali berupa nilai hasil penguuran yang bercampur noise. Persamaan untu Kalman filter dielompoan dalam dua bagian: persamaan update watu dan persamaan update penguuran. Persamaan update watu bertugas untu mendapatan nilai pra-estimasi untu watu step selanjutnya. Persamaan update penguuran bertugas untu eperluan umpan bali, seperti memaduan hasil penguuran terbaru dengan nilai pra-estimasi untu mendapatan nilai pasca-estimasi yang lebih bai. Persamaan update watu disebut juga persamaan predisi, sedangan persamaan update penguuran disebut persamaan oresi. Algoritma estimasi Kalman filter menyerupai algoritma predisi-oresi untu menyelesaian masalah numeri sebagaimana pada Gambar

6 Gambar 1-1. Silus erja Kalman filter disrit. Update watu membuat predisi nilai state. Update penguuran, menyesuaian nilai predisi dengan nilai uur atual. Persamaan spesifi untu update watu dan penguuran disertaan dalam Tabel 1-1 dan Tabel 1-2. Tabel 1-1: Persamaan update watu untu Kalman filter disrit x = Ax 1 + Bu 1 (1.9) P = AP 1 A T + Q (1.10) Perhatian, persamaan update watu memproyesian (mempredisi) nilai state dan estimasi ovarian dari watu step -1 menuju step. A dan B dari (1.1), dan Q dari (1.3). Kondisi awal untu filter telah dibahas pada referensi terdahulu. Tabel 1-2: Persamaan update penguuran untu Kalman filter disrit K = P H T (HP H T + R) 1 (1.11) x = x + K(z Hx ) (1.12) P = (1 K H)P (1.13) Tugas pertama dalam Update penguuran adalah menghitung Kalman Gain, K. Persamaan Kalman gain di sini (1.11) sama dengan (1.8). Selanjutnya menguur nilai proses atual z, emudian menghitung pasca-estimasi state dengan melibatan nilai hasil penguuran sebagaimana (1.12). Persamaan (1.12) sama dengan (1.7). Tugas terahir adalah mendapatan nilai pasca-estimasi ovarian error melalui (1.13). Setelah menjalani satu silus update watu dan penguuran, silus ini diulang yang mana nilai pasca-estimasi sebelumnya digunaan untu mempredisi nilai pra-estimasi yang baru. Sifat reursif ini adalah satu sifat penting dari Kalman filter membuat implementasi pratis jauh lebih sederhana daripada implementasi Wiener filter [Brown92] yang dirancang untu beroperasi dengan melibatan semua data secara langsung dalam setiap ali estimasi. Gambar 1-2 menampilan operasi Kalman filter secara menyeluruh. Parameter Filter dan Penyesuaiannya Dalam implementasi filter, ovarian noise penguuran R biasanya diuur sebelum filter dioperasian. Penguuran overian error penguuran R umumnya dapat dilauan arena 6

7 ita dapat mengambil sampel penguuran secara offline untu menentuan varian dari noise penguuran. Penentuan ovarian noise proses Q umumnya lebih sulit, arena ita tida dapat mengamati proses secara langsung. Teradang satu model proses yang sederhana dapat menghasilan estimasi yang bai dengan pemilihan Q yang tepat, bila penguuran terhadap proses dapat diandalan. Pada eadaan yang lain, seringali penyesuaian (tuning) parameter filter Q dan R dapat menghasilan performansi filter yang superior (secara statisti). Meanisme penyesuaian ini biasanya dijalanan secara offline, teradang dengan bantuan Kalman filter tipe yang lain. Proses penyesuaian ini disebut identifiasi sistem. Gambar 1-2: Sema lengap Operasi Kalman filter, menggabungan diagram pada Gambar 1-1 dan persamaan pada Tabel 1-1 dan Tabel 1-2. Karena Q dan R adalah onstan, ovarian error estimasi P dan Kalman gain K aan stabil dengan cepat emudian bernilai onstan (lihat persamaan update filter di Gambar 1-2). Jia demiian, edua parameter ini dapat dihitung dulu dengan menjalanan filter secara offline, atau (misal) dengan menentuan nilai steady-state dari P sebagaimana pada [Grewal93]. Seringali, error penguuran tida bernilai onstan, demiian juga noise proses, ada ala tida bernilai onstan atau berubah secara dinamis selama filter sedang beerja menjadi Q untu menyesuaian dengan dinamia proses yang berbeda. Contoh, dalam pelacaan posisi epala seorang user di lingungan virtual 3D, ita perlu mengurangi magnitud Q bila user bergera lambat, dan menignatan magnitudnya bila bergera cepat. Pada asus ini, Q 7

8 dipilih dengan mempertimbangan etidapastian pada ehenda user dan etidapastian pada model. Apliasi Kalman Filter: Estimasi Nilai Konstan Kita aan coba untu mengestimasi satu nilai onstan aca salar, misalnya nilai tegangan. Anggaplah ita mampu menguur nilai onstan tersebut, tetapi penguuran yang dilauan terganggu dengan noise penguuran sebesar 0,1 volt RMS dengan tipe white noise (misal, onverter analog e digital yang digunaan tida cuup aurat). Dalam contoh ini, proses dinyataan dengan persamaan beda linier x = Ax 1 + Bu 1 + w dengan penguuran z R 1, yaitu x = x 1 + w z = Hx + v z = x + v State x tida berubah dari step e step, jadi A=1. Tida ada input ontrol, jadi u=0. Penguuran yang bercampur noise langsung didapatan dari state x, jadi H=1. Parameter dan Persamaan Filter Persamaan update watu adalah dan persamaan update penguuran adalah x = x 1 P = P 1 + Q K = P (P + R) 1 (3.1) K = P P + R x = x + K(z x ) P = (1 K )P Anggaplah varian noise proses sangat ecil, Q = 1x10 5. (Kita bisa saja menetapan Q = 0, tapi menetapan Q yang ecil namun tida nol aan memberian flesibilas dalam tuning atau penyesuaian parameter filter, aan ita contohan di bawah). Anggaplah, berdasaran pengalaman yang ami tahu, nilai sebenarnya dari nilai onstan aca tersebut berdistribusi probabilitas normal, jadi ita beri filter ita dengan nilai tebaan nol. Dengan ata lain, sebelum menjalanan filter, ita tetapan x 1 = 0 8

9 Kita juga perlu menetapan nilai awal untu P-1, sebut saja P0. Bila ita yain bahwa nilai awal estimasi state x 0 = 0 adalah benar, ita boleh menetapan P0 = 0. Tetapi bila ada etidapastian pada nilai awal estimasi x 0 yang ita tetapan, maa memilih P0 = 0 mengaibatan filter percaya seja awal bahwa x = 0. Dengan demiian, ita perlu menetapan P0 dengan nilai yang lain. Kita bisa menetapan sembaran nilai P 0 0 dan filter pada ahirnya aan onvergen. Kita mulai dengan menetapan P0 = 1. Simulasi Untu permulaan, ita tetapan secara aca satu nilai onstan x = -0,37727 (tida ada topi di atas x arena ini mewaili nilai sebenarnya ). Lalu ita simulasian 50 penguuran z yang memilii error berdistribusi normal di seitar nol dengan standar deviasi 0.1 (ingat, ita anggap penguuran terganggu dengan white noise penguuran sebesar 0.1 volt rms). Sebenarnya, ami bisa saja melauan penguuran etia filter sedang beerja, tapi dengan melauan penguuran 50 data sebelum filter dijalanan, ami dapat menjalanan beberapa macam simulasi dengan data penguuran yang sama persis (masudnya, dengan noise penguuran yang sama) sehingga perbandingan antara beberapa simulasi dengan parameter yang berbeda aan lebih bermana. Dalam simulasi pertama, ami tetapan varian error penguuran R=(0,1) 2 =0,01. Karena ini adalah nilai varian error penguuran sebenarnya, maa ami berharap mendapat performansi filter terbai dalam arti eseimbangan antara ecepatan respon filter dan varian estimasi. Hal ini aan nampa jelas pada simulasi e dua dan e tiga. Gambar 3-1 menampilan hasil simulasi pertama. Nilai onstan aca yang sebenarnya x = -0,37727, ditampilan dalam garis lurus tebal, penguuran yang bercampur noise diwaili tanda plus, dan estimasi filter diwaili dengan urva. Gambar 3-1. Simulasi pertama: R=(0,1) 2 =0,01. Nilai onstan aca yang sebenarnya x=- 0,37727 dinyataan dengan garis lurus tebal, penguuran yang bercampur noise diwaili tanda plus, dan estimasi filter diwaili urva. 9

10 Ketia pemilihan P0, ami nyataan bahwa pemilihan ini tida terlalu penting selama P 0 0, arena pada ahirnya estimasi filter aan onvergen (menuju pada satu nilai). Gambar 3-2 di bawah, ami telah plot nilai P terhadap iterasi. Pada iterasi e-50, nilai P, yang semula ditetapan 1 (volt 2 ), bergera onvergen dan menetap di seitar 0,0002 (volt 2 ). Gambar 3-2. Setelah 50 iterasi, nilai awal ovarian error P=1 bergera onvergen dan menetap di seitar 0,0002 (volt 2 ). Dalam bagian 1, topi Parameter Filter dan Penyesuaiannya ami paparan secara singat tentang pengubahan dan penyesuaian parameter Q dan R untu mendapatan performansi filter yang berbeda. Dalam Gambar 3-3 dan Gambar 3-4 di bawah, ita dapat amati apa yang terjadi etia R diperbesar atau diperecil dengan fator 100. Di Gambar 3-3, filter diberi tahu bahwa varian error penguuran adalah 100 ali lebih besar (masudnya R=1) jadi filter lebih lambat dalam mempercayai data penguuran. Gambar 3-3. Simulasi e dua: R=1. Filter lebih lambat dalam merespon data penguuran, aibatnya varian estimasi filter berurang. 10

11 Pada Gambar 3-4, Filter diberi tahu bahwa varian error penguuran adalah 100 ali lebih ecil (masudnya R=0,0001), jadi filter sangat cepat mempercayai data penguuran yang bercampur noise. Gambar 3-4. Simulasi e empat: R=0,0001. Filter merespon data penguuran dengan cepat seali, aibatnya varian estimasi filter meningat. Mesipun estimasi satu nilai onstan adalah topi yang relatif sederhana, namun mampu mendemonstrasian unju erja Kalman filter dengan jelas. Pada Gambar 3-3 nampa jelas bahwa estimasi Kalman filter lebih halus daripada data penguuran yang bercampur noise. 11

12 Daftar Pustaa [Brown92] Brown, R. G. and P. Y. C. Hwang Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc. [Gelb74] Gelb, A Applied Optimal Estimation, MIT Press, Cambridge, MA. [Grewal93] Grewal, Mohinder S., and Angus P. Andrews (1993). Kalman Filtering Theory and Practice. Upper Saddle River, NJ USA, Prentice Hall. [Jacobs93] Jacobs, O. L. R Introduction to Control Theory, 2nd Edition. Oxford University Press. [Julier96] Julier, Simon and Jeffrey Uhlman. A General Method of Approximating Nonlinear Transformations of Probability Distributions, Robotics Research Group, Department of Engineering Science, University of Oxford [cited 14 November 1995]. Available from Also see: A New Approach for Filtering Nonlinear Systems by S. J. Julier, J. K. Uhlmann, and H. F. Durrant- Whyte, Proceedings of the 1995 American Control Conference, Seattle, Washington, Pages: Available from Also see Simon Julier's home page at [Kalman60] Kalman, R. E A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, Transaction of the ASME Journal of Basic Engineering, pp (March 1960). [Lewis86] Lewis, Richard Optimal Estimation with an Introduction to Stochastic Control Theory, John Wiley & Sons, Inc. [Maybec79] Maybec, Peter S Stochastic Models, Estimation, and Control, Volume 1, Academic Press, Inc. [Sorenson70] Sorenson, H. W Least-Squares estimation: from Gauss to Kalman, IEEE Spectrum, vol. 7, pp , July